Esercizi 11 - 05 Dec 16

28/01/10
Esercizi e problemi
su circuiti elettrici elementari
1
Esercizi
Esercizio (p.480 n.9).
La resistenza totale di un circuito è 300Ω. In esso vi sono tre resistenze in serie: la seconda è tripla
della prima e la terza è doppia della seconda. Determina il valore delle tre resistenze.
Soluzione.
dati
richieste
R1 + R2 + R3 = 300Ω
R2 = 3R1 , R3 = 2R2
R1 , R2 , R3
schema grafico
Basta risolvere il sistema di tre equazioni a tre incognite “dato dai dati”(,).

 R1 + R2 + R3 = 300
R2 = 3R1

R3 = 2R2


00

 R1 + 3R1 + 6R1 = 300

R2 = 3R1
R3 = 2R2 = 6R1


 10R1 = 300
00

 R1 = 30
R2 = 3R1 = 60

R3 = 6R1 = 180
00

00
00
Quindi R1 = 30Ω , R2 = 3R1 = 60Ω e R3 = 6R1 = 180Ω .
Esercizio (p.480 n.11).
In un circuito vi sono quattro resistenze da 50Ω, 70Ω , 75Ω e 105Ω collegate in serie. Sapendo che una
batteria le alimenta con una d.d.p. di 60V , determina l’intensità di corrente che le attraversa.
Soluzione.
dati
richieste
R1 = 50Ω , R2 = 70Ω , R3 = 75Ω
R3 = 105Ω , ∆V = 60V
I
schema grafico
Collegamento in serie ⇒ Re = R1 + R2 + R3 + R4 = 50 + 70 + 75 + 105 = 300Ω.
Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ I =
∆V
60
=
= 0, 2A.
Re
300
Esercizio (p.480 n.12).
In un circuito vi sono due resistenze in serie di 250Ω e 70Ω, mentre ai morsetti del generatore la d.d.p.
è di 128V . Trova:
(a) l’intensità di corrente che attraversa il circuito;
1
(b) la d.d.p. ai capi di ciascuna resistenza.
Soluzione.
dati
richieste
schema grafico
R1 = 250Ω , R2 = 70Ω , ∆V = 128V
I , ∆V1 , ∆V2
Collegamento in serie ⇒ Re = R1 + R2 = 250 + 70 = 320Ω.
∆V
128
Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ I =
=
= 0, 4A.
Re
320
Legge di Ohm: ∆V1 = R1 I = 250 · 0, 4 = 100V.
Legge di Ohm: ∆V2 = R2 I = 70 · 0, 4 = 28V.
Esercizio (p.481 n.17).
Dopo un nodo di un circuito elettrico vi sono due rami tra loro in parallelo. Nel primo, caratterizzato
da una resistenza di 3Ω , l’intensità della corrente è 0, 2A. Calcola la resistenza del secondo ramo,
sapendo che in esso l’intensità della corrente è 0, 8A.
Soluzione.
dati
richieste
R1 = 3Ω , I1 = 0, 2A , I2 = 0, 8A
R2
schema grafico
Collegamento in parallelo ⇒ ∆V1 = ∆V2
Legge di Ohm: ∆V1 = R1 I1 e ∆V2 = R2 I2
R1 I1
3 · 0, 2
quindi: R1 I1 = R2 I2 ⇒ R2 =
=
= 0, 75Ω.
I2
0, 8
Esercizio (p.481 n.19).
Nel nodo di un circuito la corrente entrante è di 6A , mentre i due rami uscenti dal nodo, e fra loro
in parallelo, sono rispettivamente di 2Ω e 4Ω . Detremina l’intensità delle correnti che percorrono
ciascuno dei due rami.
Soluzione.
dati
richieste
I = 6A , R1 = 2Ω , R2 = 4Ω
I1 , I2
schema grafico
Collegamento in parallelo ⇒ ∆V1 = ∆V2
Legge di Ohm: ∆V1 = R1 I1 e ∆V2 = R2 I2
quindi: R1 I1 = R2 I2 ⇒ 2I1 = 4I2 ⇒ I1 = 2I2
Principio di Kirkhhoff: I1 + I2 = I ⇒ I1 + I2 = 6
Sostituendo si ha:
2I2 + I2 = 6 ⇒ 3I2 = 6 ⇒ I2 = 2A ⇒ I1 = 2I2 = 4A
2
Esercizio (p.481 n.21).
Quale valore devono avere tre resistenze di ugual valore disposte in parallelo, affinché la resistenza
equivalente sia di 20Ω?
Soluzione.
dati
richieste
R1 = R2 = R3 , Re = 20Ω
R1 , R2 , R3
Collegamento in parallelo ⇒
⇒
schema grafico
1
1
1
1
=
+
+
⇒
Re
R1 R2 R3
1
1
1
3
1
R1
+
+
=
=
⇒
= 20 ⇒ R1 = 20 · 3 = 60Ω
R1 R1 R1
R1
20
3
3
2
Problemi
Il testo dei problemi è già schematizzato.
Problema (p.483 n.1).
dati
richieste
R1 = 50Ω
R2 = 20Ω
R3 = 30Ω
∆V = 310V
(a) Re
(b) I
(c) I2 , I3
circuito
Soluzione.
(a) R2 ed R3 sono in parallelo ⇒ R2,3 =
20 · 30
R2 R3
600
=
=
= 12Ω
R2 + R3
20 + 30
50
R1 ed R2,3 sono in serie ⇒ Re = R1 + R2,3 = 50 + 12 = 62Ω
∆V
310
=
= 5A
Re
62
½
½
½ 00
I2 + I3 = I
I2 + I3 = 5
(c)
⇒
⇒
⇒
R2 I2 = R3 I3
20I2 = 30I3
I2 = 32 I3
½ 5
½
½ 2
I3 = 35 · 5 = 3A
I
+
I
=
5
I
=
5
3
3
3
3
3
⇒
⇒
⇒
00
00
I2 = 23 · 3 = 2A
(b) Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ I =
Problema (p.484 n.2).
dati
richieste
circuito
R1 = 250Ω
R2 = 200Ω
R3 = 150Ω
R4 = 450Ω
∆V = 260V
(a) Re
(b) I
(c) I2 , I3 , 4
Soluzione.
(a) R3 ed R4 sono in serie ⇒ R3,4 = R3 + R4 = 150 + 450 = 600Ω
R2 ed R3,4 sono in parallelo ⇒ R2,3,4 =
R2 R3,4
200 · 600
120000
=
=
= 150Ω
R2 + R3,4
200 + 600
800
R1 ed R2,3,4 sono in serie ⇒ Re = R3 + R2,3,4 = 250 + 150 = 400Ω
∆V
260
=
= 0, 65A
Re
400
½
½
½ 00
I2 + I3,4 = I
I2 + I3 = 0, 65
(c)
⇒
⇒
⇒
200
R2 I2 = R3,4 I3,4
200I2 = 600I3
I2 = 600
I3 = 13 I3
½ 1
½ 4
½
I3 + I3 = 0, 65
I3 = 0, 65
I3 = 34 · 0, 65 = 0, 49A
3
3
⇒
⇒
⇒
00
00
I2 = 13 · 0, 49 = 0, 16A
(b) Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ I =
4
Problema (p.484 n.3).
dati
richieste
R1 = 20Ω
R2 = 15Ω
R3 = 10Ω
R4 = 30Ω
R5 = 25Ω
∆V = 150V
(a) Re
(b) I
(c) I3
(c) ∆V5
circuito
Soluzione.
(a) R2 , R3 ed R4 sono in parallelo ⇒
⇒
1
R2,3,4
=
1
1
1
1
1
1
2+3+1
6
30
+
+
=
+
+
=
=
⇒ R2,3,4 =
= 5Ω
R2 R3 R4
15 10 30
30
30
6
R1 , R2,3,4 ed R5 sono in serie ⇒ Re = R1 + R2,3,4 + R5 = 20 + 5 + 25 = 50Ω
(b) Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ I =
∆V
150
=
= 3A
Re
50
R3
10
2
R3
10
1
I3 = I3 = I3 e R4 I4 = R3 I3 ⇒ I4 =
I3 = I3 = I3 quindi:
R2
15
3
R2
30
3
1
6
3
2
I2 + I3 + I4 = I ⇒ I3 + I3 + I3 = I3 = 3 ⇒ I3 = · 3 = 1, 5A
3
3
3
6
(d) Legge di Ohm: ∆V5 = R5 I = 25·3 = 75V
(c) R2 I2 = R3 I3 ⇒ I2 =
Problema (p.484 n.4).
dati
richieste
R1 = 1200Ω
R2 = 1800Ω
R3 = 1400Ω
R4 = 1600Ω
R5 = 3000Ω
I = 0, 12A
(a) Re
(b) ∆V
(c) I3 , 4
(c) ∆V2
circuito
Soluzione.
(a) R1 ed R2 sono in serie ⇒ R1,2 = R1 + R2 = 1200 + 1800 = 3000Ω
R3 ed R4 sono in serie ⇒ R3,4 = R3 + R4 = 1400 + 1600 = 3000Ω
R1,2 ed R3,4 sono in parallelo ⇒ R1,2,3,4 =
R1,2 R3,4
30002
3000
=
=
= 1500Ω
R1,2 + R3,4
2 · 3000
2
R1,2,3,4 ed R5 sono in serie ⇒ Re = R1,2,3,4 + R5 = 1500 + 3000 = 4500 = 4, 5 · 103 Ω
(b) Legge di Ohm: ∆V = Re I = 4500 · 0, 12 = 540V
(c) R1,2 I1,2 = R3,4 I3,4 ⇒ I1,2 =
R3,4
3000
I3,4 =
I3,4 = I3,4 quindi:
R1,2
3000
I1,2 + I3,4 = I ⇒ I3,4 + I3,4 = 2I3,4 = 0, 12 ⇒ I3,4 =
(d) Legge di Ohm: ∆V2 = R2 I1,2 = 1800 · 0, 06 = 108V
5
0, 12
= 0, 06A
2
Problema (p.484 n.5).
dati
richieste
R1 = 150Ω
R2 = 50Ω
R3 = 100Ω
∆V = 120V
Collegare R1 , R2 ed R3
in serie.
P1 , P2 , P3
circuito
Soluzione.
R1 , R2 ed R3 in serie ⇒ Re = R1 + R2 + R3 = 150 + 50 + 100 = 300Ω
120
Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ I = ∆V
Re = 300 = 0, 4A
2
2
Legge di Joule: P = Re I = 300 · 0, 4 = 48W
P1 = R1 I 2 = 150 · 0, 42 = 24W
P2 = R2 I 2 = 50 · 0, 42 = 8W
P3 = R3 I 2 = 100 · 0, 42 = 16W
Problema (p.484 n.6).
dati
richieste
circuito
R1 = 80Ω
R2 = 120Ω
R3 = 192Ω
R4 = 51, 6Ω
∆V = 135V
Collegare R1 , R2 ed R3
in parallelo.
I1 , I2 , I3
Soluzione.
R1 , R2 ed R3 in parallelo ⇒
1
1
1
1
1
1
1
12 + 8 + 5
25
=
+
+
=
+
+
=
=
R1,2,3
R1 R2 R3
80 120 192
960
960
960
= 38, 4Ω
25
ed R4 in serie ⇒ Re = R1,2,3 + R4 = 38, 4 + 51, 6 = 90Ω
⇒ R1,2,3 =
R1,2,3
Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ I =
6
∆V
135
=
= 1, 5A
Re
90
R1 I1 = R2 I2 ⇒ I2 =
R1
80
2
I1 =
I1 = I1
R2
120
3
R1
5
80
I1 =
I1 = I1
R3
192
12
2
5
25
Principio di Kirchhoff: I1 + I2 + I3 = I ⇒ I1 + I1 + I1 = I1 = 1, 5
3
12
12
12
2
2
5
5
⇒ I1 =
· 1, 5 = 0, 72A ⇒ I2 = I1 = · 0, 72 = 0, 48A e I3 = I1 =
· 0, 72 = 0, 3A
25
3
3
12
12
R1 I1 = R3 I3 ⇒ I3 =
Problema (p.484 n.7).
dati
richieste
R1 = 50Ω
R2 = 75Ω
R3 = 50Ω
R4 = 100Ω
∆V = 90V
I in tabella
( OFF = chiuso
ON = aperto )
circuito
Soluzione.
In generale, se un interruttore è aperto (OFF), allora in quel ramo del circuito non circola corrente (è
come se non ci fosse).
interruttore 1
interruttore 2
interruttore 3
I(A)
(a)
OFF
OFF
OFF
0,9
(b)
OFF
ON
ON
1,62
(c)
ON
OFF
ON
1,8
(d)
ON
ON
OFF
0,9
(e)
ON
ON
ON
2
(a) C’è solo R4 = 100Ω quindi, per la legge di Ohm,
I=
∆V
90
=
= 0, 9A
R
100
(b) R2 ed R3 sono in serie ⇒ R2,3 = R2 + R3 = 75 + 50 = 125Ω
R2,3 ed R4 sono in parallelo ⇒ Re =
R2,3 R4
125 · 100
12500
=
=
= 55, 6Ω
R2,3 + R4
125 + 100
225
quindi, per la legge di Ohm, I =
90
∆V
=
= 1, 62A
R
55, 6
(c) R1 ed R3 sono in serie ⇒ R1,3 = R1 + R3 = 50 + 50 = 100Ω
R1,3 ed R4 sono in parallelo ⇒ Re =
R1,3 R4
1002
=
= 50Ω
R1,3 + R4
2 · 100
quindi, per la legge di Ohm, I =
∆V
90
=
= 1, 8A
R
50
(d) In questo caso, come nel caso (a), l’unica resistenza effettiva è R4 , quindi I = 0, 9A .
7
(e)
R1 ed R2 sono in parallelo ⇒ R1,2 =
R1 R2
75 · 50
3750
=
=
= 30Ω
R1 + R2
75 + 50
125
R1,2 ed R3 sono in serie ⇒ R1,2,3 = R1,2 + R3 = 30 + 50 = 80Ω
R1,2,3 ed R4 sono in parallelo ⇒ Re =
R1,2,3 R4
80 · 100
8000
=
=
= 44, 4Ω
R1,2,3 + R4
80 + 100
180
quindi, per la legge di Ohm, I =
∆V
90
=
= 2A
R
44, 4
Problema (p.484 n.8).
dati
richieste
R1 = 60Ω
I = 1, 2A
∆V = 24V
R
circuito
Soluzione.
Legge di Ohm: ∆V = Re I ⇒ Re =
24
∆V
=
= 20Ω
I
1, 2
1
1
1
1
1
1
=
+
⇒
=
+
⇒
Re
R1 R
20
60 R
1
1
3−1
2
1
1
=
−
=
=
=
⇒ R = 30Ω
⇒
R
20 60
60
60
30
R1 ed R in parallelo ⇒
fine ,
8