AB - Matematicamente

Liceo classico, classe IV, dicembre 2009
Nome … … … … … … … … … … … … … … … … … … … classe … … … data … … … …
1. Dati gli insiemi A={2,3,4,5,6}, B={1,3,6,9}, C={2,4,6,8} determina
B − A , A ∪ B ∪ C , A ∩ B ∩ C , ( A ∪ B) ∩ C .
2. Dati gli insiemi
A∩ B , A∪ B , A∩C , A− B,
A = { x / x ∈ `, x multiplo di 5} , B = { x / x ∈ `, x multiplo di 2} , elenca alcuni degli
elementi di A e alcuni degli elementi di B. Esprimi mediante proprietà caratteristica A ∪ B , A ∩ B ,
A − B , B − A , C` B .
3. A quale operazione corrisponde l’insieme C = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} ? Motiva la risposta.
[A] A ∪ B
[B] A ∩ B
[C] A − B
[D] B − A
[E] C` B .
4. In un condominio di 24 famiglie, 12 hanno un cane, 10 hanno un gatto, 8 hanno sia un cane sia un
gatto. Quante famiglie non hanno né un cane né un gatto? Motiva la risposta con un diagramma di
Eulero-Venn.
5. Un istituto per lo studio delle lingue inglese, tedesco e francese è frequentato da 130 studenti, di cui
58 studiano solo l’inglese, 34 studiano l’inglese e il tedesco, 20 l’inglese e il francese, 2 studiano
solo il tedesco e nessuno studia sia il tedesco sia il francese. Rappresenta la situazione con un
diagramma di Eulero-Venn e determina quanti studenti frequentano il corso di francese.
6. Date le proposizioni:
p: “10 èmultiplo di 5”;
stabilisci il valore di verità di
p∨q,
q: “10 è multiplo di 4”;
q∧r ,
p,
p→r,
r: “10 è numero primo”
r→q
7. Determina con una tavola di verità il valore di verità della seguente proposizione composta
(q → p) ∧ ( p ∨ q)
8. Scrivi in simboli la frase “Se Luca non studia o studia male non sarà promosso”.
p = ”Luca studia”;
q = “Luca studia male”;
r = ”Luca sarà promosso”
9. Dai la definizione di angolo.
10. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A e sia P un punto qualsiasi della bisettrice dell’angolo al
vertice. Dimostra che il triangolo PBC è isoscele. Ricorda che un triangolo si dice isoscele se ha due
lati congruenti.
Svolgimento
1. Dati gli insiemi A={2,3,4,5,6}, B={1,3,6,9}, C={2,4,6,8}
A ∩ B = {3, 6}
A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6,9}
A ∩ C = {2, 4, 6}
A − B = {2, 4,5}
B − A = {1,9}
A ∪ B ∪ C = {1, 2,3, 4,5, 6,8,9}
A ∩ B ∩ C = {6}
( A ∪ B ) ∩ C = {1, 2,3, 4,5, 6,9} ∩ C = {2, 4, 6} .
2. Dati gli insiemi
A = { x / x ∈ `, x multiplo di 5} , B = { x / x ∈ `, x multiplo di 2} , elenca alcuni degli
elementi di A e alcuni degli elementi di B. Esprimi mediante proprietà caratteristica A ∪ B , A ∩ B ,
A − B , B − A , C` B .
A = { x / x ∈ `, x multiplo di 5} = {5,10,15, 20,...}
B = { x / x ∈ `, x multiplo di 2} = {2, 4, 6,8,...}
A ∪ B = { x / x ∈ `, x è multiplo di 5 o multiplo di 2}
A ∩ B = { x / x ∈ `, x è multiplo di 10}
A − B = { x / x ∈ `, x termina con 5}
B − A = { x / x ∈ `, x è pari ma non termina con 0}
C` B = { x / x ∈ `, x è dispari}
3. A quale operazione corrisponde l’insieme C = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} ? Motiva la risposta.
[A] A ∪ B
[B] A ∩ B
A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
[C] A − B
[D] B − A
[E] C` B .
4. In un condominio di 24 famiglie, 12 hanno un cane, 10 hanno un gatto, 8 hanno sia un cane sia un
gatto. Quante famiglie non hanno né un cane né un gatto? Motiva la risposta con un diagramma di
Eulero-Venn.
F
C
G
4
8
2
F insieme delle 24 famiglie
C insieme delle famiglie che hanno un cane
G insieme delle famiglie che hanno un gatto
24-4-8-2 = 10 famiglie che non hanno né
cane né gatto
F − (C ∪ G )
5. Un istituto per lo studio delle lingue inglese, tedesco e francese è frequentato da 130 studenti, di cui
58 studiano solo l’inglese, 34 studiano l’inglese e il tedesco, 20 l’inglese e il francese, 2 studiano
solo il tedesco e nessuno studia sia il tedesco sia il francese. Rappresenta la situazione con un
diagramma di Eulero-Venn e determina quanti studenti frequentano il corso di francese.
U
F
I
20
58
T
34
130
U insieme universo degli studenti iscritti
F iscritti al corso di francese
I iscritti al corso di inglese
T iscritti al corso di tedesco
2
Gli iscritti al solo corso di francese sono
130-20-58-34-2=16
6. Date le proposizioni:
p: “10 è multiplo di 5”;
q: “10 è multiplo di 4”;
r: “10 è numero primo”
stabilisci il valore di verità di
p∨q,
q∧r ,
p,
p→r,
r→q
p è vera
q è falsa
r è falsa
p ∨ q è vera perché è una delle due è vera
q ∧ r è falsa perché sono entrambe false
p è falsa perché p è vera
p → r da premessa vera segue una conclusione falsa, l’implicazione è falsa
r → q poiché la premessa è falsa, l’implicazione è sempre vera.
7. Determina con una tavola di verità il valore di verità della seguente proposizione composta
p
q
V
V
F
F
V F
F V
V F
F V
q
q→ p
p∨q
V
V
V
F
V
V
F
V
(q → p) ∧ ( p ∨ q)
(q → p) ∧ ( p ∨ q)
V
V
F
F
8. Scrivi in simboli la frase “Se Luca non studia o studia male non sarà promosso”.
(
p = ”Luca studia”;
p∨q →r
)
q = “Luca studia male”;
r = ”Luca sarà promosso”
9. Dai la definizione di angolo.
Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano resta diviso da due semirette aventi l’origine
in comune.
10. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A e sia P un punto qualsiasi della bisettrice dell’angolo al
vertice. Dimostra che il triangolo PBC è isoscele. Ricorda che un triangolo si dice isoscele se ha due
lati congruenti.
Ipotesi
AB ≅ AC
A
Bl
AK ≅ C l
AK
Tesi
BP ≅ PC
Dimostrazione
I triangoli ABP e ACP hanno:
P
AB ≅ AC per ipotesi;
l
m
B AP ≅ C AP per ipotesi;
AP in comune.
Per il primo criterio di congruenza ABP ≅ ACP .
In particolare BP ≅ PC .
B
K
C