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Percorsi Abilitanti Speciali – A.A. 2013/2014
AUTOMAZIONE E CONTROLLO DI DISPOSITIVI BASATI SU MICROCONTROLLORE
classe abilitazione C320 – LABORATORIO MECCANICO – TECNOLOGICO
Appunti dal corso di
Tecnologia dei Sistemi di Controllo
Algebra booleana
Tratti dal sito:
http://users.unimi.it/metis/METIS-3MKB/courseware/algebra_booleana
a cura di:
Ing. Filippo D’Ippolito
Appunti tratti dal sito: http://users.unimi.it/metis/METIS-3MKB/courseware/algebra_booleana Pag. 2
SOMMARIO
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI CON BASE DIVERSA DA 10 ........................................... 3
CONVERSIONI DA DECIMALE A BINARIO .......................................................................... 3
Algebra Booleana ........................................................................................................................... 5
Introduzione .............................................................................................................................. 5
Proprietà dell'algebra booleana ................................................................................................ 6
P.2 COMMUTATIVA .............................................................................................................. 6
P.3 ASSOCIATIVA................................................................................................................ 6
P.4 ASSORBIMENTO (casi 1 e 2) ......................................................................................... 7
P.5 DISTRIBUTIVA .............................................................................................................. 8
P.6 COMPLEMENTARIETA' .................................................................................................. 9
TABELLA DELLA VERITA' ..................................................................................................... 10
TERMINI MASSIMI E TERMINI MINIMI ...................................................................... 10
TEOREMA FONDAMENTALE ............................................................................................. 11
TEOREMA DI DE MORGAN ................................................................................................ 12
MISURA DELLA COMPLESSITA' DELLE FUNZIONI LOGICHE ..................................... 12
Semplificazione di una funzione logica .................................................................................... 13
Metodo di Karnaugh ............................................................................................................. 15
CIRCUITI LOGICI ...................................................................................................................... 20
SIMBOLISMO DI RAPPRESENTAZIONE DEI CIRCUITI LOGICI .................................... 20
Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA AND ............................................................. 20
Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA OR ................................................................ 21
Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NOT ............................................................. 21
Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NAND ........................................................... 22
Rappresentazione circuiti logici: PORTA NOR.................................................................... 22
Trasformazioni ........................................................................................................................ 23
TRASFORMAZIONE DEL NAND ....................................................................................... 23
TRASFORMAZIONE DEL NOR .......................................................................................... 24
TRASFORMAZIONE AND in OR e viceversa ..................................................................... 24
Sviluppo porte logiche ............................................................................................................. 25
SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI CON PORTE NAND .................. 25
SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI CON PORTE NOR ..................... 26
PORTA DI OR ESCLUSIVO - Exclusive OR o EX-OR ............................................................ 26
PROPRIETA' LOGICHE DI EX-OR ..................................................................................... 27
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RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI CON BASE DIVERSA
DA 10
L'aritmetica binaria esprime i numeri come potenze di 2, alla stessa maniera come
l'aritmetica decimale esprime i numeri come potenze di 10. Ad esempio, il numero
millequattrocentoventicinque scritto nella notazione decimale 1425 è in una forma più
concisa al posto dell'espressione:
1425 = 1 x 103 + 4 x 102 + 2 x 101 + 5 x 100
Nella notazione decimale ogni colonna può avere una delle dieci cifre da 0 a 9: la cifra
della prima colonna da destra è il coefficiente di dieci alla zero, la cifra della seconda
colonna è il coefficiente di dieci alla prima potenza e così via: cioè la notazione
numerica è fatta con una codificazione posizionale per colonne.
Nell'aritmetica binaria ogni colonna può disporre delle sole due cifre 0 e 1, che
vengono usate come coefficienti delle diverse potenze di 2. Così il numero precedente
nella notazione binaria si scrive:
10110010001
ed equivale ad una rappresentazione concisa della seguente espressione:
1x210 + 0x29 + 1x28 + 1x27 + 0x26 + 0x25 1x24 + 0x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 =
=1024+0+256+128+0+0+16+0+0+0+1 = 1425
Il sistema binario copre ovviamente anche i numeri minori dell'unità ed essi vanno
scritti a destra della virgola. Ad esempio il numero 1011, 1011 sta a significare:
1x23 + 0x22 + 1x21 +1x20 +
8+0+2+1+0,5+0+0,125+0,0625=11,6875.
1x2-1
+
0x2-2
+
1x2-3
+
1x2-4
=
CONVERSIONI DA DECIMALE A BINARIO
Ci sono due metodi per convertire un numero decimale nella sua rappresentazione
equivalente nel sistema binario.
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Numero decimale espresso come somma di potenze di 2
4510 = 32 + 8 + 4 +1 = 25 + 0 + 23 + 22 + 0 + 20 = 1 0 1 1 0 12
7610 = 64 + 8 + 4 = 26 + 0 + 0 +23 + 22 + 0 + 0 = 1 0 0 1 1 0 02
Numero decimale calcolato per divisione ripetuta
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Algebra Booleana
Introduzione
In un sistema elettronico digitale si usano segnali con valori discreti ed in generale si
scelgono i segnali binari con due soli possibili valori, simbolicamente indicati 0 e 1.
Questa scelta è anche suggerita dalla semplicità e dalla sicurezza dei circuiti che
adottano solamente elementi bistabili e che devono discriminare solo fra due stati
elettrici fra loro molto diversi. Le operazioni su variabili binarie devono dare come
risultato ancora variabili binarie. L'algebra che definisce queste operazioni è detta
algebra binaria o a due valori.Essa si applica a tutti quei casi in cui si hanno elementi
capaci di assumere soltanto due soluzioni antitetiche con l'esclusione di qualunque
altra, e che in qualsiasi istante si trovano in una o nell'altra delle condizioni
considerate. Questo tipo di algebra è stata sviluppata da George Boole, che si provò
ad analizzare le proposizione logiche partendo dal loro contenuto vero o falso. La sua
trattazione è nota anche come analisi matematica della logica. Da questa
denominazione è derivato il termine di circuiti logici ai circuiti che eseguono
operazioni su segnali binari. L'algebra della logica può essere costruita considerando
le relazioni di appartenenza o di non appartenenza fra classi di oggetti. La classe di
tutti gli oggetti che vengono presi in considerazione, senza preoccuparsi delle loro
proprietà o dei loro caratteri è detta classe universale. Scegliamo la classe A
costituita da tutti gli elementi che hanno una determinata qualità e la classe B da
elementi con altra qualità, diversa dalla prima. Potremo considerare una nuova classe
costituita da quegli elementi della classe universale, che posseggono almeno una di
quelle qualità, cioè che appartengono ad almeno una delle classi A e B. La nuova classe
si chiama Unione o somma logica di A e B e si indica con
A+B
Potremo invece costituire la classe degli elementi che posseggono entrambe le qualità
richieste, cioè che appartengono ad entrambe le classi. La nuova classe si chiama
intersezione o prodotto logico e si indica con
A.B
Il considerare una classe A di elementi con una determinata proprietà implica
necessariamente il considerare tutti gli elementi della classe universale che non
posseggono quella proprietà. Si forma così una seconda classe indicata con A e che si
dice complementare di A
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Proprietà dell'algebra booleana
P.2 COMMUTATIVA
Il prodotto (il prodotto logico fra N variabili booleane è uguale a 1 se e solo se TUTTE
le variabili che lo compongono hanno il valore 1) e la somma logica (la somma logica fra
N variabili booleane è uguale a 1 se ALMENO UNA delle variabili che la compongono
vale 1) sono operazioni che godono della proprietà commutativa. Ciò significa che il
prodotto e la somma logica di due variabili booleane non cambia se si inverte l'ordine
dei termini.
A*B = BA
A+B=B+A
La connessione tra ingresso E e uscita U non è condizionata dalla posizione reciproca
dei due interruttori.
P.3 ASSOCIATIVA
Il prodotto e la somma logica godono della proprietà associativa, che stabilisce che il
risultato dell'operazione non cambia qualunque sia l'ordine con cui l'operazione viene
applicata ai termini consecutivi.
(A.B) . C = A . (B.C)
(A+B) + C = A + (B+C)
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La connessione tra ingresso E e uscita U non è condizionata da come si raggruppano
tra loro gli interruttori.
P.4 ASSORBIMENTO
(casi 1 e 2)
Un modo per definire la proprietà di assorbimento è il seguente:
la somma di una variabile booleana A con il prodotto tra la stessa variabile e
un'altra (ad es. B), è uguale alla variabile A.
A + (A.B) = A
(Raccogliendo la prima parte a fattor comune si ha: A. (1+B) poichè la somma di una
variabile booleana con 1 dà 1 si avrà: A.1 poichè il prodotto di una variabile booleana
con 1 è uguale alla variabile stessa si avrà: A)
il prodotto di una variabile booelana A con la somma della stessa variabile e
un'altra (ad es. B), è uguale alla variabile A.
A.(A+B) = A
(Si può dimostrare caso per caso:
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caso 1 A=0 B=0 si ha: 0.(0+0)=0; 0.0=0; 0=0
caso 2: A=0 B=1 si ha: 0.(0+1)=0 0.1=0; 0=0
caso3: A=1 B=0 si ha: 1.(1+0)=1 1.1=1; 1=1
caso 4: A=1 B=1 si ha: 1.(1+1)=1 1.1=1; 1=1
oppure più semplicemente riconducendo A(A+B) ad A.A+A.B=A+AB cioè il caso
precedente)
P.5 DISTRIBUTIVA
Le operazioni di somma e prodotto logico tra variabili booleane godono della proprietà
distributiva, che consente di raccogliere in un unico interruttore la variabile che si
ripete comparendo come fattore comune a due addendi o come addendo comune a due
fattori.
A.B + A.C = A.(B+C)
(A+B).(A+C) = A + (B.C)
(Svolgiamo la prima parte: A.A + A.C + B.A + B.C =A +A.C+B.A+B.C= raccogliamo A tra
i primi due termini A.(1+C)+A.B+B.C= A.1 +A.B + B.C +A.B+B.C= raccogliamo A A.(1+B)
+ B.C = A.1 + B.C = A + (B.C )
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P.6 COMPLEMENTARIETA'
La proprietà di complementarietà stabilisce che:
1. la somma logica di una variabile booleana con il suo complemento è uguale a 1
2. il prodotto logico di una variabile booleana con il suo complemento è uguale a 0.
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TABELLA DELLA VERITA'
Una funzione binaria F di variabili binarie può essere definita da una tabella che, in
corrispondenza dei valori assunti dalla funzione, indichi i valori 0 o 1 che assumono le
sue variabili. Questa tabella prende il nome di TABELLA DELLA VERITA'. Si noti che
in una tabella della verità ad una funzione con N variabili binarie corrispondono 2
configurazioni delle sue variabili considerate in forma vera o complementata.
TERMINI MASSIMI E TERMINI MINIMI
Si intende come termine minimo di n variabili un prodotto logico in cui tutte le n
variabili compaiono nella loro forma vera o complementata.
Si intende come termine massimo di n variabili una somma logica in cui tutte le n
variabili compaiono nella loro forma vera o complementata.
I termini minimi sono anche chiamati MINTERMS, mentre i termini massimi sono
anche chiamati MAXTERMS.
Nel caso di due variabili, i 4 termini minimi sono:
A . B, A . B , A . B, A . B ,
e i 4 termini massimi sono:
A + B, A + B , A +B, A + B
Nel caso di tre variabili gli 8 termini minimi sono:
A.B.C, A.B. C , A. B .C, A. B . C , A .B.C, A .B. C , A . B .C, A . B . C
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e gli 8 termini massimi sono:
A+B+C, A+B+ C , A+ B +C, A+ B + C , A +B+C, A +B+ C , A + B +C, A + B + C .
TEOREMA FONDAMENTALE
Qualsiasi funzione logica di n variabili può essere espressa come somma logica di tutti
i termini minimi (minterms) delle n variabili, i quali risultino eguali a 1, quando la
funzione d'uscita assume il valore 1; oppure può essere espressa come prodotto logico
di tutti i termini massimi (maxterms) i quali risultino eguali a 0, quando la funzione di
uscita assuma valore 0.
Si intende come termine minimo di n variabili il prodotto logico in cui tutte tutte le n
variabili compaiono nella loro forma vera o complementata. Esempio:
Nel caso di due variabili A e B, tutti i possibili termini minimi sono dati dai quattro
prodotti:
A . B, A . B , A . B, A . B .
ed analogamente tutti i possibili termini massimi sono dati dalle somme:
A + B, A + B , A +B, A + B
Consideriamo allora la precedente tabella della verità della funzione F = A + B ,
riscritta tenendo conto anche dei valori di A e B .
A
B
A
B
F
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
Secondo il teorema la funzione nei suoi termini minimi può essere così espressa:
F = A . B + A. B + A.B
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Applicando al secondo addendo la proprietà P1 (in modo da avere F = A . B + A. B +
A. B + A.B) e quindi le proprietà P5 e P6, si riconduce alla forma già scritta che risulta
direttamente dalla stessa tabella qualora la si fosse espressa subito in forma di
termini massimi:
F=A+ B
Questo teorema permette dunque di ricavare una funzione per qualsiasi rete: la
forma, a cui si perviene, è in genere ridondante e va perciò ulteriormente
semplificata.
Questo teorema stabilisce pure, come logico corollario, che tutte le funzioni, anche le
più complicate dell'algebra Booleana, possono essere costruite a partire dalle sole
operazioni AND, OR, NOT.
TEOREMA DI DE MORGAN
Data una funzione binaria F di più variabili A, B, C ecc. espressa nell'algebra di Boole,
vale la seguente identità:
dove nella funzione al secondo membro si è sistematicamente sostituita ogni variabile
con il suo complemento, e si sono scambiati fra loro i simboli delle operazioni di somma
e di prodotto.
MISURA DELLA COMPLESSITA' DELLE FUNZIONI LOGICHE
In generale si conviene di misurare la complessità di una funzione logica calcolando il
suo costo.
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Esso si misura sommando il numero totale di lettere e di simboli, anche se ripetuti,
che compaiono nella funzione.
Le due figure sotto sono un esempio di due funzioni booleane logicamente equivalenti
ma di costo diverso
[La funzione in figura 1 ha costo 7 (4 lettere e 3 simboli). La stessa funzione
semplificata con la proprietà distributiva ha costo 5 (3 lettere e 2 simboli) come si
vede in figura 2.]
Semplificazione di una funzione logica
Applicando i precedenti teoremi e proprietà, si possono seguire dei procedimenti
sistematici per semplificare la funzioni logiche. Ad esempio nelle equazioni che
esprimono proprietà Pi sopracitate, i termini a secondo membro sono o equivalenti o
più semplici di quelli a primo membro; perciò se in una funzione compare un termine
eguale al primo membro delle Pi , si può ottenere una semplificazione sostituendo col
termine a secondo membro.
Consideriamo l'esempio trattato da Shannon per lo schema in Figura 1
La funzione di trasmissione è data da:
F = A . [ A . ( B + C · D ) + A . ( B + D · C )]
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se ad essa applichiamo le proprietà P5, P6, P1 ricaviamo la funzione:
F=A.(B+C.D)
caratteristica del circuito molto più semplice di Figura 2.
Un altro esempio può essere dato con la funzione:
F = A·C + A·D + B·C + B·D
che, applicando due volte la proprietà P5, si semplifica facilmente come segue:
F = A · (C + D) + B ·( C + D) = (A + B) · (C + D)
Il procedimento di semplificazione a tentativi (cut-and-try-method) può essere utile
per funzioni elementari e negli stadi preliminari di semplificazione, ma non permette
di sapere se l'espressione finale è effettivamente la più semplice ottenibile. Si sono
sviluppati perciò diversi procedimenti sistematici che permettono di raggiungere
questo risultato. Essi sono noti col nome di metodo di Quine, metodo di Harvard,
metodo di Veitch e metodo di Karnaugh.
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Metodo di Karnaugh
Il metodo di Karnaugh prende a referimento una funzione logica espressa con la
tabella della verità rappresentandola sotto forma di mappa a matrice (mappa K), in cui
ciascuna casella rappresenta una riga della tabella della verità. La mappa K permette
perciò di rappresentare facilmente ogni funzione logica partendo da somme di
mintermini o da prodotti di maxtermini. Per seguire il metodo K di semplificazione
della funzione automaticamente occorre che la disposizione della mappa sia effettuata
in modo che tra una casella e l'adiacente sia una e una sola variabile a cambiare di
stato (0  1 oppure 1 0), come è mostrato nelle mappe che seguono:
Mappa K per tre variabili
Dalla tabella della verità: F = A . B .C + A. B .C + ABC
Dalla mappa di Karnaugh: F = A .C + AC.
Mappa K per quattro variabili
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Dalla tabella della verità:
F = A . B . C . D + A .B. C .D + A . B. C. D + A . B . C .D + A B C D + A B C D
Dalla mappa di Karnaugh:
F = A . C .D + B. D
Nella presentazione matriciale della funzione F occorre tener presente che:
l'ultima colonna è considerata adiacente alla prima colonna;
l'ultima riga adiacente alla prima riga
in modo tale che si possa applicare anche alle loro celle la proprietà distributiva delle
operazioni logiche, cioè:
F.B + F. B = F
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Il principio generale per la semplificazione con mappe K è che ogni coppia di
mintermini adiacenti può essere ridotta a un solo termine che presenta una variabile in
meno.
Graficamente ciò si visualizza cerchiando le caselle adiacenti nello stato 1. Questo
principio generale può essere applicato in cascata sicché in 4 caselle adiacenti nello
stato 1, la somma di 4 termini si riconduce a un solo termine in cui scompaiono le due
variabili che commutano nel riquadro cerchiato. Nello stesso modo la somma di 8
caselle adiacenti nello stato 1 si riduce a u solo termine in cui scompaiono tre variabili.
Si noti negli esempi che seguono che la disposizione adottata per le caselle fa
comparire come adiacenti anche l'ultima casella con la prima di una stessa riga o di una
stessa colonna.
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Esempi di ulteriori semplificazioni si hanno anche quando le caselle nello stato 1 sulla
mappa K non sono pari ad una potenza di 2 ma risultano comunque adiacenti.
Quando ad esempio sono adiacenti 5 caselle, l'1 della casella che ha un solo lato
adiacente ad un altro 1 può essere cerchiato con la casella adiacente applicando in
questo modo anche la proprietà di idempotenza. (La proprietà di idempotenza
stabilisce che il prodotto o la somma logica di una variabile booleana con se' stessa è
uguale al valore della variabile A.A=A; A+A=A).
Allo stesso modo, quando sono adiacenti 6 caselle, come negli esempi che seguono, la
somma di 6 termini si riduce ad una somma di due termini.
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CIRCUITI LOGICI
SIMBOLISMO DI RAPPRESENTAZIONE DEI CIRCUITI LOGICI
I circuiti che compiono le operazioni dell'algebra della logica vengono designati come
circuti di porta logica (logic gate).
Le porte logiche forniscono in uscita un segnale binario, il cui valore è determinato
dallo stao delle sue variabili binarie in ingresso e dal tipo di operazione logica
compiuta.
Esiste un tipo di porta per ogni operazione logica.
Le porte logiche di base sono tre: AND, OR, NOT, da cui si possono sviluppare le
diverse funzioni logiche.
SIMBOLI DELLE PORTE LOGICHE
Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA AND
La porta AND esegue l'operazione di prodotto logico fra due o più ingressi binari (il
prodotto logico fra N variabili booleane è uguale a 1 se e solo se TUTTE le variabili
che lo compongono hanno il valore 1).
Nel caso di due sole variabili di ingresso il simbolo e la tabella della verità per tale
porta sono mostrati in figura.
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Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA OR
La porta OR esegue l'operazione di somma logica fra due o più ingressi binari(la
somma logica fra N variabili booleane è uguale a 1 se ALMENO UNA delle variabili che
la compongono vale 1) .
Nel caso di due sole variabili di ingresso il simbolo e la tabella della verità per tale
porta sono mostrati in figura.
Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NOT
La porta NOT capace di ricevere un solo ingresso esegue l'operazione di invertire il
valore di questa variabile e darle in uscita il valore complementato o negato.
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Il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in figura.
Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NAND
La porta NAND è costituita da un AND a due o più ingressi la cui uscita va
all'ingresso di un NOT e da quindi come risultato la negazione dell'AND, viene perciò
detta NAND. La porta NAND esegue il complemento (il complemento di una variabile
booleana è uguale a 1 se la variabile vale 0 e viceversa) del prodotto logico fra due o
più variabili binarie. Il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in
figura.
Rappresentazione circuiti logici: PORTA NOR
La porta NOR è costituita da un OR a due o più ingressi la cui uscita va all'ingresso
di un NOT ed è quindi il risultato di una negazione del OR viene detta perciò NOR.
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La porta NOR esegue il complemento della somma logica fra due o più variabili
binarie.
Il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in figura.
Trasformazioni
TRASFORMAZIONE DEL NAND
Dal teorema di De Morgan deriva che il circuito di NAND definito come il
complemento del circuito di AND:
risulta uguale a:
.
Tabella del NAND
Secondo il teorema fondamentale possiamo scrivere:
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Con i simboli logici si può scrivere:
che è quanto dice il teorema di De Morgan.
TRASFORMAZIONE DEL NOR
Dal teorema di De Morgan deriva che il circuito di NOR definito come il complemento
del circuito di OR:.
risulta uguale a:
.
La tabella di NOR
Con il teorema fondamentale, possiamo scrivere:
Con i simboli logici si può scrivere:
Che è quanto dice il teorema di De Morgan.
TRASFORMAZIONE AND in OR e viceversa
Tenendo presente che:
si ha:
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se si nega anche l'uscita dell'OR si ha infine:
cioè il circuito di AND è equivalente ad un circuito di OR in cui si invertano tutti gli
ingressi e l'uscita.
Così ricordando che :
si ha:
se si nega anche l'uscita dell'AND si ha:
Cioè: il circuito di OR è equivalente ad un circuito di AND in cui si invertano tutti gli
ingressi e l'uscita.
Risulta allora chiaro che non è necessario usare tutte e tre le operazioni logiche
elementari AND, OR, NOT perché:
1. l'operazione di AND si può ottenere da un OR collegandovi in ingresso e uscita
dei NOT;
2. così pure si può ottenere un OR da un AND.
Ne deriva che qualsiasi funzione logica può essere sviluppata con porte logiche tutte
NOR, oppure tutte NAND.
Sviluppo porte logiche
SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI
CON PORTE NAND
Le porte NAND possono essere usate per realizzare qualsiasi funzione booleana
sviluppandole con soli moduli NAND tutti uguali.
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SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI CON PORTE NOR
Le porte NOR possono essere usate per realizzare qualsiasi espressione booleana.
PORTA DI OR ESCLUSIVO - Exclusive OR o EX-OR
La tabella di verità della funzione =R esclusivo è data da:
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Appunti tratti dal sito: http://users.unimi.it/metis/METIS-3MKB/courseware/algebra_booleana Pag. 27
Tabella della verità porta EX-OR
Dal teorema fondamentale si ha, sviluppando con termini minimi, Z= A B+A B cioè:
oppure: sviluppando con termini massimi Z=(A+B)( A + B ) cioè:
Infine il simbolo per la funzione EX-OR è il seguente:
Simbolo porta EX-OR
PROPRIETA' LOGICHE DI EX-OR
Il circuito EX-OR è commutativo ed anche associativo. Possiamo perciò scrivere senza
parentesi l'EX-OR per più variabili, come ad esempio:
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Appunti tratti dal sito: http://users.unimi.it/metis/METIS-3MKB/courseware/algebra_booleana Pag. 28
Le famiglie di EX-OR disponibili commercialmente hanno in genere solo due ingressi,
sicché per ottenere più variabili in EX-OR si usano in cascata le porte EX-OR a due
ingressi connesse ad esempio come segue:
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