Parte II – Le funzioni di una variabile

Parte II – Le
funzioni di una
variabile
Clelia Cascella
Il concetto di funzione reale di una variabile reale – Il grafico
di una funzione – Richiami al piano cartesiano e al prodotto
cartesiano per l’individuazione delle coordinate di un punto –
Tecniche per disegnare il grafico di una funzione – Esercizi –
Anticipazioni sulla prossima lezione.
10/11/2014
PARTE II – Le funzioni di una variabile
Il concetto di funzione reale di una variabile reale.
Una funzione (tra due variabili) è una regola di associazione che fa corrispondere a una variabile una ed una
sola altra variabile. Con notazioni insiemistica, diremo quindi che, dati un insieme X ed un insieme Y, una
certa funzione f associa ad un elemento x di X uno ed uno solo elemento y di Y:
x, x '  X e y, y ' Y
Una funzione f da X in Y si scrive quindi
f : X Y
Figura 1 - Rappresentazione grafica di una funzione f di A in B con i diagrammi di Eulero-Venn.
Una funzione reale di una variabile reale è quindi tale quando
X
e
Y
e quindi
f:

Tanto per provare a chiarirci un pò le idee, vediamo esempi di funzione reale di variabile reale.
2
-
Funzione identità (cioè una funzione che associa un elemento di un certo insieme a se stesso).
Formalmente questa funzione si presenta nel seguente modo: f  x  : x
Quindi, banalmente, avremo ad esempio:
f 1  1
-
Prendiamo ora ad esempio la funzione
f  x   1x  4
il cui valore cambia, chiaramente, in funzione del valore attribuito all’incognita x. Per cui, con x = 1,
x = 2 e x = 3, avremo, ad esempio:
f 1  1(1)  4  5
f  2   1(2)  4  6
f  3  1(3)  4  7
-
Del pari, se ad esempio avessimo la funzione f  x  
x2
, avremo per x = 1, x = 2 e x = 3
x 1
12
1
  0,5
11 2
22
4
f  2 

2 1 3
32
6 3
f  3 
 
3 1 4 2
f 1 
Il grafico di una funzione
Il grafico di una funzione reale di una variabile reale, che abbiamo detto formalizzabile nel seguente modo

f:
o, equivalentemente
f :x
y
è il luogo geometrico dei punti del piano per cui, ad ogni ascissa x appartenente all'insieme di definizione
della funzione, detto anche dominio della funzione si associa l'ordinata y=f(x). L'unione di tutti i punti (x,y)
del piano individuati dalla regola y=f(x) costituisce il grafico della funzione f.
Ciascun punto di coordinate (x,y) è, come abbiamo visto nella precedente lezione, il risultato di un
prodotto cartesiano. Come abbiamo detto in quell’occasione, il prodotto cartesiano si fonda sul concetto di
corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y, cioè sulla relazione binaria tale per cui a ogni elemento x
dell’insieme X corrisponde uno ed un solo elemento y dell’insieme Y (fig. 3), e viceversa.
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Figura 2 - La corrispondenza biunivoca.
Quindi, se consideriamo due insiemi (ovviamente, non vuoti) X e Y, definiamo prodotto cartesiano
X per Y  X  Y  , l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (x,y) con x∈X e y∈Y.
Questa operazione viene formalizzata adoperando la seguente notazione:
X  Y   x, y  | x  X e y  Y 
che si legge “X per Y” o, equivalentemente, X cartesiano Y ed in cui il primo elemento della
coppia (x,y) è detto prima coordinata mentre il secondo è detto seconda coordinata. Stabilire quale sia la
prima e la seconda coordinata è un elemento di primaria importanza perché
 x, y    y, x 
L’ordine in cui si presentano le coordinate non è infatti privo di significato, anzi esso indica la
direzione della relazione. Quindi, le coppie (x,y) e (y,x) non sono la stessa coppia anche se tali elementi sono
parti degli stessi insiemi X ed Y.
Facciamo un esempio pratico. Se io fossi il manager di una certa azienda e desiderassi comprendere
in che misura il volume delle vendite (y) è influenzato dall’ammontare di risorse investite in pubblicità (x),
sto partendo dall’ipotesi che esista una relazione (cioè una funzione) tra la variabile y che definisco
dipendente perché ipotizzo sia influenzata da x, e quindi che
f :x
y
Con questo esempio è forse più immediato comprendere che la notazione precedente, evidentemente,
non è equivalente a
f :y
x
in cui la direzione della relazione è invertita e che, quindi, ipotizza sia il volume delle vendite ad
influenzare l’investimento pubblicitario.
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Graficamente, ogni prodotto cartesiano individua quindi un punto sul piano cartesiano, appunto,
come mostrato in figura 4.
Figura 3 - Piano cartesiano.
Consideriamo un piano euclideo e fissiamo in esso un punto O, detto origine, in cui due assi, quello
delle ascisse (x) e quello delle ordinate (y), si intersecano perpendicolarmente. Ognuna delle parti in cui resta
diviso il piano si chiama quadrante. Nel primo quadrante, entrambe le coordinate sono positive; nel
secondo, la prima coordinata (x) è negativa e la seconda (y) è positiva; nel terzo, sono entrambe negative; e,
nel quarto, la prima (x) è positiva e la seconda (y) è negativa. Se le unità di misura fissate su entrambi gli assi
sono uguali (centimetri, etti, litri, e così via ...) si dirà che il riferimento è monometrico.
Si dice che si è fissato un riferimento cartesiano ortogonale. Se le unità di misura fissate su r e s
sono uguali si dirà che il riferimento è monometrico.
Ad ogni punto P individuato sul piano cartesiano corrisponde una ed una sola coppia (x,y) che,
quindi, univocamente, individua uno ed un solo punto (che è quindi il risultato di un prodotto cartesiano).
Come si disegna il grafico di una funzione.
Per disegnare il grafico di una funzione esistono diversi metodi. Il più semplice consiste, data una
certa funzione, nel sostituire alla variabile dipendente due o più valori e calcolare, poi, il valore della
variabile indipendente.
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Facciamo un esempio pratico. Si disegni il grafico della seguente funzione y  6 x  2 . Costruiamo
una semplice tabella per calcolare più facilmente il prodotto cartesiano e, quindi, per individuare le
coordinate sul piano cartesiano (tab. 1).
Tabella 1 - Prodotto cartesiano.
x
1
2
3
4
x y
y
8
14
20
26
(1, 8)
(2, 14)
(3, 20)
(4, 26)
Figura 4 - Grafico della funzione.
volume delle vendite (y)
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
investimento in pubblicità (x)
4
5
Un modo alternativo per disegnare il grafico di una funzione è quello di mettere a sistema l’equazione della
curva con una altra equazione in cui poniamo pari a zero una delle due coordiante. Prendiamo ad esempio la
funzione y  2 x  1. Fissando y = 0 e mettendo a sistema, si arriva alla seguente procedura
 y  2 x  1 0  2 x  1  x  1 2



y  0
y  0
y  0
Otteniamo, quindi, un punto P di coordinate (0,5, 0).
Parimenti, si può procedere fissando x = 0.
 y  2x 1

x  0

 y  2  0   1  y  0  1  1



x  0
x  0
In questo caso, otteniamo un punto P’ di coordinate (0, -1).
È più che agevole verificare che i due metodi sono perfettamente sostituibili (tab. 2).
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Tabella 2 - Prodotto cartesiano.
x
0,5
0
x y
y
0
-1
(0,5, 0)
(0, -1)
Rivediamo, di seguito, i calcoli che abbiamo dovuto fare per arrivare ai risultati mostrati in tabella 2.
y  2x 1
y  2  0,5   1
y  1 1  0
Equivalentemente, avremo, per x = 0, il seguente svolgimento:
y  2x 1
y  2 0 1
y  0 1
y  1
Figura 5 - Grafico della funzione.
0
0
0,2
0,4
0,6
-0,2
y
-0,4
Serie1
-0,6
Lineare (Serie1)
-0,8
-1
-1,2
x
Esercizi.
1. Si disegni il grafico della funzione y  3x  2 .
x2
2. Si disegni il grafico della funzione y 
.
x2
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Gli argomenti della prossima lezione.
-
Definizione di immagine, preimmagine, dominio e codominio
-
Le proprietà delle funzioni reali di una variabile reale
-
Funzioni elementari e loro proprietà
-
Le funzioni lineari e le funzioni quadratiche
-
Le funzioni logaritmiche e le funzioni esponenziali
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