relazione tra gli angoli esterni ed interni di un triangolo

RELAZIONE TRA GLI ANGOLI ESTERNI ED INTERNI DI UN
TRIANGOLO
Teorema: In un qualsiasi triangolo ogni angolo esterno è maggiore di un
angolo interno non adiacente ed è uguale alla somma degli angoli interni
non adiacenti. Inoltre la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo
piatto.
s
C


E




A
B
D
Ipotesi: [ABC] triangolo;
 = [CBD] = angolo esterno;  = [CAB] = angolo interno
non adiacente a ;  = [ACB] = angolo interno non adiacente a ;  = [ABC] =
angolo interno adiacente a .
Tesi:
 > ;
 > ;
 +  = ;
 +  +  =  (angolo piatto)
Costruzione:
Disegnato il generico triangolo [ABC], si prolunga il segmento [AB] e si ottiene il segmento
[BD]. In tal modo si è costruito l’angolo esterno  = [CBD] (un angolo esterno è compreso
fra un lato, [BC], di un poligono ed il prolungamento, [BD], di un lato, [AB], consecutivo al
primo lato).
Dal vertice B del triangolo si traccia una retta s ([BE]) in modo da essere parallela al lato
[AC] del triangolo. Tale retta, s, divide l’angolo esterno  in due angoli,  e , che non sono
uguali tra di loro.
Dimostrazione:
Prima parte
Si considerano i lati [AC] e [BE]. Essi sono paralleli per costruzione e sono intersecati dalla
trasversale [BC]. Sotto queste condizioni gli angoli  ed  risultano essere angoli alterni
interni. Per un teorema precedente (rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli
alterni interni uguali, angoli corrispondenti uguali), essi sono uguali:
=
Seconda parte
Si considerano sempre i lati paralleli [AC] e [BE]. Questi sono intersecati dal lato [AD] che,
pertanto, rappresenta una trasversale. Gli angoli  e , in questa costruzione, risultano essere
angoli corrispondenti. Per il teorema enunciato sopra si ha che essi sono uguali:

Terza parte
a) Per costruzione l’angolo  è maggiore di  e di , quindi, per quanto dimostrato nelle due
precedenti parti, si ha:
      ;


>
b) L’angolo esterno  verifica la seguente condizione:
+
per quanto dimostrato, si ha
+=+
c) L’angolo esterno  e l’angolo interno  sono adiacenti, quindi la loro somma è un angolo
piatto, :
+
sostituendo il valore dell’angolo  determinato nel punto b), si ha:
+++=
Le conclusioni ottenute nei punti a), b), e c) coincidono con quanto enunciato nella tesi,
pertanto il teorema è dimostrato.