RELAZIONE TRA GLI ANGOLI ESTERNI ED INTERNI DI UN
TRIANGOLO
Teorema: In un qualsiasi triangolo ogni angolo esterno è maggiore di un
angolo interno non adiacente ed è uguale alla somma degli angoli interni
non adiacenti. Inoltre la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo
piatto.
s
C
E
A
B
D
Ipotesi: [ABC] triangolo;
= [CBD] = angolo esterno; = [CAB] = angolo interno
non adiacente a ; = [ACB] = angolo interno non adiacente a ; = [ABC] =
angolo interno adiacente a .
Tesi:
> ;
> ;
+ = ;
+ + = (angolo piatto)
Costruzione:
Disegnato il generico triangolo [ABC], si prolunga il segmento [AB] e si ottiene il segmento
[BD]. In tal modo si è costruito l’angolo esterno = [CBD] (un angolo esterno è compreso
fra un lato, [BC], di un poligono ed il prolungamento, [BD], di un lato, [AB], consecutivo al
primo lato).
Dal vertice B del triangolo si traccia una retta s ([BE]) in modo da essere parallela al lato
[AC] del triangolo. Tale retta, s, divide l’angolo esterno in due angoli, e , che non sono
uguali tra di loro.
Dimostrazione:
Prima parte
Si considerano i lati [AC] e [BE]. Essi sono paralleli per costruzione e sono intersecati dalla
trasversale [BC]. Sotto queste condizioni gli angoli ed risultano essere angoli alterni
interni. Per un teorema precedente (rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli
alterni interni uguali, angoli corrispondenti uguali), essi sono uguali:
=
Seconda parte
Si considerano sempre i lati paralleli [AC] e [BE]. Questi sono intersecati dal lato [AD] che,
pertanto, rappresenta una trasversale. Gli angoli e , in questa costruzione, risultano essere
angoli corrispondenti. Per il teorema enunciato sopra si ha che essi sono uguali:
Terza parte
a) Per costruzione l’angolo è maggiore di e di , quindi, per quanto dimostrato nelle due
precedenti parti, si ha:
;
>
b) L’angolo esterno verifica la seguente condizione:
+
per quanto dimostrato, si ha
+=+
c) L’angolo esterno e l’angolo interno sono adiacenti, quindi la loro somma è un angolo
piatto, :
+
sostituendo il valore dell’angolo determinato nel punto b), si ha:
+++=
Le conclusioni ottenute nei punti a), b), e c) coincidono con quanto enunciato nella tesi,
pertanto il teorema è dimostrato.
