Rumore termico

RUMORE TERMICO
Un esempio molto importante di processo stocastico è costituito dal rumore termico. Come si avrà
modo di illustrare nel seguito, questo ineliminabile contributo di disturbo si sovrappone alla
trasmissione di un segnale che porta informazione e ne degrada le caratteristiche. In effetti, nel caso
di segnali analogici la qualità di trasmissione è espressa, in generale, dal rapporto S/N tra la potenza
del segnale utile e la potenza del rumore. Nel caso di segnali numerici si ha un parametro più
esplicito, la cosiddetta probabilità di errore sul bit Peb che rappresenta il numero di bit (simboli
binari) ricevuti, in media, non correttamente sul totale dei bit trasmessi; anche Peb, peraltro, dipende
dall’entità del rumore presente nel sistema e può essere espressa in funzione del rapporto S/N che
caratterizza la trasmissione.
In definitiva, è quindi estremamente importante definire le proprietà del rumore termico, per poter
fornire metodi espliciti di valutazione del valore di N. In questa prospettiva, il rumore termico verrà
ora introdotto in termini essenzialmente intuitivi, evidenziandone le peculiarità sia nel dominio del
tempo che in quello della frequenza, e mettendo in conto, soprattutto, le caratteristiche statistiche.
Il rumore termico è dovuto all’agitazione termica degli elettroni liberi nei conduttori. Gli elettroni,
infatti, trovandosi ad una temperatura T diversa dallo zero assoluto (T = 0 oK è l’unica condizione
che consentirebbe di annullare il rumore termico) si muovono con moto caotico e disordinato 1
producendo ai capi del conduttore una differenza di potenziale osservabile, ad esempio, con un
oscilloscopio ad elevata sensibilità. In termini espliciti, ciò significa che un conduttore reale deve
essere rappresentato, ai fini del rumore, come un resistore ideale (privo di rumore) con in serie un
generatore di tensione v(t) ovvero, il che è lo stesso, come un resistore ideale con in parallelo un
generatore di corrente i(t). Le rappresentazioni equivalenti sono illustrate in Figura 1. Il passaggio
dalla rappresentazione serie a quella parallelo è possibile utilizzando concetti elementari di
elettrotecnica ed è giustificato dall’osservazione che così come si rileva una tensione a vuoto v(t) ai
capi della resistenza (l’oscilloscopio di misura è infatti caratterizzato da un’elevata impedenza
d’ingresso), per le stesse ragioni fisiche si registra una corrente i(t) = v(t)/R quando i capi del
conduttore sono cortocircuitati.
R (non rumorosa)
R (rumorosa)
R (non rumorosa)
i(t)
v(t)
a)
b)
c)
Figura 1
Stante la natura statistica del moto degli elettroni, la tensione v(t), che è il risultato della
combinazione di molteplici contributi, è una funzione aleatoria o più propriamente, tenendo conto
della presenza del tempo, un processo stocastico. E’ facile intuire che il valore medio di questo
processo è identicamente nullo ma, essendo il valore istantaneo in generale diverso da zero, ad esso
sarà associata una potenza la cui valutazione costituisce uno dei punti chiave dell’analisi. Si tratta di
una potenza di rumore in quanto contributo indesiderato che si sovrappone al segnale utile che può
essere, ad esempio, applicato alla resistenza di carico di un circuito.
1
A rigore si tratta di un moto browniano, caso limite di un processo di passeggiate a caso.
1
D’altro canto un rumore con caratteristiche analoghe a quelle del rumore termico è anche presente
nelle reti attive, contenenti generatori controllati o indipendenti, ove esso è dovuto, oltre che
all’agitazione termica, anche alle fluttuazioni di corrente o di tensione dei generatori. Al contrario,
sulla base di argomentazioni termodinamiche, essenzialmente riconducibili alla conservazione
dell’energia, si dimostra che un elemento reattivo (capacità o induttanza) non genera rumore
termico; è anche vero, però, che un condensatore o un’induttanza reali hanno sempre associata una
componente resistiva, e sarà quest’ultima la responsabile di una rumorosità in uscita dal bipolo
complessivo risultante. Per lo stesso principio, un bipolo passivo comunque complesso
comprendente elementi resistivi e reattivi, che presenti ai morsetti un’impedenza Z(f) = R(f) + iX(f)
genera rumore dovuto alla parte resistiva R(f).
Tornando ora alla caratterizzazione del rumore termico, si può affermare che si tratta di un processo
stazionario ed ergodico, per cui la descrizione statistica del primo ordine è fattibile sulla base
dell’osservazione del processo in un generico istante. Dobbiamo dunque chiederci quale sia la
densità di probabilità dell'ampiezza v(t) in un generico istante.
Per il fatto che la tensione di rumore è il risultato della somma di numerosissimi contributi, nessuno
dei quali è dominante e che possono essere assunti, con buona approssimazione, tra loro
indipendenti, è lecito applicare il “teorema-limite centrale” e concludere che la tensione v, per
qualunque t, è una variabile gaussiana con valor medio nullo (come già osservato più sopra) e
varianza σv2. Si ha dunque:
f (v ) =
⎛ v2 ⎞
exp⎜ − 2 ⎟
⎜ 2σ ⎟
2π σ v
v ⎠
⎝
1
(1)
Per completare la descrizione statistica è necessario esplicitare il valore della varianza. Essendo il
valore medio uguale a zero, la varianza di v coincide con il valore quadratico medio; si ha cioè:
σ v2 = v 2 − v
2
= v2
(2)
D’altro canto, essendo il processo egodico, il valore quadratico medio coincide con la potenza del
processo. In definitiva, la varianza della variabile aleatoria v può essere estratta da una valutazione
di potenza.
In effetti, la potenza del segnale di rumore v(t) può essere misurata, e si scopre che essa cresce
proporzionalmente con:
1) il valore della resistenza R;
2) il valore della temperatura assoluta T a cui si trova la resistenza;
3) il valore della banda passante B del filtro interno all’apparato con cui si effettua la misura.
La costante di proporzionalità è pari a 4K, dove K = 1.38⋅10–23 J/oK è la costante di Boltzmann. In
definitiva si ha dunque:
σ v2 = 4 RKTB
(3)
Nella (3) la resistenza R è espressa in Ω, la temperatura T in oK e la banda B in Hz.
Se in luogo della tensione v(t) si considera la corrente i(t) la descrizione statistica non cambia ma la
varianza (e quindi la potenza) vale
σ i2 =
4 KTB
R
(4)
2
D’altro canto, dal punto di vista pratico, ciò che interessa calcolare è la potenza che un conduttore
rumoroso è in grado di erogare, in quanto sarà questa la misura diretta dell’entità del disturbo, da
confrontare con la potenza del segnale utile. Si faccia allora riferimento alla Figura 2, dove R
rappresenta la sorgente di rumore, cui è associato il generatore di tensione v(t) o, equivalentemente,
il generatore di corrente i(t), mentre RL è la resistenza di carico.
R
RL
v(t)
R
i(t)
RL
b)
a)
Figura 2
Ovviamente interessa considerare la situazione in cui si ha il massimo trasferimento di potenza.
Come noto dall’elettrotecnica, ciò si verifica per R = RL e la potenza corrispondente, nota come
potenza disponibile istantanea, vale
Pn (t ) =
v 2 (t ) Ri 2 (t )
=
4R
4
(5)
Anche Pn(t) è un processo stocastico, che alla stregua di v(t) e i(t) può essere assunto stazionario
ergodico, e il cui valor medio, indipendente dal tempo, è pari a:
Pn =
v2
4R
=
R i2
4
= KTB
(6)
Come è consuetudine, chiameremo Pn semplicemente “potenza disponibile”.
Una interessante, e fondamentale, caratteristica di Pn è che non dipende dal valore della
resistenza; resistenze di valore diverso ma che si trovino alla stessa temperatura fisica erogano la
stessa rumorosità media. La (6), d’altro canto, conserva la proporzionalità dalla banda B
dell’apparato di misura. Ricordando il legame che c’è tra densità spettrale di potenza e potenza,
possiamo allora concludere che lo spettro di potenza del rumore termico, espresso in W/Hz, è
costante e uguale a:
p( f ) =
KT
2
(7)
Nello scrivere la (7) si è tenuto conto del fatto che la potenza viene ricavata integrando la densità
spettrale tra –B e +B (rappresentazione bilatera). Alternativamente, ci si potrebbe limitare a
considerare le frequenze positive (rappresentazione unilatera), nel qual caso l’integrale sarebbe
3
esteso tra 0 e +B e in luogo della (7) si dovrebbe assumere una p(f) = KT (in modo da ottenere lo
stesso risultato (6)).
L’assunzione di una densità spettrale piatta per il rumore termico è in realtà accettabile a patto di
non considerare frequenze molto elevate. Se infatti si integra la (7) tra –∞ e +∞, presupponendo di
non avere limitazioni in banda, il risultato che si ottiene è chiaramente infinito; e una potenza
infinita non ha significato fisico. In realtà, in conseguenza della validità della ripartizione
quantistica dell’energia, la (7) dovrebbe essere, a rigore, sostituita dall’espressione esatta:
p( f ) =
1
2
hf
⎛h f
exp⎜⎜
⎝ KT
(8)
⎞
⎟ −1
⎟
⎠
la quale mostra, come è fisicamente plausibile, un andamento decrescente. Nella (8), h rappresenta
la cosiddetta costante di Planck pari a 6.62⋅10–34 J⋅s.
L’espressione corretta della p(f) può anche essere riscritta come segue:
hf
p( f ) =
KT
2
KT
⎛h f
exp⎜⎜
⎝ KT
⎞
⎟ −1
⎟
⎠
=
KT
γ(f)
2
(9)
dove γ(f) ha il significato di “correzione quantistica”. Ciò che si verifica numericamente è che tale
termine risulta praticamente uguale a uno per f << KT/h = 2.1⋅1010⋅T Hz ed in particolare a
temperatura ordinaria (T = 300 oK) per f << 6⋅1012 Hz. E’ dunque evidente che assumere la (7) in
luogo della più corretta (8) è lecito per le trasmissioni a frequenze “convenzionali” sia in
propagazione guidata che in propagazione libera (anche per questioni di disponibilità di dispositivi
commerciali, le massime frequenze di interesse per applicazioni radio sono comprese nella
cosiddetta gamma EHF – Extremely High Frequency, che va da 30 a 300 GHz).
Il discorso cambia quando si considerano trasmissioni a frequenze ottiche: qui la frequenza è
dell’ordine di 1014 Hz e, corrispondentemente, la correzione quantitistica a temperatura ordinaria è
dell’ordine di 10–6. Si può dunque concludere che il rumore termico è praticamente assente a
frequenze ottiche. Nondimeno, ciò non significa che una trasmissione in fibra ottica, che avviene
sempre in modulazione, sia completamente immune da questa tipologia di disturbo: al ricevitore,
infatti, il segnale dovrà essere processato e riportato a frequenze elettroniche, e un contributo di
rumore termico sarà inevitabilmente introdotto dai relativi circuiti.
Antitrasformando la (7), si ottiene la funzione di autocorrelazione del processo. Quest’ultima risulta
allora una delta di Dirac allocata nell’origine. Si ha cioè, esplicitamente:
_____
R (τ ) = R(τ ) =
KT
δ (τ )
2
(10)
Questa è una caratteristica peculiare del rumore termico “ideale” che per B → ∞ è in effetti un
rumore “bianco” (tutte le frequenze sono presenti ed hanno lo stesso peso). Come conseguenza
della (10), due generici campioni di rumore, n1 e n2, sono tra loro completamente incorrelati a patto
che sia t1 ≠ t2. In realtà si dimostra che in questo caso particolare l’incorrelazione implica la
statistica indipendenza (n1 e n2 sono variabili gaussiane miste). Si può dunque concludere che n1 e
n2 sono variabili aleatorie statisticamente indipendenti per qualunque coppia di istanti t1 ≠ t2.
4
Infine, val la pena rilevare che si parla di rumore termico anche per le antenne utilizzate come
trasduttori nei collegamenti radio. In particolare, si definisce una temperatura di antenna TA che
contribuisce a determinare la qualità dell’apparato ricevente. Nondimeno TA non è necessariamente
la temperatura fisica dell’antenna (che tipicamente si trova a 290 oK) ma una temperatura che tiene
conto del rumore termico captato. Si suol dire, a giustificare fisicamente l’asserto, che la resistenza
effettiva dell’antenna non è una resistenza termica ma una resistenza di radiazione. Il valore di TA
dipende dalla direzione di puntamento dell’antenna. Se l’antenna punta lo spazio profondo (come si
verifica per i ponti radio via satellite artificiale) si ha un rumore termico di fondo determinato dalla
densità e luminosità delle stelle nella zona di cielo puntata (ordine di grandezza: poche decine di
o
K). La situazione più favorevole si ha quando vengono puntate le zone con minima densità di
stelle; in questo caso il valore di TA si aggira intorno ai 3 oK ed è dovuto alla radiazione residua
attribuita al “big bang” da cui, secondo le tesi più accreditate, ha tratto origine l’universo. Solo se
l’antenna punta in parte il terreno e in parte l’atmosfera (come si verifica per i ponti radio che
sfruttano la propagazione troposferica) il rumore termico è praticamente imposto dalla temperatura
ambiente, e risulta quindi TA ≈ 290 oK.
5
ESERCIZIO
Discutere le proprietà di correlazione di un rumore termico su una banda limitata B.
In precedenza si è visto che il rumore termico “ideale”, a spettro piatto, è caratterizzato da una
funzione di autocorrelazione costituita da una delta di Dirac nell’origine. Ciò ha consentito di
concludere che due generici campioni di rumore, n1 e n2, sono completamente incorrelati se assunti
in istanti t1 e t2 diversi. Se ora lo stesso rumore a spettro piatto viene limitato alle frequenze interne
a una banda B (che può essere, ad esempio, la banda di un apparato ricevente in un sistema di
comunicazioni) la (7) deve essere sostituita dalla seguente espressione:
⎧ KT
⎪
p( f ) = ⎨ 2
⎪⎩0
f ≤B
(11)
f >B
la cui antitrasformata vale:
_____
R (τ ) = R (τ ) = KTB
sin( 2πBτ )
2πBτ
(12)
In accordo con questa espressione, la funzione di autocorrelazione si annulla per
τ=
k
2B
(13)
dove k è un intero qualsiasi (positivo o negativo) ma diverso da zero. Dunque, in uscita da un filtro
passa-basso con banda B, le variabili aleatorie n1 e n2, completamente incorrelate in ingresso,
restano tali solo se τ = t2 – t1 verifica la condizione (13). Per gli altri valori di τ le variabili n1 e n2
sono invece correlate, anche se l’entità della correlazione diminuisce all’aumentare di |τ|.
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