Esercitazione 3

Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Esercitazione 3
La variabilità
Statistica
La varianza
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Università degli studi di Cassino
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
1 / 16
Outline
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
1
Ancora sugli indici di posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 16
Outline
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
1
Ancora sugli indici di posizione
2
La variabilità
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 16
Outline
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
1
Ancora sugli indici di posizione
2
La variabilità
3
La varianza
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
2 / 16
La media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La definizione di media geometrica deriva dal criterio di Chisini,
definendo f (.) come prodotto delle modalità x1 , x2 , . . . , xn .
Ricordando la relazione generale
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (µg , µg , . . . , µg )
La variabilità
La varianza
in questo caso risulta essere
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
3 / 16
La media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La definizione di media geometrica deriva dal criterio di Chisini,
definendo f (.) come prodotto delle modalità x1 , x2 , . . . , xn .
Ricordando la relazione generale
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (µg , µg , . . . , µg )
La variabilità
La varianza
in questo caso risulta essere
n
n
Y
Y
(xi ) = (x1 × x2 × . . . × xn ) =
(µg ) = µng
i=1
A. Iodice ()
i=1
Esercitazione 3
Statistica
3 / 16
La media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La definizione di media geometrica deriva dal criterio di Chisini,
definendo f (.) come prodotto delle modalità x1 , x2 , . . . , xn .
Ricordando la relazione generale
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (µg , µg , . . . , µg )
La variabilità
La varianza
in questo caso risulta essere
n
n
Y
Y
(xi ) = (x1 × x2 × . . . × xn ) =
(µg ) = µng
i=1
da cui
i=1
v
u n
uY
n
µg = t
(xi )
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
3 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Un esempio di applicazione della media geometrica: si consideri
il deposito in banca di un ammontare di capitale pari ad 1 per
un periodo di 5 anni. i tassi di interesse i percepiti in ciascun
anno sono rispettivamente
i1 = 0.08, i2 = 0.03, i3 = 0.06, i4 = 0.07, i5 = 0.05
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
4 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Un esempio di applicazione della media geometrica: si consideri
il deposito in banca di un ammontare di capitale pari ad 1 per
un periodo di 5 anni. i tassi di interesse i percepiti in ciascun
anno sono rispettivamente
i1 = 0.08, i2 = 0.03, i3 = 0.06, i4 = 0.07, i5 = 0.05
La variabilità
La varianza
Rendita del capitale
Capitale inizio primo anno: 1
Capitale fine primo anno: 1 + 1 × i1 = 1 + i1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
4 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Un esempio di applicazione della media geometrica: si consideri
il deposito in banca di un ammontare di capitale pari ad 1 per
un periodo di 5 anni. i tassi di interesse i percepiti in ciascun
anno sono rispettivamente
i1 = 0.08, i2 = 0.03, i3 = 0.06, i4 = 0.07, i5 = 0.05
La variabilità
La varianza
Rendita del capitale
Capitale inizio primo anno: 1
Capitale fine primo anno: 1 + 1 × i1 = 1 + i1
Capitale inizio secondo anno: 1 + i1
Capitale fine secondo anno:
(1 + i1 ) + (1 + i1 ) × i2 = (1 + i1 ) × (1 + i2 )
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
4 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Rendita del capitale
Capitale inizio terzo anno: (1 + i1 ) × (1 + i2 )
Ancora sugli
indici di
posizione
Capitale fine terzo anno:
La variabilità
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 )
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
5 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Rendita del capitale
Capitale inizio terzo anno: (1 + i1 ) × (1 + i2 )
Ancora sugli
indici di
posizione
Capitale fine terzo anno:
La variabilità
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 )
La varianza
Capitale inizio quarto anno: (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 )
Capitale fine quarto anno:
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 ) × (1 + i4 )
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
5 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Rendita del capitale
Capitale inizio quinto anno:
La variabilità
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 ) × (1 + i4 )
La varianza
Capitale fine fine anno:
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 ) × (1 + i4 ) × (1 + i5 )
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
6 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Il problema trovare il tasso di interesse i costante tale da
produrre la stessa rendita di capitale. Formalmente
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × . . . × (1 + i5 ) = (1 + i) × (1 + i) × . . . × (1 + i)
che equivale al criterio di Chisini con f (.) funzione
moltiplicativa, con xj = (1 + ij ).
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
7 / 16
Esempio di calcolo della media geometrica
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Il problema trovare il tasso di interesse i costante tale da
produrre la stessa rendita di capitale. Formalmente
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × . . . × (1 + i5 ) = (1 + i) × (1 + i) × . . . × (1 + i)
che equivale al criterio di Chisini con f (.) funzione
moltiplicativa, con xj = (1 + ij ).
p
5
(1 + i1 ) × (1 + i2 ) × . . . × (1 + i5 )
p
5
= (1 + 0.08) × (1 + 0.03) × . . . × (1 + 0.05) =
√
√
5
= 5 1.08 × 1.03 × 1.06 × 1.07 × 1.05 = 1.3248 = 1.0579
1+i=
essendo (1 + i) = 1.0579, il tasso fisso da noi cercato
i = 0.0579.
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
7 / 16
Indici di posizione e tipo di caratteri
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
la moda si applica a tutte le tipologie di caratteri
La variabilità
la mediana (quartili, quantili in generale) si applica a tutte
le tipologie di caratteri le cui modalità sono ordinabili
(mutabili rettilinee e variabili)
La varianza
la media aritmetica si applica alle sole variabili quantitative
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
8 / 16
Il concetto di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità si definisce come l’attitudine di un fenomeno ad
assumere modalità differenti.
La variabilità può essere misurata in diversi modi:
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
9 / 16
Il concetto di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità si definisce come l’attitudine di un fenomeno ad
assumere modalità differenti.
La variabilità può essere misurata in diversi modi:
La variabilità
variabilità delle singole modalità x1 , x2 , . . . , xn rispetto ad
un indice di posizione
La varianza
mutua variabilità
variabilità delle modalità x1 , x2 , . . . , xn ordinate in modo
crescente (usando la f. di ripartizione)
variabilità delle frequenze relative (applicabile anche a
mutabili)
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
9 / 16
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 16
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
La variabilità
un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o
uguali a 0
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 16
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
La variabilità
un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o
uguali a 0
La varianza
un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di
costanti ugulae a 0
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 16
Requisiti per indici di variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguenti
caratteristiche
La variabilità
un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o
uguali a 0
La varianza
un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di
costanti ugulae a 0
aggiungendo una costante alla variabile osservata, il valore
dell’indice non deve cambiare
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
10 / 16
Definizione di varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile
X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2
data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla
media)
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
11 / 16
Definizione di varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile
X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2
data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla
media)
(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . . + (xn − µ)2
=
n
n
1X
=
(xi − µ)2
n
σ2 =
La variabilità
La varianza
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
11 / 16
Definizione di varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile
X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2
data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla
media)
(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . . + (xn − µ)2
=
n
n
1X
=
(xi − µ)2
n
σ2 =
La variabilità
La varianza
i=1
per dati organizzati in frequenze (seriazione)
(x1 − µ)2 × n1 + (x2 − µ)2 × n2 + . . . + (xk − µ)2 × nk
=
n1 + n2 + . . . + nk
k
1X
=
(xi − µ)2 × ni
n
σ2 =
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
11 / 16
Esempio di calcolo della varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello
di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
12 / 16
Esempio di calcolo della varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello
di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
12 / 16
Esempio di calcolo della varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello
di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
La varianza sar dunque
n
1X
50.8333
2
σ =
(xi − µ)2 =
= 8.4722
n
6
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
12 / 16
Massima variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 16
Massima variabilità
Esercitazione
3
La varianza può crescere indefinitamente perchè gli scarti
delle modalità dalla media possono essere illimitatamente
grandi
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 16
Massima variabilità
Esercitazione
3
La varianza può crescere indefinitamente perchè gli scarti
delle modalità dalla media possono essere illimitatamente
grandi
La situazione di massima variabilità per un collettivo con
media µ, si ha quando su n modalità, n − 1 sono nulle ed
0
una sola modalità x6=
i = nµ
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
n
σ2 ≤
1X
1
(xi − µ)2 = ((n − 1)(0 − µ)2 + (nµ − µ)2 ) =
n
n
i=1
1
= ((n − 1)µ2 + µ2 (n − 1)2 ) =
n
1
= ((n − 1)µ2 + µ2 (n2 + 1 − 2n)) =
n
1
= (µ2 n(n − 1)) = µ2 (n − 1)
n
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
13 / 16
Le propriet della varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La varianza gode di alcune importanti propriet di seguito
riportate:
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
14 / 16
Le propriet della varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza gode di alcune importanti propriet di seguito
riportate:
1
La varianza di X sempre un numero non negativo (≥ 0)
2
La varianza di X pari a 0 se e solo se X una costante
3
Se alla variabile X si aggiunge una costante, σx non
cambia
4
Se si moltiplica la variabile X per una costante b, si avr
σx∗ = b2 σx2
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
14 / 16
Le propriet della varianza
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Le propriet 3 e 4 dipendono dalla propriet di linearit della media
aritmetica: si consideri Y = a + bX, con a e b costanti. Dalla
propriet risulta che µy = a + bµx . Calcolando la varianza di Y
si avr:
n
σy2
1X
(yi − µy )2 =
=
n
1=1
n
n
1X
1X
2
=
(yi − (a + bµx )) =
(a + bxi − a − bµx )2 =
n
n
1=1
1=1
n
n
1X 2
1X
2
(bxi − bµx ) =
b (xi − µx )2 =
=
n
n
= b2
A. Iodice ()
1=1
n
X
1
n
1=1
(xi − µx )2 = b2 σx2
i=1
Esercitazione 3
Statistica
15 / 16
Lo scarto quadratico medio (standard deviation)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Una difficoltà di interpretazione della varianza dipende dal fatto
che tale indice espresso nell’unità di misura al quadrato della
variabile cui si riferisce. Per ovviare a questo problema si
utilizza lo scarto quadratico medio σ, dato da
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
16 / 16
Lo scarto quadratico medio (standard deviation)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Una difficoltà di interpretazione della varianza dipende dal fatto
che tale indice espresso nell’unità di misura al quadrato della
variabile cui si riferisce. Per ovviare a questo problema si
utilizza lo scarto quadratico medio σ, dato da
v
u n
u1 X
σ=t
(xi − µ)2
n
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
16 / 16
Lo scarto quadratico medio (standard deviation)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Una difficoltà di interpretazione della varianza dipende dal fatto
che tale indice espresso nell’unità di misura al quadrato della
variabile cui si riferisce. Per ovviare a questo problema si
utilizza lo scarto quadratico medio σ, dato da
v
u n
u1 X
σ=t
(xi − µ)2
n
i=1
dall’esempio precedente risulta dunque
r
50.8333
σ=
= 2.9107
6
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
16 / 16
Il coefficiente di variazione (CV
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La varianza è un indice assoluto, dipende quindi dall’unità di
misura della variabile. Un indice relativo di variabilità è il
coefficiente di variazione CV . E’ dato da
La variabilità
CV =
La varianza
σ
µ
essendo un numero puro consente il confronto fra fenomeni
rilevati in momenti diversi o espressi in unità di misura diverse
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
17 / 16
Il coefficiente di variazione (CV
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La varianza è un indice assoluto, dipende quindi dall’unità di
misura della variabile. Un indice relativo di variabilità è il
coefficiente di variazione CV . E’ dato da
La variabilità
CV =
La varianza
σ
µ
essendo un numero puro consente il confronto fra fenomeni
rilevati in momenti diversi o espressi in unità di misura diverse
Limiti di utilizzo del CV
è defnito solo se µ > 0
se µ → 0 il CV tende a diventare molto grande
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
17 / 16
Variabilità e modalità ordinate
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
In caso di variabili con modalità ordinabili è possibile definire
degli indici di variabilità derivati dalla funzione di ripartizione
empirica. Data la distribuzione unitaria ordinata di modalità
La variabilità
La varianza
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
18 / 16
Variabilità e modalità ordinate
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
In caso di variabili con modalità ordinabili è possibile definire
degli indici di variabilità derivati dalla funzione di ripartizione
empirica. Data la distribuzione unitaria ordinata di modalità
La variabilità
La varianza
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
il range (o campo di variazione) è dato da
R(X) = max(xi ) − min(xi = 29 − 1 = 27
il range inter-quartile (o campo di variazione interquartile)
è dato da IQR(X) = Q3 − Q1 = 25 − 13 = 12
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
18 / 16
Variabilità e modalità ordinate
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
In caso di variabili con modalità ordinabili è possibile definire
degli indici di variabilità derivati dalla funzione di ripartizione
empirica. Data la distribuzione unitaria ordinata di modalità
La variabilità
La varianza
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
il range (o campo di variazione) è dato da
R(X) = max(xi ) − min(xi = 29 − 1 = 27
il range inter-quartile (o campo di variazione interquartile)
è dato da IQR(X) = Q3 − Q1 = 25 − 13 = 12
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
18 / 16
Mutua variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
In presenza di caratteri trasferibili (reddito, risorde energetiche,
consumo di beni) è di maggior interesse lo studio della
variabilità tra le singole unità statistiche piuttosto che la
variabilità rispetto a un centro.
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
19 / 16
Mutua variabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
In presenza di caratteri trasferibili (reddito, risorde energetiche,
consumo di beni) è di maggior interesse lo studio della
variabilità tra le singole unità statistiche piuttosto che la
variabilità rispetto a un centro.
Differenza media semplice
tale indice rappresenta la media dei valori assoluti delle
differenze calcolate rispetto a tutte le possibili coppie di
modalità. Esso corrisponde a
Pn
i6=j=1 |xi − xj |
∆=
n(n − 1)
la quantità al denominatore (n(n − 1)) rappresenta il numero
di possibili coppie di n osservazioni.
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
19 / 16
Mutua variabilità
Esercitazione
3
Dato un carattere X osservato su n = 4 osservazioni
A. Iodice
{7, 14, 18, 24}
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
20 / 16
Mutua variabilità
Esercitazione
3
Dato un carattere X osservato su n = 4 osservazioni
A. Iodice
{7, 14, 18, 24}
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Differenza media semplice
Il valore di ∆ sarà in questo caso
|7 − 14| + |7 − 18| + |7 − 24| + |14 − 7|+
12
+|14 − 18| + |14 − 24| + |18 − 7| + |18 − 14| + |18 − 24|+
12
+|24 − 7| + |24 − 14| + |24 − 18|
=
12
110
=
= 9.1667
12
∆=
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
20 / 16
mutua variabilità: minimo e massimo
Esercitazione
3
l’indice ∆ assume il valore minimo (∆ = 0) quando tutte
le modalità coincidono: in questo caso le differenze
semplici sono nulle
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
l’indice ∆ assume il valore massimo quando tutte le
modalità tranne una sono nulle: in tal caso si ha che
∆ = 2µ
La variabilità
La varianza
Dunque ∆ assume valore nell’intervallo [0, 2µ]: è possibile
ottenere una versione normalizzata:
R=
∆
2µ
tale indice viene denominato rapporto di concentrazione di Gini
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
21 / 16
La concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il
grado di vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte
le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La
concentrazione indica quanto il collettivo osservato sia
’lontano/vicino’ rispetto all’equidistribuzione. Da cui,
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
22 / 16
La concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il
grado di vicinanza all’equidistribuzione, situazione in cui tutte
le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La
concentrazione indica quanto il collettivo osservato sia
’lontano/vicino’ rispetto all’equidistribuzione. Da cui,
la concentrazione è pari a 0 se tutte le unità detengono lo
stesso ammontare del carattere
la concentrazione è massima se l’intero ammontare del
carattere è detenuto da una sola osservazione
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
22 / 16
Indice di concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito
tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente:
La variabilità
pi =
La varianza
Pi
i
n
j=1
qi = Pn
xj
j=1 xj
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
23 / 16
Indice di concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito
tra n modalità, si considerino poi pi e qi , rispettivamente:
La variabilità
pi =
La varianza
Pi
i
n
j=1
qi = Pn
xj
j=1 xj
pi è la frazione cumulata dei primi i redditieri
qi , ammontare del reddito detenuto dai primi i redditieri
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
23 / 16
Indice di concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Le differenze (pi - qi ) ≥ 0, sono misure dirette della
concentrazione. La media aritmetica della versione
normalizzata di tali differenze rappresenta il rapporto di
concentrazione di Gini.
Pn−1 pi −qi
Pn−1
(pi − qi )
i=1 ( pi )pi
= i=1
Pn−1
Pn−1
i=1 pi
i=1 pi
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
24 / 16
Esempio di calcolo concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di
otto aziende prodottrici di componenti per auto
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
25 / 16
Esempio di calcolo concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di
otto aziende prodottrici di componenti per auto
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
25 / 16
Esempio di calcolo concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di
otto aziende prodottrici di componenti per auto
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
NOTA: le modalità (X) sono state ordinate in modo crescente
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
25 / 16
Esempio di calcolo concentrazione
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di
otto aziende prodottrici di componenti per auto
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
NOTA: le modalità (X) sono state ordinate in modo crescente
Pn−1
(pi − qi )
2.1912
=
= 0.6261
Pn−1
3.5
i=1 pi
i=1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
25 / 16
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
26 / 16
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
3
A. Iodice
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
26 / 16
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
3
A. Iodice
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
26 / 16
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
3
A. Iodice
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
26 / 16
Rappresentazione grafica: la curva di Lorenz
Esercitazione
3
A. Iodice
Partendo dai dati nell’esempio precedente, la curva di Lorenz è
la spezzata passante per i punti di coordinate (pi , qi ).
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
26 / 16
Il concetto di mutabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere
espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di
un carattere ad assumere differenti modalità qualitative.
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
27 / 16
Il concetto di mutabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere
espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di
un carattere ad assumere differenti modalità qualitative.
perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la
stessa modalità del carattere qualitativo
La varianza
massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno
tutte la stessa frequenza assoluta (relativa)
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
27 / 16
Il concetto di mutabilità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
In caso di variabili qualitative la variabilità del carattere
espressa in termini di mutabilità, definita come l’attitudine di
un carattere ad assumere differenti modalità qualitative.
perfetta omogeneità: tutte le unità statistiche assumono la
stessa modalità del carattere qualitativo
La varianza
massima disomogeneità: le modalità del carattere hanno
tutte la stessa frequenza assoluta (relativa)
Le situazioni intermedie sono caratterizzate da un diverso grado
di eterogeneità.
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
27 / 16
eterogeneità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
L’eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative
(f1 , f2 , . . . , fk ) delle k modalità del carattere.
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
28 / 16
eterogeneità
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
L’eterogeneità misura la variabilità delle frequenze relative
(f1 , f2 , . . . , fk ) delle k modalità del carattere.
La variabilità
minima eterogeneità: si manifesta una sola modalità j la
cui frequenza relativa fj = 1: un indice di eterogeneità
deve avere valore 0 in questo caso
La varianza
massima eterogeneità: Le frequenze relative sono tutte
uguali: fi = k1 , con i = 1, . . . , k e k numero di modalità
del carattere
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
28 / 16
Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato
da
k
X
G=1−
fi2
i=1
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
29 / 16
Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato
da
k
X
G=1−
fi2
i=1
La variabilità
La varianza
in caso di minima eterogeneità, G = 0
in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore
G = 1 − k1
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
29 / 16
Indici di eterogeneità: l’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Gini dato
da
k
X
G=1−
fi2
i=1
La variabilità
La varianza
in caso di minima eterogeneità, G = 0
in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore
G = 1 − k1
Avendo definito il valore massimo dell’indice, possibile
ottenerne la versione normalizzata G∗
G∗ =
A. Iodice ()
Esercitazione 3
k×G
k−1
Statistica
29 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Una nuova azienda informatica immette sul mercato una
gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei
prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la
seguente distribuzione di frequenze:
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
30 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
Una nuova azienda informatica immette sul mercato una
gamma di prodotti. Dopo i primi sei mesi la vendita dei
prodotti risulta ripartita tra le varie categorie secondo la
seguente distribuzione di frequenze:
La variabilità
La varianza
La colonna promo riguarda le frequenze delle vendite per
categoria di prodotto dopo una politica di promozioni sui
diversi prodotti
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
30 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
31 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
G=1−
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
fi2 = 1 − [(0.2094)2 +
i=1
La variabilità
+ (0.3535)2 + (0.1337)2 +
La varianza
+ (0.1071)2 + (0.1964)2 ] =
= 1 − 0.2357 = 0.7633
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
31 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
G=1−
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
fi2 = 1 − [(0.2094)2 +
i=1
La variabilità
+ (0.3535)2 + (0.1337)2 +
La varianza
+ (0.1071)2 + (0.1964)2 ] =
= 1 − 0.2357 = 0.7633
l’indice in versione normalizzata G∗ dato da
G∗ =
A. Iodice ()
k×G
5 × 0.7633
=
= 3.8165/4 = 0.9541
k−1
5−1
Esercitazione 3
Statistica
31 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
32 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Gpromo = 1 −
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
fi2 = 1 − [(0.3045)2 +
i=1
+ (0.1824)2 + (0.0074)2 +
La variabilità
+ (0.3281)2 + (0.1777)2 ] =
La varianza
= 1 − 0.2652 = 0.7348
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
32 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Gini (G)
Esercitazione
3
A. Iodice
Gpromo = 1 −
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
fi2 = 1 − [(0.3045)2 +
i=1
+ (0.1824)2 + (0.0074)2 +
La variabilità
+ (0.3281)2 + (0.1777)2 ] =
La varianza
= 1 − 0.2652 = 0.7348
l’indice in versione normalizzata G∗ dato da
G∗promo =
k×G
5 × 0.7348
=
= 3.6738/4 = 0.9185
k−1
5−1
Risultando essere G > Gpromo si pu concludere che la politica
di promozioni ha fatto diminuire l’eterogeneità (aumentare
l’omogeneità) delle vendite nelle diverse categorie di prodotti
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
32 / 16
Indici di eterogeneità: l’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Shannon
A. Iodice
H=−
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
fi log(fi )
i=1
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
33 / 16
Indici di eterogeneità: l’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Shannon
A. Iodice
H=−
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
fi log(fi )
i=1
La variabilità
La varianza
in caso di minima eterogeneità, H = 0
in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore
H = log(k)
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
33 / 16
Indici di eterogeneità: l’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
L’indice per la misura della eterogeneità proposto da Shannon
A. Iodice
H=−
Ancora sugli
indici di
posizione
k
X
fi log(fi )
i=1
La variabilità
La varianza
in caso di minima eterogeneità, H = 0
in caso di massima eterogeneità l’indice assume valore
H = log(k)
Avendo definito il valore massimo dell’indice, possibile
ottenerne la versione normalizzata H ∗
H∗ =
A. Iodice ()
Esercitazione 3
H
log(k)
Statistica
33 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
34 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
H=−
A. Iodice
k
X
fi log(fi ) =
i=1
Ancora sugli
indici di
posizione
= 0, 2094 × log(0, 2094)+
+ 0, 3535 × log(0, 3535)+
La variabilità
La varianza
+ 0, 1337 × log(0, 1337)+
+ 0, 1071 × log(0, 1071)+
+ 0.1964 × log(0, 1964) =
= 1.5228
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
34 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
H=−
A. Iodice
k
X
fi log(fi ) =
i=1
Ancora sugli
indici di
posizione
= 0, 2094 × log(0, 2094)+
+ 0, 3535 × log(0, 3535)+
La variabilità
La varianza
+ 0, 1337 × log(0, 1337)+
+ 0, 1071 × log(0, 1071)+
+ 0.1964 × log(0, 1964) =
= 1.5228
l’indice in versione normalizzata H ∗ dato da
H
1.5228
H∗ =
=
= 0.9462
log(k)
1.6094
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
34 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
35 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
Hpromo = −
A. Iodice
k
X
fi log(fi ) =
i=1
Ancora sugli
indici di
posizione
= 0.3045 × log(0.3045)+
+ 0, 1824 × log(0.1824)+
La variabilità
La varianza
+ 0.0074 × log(0.0074)+
+ 0.3281 × log(0.3281)+
+ 0.1777 × log(0.1777) =
= 1.3813
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
35 / 16
Esempio di applicazione dell’indice di Shannon (H)
Esercitazione
3
Hpromo = −
A. Iodice
k
X
fi log(fi ) =
i=1
Ancora sugli
indici di
posizione
= 0.3045 × log(0.3045)+
+ 0, 1824 × log(0.1824)+
La variabilità
La varianza
+ 0.0074 × log(0.0074)+
+ 0.3281 × log(0.3281)+
+ 0.1777 × log(0.1777) =
= 1.3813
∗
l’indice in versione normalizzata Hpromo
dato da
∗
Hpromo
=
A. Iodice ()
H
1.3813
=
= 0.8582
log(k))
1.6094
Esercitazione 3
Statistica
35 / 16
La forma di una distribuzione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Due distribuzioni aventi stessa posizione e variabilità possono
differire per forma. In altre parole, la forma dipende dal valore
delle modalità più piccole (o più grandi) del valore centrale
della distribuzione.
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
36 / 16
La forma di una distribuzione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Due distribuzioni aventi stessa posizione e variabilità possono
differire per forma. In altre parole, la forma dipende dal valore
delle modalità più piccole (o più grandi) del valore centrale
della distribuzione.
Aspetti che caratterizzano la forma di una distribuzione sono
asimmetria
curtosi
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
36 / 16
La forma di una distribuzione
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Due distribuzioni aventi stessa posizione e variabilità possono
differire per forma. In altre parole, la forma dipende dal valore
delle modalità più piccole (o più grandi) del valore centrale
della distribuzione.
Aspetti che caratterizzano la forma di una distribuzione sono
asimmetria
curtosi
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
36 / 16
Asimmetria
Esercitazione
3
distribuzione simmetrica rettangolare
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
37 / 16
Asimmetria
Esercitazione
3
distribuzione simmetrica campanulare
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
37 / 16
Asimmetria
Esercitazione
3
distribuzione asimmetrica positiva
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
37 / 16
Asimmetria
Esercitazione
3
distribuzione asimmetrica negativa
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
37 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
indice normalizzato di asimmetria A
Tale indice la versione normalizzata della differenza tra media e
mediana, dal momento che σ risulta essere in qualunque caso
tale che σ ≥ µ − M e
La varianza
A=
µ − Me
σ
Tale indice varia nell’intervallo [−1, 1].
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
38 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
indice normalizzato di asimmetria A
Tale indice la versione normalizzata della differenza tra media e
mediana, dal momento che σ risulta essere in qualunque caso
tale che σ ≥ µ − M e
La varianza
A=
µ − Me
σ
Tale indice varia nell’intervallo [−1, 1].
se A > 0 allora la distribuzione asimmetrica positiva
se A < 0 allora la distribuzione asimmetrica negativa
se A = 0 allora la distribuzione simmetrica
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
38 / 16
Indice normalizzato di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami
hanno riportato i seguenti voti:
Ancora sugli
indici di
posizione
A = {18, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 27, 30}
La variabilità
B = {22, 23, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 30}
La varianza
C = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
39 / 16
Indice normalizzato di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami
hanno riportato i seguenti voti:
Ancora sugli
indici di
posizione
A = {18, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 27, 30}
La variabilità
B = {22, 23, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 30}
La varianza
C = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}
A(A) =
A. Iodice ()
µ − Me
24.1111 − 25
=
= −0.2287
σ
3.8873
Esercitazione 3
Statistica
39 / 16
Indice normalizzato di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami
hanno riportato i seguenti voti:
Ancora sugli
indici di
posizione
A = {18, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 27, 30}
La variabilità
B = {22, 23, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 30}
La varianza
C = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}
A(A) =
µ − Me
24.1111 − 25
=
= −0.2287
σ
3.8873
A(B) =
A. Iodice ()
µ − Me
25.8889 − 25
=
= 0.3029
σ
2.9345
Esercitazione 3
Statistica
39 / 16
Indice normalizzato di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami
hanno riportato i seguenti voti:
Ancora sugli
indici di
posizione
A = {18, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 27, 30}
La variabilità
B = {22, 23, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 30}
La varianza
C = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}
A(A) =
µ − Me
24.1111 − 25
=
= −0.2287
σ
3.8873
A(B) =
µ − Me
25.8889 − 25
=
= 0.3029
σ
2.9345
A(C) =
A. Iodice ()
µ − Me
25 − 25
=
=0
σ
2.7386
Esercitazione 3
Statistica
39 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
Standardizzazione di una variabile
L’operazione di standardizzazione consiste nel sottrarre a
ciascuna modalita xi la media µ, dividendo poi per lo scarto
quadratico medio σ. Tale operazione consente il confronto tra
distribuzioni con medie e varianze diverse.
zi =
A. Iodice ()
xi − µ
σ
Esercitazione 3
Statistica
40 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
41 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
42 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
43 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
indice di asimmetria di Fisher γ
n
n
i=1
i=1
1X
1X
γ=
(zi )3 =
n
n
La variabilità
La varianza
A. Iodice ()
Esercitazione 3
xi − µ
σ
3
Statistica
44 / 16
Indici di asimmetria
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
indice di asimmetria di Fisher γ
n
n
i=1
i=1
1X
1X
γ=
(zi )3 =
n
n
La variabilità
La varianza
xi − µ
σ
3
se γ > 0 allora la distribuzione asimmetrica positiva
se γ < 0 allora la distribuzione asimmetrica negativa
se γ = 0 allora la distribuzione simmetrica
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
44 / 16
Indice di asimmetria di Fisher γ
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami
hanno riportato i seguenti voti:
Ancora sugli
indici di
posizione
A = {18, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 27, 30}
La variabilità
B = {22, 23, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 30}
La varianza
C = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
45 / 16
Indice di asimmetria di Fisher γ
Esercitazione
3
A. Iodice
Si considerino tre studenti, A, B e C che nei primi 9 esami
hanno riportato i seguenti voti:
Ancora sugli
indici di
posizione
A = {18, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 27, 30}
La variabilità
B = {22, 23, 24, 24, 25, 27, 29, 29, 30}
La varianza
C = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}
n
n 1X
1 X xi − µ 3
18 − 24.1111 3
3
γ(A) =
(zi ) =
=
+
n
n
σ
3.8873
i=1
i=1
30 − 24.1111 3
20 − 24.1111 3
+
+ ... +
= −1.1799
3.8873
3.8873
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
45 / 16
Indice di asimmetria di Fisher γ
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
n
n 22 − 25.8889 3
1X
1 X xi − µ 3
3
=
+
γ(B) =
(zi ) =
n
n
σ
2.9345
i=1
i=1
23 − 25.8889 3
30 − 25.8889 3
+
+ ... +
= 1.3445
2.9345
2.9345
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
46 / 16
Indice di asimmetria di Fisher γ
Esercitazione
3
A. Iodice
Ancora sugli
indici di
posizione
La variabilità
La varianza
n
n 22 − 25.8889 3
1X
1 X xi − µ 3
3
=
+
γ(B) =
(zi ) =
n
n
σ
2.9345
i=1
i=1
23 − 25.8889 3
30 − 25.8889 3
+
+ ... +
= 1.3445
2.9345
2.9345
n
n 1X
1 X xi − µ 3
21 − 25 3
(zi )3 =
=
+
n
n
σ
2.7386
i=1
i=1
3
22 − 25
29 − 25 3
+
+ ... +
=0
2.7386
2.7386
γ(C) =
A. Iodice ()
Esercitazione 3
Statistica
46 / 16