ELETTROSTATICA
Introduzione
Tra tutti i tipi di forza che abbiamo incontrato in meccanica, solo la forza peso e quella di
gravitazione universale derivano dalla proprietà delle masse di attirare altre masse. Tutte le altre
forze, quella elastica, le reazioni vincolari, le forze di attrito, la tensione nelle funi, ecc., altro non
sono che manifestazioni dell’interazione elettromagnetica.
Nella vita di tutti i giorni è però la forza peso quella di cui ci accorgiamo di più, non fosse altro per
la fatica che bisogna fare per sollevare pesi, salire e scendere scale, ecc. Anche nell’antichità, del
resto, l’esistenza di una proprietà non spiegabile in termini di forza gravitazionale era stata notata
solo per il fatto che pezzi di ambra (electron in greco, da cui poi il nome di elettricità), strofinati con
un panno, erano in grado di attirare minuscole particelle di foglie secche o di polvere. La forza di
interazione tra l’ambra e le particelle attirate era sorprendentemente intensa, riusciva, infatti, a
vincere la forza peso e ad accelerare verso l’alto le particelle di polvere.
La carica elettrica
Il fatto che le interazioni elettromagnetiche, pur essendo molto più intense delle forze di interazione
gravitazionali, si pensi che la forza elettrostatica tra due protoni è 1040 volte più grande della loro
interazione gravitazionale, siano rimaste nascoste, direi quasi soffocate, dalla forza peso, dipende da
una misteriosa simmetria della natura: la carica esiste in due tipi diversi a cui convenzionalmente è
stato attribuito il nome di positiva e negativa.
Al contrario quindi della massa, che è tutta dello stesso tipo e, per questo motivo, tutti i corpi che
possiedono una massa si attirano l’uno con l’altro, la carica elettrica esiste in due forme diverse:
cariche dello stesso tipo si respingono, cariche di tipo diverso si attraggono. I corpi che contengono
un’eguale quantità di carica dei due tipi, si dicono neutri, hanno una carica complessiva nulla e non
subiscono, né esercitano, forze elettriche. Questa è la condizione normale dei corpi che ci
circondano: essi contengono tanta carica positiva quanta negativa. È questa perfetta simmetria che
nasconde i fenomeni elettrici.
La carica elettrica è una proprietà delle particelle che costituiscono gli atomi.
Con questo termine, si identificano i mattoni che costituiscono le molecole. Queste ultime
rappresentano l’elemento indivisibile che conserva ancora tutte le proprietà della sostanza in esame.
Molte sostanze hanno molecole costituite da singoli atomi. Come abbiamo già discusso, nel caso di
alcune sostanze che alla temperatura ambiente sono solide, gli atomi sono organizzati in una
struttura ordinata che costituisce il reticolo cristallino.
Dalla discussione sulla struttura atomica risulta che la carica elettrica è trasportata dalle particelle
che costituiscono gli atomi in particolare dai protoni e dagli elettroni. Abbiamo anche visto che sia i
protoni che gli elettroni trasportano la stessa carica ma di segno opposto:
carica elettrica elementare:
e = 1.6·10-19C
Non è stata trovata finora alcuna particella avente una carica più piccola della carica dell’elettrone.
Quindi la carica elettrica è quantizzata, cioè ogni altra carica elettrica sarà un multiplo intero della
carica dell’elettrone.
In un sistema isolato, la somma delle cariche positive e negative si mantiene costante. Tale
enunciato esprime la legge di conservazione della carica elettrica
Fenomeni di elettrizzazione
Se gli atomi di un corpo acquistano o perdono elettroni, il corpo stesso risulta possedere
rispettivamente un eccesso di cariche negative o di cariche positive e quindi risulta elettrizzato.
Un corpo si dice elettrizzato se al suo interno viene a mancare l'equilibrio tra elettroni e protoni,
cioè tra cariche negative e cariche positive.
Un corpo può essere elettrizzato in vari modi:per strofinio, per contatto e per induzione.
1
Elettrizzazione per strofinio:
Certi corpi hanno la proprietà di elettrizzarsi se vengono strofinati con un panno di lana.
Questo metodo viene detto elettrizzazione per strofinio.
Strofinando con un panno di lana il vetro o materiale simile al vetro, in essi si manifesta elettricità
positiva: durante lo strofinio si ha un trasferimento di elettroni dal vetro alla lana, perciò il vetro
risulta elettrizzato positivamente mentre la lana negativamente.
Strofinando con un panno di lana l' ebanite o sostanze simili, in esse si manifesta elettricità
negativa: in questo caso avviene il trasferimento di elettroni dalla lana all' ebanite, perciò
quest’ultima risulta elettrizzata negativamente, mentre la lana positivamente
Elettrizzazione per contatto:
L' elettrizzazione per contatto consiste nell' elettrizzare un corpo neutro ponendolo a contatto con
uno carico.
Se disponiamo di un oggetto elettricamente carico e lo portiamo a contatto con un corpo neutro
attraverso la zona di contatto avviene il trasferimento di un certo numero di cariche elettriche dal
primo corpo al secondo.
Poichè subito dopo il passaggio i due corpi presentano elettricità dello stesso segno, essi tenderanno
a respingersi.
Elettrizzazione per induzione:
L'elettrizzazione per induzione consiste nel produrre una separazione di cariche in un corpo neutro
avvicinando ad esso un corpo carico.
Se accostiamo una bacchetta di vetro, oppure una bacchetta di ebanite elettrizzate a dei pezzetti di
carta, questi in entrambi i casi vengono attratti dalla bacchetta.
Questo fenomeno avviene perchè un corpo carico, cioè elettrizzato, è in grado di elettrizzare un
corpo neutro, cioè di provocare in quest’ultimo una separazione di cariche per semplice
avvicinamento, cioè senza che vi sia stato passaggio diretto di cariche nei due corpi.
Conduttori e isolanti
Rispetto alla capacità di trasportare le cariche elettriche, i materiali possono essere classificati in
conduttori e isolanti.
Si chiamano conduttori le sostanze in cui le cariche si possono muovere liberamente, mentre si
chiamano isolanti tutte le sostanze in cui le cariche non si possono muovere o si muovono con
grande difficoltà.
Sono conduttori tutti i metalli, gli organismi viventi e la grafite; sono isolanti la plastica, il vetro e il
legno. I conduttori non possono essere elettrizzati per strofinìo.
Ripetendo l' esperimento d' elettrizzazione per strofinìo con una forchetta metallica, invece che con
l' ebanite, si osserva che i pezzettini di carta non vengono attratti.
Possiamo strofinare il metallo della forchetta con la lana quanto vogliamo, ma non sarà possibile
esercitare nessuna forza verso la carta.
Questo accade perchè i metalli disperdono velocemente le cariche elettriche acquisite con lo
strofinìo. Le cariche infatti si disperdono nel terreno, passando attraverso la mano, il braccio e il
corpo di chi l'impugna.
Nei conduttori gli elettroni sono liberi di muoversi. La causa del comportamento dei conduttori
risiede nella struttura dei loro atomi. Gli elettroni non sono fortemente legati ai loro nuclei ma
possono muoversi da un atomo all' altro. E' proprio il movimento libero degli elettroni a conferire ai
conduttori la proprietà di trasportare l' elettricità.
Negli isolanti gli elettroni sono legati al loro nucleo e difficilmente possono spostarsi da un punto
all' altro.
2
La legge di Coulomb
La forza di attrazione o di repulsione tra due corpi puntiformi carichi elettricamente è direttamente
proporzionale al prodotto delle cariche possedute dai due corpi e inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza.
F k
k0 = 9·109 N·m2/C2
q1 q2
r2
Calcolata ne vuoto.
In generale si è portati ad utilizzare un’altra costante, detta costante dielettrica del mezzo
considerato: = 1/4··k
mentre con 0 = 1/4··k0
si indica la costante dielettrica nel vuoto
r = / 0 si indica la costante dielettrica relativa ed è sempre maggiore di 1.
0= 8,85·10-12 C2/N·m2
F
= 0·r
q1 q2
4
r2
1
Principio di sovrapposizione
Nel caso in cui la forza agente su una carica q sia dovuta all’azione concomitante di più cariche qi,
tale forza sarà data dalla somma vettoriale di tutte le forze dovute alle interazioni delle singole
cariche qi con la carica q in esame. Nel caso di tre sole cariche q, q1,q2 abbiamo che:
F1
q1
F
q
F2
q2
F F1 F2
3
Campo elettrico
La forza di Coulomb è una forza che agisce a distanza: non è richiesto il contatto tra le due cariche
perché esse interagiscano.
Il fatto che la forza di Coulomb debba soddisfare la terza legge di Newton anche quando le distanze
tra le cariche sono grandi, porta al seguente interrogativo: come è possibile che le due forze di
azione e reazione siano, nello stesso istante, uguali ed opposte, se noi sappiamo che la massima
velocità con cui si riesce a far viaggiare l’informazione da un punto ad un altro dello spazio è la
velocità della luce, che è una velocità molto grande ma comunque finita?
Si supera questa difficoltà concettuale introducendo il concetto di campo.
Supponiamo sempre di avere la carica q1 nell’origine del sistema di riferimento. La sua presenza
assegnerà a tutti i punti dello spazio (vuoto) una proprietà: ogni punto è caratterizzato dalla forza
che risente la carica unitaria posta in quel punto. Così quando ad un certo istante noi andiamo a
mettere la carica q nella posizione individuata dal vettore posizione r, non sarà necessario sapere,
per valutare la forza che agisce sulla carica q, se in quello stesso istante la carica q1 si trovi ancora
nell’origine, ma basterà conoscere il valore del campo elettrico in quell’istante nella posizione in
cui andiamo a mettere la carica q, e moltiplicare il suo valore per quello della carica q. La forza
dipenderà quindi dalle proprietà locali del campo e non già dall’effettiva posizione in
quell’istante della carica q1.
L’introduzione del concetto di campo aiuta anche ad inquadrare correttamente la terza legge di
Newton con la velocità finita della luce.
Supponiamo infatti che la carica q1 si sia spostata molto rapidamente dall’origine in una nuova
posizione. A seguito di questo spostamento occorrerà correggere tutti i valori del campo
elettrico in tutti i punti dello spazio, in quanto sono cambiati, a causa dello spostamento della carica,
sia la direzione sia il modulo del campo elettrico in tutti i punti dello spazio. Questa correzione
non viene effettuata nello stesso istante per tutti i punti dello spazio, ma gradatamente.
Infatti, nel momento in cui è avvenuto lo spostamento della carica q1, parte l’informazione che si
diffonderà in tutte le direzioni con velocità della luce c. Una volta trascorso un intervallo di tempo
t, l’informazione avrà raggiunto una distanza dalla nuova posizione della carica q1 pari a ct.
Tutti i punti che si trovano ad una distanza più piccola di ct, saranno stati raggiunti
dall’informazione e, quindi, il valore del campo elettrico sarà stato aggiornato per tener conto della
nuova posizione della carica, mentre i punti più distanti, non ancora raggiunti dall’informazione, si
comporteranno come se la carica q1 fosse ancora nell’origine del sistema di riferimento.
Naturalmente l’effetto sulla carica q, quando occupa una ben determinata posizione dello spazio,
dipenderà dal valore locale del campo elettrico. Si intuisce da questo esempio che il campo elettrico
acquista una sua personalità e, si può aggiungere, quasi una indipendenza dalle cariche che lo hanno
generato. Quello che a noi interessa è sapere qual è il valore del campo elettrico in una certa
posizione e non la distribuzione delle cariche che lo ha generato: questo è sufficiente per
determinare gli effetti su una qualsiasi carica che andiamo a mettere in quella posizione.
Il vettore campo elettrico E, generato da una carica Q, in un punto P, è uguale al rapporto tra la
forza elettrica che agisce su una carica di prova q, positiva, posta nel punto P, e la carica di prova
stessa.
E
1
Q
F
2
=
q 4 r
Nel caso di più cariche elettriche si può utilizzare il principio di sovrapposizione, il quale afferma
che il campo elettrico dovuto a più cariche si trova facendo la somma dei campi elettrici delle
singole cariche prese come se fossero isolate.
E E1 E2 .... En
4
Linee di campo
La visualizzazione di un campo elettrico è piuttosto complicata: per ogni punto dello spazio
dobbiamo immaginarci un vettore che, come sappiamo, è caratterizzato da tre informazioni distinte
(modulo, direzione e verso).
Un’efficace rappresentazione del campo elettrico è quella che fa uso delle linee di forza (o linee di
campo).
Per linea di forza si intende una curva che è tangente al campo elettrico in ciascuno dei suoi punti.
Due linee di forza non potranno mai intersecarsi. Infatti il campo elettrico in un particolare punto
dello spazio, in condizioni stazionarie, è perfettamente definito. Viceversa se due linee di forza si
intersecassero, significherebbe che la direzione del campo elettrico, dovendo essere tangente alle
due linee di forza contemporaneamente, non è univocamente determinata. Da qui l’assurdo. Quindi
due linee di forza non potranno mai intersecarsi.
Regole per interpretare la rappresentazione del campo elettrico con le linee di forza:
1. Le linee di forza indicano la direzione del campo elettrico. In ogni punto della linea di forza il
campo elettrico è tangente alla linea di forza.
2. Le linee di forza nascono dalle cariche positive (o all’infinito) e muoiono su quelle negative (o
all’infinito). Il numero di linee che nascono o muoiono è proporzionale alla carica.
3. La densità di linee di forza è proporzionale all’intensità del campo elettrico.
Nella figura sono mostrate le linea di forza relative ad
a) una carica puntiforme posta nell’origine
b) due cariche di segno opposto poste ad una certa distanza tra esse
c) due cariche dello stesso segno.
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Flusso di un campo elettrico
Consideriamo una superficie chiusa S posta in un campo elettrico. Immaginiamo di suddividere tale
superficie in tanti piccoli elementi ΔS. Gli elementi in esame debbono avere dimensioni tali per cui
in ogni loro punto il valore del campo elettrico E possa essere considerato costante e che la loro
superficie possa essere considerata piana. Assumendo che En sia la componente di E
perpendicolare alla superficie ΔS, si definisce flusso del campo elettrico attraverso la superficie ΔS
la grandezza scalare:
Δ = En· ΔS = E· ΔS·cos
E
En
ΔS
Il valore del flusso attraverso l’intera superficie S è dato dalla somma del valore dei flussi attraverso
tutti gli elementi cui è stata suddivisa la superficie S:
(E) = Δ1+ Δ2 +…..+ Δn = En1· ΔS1+ En2· ΔS2+.....+ Enn· ΔSn
Un analogia interessante la si trova nell’idrodinamica: l’acqua che scorre lungo un torrente è dotata
di una certa velocità, se si considera una sezione di tale torrente di area A, il flusso che attraversa
tale sezione è dato da (v) = vn·S . Tale valore rappresenta la portata di acqua che passa attraverso
la sezione S, quindi è la quantità totale di acqua che l’attraversa.
Teorema di Gauss
Consideriamo una carica puntiforme q e una sfera di raggio r il cui centro coincide con il punto in
cui è posta la carica in esame. Il flusso (E) attraverso la superficie sferica S è espresso come:
(E) = E·S
Dato che E =
1
Q
4 r 2
ed S = 4··r2 si ottiene (E) =
1
Q
Q
·4··r2 =
2
4 r
Generalizzando a qualunque superficie si ottiene il teorema di Gauss:
Il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è dato dal rapporto tra la
carica q contenuta entro la superficie e la costante dielettrica del mezzo in cui si opera.
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Potenziale elettrico
Consideriamo un campo elettrico uniforme nello spazio, se poniamo una carica q in questo campo
essa sarà soggetta ad una forza che tenderà a farla muovere, quindi ci sarà un lavoro fatto dal campo
sulla carica.
L = F·s = q·E·s
Dato che il campo elettrico è in grado di compiere lavoro si dice che una carica q posta in un punto
A possiede una certa energia potenziale elettrica UA. Supponiamo ora di voler portare la carica q da
un punto A ad un punto B del campo, la differenza delle energie potenziali elettriche tra due punti
dello spazio UA-UB, rappresenta il lavoro necessario per spostare la carica elettrica tra i due punti.
L’energia potenziale elettrica si misura in Joule.
E
UA
s
L = UA-UB
UB
L’energia potenziale elettrica dipende dalla posizione della carica q, ma anche dal suo valore.
E’ tuttavia possibile definire una nuova funzione, il potenziale elettrico, dato dal rapporto
dell’energia potenziale elettrica e la carica q.
VA
UA
q
Il potenziale elettrico, così come il campo elettrico, è indipendente dalla carica di prova q, ma
dipende solamente dalla carica sorgente del campo e dalla sua posizione.
La differenza di potenziale VA-VB tra due punti di un campo elettrico è numericamente uguale al
lavoro che bisogna compiere per trasportare una carica unitaria da un punto all’altro.
V A VB
U A UB L
q
q
Nel S.I. l’unità di misura del potenziale elettrico è il Volt = 1 Joule / 1 Coulomb
Quindi tra due punti c’è una differenza potenziale di 1 V quando per trasportare la carica di 1
coulomb da un punto all’altro bisogna compiere il lavoro di 1 Joule.
Nel caso in cui ci trovassimo in un campo elettrico uniforme, il legame tra campo elettrico e
potenziale è il seguente:
V A VB
L Eqs
Es
q
q
Con s spostamento da AB
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Superfici equipotenziali
Così come è utile rappresentare il campo elettrico attraverso linee di campo, così è utile
rappresentare graficamente l’andamento del potenziale con superfici equipotenziali:
Una superficie equipotenziale è il luogo dei punti aventi uno stesso valore del potenziale.
Lungo una tale superficie il potenziale è costante e quindi il lavoro per muovere una carica è nullo.
LINEE DI CAMPO
SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
Capacità elettrica
La capacità di un conduttore è la quantità massima di carica elettrica che esso può accumulare se
sottoposto ad una certo potenziale.
Q
; l’unità di misura è il Farad = Coulomb / Volt
V
Quando più la capacità è grande, tanta più la carica si può accumulare nel conduttore a parità di
differenza di potenziale.
C
Condensatore piano
Un condensatore piano è formato da due lastre metalliche parallele, elettrizzate con cariche uguali e
opposte, sistemate ad una distanza d piccola rispetto alla loro estensione.
All’interno di un condensatore piano si ha:
- il campo elettrico è uniforme e perpendicolare alle lastre (dette armature del condensatore)
- la differenza di potenziale tra le armature è direttamente proporzionale al valore del campo
elettrico: VA VB E d
-Q
ΔV
d
S
E
+Q
La capacità di un condensatore è data da: C
Q
S
V
d
S è la superficie dell’armatura del condensatore.
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