capitolo 5 - Liceo XXV Aprile

Università degli studi di Roma “La Sapienza” – Sede di Latina
CAPITOLO 5
CORRENTE ELETTRICA
Ingegneria Aerospaziale
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Università degli studi di Roma “La Sapienza” – Sede di Latina
5.1
CONDUZIONE ELETTRICA
All’interno di un metallo si muovono elettroni liberi che sono gli
unici portatori mobili di carica. Il moto di quest’ultimi, in un
conduttore in equilibrio elettrostatico, è completamente
disordinato. In un qualsiasi volume, piccolo su scala macroscopica,
ma contenete un numero N di elettroni abbastanza elevato, la
velocità media è nulla.
r
1 N r
v m = ∑ vi = 0
N i =1
Se si mettono a contatto due conduttori C1 e C 2 isolati, a
potenziali V1 e V2 diversi, si raggiunge un equilibrio con lo stesso
potenziale V. Nel processo un certo numero di elettroni passa dal
conduttore a potenziale minore a quello a potenziale maggiore,
r
sotto l’azione del campo elettrostatico E dovuto alla d.d.p. ∆V .
Questo moto ordinato di elettroni in una certa direzione costituisce
una corrente elettrica e il fenomeno è un esempio di conduzione
elettrica. In questo caso la corrente elettrica dura soltanto un
tempo molto breve e tale durata impedisce l’esecuzione di studi
sistematici del fenomeno. A tale scopo è necessario disporre di un dispositivo
capace di mantenere una differenza di potenziale, ovvero un generatore di forza
elettromotrice, f.e.m.. Il simbolo che si usa per tali generatori è mostrato a lato in
figura.
5.2
CORRENTE ELETTRICA
Si supponga di avere, in un regione di un conduttore, n
portatori di carica + e , e in essa agisce un campo
r
elettrostatico E . I portatori si muovono sono l’azione della
r
r
forza elettrica F = eE dando origine a una corrente
r
elettrica. Essi si muovono ad una velocità di deriva v d
r
lungo la direzione del campo elettrostatico E . Se si
considera una superficie S all’interno del conduttore e si
chiama ∆q la carica che passa attraverso S nel tempo ∆t , si definisce intensità di corrente la
grandezza:
dq
∆q
I=
I = lim
⇒
∆t →0 ∆t
dt
Tale definizione è del tutto generale e vale anche per fenomeni variabili nel tempo.
Per trovare una relazione tra la corrente elettrica e il moto
delle cariche, si considera una superficie infinitesima dS di
r
r
normale u n che formi un angolo ϑ con E . Nel tempo ∆t le
r
cariche percorrono una distanza pari a v d ∆t .
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La carica complessiva che passa attraverso dS nel tempo ∆t è quella contenuta nel volume
r
dτ = v d dt dS cos ϑ , ovvero:
dq = n e dτ
r
dq = n e v d dt dS cos ϑ
⇒
Quindi l’intensità di corrente attraverso dS è pari a:
r
dI = n e v d dS cos ϑ
r
Se si definisce il vettore densità di corrente J come:
r
r
J = n e vd
la relazione precedente diventa:
r
dI = J dS cos ϑ
Se si estende tale relazione ad una superficie finita s, si ottiene:
r r
I = ∫ J ⋅ u n dS
S
Tale relazione dice che il flusso del vettore densità di corrente attraverso una superficie S è pari
alla corrente elettrica I.
La sua unità di misura è l’Ampere [A ] che è un’unità fondamentale del sistema internazionale. Si ha
l’intensità di corrente di 1A quando, attraverso una data superficie, passa la carica di 1C in 1sec :
A=
C
sec
r
A
Di conseguenza il vettore densità di corrente J si misura in 2 .
m
5.3
LEGGE DI OHM DELLA CONDUZIONE ELETTRICA
Quando un elettrone urta un atomo perde tuta la sua energia cinetica la quale si converte in calore. A
questo punto l’elettrone riparte ad una velocità più bassa che gli è data dall’agitazione termica. Tali
urti e ripartenze avvengono in tempi piccoli. Quindi considerando una velocità media su n urti si
ottiene:
eE
t
v i +1 = v i −
m
estendendo tale concetto ad N portatori, si ottiene:
1 N
1 N
eE
v
=
vi −
t
∑
∑
i +1
N i =1
N i =1
m
dove al primo membro compare il modulo della velocità di deriva, ed il primo termine del secondo
membro è nullo.
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42
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Quindi:
r
r
eE
t
vd = −
⇒
m
r
Ricordando la definizione del vettore densità di corrente J (il segno negativo è dovuto al fatto che
la carica è negativa):
r
r
r
r
r
r
eE
J = σE
J = −n e v d
⇒
t ⇒
J =ne
m
r
2
ne E
dove σ =
t è la conduttività elettrica.
m
eE
t
vd = −
m
Tale relazione è nota come Legge di Ohm della conduttività elettrica o Legge di Ohm locale. Se tale
legge si riscrive come:
r
r
r 1r
E = ρJ
⇒
E= J
σ
1
il termine ρ = prende il nome di resistività del conduttore.
σ
Si applichi ora la Legge di Ohm ad un conduttore metallico
cilindrico di lunghezza h e sezione S. Ai capi del conduttore è
applicata una d.d.p. VA − VB . In regime stazionario, l’intensità di
corrente è pari a:
r r
I = ∫ J ⋅ u n dS
⇒
I = JS
⇒
I=
S
E
S
ρ
da cui si ricava il modulo del campo elettrostatico:
E=
ρ
I
S
Tra campo elettrostatico e d.d.p. sussiste la relazione:
B r
r
VA − VB = ∫ E ⋅ d s
A
che applicata tale situazione diventa:
ρ
I ds
S
0
h
VA − VB = ∫
VA − VB =
⇒
Chiamando resistenza del conduttore la grandezza:
R =ρ
h
S
si ottiene:
VA − VB = R I
nota come Legge di Ohm per i conduttori metallici.
43
Ingegneria Aerospaziale
ρh
I
S
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Se si considera un conduttore di forma non regolare, per un tratto
di lunghezza dh e superficie S = S(h ) :
r r
VA − VB = ∫ E ⋅ d s
B
ρ
dh
S(h )
A
B
⇒
A
VA − VB = I ∫
Quindi si ottiene di nuovo VA − VB = RI se a R si da il valore di:
B
R = ∫ρ
A
L’unità di misura della resistenza è Ω =
5.4
dh
S(h )
V
A
EFFETTI TERMICI
La resistività ρ nella maggior parte dei conduttori è funzione della
temperatura. Intorno alla temperatura di 20°C la relazione è
praticamente lineare:
ρ = ρ 20 (1 + α∆T )
dove ∆T = T − 20°C con T misurata chiaramente in gradi Celsius,
ρ 20 è la resistività misurata a 20°C ed α chiamato coefficiente
termico è definito come:
α=
1 ∆ρ
ρ 20 ∆T
Nei conduttori comuni la resistività tende ad un valore finito ρ0 al
tendere della temperatura allo zero assoluto (figura in alto). Tali
conduttori sono i metalli. Esiste inoltre un’altra classe di conduttori i
quali, al di sotto di una certa temperatura detta temperatura critica
Tc , il valore della resistività è nullo. Tali conduttori sono detti
superconduttori. La loro proprietà fondamentale è che in essi è
possibile mantenere una corrente, anche elevata, senza l’applicazione
di una d.d.p.. Per citarne qualcuno, si può nominare il piombo, lo
stagno, l’alluminio, lo zinco.
5.5
POTENZA. EFFETTO JOULE
Il lavoro che viene compiuto per spostare una carica dq da un punto ad un altro attraversando una
d.d.p. V = VA − VB è pari a:
dW = Vdq
⇒
dW = VI dt
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La potenza spesa sarà:
dW
dt
⇒
P = VI
P = RI 2
⇒
P=
P=
Utilizzando la Legge di Ohm si ricava:
V2
R
Il passaggio di corrente attraverso un conduttore metallico per un tempo t comporta un lavoro:
t
W = ∫ RI 2 dt
⇒
W = RI 2 t
0
Come si è detto precedentemente, gli elettroni urtando contro gli atomi cedono energia che viene
convertita in calore, quindi nel conduttore percorso da una corrente si ha un innalzamento della
temperatura. Tale fenomeno è noto come Effetto Joule.
5.6
RESISTORI
Conduttori ohmici caratterizzati da un determinato valore della resistenza
sono molto utilizzati nei circuiti elettrici. Essi prendono il nome di resistori
ed il simbolo che li identifica è quello mostrato in figura.
I collegamenti di base sono due, in serie e in parallelo.
5.6.1
Resistori in serie
Due resistori sono collegati in serie quando hanno un estremo in
comune: in un regime stazionario l’intensità di corrente che li
attraversa è la stessa. Applicando la legge di Ohm a ciascun
resistore, si ottiene:
VA − VB = R 1I
VB − VC = R 2 I
e
La d.d.p. totale è pari :
VA − VC = (VA − VB ) + (VB − VC )
⇒
VA − VC = R 1I + R 2 I ⇒
da cui si ricava la resistenza equivalente:
R eq = R 1 + R 2
5.6.2
Resistori in parallelo
Due resistori si dicono in parallelo quando sono collegati tra loro
in entrambi gli estremi. In questo caso l’elemento in comune ai
due resistori è la d.d.p. V = VA − VB , quindi sono attraversati da
due correnti diverse, se sono diverse le resistenze. In condizioni
di stazionarietà:
I = I1 + I 2
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Ingegneria Aerospaziale
VA − VC = (R 1 + R 2 )I
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Applicando la Legge di Ohm a ciascun resistore si ha:
VA − VB = R 1 I1
da cui
I1 =
VA − VB = R 2 I 2
e
VA − VB
R1
e
I2 =
VA − VB
R2
sostituendo nella relazione precedente si ottiene:
I=
VA − VB VA − VB
+
R1
R2
⇒
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟(VA − VB )
I = ⎜⎜
+
⎝ R1 R 2 ⎠
⇒
VA − VB =
I
⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
+
⎝ R1 R 2 ⎠
da cui si ricava la resistenza equivalente:
1
1
1
=
+
R eq R 1 R 2
5.7
FORZA ELETTROMOTRICE
Si è visto in precedenza che per la Legge di Ohm vale la relazione:
B
r
r
∫ E ⋅ d s = RI
A
r
che lega l’intensità di corrente I del conduttore al campo elettrostatico E . Esprimendo tale relazione
per un circuito chiuso, si ottiene:
r
r
∫ E ⋅ ds = R
T
I
dove R T indica la resistenza totale del circuito stesso. Per
definizione, il primo membro di tale relazione è la forza
elettromotrice ovvero il lavoro per spostare una carica
lungo un percorso chiuso e quindi occorre la presenza di
r
un campo E la cui circuitazione non sia nulla. La
conseguenza è che non potrà essere un campo
r
elettrostatico E el a far circolare le cariche in quanto esso è
conservativo e la corrispondente f.e.m. è sempre nulla.
Quindi la sorgente di f.e.m. deve avere al suo interno forze
di natura non elettrostatica, non conservative, che possono determinare il moto continuo delle
r
cariche. A tale scopo all’interno del generatore ci deve essere un campo E * di natura non
elettrostatica, che si chiama campo elettromotore. Esaminando il circuito in figura, si dimostra che
(con f .e.m. = F ):
A r
r
r
r
f .e.m. = ∫ E* ⋅ d s
⇒
F = ∫ E* ⋅ d s
B
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Tramite semplici passaggi si ricava la relazione:
r
r
F = ∫ E* ⋅ d s
A
B
r
r
VA − VB = − ∫ E * ⋅ d s
B r
r
r
r
*
∫ E el ⋅ ds = − ∫ E ⋅ ds
B
⇒
B
⇒
A
da cui
A
A
r
r
E * = − E el
r
quindi il campo elettromotore E * è capace di far muovere le cariche all’interno del generatore
r
contro il campo elettrostatico E el .
Una definizione operativa della f.e.m. di un generatore è
ottenibile considerando il circuito in figura. Applicando ai capi A
e B la Legge di Ohm considerando la resistenza R si ottiene:
VA − VB = RI
Se ora si considera la resistenza r e il generatore F, si ha:
VB − VC = −F
quindi
VC − VA = rI
e
VB − VA = (VB − VC ) + (VC − VA )
⇒
VB − VA = −F + rI
VA − VB = F − rI
Quindi risulta
VA − VB = RI = F − rI
ovvero che la f.e.m. di un generatore è uguale alla d.d.p. misurata ai capi del generatore a circuito
aperto ( I = 0 ).
5.8
CARICA E SCARICA DI UN CONDENSATORE ATTRAVERSO
UN RESISTORE
Fino ad ora la corrente elettrica era continua, ovvero costante nel tempo. In questi casi la corrente
varia nel tempo con una legge definita.
5.8.1
Carica di un condensatore
Si consideri il circuito costituito da un generatore F, un resistore R e un condensatore C.
Inizialmente l’interruttore T è aperto e non circola corrente ed il condensatore è scarico. All’istante
t = 0 viene chiuso l’interruttore, inizia a circolare corrente e il condensatore si carica.
Il processo di carica continua fino a quando la carica del condensatore raggiunge il valore massimo
q 0 = FC , cui corrisponde la d.d.p. VA − VB tra le armature, pari alla F del generatore. In un istante
generico t valgono le relazioni:
F = VR + VC = RI(t ) +
47
q (t )
C
e
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I (t ) =
dq(t )
dt
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Quindi, unificando le due relazioni si ottiene:
F = RI(t ) +
FC = RC
q (t )
C
dq
+q
dt
⇒
⇒
F=R
− RC
dq q
+
dt C
dq
= q − FC
dt
dq
dt
=−
q − FC
RC
Considerando che per t = 0 , q = 0 e all’istante generico t si
ha una carica q, si può integrare ottenendo:
q
t
dq
dt
=
−
∫0 q − FC ∫0 RC
quindi
t
⎛ q − FC ⎞
ln⎜
⎟=−
RC
⎝ − FC ⎠
−
q − FC
= e RC
− FC
t
⇒
In definitiva si ottiene:
−
q − FC
= e RC
− FC
t
⇒
q − FC = − FCe
−
t
RC
⇒
q = FC − FCe
VC (t ) =
q(t )
C
−
t
RC
t
−
⎛
⎞
VC (t ) = F⎜⎜1 − e RC ⎟⎟
⎝
⎠
⇒
dq(t )
I (t ) =
dt
VR (t ) = RI(t )
⇒
t
−
⎛
⎞
RC ⎟
⎜
q(t ) = FC⎜1 − e
⎟
⎝
⎠
t
F −
I(t ) = e RC
R
⇒
⇒
VR (t ) = Fe
−
t
RC
Il lavoro che il generatore compie nel processo di carica è
pari a:
∞
∞ 2
t
F − RC
⇒
W = ∫ F I(t ) dt
W=∫ e
dt
R
0
0
W = F2 C
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5.8.2
Scarica di un condensatore
Si consideri ora un condensatore C con carica iniziale q 0 e
un resistore R. Inizialmente l’interruttore T è aperto e non
circola corrente ed il condensatore è scarico. All’istante
t = 0 viene chiuso l’interruttore, inizia a circolare corrente e
il condensatore si carica. In un istante generico la d.d.p. ai
capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore
e valgono le seguenti relazioni:
-
istante iniziale
1 q2
Ue =
2 C
q
V0 = 0
C
-
istante t generico
VC (t ) =
q (t )
C
VR (t ) = RI(t )
VC (t ) = VR (t )
q (t )
= RI(t )
C
⇒
I (t ) = −
dq(t )
dt
dove il segno negativo nell’intensità di corrente è dovuto al fatto che la carica diminuisce nel tempo.
Sostituendo, si trovano le espressioni esplicite:
q (t )
= RI(t )
C
q
t
dq
dt
∫q q = −∫0 RC
0
⇒
⇒
q
dq
= −R
C
dt
⇒
dq
dt
=−
q
RC
t
−
q
= e RC
q0
q
t
⇒
ln = −
q0
RC
VC (t ) =
q (t )
C
I (t ) = −
dq(t )
⇒
dt
⇒
q (t ) = q 0 e
⇒
VC (t ) =
I (t ) =
−
t
RC
t
q 0 − RC
e
C
t
q 0 − RC
e
RC
In figura τ = RC . La potenza istantanea dissipata su R vale:
2t
2t
PR = RI
2
q2 −
PR = R 2 0 2 e RC
R C
⇒
⇒
V2 −
PR = 0 e RC
R
nell’intero processo viene dissipata l’energia:
∞
W = ∫ PR dt
0
W=
49
1 2
V0 C
2
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∞
⇒
2t
V02 − RC
W=∫
e dt
R
0
W=
1 q 02
2 C
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5.9
LEGGI DI KIRCHHOFF PER LE RETI ELETTRICHE
Gli elementi geometrici distintivi di una rete sono i nodi e i rami. All’interno di una rete è possibile
individuare determinati cammini chiusi, detti maglie, costituiti da più rami.
5.9.1
Nodi
Un nodo è un punto nel quale convergono almeno tre conduttori. I nodi
sono collegati da rami, in cui possono esserci componenti attivi
(generatori) e componenti passivi (resistori). La prima Legge di Kirchhoff,
o legge dei nodi, dice che la somma algebrica delle correnti che
confluiscono in un nodo è nulla. Quindi guardando la figura e
generalizzando a n correnti:
n
∑I
k =1
5.9.2
k
=0
Rami
Un ramo è formato da una successione di elementi
attraversati tutti dalla stessa intensità di corrente. Per il
ramo indicato in figura si ha:
VA − VB = R 1I − F1 + R 2 I + F2 + R 3 I
VA − VB + F1 − F2 = (R 1 + R 2 + R 3 )I
Se si generalizza a n generatori di f.e.m. e m resistori, si ha in generale:
n
m
k =1
k =1
VA − VB + ∑ Fk = I∑ R k
nota come Legge di Ohm generalizzata.
5.9.3
Maglie
Come già si è accennato, una maglia è costituita da più rami.
Applicando la Legge di Ohm generalizzata alla maglia in figura si
ottiene:
VA − VB + F1 = R 1 I1
VC − VD + F3 = R 3 I 3
VB − VC + F2 = R 2 I 2
VD − VA + F4 = R 4 I 4
sommando membro a membro e generalizzando a n generatori di
f.e.m. e m resistori si ottiene:
n
m
k =1
k =1
∑ Fk = ∑ R k I k
che rappresenta la seconda Legge di Kirchhoff, o legge delle maglie, la quale dice che la somma
algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica dei prodotti
R k Ik .
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