La Geometria con GeoGebra.
LE DISUGUAGLIANZE TRIANGOLARI
Rispondi: dati tre segmenti qualsiasi è sempre possibile costruire un triangolo che abbia i
lati congruenti ai segmenti dati? ………………………………
Prima parte : costruzione del triangolo.
Costruisci i tre segmenti di differente lunghezza AB, CD, EF
Con lo strumento segmento di data lunghezza scegli un qualunque punto G e dai
come lunghezza la misura di AB
Utilizzando lo strumento circonferenza di dato raggio costruire la circonferenza di
centro G e raggio CD e la circonferenza di centro H e raggio EF
Con lo strumento intersezione tra due oggetti evidenzia il punto J di intersezione tra
le due circonferenze
I punti G, H, J sono i possibili vertici del triangolo cercato
Con lo strumento Poligono disegna il triangolo
In effetti i triangoli possibili sono diversi: una volta fissata la base, oltre a quello della figura
vi sono anche il simmetrico rispetto alla base ed i loro simmetrici rispetto all'asse del
segmento. Tali triangoli sono però tutti tra di loro congruenti in virtù del terzo criterio di
congruenza.
Seconda parte: Verifica della delle relazioni fra i lati di un angolo.
Fai ora variare la lunghezza dei segmenti dati in diversi modi. Osserva che in alcuni casi il
triangolo non si forma. Compila la tabella seguente con le prove fatte, poi scrivi le tue
conclusioni. È indispensabile che tu faccia un numero sufficiente di prove per poter
scoprire le relazioni triangolari cercate.
Misura di AB misura di CD
Misura di EF
il triangolo esiste ? somma tra due segmenti
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differenza tra due segmenti *
(*) Nella colonna devi registrare la lunghezza della somma (differenza) dei segmenti a due a due; quando il triangolo
esiste come sono queste misure rispetto ai lati?
Hai scoperto che:
assegnati tre segmenti, se ognuno di essi non è ……………...………….. della ……………..
……….degli altri due, oppure non è ……………………….. della …………………….. degli
altri due, non è possibile costruire un triangolo avente per lati i tre segmenti.
Vale cioè il teorema: In ogni triangolo un lato è ……………………. della ……………………
degli altri due e ……………………….. della loro ……………………………
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La Geometria con GeoGebra.
Terza parte: dimostrazione del teorema sulle relazioni fra lato e angolo maggiore
Verifichiamo il seguente teorema: In ogni triangolo non equilatero, a lato maggiore si
oppone angolo maggiore.
Costruisci il triangolo ABC con (ipotesi) BC>AC.
Vogliamo dimostrare (tesi) che Aˆ Bˆ .
Puntando in C costruisci la circonferenza di raggio uguale alla lunghezza di AC e
con lo strumento intersezione fra due oggetti evidenzia il punto D sul lato CB ,
ottenendo il segmento CD AC
Congiungi con un segmento A e D. Evidenzia l’angolo di vertice A interno al
triangolo, e l’angolo cliccando di vertice D interno al triangolo.
Il triangolo ACE è ………………………sulla base AD per costruzione, quindi gli angoli e
sono ………………………………………..
Inoltre l’angolo è esterno del triangolo ………., perciò > B̂ , poiché …… , si può
concludere per la proprietà transitiva che anche …………>……………. Dal momento che é
interno all’angolo …….., risulta …………> , quindi, a maggior ragione, si può concludere che
………> ……….. c.v.d.
Ad ogni passo di costruzione scrivi un testo che descrive i passi della dimostrazione del teorema. Crea
la pagina html con la barra per i passi di costruzione.
Vale anche l’inverso: In ogni triangolo non equilatero, ad angolo maggiore si oppone
lato maggiore.
Costruisci il triangolo ABC con (ipotesi) Aˆ Bˆ .
Vogliamo dimostrare (tesi) che BC>AC.
Se fosse AC>BC, per il teorema precedente, sarebbe Aˆ Bˆ contro l’ipotesi, quindi questo caso è
assurdo.
Se fosse AC BC il triangolo ABC sarebbe isoscele, quindi Aˆ Bˆ contro l’ipotesi, quindi questo
caso è assurdo.
Quindi non potendo essere né AC>BC, né AC BC, deve essere BC>AC. c.v.d.
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