Convertitori A/D
Un convertitore A/D prende in ingresso un valore analogico (tipicamente una
tensione) e lo converte in un numero digitale (rappresentato in un opportuno
codice, non necessariamente quello binario).
Vref Bout = Vin + VX
Convertitori Analogico-Digitale
Dove VX rappresenta l’errore di quantizzazione.
Lucidi delle lezioni di Microelettronica
Parte 8
Università di Cagliari
Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica
Laboratorio di Elettronica (EOLAB)
16 Maggio 2005
A/D Ideale. Caratteristica
UE - ADC
Massimo Barbaro
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Errore di Quantizzazione
La caratteristica di uscita di un ADC ideale è mostrata in figura: i valori dell’ingresso per
cui si ha transizione in uscita distano esattamente VLSB l’uno dall’altro.
L’errore di quantizzazione è sempre presente, anche in un convertitore ideale. Per
analizzare le caratteristiche di questo errore si fa riferimento alla figura, dove l’ADC e il
DAC sono entrambi ideali:
Da notare che la quantità LSB=2-N (a cui è associata la tensione VLSB=Vref LSB=Vref 2-N) è
caratteristica di un convertitore con una certa risoluzione (numero di bit in ingresso).
I valori di ingresso per cui si ha transizione sono indicati con VBi (ad esempio V01
corrisponde a Vref/8 ossia la tensione per cui il codice di uscita diventa 01). I punti di
transizione si hanno a metà di ogni intervallo in modo che l’errore di quantizzazione non
ecceda mai, in valore assoluto, VLSB/2.
Risulta:
V1=Vin+VQ
Se il segnale di ingresso varia in modo sufficientemente rapido l’errore di quantizzazione
può essere considerato un rumore casuale ed indipendente dall’ingresso (rumore di
quantizzazione). Poiché tale errore varia necessariamente fra –VLSB /2 e +VLSB/2 può
essere visto come una variabile aleatoria con probabilità uniforme:
-VLSB/2 < VX < VLSB/2
P(x)
1/VLSB
-VLSB/2
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16 Maggio 2005
+VLSB/2
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Rumore di Quantizzazione
SNR dell’ADC Ideale
La media del rumore di quantizzazione è evidentemente nulla:
Il rapporto segnale/rumore risulta quindi:
V
SNR = 20 log
V
+∞
= ∫ xP ( x) dx = 0
V
Q ( avg )
in ( rms )
−∞
Q ( rms )
La potenza quadratica media del rumore di quantizzazione è data da:
V
Q ( rms )
=
+∞
V
LSB
LSB
−∞
SNR = (6.02N + 1.76) dB
La relazione precedente mette in relazione lo SNR con la risoluzione del convertitore: per
ogni aumento di un bit abbiamo un aumento del SNR di circa 6dB. Questo vale nel caso di
ingresso full-scale, se l’ingresso non ha ampiezza pari al range del convertitore lo SNR
diminuirà di conseguenza.
Si può allora calcolare il rapporto segnale/rumore nel caso di ingresso sinusoidale con
ampiezza picco-picco pari al range di ingresso (Vref) dell’ADC.
Vin = Vref/2 sin ((2π/ T) t)
Se
N
REF
Questo risultato lo si ottiene ricordando che VLSB=VLSB 2-N, da cui:
∫ x P( x)dx = 12
2
V (2 12 )
3
= 20 log
= 20 log 2
2
V / 12
la potenza del segnale di ingresso risulta pari a:
V
2 2
REF
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A/D: Misura Prestazioni
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A/D: Misura Prestazioni
I parametri rispetto ai quali si misurano le prestazioni di un ADC non ideale
sono:
DNL (Differential Nonlinearity): E’ la massima differenza fra la distanza di
due punti di transizione adiacenti ed il valore ideale (VLSB)
Risoluzione: Numero di bit in uscita N
INL (Integral Nonlinearity): E’ la massima deviazione fra i valori di uscita e la
retta che passa per i punti estremi della caratteristica.
Offset error: La differenza fra il valore di ingresso per cui in uscita si ha la
transizione al codice 00..001 ed il valore ideale pari a VLSB/2 (Vref / 2N+1)
Missing Codes: E’ l’equivalente della monotonicità nei DAC. Si parla di
missing codes quando non tutti i possibili codici di uscita vengono generati al
variare dell’ingresso in tutto il range disponibile.
Gain Error: Di quanto si discosta la pendenza della retta che passa per i
punti estremi della caratteristica di uscita dalla pendenza ideale (in genere
unitaria).
Tempo di Conversione: E’ il tempo necessario per effettuare la conversione
(che limita la massima frequenza di campionamento). In convertitori con
architetture pipeline il tempo di conversione per il singolo campione può non
coincidere col periodo minimo tempo di campionamento (la latency aumenta il
tempo di conversione per il singolo campione).
Gli errori di offset e gain sono lineari e quindi non gravi, in quanto non
introducono distorsione in uscita
SNR e SNDR: Rapporto segnale/rumore e segnale/(rumore+distorsione)
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A/D: Misura Prestazioni
A/D: Misura Prestazioni
Sampling Time Uncertainty: E’ l’incertezza nel tempo esatto di campionamento,
legata all’aperture jitter visto per i campionatori. Tale incertezza causa un errore nel
valore convertito che può essere stimato.
Effective Number of Bits (ENOB): E’ il numero effettivo di bit del
convertitore. Infatti se il convertitore di risoluzione N ha un certo SNDR
(dovuto globalmente alle sue non idealità, fra cui le non linearità che
introducono distorsione), si può dire che tale convertitore è equivalente ad
un convertitore ideale ma con un numero inferiore M di bit che avrebbe un
SNR=6.02M+1.76.
Se l’ingresso è un’onda sinusoidale con ampiezza pari al full-range del convertitore:
Vin = Vref/2 sin (2πf t)
un errore nell’istante di campionamento porterà ad un errore nel valore campionato
pari a:
∆V = V’ ∆t
ENOB = (SNDR – 1.76) / 6.02
L’errore massimo si ha in corrispondenza della massima derivata (ossia nei punti di
attraversamento dello zero del seno):
∆Vmax = Vref πf ∆t = VLSB2Nπf ∆t
Si vuole ovviamente che tale errore sia inferiore a VLSB quindi:
∆t < 1/(2Nπf)
Nel caso di un segnale di 1MHz in ingresso ad un convertitore a 16 bit si ottiene un
limite di 5ps.
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16 Maggio 2005
Tipologie di Convertitori
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Dual-Slope
Dual-Slope: veramente molto lenti (tconv=2N/fs), richiedono pochi componenti analogici
(nAN = 1-3), elevata risoluzione (N<21bit), richiedono circuiteria digitale non
estremamente complessa.
Il convertitore dual-slope è utilizzato per strumenti di misura in quanto molto preciso (fino a
20 bit) ma anche molto lento (usato per convertire segnali in continua).
Si basa su una doppia integrazione: si fa caricare la capacità C1 con una carica
proporzionale all’ingresso e poi si misura il tempo necessario per scaricare la stessa
capacità usando una corrente costante e nota.
Ciclici / SA (ad Approssimazioni Successive): lenti (tconv=N/fs), richiedono pochi
componenti analogici (nAN = 1), media risoluzione (N<15bit), richiedono circuiteria
digitale complessa
Convertitori Flash: molto veloci (tconv=1/fs), richiedono molti componenti analogici
(nAN = 2N), poco pratici per convertitori ad alta risoluzione (N<10bit), richiedono
circuiteria digitale
Pipeline: molto veloci (tconv=1/fs) ma con uscita ritardato rispetto all’ingresso
(tdelay=N/fs), richiedono un numero medio di componenti analogici (nAN = N), media
risoluzione (N<15bit), richiedono registri digitali a scorrimento
Sigma-Delta: molto lenti (tconv=OSR/fs), richiedono pochi componenti analogici (nAN =
1-4), risoluzione molto elevata (N<21bit), richiedono circuiteria digitale molto
complessa (filtro decimatori) proprio perché spostano la complessità dalla parte
analogica a quella digitale
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Dual-Slope: Funzionamento
Approssimazioni Successive (1)
Il principio di funzionamento del
convertitore SA si basa sull’algoritmo di
ricerca “binary search”.
In pratica si suddivide, via via, l’intervallo
di ricerca in due e si va a vedere in quale
intervallo cade il segnale di ingresso fino
a trovare l’approssimazione che meglio
lo rappresenta.
Il numero di passi di ricerca è pari al
numero di bit di risoluzione del
convertitore.
Fase I: lo switch S1 è connesso a -Vin e nel tempo fissato (determinato dalla logica di
controllo) T1=2NTclk la capacità C1 si carica alla tensione Vx=(VinT1 ) / (R1C1)
Fase II: lo switch S1 è connesso a Vref e la capacità C1 si scarica con corrente
costante pari a –Vref / R1, la tensione Vx va a zero nel tempo T2=2NBoutTclk (in
corrispondenza del quale scatta il comparatore e la logica di controllo blocca il
conteggio). Eguagliando le cariche si ricava Bout=Vin / Vref
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Approssimazioni Successive (2)
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Approssimazioni Successive (3)
L’implementazione pratica più
comune si basa sull’uso di un
convertitore a redistribuzione di
carica
ed
una
versione
leggermente
modificata
dell’algoritmo: piuttosto che
modificare ad ogni passo l’uscita
del convertitore D/A si modifica
l’ingresso e si confronta sempre
con lo zero.
Il diagramma a blocchi è mostrato in figura. E’ necessario un S&H, un comparatore,
un convertitore digitale/analogico ed una cicuiteria digitale di controllo e
memorizzazione per conservare i bit individuati in ogni fase.
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SA: Implementazione
SA: Hold Mode
La parte analogica (escluso il controllo digitale) che implementa l’algoritmo precedente
(nel caso unipolare, ossia con ingresso solo positivo) è mostrata in figura. Il
funzionamento è diviso in 3 fasi (sample mode, hold mode, bit cycling) in cui vengono
opportunamente modificate le connessioni degli switch S1, S2, S3 e bi
Hold Mode: l’amplificatore è connesso ad anello aperto (funziona da comparatore), il
bottom plate di tutte le capacità è connesso a massa in modo che (per la
conservazione della carica) sul morsetto invertente compaia la tensione –Vin. Lo switch
S1 si connette a Vref.
Sample Mode: la configurazione degli switch è quella della figura, con S1 connesso
all’ingresso e l’amplificatore connesso ad inseguitore. Tutte le capacità sono connesse
fra l’ingresso e la massa virtuale. La carica Q1 immagazzinata nel morsetto invertente
è dunque pari a Q1=-VinCTOT. Questa fase serve appunto a campionare il valore di
ingresso sul bottom plate delle capacità.
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SA: Bit Cycling
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SA: Implementazione bipolare
Bit Cycling: a questo punto inizia la fase di approssimazioni successive vera e
propria. Uno dopo l’altro i bottom plate di ogni capacità vengono connessi a Vref.
Quando, ad esempio, b1 commuta, per la conservazione della carica deve risultare
Vx=-Vin+Vref/2 (questo perché la capacità che sta commutando è pari a 16C ossia la
metà della capacità totale). Questo valore viene confrontato con lo zero, se è
maggiore di zero significa che Vin<Vref/2, quindi b1=0, se invece è minore di zero allora
Vin>Vref/2, quindi b1=1. Il valore di b1 viene memorizzato nella parte digitale, se b1=0
lo switch è riportato a massa (Vx=-Vin) altrimenti viene lasciato dov’è e si procede a
trovare il bit successivo. Quando commuta b2 infatti la ∆V è pari a Vref / 4 e così via.
16 Maggio 2005
16 Maggio 2005
Per implementare il convertitore precedente in modo da convertire segnali positivi e
negativi (bipolari) si può ricorrere ad una verione leggermente modificata del circuito.
Sample Mode: la configurazione degli switch è quella della figura, con S1 connesso
all’ingresso e l’amplificatore connesso ad inseguitore. B1 è connesso a Vref/2 mentre
le altre capacità a Vin.
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SA bipolare: Hold Mode
SA bipolare: Bit Cycling
Hold Mode: Tutte le capacità tranne b1 sono connesse a massa e l’opamp è connesso
ad anello aperto. Sul morsetto invertente la tensione è Vx= –Vin/2 (a differenza del caso
unipolare in cui Vx=-Vin).
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Stima dei Ritardi
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Convertitore Algoritmico (Ciclico)
Il limite maggiore nella velocità di questa tipologia di convertitori è legato al ritardo
dovuto alle capacità. Col metodo delle costanti di tempo a circuito aperto si può
stimare questo ritardo come somma dei ritardi associati a ciascuna capacità, per
esempio nella fase di sample. RS1 e RS2 sono le resistenze degli switch S1 e S2
mentre R sono le resistenze degli switch corrispondenti ai bit. Ogni capacità “vede” la
stessa resistenza (RS1+RS2+R):
Tdelay=(RS1+RS2+R)2NC
16 Maggio 2005
Bit Cycling: a questo punto inizia la fase di approssimazioni successive. Si
distinguono due casi:
1) Se Vx< 0 (ossia Vin>0) 16C viene lasciata com’è, b1=1 e la conversione procede
come nel caso unipolare per b2, b3,…, bN.
2) Se Vx> 0 (ossia Vin<0) allora b1=0 e 16C viene connessa a massa. In questo
modo Vx diventa Vx=-Vin/2-Vref/4 (per la conservazione della carica). Tale valore
è diventato necesariamente positivo e da adesso in poi si può procedere come
nel caso unipolare.
Lo svantaggio rispetto al caso unipolare è che l’ingresso viene diviso per 2 rendendo
più critico il funzionamento del comparatore.
Il convertitore ciclico è simile a
quello
ad
approssimazioni
successive ma piuttosto che
continuare a dividere per due il
riferimento
(Vref),
calcola
l’errore ad ogni ciclo e lo
moltiplica sempre per 2 per
poterlo confrontare con la
stessa soglia.
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Convertitore Algoritmico (2)
Algoritmico: Implementazione
Lo schema blocchi è mostrato in figura. Servono un S&H, un comparatore, un circuito
per il calcolo della differenza (residuo) e un circuito per moltiplicare il residuo per 2. La
moltiplicazione (più differenza) è l’operazione più critica.
La moltiplicazione per 2 può essere implementata con capacità commutate. Con lo
schema in figura e suddividendo il funzionamento in 4 fasi è possibile ottenere una
moltiplicazione molto precisa che non dipede dai valori relativi delle capacità. In pratica
si ottiene la moltiplicazione sommando due volte la stessa quantità sulla stessa
capacità.
Fase 1: L’opamp è resettato, QC1=C1Verr = Q1
QC2 = 0
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Algoritmico: Implementazione (2)
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Algoritmico: Implementazione (3)
Fase 2: L’opamp è
controreazionato con C2,
C1 è cortocircuitata (massa
e massa virtuale) quindi la
carica precedente si
trasferisce su C2
Fase 4: L’opamp è
connesso ad anello aperto
(da comparatore) e le due
cariche precedenti (uguali)
si sommano su C1
QC1= Q1 + Q2 = 2 C1Verr
QC1=0
QC2=C1Verr = Q1
Questo fa sì che:
Vout= QC1 / C1= 2 Verr
Fase 3: L’opamp è resettato,
C1 è connessa all’ingresso.
L’errore viene moltiplicato per 2 utilizzando sempre la stessa capacità (C1) quindi, a
parte errori dovuti ad iniezioni di carica, ogni imprecisione nel rapporto fra C1 e C2 è
cancellata.
QC1 = C1Verr = Q2
QC2 = C1Verr = Q1
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Convertitore Flash
Convertitore Flash: Problematiche
Il convertitore flash usa il
massimo grado di parallelismo
per raggiungere la massima
velocità di conversione (tutti gli
N bit ottenuti in un colpo solo)
al prezzo di un enorme
aumento
dei
componenti
necessari.
Con un partitore resistivo
vengono generati i 2N valori
analogici
di
riferimento
associati ad ogni codice di
ingresso e la tensione di
ingresso viene confrontata con
ogni valore per mezzo di 2N
comparatori.
Il codice in uscita dai
comparatori è termometrico e
necessita
di
un’ulteriore
codifica (digitale) per diventare
binario.
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Elevata capacità di ingresso: essendoci 2N comparatori in ingresso il ritardo introdotto
dal nodo di ingresso può essere consistente, ed aumenta con la risoluzione.
“Resistor String Bowing”: in comparatori ad elevata velocità può essere necessario
implementare i comparatori con stadio di ingresso a BJT. In tale caso il comparatore
assorbe corrente che, per quanto piccola, può generare degli errori nei valori di
riferimento soprattutto per i valori centrali (bowing=inarcamento).
Ritardo dell’ingresso: i 2N percorsi che portano l’ingresso ai comparatori possono
avere ritardi associati differenti
Clock skew: ritardi nel clock che pilota i diversi comparatori possono introdurre un
errore (jitter) nel tempo di campionamento per i vari comparatori
Generazione di “bolle”: nel codice termometrico, per le cause precedenti, possono
comparire bolle, ossia il segnale in uscita non è perfettamente termometrico ma sono
presenti dei “buchi”. Tali bolle possono fare fallire la logica di decodifica.
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Flash: Eliminazione Bolle
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Flash: Two-Step
Per ridurre il numero di componenti si può adottare uno schema di conversione a
due passi come quello mostrato in figura. Un primo convertitore flash a N/2 bit trova
gli N/2 bit più significativi con una conversione grossolana (coarse). Viene poi
calcolato l’errore fra il valore in ingresso e l’uscita di un DAC pilotato da tali bit e
l’errore viene amplificato di 2N/2 per poter essere di nuovo convertito con un flash a
N/2 per ottenere i bit meno significativi. Come secondo flash può anche essere
riutilizzato il primo con un funzionamento a due fasi.
Se si utilizzano due flash il numero di resistenze e comparatori è pari a 2N/2+1 anziché
2N (es. N=10, 33 anziché 1024)
Conversion D/A, differenza e moltiplicazione possono essere realizzate
contemporaneamente con un circuito a switched capacitors (chiamato MDAC,
Multiplier and Digital Analog Converter) ricavato dal DAC a redistribuzione di carica.
Per ridurre il problema delle “bolle” è possibile complicare leggermente la parte
digitale, nel circuito in figura gli zeri spurii possono essere eliminati (solo se c’è un
solo zero, il circuito non corregge bolle di più di uno zero).
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16 Maggio 2005
UE - ADC
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Interpolating Converters
Interpolating Converters (2)
Per ridurre il numero di
preamplificatori e ridurre di
conseguenza la capacità di
ingresso e l’occupazione di area
si può adottare un’architettura
ad interpolazione.
Con la prima stringa di
resistenze si generano 4
tensioni
di
riferimento.
I
preamplificatori (con guadagno
piccolo) suddividono l’intervallo
fra due riferimenti adiacenti in
modo lineare per aumentare il
numero di riferimenti fino al
numero
richiesto
dalla
risoluzione.
Da notare che con questo
schema NON si riduce il numero
totale di latch.
16 Maggio 2005
Ogni preamplificatore genera un’uscita proporzionale alla differenza fra l’ingresso e la
tensione riferimento che gli è applicata (quando questa differenza diventa grande
l’amplificatore satura). Il partitore resistivo fra due uscite di preamplificatori suddivide
poi la differenza di potenziale fra le due uscite di amplificatore (centrate in posizioni
differenti dell’asse Vin) in un numero opportuno di sottointervalli. Nel caso in figura da
ogni intervallo se ne ottengono 4 quindi il convertitore ha una risoluzione di 4 bit (16
valori) con solo 4 preamplificatori anziché 16 ma con 16 latch (e resistenze).
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16 Maggio 2005
Folding Converters
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Folding Converters (2)
I
convertitori
folding
lavorano in modo simile ai
two-step
(trovano
separatamente bit più e
meno
significativi)
ma
effettuano
una
preelaborazione anziché usare
un DAC, inoltre i due gruppi
di
bit
sono
generati
contemporaneamente e non
in sequenza.
Il segnale di ingresso passa
attraverso i folding blocks
che generano uscite come
quelle in figura, centrate in
intervalli diversi.
Spesso i bit più significativi
vengono identificati proprio
dai folding blocks.
16 Maggio 2005
UE - ADC
Il principio di funzionamento è il seguente:
i folding blocks “ripiegano” il segnale di ingresso in un numero M di volte (nel caso in
figura 4 volte, una per ogni transizione della caratteristica ingresso/uscita del folding
block). In questo caso si ottengono i 4 segnali V1, V2, V3 e V4.
I 2 bit più significativi determinano in quale dei 4 sottointervalli ci si trova. All’interno di
tale sottointervallo le uscite dei folding block rappresentano un codice termometrico
particolare.
Se Vin è compreso nel primo o terzo sottointervallo il codice termometrico di V1, V2,
V3 e V4 è normale (al crescere dell’ingresso aumenta il numero di 1), mentre negli
altri due intervalli il codice termometrico è rovesciato (all’aumentare del segnale il
numero di 1 diminuisce).
In particolare con Vin fra 0 e ¼ V1,V2,V3,V4=0000,0001,0011,0111,1111 poi con Vin
tra ¼ e ½ V1,V2,V3,V4=1110,1100,1000,0000 e così via.
Vantaggi: si riduce il numero di latch (4 anziché 16) ma non si riduce di molto la
capacità di ingresso (a causa del modo in cui è realizzato il folding block, si veda il
lucido successivo).
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16 Maggio 2005
UE - ADC
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Folding Converters (3)
Folding e Interpolazione
Il blocco di folding può
essere realizzato in questo
modo.
L’output Vout è in qualche
modo l’OR di Va e Vb
(Vout è bassa solo se lo
sono sia Va che Vb).
Va va alto con Vin fra Vr1
e Vr2 (quando non scorre
corrente su R1) mentre Vb
va
basso
quando
Vr3<Vin<Vr4.
Visto
che
con
l’interpolazione si riduce
capacità di ingresso ma
NON il numero di latch e
che
con
l’approccio
folding si riduce il
numero di latch ma NON
la capacità di ingresso in
genere le due cose
vengono
applicate
contemporaneamente
come nel circuito in
figura.
Come si vede Vin va in
ingresso a 4 coppie
differenziali per ogni blocco
folding per un totale di 16
coppie
differenziali,
esattamente quanto si
avrebbe nel caso di un
flash classico (full-flash).
16 Maggio 2005
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Pipeline Converters
L’architettura two-step
può
essere
generalizzata in modo
che ad ogni step venga
convertito un solo bit. I
vari
step
possono
essere poi organizzati
in pipeline in modo da
avere un uscita ad ogni
colpo di clock.
I
blocchi
DAPRX
contengono il S&H, il
confronto, il calcolo del
residuo
e
la
moltiplicazione per due.
L’errore così ottenuto
viene dato in pasto al
DAPRX successivo per
generare
il
bit
seguente.
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16 Maggio 2005
UE - ADC
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