18.11.05
1. Oscillatore libero e forzato
L’equazione omogenea dell’oscillatore armonico smorzato m x x Cx 0 è risolta da
x x0e i0t e t con inizio al tempo t = 0 dove x = x0 è l’ampiezza (data da un numero reale)
iniziale. Sostituisco la soluzione nell’equazione ed eguaglio tra loro le parti reali e immaginarie.
Ottengo
la frequenza
0
C
m
e lo smorzamento
2m
.
(1)
L’equazione inomogenea dell’oscillatore forzato da una forza periodica esterna F (t ) F0e i t di
frequenza angolare è data da m x x Cx F0e i t ed è risolta da x x0e i t con x0 dato da
un numero complesso
F0
.
(2)
x0
2
m(0 2 ) i
Si dice che il campo di intensità F0 provoca una risposta (lineare) del mezzo di ampiezza x0, le cui
parti reale e immaginaria
F
02 2
Re x0 0 2
m (0 2 ) 2 (2 ) 2
F
2
Im x0 0 2
2
m (0 ) 2 (2 ) 2
(3)
rappresentano il termine dispersivo e il termine dissipativo, rispettivamente, della funzione di
risposta che esprime la proporzionalità tra causa F(t)/m ed effetto x(t). Il termine dispersivo esprime
la frazione di energia del campo che si trasmette attraverso il mezzo, quello dissipativo la frazione
di energia erogata dal campo di forza che viene assorbita dal mezzo (dall’oscillatore). L’energia
assorbita ha un picco (di assorbimento) per 0 (disegnare la funzione). Tale picco è detta
risonanza, la cui ampiezza è data da 1/(2) e la semilarghezza è data da ..... (calcolare). La
risposta oscillante x(t) ha la stessa frequenza della forza oscillante, ma è sfasata di un angolo dato
da
Im x0
2
.
(4)
arg x0 arctan
arctan 2
Re x0
0 2
In risonanza causa ed effetto sono sfasati di /2.
2. Atomo in un campo elettrico oscillante
Suppongo l’atomo immerso in un campo elettrico oscillante definito da E E0 exp( i t ikz)e t /
per t 0, dove la piccola energia > 0 è stata introdotta a indicare che il campo elettrico è nullo al
tempo - e viene gradualmente acceso fino a raggiungere ampiezza E0 al tempo t = 0. Di fatto si
può dire che la durata dell’esperimento in cui andiamo a vedere in che modo l’atomo viene
perturbato dal campo elettrico esterno è espressa dal tempo / (tipico ragionamento approssimato
permesso dalle funzioni esponenziali). L’onda elettrica si propaga lungo z con velocità c e quindi k
= /c. Per dell’ordine di qualche eV, k corrisponde a una lunghezza d’onda dell’ordine di 103
volte più grande della dimensione dell’atomo, e quindi il campo puo considerarsi spazialmente
uniforme sull’atomo. Trascuro quindi la parte in z. Ricordo comunque che il campo elettrico giace
nel piano (x,y) e suppongo che sia polarizzato lungo x. L’energia potenziale di un elettrone nel
campo suddetto è dunque:
V ( x, t ) eE0 x e i t t /
(5)
Voglio studiare la transizione dell’elettrone dell’atomo da uno stato iniziale E1 a uno stato finale E2
indotta dal campo esterno. Suppongo quindi che l’atomo si trovi nello stato iniziale al tempo - e
voglio sapere qual’è la probabilità di trovarlo nello stato finale al tempo t = 0. Scrivo le funzioni
d’onda dei due stati atomici in assenza di campo, esplicitando la loro dipendenza temporale:
10 (r, t ) 1 (r )e iE1t /
20 (r, t ) 2 (r )e iE 2 t /
.
(6)
Esse sono autostati dell’hamiltoniano dell’atomo indisturbato H0:
H 0 i0 Ei i0
(i 1,2) .
(7)
Scrivo ora l’eq. di Sch. per il problema dell’atomo immerso nel campo esterno:
[ H 0 V ( x, t )] i
t
(8)
L’effetto della perturbazione è quello di mescolare gradualmente lo stato 1 con lo stato 2, per cui
proviamo a risolvere la (8) con la funzione:
10 cos 20 sin
(9)
dove = (t) è una funzione del tempo con la condizione iniziale (-) = 0. Sostituendo la (9)
nella (8), moltiplicando entrambi i membri per 10* e integrando sullo spazio, ottengo (ricorda
l’ortonormalità delle funzioni d’onda)
E0e i t t / ei ( E2 E1 )t / sin d 3r 1* (r )ex 2 (r ) i sin
d
.
dt
(10)
Semplificando e integrando sul tempo ottengo:
(t )
E0 p12 x
E E
t
exp[ i ( 2 1 )t ]
E2 E1 i
(11)
dove ho definito l’elemento di matrice del vettore dipolo elettrico
p21 d 3r 1* (r)er 2 (r)
(12)
del quale compare in (11) la componente x. (Il segno – nella definizione si riferisce alla carica
dell’elettrone).
2
La probabilità di transizione per unità di tempo è dunque espressa da sin (0) / . Considerando
l’effetto del campo come una piccola perturbazione degli stati atomici, il seno può essere sostituito
con il suo argomento e quindi detta probabilità per unità di tempo è data da:
P( )
2
(0)
1 2
2
.
E0 p 21
3
( E2 E1 ) 2 2
(13)
La probabilità per unità di tempo della transizione, ossia dell’assorbimento di un fotone da parte
dell’elettrone, ha dunque uno spettro rispetto alla frequenza angolare di forma lorentziana con
picco intorno all’energia di transizione E2 – E1 e larghezza a metà altezza (in gergo: FWHM = full
width at half maximum) uguale a 2 ( è detta quindi semilarghezza).
Notare: (a) la forma di P è quella del termine dissipativo dell’oscillatore forzato classico (fatte le
debite analogie); (b) il fattore 3 è comparso al denominatore perchè ho sostituito p12 x
2
con
2
p12 / 3 ; (c) la larghezza finita della riga di assorbimento dice che nel processo di assorbimento
l’energia e conservata entro . Ciò è dovuto al fatto che abbiamo fatto durare l’esperimento il
tempo / : una manifestazione del principio di indeterminazione! Se però allunghiamo
l’esperimento all’infinito, 0 , la lorentziana tende a volte la delta di Dirac:
P( )
3
2
E02 p 21 ( E2 E1 )
(14)
e l’energia è perfettamente conservata.
Se ripeto la stessa operazione dall’inizio moltiplicando entrambi i membri della (8) per 20* anzichè
10* tutto procede allo stesso modo con gli indici 1 e 2 scambiati e quindi descriviamo
semplicemente il processo di emissione da parte di un atomo che si trova inizialmente nello stato
eccitato 2 e, sotto la perturbazione del campo elettrico oscillante, decade allo stato 1 emettendo un
fotone (emissione stimolata).
Per calcolare le probabilità di assorbimento o emissione occorre conoscere E0
Problema 1: se ho un singolo fotone di frequenza angolare = 6 1015 rad/s confinato in una cavità
di 1 cm3 quant’è (in media) il modulo del campo elettrico?
Problema 2: un laser della suddetta frequenza e potenza di 1 mW è focalizzato su un mm 2: quanti
fotoni per centimetro cubo si hanno nella regione di focalizzazione? E quant’è E0 ?
3. Atomo in una cavità di corpo nero
Se gli atomi sono posti in una cavità di corpo nero a una temperatura T, lo spettro della
radiazione è un continuo e si parla allora (vedi teoria del corpo nero, corso Baldini) di energia
elettromagnetica, o di numero di fotoni, per unità di volume e di frequenza, rispettivamente dati da:
dE
3
1
( )
,
dVd
2c3 e / kT 1
dN
2
1
.
dVd 2c 3 e / kT 1
(15)
e la corrispondente probabilità di transizione per unità di tempo e di frequenza per un atomo
immerso nella cavità è data da (sostituisci la densità di energia 0 E02 con dE / dV , etc.)
3
dP( )
1
2
p 21
( E2 E1 )
3
/
kT
d
3 0c e
1
(16)
B21 ( ) ( E2 E1 )
dove ho introdotto il
coefficiente di assorbimento di Einstein:
B21
3 2 0
p 21
2
(17)
Ricorda le relazioni di Einstein (vedi corso Baldini):
coeff. di emissione stimolata
B12 B21
(18)
dimostrata dal fatto che l’Eq. (14) non cambia se scambio 1 con 2;
coeff. di emissione spontanea
A12
3
2c 3
B12
(19)
ottenuta dalla condizione di equilibrio termodinamico tra il numero N1 di atomi nello stato 1 e il
numero N2 di atomi nello stato 2
N1 A12 B12 ( )
N2
B21 ( )
(20)
Problema 3: un gas di atomi di idrogeno si trova alla temperatura di 6000 K (supponi in una cavità
di corpo nero). Quale frazione di atomi si trova nel primo stato eccitato 2p? Quale frazione è
ionizzata?
