I Titoli Obbligazionari
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Obbligazione (bond)
E’ emessa da un’unità in deficit (un’impresa, un Comune, lo
Stato).
Il flusso di cassa, dal punto di vista dell’emittente è del tipo:
t0
t1
t2
. . .
tm
C
-R1
-R2
. . .
-Rm
L’emittente riceve un “prestito diviso in obbligazioni”: si indebita
nei confronti di una platea di investitori (se gli investitori sono n,
l’ammontare del debito verso ciascuno è C/n).
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Mercato primario e secondario
Un mercato per una fissata classe di “beni” è un “luogo” (fisico
o virtuale) nel quale, in ogni istante, viene fissato e reso
pubblico il prezzo di acquisto e di vendita di una quantità
unitaria di ciascuno dei beni trattati.
Il mercato finanziario primario è il “luogo” ove vengono collocati i
titoli di nuova emissione; sul mercato primario viene fissato il
prezzo di emissione.
Il mercato finanziario secondario è il “luogo” ove vengono
scambiati i titoli già emessi; il mercato fissa i prezzi di scambio e
consente al detentore del titolo di liquidare l'investimento.
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Titolo a cedola nulla (zero-coupon bond)
L’investitore acquista il titolo al prezzo P in t<s. Il titolo garantisce
il pagamento di una somma fissata C ad una data futura s
(scadenza del titolo). Dal punto di vista dell’investitore:
t
s
-P
C
C: valore nominale o facciale
P:
•mercato primario: prezzo di emissione
•mercato secondario: prezzo di acquisto o corso o
quotazione
s-t: vita residua o vita a scadenza
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Esempio
Consideriamo i BOT emessi il 15 gennaio 2004.
BOT a 3 mesi:
0
91
-99.51
100
BOT a 1 anno:
0
-97.95
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365
100
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Titolo a cedola fissa (coupon bond)
Garantisce il pagamento di un flusso di m importi periodici, i primi
m-1 uguali a un importo fissato I>0 (cedola, o coupon), l'ultimo
espresso da C+I, dove C>0 è il valore facciale.
Dal punto di vista dell’investitore:
t0
t1
t2
. . .
tm
-P
I
I
. . .
C+I
C è detto valore di parità del titolo.
Poniamo τ=tk-tk-1, k=1,…,m
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Titolo a cedola fissa (coupon bond)
t0
t1
t2
. . .
tm
-P
I
I
. . .
C+I
1. P=C Î il titolo è quotato (o emesso) alla pari;
2. P<C Î il titolo è quotato sotto la pari;
3. P>C Î il titolo è quotato sopra la pari.
C-P è il premio di emissione.
I
= tasso cedolare
C
I
m = tasso nominale
C
I
τC
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Rateo di interesse
Fissiamo un istante t:
t0 t
t1
t2
. . .
tm
-P
I
I
. . .
C+I
La cedola esigibile in t1 è chiamata cedola in corso; l'intervallo
di tempo che va da t0 a t1 è il periodo di godimento della
cedola in corso.
Si definisce rateo al tempo t l’importo:
t − t0
t − t0
A= I
=I
t1 − t0
τ
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Rateo di interesse
A= I
t − t0
τ
Il rateo rappresenta l'interesse maturato tra t0 e t.
I
A=C
( t − t0 )
Cτ
tasso nominale
A=
interesse prodotto dall’investimento di C nello stesso periodo
secondo una legge degli interessi semplici
al tasso nominale annuo del titolo
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Rateo di interesse
A= I
t − t0
τ
t=t0 Î A=0
t=t1 Î A=I
A cresce linearmente nel periodo intercedola
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Corso tel quel e corso secco
P: corso tel quel
Q = P-A: corso secco
Nel mercato secondario le contrattazioni sono effettuate
considerando il prezzo fittizio Q: in questo modo, sono più
facilmente confrontabili tra loro i prezzi di titoli che richiedono
tempi d'attesa diversi per l'incasso della prossima cedola.
P = Q all'emissione e immediatamente dopo lo stacco di ogni
cedola.
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Esempio
Consideriamo un titolo con cedola I=3 euro, valore facciale
C=100 euro e periodicità τ= 3 mesi. Il titolo, acquistato in t=0
al prezzo tel quel P=98 euro, garantisce un flusso con m=5
pagamenti e stacca la prima cedola dopo un mese:
0
1
4
7
10
13
-98
3
3
3
3
103
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Esempio
0
1
4
7
10
13
-98
3
3
3
3
103
intervallo < τ Î
L'obbligazione è stata acquistata dopo la
data di emissione.
•P<C Î quotazione sotto la pari;
•vita residua: 13 mesi;
•tasso cedolare: I/C=3%;
•tasso nominale: 4*0,03=12%.
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13
Esempio
0
1
4
7
10
13
-98
3
3
3
3
103
Al momento dell'acquisto sono trascorsi 2/3 del periodo di
godimento cedola. Quindi, il rateo è:
2
A = 3× = 2
3
cedola
corso secco Q=98-2=96 euro
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Mercato perfetto
Consideriamo un mercato finanziario idealizzato, in cui siano
trattati solamente titoli obbligazionari default-free ⇔ non
affetti da rischio di credito (rischio di insolvenza nelle
operazioni di debito).
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Mercato perfetto
Ipotesi:
1. non ci sono costi di transazione: in particolare il prezzo di
acquisto e il prezzo di vendita coincidono;
2. non ci sono gravami fiscali;
3. i titoli sono infinitamente divisibili ⇔ è possibile trattare
qualsiasi quantità di ciascun titolo;
4. sono consentite le vendite allo scoperto (short sales) ⇔ è
possibile vendere titoli che non si possiedono;
5. gli agenti sono massimizzatori di profitto: nella scelta tra
due quantità monetarie preferiscono sempre il possesso
della quantità maggiore;
6. gli agenti sono price taker ⇔ non hanno la possibilità di
influenzare, individualmente, il prezzo dei titoli.
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Principio di arbitraggio
arbitraggio:
strategia che non richiede alcun esborso di danaro
e che garantisce un profitto sicuro
Principio di arbitraggio:
è esclusa la possibilità di effettuare arbitraggi
è preclusa la possibilità di realizzare profitti senza che
ciò comporti alcuna assunzione di rischio
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ZCB unitario
Consideriamo uno ZCB con valore facciale unitario; indichiamo
con ν(t,s) il suo prezzo al tempo t. Dal punto di vista
dell’investitore:
t
s
-ν(t,s)
1
Per le ipotesi assunte, e per la significatività finanziaria si ha:
0 < ν (t , s ) < 1
ν ( s, s ) = 1
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ZCB non unitario
Consideriamo uno ZCB con valore facciale xs≠1; indichiamo con
V(t,xs) il suo prezzo al tempo t. Dal punto di vista dell’investitore:
t
s
-V(t,xs)
xs
Supponiamo che sul mercato siano trattati in t gli ZCB unitari con
scadenza in s.
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Teorema di indipendenza dall'importo
Per il principio di arbitraggio deve sussistere l'uguaglianza:
V (t , xs ) = xsν (t , s )
Il prezzo in t dello ZCB con valore facciale xs e scadenza s
deve essere uguale
al prezzo in t del portafoglio contenente xs unità di ZCB
con uguale scadenza e valore facciale unitario
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Portafogli di ZCB con diversa scadenza
Consideriamo il titolo:
t1
t2
. . .
tm
x1
x2
. . .
xm
Sia t≤t1. Posto:
x = { x1 , x2 ,L, xm }
indichiamo con V(t,x) il prezzo del titolo in t.
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Teorema di linearità del prezzo
Supponiamo che in t siano trattati sul mercato m ZCB unitari con
scadenza sulle date considerate.
Per il principio di arbitraggio deve sussistere l'uguaglianza:
m
V (t , x ) = ∑ xkν (t , tk )
k =1
Il prezzo in t del titolo deve essere uguale
al prezzo in t del portafoglio contenente xk unità di ZCB
con scadenza tk (k=1,…,m) e valore facciale unitario
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Struttura per scadenza dei prezzi a pronti
Sia t l'istante di osservazione. Supponiamo che tutti i titoli
obbligazionari trattati possano produrre pagamenti solamente alle
date dello scadenzario (date di apertura del mercato):
t+1
t+2
t+m
Supponiamo che siano osservati i prezzi degli ZCB di tutte le
scadenze:
V ( t , xk )
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k = 1,..., m
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Struttura per scadenza dei prezzi a pronti
Dalla relazione:
V ( t , xk )
ν ( t , tk ) =
xk
k = 1,..., m
è possibile ricavare i prezzi a pronti di tutti gli ZCB unitari.
L’insieme:
ν ( t , tk )
k = 1,..., m
rappresenta la struttura per scadenza dei prezzi a pronti.
Tale struttura descrive completamente il mercato al tempo t
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Struttura per scadenza dei prezzi a pronti
Infatti, qualsiasi titolo scambiato in t deve necessariamente
garantire un flusso di importi:
t1
t2
. . . tm
z1
. . .
z2
zm
Detto V(t,z) il suo prezzo in t, per i teoremi visti deve aversi:
m
V (t , z ) = ∑ zkν (t , tk )
k =1
V(t,z) può essere calcolato
a partire dalla struttura per scadenza dei prezzi a pronti
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Struttura per scadenza dei tassi di interesse (a pronti)
Dalla struttura per scadenza dei prezzi si ricava la struttura per
scadenza dei tassi di interesse a pronti:
1
k
⎛ 1 ⎞
i ( t , tk ) = ⎜
⎟ −1
⎝ ν ( t , tk ) ⎠
Il mercato di riferimento è esente da rischio di credito Î i tassi
i(t,tk) individuano una struttura di rendimenti default-free.
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