Teoremi dei circuiti elettrici - Università di Pavia

Università degli Studi di Pavia
Facoltà di Ingegneria
Corso di
Corso
di
Teoria dei Circuiti
Elettrotecnica
Teoremi dei circuiti elettrici
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
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Teoremi dei circuiti elettrici
Conseguenza
g
di KCL,, KVL e della unicità
della soluzione di un circuito lineare
Valgono in regime stazionario oppure
l
lentamente
variabile
i bil
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI TELLEGEN O DELLA
CONSERVAZIONE DELLE POTENZE
Vale p
per circuiti lineari e non lineari
SE
„
Vi Tensioni di lato che soddisfano KVL
„ Ii
Correnti di lato che soddisfano KCL
ALLORA
∑ VI
ii
=0
i=1,ℓ
i
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI TELLEGEN O DELLA
CONSERVAZIONE DELLE POTENZE
Vi,,Ii COESISTENTI
ViIi
è potenza effettiva
Vi,IIi NON COESISTENTI
ViIi
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è potenza
t
virtuale
it l
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI TELLEGEN O DELLA
CONSERVAZIONE DELLE POTENZE
COROLLARIO
Se c’è un solo generatore di tensione, la sua E è
maggiore delle altre V
(non amplificazione della tensione)
Se c’è un solo generatore di corrente, la sua A è
maggiore delle altre I
(non amplificazione della corrente)
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Teoremi dei circuiti elettrici
„
Esempio
Vi
V1
V2
Due circuiti diversi,
con lo stesso grafo
1
V3
Ii
V4
V5
I1
I2
2
3
5
4
5
I4
I3
I5
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
∑ Vi Ii = 0
1
P t
Potenze
virtuali
i t li
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Teoremi dei circuiti elettrici
„
Esempio
I1
V2
V1
V3
V4
I2
I3
I4
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5
∑ Vi Ii = 0
1
I5
V5
Potenze effettive
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI VON HELMHOLTZ O DELLA
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
Vale p
per circuiti lineari
CHIAMIAMO
CAUSE C tensioni o correnti impresse da
generatori indipendenti
EFFETTI E tensioni o correnti risultanti nei lati
SE in un circuito sono presenti più cause
C = C1 + C2 + …. + Cn
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI VON HELMHOLTZ O DELLA
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
Pensiamo ciascuna causa agente da sola
Le altre n
n-1
1 sono escluse (generatore ideale di tensione:
corto circuito; generatore ideale di corrente: circuito aperto)
ALLORA
C1
C2
…
Cn
E1
E2
…
En
l’effetto totale è la sovrapposizione
pp
dei singoli
g effetti
E = E1+E2+….+En
NOTA – se cii sono generatori
t i di
dipendenti,
d ti questi
ti vanno llasciati
i ti sotto
tt
l’effetto di tutte le cause
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Teoremi dei circuiti elettrici
„
Esempio
A1
E2
A1
R3
R4
R3
R4
I5
R5
,
=
+
I5
E2
R3
R4
,,
I5
I5 =
'
I5
''
+ I5
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'
I5
R3
= A1
R3 + R5
R5
I 5''
R5
E2
=−
R3 + R5
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Teoremi dei circuiti elettrici
„
Esempio (1/2)
R1
P
R2
E
A
I
I = IE + IA
R1
R1
E
IA
IE
R2
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R2
A
E
IE =
R1 + R 2
R1
IA = − A
R1 + R 2
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Teoremi dei circuiti elettrici
„
Esempio (2/2)
R 2E2
2
PE = R 2IE =
(R1 + R2 )2
R 2E2 + R12R 2 A 2
P = PE + PA =
(R1 + R2 )2
R12R 2 A 2
PA = R I =
(R1 + R2 )2
2
2 A
?
NO
P = R 2 (IE + IA ) = R 2IE2 + R 2I2A + 2R 2IEIA = PE + PA + 2R 2IEIA
2
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? SI’
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Teoremi dei circuiti elettrici
NOTA
I è una funzione lineare degli ingressi (E,A)
Vale la sovrapposizione degli effetti
P non è una funzione lineare degli ingressi (E,A)
NON vale la sovrapposizione degli effetti
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI SOSTITUZIONE O DI
COMPENSAZIONE
Vale per reti qualsiasi (lineari e non lineari)
SE il lato i è sostituito da
un generatore ideale di tensione con E=Vi
oppure
un generatore ideale di corrente con A=Ii
ALLORA il funzionamento del circuito non cambia
IPOTESI FONDAMENTALE
La rete ha una e una sola soluzione
(ipotesi banale nel caso lineare)
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Teoremi dei circuiti elettrici
„
Esempio
h
E2
k
I1=k
V1=h
h
R4
E2
R3 R5
≡
R3 R5
R4
E2
h
k
R4
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R3 R5
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DEL GENERATORE EQUIVALENTE
V l
Valgono
per circuiti
i iti lineari
li
i
Se si seziona un circuito in due p
parti mettendo
in evidenza due morsetti
ciascuna parte è un bipolo
V
Un bipolo è noto quando è
nota la sua caratteristica.
caratteristica
Se il bipolo è lineare, la
caratteristica è lineare
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Vv
Req
G eq
Ic
La caratteristica
è individuata da
I
(Vv, Req)
oppure
(Ic, Geq)
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMI DEL GENERATORE EQUIVALENTE
allora
ll
Teorema di Thevenin
Un circuito lineare a due morsetti può essere
sostituito da un generatore reale lineare di V
A
Req
ETh
B
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tale che ETh=V
Vv e Req=V
VV/Ic
Se non ci sono generatori dipendenti
Req=RAB che appare tra A e B quando sono
esclusi i g
generatori
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TEOREMI DEL GENERATORE EQUIVALENTE
Teorema di Norton
Un circuito lineare a due morsetti può essere
sostituito da un generatore reale lineare di I
ANo
A
tale che ANo=IIc e Geq=IIc/Vv
Geq
B
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Se non ci sono generatori dipendenti
Geq=GAB che appare tra A e B quando sono
esclusi i g
generatori
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI RECIPROCITA’
V l per reti
Vale
ti lineari
li
i senza generatori
t i
Isoliamo due lati ((a,b)
, ) del circuito
a
Lineare
passivo
i
b
Doppio bipolo
Se 1) sii collega
S
ll
un generatore
t
id l di tensione
ideale
t
i
i a
in
e si considera la corrente di corto circuito in b Ea Ib
2) si collega il generatore in b e si considera la
corrente
t in
i a Ia Eb
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Teoremi dei circuiti elettrici
TEOREMA DI RECIPROCITA’ a
Allora
Ea
=
Eb
Lineare
passivo
p
b
, in p
particolare, se Ea = Eb e Ia = Ib
Ib
Ia
il funzionamento del circuito non cambia scambiando
ingresso e uscita.
Ea Ia = Eb Ib potenze virtuali
Rab = Rba trans-resistenze
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