Operazioni in N
Le quattro operazioni
Definizioni e Proprietà
Prof.Enrico Castello
Concetto di Operazione
NUMERO
OPERAZIONE
RISULTATO
NUMERO
PROCEDIMENTO CHE PERMETTE DI ASSOCIARE A DUE
NUMERI, DATI IN UN CERTO ORDINE, E DETTI TERMINI
DELL’OPERAZIONE, UN NUOVO NUMERO CHIAMATO
RISULTATO, CHE SODDISFA CERTE PROPRIET À
Addizione in N
SEGNO DI
OPERAZIONE
5+3=8
ADDENDI
SOMMA O
TOTALE
L’ADDIZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI ADDENDI È
L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN
TERZO NUMERO DETTO SOMMA O TOTALE
Proprietà dell’Addizione
PROPRIETÀ COMMUTATIVA
La somma di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine
degli addendi:
8 + 3 = 11
3 + 8 = 11
8+3=3+8
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
La somma di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni
addendi si sostituisce la loro somma:
4 + 2 + 3 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9
4 + 2 + 3 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9
La somma di due o più numeri non cambia se a uno o più
addendi se ne sostituiscono altri aventi per somma l’addendo
considerato:
9 + 6 = 15
(2 + 7) + 6 = 2 + 7 + 6 = 15
9 + (2 + 4) = 9 + 2 + 4 = 15
ELEMENTO NEUTRO
Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione:
8+0=0+8=8
LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA
L’addizione è una legge di composizione interna all’insieme dei numeri
naturali: se addizioni due numeri naturali ottengo sempre un
numero naturale; cioè l’addizione fra numeri naturali si può
sempre fare.
12 + 8 = 20
NUMERO
NATURALE
NUMERO
NATURALE
NUMERO
NATURALE
Sottrazione in N
SEGNO DI
OPERAZIONE
9- 4=5
MINUENDO
DIFFERENZA
SOTTRAENDO
LA SOTTRAZIONE DI DUE NUMERI, IL CUI PRIMO SI
CHIAMA MINUENDO E IL SECONDO SOTTRAENDO È
L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA AD ESSI UN
TERZO NUMERO DETTO DIFFERENZA
DIFFERENZA + SOTTRAENDO = MINUENDO
5+4=9
Proprietà della Sottrazione
PROPRIETÀ INVARIANTIVA
La differenza fra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona,
o si sottrae se possibile, uno stesso numero:
8-5=3
(8 + 2) - (5 + 2) = 10 - 7 = 3
(8 - 3) - (5 - 3) = 5 - 2 = 3
REGOLA DI CALCOLO
Se da un numero si devono sottrarre successivamente (uno dopo l’altro)
più numeri, si possono eseguire le sottrazioni nell’ordine di scrittura,
oppure si sottrae dal primo numero la somma di tutti gli altri:
19 - 7 - 5 - 2 = 12 - 5 - 2 = 7 - 2 = 5
19 - 7 - 5 - 2 = 19 - (7 + 5 + 2) = 19 - 14 = 5
Moltiplicazione in N
SEGNO DI
OPERAZIONE
MOLTIPLICANDO
5 × 3 = 15
MOLTIPLICATORE
FATTORI
PRODOTTO
LA MOLTIPLICAZIONE DI DUE NUMERI CHIAMATI
FATTORI È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE ASSOCIA
AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO PRODOTTO
Proprietà della Moltiplicazione
PROPRIETÀ COMMUTATIVA
Il prodotto di due o più numeri non cambia “scambiando” l’ordine dei
fattori:
4 × 3 = 12
3 × 4 = 12
4×3=3×4
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
Il prodotto di due o più numeri non cambia se al posto di alcuni fattori
si sostituisce il loro prodotto:
2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × 3 × 4 = 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Il prodotto di due o più numeri non cambia se a uno o più
fattori se ne sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore
considerato:
12 × 6 = 72
(3 × 4) × 6 = 3 × 4 × 6 = 72
12 × (2 × 3) = 12 × 2 × 3 = 72
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA
MOLTIPLICAZIONE
RISPETTO ALL’ADDIZIONE
Per moltiplicare una somma per un numero, si può moltiplicare ogni
addendo della somma per quel numero e poi addizionare i prodotti
così ottenuti:
(2 + 4) × 5 = 6 × 5 = 30
(2 + 4) × 5 = 2 × 5 + 4 × 5 = 10 + 20= 30
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELLA
MOLTIPLICAZIONE
RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE
Per moltiplicare una differenza per un numero, si possono moltiplicare
minuendo e sottraendo della differenza per quel numero e poi
sottrarre i prodotti così ottenuti:
(10 - 4) × 3 = 6 × 3 = 18
(10 - 4) × 3 = 10 × 3 - 4 × 3 = 30 - 12= 18
ELEMENTO NEUTRO
L’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione:
7×1=1×7=7
ELEMENTO ASSORBENTE
Lo zero è l’elemento assorbente della moltiplicazione, cioé annulla
sempre il prodotto:
5×0=0×5=0
e vale
0×0=0
LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA
La moltiplicazione è una legge di composizione interna all’insieme dei
numeri naturali: se moltiplico due numeri naturali ottengo
sempre un numero naturale; cioè la moltiplicazione fra i
numeri naturali si può sempre fare.
2 × 8 = 16
NUMERO
NATURALE
NUMERO
NATURALE
NUMERO
NATURALE
Divisione in N
1 - DIVISIONE ESATTA O PROPRIA:
SEGNO DI
OPERAZIONE
15 : 3 = 5
DIVIDENDO
DIVISORE
QUOTO
LA DIVISIONE ESATTA (O PROPRIA) DI DUE NUMERI, IL CUI
PRIMO SI CHIAMA DIVIDENDO E IL SECONDO, DIVERSO DA
ZERO, DIVISORE È L’OPERAZIONE ARITMETICA CHE
ASSOCIA AD ESSI UN TERZO NUMERO DETTO QUOTO
QUOTO × DIVISORE = DIVIDENDO
5 × 3 = 15
Divisione in N
2 - DIVISIONE APPROSSIMATA O IMPROPRIA:
SEGNO DI
OPERAZIONE
13 : 3 = 4
DIVIDENDO
DIVISORE
e resto
QUOZIENTE
1
RESTO
QUOZIENTE × DIVISORE + RESTO = DIVIDENDO
4 × 3 + 1 = 13
PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER
LA DIVISIONE ESATTA
Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il
dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoto rimane
invariato:
12 : 6 = 2
(12 × 4) : (6 × 4) = 48 : 24 = 2
(12 : 3) : (6 : 3) = 4 : 2 = 2
PROPRIETÀ INVARIANTIVA PER
LA DIVISIONE APPROSSIMATA
Se si moltiplicano, o si dividono quando sono divisibili, il divisore e il
dividendo di una divisione per uno stesso numero il quoziente rimane
invariato, mentre il resto viene moltiplicato o diviso per quel numero:
40 : 12 = 3 e resto 4
(40 × 3) : (12 × 3) = 120 : 36 = 3 e resto 12 (=4 × 3)
(40 : 2) : (12 : 2) = 20 : 6 = 3 e resto 2 (=4 : 2)
Approfondimento sulla Divisione
quoto di due numeri uguali:
12 : 12 = 1
Se il divisore è uguale a 1 il quoto è uguale al dividendo:
12 : 1 = 12
Se il dividendo è uguale a 0 e il divisore è diverso da 0 allora il
quoto è uguale 0:
0 : 12 = 0
Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è diverso da 0 allora la
divisione è impossibile
12 : 0 = impossibile
Se il divisore è uguale a 0 e il dividendo è uguale a 0 allora la
divisione è indeterminata
0 : 0 = indeterminata
