Capitolo 7. La valutazione del rapporto segnale/rumore (SNR) in

Capitolo 7. La valutazione del rapporto
segnale/rumore (SNR) in rivelazione diretta ed
amplificata
7.1. Alcune definizioni
Il rapporto Segnale/Rumore o più comunemente SNR (Signal to Noise
Ratio) è il parametro più utilizzato per misurare la qualità della
trasmissione dell’informazione. Sebbene nato in ambito analogico, esso è
utilizzato anche in ambito digitale perché, seppure in modo non-lineare,
può essere riportato ad esso anche l’errore digitale di trasmissione o BER
Bit-Error-Rate. Nelle comunicazioni ottiche si presenta poi una peculiare
accezione di SNR: l’SNR ottico o, in sigla OSNR. L’SNR comunemente
definito è quello “elettrico”, ovvero l’SNR misurato a valle del processo
di fotorivelazione che comprende quindi anche “rumore” additivo di tipo
“elettrico”. L’accezione “ottica” si presenta sempre di più in letteratura
con lo svilupparsi dei sistemi tutto-ottico di trattamento del segnale
(amplificatori ottici e filtri ottici) e dei “simulatori” numerici dela
trasmissione che mostrano l’evoluzione virtuale del segnale nella rete
ottica “indipendentemente” dal processo di fotorivelazione, a cui viene
addebitata una “penalità” specifica di tipo “additivo”. Sebbene l’accezione
“ottica” del SNR teoricamente dovrebbe fare riferimento a grandezze solo
“fotoniche” (che attingono quindi solo dalle proprietà della luce) nella
pratica ingegneristica si fanno riferimento a grandezze “fotoelettriche”,
cioè si introducono le tipiche proprietà statistiche che accompagnano il
processo di fotorivelazione.
Sebbene nelle comunicazioni ottiche possiamo essere in presenza di una
molteplicità di segnali, nella stragrande maggioranza dei casi con
“segnale” si intende una variabile deterministica s(t) la cui rivelazione
viene pregiudicata da un “rumore” (noise) a media nulla ma con,
evidentemente, valore quadratico medio diverso da zero.
Secondo questa precisazione si intende quindi con SNR
SNR =
(media
2
del segnale)
(valore quadratico medio del rumore)
queste “medie” sono generalmente valutabili in tempo, per cui
!
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007
1
SNR =
!
!
!
!
!
Se consideriamo l’espressione originale di SNR
s 2 (t)
n2
e lo supponiano scritto in forma di count-rate n(t) moltiplicato sopra e
sotto per e2 RL
SNR =
!
s 2 (t)
2
("n)
SNR è quindi un numero. Esso esprime quanto la parte di segnale
ricevuto che contiene l’informazione si innalza rispetto a quella parte che
non contiene l’informazione cui viene genericamente attribuito il
significato di rumore o con termine inglese ormai comune in elettronica
noise. Questo numero può essere grande (20, 50, 100) grandissimo
(104 , 106 ) o < 1, espresso in dB ( 10 log10 (numero) o con altre convenzioni.
Alla radice di questo numero si attribuisce spesso il significato di
argomento della error-function (o funzione Q) per la valutazione del BER.
SNR =
!
n2
dove la media viene valutata in un certo tempo di integrazione T
(generalmente assunto come inverso della banda elettrica Be). Avendo
assunto poi di considerare dei processi di rumore a media zero,
2
l’espressione precedente si può scrivere in termini di varianza ("n)
come
SNR =
!
s 2 (t)
n 2 (t) e 2 RL
" 2
n(t) 2 e RL
vediamo che essa rappresenta al numeratore una “potenza” dovuta alla
corrente elettrica en(t) dissipata nella resistenza RL, al denominatore la
varianza della corrente di rumore ovvero la potenza di rumore. Quindi
SNRelettrico può anche essere interpretato come il rapporto fra la potenza
media di segnale “convertito in elettrico” e la potenza media di un rumore
casuale “convertito in elettrico” a media nulla:
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2
SNRelettrico =
!
( potenza del segnale elettrico)
( potenza del rumore elettrico)
se trascuriamo per un momento i “rumori” di tipo elettrico additivo,
questo SNRelettrico può essere riportato ad un SNRottico con gli opportuni
coefficienti di conversione opto-elettrico, la responsivity r o αe
2
" 2e 2 Psegnale ottico
SNRelettrico = 2 2 #
= SNRottico
" e ($Prumore ottico )
!
cioè l’SNR in elettrico è uguale al SNR ottico se
- trascuro i rumori additivi di tipo elettrico aggiunti dal processo di
fotorivelazione;
- considero come definizione del SNR ottico il rapporto fra il quadrato
della media della potenza di segnale e la varianza del rumore.
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3
7.2 Il SNR nel processo di rivelazione diretta
Consideriamo un normale fotoricevitore predisposto per ricevere una luce
miscela formata da una Intensità di segnale Is = APs ed una intensità di
rumore In=APn. Normalmente il segnale fotorivelato subisce un
processo elettronico di filtraggio che rimuove immediatamente le
componenti indesiderate, cioè le componenti della potenza che non
convogliano l’informazione e le componenti di rumore fuori dalla banda
elettrica del segnale. Siccome siamo in presenza di segnali variabili
rapidamente nel tempo alla cadenza di cifra della trasmissione digitale , un
primo filtraggio agisce da passa-alto per rimuovere tutte le componenti in
“continua” dei segnali. Un secondo filtraggio, questa volta di tipo “passabasso” delimita esattamente la banda di frequenza interessata dal segnale
(che supponiamo sia Bs, in elettrico) e solo quella, onde evitare
l’introduzione di potenza di rumore indesiderata. Chiamiamo Bm la banda
di quest’ultimo filtro. Questi filtri agiscono nel “dominio elettrico” ma il
nostro segnale come sappiamo è trasportato su di una portante ottica,
normalmente una delle frequenze ottiche della griglia WDM della ITU-T.
Questa portante (e lo spettro di frequenze collegate che accompagnano il
segnale modulato), sono separate da un sistema di “filtri” di tipo “ottico”
( che agiscono cioè in ambito delle frequenze ottiche ovvero ne “dominio
ottico”) che supponiamo abbia una banda Bo, che normalmente è vista
“bilatera” nel dominio elettrico (in quanto occupa anche le frequenze
“negative” del dominio elettrico che sono normali frequenze nel dominio
ottico – vedi figura seguente). La banda Bo è normalmente in grado di
contenere bene il segnale modulato che, nello stesso “domino” del filtro
ottico avrà una banda bilatera 2Bs delimitata da un filtro elettrico di banda
2Bm, cui corrisponde un tempo medio di integrazione T tale per cui
T=1/2Bm.
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4
Dopo le operazioni di filtraggio i segnali si presenteranno con un
SNRelettrico del tipo
s 2 (t) (em (t))
SNRelettrico = 2 = 2 2
"n
e "m
!
2
dove è stato usato il simbolo m(t) per indicare il count-rate fotoelettrico
della luce miscela. Introducendo i risultati del capitolo inerente il processo
di fotoconteggio si ha quindi (considerando che solo la luce ordinata
contribuisce al termine “segnale”). Se siamo in presenza di un segnale in
presenza di rumore ottico il processo sarà complessivamente descritto da
una distribuzione di Laguerre, ed introducendo nella espressione
precedente l’espressione della varianza ricavata nel capitolo precedente, si
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5
ottiene
SNRelettrico
!
(em (t))
=
e 2" m2
2
=
(ems )
2
$
µ2
µ #µ '
e 2 &µs + µn + n + 2 s n )
M
M (
%
Facciamo ora le seguenti ipotesi (ragionevoli per un comune sistema di
comunicazione ottica):
- assumiamo pari a T=1/2Bm il tempo di integrazione sia del segnale che
del rumore;
- assumiamo che il rumore ottico abbia una banda spettrale molto più
ampia della banda del segnale e che sia “intercettato” dal rivelatore con un
filtro “ottico” di banda B o;
- assumiamo che il processo di fotorivelazione avvenga in condizioni
monomodali spaziali e di polarizzazione e che quindi il numero di modi M
sia semplicemente dato dal rapporto Bo/2Bm.
Si ottiene quindi:
2
(e"PsT )
SNRelettrico =
2
$
"PnT )
"PsT # "PnT '
(
2
)
e &"PsT + "PnT +
+2
&%
M
M
)(
ovvero esplicitando M e dividendo per T 2 sopra e sotto,
!
SNRelettrico =
(e"Ps)
2
$
'
2
1
1 (" PnPn ) 2Bm
"Ps # "Pn # 2Bm )
&
e "Ps + "Pn +
+2
&
)
T
T
Bo
Bo
%
(
2
!
ed introducendo il valore spettrale medio del rumore No=Pn/Bo e
ponendo 1/ T uguale a 2Bm
SNRelettrico =
!
(e"Ps)
2
[
e 2 "Ps2Bm + "PnBm + (" 2 PnNo) 2Bm + 2"Ps # "No # 2Bm
]
ottengo finalmente l’espressione “ottica” (cioè senza termini elettrici) del
SNR in rivelazione diretta
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6
SNRelettrico =
!
(e"Ps)
2
[
]
e 2 " ( Ps + Pn ) + " 2 No( Pn + 2Ps) 2Bm
(Ricordiamo che all’origine di questa espressione al numeratore c’è il
valor medio di conteggio ed al denominatore la somma di “varianze” di
conteggio, anche se in seguito all’operazione di “semplificazione sopra e
sotto per T, questo non appare ad una semplice lettura). In particolare,
ricordando quanto svolto al Capitolo precedente (Il processo di
fotorivelazione, al paragrafo “shot-noise” ) , identifichiamo nei primi due
termini al denominatore – e2αPs e e2αPn - proprio i termini di potenza di
shot-noise che costituiranno le varianze del processo di fotorivelazione,
e2µs ed e2µn. Se la foto-rivelazione è condotta con un APD o comunque
con un fotorivelatore dotato di guadagno, si è visto nello stesso paragrafo
che il guadagno medio g va a moltiplicare la componente di segnale ed il
valore quadratico medio del guadagno g 2 la componente di rumore. In
presenza di APD l’espressione precedente diventa quindi:
!
!
SNRelettrico =
!
(e"g Ps)
2
[
]
e 2 " g 2 ( Ps + Pn ) + " 2 g 2 No( Pn + 2Ps) 2Bm
Sino ad ora abbiamo considerato solo i termini di rumore di origine
“ottica” che entrano nel canale di comunicazione (No) o sono causati dal
processo di fotorivelazione (shot-noise).
Per completare l’espressione “elettrica” del SNR, occorre ora aggiungere
le varianze di fotoconteggio derivanti dai componenti “elettrici” del
circuito, cioè come abbiamo visto ai paragrafi precedenti, il rumore
Johnson e la cosidetta “dark current”. Le espressioni di varianza di
count-rate per questi due termini sono rispettivamente
("m
johnson
)
2
=
2kT N oc
= 2 = var ianza di count # rate Johnson
e 2 RL
e
dove è stato preso a coefficiente di kT il fattore 2 perché stiamo
considerando una banda bilatera 2Bm. Per la dark-current è
!
("m )
I DC
!
2
=
IDC
= var ianza di countrate DC
e
Per ottenere le varianze di fotoconteggio da questi due termini li debbo
moltiplicare per T ed ottenere quindi
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7
!
!
2
" Joh
=
N oc
T = varianza di fotoconteggio Johnson
e2
2
" DC
=
IDC
T = varianza di fotoconteggio DC
e
Per introdurre queste espressioni nel rapporto segnale/rumore
precedente, debbo fare subire loro il processo di semplificazione per T2,
equivalente a moltiplicare le espressioni di varianza di count-rate per
2Bm (al posto di T), che a questo punto raccolgo a fattore comune
ottengo l’espressione completa del SNR in termini di potenze e bande
SNRelettrico =
!
(e"g Ps)
2
#
Noc I &
e 2 %" g 2 ( Ps + Pn ) + " 2 g 2 No( Pn + 2Ps) + 2 + DC ( ) 2Bm
$
e
e '
La rappresentazione spettrale di questa espressione è riportata nella figura
seguente. Identifichiamo nella espressione e nella figura
1) La potenza elettrica del segnale (e"g Ps) che si presenta con la banda
2Bs ed a cui viene rimossa una piccola potenza nella zona della continua:
questo è l’unico termine posto al numeratore;
2) La varianza di potenza !elettrica dovuta allo shot-noise prodotto dalla
potenza ottica entrante, sia di segnale che di rumore e 2" g 2 (Ps + Pn ) : questa
potenza si presenta a spettro piatto nella banda del filtro elettrico 2Bm;
3) la varianza di potenza elettrica dovuta al battimento fra il rumore ottico
di densità spettrale di potenza No (che si presenta
piatto nella banda del
!
filtro ottico Bo e che contribuisce alla potenza di rumore Pn=NoBo) e le
potenze di segnale e di rumore e 2" 2 g 2 No( Pn + 2Ps) ;
4) le varianze di rumore elettrico additivo di tipo Johnson e Dark-current,
che si presentano a spettro piatto nella banda del filtro elettrico 2Bm,
2
N oc + eIDC
!
!
.
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8
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007
9
7.3 Approssimazioni nella espressione del SNR in
rivelazione diretta: densità spettrale di potenza di rumore
ottico trascurabile
Procediamo ora a dividere sia il numeratore che il denominatore della
espressione precedente per termini a fattore comune, cioè ad esempio
e 2 g 2 (in modo che riconduco il numeratore ad un count-rate primario,
non amplificato dal guadagno g):
!
SNRelettrico =
("Ps)
2
#
Noc IDC &
2
%" F ( Ps + Pn ) + " No( Pn + 2Ps) + 2 2 +
( ) 2Bm
eg
e g2'
$
al denominatore è comparso il Fattore di Merito dell’APD, definito come
!
F=
!
g2
g2
che moltiplica i termini di shot-noise. Facciamo ora l’ipotesi che il livello
dello spettro di potenza del rumore ottico, No, sia molto piccolo: questa
ipotesi è ragionevole nei sistemi di comunicazione ottica senza apparati di
amplificazione in quanto è difficile che sorgenti di rumore ottico
“termico” abbiamo uno spettro di potenza elevato nella regione di terza
finestra: le sorgenti termiche hanno infatti per loro natura spettri molto
ampi (diverse centinaia se non migliaia di nm) e quindi è abbastanza
ragionevole supporre che il livello spettrale sia modesto. Secondo questa
ipotesi, arrivo a trascurare tutto l’intero secondo termine al denominatore
della precedente espressione che, dividendo sopra e sotto per αPs diventa
SNRelettrico =
("Ps)
) # Pn &
Noc
IDC ,
+
(+ 2 2
+ F %1+
. / 2Bm
2
* $ Ps ' e g "Ps e g "Ps-
!
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A costituire i termini di varianza del segnale sono rimasti solo due tipi di
termini: il rumore shot-noise ed i termini di rumore elettrico. Come si
osserva nel rumore shot-noise non è scomparso il termine di Pn perché,
anche se il valore di No è molto piccolo, l’integrazione per una banda di
filtro ottico molto grande può dare luogo ugualmente ad una potenza di
rumore residua non trascurabile. L’espressione precedente mette in
risalto che i count-rate di origine elettrica, rispettivamente Noc /e 2 e IDC /e
sono “depressi” dal count-rate del segnale g 2"Ps : quindi pur di avere un
segnale potente posso sempre rendere trascurabile anche questo tipo di
!
rumore e portare l’espressione precedente a contenere
solo! il termine di
“shot-noise”
!
SNRshot"noise lim ited =
(#Ps)
* $ Pn ')/ 0 2Bm
, F &1+
+ % Ps (.
!
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11
Questa espressione del SNR elettrico si chiama “shot-noise-limited” a
significare che il massimo SNR ottenibile è limitato dal rumore di shotnoise.
Possono ora darsi due casi:
1. Pn è uguale a Ps o addirittura molto maggiore di esso. In questo caso
posso semplificare l’espressione precedente che diventa:
SNRbackgroun"noise"lim ited =
!
#Ps Ps
$
F2Bm Pn
Questa espressione del SNR elettrico in rivelazione diretta si chiama “
background noise limited ”: infatti essa si può verificare nei sistemi di
comunicazione ottica non-guidati (cioè di tipo laser diretto o “wireless”)
dove in alcune condizioni di funzionamento l’illuminazione esterna,
specialmente quella solare (da cui la dizione “background”) può essere
significativamente alta. E’ interessante notare che, sebbene Ps/Pn sia
inferiore ad uno, il complessivo SNR può essere maggiore di uno se si
restringe la banda Bm ed aumenta la potenza di segnale Ps.
2. Pn minore o molto minore di Ps. In questo caso posso semplificare
l’espressione precedente che diventa:
SNRquantum"noise"lim ited =
!
o se, considero una fotorivelazione che avviene senza guadagno di
fotorivelazione (ad esempio usando PIN)
SNRquantum"noise"lim ited =
!
#Ps
F2Bm
#Ps
2Bm
Questa espressione del SNR elettrico in rivelazione diretta si chiama
“quantum limited”: essa infatti è l’espressione del SNR massima
ottenibile quando ogni tipo di rumore sia di origine ottica che elettronica
viene “depresso” dalla potenza del segnale ottico in arrivo al
fotoricevitore.
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007
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7.4 Il SNR “Quantum Limited”
L’espressione del SNR “quantum limited” assume un rilievo speciale nelle
comunicazioni ottiche perché rappresenta l’espressione a cui “tendere”
quando si progettano i sistemi stessi: essa è il valore asintotico a cui
tendere al fine di ottimizzare al massimo il vantaggio offerto dall’ottica.
Vediamo nel seguito alcune “letture” che possono essere date del SNR
“quantum limited”. Consideriamo ancora l’espressione precedente
SNRQL =
"Ps
2Bm
rendendo esplicito il coefficiente α, essa risulta
!
SNRQL =
!
"Ps
h# 2Bm
ovvero il rapporto fra due potenze: la potenza di segnale Ps (“convertita”
con coefficiente " ) e la potenza fornita dal livello spettrale quantico h" /2
integrato dalla banda elettrica 2Bm (il fattore 2 scomparirà nella
espressione quantum-limited ottenuta in rivelazione coerente) .
!
SNRQL
!
L’energia h" /2 rappresenta come sappiamo, il solo “rumore
elettromagnetico” sussistente alle bande delle frequenze ottiche, quando
ogni altro tipo di rumore elettromagnetico scompare. Essa rappresenta la
fluttuazione
elettromagnetica ineliminabile o energia dello “stato vuoto”,
!
intendendo con questo termine l’energia dello stato fotonico “zero”.
Questa energia non è, come abbiamo già ricordato, “estraibile” ma
“entra” nel sistema di rivelazione insieme alla potenza del segnale ed è la
causa della variabilità ineliminabile che anche la luce più ordinata
presenta. Questa variabilità lascia come “traccia” la distribuzione di
Poisson che la luce coerente presenta. Infatti se sviluppiamo
l’espressione SNR quantum-limited otteniamo:
SNRQL =
!
!
potenza del segnale
=
potenza dello stato vuoto
"Ps
count # rate
=
=<n>
2Bm 1/tempo di int egrazione
che può essere visto come rapporto fra il conteggio medio al quadrato di
un processo di Poisson (ottenuto dal fonorivelatore quando una luce
segnale perfettamente stabile lo illumina) e la sua varianza:
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SNRQL
!
< n >2
=
=< n >
<n>
La variabilità di Poisson è la “migliore” variabilità che possiamo attribuire
alla luce: essa è la variabilità propria della luce laser ed anche della sua
descrizione teorica e l’espressione SNRQL , che abbiamo ottenuto “in
elettrico” mantiene la sua validità anche “in ottico” , quando cioè si
consideri “segnale” la raccolta di fotoni accumulata nel tempo di
integrazione 1/2Bm e si consideri come unica fluttuazione la varianza
intrinseca del processo di Poisson che rappresenta la descrizione
quantistica della luce “perfettamente coerente” (chiamata anche “stato
coerente” o “stato di Glauber”).
Ritornando alla espressione originale del SNR, prima delle semplificazioni,
il SNRQL diventa
2
SNRQL
!
2
2
e 2 ("Ps)
e 2 ("Ps) T e 2 ("Ps) T 2 e 2 ms2 ( potenza del segnale) 2
= 2
=
=
= 2
=
e "Ps2Bm
e 2"Ps
e 2"PsT
( potenza di shot noise)
e ms
ovvero il SNRQLrappresenta il rapporto fra il quadrato della potenza ottica
media di segnale ricevuta e la potenza di shot-noise del solo segnale. Nella
rappresentazione spettrale illustrata nella figura precedente è come se
solo il termine spettrale di shot-noise fosse rimasto quale consequenza
dell’alto livello della potenza ricevuta Ps, la cui variabilità intrinseca,
appunto lo shot-noise, viene a dominare qualsiasi altra variabilità. Si
osserva quindi come la dizione “potenza di shot noise” e “potenza dello
stato vuoto” giochino lo stesso ruolo nel SNRQL, la prima espressione
riferendosi al processo di fotorivelazione, la seconda ad un processo che
avviene in ambito ottico.
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007
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7.5 La depressione dei termini di rumore “elettrico”
Il tema delle componenti di rumore di origine elettrica (cioè
sostanzialmente la corrente di buio ed il rumore termico o rumore
Johnson) è centrale nella costruzione del power-budget del sistema di
comunicazione ottica. Si è visto che solo con la sua depressione è
possibile raggiungere il quantum-limit. Allo stesso modo si è visto che
l’assenza delle componenti di rumore “elettrico” permette di conciliare
facilmente la valutazione del SNR in “elettrico” ed in “ottico”. I termini
“elettrici” diventano trascurabili quando (come è stato visto ai paragrafi
precedenti) i count-rate di origine elettrica, rispettivamente Noc /e 2 e IDC /e
sono “depressi” dal count-rate del segnale g 2"Ps . Nei moderni sistemi di
comunicazione ottica (nei quali si lavora ad alto bit-rate e quindi grande
bande elettriche), la dark-current dei dispositivi !di fotorivelazione
non
!
introduce un rumore significativo! se confrontato con quello di tipo
“termico” o “Johnson” introdotto dalla resistenza RL. Per cui la
condizione di “depressione” dei termici elettrici si riduce sostanzialmente
a
2kT
<< g 2"Ps
e 2 RL
!
Il soddisfacimento di questa disuguaglianza ha profondi riflessi sul
dimensionamento del sistema di comunicazione ottica perché in essa
compaiono dei parametri fondamentali per il sistema:
Ps. Questa Potenza rappresenta la potenza ottica effettivamente ricevuta
dal fotodiodo di ingresso: essa dipende quindi dalla lunghezza della tratta
di fibra ottica che costituisce il collegamento desiderato. In generale
Ps = Poe"aL
!
e l’interesse di sistema è quello di progettare la tratta di maggiore
lunghezza possibile che, al valore tipico delle attenuazioni di fibra ottica
(0,2 dB/Km) implica di arrivare al ricevitore con potenze dell’ordine di
qualche decina di microWatt.
RL. Questa rappresenta la resistenza “equivalente” riportata all’ingresso di
tutti i circuiti elettrici di post-processing del segnale. Lo standard usato
per questa resistenza è quello di 50 ohm che associata a capacità
equivalenti che abbiamo visto essere per i migliori fotodiodi dell’ordine di
qualche picoFarad, comporta una frequenza di taglio del fotodiodo pari a
circa 20 GHz. Il valore della resistenza di ingresso è quindi, in generale,
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007
15
“imposto” dal valore della frequenza di taglio
f 3dB =
!
!
1
RL C
e difficilmente potrà essere aumentato se si desiderano sistemi di
comunicazione ottica ad alto bit-rate.
g 2 . Questo parametro è una indicazione della capacità di “guadagno”
posseduta del fotodiodo a valanga usato nel ricevitore. Come abbiamo
visto, esso non può essere aumentato molto per non penalizzare poi il
sistema con l’introduzione di un alto valore di Fattore di Merito.
L’impiego di un APD è inoltre molto più costoso dell’impiego di un
semplice PIN e pone dei problemi di packaging non indifferenti.
Se introduciamo i parametri ora analizzati nella disuguaglianza sopra
riportata otteniamo:
2kTf 3dB << e 2 g 2"Po # e$aL
!
ed affinché l’espressione sia soddisfatta (in altri termini se si vuole
lavorare senza “penalità” portate dai termini di “rumore elettrico” nel
sistema) occorrerà fare un “compromesso” fra la lunghezza d tratta utile
e la banda del ricevitore, ovvero il rate-trasmissivo. Vediamo con un
esempio numerico come si pone il problema. Supponiamo di non disporre
di un APD e quindi di non avere guadagno e supponiamo altresì di avere
una tratta di fibra ottica lunga 100 Km con un trasmettitore di 10 mW di
potenza (un valore ragionevole per i moderni laser di trasmissione). La
potenza Ps sarà quindi dell’ordine di 0,1 mW ed il count-rate prodotto dal
segnale al ricevitore sarà
n segnale (t) = "Ps =
!
d’altra parte, valutiamo il count-rate “termico” prodotto dalla resistenza di
ingresso di 50 ohm, ipotizzando di lavorare a temperatura ambiente. Sarà
n Johnson (t) =
!
#Ps 0,8 %10&4
=
= 6,3%1014 count /s
&19
h$ 1,28 %10
2kT
2 " 0,025 "1,6 "10#19
=
= 6,3"1015 count /s
2
2
#19
e RL
(1,6 "10 ) " 50
come si vede questo “count rate” sommerge il segnale e quindi in queste
condizioni non solo la disuguaglianza non sarà verificata ma anche la
ricezione sarà fortemente compromessa. Per permettere la ricezione
dovrò quindi fare ricorso ad un APD che presenti” almeno” un guadagno
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007
16
pari a 100: in questo modo il count-rate di segnale sarà portato a circa
6,3 1018 un valore che
supera largamente il rumore termico.
Alternativamente avrei dovuto ridurre la banda del segnale, per aumentare
la resistenza di ingresso, o ridurre la lunghezza di tratta, per permettere
una maggiore potenza di ingresso al ricevitore.
7.3 Approssimazioni nella espressione del SNR in
rivelazione diretta: impiego di amplificatori ottici
Come affermato al paragrafo precedente, quando nei sistemi di
comunicazioni ottica ad alto bit-rate si vogliono ridurre i contributi di
“rumore elettrico”, occorre fare ricorso a sistemi di guadagno della
corrente primaria. Questi sistemi, se pure efficaci, presentano due
inconveniente principali:
- di essere “dedicati” alla singola portante da rivelare, cioè alla singola
lunghezza d’onda;
- di essere “dedicati” ad un certo bit-rate, cambiando il quale o
cambiando il formato trasmissivo spesso si impone la necessità di
cambiare anche la caratteristica del dispositivo.
In alternativa si è sviluppata la tecnologia di “amplificazione ottica”, una
tecnica che permette cioè non di amplificare la “corrente” già prodotta,
ma di amplificare l’intensità luminosa guidata dalla fibra. In questo modo,
se l’amplificazione è svolta con certe caratteristiche (presente nei
moderni sistemi) vengono superate le limitazioni precedenti. Anche
l’amplificatore ottico non è però esente da problemi ed , in particolare
introduce un “rumore” di tipo ottico-termico (con le caratteristiche
statistiche di una luce caotica) ineliminabile chiamato Amplified
Spontaneous Emission o ASE di livello spettrale Nsp pari a
Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007
17
Nsp = (G "1) # h$ # n sp
!
[W /Hz]
dove “G” rappresenta il parametro di guadagno dell’amplificatore e “n sp“
è un parametro che dipende dalle sue condizioni di funzionamento
chiamato “fattore di inversione della popolazione). Molte sono le
tecnologie di “amplificazione ottica” che vengono utilizzate nei moderni
sistemi di comunicazione ottica: possiamo infatti avere amplificazione
ottica con schemi ad “inversione di popolazione” (sono gli amplificatori
maggiormente utilizzati chiamati anche Erbium Doped Fiber Amplifier o
EDFA) o con “schemi non-lineari” (sono gli amplificatori ottici chiamati
anche “Raman”). Dal punto di vista del “sistema”, gli amplificatori ottici
sono apparati che:
- amplificano con Guadagno G qualsiasi luce di ingresso, sia ordinata che
caotica e non ne cambiano la statistica;
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- introducono un rumore additivo di tipo “termico” con banda pari alla
banda di amplificazione.
In presenza di questo rumore, non possono più essere fatte le
approssimazioni svolte al paragrafo 7.3 e dobbiamo riprendere
l’espressione completa del SNR, che rimane assolutamente valida:
SNRelettrico =
!
("Ps)
2
#
Noc IDC &
2
%" F ( Ps + Pn ) + " No( Pn + 2Ps) + 2 2 +
( ) 2Bm
eg
e g2'
$
In seguito all’introduzione dell’AO, la potenza ricevuta dalla fibra Pr
prima di essere affacciata al fotorivelatore viene amplificata e quindi
Ps = GPr
!
si suppone poi che tutto il rumore ottico coincida in pratica con il rumore
dell’AO, Nsp e quindi l’espressione precedente diventa
SNRel con AO =
!
("GPr)
2
#
Noc IDC &
2
%" F (GPr + Psp) + " Nsp( Psp + 2GPr) + 2 2 +
( ) 2Bm
eg
e g2'
$
Normalmente quando si introduce un amplificatore ottico si tende a
“filtrare” con accuratezza la luce di ingresso al fotorivelatore, per
impedire di accrescere le condizioni di rumore in presenza di un livello
spettrale alto (Nsp). Supponiamo di avere eseguito questa operazione e di
avere reso quindi trascurabile la potenza di rumore Psp. Come ulteriore
operazione, il progettista tende ad eliminare l’impiego di fotodiodi
amplificati, che costerebbero di più dei fotodiodi di tipo PIN. Eseguendo
queste approssimazioni, l’espressione diventa
SNR el con AO =
("GPr)
2
#
Noc IDC &
2
%$" (GPr) + " Nsp(2GPr) + e 2 + e (' ) 2Bm
e semplificando sopra e sotto per "GPr ottengo
!
SNR el con AO =
("GPr)
#
!
Noc
IDC &
%1+ " 2Nsp + 2
( ) 2Bm
+
e ("GPr) e("GPr) ('
%$
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!
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In questa espressione trovo ancora le problematiche di ”depressione” dei
termini di rumore elettrico che avevo incontrato al paragrafo precedente:
suppongo ancora di considerare solo il termine di rumore di Johnson
noise e quindi la disuguaglianza da verificare per trascurare il rumore
“elettrico” diventa
2kT
<< G"Pr
e 2 RL
!
se confrontiamo questa disuguaglianza con quella senza amplificatore
ottico
2kT
<< g 2"Ps
e 2 RL
!
ci accorgiamo facilmente come l’AO abbia sostituito esattamente al
funzione che svolgeva l’ADP: le considerazioni là svolte sono quindi
trasferibili anche in questo contesto. Se i termini di rumore elettrico sono
abbattuti, l’espressione del SNR elet con AO diventa
SNR el con AO =
!
("GPr)
[1+ " 2Nsp] # 2Bm
ovvero per G grande (G è tipicamente dell’ordine di 20/30 dB) e
sostituendo a Nsp la sua espressione
SNR el con AO =
=
("GPr)
'
*
#
)(1+ h$ 2(G %1) & h$ & n sp ,+ & 2Bm
=
("GPr)
=
[1+ #2(G %1) & nsp ] & 2Bm
("Pr)
[1+ # & 2 & n ] & 2Bm
sp
!
Questa espressione mostra che anche con l’amplificazione ottica si
possono ottenere sistemi che lavorano vicino al “quantum limited”
pagando il prezzo di un degrado inevitabile introdotto con l’aggiunta di
rumore additivo (l’ASE) nel sistema, ma non facendo “compromessi” né
sulla banda del segnale né sulla lunghezza di tratta. Infatti l’espressione
precedente diventa
SNR el con AO =
("Pr)
[1+ # $ 2 $ n ] $ 2Bm
sp
!
=
1
SNR
(1+ #2nsp ) QL
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Normalmente, η è molto vicino ad 1 e nsp può valere diverse unità, per
cui si trova anche l’espressione semplificata
SNR el con AO =
!
Se consideriamo ancora
dell’amplificatore ottico
SNR el con AO =
!
1
SNR
(2nsp ) QL
l’espressione
del
SNR
in
presenza
("GPr)
[1+ " 2Nsp] # 2Bm
sapendo che Pr è la potenza ricevuta dopo avere subito il processo di
attenuazione della fibra
Pr = Poe"aL
se poniamo
!
G " e#aL = 1
si ha
!
SNR el con AO =
!
("Po)
[1+ " 2Nsp] # 2Bm
cioè l’effetto dell’amplificatore ottico è stato quello di rimuovere l’effetto
della propagazione (dal punto di vista attenuativo) riportando il
trasmettitore vicino al ricevitore, nella migliore condizione per lavorare
“quantum limited”, come in figura.
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7.4 Impiego di cascate di amplificatori ottici
Le conclusioni del paragrafo precedente, in cui si sottolineava la capacità
dell’amplificatore ottico di compensare per l’attenuazione di tratta,
mantenendo “trasparente” il sistema di comunicazione dal punto di vista
della cadenza trasmissiva, del formato e del protocollo, ha stimolato
molto rapidamente il ri-progetto dei sistemi di trasmissione ottica che
spesso vengono ad avere la presenza di tanti amplificatori ottici, in alcuni
casi anche di diversa tecnologia. Il loro numero, la loro posizione e le
loro caratteristiche sono il frutto di diverse variabile non solo legate al
power-budget del sistema ma anche a motivi pratici (specialmente
logisitici), economici , gestionali ed amministrativi.
Con riferimento alla figura seguente si identificano tre tipologie di
amplificatori ottici:
- booster: sono AO posti normalmente vicino al trasmettitore al fine di
“lanciare” (da cui il nome) più potenza possibile in fibra ottica : essi sono
caratterizzati dall’avere una alta potenza di uscita (sino a 27 30 dBm) che
però è accompagnata da una alta figura di rumore;
- line-amplifier: sono AO utilizzati per “ripetere” diverse tratte di fibra:
sono normalmente posizionati ogni 50/80 Km con lo scopo specifico di
compensare per l’attenuazione della fibra. Essi presentano guadagni medi
(dell’ordine di 20 dB) potenze di uscita non elevate e buone figure di
rumore;
- pre-amplifier: sono AO utilizzati vicini o dentro l’apparato del ricevitore:
servono per riportare la potenza ottica al giusto livello al fine di abbattere
il più possibile i rumori di origine elettrica. Essi possono presentare anche
guadagni elevatissimi (sino od oltre i 30 dB), potenza di uscita modesta
ed eccellenti figure di rumore.
Il limite principale dell’impiego di sequenze di amplificatori ottici è il
cosiddetto “accumulo di ASE”: la caratteristica degli AO di amplificare
ogni tipo di segnale fa si che anche il “rumore ottico” venga
continuamente amplificato ad ogni stadio provocando un “accumulo” di
rumore che, ad un certo punto, può arrivare a pregiudicare l’intero
sistema.
Supponiamo di avere un collegamento di comunicazione ottica di
lunghezza Z=KL, essendo L la lunghezza delle singole tratte e K il numero
di tratte. Se il sistema lavora “quantum limited” lo SNR dopo la prima
tratta vale (usiamo per semplicità la espressione semplificata)
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SNR el con AO =
!
1 "Po
(2nsp ) 2Bm
dopo la seconda, l’AO permette di raggiungere ancora il QL, ma si sarà
“accumulato” (cioè addizionato) anche il rumore del secondo stadio di
amplificazione. Allora , l’SNR sarà
SNR(2)
=
el con AO
1
#Po
2 " (2n sp ) 2Bm
ed in generale dopo i K amplificatori del collegamento
!
)
SNR(K
=
el con AO
!
1
#Po
K " (2n sp ) 2Bm
Si desideriamo conoscere quale può essere la massima lunghezza del
collegamento, si ricava Z in funzione di K e sapendo che è
1
L = lnG
a
si ottiene
!
Z=
!
lnG " SNRQL
)
a " 2n sp " SNR(K
el con AO
in altri termine, per raggiungere grandi lunghezze di collegamento con
amplificatori in cascata, è meglio disporre di AO con un buon parametro
di rumore (nsp basso) piuttosto che alto guadagno G.
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