BE02-Elettrodinamica-4x1

Esercizio 1
Fisica Generale B
•! Un nastro metallico piano di lunghezza indefinita e larghezza
a = 20 cm è percorso da una corrente di densità j = 2 A/m (corrente
per unità di lunghezza).
•! Qual è il valore del campo magnetico in un punto P, posto sul piano
del nastro, che dista l = 20 cm dal bordo del nastro più vicino a P?
•! Se volessimo che nello stesso punto esistesse un campo magnetico
del valore B = 10!6 T, quale dovrebbe essere l’intensità di corrente
che attraversa il nastro?
2. Esercizi di elettrodinamica
a
http://campus.cib.unibo.it/2489/
l
Domenico Galli
P
April 20, 2011
Digitally signed by Domenico Galli
DN: c=IT, o=INFN, ou=Personal
Certificate, l=Bologna, cn=Domenico Galli
Date: 2011.04.20 17:10:59 +02'00'
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 1 (II)
Esercizio 1 (III)
•! Scomponiamo il nastro in fettine di larghezza dx, che possono essere
considerate filiformi, percorse dalla corrente di = j dx. A esse
possiamo applicare la legge di Biot e Savart:
!
µi
B = 0
2! R
•! Si ha:
µ0 di
µ0 j dx
dB =
=
2! ( l + x ) 2! ( l + x )
•! Per quanto riguarda la seconda parte, abbiamo ancora:
B=
a
( )
j=
0
)
dx
a
µ j
µ j l+a
= 0 %& ln l + x '( = 0 ln
=
0
l
2!
2!
1.26 ) 10*6 ) 2
ln 2 T = 2.77 ) 10*7 T
=
6.28
(
)
x
di
a
l
B=
µ0 i l + a
2!
ln
" i= B
µ0
l
2! a
i = 10!6
P
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
i
a
per cui:
a
(
µ0 j l + a
ln
2!
l
•! La densità di corrente è data da:
•! Integrando sull’intera larghezza del nastro:
" µ j dx
µ j " dx
B P =$ 0
= 0 $
=
2! # l + x
!
l
+
x
2
#
0
2!
3!
a
#
ln % 1+
$
6.28 20 " 10!2
= 1.44 A
1.26 " 10!6 ln 2
a&
l ('
dx
x
di
a
l
P
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
4!
Esercizio 2
Esercizio 2 (II)
•! Una corona circolare di raggi r1 = 10 cm e r2 = 20 cm, conduttrice, è
percorsa da una corrente di densità uniforme j = 1.9 A/m.
•! Consideriamo una generica corona circolare sottile (spessore
infinitesimo), di raggio interno r e raggio esterno r + dr. Essendo
sottile, essa può essere considerata come una spira circolare
Campo al centro di
filiforme, che genera nel suo centro il campo:
•! Qual è il valore del campo magnetico nel centro della corona
circolare?
dB =
•! Qual è il momento magnetico della corona circolare?
una spira circolare :
µ0 di
2 r
!
µ i
B 0 = 0 k̂
2 R
()
•! Essendo j uniforme in tutti i punti della corona circolare data, si ha:
di = j dr ! dB =
µ0 dr
j
2 r
dr
•! Integrando su tutta la corona circolare:
r2
r2
r1
r2
r
! µ dr µ ! dr µ
B = # 0 j = 0 j# = 0 j ln 2 =
2 " r
2
r1
" 2 r
Esercizio 2 (III)
•! Il contributo al momento magnetico dato da una corona circolare
sottile di raggio interno r e raggio esterno r + dr è pari a:
•! Calcolare il campo magnetico nel centro O del disco.
dm = S di = ! r j dr
2
•! Calcolare il momento magnetico del disco rotante.
•! Il momento magnetico totale si trova integrando su tutta la corona
circolare data:
r2
dr
!
m = " ! r j dr = ! j " r dr = j r23 # r13 =
3
r
r
1
=
(
2
)
1
3.14
1.9 0.008 # 0.001 Am 2 = 1.39 $ 10#2 Am 2
3
(
)
6!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
•! Un disco isolante, uniformemente carico, di raggio R, carica Q e
spessore trascurabile, ruota a velocità costante ! attorno a un asse
a esso perpendicolare e passante per il centro O.
!
m = iSn̂
2
1.26 $ 10
1.9 ln 2 T = 8.27 $ 10%7 T
2
Esercizio 3
•! Il momento magnetico di una spira generica si scrive:
r2
di
%6
5!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
r1
r1
r1
=
r2
r
r2
r1
Q
r
R
O
!
di
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
7!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
8!
Esercizio 3 (II)
Esercizio 3 (III)
•! Il disco è isolante, ma uniformemente carico. Poiché il disco ruota, le
cariche su di esso, solidali al disco, ruoteranno anch’esse,
producendo correnti elettriche.
•! Nella striscia considerata la carica si muove con velocità:
v = !r
producendo perciò una corrente elettrica di intensità:
•! Consideriamo il contributo al campo magnetico da parte della striscia
di carica di raggio interno r e raggio esterno r +dr.
di = d! v =
•! La densità superficiale di carica elettrica sarà data (essendo il disco
uniformemente carico) da:
Q
" R2
•! La carica contenuta nella suddetta striscia sarà
pari a:
dq = ! dS = ! 2" r dr =
•! Ricordando l’espressione del campo magnetico prodotto da una spira
sul proprio asse:
dr
!=
Q
Q
2" r dr = 2 2r dr
2
"R
R
O
r
R
! µ
µ Q! r
µ Q!
dr k̂ = 0
dr k̂
dB = 0 di k̂ = 0
2
2r
2r " R
2 " R2
di
9!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 3 (IV)
O
di
10!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 3 (V)
•! Per quanto riguarda il momento magnetico, ricordando che per una
spira percorsa da corrente si ha:
!
m = iS n̂
abbiamo, nel nostro caso il contributo al momento magnetico da parte
della striscia di carica di raggio interno r e raggio esterno r +dr:
! µ Q!
dB = 0
dr k̂
2 " R2
•! Integrando su tutto il disco, si ha:
R
! R ! $ µ Q"
µ0Q" R
µ Q"
B = !dB = & 0
dr
k̂
=
k̂ ! dr = 0 2 k̂R =
2
2
2# R 0
2# R
% 2 #R
0
# Q! r &
Q! r 3
!
2
dr
"
r
dr n̂
n̂
=
dm = di S n̂ = %
$ " R 2 ('
R2
( )
0
=
dr
! µ i
B = 0 k̂
2 r
si ha nel nostro caso:
r
R
#
# Q
dq
dq
Q# r
v=
#r =
dq =
2r dr =
dr
2"
2" R 2
2" r
2" r
" R2
µ0Q"
k̂
2# R
•! Integrando su tutto il disco:
dr
r
R
R
0
=
di
11!
Q" R 4 Q" R 2
=
n̂
n̂
4
R2 4
r
R
Q"
!
! # Q" r 3
dr n̂ = 2 n̂ ! r 3 dr =
m = ! dm = %
2
R 0
$ R
0
O
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
R
dr
R
O
di
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
12!
Esercizio 4
Esercizio 4 (II)
•! Un conduttore cilindrico indefinito, di raggio R = 1 cm, è percorso da
una corrente i = 5 A, distribuita uniformemente sulla sezione del
conduttore.
•! Non si può applicare la legge di Biot e Savart perché il conduttore
non è filiforme. La prima formula di Laplace è di difficile
applicazione.
•! Qual è il valore del campo magnetico a una distanza r1 = 3 cm dall’asse
del cilindro?
•! Utilizziamo perciò, data la simmetria, la legge di Ampère, applicata a
una circonferenza di raggio r1 giacente su di un piano perpendicolare
al filo.
•! Qual è il valore del campo magnetico a una distanza r2 = 0.5 cm
dall’asse del cilindro?
•! Poiché r1 > R, entro tale circonferenza passa tutta la corrente i:
!
!
0
l
R
r2
r1
0
i
B 2! r1 = µ0 i
i
( )
B r1 =
µ0 i 1.26 " 10#6 " 5
=
T = 3.33 " 10#5 T
6.28 " 0.03
2! r1
13!
Esercizio 4 (III)
14!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 5
•! Per calcolare il campo magnetico alla distanza r2 utilizziamo ancora la
legge di Ampère, considerando tuttavia il fatto che entro la
circonferenza di raggio r2 non scorre tutta la corrente i ma
soltanto una frazione pari al rapporto tra l’area del cerchio di
raggio r2 e l’area del cerchio di raggio R (essendo la densità di
corrente uniforme sulla sezione del conduttore):
•! Un conduttore cilindrico indefinito di raggio r1, possiede, al proprio
interno, una cavità cilindrica eccentrica, lungo tutto il conduttore, di
raggio r2.
•! Sia d la distanza tra l’asse del conduttore e l’asse della cavità.
•! Il conduttore è percorso da una corrente elettrica di densità
uniforme j.
! !
r22
!
Bid
l
!
i
n̂
d"
=
µ
=
µ
i
0 !!
0
"!l
R2
"l
•! Si ha pertanto:
B 2! r2 = µ0 i
"l
•! A causa della simmetria, il campo magnetico ha la stessa
r1
norma su tutta la circonferenza, per cui:
R
r2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
r22
!
"! Bid l = µ !! ! i n̂ d" = µ i
r2
R
" B 2! = µ0 i 2
R2
R
µ0 i r2 1.26 # 10$6 # 5 # 0.005
B r2 =
=
T = 5 # 10$5 T
6.28 # 0.0001
2! R 2
r2
r1
•! Calcolare il campo magnetico B in un generico
punto P entro la cavità.
i
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
r1
!
!"
15!
P r
2
O!
O
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
d
16!
Esercizio 5 (II)
Esercizio 5 (III)
•! Per risolvere il problema, sostituiamo il cilindro cavo percorso da una
corrente di densità j con un cilindro pieno, grande come il cilindro
cavo, percorso da una corrente di densità j, sovrapposto a un secondo
cilindro pieno, grande come la cavità, percorso da una corrente di
densità "j.
•! L’intensità di corrente nei due cilindri vale, rispettivamente:
#i1 = ! r12 j
$
2
&%i2 = "! r2 j
•! Utilizzando il risultato dell’esercizio precedente,
troviamo che i campi magnetici prodotti dai
due cilindri sono, rispettivamente:
•! In questo modo, nella zona in cui i due cilindri sono sovrapposti, la
densità di corrente è nulla, come nel nostro problema
!
!"
=
O!
O
!
!"
+
O
# !
µ0 i1 r
µ
µ
r
= 0 ! r12 j 2 = 0 jr
% B1 =
2
2! r1
2!
2
r1
%
$ !
% B = µ0 i2 " = µ0 ! r 2 j " = µ0 j "
%& 2
2! r22 2! 2 r22
2
# ! µ0
jr ' sin ( ı̂ + cos ( !ˆ
%% B1 =
2
$!
% B = µ0 j " sin ) ı̂ + cos ) !ˆ
&% 2 2
!
!! "
O!
(
(
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
17!
)
% ! µ0
jr ! sin " ı̂ + cos " !ˆ
'' B1 =
2
&!
' B = µ0 j # sin $ ı̂ + cos $ !ˆ
'( 2 2
(
)
r1
)
r1
!
!"
y
!
B1
!
P B2
r !
r2
!!
O
O!
x
d
18!
!
!"
•! Qual è il momento magnetico di un solenoide rettilineo, percorso da
una corrente i = 3 A, di N = 2000 spire, ciascuna di sezione media
S = 15 cm2?
!
B1
!
P B2
r !
r2
!!
!
O
O
x
•! Qual è il valore del campo magnetico entro il solenoide se esso è
lungo l = 70 cm (il solenoide si può considerare molto lungo rispetto al
proprio diametro).
d
sommando vettorialmente si ottiene:
! ! !
µ
µ
B = B1 + B2 = 0 j !r sin " + # sin $ ı̂ + 0 j r cos " + # cos $ !ˆ =
$#$$$
%
$#$$$
%
2 "$$
2 "$$
)
0
r !
O
O!
!!
Esercizio 6
•! Poiché i campi si sommano vettorialmente, per il principio di
y
sovrapposizione, dati i due campi:
(
!! !
B2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 5 (III)
(
)
!
B1
(
)
d
i
µ
= 0 jd !ˆ
2
R
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
B
z
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
19!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
20!
Esercizio 6 (II)
Esercizio 7
•! Il contributo di una spira del solenoide al momento magnetico è dato
da:
•! Qual è il valore del campo magnetico creato da un filo rettilineo
lungo l = 2 m, percorso da una corrente i = 1.5 A, in un punto P
distante a = 1 m dal filo, posto sulla normale al filo passante per
l’estremità del filo stesso?
m1 = iS
•! Il momento magnetico totale dovuto alle N spire è perciò:
m = Nm1 = iSN = 3 ! 15 ! 10"4 ! 2000 Am 2 = 9.00 Am 2
•! Il campo magnetico entro il solenoide è dato da:
!
N
2000
B = µ0 ni = µ0 i = 1.26 ! 10"6
3T = 1.08 ! 10"2 T
l
0.7
i
R
P
a
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
i
z
!
B
l
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
21!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 7 (II)
Esercizio 7 (III)
•! Non si può utilizzare la legge di Ampère per l’asimmetria del problema.
Non resta che integrare la I formula di Laplace:
!
!
! µ0 idl " r! µ0 idl " r̂
=
dB =
4!
4!
r!3
r2
!
µ i dl r̂ sin # µ0 idx sin # µ0 idx cos $
dB = 0
=
=
, dx = dl
2
2
2
4!
4!
4!
r
r
r
P
!
dove l’ultima uguaglianza è
a
conseguenza del fatto che:
!1
r
! = 90° " #
! d!
x
dx
" x = r sin !
$
# a = r cos !
$ x = a tan !
%
"
a
$r = cos !
& #
a
$dx =
d!
cos 2 !
%
!
a
!1
a d"
µ0 i dx cos " µ0 i cos 2 " cos " µ0 i
dB =
=
=
cos " d"
4!
4!
4! a
r2
a2
cos 2 "
r
! d!
x
dx
i
l
"
µ0 i 1
µi
"1
µi
µi
l
cos " d" = 0 $%sin " &'0 = 0 sin "1 = 0
#
4! a 0
4! a
4! a
4! a l 2 + a 2
)7
4! ( 10 (1.5 2
B=
T = 1.34 ( 10)7 T
4! (1
5
B=
i
l
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
P
•! Si ha inoltre:
•! Non si può utilizzare la legge di Biot e Savart perché il filo non è
indefinito (stiamo studiando gli effetti a un estremo.
•!
22!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
23!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
24!
Esercizio 8
Esercizio 8 (II)
•! Una spira circolare, di raggio r = 10 cm, è percorsa da una corrente
i = 5 A ed è immersa in un campo magnetico B = 1 T, in maniera che
abbracci un flusso ! = 0.
•! Per quanto abbiamo visto, il momento magnetico della spira è dato da:
!
m = iSn̂ = 5 ! " ! 0.12 n̂ Am 2 = 0.157 n̂ Am 2
mentre l’energia del dipolo magnetico nel campo magnetico è data da:
! !
E = ! mi B
•! Per ruotarla di ! = 15º attorno a un asse normale a B, quale lavoro è
necessario compiere?
•! Nello stato iniziale:
! !
! !
Ei = ! mi i B = ! mi B cos90° = 0 J
!
B
! !
! !
E f = ! m f i B = ! m f B cos 90° ! 15° = !m f Bcos75° =
(
!
mf
15° !
mi
15°
!
B
mentre nello stato finale:
)
!2
= !0.157 " 1 " 0.259 J = !4.07 " 10 J
!
mf
15° !
mi
15°
•! Il lavoro compiuto è perciò:
L = E f ! Ei = !4.07 " 10!2 J! 0 J = !4.07 " 10!2 J
25!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
26!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 9
Esercizio 9 (II)
•! Un filo conduttore rigido, piegato a U come mostrato in figura, è
sospeso verticalmente e può ruotare senza attrito attorno a un asse
passante per il lato AD. I lati AB, BC e CD hanno la stessa lunghezza l
e la stessa densità lineare di massa " = 0.1 kg/m.
•! Le forze magnetiche agenti sui segmenti AB e CD sono parallele al
segmento AD e hanno verso opposto e la medesima retta d’azione.
Esse costituiscono perciò una coppia di braccio nullo e non
contribuiscono alla rotazione.
•! Il filo è immerso in un campo magnetico uniforme di modulo
B = 10 mT, diretto verso l’alto.
•! La forza magnetica agente sul lato BC ha un momento non nullo
rispetto all’asse AB che tende ad allontanare il filo dal piano
verticale.
•! Una corrente costante, di intensità i = 10 A viene fatta
passare attraverso il filo, il quale ruota attorno all’asse
AD fino a disporsi su di un piano che forma un
angolo # con la verticale.
A
!
B
i
•! Calcolare l’angolo #.
•! La forza peso agente sui lati AB, BC e CD ha un momento
non nullo che tende ad avvicinare il filo al piano verticale.
D
C
!
!
( p)
!
B
( m)
FBC
( p)
( )
FBC
FAB
B
FCD
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
27!
p
i
D
!
B
A
C
!
B
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
28!
Esercizio 9 (III)
Esercizio 9 (IV)
•! La forza magnetica agente sul lato BC ha modulo e braccio:
! !
! !
! ( m)
! ( m)
! ( m)
( m)
dF
= idl ! B " FBC = i l ! B "
•! La forza peso agente sui lati AB e CD ha modulo:
! ( p)
! ( p)
FBC = ilB, bBC = l cos#
FAB = FCD = mg = l ! g
per cui produce il momento assiale:
( m)
( m) ( m)
2
e braccio:
( p)
( p) l
bAB = bCD = sin !
2
MBC = FBC bBC = ilB l cos! = il Bcos!
•! La forza peso agente sul lato BC ha modulo e braccio:
! ( p)
( p)
per cui produce il momento assiale:
l
l2
( p)
( p)
( p) ( p)
FBC = mg = l ! g, bBC = l sin "
D
per cui produce il momento assiale:
( p)
( p) ( p)
2
MBC = FBC bBC = l ! g l sin " = l ! g sin "
!
!
B
( m)
FBC
( p)
FAB
( p)
FCD
i
!
B
A
C
!
FAB
B
( )
FBC
p
( p)
FCD
Esercizio 9 (V)
2
2
2
" = arc tan5.10 % 10#2 = 5.09 % 10#2 rad = 2.92°
•! Calcolare il campo magnetico B in funzione della distanza r dall’asse
del conduttore cilindrico.
D
( p)
FAB
( p)
FCD
( p)
FBC
30!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
•! Una corrente assiale di densità uniforme e intensità i viene fatta
passare per il filo interno e ritornare per il conduttore esterno.
iB
10 % 10#2
=
= 5.10 % 10#2
2$ g 2 % 0.10 % 9.81
!
B
( m)
FBC
B
•! Una linea di trasmissione di corrente elettrica è costituita da un filo
conduttore cilindrico di raggio R1, circondato da un guscio cilindrico
coassiale conduttore, di raggio interno R2 e raggio esterno R3.
M = 0 ! il Bcos" # 2l $ g sin " = 0 ! il Bcos" = 2l $ g sin "
iBcos" = 2$ g sin "
!
p
C
Esercizio 10
•! La condizione di equilibrio M = 0 implica perciò:
2
( )
FBC
29!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
tan " =
M AB = MCD = FAB bAB = l ! g sin " = ! g sin "
2
2
D
•! Il momento risultante delle forze è perciò:
l2
( m)
( p)
( p)
2
2
M = MBC ! MBC ! 2M AB = il Bcos" ! l # g sin " ! 2 # g sin " =
!
2
2
2
A
B
!
=
! il Bcos" ! 2l # g sin "
i
B
( m)
FBC
!
( p)
i
!
B
A
i
C
!
R2
B
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
i
31!
R1
R3
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
32!
Esercizio 10 (II)
Esercizio 10 (III)
•! Il problema ha simmetria cilindrica e può essere risolto mediante la
legge di Ampère:
•! Perciò, per r < R1 :
! !
!
"! Bid l = µ0 !! ! i n̂ d" = µ0ic
l
2! rB = µ0 ic = µ0 i
"l
i
µ0 i r
2! R12
i
R2
C O,r
(
(
# ! r 2 " R2
2
2! rB = µ0 ic = µ0 % i "
2
%$ ! R3 " R22
•! Infine, per R3 < r :
i
•! Prendendo come linea l una linea di flusso del campo B,
B risulta tangente a tale linea e dunque parallelo a dl.
! !
Bid l = B2" r
•! Per R2 < r < R3 :
R2
R1
) i &( = µ
) ('
0
R1
i
µ i1
2! rB = µ0 ic = µ0 i " B = 0
2! r
•! Le linee di flusso del campo B (dove esso non è nullo) sono
circonferenze con il centro sull’asse e giacenti su di un piano
perpendicolare all’asse.
"!
" B=
•! Analogamente, per R1 < r < R2 :
dove ic è la corrente concatenata con la linea l.
( )
!r2
! R12
R3
µ0 i R32 " r 2 1
i ) B=
2! R32 " R22 r
R32 " R22
R32 " r 2
( )
R3
2! rB = µ0 ic = µ0 i " i = 0 # B = 0
33!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
34!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 11
Esercizio 11 (II)
•! Un’asta conduttrice, di lunghezza d = 10 cm e resistenza R = 500 m", è
trascinata trasversalmente lungo un binario conduttore di resistenza
elettrica trascurabile, in assenza di attrito e a velocità costante v = 5
m/s.
•! La legge di Faraday-Lenz si scrive, nel nostro caso:
!
! !
d
d
d
d#
f ="
!l E id l = " dt !!# Bi n̂dS = " dt !!# BdS = " B dt !!# dS = " B dt =
l
l
l
d
dx
= "B
x d = " Bd
= " Bdv = "1$ 0.1$ 5 = "0.5V
dt
dt
•! Una seconda asta, di resistenza trascurabile, fissa, all’estremità del
binario, mantiene in contatto elettrico le due rotaie.
( )
•! Il dispositivo si trova in presenza di un campo magnetico uniforme
B = 1 T con direzione perpendicolare al binario.
•! L’intensità di corrente si trova mediante la legge di Ohm:
i=
•! Determinare:
f
Bdv
1" 0.1" 5
=!
=!
A = !1A
R
R
0.5
–! La f.e.m. indotta.
•! Il segno negativo indica che la corrente scorre in senso orario.
–! La corrente indotta.
•! La potenza dissipata è data dalla legge di Joule:
–! La potenza dissipata nell’asta.
–! La forza necessaria per mantenere l’asta in
moto uniforme.
d
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! !
!! !
v
! !
! !
! !
!
!
!
!
!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
! !
! !!
!B!
! !
! !
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
35!
2
2 2
2
2 2
Bdv
Bdv
=
=
2
R
R
1! 0.01! 25
W = 0.5W
=
0.5
P = Ri 2 = R
x
d
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! !
!! !
v
! !
! !
! !
!
!
!i
!
!
!i!
! !!
!B!
! !
! !
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
i
O
!
!
!
!
!
!
!
!i
!
!
36!
Esercizio 11 (III)
Esercizio 12
•! La forza che deve essere applicata all’asta per mantenerla in moto
uniforme deve contrastare la forza magnetica esercitata dal campo
magnetico B sull’asta, essendo quest’ultima percorsa da corrente.
•! Nel circuito in figura i due generatori di tensione hanno forza
elettromotrice pari a f1 = 4 V e f2 = 8 V, mentre i tre resistori hanno
resistenza pari a R1 = 200 ", R2 = 200 " e R3 = 100 ".
•! La seconda formula di Laplace si scrive:
•! Calcolare le intensità di corrente nei 3 rami (scrivendo, per
convenzione, positive le correnti che scorrono nel verso indicato dalle
frecce in figura e negative le correnti che scorrono nel verso
opposto).
! !
!m
dF ( ) = idl ! B
•! Integrando lungo l’asta:
Bdv
B 2 d 2v 1 ! 0.01 ! 5
m
F( ) = i d B =
dB=
=
N = 0.1N
R
R
0.5
•! La forza applicata deve contrastare questa forza, per cui si ha:
! !m !
F + F( ) = 0
m
F = F ( ) = 0.1 N
d
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! !
!! !
!v !
!
F
! !
! !
!
!
!i
!
!
! !
! !!
!!B(!
m)
!F !
! !
!
!
!
!
!
f1
!
!
!
!
!
R1
37!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 12 (II)
(
(
)
)
i1
+
R2
i2
R3
i3
38!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
& R1i1! ' R2 i2! = f1 ' f 2
da cui:
2
1
)#
RR &
R
+% R1 + R3 + 1 3 ( i1! = f1 " 3 f 2 " f1
R2 '
R2
+$
- *
+# R + R2 R3 + R & i! = f " R3 f " f
3( 2
2
+%$ 2
R1
R1 1 2
'
,
(
(
)
(
)
)# R R + R R + R R &
R f " R3 f 2 " f1
2 3
3 1
i1! = 2 1
+% 1 2
(
R2
R2
'
+$
*
R
f
"
R
f1 " f 2
#
&
R
R
+
R
R
+
R
R
1 2
3
+ 1 2
2 3
3 1
( i2! =
+%$
R
R
'
1
1
,
f1
R1
+
f2
i1
R2
)
(
)
)
R2 f1 ( R3 f 2 + R3 f1
+i1' =
R
R + R2 R3 + R3 R1
+
1 2
- *
+i' = R1 f 2 ( R3 f1 + R3 f 2
+2 RR +R R +RR
1 2
2 3
3 1
,
•! Note le correnti convenzionali di maglia possiamo calcolare le
correnti reali nei 3 rami:
)
(
(
)! R R + R R + R R $
R2 f1 ( R3 f 2 ( f1
2 3
3 1
+# 1 2
& i1' =
R
R2
%
+"
2
*
+! R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 $ i' = R1 f 2 ( R3 f1 ( f 2
& 2
+#"
R1
R1
%
,
$i2! =
R2
$
& #
R
+
i
!
$i! = 2 2 f1 ' f 2
$1
R1
%
11
)
#
R i! + f " f &
+ R1i1! + R3 % i1! + 1 1 2 1 ( = f1
R2
$
'
+
*
#
&
R
+
f
"
f
i
!
2 2
1
2
+ R i! + R
+ i2! ( = f 2
3%
+ 22
R
$
'
1
,
f2
Esercizio 12 (III)
•! Scegliendo le correnti convenzionali di maglia i#1 e i#2 indicate in
figura, si ha:
"
R i! + f ' f
"$ R1i1! + R3 i1! + i2! = f1
#
%$ R2 i2! + R3 i1! + i2! = f 2
+
)
+
i2!
i2
R3
i3
i1!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
39!
f1 +
f2 +
#
R3 f 2 ! R2 f1 ! R3 f1
%i1 = ! i1" =
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
i1 R2
i2
%
R1
%
R3 f1 ! R1 f 2 ! R3 f 2
%
i1!
$i2 = ! i2" =
R
R
+
R
R
+
R
R
1 2
2 3
3 1
%
%
R2 f1 ! R3 f 2 + R3 f1 + R1 f 2 ! R3 f1 + R3 f 2
R2 f1 + R1 f 2
%i = i + i =
=
%& 3 1 2
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
(
) (
i2!
R3
i3
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
40!
Esercizio 12 (IV)
Esercizio 13
•! Infine:
•! Una particella di carica elettrica q = 10 mC e massa m = 0.1 g si muove
in presenza di un campo magnetico uniforme.
#
R3 f 2 ! R2 f1 ! R3 f1
100 " 8 ! 200 " 4 ! 100 " 4
!400
=
A=
A = !5mA
%i1 =
80000
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 200 " 200 + 200 " 100 + 100 " 200
%
%%
R3 f1 ! R1 f 2 ! R3 f 2
100 " 4 ! 200 " 8 ! 100 " 8
!2000
=
A=
A = !25mA
$i2 =
80000
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 200 " 200 + 200 " 100 + 100 " 200
%
%
R2 f1 + R1 f 2
200 " 4 + 200 " 8
2400
%i3 =
=
A=
A = 30 mA
80000
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 200 " 200 + 200 " 100 + 100 " 200
%&
f1
R1
+
f2
i1
+
i2!
i2
R2
•! A un certo istante la particella passa per l’origine di una terna
!
!
!
cartesiana di riferimento, con velocità v 0 = v 0 x ı̂ + v 0 y !ˆ, dove v0x = 3 m/s
e v0y = 4 m/s.
!
•! Se, in tale terna cartesiana, il campo magnetico è B = Bkˆ, con
B = 10 mT, trovare il raggio e le coordinate del centro della
traiettoria circolare della particella.
i3
R3
i1!
41!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 13 (II)
42!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 13 (III)
•! Il campo magnetico è perpendicolare alla velocità:
!
!#v 0 = v 0 x ı̂ + v 0 y !ˆ
!
!
! !
!
% v 0 i B = v 0 x B ı̂ i k̂ + v 0 y B !ˆ i k̂ = 0 % v 0 & B
"!
•! Per trovare le coordinate del centro, osserviamo che tale centro C si
trova nella direzione individuata dalla forza, a una distanza r
dall’origine:
•! Segue che:
•! Occorre perciò trovare il versore di F:
!
r = rF̂
$# B = Bk̂
!
! !
F = qv ! B = qv B
•! La carica è mantenuta sulla traiettoria circolare da questa forza
magnetica centripeta, per cui:
y !
qv B =
r=
O
v2
v
m ! qB = m
r
r
2
2
#3
3 + 4 " 0.1" 10
vm
=
m=5m
qB
10#2 " 10#2
v0
r
!
F
ı̂
!ˆ
!
!
!
F v 0 = qv 0 ! B = q det v 0 x v 0 y
( )
x
( )
F̂ v 0 =
C
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
( )
rF̂ v 0 =
43!
(
0
qB v 0 y ı̂ " v 0 x !ˆ
qBv 0
)=v
0
0y
k̂
0
(
= qB v 0 y ı̂ " v 0 x !ˆ
B
ı̂ " v 0 x !ˆ
v0
v 0 m v 0 y ı̂ " v 0 x !ˆ m
=
v ı̂ " v 0 x !ˆ
qB
qB 0 y
v0
(
)
)
y v!
0
O !
F
r
x
C
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
44!
Esercizio 13 (IV)
Esercizio 14
•! Avremo pertanto:
( )
rF̂ v 0 =
(
m
v ı̂ ! v 0 x !ˆ
qB 0 y
)
•! Un sfera costituita di materiale conduttore, di raggio r = 5 cm viene
collegata, tramite un filo conduttore di resistenza R = 1 M", a un
cavo dell’alta tensione, la cui f.e.m. varia nel tempo come:
$
mv 0 y 0.1# 10!3 # 4
=
m=4m
&C x =
qB
&
10!2 # 10!2
" %
!3
&C = ! mv 0 x = ! 0.1# 10 # 3 m = !3 m
&' y
qB
10!2 # 10!2
()
( )
V t = V0 cos ! t
con V0 = 100 kV e # = 2$%50 Hz.
•! Calcolare la massima intensità di corrente che scorre nel filo.
y v!
0
O !
F
r
•! Calcolare inoltre la corrente efficace che scorre
nel filo.
x
()
()
•! Calcolare infine lo sfasamento della corrente rispetto
al potenziale del cavo.
C
45!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
( )
V t = V0 cos ! t
i t
R
V!
46!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 14 (II)
Esercizio 14 (III)
•! La corrente che scorre nel filo è dovuta alla capacità non nulla della
sfera conduttrice:
•! La carica Q presente sulla sfera è data da:
()
•! La corrente i che scorre nel filo è data da:
•! Il potenziale di tale sfera segue (a meno della caduta di tensione
sulla resistenza R del filo) il potenziale del cavo di alta tensione.
()
i t =
()
()
V ! V " = Ri
( )
•! Avremo perciò:
R
V ! V " = Ri = R
V t = V0 cos ! t
()
i t
V!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
dQ
t
dt
•! Infine la caduta di tensione sul filo è data da:
•! Per modificare il proprio potenziale, la sfera deve continuamente
cedere o acquistare carica elettrica.
•! La carica elettrica ceduta o acquistata dalla sfera
passa attraverso il filo, determinando in esso una
corrente elettrica i(t) variabile nel tempo.
()
Q t = CV ! t
C = 4!" 0 r = 4! # 8.85 # 10$12 F m # 5 # 10$2 m = 5.56 # 10$12 F
RC
47!
()
dQ
dV "
= RC
dt
dt
()
i t
dV "
+ V " t = V t = V0 cos # t
dt
()
( )
V t = V0 cos ! t
()
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
R
V!
48!
Esercizio 14 (IV)
Esercizio 14 (V)
"
j %
V0 $ R +
! C '& j! t
#
i t =
e
1
R2 + 2 2
! C
•! Utilizzando l’esponenziale complesso (prendendone la parte reale)
invece del coseno si ha:
dV !
+ V ! t = V0 e j" t
RC
dt
•! Cerchiamo una soluzione dell’equazione non-omogenea nella forma:
dV !
= j"V0! e j" t
V ! ( t ) = V0! e j" t #
dt
RCj"V0! e j" t + V0! e j" t = V0 e j" t
()
()
RCj"V0! + V0! = V0
V0
V0 e j" t
# V! t =
V0! =
1+ jRC"
1+ jRC"
CV0 e j" t
1+ jRC"
j (
j" t %
V0 e ' R +
j" t
j" t
j" t
V0 e
Ve
" C *)
&
dQ j" CV0 e
i t =
=
=
= 0
=
j
1
1
dt
1+ jRC"
+ R R$
R2 + 2 2
"C
j" C
" C
()
()
# Q t =
()
•! L’intensità di corrente ha perciò la forma:
( )
()
i t
R
i0 =
V!
R2 +
1
! C2
2
()
i t
V0
R2 +
R
V!
1
! C2
2
50!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
Esercizio 14 (VII)
•! Tornando all’espressione trigonometrica:
(
)
V0
#
1 &
cos % ! t + arctan
! RC ('
$
1
! C2
1
! C2
2
=
49!
Esercizio 14 (VI)
R2 +
( )
( )
"
"
j %
j %
V0 $ R (
V0 $ R +
'
!C &
! C '&
#
#
R2 +
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
()
i (t ) =
)
V t = V0 cos ! t
()
i t = i0 cos ! t + "
(
()
j ! t +"
i t = i0 e ( ) = i0 e j" e j! t
& i = i e j"
( 0 0
(
1
# '
$ i0 e j"
1
!
( tan " =
= C =
(
R
! RC
% i0 e j"
)
V ( t ) = V0 cos (! t )
•! Infine, per quanto riguarda lo sfasamento, si ha:
! = arctan
1
1
= arctan
=
6
" RC
2# $ 50 $10 $ 5.56 $ 10%12
( )
= arctan 572 = 89.9°
2
•! La massima intensità è data da:
imax =
V0
R2 +
1
! 2C 2
105
=
1012 +
A = 0.175 mA
1
( 2" # 50) (5.56 # 10 )
2
$12
2
()
•! L’intensità efficace è data da:
ieff =
( )
()
V t = V0 cos ! t
2
2
i =
0.175 mA = 0.124 mA
2 max
2
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
()
i t
( )
V t = V0 cos ! t
()
i t
R
V!
R
V!
51!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 2. Esercizi di Elettrodinamica!
52!
http://campus.cib.unibo.it/2489/
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica