I pilastri dell`analisi matematica

A
The pillars of mathematical analysis. The elementary functions (I pilastri dell’analisi matematica.
Le funzioni elementari) è presente su Zentralblatt MATH, il suo codice identificativo è Zbl
 ed è classificato appartenente ai seguenti MSC: - A I.
Giuseppina Anatriello
I pilastri dell’analisi matematica
Le funzioni elementari
Copyright © MMXV
Aracne editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Quarto Negroni, 
 Ariccia (RM)
() 
 ----
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di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
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I edizione: agosto 
Indice
Prefazione
1 Le funzioni elementari
1.1 Grafici funzioni elementari . . . . . . . . . .
1.1.1 Funzione potenza ad esponente reale
1.1.2 Funzione esponenziale . . . . . . . .
1.1.3 Funzione logaritmo . . . . . . . . . .
1.1.4 Altre funzioni . . . . . . . . . . . . .
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2 Il limite
2.1 Limiti delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Proprietà funzione potenza esponente reale e limiti
2.1.2 Propietà funzioni esponenziale e limiti . . . . .
2.1.3 Proprietà funzioni logaritmo e limiti . . . . . .
2.2 Definizione di limite di funzioni monotone . . . . . . .
2.2.1 Limiti funzioni monotone in punti interni . . . .
2.2.2 Continuità in un punto . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Teorema sui limiti delle funzioni composte
di funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Limiti funzioni potenza ad esponente
naturale e radice . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Limiti delle funzioni trigonometriche . . . . . .
2.3 Operazioni tra limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Definizione di limite in termini di intorni . . . .
2.3.2 La struttura di R̂ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Teorema delle operazioni tra limiti . . . . . . .
2.3.4 Teorema sui limiti delle funzioni composte
anche mediante operazioni . . . . . . . . . . . .
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Indice
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INDICE
3 Ordini di infinito e di infinitesimo
3.1 Infiniti e infinitesimi e le f. elementari . . . .
3.1.1 Infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Infinitesimi . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Principi di eliminazione . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Principio di eliminazione
sugli ordini di infinito . . . . . . . . .
3.2.2 Principio di eliminazione
sugli ordini d’infinitesimo . . . . . . .
3.3 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Limite notevole funzioni potenza . .
3.3.2 Limite notevole funzioni logaritmo .
3.3.3 Limite notevole funzioni esponenziale
3.3.4 Limite notevole funzione seno . . . .
3.3.5 Limite notevole funzione coseno . . .
4 Linearizzazione del grafico
4.1 Linearizzazione delle funzioni elementari
4.1.1 Retta tangente al grafico . . . . .
4.1.2 Differenziabilità . . . . . . . . . .
4.1.3 Derivata . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Approssimazioni di ordine superiore . . .
4.2.1 Teorema di de l’Hôpital . . . . .
4.3 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . .
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Prefazione
Questo volume è un estratto del volume Fondamenti di Analisi
Matematica: dalle funzioni elementari al calcolo differenziale, (Aracne,
2014). In questa trattazione si propone un originale percorso attraverso
il quale classici concetti del Calcolo vengono fatti risalire a proprietà
individuabili nelle funzioni elementari.
Napoli, Aprile 2015
Giuseppina Anatriello
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Capitolo 1
Le funzioni elementari
Daremo per note la definizione dell’espressione potenza ab nel campo
numerico dei reali e le dimostrazioni di tutte le proprietà algebriche
delle potenze(1 ).
Attraverso le funzioni potenza ad esponente reale, esponenziale
e logaritmo (che chiameremo funzioni elementari) le proprietà algebriche delle potenze danno luogo a proprietà che sono leggibili su
rappresentazioni grafiche nel piano cartesiano euclideo.
Assumeremo date le rappresentazioni grafiche che utilizzeremo, con
le loro convenzioni classiche. Esse sono provenienti da un’opportuna
trattazione algebrico–geometrica, su cui non ci soffermeremo, deducibile dal lavoro svolto in [1] ma che conduce comunque alle comuni
convenzioni in uso.
1
Ricordiamo, per comodità del lettore, le proprietà algebriche delle potenze più
importanti:
1. k α · k β =α+β ;
2. k α : k β = k α−β ;
3. (k α )β = k α·β .
Aggiungiamo che, volendo dare significato all’esponente 0, l’unica posizione
ammissibile è:
a0 = 1.
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I pilastri dell'Analisi matematica
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CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI
1.1
Proprietà algebriche
delle funzioni elementari nei grafici
Cominciamo a sottolineare che:
1. le proprietà algebriche delle potenze fanno sì che le rappresentazioni grafiche delle funzioni elementari si presentino come
deformazioni di linee rette (rappresentate sull’asse x) in curve.
2. l’insieme di definizione di ogni funzione elementare induce sull’insieme rappresentativo del grafico nel piano cartesiano un
ordinamento rispetto a cui il grafico è un insieme continuo secondo il significato geometrico che questo termine ha riferito alla
retta. Questa proprietà prenderà il nome di continuità (globale)
della funzione e troverà una sua espressione analitica attraverso
un percorso che svilupperemo.
La prima classe di funzioni che andremo a trattare sono le funzioni
potenza ad esponente reale(2 .)
1.1.1
Funzione potenza ad esponente reale
La funzione f (x) = xα , con α ∈ R, è detta funzione potenza di
esponente α.
Nella figura che segue sono rappresentati a sinistra i grafici tipo di
una funzione potenza con esponente reale positivo, nei casi esponente
maggiore e esponente minore di 1, a destra è rappresentato un grafico
tipo del grafico di una funzione potenza con esponente reale negativo.
2
Ricordiamo che algebricamente la definizione di potenza ad esponente reale
viene data a partire da quella di potenza naturale.
i.
Le funzioni elementari
1.1. GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI
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Sulle rappresentazioni grafiche si legge che:
1. il dominio è ]0, +∞[,
2. l’insieme delle immagini è ]0, +∞[
3. vale la proprietà di continuità,
4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente o strettamente decrescente, e quindi ogni funzione appartenente alla
classe delle funzioni potenza è invertibile.
Dalle proprietà delle potenze si desume che l’inversa di xα è x1/α .
Al grafico di ciascuna delle funzioni appartiene il punto di coordinate
(1, 1), poiché 1α = 1, ovvero:
(1, 1) ∈ Gxα ,
∀ α ∈ R.
Funzione potenza ad esponente reale positivo
Nella figura che segue a sinistra è rappresentato un grafico tipo di una
funzione potenza con esponente maggiore 1 e a destra un grafico tipo
di una funzione potenza con esponente compreso tra 0 e 1.
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I pilastri dell'Analisi matematica
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CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI
Dai grafici si evince che l’ordinamento delle ascisse è sempre lo stesso
di quello delle ordinate; questa proprietà, che è soddisfatta da ogni
funzione xα , con α > 0, è detta di monotonia di tipo strettamente
crescente.
Abitualmente si pone 0α = 0, per cui si può considerare (0, 0) ∈ Gxα
e in tal caso diventa:
xα : [0, +∞[ →
[0, +∞[.
Figura 1.1: Grafico funzione xα , con 0 < α < 1
Nella rappresentazione grafica della funzione potenza con esponente
contro tra 0 e 1 (vedi figura 1.1) si può leggere la proprietà:
xα > x,
3
se 0 < x < 1 (3 ).
Infatti la rappresentazione grafica della funzione si trova al di sopra della
bisettrice per gli x < 1 e la bisettrice è formata da punti che hanno per coordinate
i.
Le funzioni elementari
1.1. GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI
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Sempre dallo stesso grafico si legge:
xα < x,
se x > 1 (4 ).
Figura 1.2: Grafico funzione xα , con α > 1
Nel rappresentazione grafica della funzione potenza xα per α > 1 (vedi
figura 1.2) si può leggere la proprietà:
xα < x,
se 0 < x < 1 (5 ).
Inoltre si legge sullo stesso grafico:
xα > x,
se x > 1 (6 ).
In generale, considerate due funzioni potenza xα e xβ , con α > β > 0,
si ha
1. xα < xβ , se x < 1,
2. xα > xβ , se x > 1.
le coppie (x, x) e il grafico della funzione xα dalle coppie (x, xα ).
4
Infatti il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice per gli x > 1.
5
Infatti per gli x < 1 il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice.
6
Infatti il grafico della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x > 1.
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I pilastri dell'Analisi matematica
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CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI
La proprietà si possono leggere nel piano cartesiano (vedi grafici nella
figura seguente),
Notiamo che in tutti i casi per esponente γ > δ > 0 il grafico xγ si
trova al di sotto del grafico di xδ prima del punto di intersezione (1, 1)
e al di sopra dello stesso dopo (1, 1), quindi i due grafici invertono la
posizione reciproca in corrispondenza del punto (1, 1).
Funzione potenza ad esponente reale negativo
Per α < 0 la rappresentazione del grafico della funzione è del tipo
rappresentato nella figura seguente(7 ):
Se α < −1 si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportato
a sinistra nella figura precedente, se −1 < α < 0 si ottiene una
rappresentazione grafica del tipo riportato a destra.
7
Ricordiamo che vale la seguente relazione xα =
1 −α
x
.
i.
Le funzioni elementari
1.1. GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI
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Come si osserva dalle rappresentazioni grafiche, le funzioni esaminate
sono definite in ]0, +∞[ e l’insieme delle immagini è ]0, +∞[, quindi:
xα : ]0, +∞[ → ]0, +∞[
Inoltre, le funzioni soddisfano la proprietà che l’ordinamento delle
ordinate di punti del grafico è l’opposto di quello delle relative ascisse.
Questa proprietà prende il nome di monotonia di tipo strettamente
decrescente.
Considerate ora due funzioni potenza xα e xβ , se 0 > α > β risulta:
1. xα < xβ per x < 1
2. xα > xβ per x > 1
Di seguito è rappresentata la reciproca posizione dei grafici di due
funzioni potenza ad esponente reale negativo a sinistra con β < α < −1
a destra con −1 < β < α < 0.
1.1.2
Funzione esponenziale
La funzione f (x) = ax , con a =
� 1 e a > 0, è detta funzione esponenziale
di base a.
Nella figura seguente a sinistra è rappresentato un grafico tipo di una
funzione esponenziale con base a maggiore di 1 a destra è rappresentato
un grafico tipo di una funzione esponenziale con base a, con 0 < a < 1.
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I pilastri dell'Analisi matematica
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CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI
Sulle rappresentazioni grafiche si legge che:
1. il dominio è ] − ∞, +∞[,
2. l’insieme delle immagini è ]0, +∞[,
3. vale la proprietà di continuità,
4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente per
a > 1 e strettamente decrescente per 0 < a < 1, e quindi ogni
funzione appartenente alla classe delle funzioni esponenziale è
invertibile.
La funzione inversa di ax si denota con loga x e si chiama logaritmo in
base a.
Notiamo che da a0 = 1(8 ) segue:
(0, 1) ∈ Gax
∀ a ∈ R+ − {1}.
Sottolineiamo che per una proprietà delle potenze il grafico di una
funzione esponenziale ax è simmetrico rispetto all’asse delle y al grafico
della funzione esponenziale con base reciproca (1/a)x , ovvero i grafici di
due funzioni esponenziali con base reciproca, ax e (1/a)x , sono sempre
simmetrici rispetto all’asse delle ordinate.
Infatti:
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Ora si comprende anche che la scelta a0 è l’unica che rende il grafico della
funzione esponenziale un continuo.
i.
Le funzioni elementari
1.1. GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI
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• per la proprietà delle potenze (ab )c = (ac )b = abc , si ha:
x
1
−x
x −1
−1 x
= (a ) =
a = (a )
a
Osserviamo poi esplicitamente che:
se a > 1, allora 0 < 1/a < 1, mentre se 0 < a < 1 allora 1/a > 1.
Di seguito sono rappresentate a sinistra la reciproca posizione dei grafici
di una funzioni esponenziale con base a, con a > 1, e la retta y = 1 , a
destra la reciproca posizione dei grafici di una funzione esponenziale
con base a, con 0 < a < 1, e la retta y = 1.
Considerate ora le funzioni esponenziali ax e bx , se b > a > 1 risulta:
• quando x > 0,
bx > ax ;
• quando x < 0,
bx < ax .
• quando x > 0,
ax < bx ;
• quando x < 0,
ax > bx .
Considerate le funzioni esponenziali ax e bx , se 1 > a > b risulta:
Le proprietà algebriche scritte sopra si leggono sui grafici. Di seguito
sono rappresentate a sinistra la reciproca posizione dei grafici di due
funzioni esponenziali con basi maggiori di 1 e a < b, a destra la
reciproca posizione dei grafici di due funzioni esponenziali con basi
minori di 1 con a > b
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I pilastri dell'Analisi matematica
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CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI
1.1.3
Funzione logaritmo
Abbiamo in precedenza osservato che una funzione esponenziale ax
è invertibile e che la sua funzione inversa viene chiamata funzione
logaritmo di base a e si denota con il simbolo loga x(9 ).
Risulta quindi:
aloga x = x,
e
∀ x ∈]0, +∞[
loga (ax ) = x,
∀x∈R
I grafici di una funzione logaritmo sono ricavabili dalla funzione di cui
rappresentano l’inversa per simmetria rispetto alla bisettrice del primo
e terzo quadrante. Nella figura seguente a sinistra è rappresentato
9
Per ovvi motivi la base a di un logaritmo è un numero reale positivo diverso
da 1, come lo è la base di un’esponenziale.
Le proprietà algebriche dei logaritmi si ricavano da quelle delle potenze e sono:
loga (bc)
= loga b + loga c
loga (b/c) = loga b − loga c
loga bK
loga b
= K loga b
loga 1
= 0
= 1/ logb a
con b ∨ c ∈ R+
con b ∨ c ∈ R+
con
K∈R
Inoltre vale la seguente formula per il cambiamento della base:
loga b =
logc b
logc a
con
c ∈ R+ − {1}
Osservazione 1.1. Volendo conoscere tra quali interi è compreso il logaritmo di un
numero si procede come nell’esempio log2 5 :
22 < 5 < 23
quindi
2 < log2 5 < 3
i.
Le funzioni elementari
1.1. GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI
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un grafico tipo di una funzione logaritmo con base a maggiore di 1 a
destra è rappresentato un grafico tipo di una funzione logaritmo con
base a con 0 < a < 1.
Sulle rappresentazioni grafiche si legge che:
1. il dominio è ]0, +∞[;
2. l’insieme delle immagini è ] − ∞, +∞[;
3. vale la proprietà di continuità;
4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente se a < 1
o strettamente decrescente se 0 < a < 1.
Notiamo che essendo:
(0, 1) ∈ Gax
∀ a ∈ R+ − {1}
risulta
(1, 0) ∈ Gloga x
∀ a ∈ R+ − {1}.
Una funzione loga x, con 0 < a < 1, interseca in un unico punto la
bisettrice del primo quadrante, ovvero:
∀ a ∈ R+ \ {1} / 0 < a < 1,
∃ ! x ∈ R+ / loga x = x.
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I pilastri dell'Analisi matematica
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CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI
Figura 1.3: Confronto grafici funzioni logaritmo con basi maggiori di 1
1.1.4
Altre funzioni
Funzione potenza ad esponente naturale
Nella figura seguente a sinistra è rappresentato un grafico tipo di una
funzione potenza f (x) = xn , con esponente naturale pari n, a destra è
rappresentato un grafico tipo di una funzione potenza f (x) = xn , con
esponente naturale dispari n.
Ricordiamo che xn rappresenta il prodotto n fattori uguali ad x e
quindi l’espressione ha senso per una qualsiasi base x reale, e infatti
sulla rappresentazione grafica si legge che il dominio della funzione è
R =] − ∞, +∞[.
Per n pari:
I due rami del grafico della funzione sono simmetrici rispetto all’asse
delle ordinate, quindi la funzione è pari. Infatti, per n pari, per la