R - Elettrotecnica

CAPITOLO 10
RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO
10.1 Funzione risposta in frequenza
Si consideri un circuito lineare tempo-invariante in evoluzione forzata da t = −∞ , del tipo
illustrato in figura 1. Il circuito è costituito da un generatore, ad esempio, un generatore di tensione
e=e(t), resistori, induttori, condensatori, trasformatori ideali, generatori controllati, amplificatori
operazionali (modello lineare), giratori e induttori accoppiati. Il generatore di tensione rappresenta
l'ingresso, ad esempio, un segnale da elaborare e v(t) è la grandezza di interesse - la cosiddetta
“uscita”-, cioè il segnale elaborato. Sia h=h(t) la risposta all'impulso e si assuma che il circuito sia
dissipativo. Allora il circuito è asintoticamente stabile, e quindi la regione di convergenza della
funzione di trasferimento H(s) = LII { h(t)} contiene l'asse immaginario.
Figura 1 Circuito in esame (a) e schema a blocchi (b).
Si consideri il “segnale” rappresentato dalla somma discreta (e finita)
e(t ) = E1 cos(ω1 t + ϕ1 )+...+E h cos(ω h t + ϕ1 )+...= ∑ h E h cos(ω h t + ϕ h ) ,
di funzioni sinusoidali con pulsazioni ω h
e definito per − ∞ < t < +∞ ; E h e ϕ h
(1)
sono,
rispettivamente, l'ampiezza e la fase delle singole armoniche che costituiscono il segnale. Il generico
termine della (1) può essere espresso come
cos( ω ht + ϕ h ) =
1 i(ω ht +ϕ h ) − i (ω h t +ϕh )
+e
[e
],
2
e di conseguenza la (1) può essere così riscritta:
(2)
384
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
i
e(t ) = ∑ h c h e ω ht + c.c. , con
ch =
1
i
Eh e ϕ h
2
(3)
iωht
dove “c.c.” sta a indicare il complesso coniugato del termine ∑ h c h e
. In particolare, se
ω h = hω 0 , con h intero ,
(4)
e(t) è una funzione periodica di periodo
T=
2π
,
ω0
(5)
cioè e(t)=e(t+T) per ogni valore di t.
La somma data dalla (1) (oppure dalla (3)) può essere costituita da un numero finito o infinito di
termini. Quando il numero di termini è infinito ed è verificata la (4), la (1) (oppure la (3)) è una serie
di Fourier.
Una funzione periodica con periodo T può essere rappresentata attraverso la serie di Fourier
e(t ) =
+∞
∑ c n e i nω t , dove c n =
0
n = −∞
T /2
1
f (t ) e −i nω t dt
T −T∫/ 2
0
(6)
T/ 2
se esiste l'integrale definito
∫ f(t) dt ( cioè se la funzione periodica f=f(t) è assolutamente
− T/2
∗
integrabile). I coefficienti c n sono complessi e verificano la condizione c n = c −n perché f=f(t) è
una funzione reale di variabile reale.
Ci sono funzioni che possono essere rappresentate solo tramite una somma continua di funzioni
sinusoidali, cioè attraverso l'integrale di Fourier
e(t ) =
1 +∞
i ωt
∫ E(ω)e dω ,
2π −∞
(7)
dove E=E(ω) è la trasformata di Fourier della funzione e(t)
+∞
E(ω) = ∫ e(t)e − i ωt dt .
−∞
(8)
+∞
La trasformata di Fourier esiste se l'integrale definito ∫ e(t) dt esiste, cioè se la funzione e=e(t) è
−∞
assolutamente integrabile. La trasformata di Fourier E(ω) è una funzione complessa della variabile
*
reale ω e verifica la condizione E(−ω) = E (ω) perché e=e(t) è una funzione reale di variabile
reale. (In queste lezioni non ci soffermeremo su tutta la problematica connessa con la convergenza
della serie e dell'integrale di Fourier).
Il circuito in esame è lineare, e quindi vale la sovrapposizione degli effetti. Pertanto per
determinare la “risposta forzata” del circuito a un ingresso espresso attraverso la somma (discreta o
continua) di funzioni sinusoidali, basta conoscere la risposta all'ingresso “elementare”, non
fisicamente realizzabile,
˜e (t ) = e iωt .
(9)
385
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
La risposta v˜ (t) all'ingresso elementare ˜e (t ) , può essere calcolata utilizzando l'integrale di
convoluzione,
~
v(t) =
+∞
∫ h(t −
2H
i τ
d2 .
(10)
−∞
Operando il cambiamento di variabili
λ = t − τ,
(11)
si ottiene
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
− iωτ
dτ = ∫ h(λ)e iω(t −λ) dτ = e iωt ∫ h(λ)e −iωλ dλ .
∫ h(t − τ)e
(12)
Siccome la regione di convergenza della funzione di trasferimento H(s) = LII { h(t)} contiene l'asse
immaginario, il terzo integrale nella (12), (a partire da sinistra), è la trasformata di Laplace bilatera
della risposta all'impulso h(t) valutata per s = iω , e quindi è la trasformata di Fourier della risposta
impulsiva,
+∞
+∞
H(i ω) = ∫ h(t)e −i ωtdt = ∫ h(t)e− i ωt dt .
−∞
0
(13)
−
Pertanto si ha
+∞
− i ωτ
dτ = H(iω)e − i ωτ ,
∫ h(t − τ)e
(14)
−∞
e, quindi, la risposta all'ingresso elementare ˜e (t ) vale
i ωt
v˜ (t) = H(i ω )e .
(15)
Osservazione
i ωt
L'equazione (14) sta indicare che e
è un'autofunzione 1 del sistema ingresso-uscita in esame
(rappresentato schematicamente in figura 2), quando è in evoluzione forzata da − ∞ e H(i ω) è il
corrispondente autovalore. È immediato verificare che, in generale, e
st
è l'autofunzione e H(s) il
corrispondente autovalore, purché s appartenga alla regione di convergenza della funzione di
trasferimento.
Figura 2
1 L'integrale di convoluzione ∫+∞ h( t − τ )x( τ) dτ = l{ x( t)} è un operatore lineare l{⋅} che opera sulle
−∞
funzioni x=x(t). L'autofunzione di un operatore lineare l{⋅} è una funzione u=u(t) tale che l{u(t )} = λu (t) , dove
λ è una costante opportuna che prende il nome di autovalore dell'operatore.
386
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
La funzione H = H(i ω ) prende il nome di funzione risposta in frequenza o risposta armonica
del circuito. Essa è una funzione a valori complessi e di solito viene rappresentata attraverso la
rappresentazione polare
i φ( ω)
H(i ω) = A(ω)e
,
(16)
dove:
A(ω) è il modulo della funzione complessa H(i ω) , A(ω) = H(iω) ;
φ(ω) è la fase della funzione complessa H(i ω) , (il valore principale, definito nell'intervallo
(−π,π) ), φ(ω) = arg[ H(i ω)] .
-
Alla funzione A(ω) si dà il nome di risposta in ampiezza e alla funzione φ (ω ) il nome di risposta
in fase del circuito. La funzione risposta in ampiezza A(ω) è, per costruzione, definita positiva.
La risposta in frequenza può essere descritta anche attraverso la rappresentazione cartesiana:
H(i ω) = R(ω) + i X(ω) ,
(17)
R(ω) = A(ω)cosφ(ω),
X(ω) = A(ω) sinφ(ω).
(18)
dove
(La scelta dei simboli per rappresentare la parte reale e la parte immaginaria della risposta in
frequenza è del tutto casuale; in generale esse non sono dimensionalmente omogenee a una
resistenza).
Osservazione
La regione di convergenza di H(s) include l'asse immaginario. Pertanto H(s) è analitica nell'intorno
dell'asse immaginario, e quindi la parte reale R(ω) e la parte immaginaria I(ω) di H(i ω) devono
essere funzioni continue per − ∞ < ω < +∞ ; anche la risposta in ampiezza deve essere una funzione
continua di ω, essendo A(ω) =
R 2 (ω) + X2 (ω) . Invece, la risposta in fase può presentare
discontinuità di prima specie, con salti pari a multipli interi di 2π.
- Diagrammi di Bode
Spesso la risposta in ampiezza A(ω) e la risposta in fase φ(ω) vengono rappresentate
graficamente usando come variabile indipendente la grandezza adimensionale
x = log(ω / Ω c ) ,
(19)
dove log(⋅) è il logaritmo in base 10 e Ω c è una pulsazione caratteristica (può essere introdotta solo
per rendere adimensionale l'argomento della funzione log(⋅) ). Spesso x viene espresso in decadi:
una decade corrisponde all'intervallo di frequenze (ω, 10ω) ; infatti si ha
log(10ω / Ωc ) − log(ω / Ωc ) = log(10) = 1 .
(20)
387
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
La grandezza x può essere espressa anche in ottave 2. Un ottava (oct) é la lunghezza dell'intervallo
(ω , 2ω ) . Siccome
log(2ω / Ω c ) − log(ω / Ω c ) = log(2) ≅ 0. 3 ,
(21)
1 ottava ≅ 0.3 decadi .
(22)
si ha che
Nel diagramma di Bode il grafico della risposta in ampiezza è costruito riportando in ordinata la
grandezza
y = 20log A(ω) = 10log A2 (ω) .
L'unità di misura di y è il decibel
(23)
(dB): A(ω 2 ) e A(ω1 ) differiscono di un decibel se
2
0 .1 2
2
20log A(ω 2 ) − 20log A(ω1 ) = 1, cioè se A (ω 2 ) = 10 A (ω1 ) ≅ 1.26A (ω1 ) e quindi se
A(ω 2 ) ≅ 1.12 A(ω1 ) .
(24)
Nel diagramma di Bode la fase φ(ω) viene espressa sia radianti che in gradi.
Esempio
Si consideri il circuito del primo ordine illustrato in figura 3. Si determini la risposta in frequenza
considerando la tensione v(t) del resistore come grandezza di “uscita”.
Figura 3
Circuito dinamico in esame (a), circuito di impedenze operatoriali corrispondente (b) e
circuito nel dominio della frequenza (c).
La funzione di trasferimento del circuito in esame è uguale a (il resistore è in serie all'induttore)
H(s) =
R
,
R + sL
(25)
e quindi la risposta in frequenza vale
H(i ω) =
α
,
α + iω
(26)
dove α = R / L è l'opposto della pulsazione naturale del circuito. L'ampiezza e la fase sono date da
A(ω) =
α
ω + α2
2
, φ(ω) = − arctan(ω / α ).
(27)
2 L'ottava è l'unità di misura adottata in musica: due note distano di un'ottava se il rapporto delle loro
frequenze è uguale a due.
388
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
In figura 4 è rappresentata graficamente la risposta in frequenza (26), usando in figura 4a la
descrizione cartesiana, in figura 4b quella polare e in figura 4c la descrizione di Bode. La riposta in
ampiezza assume il valore massimo per ω=0, A(0)=1. Per ω=α si ha A( α ) = 1 / 2 ; in decibel,
A( α ) = 1 / 2 vale 20log A(α ) = 20log(1 / 2) ≅ −3 : in corrispondenza della pulsazione
caratteristica α si ha una attenuazione di 3dB dell'ampiezza. Per questo motivo α prende il nome di
pulsazione di taglio a 3dB del circuito.
π/2
1
1
A(ω)
R(ω)
D
0.707
0
0
0
X( ω)
−0.5
(a)
-2 α
-α
α
0
10
ω
2α
−π/2
−2α
−α
0
α
2α
ω
rad
dB
0
φ(ω)
−π/4
(b)
1
10
ω/α
0
1
log( ω/α)
100
2
20logA( ω)
-10
−π/4
-20
φ(ω)
-30
−π/2
(c)
-40
Figura 4
Descrizione cartesiana (a), descrizione polare (b) e diagramma di Bode (c).
10.2 Proprietà della funzione risposta in frequenza
- Proprietà 1.
La funzione risposta in frequenza H(i ω) verifica la proprietà
*
H (i ω ) = H(− i ω ) .
(28)
Pertanto la risposta in ampiezza A(ω) è una funzione pari di ω,
A(ω) = A(−ω) ,
(29)
e la fase φ (ω ) è una funzione dispari di ω,
φ (ω ) = −φ (−ω ) .
(30)
389
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Dimostrazione.
Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che la risposta all'impulso di Dirac di un
circuito è una funzione reale. Essendo h(t) una funzione reale, segue che
+∞
+∞
−∞
−∞
H* (iω) = ∫ h(t)e iωt dt = ∫ h(t)e − i(− ω)t dt = H(−i ω) ,
(31)
H* (i ω ) = H(− i ω ) .
(32)
e quindi
Dalle (16) e (32) si ha anche
H* (iω) = A(ω)e − i φ(ω ) = H(− i ω) = A(−ω)e iφ( − ω ) .
(33)
e quindi dalle equazioni (33) seguono immediatamente le (29) e (30).
Dalle (18), (29) e (30) si ottiene anche che la parte reale di H(i ω) è una funzione pari della
pulsazione, mentre la parte immaginaria è una funzione dispari,
R(ω ) = R( −ω ),
X( ω) = − X( −ω).
(34)
- Proprietà 2
Si assuma che l'ingresso sia il segnale sinusoidale
e (t ) = cos(ωt ) ;
(35)
allora il segnale di uscita vale
v (t ) = A(ω )cos[ ωt + φ (ω )] .
(36)
Dimostrazione.
Essendo
cos(ωt) =
1 iωt
(e + e − iωt ) ,
2
(37)
utilizzando la sovrapposizione degli effetti e la proprietà (17), si ottiene
1
[ H(iω)e i ωt + H(− iω)e− i ωt ]
2
1
1
= [H(iω)e iωt + H* (iω)e − i ωt ] = A(ω)e i[ωt+ φ(ω) ] + c.c.
2
2
v(t) =
(38)
Dalla (38) segue immediatamente la (36).
Osservazioni
(i)
La risposta in frequenza di un circuito può essere interpretata come il rapporto tra il fasore
rappresentativo della grandezza sinusoidale in uscita e il fasore rappresentativo della grandezza
390
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
sinusoidale in ingresso, al variare della pulsazione ω. Quindi essa può essere determinata anche
attraverso il metodo fasoriale: si consideri il circuito di impedenze corrispondente nel dominio
simbolico (basta porre s = iω nelle impedenze operatoriali) e si assuma come ingresso il fasore (di
tensione o di corrente, a seconda del tipo di segnale) di modulo unitario e fase nulla. Il fasore
corrispondente alla grandezza di uscita dà la risposta in frequenza. Ad esempio, la risposta in
frequenza (26) del circuito di figura 3 può essere ottenuta risolvendo il circuito di impedenze nel
dominio simbolico illustrato in figura 3c.
(ii) È possibile misurare la risposta in frequenza di un circuito (dissipativo) applicando in ingresso
un generatore sinusoidale, misurando la grandezza di uscita quando il circuito è in regime
sinusoidale, cioè dopo che il transitorio si è esaurito, e ripetendo le misure per diversi valori delle
frequenze del generatore.
- Proprietà 3.
2
2
Il quadrato della risposta in ampiezza A (ω) = H(iω) di un circuito (a parametri
concentrati) è una funzione razionale di ω ,
2
A 2 (ω) =
x(ω2 )
,
y(ω2 )
(39)
2
2
2
dove x(ω ) e y(ω ) sono due polinomi in ω .
Dimostrazione.
Nel precedente capitolo è stato mostrato che la funzione di trasferimento di un circuito a parametri
concentrati è una funzione razionale di s del tipo:
(s − z h )
N(s)
∏m
.
= k hn =1
H(s) =
∏ h=1 (s − ph )
D(s)
(40)
I polinomi N(s) e D(s) sono a coefficienti reali e quindi gli zeri z1 ,..., z m e i poli p1 ,..., pn sono reali
e/o complessi coniugati.
Usando la proprietà (28), il quadrato della risposta in ampiezza può essere espresso nel modo
seguente:
A 2 (ω) ≡ H(i ω)H* (i ω) = H(iω)H(− i ω) .
(41)
Usando la (40), si ottiene
A 2 (ω) = k 2
m
m
2
2
x(ω 2 )
∏m
2 ∏ h=1 (ω + z h )
h=1 (i ω − z h ) ∏ h=1 (− iω − zh )
k
. (42)
=
=
∏ nh=1 (i ω − p h ) ∏ nh=1 (− i ω − p h )
∏nh=1 (ω2 + p2h ) y(ω 2 )
- Proprietà 4
Il quadrato della risposta in ampiezza verifica la relazione
∞
1 +∞ 2
2
∫ A (ω )dω = ∫ h (t )dt .
π
2 −∞
0
(43)
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
391
2
La (43) si ottiene applicando il teorema di Parseval. La funzione A (ω) prende il nome di densità
spettrale di energia. La risposta in frequenza H(i ω) si dice a energia finita se
+∞
2
∫ A (ω)dω < ∞ .
(44)
−∞
Un circuito dissipativo ha una risposta armonica a energia finita se l'uscita è una grandezza di stato;
questa proprietà è diretta conseguenza della (43) e del fatto che la risposta all'impulso, in questo caso,
è limitata ovunque e tende a zero con legge esponenziale per t∅ .
- Proprietà 5
La risposta in ampiezza deve verificare la condizione
+∞
∫
−∞
ln A(ω)
dω < ∞ .
1+ ω 2
(45)
La (45) è una conseguenza di una proprietà notevole delle funzioni analitiche, nota con il nome di
condizione di Paley-Wiener.
- Condizione di Paley-Wiener
Tutte le funzioni F(s) analitiche nel semipiano immediatamente a destra dell'asse immaginario e a
energia finita sull'asse immaginario, verificano la condizione
+∞
ln F(iω)
−∞
1 + ω2
∫
dω < ∞ .
(46)
La funzione di trasferimento di un circuito dissipativo è analitica nel semipiano immediatamente a
destra dell'asse immaginario ed è a energia finita sull'asse immaginario.
La condizione
3
(45) oltre a essere la condizione necessaria affinché una data funzione sia
l'ampiezza della risposta in frequenza di un circuito asintoticamente stabile è anche una condizione
sufficiente affinché, per una assegnata funzione reale A(ω), esista almeno una funzione H(s) analitica
nel semipiano a destra dell'asse immaginario e a energia finita sull'asse immaginario di cui A(ω) è il
modulo per s = i ω .
Infine tra la parte reale R(ω) e la parte immaginaria X(ω) della risposta in frequenza, così come
tra il modulo A( ω ) e la fase φ (ω ) , esistono legami molto stretti dovuti alla natura razionale a
coefficienti reali della funzione di trasferimento.
10.3 Analisi dei circuiti attraverso la risposta in frequenza
3
In queste Lezioni non viene dimostrata la condizione di Paley-Wiener (per ulteriori
approfondimenti si consulti A. Papoulis, Signal Analysis, McGraw-Hill).
392
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
La risposta in frequenza è uno strumento di analisi molto potente. Come poi si vedrà, essa è anche
un potente strumento di sintesi.
Innanzi tutto la risposta in frequenza di un circuito può essere usata per determinare la risposta di
un circuito quando l'ingresso è rappresentabile tramite una somma (discreta o continua) di armoniche.
Si supponga, ad esempio, che
e(t ) = ∑ nh=1 c h e iω ht + c.c.
(47)
È già noto che la risposta al generico termine e
iω h t
è H(i ω h )e
iω h t
. Pertanto, utilizzando la
sovrapposizione degli effetti, si ha
v(t) = ∑ nh=1 c h H(i ω h )e iω ht + c.c.
(48)
Una somma di funzioni del tipo (47) e (48) può essere rappresentata graficamente attraverso una
sequenza di segmenti verticali, dove la lunghezza di ciascun segmento è uguale all'ampiezza
dell'armonica corrispondente, figura 5.
|c i|
ω1 ω
2
A( ω)
Ingresso
ωn
ω3
ω
ω1 ω
2
|c i|Α(ω i)
Risposta in frequenza
ωn
ω3
ω
ω1 ω
2
Uscita
ω3
ωn
ω
Figura 5
Esempio
Si consideri il circuito di figura 6. I parametri circuitali sono R = 8kΩ, C = 0.1µF . La tensione in
ingresso vale e(t ) = 10 + 8cos ω 0 t e ω 0 = 10 . La funzione di trasferimento del circuito è
4
R / sC
V(s)
1 / sC = 1 / RC ,
H(s) =
= R +R
/ sC
(2 / RC + s)
E(s) R +
R + 1 / sC
(49)
e quindi la risposta in frequenza nel caso in esame vale:
H(i ω) =
1
α
,
2 (i ω + α)
(50)
dove α = 2 / RC = 2.5 ⋅10 . Ancora una volta osserviamo che, la risposta in frequenza (50) può
3
essere ottenuta direttamente considerando il circuito di impedenze nel dominio simbolico con un
fasore di ampiezza unitaria e fase zero in ingresso.
La risposta in ampiezza vale:
A(ω) =
1
α
,
2
2 ω + α2
e la risposta in fase vale:
(51)
393
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
φ(ω) = − arctan(ω / α).
(52)
In questo caso la pulsazione di taglio a 3dB è α = 2 / RC = 2500 .
L'ingresso è costituito da due termini, uno costante e l'altro sinusoidale a pulsazione ω 0 . Per
determinare l'uscita corrispondente bisogna calcolare H(0) e H(iω 0 ) ; essi valgono:
H(0) =
1
1
1 − i 1.32...
, H(i104 ) =
e
.
=
2
2 + i8
68
(53)
La risposta del circuito vale:
8
cos(ω 0 t − 1.32...) .
68
v(t) = 5 +
(54)
È interessante notare che la risposta in ampiezza introduce alla pulsazione ω = ω 0 una
attenuazione molto più forte di quella introdotta a pulsazione zero; ciò è dovuto al fatto che la
pulsazione del termine sinusoidale è otto volte la pulsazione a 3dB α. Questo è l'esempio più
semplice di filtro. Il circuito introduce un ritardo temporale nel termine sinusoidale in uscita dato da
τ r = −φ(ω 0 ) / ω 0 ≅ 0.13ms .
20
10
e(t) [V]
v(t) [V]
R
r
15
8
6
+
10
R R v(t)
e(t)
C
4
5
2
t [s]
0
-0,0005
0
0,0005
0,001
0,0015
t [s]
0
-0,0005
0,002
0
0,0005
0,001
A( ω )
[V]
0,0015
0,002
[V]
0.5
10
8
8
5
α
ω [rad/s]
-2 10
4
-10
4
0
10
4
(a)
Figura 6
2 10
4
ω [rad/s]
-2 10
4
-10
4
0
10
4
(b)
2 10
4
0.97
-2 10
4
-10
4
0.97
0
10
4
ω [rad/s]
2 10 4
(c)
Segnale di ingresso e corrispondente contenuto armonico (a); circuito in esame e risposta
in ampiezza (b); segnale in uscita e contenuto spettrale (c).
Lo studio del comportamento qualitativo della risposta in ampiezza e della risposta in fase, al
variare della pulsazione, può essere facilitata se H(i ω) è espressa attraverso la forma fattorizzata:
H( iω ) = k
(i ω − z1 )(i ω − z2 )...(i ω − z m )
.
(i ω − p1 )(iω − p2 )...(i ω − p n )
L'ampiezza A ( ω ) è data da:
(55)
394
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
A(ω) = k
i ω − z1 i ω − z 2 ... i ω − z m
(M L)(M 2L)...(M mL)
,
=k 1
i ω − p1 i ω − p 2 ... iω − pn
(N1L)(N2 L)...(Nn L)
(56)
e la fase φ (ω ) è data da:
φ (ω ) = [ arg(i ω − z1 ) + arg(i ω − z2 ) +... + arg(i ω − z m )]
− [arg(i ω − p1 ) + arg(i ω − p2 ) +... + arg(i ω − p n )]
.
(57)
= [ϑ1 ( ω ) + ϑ2 (ω ) +... +ϑ m (ω )] − [θ1 (ω ) + θ 2 (ω )+ ... +θ n (ω )]
Nella (56) (M i L) rappresenta la lunghezza del segmento orientato applicato nello zero z i e che
termina nel punto L dell'asse immaginario corrispondente a i ω , e (N iL) rappresenta la lunghezza
del segmento orientato applicato nel polo pi e che termina nel punto L dell'asse immaginario
corrispondente a i ω , Figura 7. Nella (57) arg(a) rappresenta l'argomento principale (definito
nell'intervallo (−π,π) ), del numero complesso a , e ϑ i , θi sono, rispettivamente, gli angoli che i
segmenti orientati
e
formano con l'asse reale. Pertanto, per determinare la risposta in
ampiezza basta fare il prodotto delle lunghezze dei segmenti orientati a numeratore e dividere per il
prodotto delle lunghezze dei segmenti orientati a denominatore. La risposta in fase è eguale alla
somma degli angoli dei segmenti orientati
meno la somma degli angoli dei segmenti orientati
.
Figura 7
10.3.1 Risposta in frequenza di circuiti del primo ordine: filtro passa-basso e filtro passa-alto
Si consideri un circuito del primo ordine (cioè con un solo bipolo dinamico) e si supponga che la
funzione di trasferimento H(s) non abbia zeri (per esempio, i due circuiti di figura 8 in cui l'uscita è la
tensione sul condensatore nel circuito RC e la tensione sul resistore nel circuito RL). In questi casi
H(s) ha un solo polo ed è del tipo
H(s) =
k
s+α
e quindi H(iω) =
k
.
iω + α
(58)
L'ampiezza e la fase valgono, rispettivamente:
A(ω) =
A( 0)
=
A( 0)
,
( NL )
ω 2 + α2
φ (ω ) = − arctan(ω / α ) = −θ(ω ) .
(59)
(60)
395
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
In questo caso la distanza tra il polo s1 = −α e il punto s = i ω cresce con legge monotona
allorché ω cresce da zero all'infinito, figura 9a. Di conseguenza, A(ω) assume il valore massimo per
ω=0 e decresce con legge monotona al crescere della pulsazione, in valore assoluto. Si noti che per
ω = α , (NL) = α 2 . In corrispondenza di questa pulsazione si ha
A ( α ) = A (0) / 2 ,
2
2
(61)
e quindi α è la pulsazione di taglio a 3dB nel diagramma di Bode: la differenza, in decibel, tra il
valore dell'ampiezza per ω=0 e quello per ω=α è uguale a 3dB. In figura 10 è rappresentata la fase.
La spiegazione dell'andamento qualitativo della risposta in ampiezza dei circuiti rappresentati in
figura 3 è molto semplice. Nel circuito RC in figura 3b per ω → 0 l'impedenza del condensatore
tende all'infinito e quindi la tensione in uscita è proprio quella impressa dal generatore e per ω → ∞
l'impedenza del condensatore tende a zero e quindi l'uscita tende anche essa a zero. Nel circuito RL in
figura 3b per ω → 0 l'impedenza dell'induttore tende a zero e quindi la tensione in uscita è proprio
quella impressa dal generatore, mentre per ω → ∞ l'impedenza tende all'infinito e quindi la tensione
sul resistore tende a zero.
Nel circuito RC è α = 1 / RC e nel circuito RL è α = R / L (a); circuiti di impedenze
corrispondenti nel dominio simbolico (b).
Figura 8
ω
ω
L
L=iω
(a)
2α
s = −α
α
1
N
s 1 = −α
N
1
1/√2
0
θ
−π/2
1
ω )/A(0)
Figura 9
Diagramma dell'ampiezza e della fase della risposta armonica (58).
- Filtro passa-basso
π/2
φ(ω)
396
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Un circuito con una risposta in ampiezza del tipo (58) è l'esempio più semplice di filtro passabasso. La sua funzione è quella di sopprimere tutte le componenti ad alta frequenza di un segnale,
cioè tutti i termini sinusoidali con pulsazioni al di sopra di una pulsazione di taglio caratteristica Ω
( ω > Ω è la banda oscura del filtro passa-basso), consentendo il passaggio di tutte le armoniche con
pulsazioni inferiori ( 0 ≤ ω < Ω è la banda passante del filtro passa-basso); ad esempio, Ω potrebbe
essere due o tre volte la pulsazione di taglio a 3dB α.
Osservazione
Si consideri il circuito del secondo ordine con due condensatori illustrato in figura 10 e si assuma
come grandezza di uscita la tensione V(s) sul condensatore di capacità C2 .
Figura 10
Circuito RC del secondo ordine.
In questo caso la funzione di trasferimento è
H(s) =
k
,
(s + α1 )(s + α 2 )
(62)
dove α1 e α 2 sono grandezze reali e positive (il lettore calcoli α 1, α 2 e k ). La risposta in frequenza
ha un andamento simile a quella che si ha per un circuito del tipo illustrato in figura 9. In particolare
la risposta in ampiezza vale
A(ω) =
k
(ω 2 + α12 )(ω 2 + α 22 )
=
k
.
( N1 L)(N2 L)
(63)
1,2
A(ω)/A(0)
1,0
0,8
ω
1
(b)
(s+1)
0,6
s 2 =−α 2
L
s 1 = −α 1 0
1
0,2
ω )/A(0)
N2
0,4
N1
1
(s+1)(s+5)
0,0
-10
-5
0
5
ω 10
397
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Figura 11
A(ω) = 1 / [(NL1 )(NL 2 )] e confronto tra la risposta in ampiezza di un circuito RC
del primo ordine e un circuito RC del secondo ordine.
Siccome (N1 L ) e (N2 L) crescono con legge monotona al crescere di ω, in valore assoluto, essi
assumono il valore minimo in ω=0, vedi figura 11. Pertanto A(ω) ha il massimo in ω=0 e decresce
con andamento monotono al crescere del valore assoluto della pulsazione. Il grafico della risposta in
ampiezza ha una forma a “campana”, simile a quella ottenuta considerando il circuito RC del primo
ordine. L'unica differenza sostanziale è che, l'introduzione di un altro polo può rendere più rapida la
transizione dalla regione in cui la risposta in ampiezza è massima a quella in cui è praticamente
uguale a zero, figura 11.
Il circuito RC di figura (10) si comporta anche esso da filtro passa-basso: la regione di transizione
tra la “banda passante” e la “banda oscura” è più netta. Infatti per ω → 0 le impedenze di entrambi i
condensatori tendono all'infinito e quindi la tensione in uscita è uguale a quella del generatore. Invece
per ω → ∞ le impedenze di entrambi i condensatori tendono a zero e quindi la tensione in uscita
tende a zero; la tensione in uscita tende a zero per ω → ∞ più velocemente della tensione in uscita
che si ha nel circuito di figura (8).
Figura 12
L'uscita è la corrente I(s); α = 1 / RC .
Se nel circuito RC di figura 8a si assume la corrente nel condensatore come grandezza di uscita
(figura 12), si ha la funzione di trasferimento:
H(s) = αC
s
s+α
e quindi
H(iω) = αC
iω
.
iω + α
(64)
La funzione di trasferimento (64) ha gli stessi poli della (58) (in generale i poli non dipendono da
quali grandezze sono considerate come uscita), ma, a differenza della (58), ha uno zero nell'origine.
A causa di ciò la risposta in frequenza ha un andamento completamente diverso da quello appena
descritto.
La risposta in ampiezza è data da
A(ω) = αC
ω
ω 2 + α2
= αC
(M1L)
,
(N1L)
(65)
e la risposta in fase vale:
φ(ω) =
π
sgn(ω) − arctan(ω / τ) = ϑ(ω) − θ(ω) .
2
(66)
398
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
In questo caso, a causa della presenza dello zero nell'origine, la risposta in ampiezza è uguale a
zero per ω=0 (questo è anche il valore minimo); A(ω) cresce con legge monotona al crescere della
pulsazione (in valore assoluto). Il valore massimo della risposta in ampiezza è A(∞) = αC . Si noti
che per ω = α , è
A 2 (α) = A 2 (∞) / 2 .
(67)
Anche in questo caso ω = α è la pulsazione di taglio a 3dB nel diagramma di Bode, perché la
differenza, in decibel, tra il valore massimo dell'ampiezza (che si ha per ω → ±∞ ) e quello per ω=α
è uguale a 3dB, figura 13a. La fase è discontinua in ω=0, figura 13b.
ω
L
α
N1
M1
s 1= −α
1
1/√2
z1=0
A(ω)/A( ∞)
(a)
ω
L
N
1
s = −α
1
−π/2
θ M1
ϑ
z =0
1
π/2 φ(ω)
(b)
Figura 13
Risposta in ampiezza (65) (a) e risposta in fase (66) (b).
L'andamento qualitativo della risposta in ampiezza si spiega facilmente in questo modo: per
ω → 0 l'impedenza del condensatore tende all'infinito e quindi la corrente tende a zero mentre per
ω → ∞ l'impedenza tende a zero e l'ampiezza della corrente tende ad assumere il massimo valore.
- Filtro passa-alto
Un circuito con una risposta in ampiezza del tipo (65) è l'esempio più semplice di filtro passaalto. La sua funzione è quella di sopprimere tutte le componenti a bassa frequenza di un segnale, cioè
tutti i termini sinusoidali con pulsazioni al di sotto di una pulsazione di taglio caratteristica Ω , (ad
esempio, Ω potrebbe essere uguale a un terzo della pulsazione di taglio a 3dB), consentendo il
passaggio di tutte le armoniche con pulsazioni superiori. In questo caso, l'insieme dei valori di ω, tali
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
399
che 0 ≤ ω < Ω , è la banda oscura del filtro passa-alto, mentre l'insieme complementare è la banda
passante.
Possiamo concludere che, il circuito RC illustrato in figura 8 si comporta come un filtro passabasso quando la grandezza di uscita è la tensione del condensatore, invece si comporta come filtro
passa alto quando la grandezza di uscita è la corrente nel condensatore, ovvero la tensione del
resistore. Il circuito RL, illustrato sempre in figura, si comporta come un filtro passa-basso se l'uscita
è la tensione del resistore (ovvero la corrente nell'induttore) e come un filtro passa-alto se la
grandezza di uscita è la tensione dell'induttore (il circuito RC e il circuito RL hanno comportamenti
duali). Il filtro passa-alto è caratterizzato da uno zero nell'origine mentre il filtro passa-basso ha uno
“zero all'infinito”.
10.3.2
Risposta in frequenza di un circuito RLC del secondo ordine: filtro passa-banda e
filtro taglia-banda
Si consideri ora un circuito RLC del secondo ordine (cioè con un condensatore e un induttore) e si
assuma che la funzione di trasferimento non abbia zeri, cioè sia del tipo
H(s) =
dove λ ± = −α ±
1
1
.
= 2
(s − λ + )(s − λ − ) (s + 2αs + ω 20 )
(68)
α 2 − ω 20 . La (68) è, a meno di un fattore costante, la funzione di trasferimento del
circuito illustrato in figura 14, dove la grandezza di uscita è la tensione del condensatore. Infatti
applicando il partitore di tensione si ottiene:
V(s)
1
1
.
=
E(s) LC s 2 + R s + 1
L
LC
(69)
In questo caso i parametri α e ω 0 valgono α = R / (2L), ω 0 = 1 / LC .
Figura 14
Circuito RLC serie.
Se α > ω 0 > 0 , la funzione di trasferimento ha due poli reali e negativi, p1 = −α1 e p 2 = −α 2 ,
dove α 1 e α 2 sono numeri reali positivi, come nel circuito RC del secondo ordine descritto in
precedenza. In questo caso il circuito RLC di figura (14) si comporta da filtro passa-basso; la regione
di transizione tra la “banda passante” e la “banda oscura” è più netta rispetto a quella che si ha in un
circuito RC del primo ordine.
2
2
2
Per ω 0 > α > 0 i poli sono complessi coniugati. Posto ω 0 = α + β , la funzione di
trasferimento può essere così riscritta:
400
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
1
1
,
=
2
2
(s + α) + β
(s + α + iβ)(s + α − iβ)
H(s) =
(70)
e la risposta in ampiezza vale:
A(ω) =
1
2
2 2
2 2
(ω − ω 0 ) + 4α ω
=
1
.
(N1 L )(N2 L )
(71)
La risposta in ampiezza è rappresentata in figura 15 per diversi valori di
β
ω 20
=
− 1.
α
α2
(72)
Il comportamento di A(ω) dipende da come varia (N1 L )(N2 L ) quando il punto L si sposta lungo
l'asse immaginario.
Se β ≤ α, (N1 L )(N2 L ) cresce con legge monotona e quindi A(ω) decresce con legge
-
monotona per ω → ±∞ , figure 15a e 15b.
Se β > α, allora (N1 L )(N2 L ) prima decresce, raggiunge un minimo in corrispondenza di
ω m = β 2 − α 2 = ω 20 − 2α2 ,
(73)
e poi cresce con andamento monotono per ω → ±∞ , figure 15c e 15d. In questo caso A(ω) ha
un minimo per ω=0, il massimo per ω = ±ω m e poi tende asintoticamente a zero per
ω → ±∞ . L'ampiezza massima vale
A(ω m ) =
ω
1
,
2αβ
A(ω m ) 1 β α
= ( + ).
A(0)
2 α β
(74)
β=0.5α
ω
β=α
N1
N1
β
−α
1
β
−α
1
0
ω )/A(0)
N2
ω
(a)
A( ω )/A(0)
0
N2
(b)
β=2α
ω
N1
β≅ω
N1
ω
m
−α
1
0
N2
(c)
(d)
Risposta in ampiezza (71) per diversi valori di β.
10
A( ω )/A(0)
1.25
A( ω )/A(0)
0
N2
Figura 15
m
β
1
−α
β=20α
401
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Gli andamenti illustrati in figura 15 possono essere dedotti, almeno per quanto concerne l'aspetto
qualitativo, nel modo di seguito riportato. L'ampiezza A(ω) può essere rappresentata come
A (ω ) = A1 ( ω ) ⋅ A 2 ( ω ) ,
(75)
dove
1
1
,
=
i ω − λ+
(ω − β)2 + α 2
1
1
A 2 (ω) =
.
=
iω − λ −
(ω +β)2 + α2
A1 (ω) =
(76)
(77)
La funzione A 1 (ω) assume il valore massimo in corrispondenza di ω = β , e la funzione A 2 (ω)
assume il valore massimo in corrispondenza di ω = −β , (se i due poli fossero reali, il massimo si
troverebbe nell'origine per entrambe le funzioni), figura 16.
A
(ω)
A
2
(ω)
1
A (ω)
0
−β
−ωm
β
ω
ωm
Figura 16
Per β − α ≤ ω ≤ β + α , si ha
1
A ( ω)
≤ 1
≤ 1.
2 A1 (β)
(78)
Pertanto, si può assumere che, 2α rappresenti, in qualche modo, l'ampiezza dell'intervallo delle
pulsazioni, centrato in ω = β , in cui A 1 (ω) assume valori “significativamente ” diversi da zero:
questo intervallo potrebbe essere definito come la “banda passante” di A 1 (ω) ; analogamente per
A 2 (ω) , solo che, ora, la banda passante è −β − α ≤ ω ≤ −β + α ed è centrata in ω = −β . Quando
β ≤ α , gli
intervalli
(−β,−β + α) e (β − α,β)
contengono
l'origine,
si
sovrappongono
completamente e il grafico di A(ω) ha le forme descritta in figura 15a e 15b. In questi casi A(ω) ha il
massimo nell'origine. Invece per β > α gli intervalli (−β,−β + α) e (β − α,β) non contengono
l'origine, non si sovrappongono e il massimo di A(ω) si trova a ω = ω m ( ω m = 0 quando β = α ).
- Filtro passa-banda
402
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Il circuito del secondo ordine in esame si comporta come un filtro anche quando le frequenze
naturali sono complesse. Se β ≈ α il circuito si comporta ancora da filtro passa basso, vedi le figure
15a, 15b e 15c. Invece se è (β / α) >> 1 il circuito si comporta come un filtro passa-banda. Si ha:
ω m = β 2 − α 2 ≅ β = ω 20 − α2 ≅ ω 0 ,
(79)
ω m ≅ β ≅ ω 0.
(80)
cioè
Nell'intorno di ω m , i ω − p2 = i(ω + β ) + α è circa uguale a 2 i β , e quindi la risposta in frequenza
può essere approssimata nel modo seguente:
H(iω) =
1
1
.
≅
(i ω − p1 )(iω − p2 ) 2iβ[α + i(ω − β)]
(81)
Pertanto, la risposta in frequenza, nell'intorno della pulsazione ω m ≅ ω 0 , coincide, a meno di un
fattore di scala, con quella di un circuito con un solo polo, traslata in frequenza della pulsazione ω 0 .
La risposta in ampiezza nell'intorno di ω m ≅ ω 0 vale, quindi,
A( ω) ≅
e
le
frequenze
1
1
,
2β (ω − β)2 + α 2
(82)
di
taglio inferiore e superiore a 3dB sono, rispettivamente,
ω − = ω 0 − α e ω + = ω 0 + α (per β > α le pulsazioni di taglio a 3dB del circuito sono due, perché
il massimo di A(ω) si trova in corrispondenza di ω m ≠ 0 ); nel limite (β / α) >> 1 si ha
ω ± ≅ ω 0 ± α . La riposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(ω m ) è circa uguale
a 1 nell'intorno di ω 0 di ampiezza 2α, ed è uguale all'incirca a 2α / β all'esterno di questo intorno.
Un filtro passa-banda ha la funzione di sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale
con pulsazioni all'esterno di una banda baricentrata nell'intorno di una frequenza diversa da zero,
lasciando praticamente inalterate le ampiezze delle armoniche con pulsazioni all'interno di quella
banda. Nel caso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni esterne alla banda
(ω 0 − Ω, ω 0 + Ω) centrata in ω 0 (banda oscura del filtro passa-banda), vengono notevolmente
attenuate, rispetto alle ampiezze delle armoniche con pulsazioni appartenenti a (ω 0 − Ω, ω 0 + Ω) ,
(banda passante del filtro passa-banda); 2Ω è la larghezza della banda passante del filtro.
Generalmente si sceglie Ω uguale a due o tre volte α; 2α prende il nome di larghezza di banda a
3dB del filtro passa banda. La larghezza di banda a 3dB tende a zero per (β / α ) → ∞ .
Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito risonante alla pulsazione
ω 0 ; la pulsazione ω 0 è la pulsazione di risonanza del circuito ( ω 0 / 2π è la frequenza di
risonanza del circuito). In corrispondenza della pulsazione di risonanza l'impedenza equivalente
della serie costituita dall'induttore e dal condensatore è nulla e quindi il modulo dell'impedenza
equivalente vista dal generatore è minima (il fenomeno della risonanza in un circuito RLC serie è
stato descritto nel Capitolo 8).
Il fattore di merito del circuito risonante è dato da
Q=
ω0 ω0
L,
=
2α
R
(83)
403
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
e quindi per β / α >>1 si ha
Q≅
λ+
β
.
≅
2α 2 Re{ λ + }
(84)
Il circuito risonante serie funziona da filtro passa-banda se il fattore di merito è molto più grande di
uno, cioè se i due poli complessi coniugati sono molto vicini all'asse immaginario e molto distanti
dall'asse reale. Al crescere del fattore di merito diventa sempre più stretta la regione in cui la risposta,
(normalizzata in ampiezza) è all'incirca uguale a 1 e quindi diminuisce la banda passante.
In figura 17 sono riportati due esempi di risposta in fase.
π/2
φ(ω)
α=20
α=1
−π/2
ω
−ω
0
Figura 17
0
ω
0
Risposta in fase per ω 0 = 10 (in unità arbitrarie) del circuito RLC di figura 13 per due
diversi valori di α.
Si consideri, ora, la corrente I(s) come grandezza di uscita del circuito RLC descritto in figura 13.
In questo caso la funzione di trasferimento vale:
H I (s) =
I(s)
1
1
s
,
=
=
R
2
E(s) Z eq (s) L s + s + 1
L
LC
(85)
1/√2
0
ω)/A( ω )
1
Q=1
Q=5
Q=10
−ω
0
Figura 18
0
ω
0
ω
404
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
La funzione di trasferimento (85) ha, ovviamente, gli stessi poli di quella ottenuta considerando
come uscita la tensione del condensatore e in più ha uno zero nell'origine. La risposta in ampiezza
vale:
A I (ω) =
1
 ω2 
R 2 + ω 2 L2  1− 02 
 ω 
2
,
(86)
dove ω 0 = 1 / LC . In questo caso la risposta in ampiezza assume il valore massimo per ω = ω 0 ,
ed è uguale a zero per ω=0 (a causa dello zero nell'origine) e tende asintoticamente a zero per
ω → ±∞ , figura 18, e quindi il circuito si comporta, per qualsiasi valore di ω, da filtro passa-banda.
La frequenze di taglio a 3dB valgono ω ± ≅ (1 ± 1 / 2Q)ω 0 nel limite Q>>1 (la larghezza della banda
passante a 3dB è inversamente proporzionale al fattore di merito del circuito).
Se si assume come uscita la tensione dell'induttore, la funzione di trasferimento è data da
V L (s)
s2
H L (s) =
.
=
E(s) s2 + R s + 1
L
LC
(87)
In questo caso la funzione di trasferimento ha uno zero doppio nell'origine e la risposta in ampiezza
tende asintoticamente a 1 per ω → ±∞ : il circuito può funzionare da filtro passa-alto se β < α e da
filtro passa banda se β >> α
Infine si consideri il circuito del secondo ordine descritto in figura 19. Si assuma come uscita la
tensione del resistore. In questo caso la funzione di trasferimento è
H(s) =
V(s)
s 2 + ω 20
,
=R 2
E(s)
s + 2αs + ω 20
(88)
e la risposta in ampiezza vale:
A( ω ) = R
ω 2 − ω 20
2
2 2
2 2
(ω − ω 0 ) + 4α ω
,
(89)
dove ω 0 = 1 / LC e 2α = 1/ RC . La funzione di trasferimento possiede due zeri sull'asse
immaginario, z ± = ± i ω 0 , e quindi la risposta in ampiezza è uguale a zero per ω = ±ω 0 ; inoltre
2
A(0)=R e A(ω) → R per ω → ±∞ .
- Filtro taglia-banda
Questo circuito si comporta come un filtro taglia-banda. Un filtro taglia-banda ha la funzione di
sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale con pulsazioni all'interno di una certa banda
e lasciare inalterate le ampiezze di tutte le armoniche con pulsazioni all'esterno di quella banda. Nel
caso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni interne a un intorno (ω 0 − Ω ,ω 0 + Ω) di
ω 0 (banda oscura del filtro taglia-banda), vengono notevolmente ridotte, rispetto alle ampiezze delle
armoniche con pulsazioni esterne a (ω 0 − Ω ,ω 0 + Ω) , (banda passante del filtro taglia-banda); 2Ω è
la larghezza della banda oscura del filtro. La larghezza della banda oscura a 3dB vale all'incirca 2α
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
405
per ω 0 >> α . La risposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(0) è circa uguale a
0 nell'intorno di ω 0 di ampiezza 2α, ed è uguale all'incirca a 1 all'esterno di questo intorno.
Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito anch'esso risonante alla
pulsazione ω 0 . Questo circuito ha un comportamento duale a quello del circuito risonante RLC serie
con pulsazione ω 0 . Nel circuito risonante illustrato in figura 19 alla pulsazione di risonanza
l'ammettenza equivalente al parallelo tra l'induttore e il condensatore è uguale a zero e quindi è
uguale a zero la tensione sul resistore. Invece per ω → 0 e ω → ∞ l'impedenza del parallelo LC
tende a zero e quindi la tensione sul resistore è uguale a quella in ingresso.
Figura 19
Circuito RLC anti-risonante.
10.4 Circuiti con amplificatori operazionali e generatori controllati
Ora analizzeremo, attraverso esempi, la risposta in frequenza di circuiti (del primo e del secondo
ordine) che utilizzano amplificatori operazionali e generatori controllati. In particolare vogliamo
mettere in evidenza due proprietà dell'amplificatore operazionale, che sono fondamentali nelle
applicazioni circuitali.
Ricordiamo che l'amplificatore operazionale è un doppio bipolo attivo, non reciproco, che alla
porta di uscita si comporta come un generatore di tensione controllato in tensione. Si assuma che, il
circuito funzioni in modo tale che l'amplificatore operazionale non vada mai a funzionare in
saturazione (la tensione in uscita all'amplificatore operazionale deve essere inferiore a quella di
saturazione).
- Un circuito del primo ordine
Si consideri il circuito rappresentato in Figura 20; esso può essere considerato come un doppio
bipolo. L'ingresso è la tensione della porta “1” e l'uscita è la tensione della porta “2”. Bisogna
determinare la funzione di trasferimento
H(s) =
V(s)
.
E(s)
(89)
Nel dominio s il funzionamento dell'amplificatore operazionale è caratterizzato dalla relazione
caratteristica (per il momento consideriamo un guadagno a ciclo aperto finito)
I + (s) = I− (s) = 0,
V(s) = AV0 (s),
(90)
406
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
dove A è il guadagno dell'amplificatore.
La corrente I 0 (s) è data da:
I0 =
E + V0
,
R0
(91)
ed è uguale alla corrente totale che circola nel parallelo costituito dal resistore di resistenza R e dal
ˆ del parallelo vale
condensatore. Pertanto la tensione V
ˆ =I
V
0
R
.
RCs + 1
(92)
Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni alla maglia costituita dalla porta di uscita “2”, dal
parallelo R//(1/sC) e dalla porta di ingresso dell'amplificatore operazionale, si ottiene:
ˆ + V = 0.
V +V
0
(93)
Figura 20
Usando la (92) e la (93) e la seconda delle (90), si ha il sistema:
R / R0

 R / R0
V+
E,
+ 1 V0 = −
 RCs + 1 

RCs + 1
V − AV 0 = 0.
(94)
Risolvendo il sistema (94), si ottiene
1
R / R0  
 R / R0
V (s ) =  −
E.
− 1 +
RCs + 1 
 RCs + 1 A
(95)
Nel limite A → ∞ , la (95) diventa:
H(s) =
V(s)
1
,
=k
E(s)
s+α
k=−
1
(96)
dove
R 0C
, α=
1
.
RC
(97)
407
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Pur avendo il circuito in esame un elemento attivo, il polo della funzione di trasferimento è
negativo. Gli effetti dei resistori passivi compensano quelli dell'elemento attivo e globalmente il
circuito è dissipativo. Pertanto, il circuito ha una risposta armonica del tipo descritta in §3. Si
osservi, innanzi tutto, che è possibile, scegliendo opportunamente R 0 , R e C , realizzare, almeno in
principio, una risposta in frequenza con una ampiezza massima e una pulsazione a 3dB arbitrarie.
Il circuito considerato, nel caso limite A → ∞ può essere rappresentato attraverso il doppio bipolo
equivalente illustrato in figura 21: esso si comporta alla porta “1” come se fosse un resistore di
resistenza R 0 , (nel limite A → ∞ , V 0 → 0 e quindi I 0 = E / R 0 ), e alla porta “2” come se fosse
un generatore di tensione controllato in tensione (la tensione della porta “2” è indipendente dalla
corrente di uscita). La tensione di controllo è quella applicata in ingresso e la “costante di
proporzionalità” è la funzione di trasferimento.
Figura 21
Si considerino, ora, due circuiti del primo ordine, connessi così come è descritto in figura 22
(questo tipo di connessione prende il nome di connessione in cascata).
Figura 22
Connessione in cascata di due blocchi del tipo illustrato in figura 20.
Siccome il circuito N1 si comporta alla porta “2” come un generatore di tensione controllato dalla
tensione V 1 , il suo funzionamento è indipendente da ciò che è connesso alla porta “2” (cioè a
destra), e quindi
V2 (s) = H1 (s)V1 (s) ,
(98)
dove
H1 (s) = k1
1
1
, k1 = − 1 , α1 = 1/ R1C1 .
s + α1
R 0 C1
(99)
La relazione tra V 2 e V3 è data da:
V3 (s) = H2 (s)V 2 (s) ,
(100)
408
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
dove
H2 (s) = k 2
1
1
, k2 = − 2 , α2 = 1 / R2 C 2 .
s + α2
R 0 C2
(101)
Combinando le (98) e (100) si ha la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata:
H(s) =
V3
= H1 (s) ⋅ H2 (s) .
V1
(102)
Allora la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata è uguale al prodotto delle funzioni di
trasferimento dei singoli blocchi della cascata. Connettendo m circuiti del primo ordine, del tipo
appena descritto, in cascata, è possibile realizzare funzioni di trasferimento con m poli reali e
negativi “qualsiasi”.
Osservazione
Si considerino i due circuiti RC illustrati in figura 23a e 23b. Le loro funzione di trasferimento sono
H1(s) = α1
k1
k2
, H2 (s) = α 2
,
s + α1
s + α2
(103)
dove α 1 = 1 / R1C1 e α 2 = 1 / R2 C2 . Si consideri ora il circuito rappresentato in figura 23c ottenuto
collegando la porta 2-2' del circuito N1 alla porta 1-1' del circuito N2. Quanto vale la sua funzione di
trasferimento H (s) = V 3 (s ) / V 1(s ) ? Questa volta il funzionamento del circuito N1 dipende da cosa
è collegato alla porta “2”, e quindi è evidente che H(s) ≠ H1 (s)H 2 (s) .
Figura 23
Interponendo tra il circuito N1 e il circuito N2 un generatore di tensione controllato in tensione,
come illustrato in figura 24, si ottiene
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
409
H(s) = βH1 (s)H2 (s) ,
(104)
dove:
H i (s) =
αi
, α i = 1 / R i Ci i =1,2 .
s + αi
(105)
Figura 24
La presenza del generatore di tensione controllato in tensione fa si che: (a) la porta 2-2' del circuito
N1 non è “caricata” dalla porta 1-1' del circuito N2; (b) la tensione sulla porta 1-1' del circuito N2 è
direttamente proporzionale alla tensione sulla porta 2-2' del circuito N1. In questo caso il generatore
controllato oltre alla funzione di cambiare il guadagno, ha anche la funzione di disaccoppiare i due
circuiti di modo che la funzione di trasferimento globale è il prodotto delle funzioni di trasferimento
dei singoli blocchi.
- Un circuito del secondo ordine
Si consideri, ora, il circuito del secondo ordine rappresentato in Figura 25: i bipoli dinamici sono
due condensatori. Anche questo circuito può essere considerato come un doppio bipolo: l'ingresso è
la tensione della porta “1” e l'uscita è la tensione della porta “2”. Bisogna determinare la funzione di
trasferimento
H (s ) =
V(s )
.
E (s )
(106)
Figura 25
Si assuma fin da ora che il guadagno dell'amplificatore operazionale sia infinito (A∅ ); in questo
limite si ha (amplificatore operazionale ideale):
V0 (s) = 0 .
(107)
Applicando la seconda legge di Kirchhoff si ha che, la tensione V(s) è uguale alla tensione V 2 del
condensatore di capacità C 2 e la tensione V R del resistore di resistenza R 2 è uguale a V 1 (in
410
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
entrambi i casi è stata usata la (107)). Inoltre, applicando la prima legge di Kirchhoff si ottiene
I = I1 + IR e I 2 = I R . Pertanto si ha:
V1 =
R 2 / sC1
1
1 V1
1
R2 / sC1
I, V =
I2 =
I.
=
R 2 + 1 / sC1
sC2
sC2 R2 sR2 C2 R 2 + 1/ sC1
(108)
Applicando di nuovo la seconda legge di Kirchhoff si ha:
R 2 / sC1
R2 / sC1
1
I+
R 2 + 1 / sC1
R2 + 1/ sC1 sR 2 C2 .
= [ R1R 2 C1C 2s 2 + (R1 + R2 )C 2s + 1]V(s)
E = R1I + VR + V2 = R1I +
(109)
Allora la funzione di trasferimento del circuito in esame è
H(s) =
1
,
1 s
 s
+
+1
Ω 
Q  Ω
2
(110)
dove:
Ω 2 = 1 / (R1 R2 C1C 2 ), Q = R1R 2C1C2 / [( R1 + R 2 )C2 ].
(111)
Il parametro adimensionale Q può essere sia maggiore che minore di uno, ma è sempre positivo.
Essendo il circuito del secondo ordine, la funzione di trasferimento ha due poli. I due poli sono
certamente a parte reale minore di zero, perché il parametro Q è maggiore di zero. I poli della
funzione di trasferimento (110) sono complessi coniugati se Q>1, invece sono reali se Q<1; per Q=1
sono reali e coincidenti. Pertanto il circuito in esame, pur avendo solo elementi dinamici della stessa
natura, può avere poli ovvero pulsazioni naturali complesse coniugate. Ciò è possibile perché
l'amplificatore operazionale è un elemento non reciproco; questa questione è stata affrontata già nel
Capitolo 8. Quando i due poli sono complessi coniugati il parametro Q dato dalle (109) coincide con
il fattore di merito della coppia di poli; per Q>>1 il circuito di figura 25 è risonante.
Il circuito di figura 25 può essere rappresentato dal circuito equivalente illustrato in figura 26.
L'impedenza Z 0 (s) è data da

1 
R2
Z 0 (s) = R1 + 1 +
.
sR 2 C2  R 2C1s + 1

(112)
Figura 26 Circuito equivalente del doppio bipolo di figura 25.
Considerando m circuiti di questo tipo in cascata, si realizza la funzione di trasferimento
H(s) = H1 (s)⋅...⋅Hm (s) ,
(113)
dove la generica funzione H i (s) è del tipo (110) (ognuna di esse sarà caratterizzata da un particolare
valore di Q e di Ω).