Note sul moto parabolico

Università degli Studi di Macerata
Corso di Elementi di Fisica - A.A. 2015/16
Prof. Manlio Bellesi
NOTE SUL MOTO PARABOLICO
1) Generalità
Il moto parabolico può ottenersi combinando, in direzioni perpendicolari l’uno all’altro, un moto rettilineo
uniforme e un moto rettilineo uniformemente accelerato. Una delle sue applicazioni più importanti in fisica è
lo studio del moto dei proiettili (ammesso che rimangano vicini alla superficie terrestre): in tal caso il moto
uniformemente accelerato è quello in verticale, e la causa dell’accelerazione (che è g ≅ 9,81 m/s2) è la forza di
gravità terrestre. Se trascuriamo la resistenza dell’aria, in direzione orizzontale non vi sarà nessuna forza e
dunque l’accelerazione (orizzontale) è nulla. Le equazioni generali del moto si possono scrivere come:
per la direzione orizzontale
 x(t ) = x0 + v0 x t

(1) 
1 2
per la direzione verticale
 y (t ) = y0 + v0 y t - 2 g t

In questa scrittura l’asse y si considera diretto verso l’alto; la posizione iniziale del corpo è (x0 ,y0) e le
componenti del vettore velocità iniziale v 0 lungo i due assi sono indicate con v0x e v0y. Il teorema di Pitagora
dà subito:
v0y
v0
2
2
v 0 = v 0x + v 0y
v0x
Per le velocità lungo i due assi, si può dire che la componente x resterà la stessa in ogni istante, perché in tale
direzione il moto è rettilineo uniforme. Lungo l’altro asse varrà invece la formula del moto uniformemente
accelerato, che già conosciamo. Otteniamo così:
vx (t) = v0x
(sempre costante)
(2)
vy (t) = v0y - gt
Quesiti :
- Che forma assumono le (1) se l’asse y inverte la sua direzione? E se si scambia l’asse x con l’asse y?
- Che cosa succede se i moti rettilineo uniforme e uniformemente accelerato non sono più perpendicolari? E
se sono paralleli?
- Che cosa si ottiene combinando due moti rettilinei uniformi lungo assi perpendicolari?
- Che cosa si ottiene combinando due moti uniformemente accelerati lungo assi perpendicolari?
- Come si potrebbe far vedere che il moto descritto dalle (1) è proprio quello di una parabola?
2) Caratteristiche del moto parabolico: massima altezza, tempo di volo, gittata
Iniziamo la discussione supponendo che le quote di partenza e arrivo per il corpo siano le stesse. In questo
caso particolare è possibile ricavare alcune formule abbastanza utili (non sempre valide, però, per moti
parabolici più generali). Intanto, ponendo l’origine degli assi nel punto di partenza del corpo, è possibile
eliminare x0 e y0 dalle equazioni (1).
- Massima altezza
La condizione che caratterizza la massima altezza è - com’è ovvio - quella che impone al corpo di non salire
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ulteriormente: questo significa che, nell’istante corrispondente tmax, la componente y della velocità deve
annullarsi (per poi cambiare segno all’istante successivo). Imponendo allora vy (t) = 0 nella seconda delle (2)
si ricava l’equazione 0 = v0y − gtmax , che dà tmax = v0y /g. Sostituendo il valore di tmax trovato nella seconda
delle equazioni (1), ricaviamo per la massima altezza il valore:
H=
v02 y
2g
un valore che ricorda l’analoga formula per un corpo in caduta libera, con la differenza che stavolta v0y non è
tutta la velocità, ma solo la sua componente verticale.
La validità dell’espressione trovata si può considerare generale se con H si esprime la differenza tra la quota di
massima altezza e il punto di partenza del corpo (che potrebbe anche non trovarsi al livello del suolo).
- Tempo di volo
Con tale termine si intende il tempo tV trascorso in aria, dall’inizio alla fine della parabola. Esso può essere
determinato imponendo nella seconda delle (1) che y(tV) = 0. Si trova così un’equazione di 2° grado:
1
2
− gtV2 + v0 y tV = 0
le cui soluzioni sono tV = 0 (corrispondente all’istante iniziale, con il corpo a quota zero come ipotizzato in
partenza) e tV = 2v0y /g, che rappresenta il vero tempo di volo. Si nota subito che tV è esattamente il doppio del
tempo tmax ricavato in precedenza: se infatti le quote di partenza e di arrivo sono identiche la parabola è
simmetrica rispetto al punto di massima altezza (che in termini matematici chiameremmo vertice). Questa
simmetria non è valida quando le quote sono diverse. In tal caso, per trovare tV non bisogna porre y(tV) = 0,
ma y(tV) = yF, dove yF rappresenta la quota finale. Il suo valore dipenderà naturalmente da dove si è posta
l’origine degli assi del sistema di riferimento scelto: in generale potrà essere anche negativo.
L’equazione y(tV) = yF non ha più lo zero come soluzione, proprio per la presenza di yF : una delle soluzioni
sarà certamente positiva, ma può anche capitare che siano positive entrambe.
Quesiti :
- Quando l’equazione y(tV) = yF ha due soluzioni positive, qual è il valore giusto per il tempo di volo?
- A che cosa corrisponde fisicamente l’altro (eventuale) valore?
- Che significato può avere, secondo voi, un tempo negativo?
- È possibile talvolta che entrambe le soluzioni dell’equazione y(tV) = yF siano negative? Che cosa
rappresenterebbe un caso del genere dal punto di vista fisico?
- Gittata
Rappresenta la distanza percorsa - in orizzontale - dall’inizio alla fine del moto. Se le quote di partenza e di
arrivo sono le stesse è sufficiente sostituire tV = 2v0y /g nella prima equazione (1), ottenendo:
gittata = x(tV ) = v 0 x tV =
2v 0 x v 0 y
g
Quando le quote di partenza e arrivo non sono le stesse, la formula che abbiamo appena scritto non vale: è
necessario infatti inserire nella prima equazione delle (1) il tempo di volo ricavato dall’equazione y(tV) = yF .
Voler utilizzare a tutti i costi la formula mnemonica è... il classico errore da polli.
Quesiti :
- Siete in grado di individuare una qualche simmetria per la velocità del corpo in salita e in discesa?
- Supponendo di avere a disposizione una velocità iniziale v0 fissa, come scegliereste v0x e v0y in modo da
avere la gittata più lunga possibile?
- Quali modifiche pensate subirebbe un moto parabolico sulla Luna, sugli altri pianeti o sul Sole?
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