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-+.(+#/+)"#*&$%/%+&%&+0+"(1*&$%/%2+
Anna Maria Miele, Treccani Scuola
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3&+4"%5/('*+
Anna Maria Miele, Treccani Scuola
2
678('*9::#*'%+#/+4"%5/('*+
Il triangolo PRM non è rettangolo.
Come si può calcolare il lato PM?
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;<=#)>+?++
@*/+)(%"('*+A#+B#)*$%"*+*/+)(%"('*+A(/+7%.(&%+
Rivediamo quello che sappiamo sui triangoli
rettangoli per trovare nuove relazioni valide
anche se il teorema non è rettangolo
•! !"#$%&'%(')&*+,+'-'
•! .$/0+1'23'/(456'
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C8(+7%.*+*55#*'%+)"%=*)%++
1.! Come si passa dal teorema di Pitagora per un triangolo
rettangolo ad un teorema più generale valido per
qualunque triangolo: il teorema del coseno.
2.! Come si applica il ‘nuovo’teorema per risolvere il
problema esaminato prima e altri problemi.
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@*/+)(%"('*+A#+B#)*$%"*+*/+)(%"('*+A(/+7%.(&%+
Che cosa cambia se si passa da un triangolo rettangolo a un
triangolo ABC acutangolo?
c2 = a2 + b2 ! 2ab cos"
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D/+)(%"('*+A(/+7%.(&%+
L’animazione teor_coseno_ottuso mostra come modificare il
ragionamento nel caso di un triangolo ottusangolo.
Se ripetiamo i ragionamenti a partire dagli altri due angoli di
un qualunque triangolo troviamo il teorema del coseno
TEOREMA DEL COSENO
a2 = b2 + c2 ! 2bc cos#
b2 = a2 + c2 ! 2ac cos$
c2 = a2 + b2 ! 2ab cos"
! è l’angolo
opposto al lato a
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! è l’angolo
opposto al lato a
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D/+)(%"('*+A(/+7%.(&%+
E se il triangolo è rettangolo?
TEOREMA DEL COSENO
a2 = b2 + c2 ! 2b c cos#
b2 = a2 + c2 ! 2a c cos$
a = c cos$
b = c cos#
a2 + b2 = c2
c2 = a2 + b2 ! 2ab cos"
a2 = b2 + c2 ! 2b2
cioè a2 = c2 ! b2
b2 = a2 + c2 ! 2a2
cioè b2 = c2 ! a2
c2 = a2 + b2 ! 2ab cos 90° cioè c2 = a2 + b2
Il teorema del coseno vale per tutti i triangoli
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D/+)(%"('*+A(/+7%.(&%+4("+"#.%/=("(+4"%5/('#+
I Problema
a 2 = 20 2 +12 2 " 2 # 20 #12 cos 65° $ a = 20 2 +12 2 " 2 # 20 #12 cos 65° % 18,47
Tascabile con sequenza di tasti
(20 x2 + 12 x2 !!2 ! 20 ! 12 ! 65 cos) "
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D/+)(%"('*+A(/+7%.(&%+4("+"#.%/=("(+4"%5/('#+
II Problema
3,6 2 +1,3 2 " 4,5 2
4,5 = 3,6 +1,3 " 2 # 3,6 #1,3cos $ % cos $ =
% $ & 127°
2 # 3,6 #1,3
2
2
2
Tascabile con sequenza di tasti
((3.6 x2 + 1.3 x2 !!4.5 x2 ) ÷!(2 ! 3.6 ! 1.3)) INV cos
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