!"#$%&%'()"#*+,+
-+.(+#/+)"#*&$%/%+&%&+0+"(1*&$%/%2+
Anna Maria Miele, Treccani Scuola
1
3&+4"%5/('*+
Il triangolo a destra schematizza il problema
Il triangolo ABC non è rettangolo.
Come si possono calcolare i lati a e b?
Anna Maria Miele, Treccani Scuola
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678#)9+:++
;<%4"#"(+#/+)(%"('*+=(#+.(&#+
Rivediamo quello che sappiamo sui triangoli
rettangoli per trovare nuove relazioni valide
anche se il teorema non è rettangolo
•! !"#$%&'%(')&*+,+'-'
•! .$/0+1'23'/(456'
Anna Maria Miele, Treccani Scuola
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>?(+<%.*+*55#*'%+)"%8*)%++
1.! Come si trova un altro teorema valido per qualunque
triangolo: il teorema dei seni.
2.! Come si applica il ‘nuovo’teorema per risolvere il
problema esaminato prima e altri problemi.
Anna Maria Miele, Treccani Scuola
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>%'(+.#+)"%8*+#/+)(%"('*+=(#+.(&#+
AC = 2R è il diametro della circonferenza
Il triangolo ABC è rettangolo e si trova:
L’angolo ! = 53°"
c = 2R sin 53° "
!
c
= 2R
sin 53°
C scorre lungo la circonferenza al disopra di AB.
Il triangolo ABC non è rettangolo, ma si trova:
c
•!AB = c
= 2R
•!! = 53°
sin 53°
C scorre ancora lungo la circonferenza, al disotto di AB.
Il triangolo!ABC non è rettangolo e si trova:
•!AB = c
c
c
=
= 2R
•!! = 180° !!53°
sin(180° " 53°) sin 53°
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!
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@/+)(%"('*+=(#+.(&#+
Se ripetiamo i ragionamenti a partire dagli altri due angoli di
un qualunque triangolo troviamo il teorema dei seni
TEOREMA DEI SENI
a
b
c
=
=
sin " sin # sin $
! è l’angolo
opposto al lato a
!
! è l’angolo
opposto al lato a
E se il triangolo è rettangolo?
a
b
c
a
b
=
=
$
=
=c
sin " sin # sin 90°
sin " sin #
Si ritrovano i teoremi sui triangoli rettangoli
!
a = c " sin #
b = c " sin $
Il teorema dei seni vale per tutti
i triangoli
!
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!(%"('*+=(#+.(&#+(+)(%"('*+=(//*+<%"=*+
Teorema dei seni
a
b
c
=
=
= 2R
sin " sin # sin $
Teorema della corda
!
b = 2R sin!
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@/+)(%"('*+=(#+.(&#+4("+"#.%/8("(+4"%5/('#+
Problema
a
400
400
=
"a=
#sin 22° $ 1229
sin 22° sin 7°
sin 7°
!
b
400
400
=
"b=
#sin151° $ 1591
sin151° sin 7°
sin 7°
Tascabile con sequenza di tasti
! ÷ 7 sin ! 151 sin =
400
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3.%+=(/+)*.<*5#/(+
1. Le approssimazioni
I risultati dati dal tascabile hanno molte cifre dopo la virgola;
perciò conviene arrotondare gli angoli al grado e gli altri risultati
decimali con al massimo due cifre dopo la virgola. Naturalmente se
non è esplicitamente richiesta dal testo del problema una diversa
approssimazione.
2. Eseguire tutti i calcoli con il tascabile
Diventa complicato e fonte di errori eseguire i calcoli alternando
carta e penna al tascabile. Bisogna però tener conto dell’ordine
dei calcoli e usare le parentesi adatte. In particolare,
seno, coseno e tangente sono calcolati prima di
moltiplicazione e divisione sia nel tascabile che in matematica.
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7+"&8+)&,(+'/&9$/&6"+'
Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i lati e tutti gli
angoli di un triangolo, a partire da alcuni elementi dati.
Quali elementi debbo conoscere per avere un solo triangolo?
La risposta si basa sui criteri di uguaglianza dei triangoli.
I.! Sono dati due lati e l’angolo compreso
È necessario che l’angolo dato sia compreso fra i due lati dati?
II.! Sono dati un lato e due angoli adiacenti
È necessario che i due angoli dati siano adiacenti al lato dato?
III.!Sono dati i tre lati
I tre lati possono essere scelti a piacere?
Invece, se conosco solo i tre angoli posso
costruire tanti triangoli tutti simili.
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;%&%+=*A+=B(+/*A+(+/C*&$%/%+<%'4"(.%'
È necessario che l’angolo dato sia compreso fra i
due lati dati? Sì
Se l’angolo non è compreso non posso essere sicuro
di avere un solo triangolo
ESEMPI
Dati a = 21, b = 24 e ! = 55°
2 triangoli
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Dati b = 10, a = 20 e " = 100°
Nessun triangolo
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;%&%+=*A+B&+/*)%+(+=B(+*&$%/#+*=#*<(&A'
È necessario che gli angoli siano adiacenti al lato
dato? No
Ma bisogna indicare la posizione degli angoli rispetto al
lato dato.
Esempi
1. Dati c = 5, ! = 40°, ! = 60°
Ricavo # = 180° - (40° + 60°) = 80°
Così conosco un lato e due angoli
adiacenti e ho un solo triangolo ABC.
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2. Dati c = 5 e due angoli, uno ampio
40°e l’altro ampio 60°
Posso costruire altri due triangoli
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;%&%+=*A+#+)"(+/*A'
I tre lati possono essere scelti a piacere? No
Un lato deve essere minore della somma degli altri due
Esempio
Dati c = 18, b =5, a = 10
a + b = 15
c > a + b
Il triangolo ‘non si chiude’
Che cosa succede, se provo ad applicare il
teorema del coseno per calcolare l’angolo "?
5 2 +18 2 #10 2
cos " =
% 1,38 >1 & " non esiste
2 $ 5 $18
se cos! > 1
! non esiste
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cos! = xP
-1 " cos! " 1
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:$)&;(+4('<,&')&6'$'&4=+)('%('54'9,(&4=+)+'
L’angolo " è
opposto al lato b
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:(>+)*$,$'54'9,(&4=+)+'
Un’osservazione importante: per calcolare l’angolo # si può anche
applicare il teorema dei seni. Vediamo come procedono i calcoli.
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:(>+)*$,$'54'9,(&4=+)+1'54'&)9,+'0,+"$%(/$49+'
Dato dal
tascabile
Dove è l’errore?
Ecco che cosa abbiamo dimenticato
Suggerimenti per risolvere un triangolo
- Calcolare col teorema del coseno
l’angolo opposto al lato maggiore
(l’unico che può essere ottuso).
- Calcolare col teorema dei seni solo
angoli che sono certamente acuti.
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