Fisica 1 (A.A. 2004/2005) Esercizi Fluidi 1) Tre ragazzi, tutti di

Fisica 1 (A.A. 2004/2005) Esercizi Fluidi
1) Tre ragazzi, tutti di uguale massa m = 37.4 kg, costruiscono una zattera con tronchi di diametro
d = 0.32 m e lunghi l = 1.77 m. Quanti tronchi sono necessari per tenere a galla i ragazzi?
(ρlegno = 757.7 kg/m3)
Soluzione
m = 37.4 kg
m
m
m
d = 0.32 m
l = 1.77 m
ρlegno = 757.7 kg/m3
d
Una zattera costruita con il minore numero di tronchi possibile tiene a galla i ragazzi restando quasi
completamente immersa (“condizione peggiore”) La situazione è schematizzata in figura: i tronchi
sono interamente sommersi.
Affinché il sistema zattera+ragazzi galleggi, la spinta di Archimede FA deve essere uguale al peso
totale Ptot dei ragazzi e della zattera, cioè:
FA = Ptot
La spinta di Archimede FA è pari al peso del volume di fluido spostato. Detto V il volume di un
tronco ed n il numero di tronchi utilizzati, nella condizione peggiore (tronchi completamente
immersi in acqua), il volume di acqua spostato è semplicemente nV. La spinta di Archimede assume
quindi il valore:
FA = ρacqua (n V) g
con V = π (d/2)2 l = 3.14⋅(0.32 / 2)2⋅ 1.77 = 0.14 m3
Il peso totale Ptot da sostenere è dato dalla somma del peso dei tre ragazzi più il peso degli n tronchi,
cioè:
Ptot = Pragazzi + Ptronchi = 3 m g + n ρlegno V g
Imponendo che la spinta di Archimede bilanci il peso dei tre ragazzi e degli n tronchi, ricaviamo il
numero di tronchi necessari per mantenere a galla i ragazzi:
ρacqua n V g = 3 m g + ρlegno n V g
da cui
ρacqua n V - ρlegno n V = 3 m
e quindi
n=
3m
3 ⋅ 37.4
=
≅ 3 .3
V ( ρ acqua − ρ legno ) 0.14 ⋅ (1000 − 757.7)
Il valore di n ottenuto non è intero. Ciò significa che solamente 3 tronchi, anche completamente
immersi, non sono sufficienti a mantenere a galla i tre ragazzi (FA < Ptot). Quindi occorrono almeno
quattro tronchi per tenere a galla i ragazzi. Ovviamente i tronchi non saranno completamente
immersi in acqua (perché altrimenti FA > Ptot), ma solo quanto basta (Vimm < V) affinché la spinta di
Archimede uguagli il peso dei tre ragazzi e dei quattro tronchi.
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2) Due torrenti confluiscono in un fiume. Uno dei due torrenti ha una larghezza di l1 = 8.2 m, una
profondità di h1 = 3.4 m e una velocità di scorrimento di v1 = 2.3 m/s. L’altro torrente ha una
larghezza di l2 = 6.8 m, profondità di h2 = 3.2 m e velocità di v2 = 2.6 m/s. La larghezza del fiume è
di l3 = 10.5 m e la velocità di flusso è di v3 = 2.9 m/s. Qual è la sua profondità?
Soluzione
l1 = 8.2 m
h1 = 3.4 m
v1 = 2.3 m/s
l1
l2 = 6.8 m
v1
l3
v3
h2 = 3.2 m
v2 = 2.6 m/s
v2
l2
l3 = 10.5 m
v3 = 2.9 m/s
h3 = ?
La somma dei volumi di acqua portati per unità di tempo dal torrente 1 e dal torrente 2 deve essere
uguale al volume di acqua portata via dal fiume. L’equazione di continuità, in questo caso, si scrive
come:
v1 S1 + v2 S2 = v3 S3
dove le sezioni S dei fiumi si calcolano moltiplicando le rispettive larghezze per le rispettive
profondità (l·h) quindi:
v1 l1 h1 + v2 l2 h2 = v3 l3 h3
da cui:
h3 =
v1l1 h1 + v 2 l 2 h2 2.3 ⋅ 8.2 ⋅ 3.4 + 2.6 ⋅ 6.8 ⋅ 3.2
= 3.95 m ≈ 4 m
=
v3 l 3
2.9 ⋅ 10.5
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3) Qual è l’area minima Smin di un blocco di ghiaccio di spessore h = 50 cm che galleggia in acqua,
affinché possa sostenere un’automobile di massa M = 1600 kg? (ρghiaccio = 920 kg/m3)
Soluzione
h = 50 cm = 0.5 m
M = 1600 kg
M
ρghiaccio = 920 kg/m3
h
Smin = ?
Smin
L’area minima Smin del blocco di ghiaccio necessaria affinché l’automobile M possa galleggiare si
ricava imponendo che il blocco di ghiaccio resti immerso in acqua per tutto il suo spessore.
La spinta di Archimede in queste condizioni vale quindi:
FA = Pacqua spostata= ρ acqua Vghiaccio g = ρ acqua (Smin h) g
dove Smin è la sezione del blocco di ghiaccio ed h la sua altezza.
Il peso totale da sostenere è:
Ptot = Pautomobile + Pghiaccio = M g + ρghiaccio (Smin h) g
Il sistema blocco+automobile galleggia (con il blocco completamente immerso) se la spinta di
Archimede uguaglia il peso totale del blocco di ghiaccio e dell’automobile:
FA = Ptot
ρ acqua Smin h g = M g + ρghiaccio Smin h g
da cui
S min =
M
1600
=
= 40 m 2
h( ρ acqua − ρ ghiaccio ) 0.5 ⋅ (1000 − 920)
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4) Un involucro sferico cavo di ferro galleggia quasi completamente sommerso nell’acqua
ρ A = 1000 kg / m 3 . Il raggio esterno è R = 0.3 m , la densità del ferro è ρ Fe = 7870 kg / m 3 .
Trovare il raggio interno r.
Soluzione
R = 0.3 m
ρFe
ρ A = 1000 kg / m 3
r
ρ Fe = 7870 kg / m 3
R
r=?
ρA
L’involucro cavo galleggia in prossimità della superficie quasi completamente immerso. La spinta
di Archimede FA bilancia il peso P dell’involucro stesso:
FA = P
(1)
La spinta di Archimede FA, pari al peso del volume di fluido spostato. Il volume d’acqua spostato è
pari al volume esterno della sfera cava, quindi:
4
FA = ρ AVesterno g = ρ A ⋅ ⋅ π R 3 g
3
Il peso P della sfera cava di ferro è pari a:
(
)
4
P = mFe g = ρ Fe ⋅ Vsfera cava ⋅ g = ρ Fe ⋅ ⋅ π R 3 − r 3 g
3
Sostituendo le espressioni ricavate per FA e P nella (1) si ha:
ρ A ⋅ ⋅ π R 3 g = ρ Fe ⋅ ⋅ π (R 3 − r 3 ) g
4
3
4
3
da cui, semplificando e moltiplicando, si ricava:
ρ A ⋅ R 3 = ρ Fe ⋅ R 3 − ρ Fe ⋅ r 3
r = R⋅3
→
r3 =
ρ Fe − ρ A 3
⋅R
ρ Fe
ρ Fe − ρ A
7870 − 1000
= 0 .3 ⋅ 3
= 0.287 m
7870
ρ Fe
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5) Un’ancora di ferro è più leggera di 200 N in acqua di quanto non pesi nel vuoto.
a) Determinare la spinta di Archimede FA.
b) Determinare il volume dell’ancora.
c) Determinare il peso dell’ancora nel vuoto.
ρ H 2O = 1000 kg / m 3 ; ρ Fe = 7870 kg / m 3
(
)
Soluzione
Pvuoto − Pacqua = 200 N
ρ H O = 1000 kg / m 3
2
ρ Fe = 7870 kg / m 3
a) FA = ?
b) Va = ?
in vuoto
c) Pvuoto = ?
in acqua
a) La differenza fra il peso dell’ancora nel vuoto e in acqua (cioè la differenza nelle letture di un
dinamometro) è pari proprio alla spinta di Archimede FA cioè:
FA = Pvuoto − Pacqua = 200 N
b) La spinta di Archimede FA è pari al peso del volume di acqua spostato, che è uguale al volume Va
dell’ancora:
FA = ρ H 2O ⋅ Va ⋅ g = 200 N
da cui
Va =
FA
ρH O ⋅ g
2
=
200
= 0.0204 m 3
1000 ⋅ 9.8
c) Il peso reale (nel vuoto) dell’ancora è:
Pvuoto = ρ Fe ⋅ Va ⋅ g = 7870 ⋅ 0.0204 ⋅ 9.8 = 1573.4 N
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6) Il peso apparente in acqua di un lingotto di metallo di massa m = 15 kg è 130.5 N. Qual è la sua
densità?
Soluzione
m = 15 kg
P’ = 130.5 N (peso apparente in acqua)
m
P
(peso reale)
FA
(spinta di Archimede)
ρacqua = 1000 Kg/m3
P
FA
Il peso apparente in acqua non è altro che la differenza fra il peso P del corpo e la spinta di
Archimede FA. Quindi:
P’ = P - FA
da cui
FA = P – P’ = mg – P’ = 15·9.8 – 130.5 = 16.5 N
D’altra parte la spinta di Archimede è pari al peso del volume di fluido spostato, cioè:
FA = ρacqua V g
dove V è il volume del lingotto. Dall’equazione di sopra possiamo ricavare il volume del lingotto:
V =
FA
ρ acqua g
=
16.5
= 1.68 × 10 −3 m 3
1000 ⋅ 9.8
La densità del lingotto è quindi:
ρ lingotto =
m
15
=
= 8.9 × 10 3 kg / m 3
V 1.68 × 10 −3