dimensione di correlazione d2

IL BINDING PROBLEM:
EVIDENZA DI ATTRATTORI CAOTICI NELLE
OSCILLAZIONI CORTICALI A 40 Hz
Da dove origina l’unità delle percezioni ?
Esiste una struttura cerebrale preposta a questo binding
funzionale?
Forse la soluzione è l’ organizzazione delle onde gamma
(~ 40 Hz) emesse dai neuroni corticali
Come risposta a diversi stimoli sensoriali si formano
pattern autoorganizzati
E’ stato dimostrato che l’attività gamma nella corteccia
entorinale puo’ essere riprodotta con applicazione di
carbacolo
Abbiamo usato corteccia di cavia in vitro
L’attività gamma è stata registrata da microelettrodi posti
in 5 diversi punti della ERC (corteccia entorinale)
RETI NEURALI AUTOORGANIZZANTI
(Self Organizing Map)
La SOM e’ stata sviluppata negli anni 80 da T. Kohonen
sulla base di precedenti studi di neurofisiologia.
La struttura di una rete di Kohonen consiste in uno strato di
N elementi, detto strato competititivo.
Ciascuno di questi riceve n segnali x1,…,xn che
provengono da uno strato di input di n elementi, le cui
connessioni hanno peso wij.
Se lo strato competititvo e’ di tipo matriciale, i neuroni
vengono collegati tra loro secondo uno schema quadrato,
esagonale o romboidale. Se e’ di tipo vettoriale, i neuroni
sono semplicemente connessi fra loro a formare una catena.
Per stimare l’intensità Ii dell’input di ciascun elemento
dello strato di Kohonen:
Ii = D(wi,x)
wi=(wi1,…,win)T
x i =(x1,...,xn)T
D(u,x) e’ una qualche funzione distanza, ad es. quella
euclidea.
A questo punto viene messa in atto una competizione per
valutare quale elemento ha la minore intensità di input
(ossia quale wi e’ il piu’ vicino ad x).
La SOM prevede un meccanismo cosiddetto di inibizione
laterale, che e' presente anche in natura sotto forma di
trasformazioni chimiche a livello sinaptico.
Nella regione corticale del cervello neuroni fisicamente
vicini ad un neurone attivo mostrano legami piu' forti,
mentre ad una certa distanza da questo iniziano a mostrare
legami inibitori.
In questa architettura, ciascun elemento riceve sia stimoli
eccitatori da parte degli elementi adiacenti (la cosiddetta
neighborhood), sia stimoli inibitori da parte degli elementi
piu' lontani, secondo la cosiddetta forma "a cappello
messicano".
L'esistenza della neighborhood e' utile per non polarizzare
la rete su pochi neuroni vincenti.
In tal modo vengono attivati solo gli elementi con distanza
al di sotto di un certo valore, in casi restrittivi solo l'unità
con minima distanza.
A questo punto ha luogo la fase di apprendimento, secondo
la cosiddetta "Winner Take All Law" (WTA).
I dati di training consistono in una sequenza di vettori di
input x .
Lo strato di Kohonen decide poi il neurone vincitore sull
abase della distanza minima.
Ora i pesi vengono modificati secondo la legge
winew = wiold + (x - wiold)zi
dove 0<<1 e decresce lentamente nel tempo con una legge
del tipo
(t) =  [1 - t/]
dove e' un'opportuna costante.
Essendo zi ≠ 0 solo per il neurone vincitore, i pesi dei
neuroni vincenti ruotano sempre piu' verso gli stimoli
vettorialmente piu' vicini, fino a sovrapporsi idealmente
con essi.
La SOM effettua cosi' una quantizzazione vettoriale, ossia
una mappatura da uno spazio a molte dimensioni in uno
spazio con numero minore di dimensioni, conservando la
topologia di partenza.
Limiti:
• lo strato competitivo non puo’ seguire input
strettamente non lineari
• manca esplicitazione dell’output (clustering)
ITSOM (Inductive Tracing Self-Organizing Map)
Se una SOM e’ applicata a dati strutturati, la serie
temporale dei neuroni vincenti tende a ripetersi
- Si forma una configurazione ciclica che caratterizza
univocamente lo stream di input
- E’ possibile classificare anche input con topologia
complessa
- Non e’ necessario giungere alla convergenza: la
configurazione si stabilizza dopo poche epoche
• Codifica le configurazioni di neuroni vincenti con
algoritmo z-score:
• I punteggi cumulativi di ciascun input vengono
normalizzati secondo la distribuzione della variabile
standardizzata
z= (x – )/
 media su tutti i neuroni dello strato competitivo
 deviazione quadratica media
z = 1 per z>
z = 0 per z  

soglia
Ogni configurazione sara’ rappresentata da un numero
binario, formato da tanti 1 e 0 quanti i neuroni dello
strato competitivo.
- Carico computazionale lineare
- Processo induttivo pochi-a-molti da configurazioni
cicliche note all’intero stream di input.
- Puo’ riconoscere tipici attrattori quando compaiono nella
serie temporale
- Una buona sequenza non supera i 20 cicli
- Si confrontano le sequenze di neuroni vincitori con un
reference set che dia loro un’interpretazione automatica
DIMENSIONE FRATTALE E DIMENSIONE DI
CORRELAZIONE
Definiamo dimensione D di un oggetto l’esponente che
mette in relazione la sua estensione b con la distanza
lineare r:
brD
L’estensione b puo’ riferirsi a distanza lineare, area,
volume, o quantità di informazione in bit.
Per una linea b  r 1 (ed infatti una linea ha dimensione 1),
per un piano b  r 2 , ecc.
Passando ai logaritmi si ottiene
D = lim r->0 (log(b)/log(r)) .
E’ possibile costruire oggetti di dimensione non intera, i
cosiddetti frattali. Essi hanno caratteristica di
autosimilarità, ossia non posseggono scala caratteristica.
Ad esempio un ramo e’ un oggetto frattale di dimensione
fra 1 e 2.
Si dimostra che gli attrattori caotici hanno dimensione
frattale >2.
Si e’ visto che la dimensione frattale dell’EEG ad occhi
chiusi (circa 2) e’ piu’ bassa che ad occhi aperti (circa 6).
Secondo Freeman l’attività caotica prepara alla ricezione di
un particolare stimolo, che manda entro un bacino di
attrazione periodico (ciclo limite) o caotico.
DIMENSIONE DI CORRELAZIONE D2
– D2 e’ una misura della complessità dell’attrattore
– D2 e’ limite inferiore per la dimensione frattale di
Hausdorff
PARAMETRO DI HURST
Una serie autosimilare mostra dipendenza a lungo
raggio, con funzione di autocorrelazione
r(k) ~ k – per k  
0<<1
L’autosimilarità è espressa da
H = 1 – /2
Per serie autosimilari
½<H<1
D=2–H
D dimensione di Hausdorff
RECURRENCE QUANTIFICATION ANALYSIS
Analizza le distanze fra coppie di punti di serie temporali
- Localizza caratteristiche locali (adatta per segnali
fisiologici rapidamente variabili)
- DET (Determinismo): percentuale di punti ricorrenti in
sequenza ; corrisponde al valore del massimo esponente di
Lyapounov della serie (L>0 per sistemi caotici)
- I segnali sono stati considerati simultaneamente per
evidenziare correlazioni fra siti distanti
- Elaborazione delle serie di neuroni vincenti con
MATLAB/SIMULINK
- Scarsa correlazione fra siti distanti prima
dell’applicazione di carbacolo
- Dopo l’induzione di attività gamma compaiono pattern
caotici
Serie dei neuroni vincitori prima e dopo applicazione di
carbacolo - spazio delle fasi
• Valutazione quantitativa:
- H
< 0.4 prima di carbacolo
>0.5 (fino a 0.8) dopo carbacolo
- D2
2.6-3.2 sia prima che dopo lo stimolo
(parametro caratteristico del sistema)
- DET fino a 98% dopo lo stimolo
VISUAL RECURRENCE ANALYSIS
Pattern organizzati in corrispondenza di alti valori di H
ANALISI SULLE SERIE ORIGINALI
- Metodo lineare : power spectrum e cross power
spectrum < 0.5
- Metodi non lineari:
valori di H spesso meno significativi
Pattern autoorganizzati in serie originali
• L’analisi attraverso rete neurale conferma l’esistenza
di pattern caotici autoorganizzati in presenza di onde
gamma
• L’analisi lineare non evidenzia correlazioni fra siti
distanti
• L’analisi non lineare conferma l’esistenza di attrattori
caotici ma meno frequentemente della rete neurale
• E’ possibile identificare attrattori tipici attraverso il
codice z-score e riconoscerli all’interno delle serie
temporali
• La rete neurale ITSOM permette di valutare la
correlazione di tutti i siti di registrazione
contemporaneamente