Anna Infusino
Fisica.net
E-Book di Fisica per il triennio
Volume 1
© Garamond 2009
Tutti i diritti riservati
Via Tevere, 21 Roma
Prima edizione
Volume 1
Cod. ISBN 978-88-86180-93-1
Fisicanet: la Meccanica
Indice
INDICE GENERALE
Concetti generali della Fisica ........................................................................................................... 6
Concetti generali della Fisica .............................................................................................................. 7
Che cosa è la fisica: grandezze fisiche e sistemi di misura ................................................................. 7
Sistema Internazionale di misura ..................................................................................................... 8
Sistema Internazionale ( S.I. ) ......................................................................................................... 9
Notazione scientifica e ordine di grandezza ................................................................................... 11
Analisi dimensionale ..................................................................................................................... 12
Incertezza nelle misure .................................................................................................................. 13
Calcolo dell’incertezza della misura ............................................................................................... 14
Incertezza n
Concetti generali della Fisica ........................................................................................................... 6
Concetti generali della Fisica .............................................................................................................. 7
Che cosa è la fisica: grandezze fisiche e sistemi di misura ................................................................. 7
Sistema Internazionale di misura ..................................................................................................... 8
Sistema Internazionale ( S.I. ) ......................................................................................................... 9
Notazione scientifica e ordine di grandezza ................................................................................... 11
Analisi dimensionale ..................................................................................................................... 12
Incertezza nelle misure .................................................................................................................. 13
Calcolo dell’incertezza della misura ............................................................................................... 14
Incertezza nelle misure indirette .................................................................................................... 15
Approssimazione di una misura e cifre significative ........................................................................ 15
Principali caratteristiche degli strumenti di misura ......................................................................... 17
Vettori ........................................................................................................................................... 18
Operazioni con i vettori ................................................................................................................. 19
Cinematica del punto materiale..................................................................................................... 23
Cinematica del punto materiale ....................................................................................................... 24
Moto rettilineo .............................................................................................................................. 24
Moto rettilineo uniforme ............................................................................................................... 28
Diagramma spazio-tempo e velocità-tempo del moto rettilineo uniforme ....................................... 29
Moto rettilineo uniformemente accelerato ..................................................................................... 31
Moto naturalmente accelerato: oggetti in caduta libera ................................................................. 35
Moto in due dimensioni: moto di un proiettile .............................................................................. 37
Analisi del moto del proiettile: lancio ad angolo zero ..................................................................... 38
Analisi del moto del proiettile : Lancio ad angolo qualunque ......................................................... 39
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Fisicanet: la Meccanica
Indice
Moto in due dimensioni: moto circolare uniforme ......................................................................... 42
Moto circolare uniformemente accelerato ...................................................................................... 44
Moto in due dimensioni: moto armonico come “proiezione” del moto circolare uniforme ............ 45
Esercizi svolti di cinematica del punto materiale ........................................................................... 47
Dinamica del punto materiale ....................................................................................................... 49
Dinamica del punto materiale .......................................................................................................... 50
Principi di Newton......................................................................................................................... 50
Forze ............................................................................................................................................. 54
Legge di gravitazione universale .................................................................................................... 54
Forze d’attrito ............................................................................................................................... 56
Attrito volvente ............................................................................................................................. 57
Attrito viscoso o resistenza del mezzo ............................................................................................ 57
Forze elastica: legge di Hooke........................................................................................................ 58
Forza elastica e moto armonico ..................................................................................................... 59
Quantità di moto........................................................................................................................... 60
Applicazione della quantità di moto .............................................................................................. 61
Pendolo semplice .......................................................................................................................... 61
Applicazioni della seconda legge di Newton: consigli utili ............................................................. 63
Esercizi svolti di dinamica del punto materiale .............................................................................. 68
Energia e forme di energia............................................................................................................. 71
Energia e forme di energia ................................................................................................................ 72
Lavoro ........................................................................................................................................... 72
Lavoro di una forza costante.......................................................................................................... 72
Lavoro di una forza variabile .......................................................................................................... 75
Potenza ......................................................................................................................................... 76
Energie e diverse manifestazioni .................................................................................................... 76
Principio di conservazione dell’energia .......................................................................................... 79
Esercizi svolti sul lavoro e sul principio di conservazione dell’energia ............................................ 82
Appendici ...................................................................................................................................... 83
APPENDICE 1. Approfondimento sulle unità di misura .................................................................. 83
Angolo piano ................................................................................................................................ 85
Angolo solido Ω ........................................................................................................................... 85
APPENDICE 2. Breve cronologia delle unità di misura ................................................................... 86
APPENDICE 3. Metodo sperimentale o di Galileo .......................................................................... 88
APPENDICE 4. Quadro riassuntivo del moto ................................................................................. 90
APPENDICE 5. Galileo Galilei e il moto parabolico ........................................................................ 91
APPENDICE 6. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) ............................................. 92
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Fisicanet: la Meccanica
Indice
APPENDICE 7. Misura della costante di gravitazione universale G ................................................ 93
APPENDICE 8. Massa inerziale e massa gravitazionale .................................................................. 94
Bibliografia ....................................................................................................................................... 95
Sitografia .......................................................................................................................................... 96
Glossario........................................................................................................................................... 97
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Concetti generali della Fisica
Ogni sezione è costituita da tre parti:
Una introduzione teorica in cui è descritto l’argomento trattato preceduta da una
tabella contente la presentazione, i prerequisiti e gli obiettivi della sezione ;
Un’applicazione pratica dei concetti esposti utilizzando la tecnica del problem
solving per svolgere esercizi e problemi;
Una verifica di apprendimento relativa ai contenuto esposti ,costituita da esercizi o
problemi;
Un’appendice in cui si approfondiscono alcuni argomenti affrontati.
Che cosa è la fisica: grandezze fisiche e sistemi di misura
Sistema Internazionale di misura
Notazione scientifica e ordine di grandezza
Analisi dimensionale
Incertezza delle misure
Proprietà degli strumenti
Tipi di proporzionalità
Vettori e operazioni con i vettori
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
CONCETTI GENERALI DELLA FISICA
PREREQUISITI
[ Possedere i concetti di lunghezza,superficie e volume - Conoscere il Sistema metrico decimale - Saper
utilizzare le potenze del 10 - Sapere risolvere proporzioni,equazioni di primo e secondo grado - Piano
cartesiano e semplici nozioni di geometria dei triangoli]
OBIETTIVI
[ Conoscere i concetti di grandezza fisica e di misura - Conoscere il Sistema Internazionale di misura e
sapere utilizzare multipli e sottomultipli - Conoscere la scrittura in notazione scientifica e il significato
di ordine di grandezza - Conoscere il metodo scientifico - Conoscere le relazioni di proporzionalità ]
Che cosa è la fisica: grandezze fisiche e sistemi di misura
Fisica, deriva dal greco “physis”, cioè natura, è la scienza che descrive lo studio dei fenomeni
natutrali(moto dei corpi, alternarsi del giorno e della notte, il calore, la luce, etc ...) in modo
quantitativo attraverso grandezze misurabili legate da relazioni matematiche( leggi) .
Il metodo usato è quello sperimentale o di Galileo :
a.
di tipo induttivo: da ipotesi, esperimenti dello stesso tipo, ripetuti più volte in condizioni
diverse si ricava la legge generale che regola il tipo di fenomeno
b. di tipo deduttivo: metodo prevalentemente matematico che in fisica si usa nelle previsioni,
da concetti primitivi,postulati, definizioni, si cerca di dedurre i vari teoremi.
Le grandezze fisiche sono entità necessarie e si definisce:
Grandezza fisica: caratteristica di un corpo o di un fenomeno che può essere misurata con
uno strumento di misura cioè espressa attraverso un numero e un’unità di misura. Sono
grandezze fisica l’area, il volume, la temperatura; non sono grandezze fisica la bellezza, la
bontà, la cattiveria.
Le grandezze fisiche si possono suddividere in:
a.
grandezze fondamentali, grandezze definibili a priori e indipendenti l’una dall’altra (es.
tempo, lunghezza, temperatura,ecc)
b. grandezze derivate, la cui
velocità,accelerazione,forza, ecc.)
definizione
dipende
da
quelle
fondamentali
(es.
Inoltre si possono ulteriormente suddividere in
c.
grandezze scalari, grandezze determinate da un valore numerico e una unità di misura (es.
tempo, massa, temperatura,ecc.)
d. grandezze vettoriali, grandezze caratterizzate da un modulo o intensità, da una direzione e
un verso.
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
All’idea di grandezza fisica è sempre associata l’idea di misura cioè un numero ottenuto attraverso una
misurazione.
Misurare significa confrontare una grandezza fisica con un’unità di misura.
La definizione di una grandezza fisica si dice operativa perché contiene indicazioni su come effettuare
la misurazione e sull’unità di misura da adottare. La modalità con cui viene eseguita una misura
permette di classificare le misure in:
misura diretta è una misura ottenuta dal confronto fra la grandezza da misurare e una
grandezza ad essa omogenea assunta come unità di misura
misura indiretta è una misura ottenuta attraverso relazioni matematiche dei dati relativi ad
altre grandezze misurabili direttamente.
Le grandezze fisiche non sono poche e quindi è opportuno stabilire una unità per ciascuna di esse.
Queste unità sono scelte arbitrariamente solo per alcune di esse ed è opportuno che ci sia un sistema di
misura unico.
Sistema Internazionale di misura
Solo nel 1960 l’XI Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure introdusse il Sistema Internazionale di
Unità (S.I),oggi universalmente accettato. In tale occasione si stabilì che ogni unità di misura deve:
Essere dello stesso tipo della grandezza da misurare,
Mantenersi costante nel tempo,
Essere uno strumento facilmente riproducibile,
Essere definita non ambiguamente e conoscere tutte le modalità per riprodurla
Avere multipli e sottomultipli in modo da adattarsi a qualunque tipo di oggetto,
Essere uguale in tutto l’universo.
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Sistema Internazionale ( S.I. )
Il sistema SI si basa su sette grandezze fondamentali e due supplementari, stabilisce le corrispondenti
unità di misura, comprende tutte le unità derivate corrispondenti a grandezze derivate (vedi
tabella). Ha subito grossi cambiamenti, per la storia del sistema di misura (vedi link:
http://www.inrim.it/ldm/cd_ldm/html/storia/02.htm) mentre in appendice c’è una breve cronologia.
Tabella 1: Sistema Internazionale
Grandezze
fondamentali
Lunghezza
[l]
Unità di misura
Simbolo
Definizione
metro
m
Il metro è definito come la distanza percorsa dalla
luce, nel vuoto, in un intervallo di tempo pari a
1
299792458
di secondo*
Massa
[m]
Kilogrammo
kg
Il kilogrammo è definito come la massa(inerziale) del
campione di massa conservato al Pavillon de Breteuil
a Sevres **
Tempo
[t]
secondo
s
Il secondo è definito come l’intervallo che contiene
9192631770 periodi della radiazione corrispondente
alla transizione tra due livelli iperfini dello stato
fondamentale dell’atomo di cesio 133 ***
Temperatura
[T]
Kelvin
A
Il kelvin è la frazione
Intensità di
corrente
[i]
ampere
K
Intensità luminosa
candela
cd
Quantità di
sostanza
mole
mol
punto triplo dell’acqua
1
273,16
della temperatura del
L’ampere è definito come l’intensità di corrente
elettrica che,se mantenuta costante in due
conduttori paralleli rettilinei,di lunghezza infinita,di
sezione circolare trascurabile rispetto alla lunghezza
e posti alla distanza di 1 m l’uno dall’altro nel vuoto,
produce fra i conduttori una forza uguale a 2 ∙
10−7 N per ogni metro di lunghezza *
La candela è l’intensità luminosa che contiene tante
entità elementari quanti sono gli atomi in 0,012 kg
di carbonio 12
La mole si definisce come quella quantità di sostanza
contente esattamente lo stesso numero di costituenti
(atomi) contenuti in 12g (0.012 kg) di 12C.
In occasione della 11° Conferenza Generale dei Pesi e Misure (CGPM) del 1960, venne adottata la
prima serie dei prefissi e simboli dei multipli e sottomultipli decimali delle unità del Sistema
internazionale.
I prefissi 10-15 e 10-18 sono stati inseriti nel 1964 dalla 12° CGPM.
I prefissi 1015 e 1018 nel 1975 dalla 15° CGPM.
I prefissi 1021, 1024, e 10-24, proposti nel 1990 dal CIPM, sono stati approvati nel 1991 dalla 19°
CGPM.
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Tabella 2: Multipli e sottomultipli del Sistema Internazionale
Fattore di
moltiplicazione
Prefisso
Simbolo
1024
Yotta
Y
1 000 000 000 000 000 000 000 000
1021
Zetta
Z
1 000 000 000 000 000 000 000
1018
Exa
E
1 000 000 000 000 000 000
1015
Peta
P
1 000 000 000 000 000
1012
Tera
T
1 000 000 000 000
109
Giga
G
1 000 000 000
106
Mega
M
1 000 000
103
kilo
k
1 000
102
etto
h
100
101
deca
da
10
10−1
deci
d
0,1
10−2
centi
c
0, 01
10−3
milli
m
0, 001
10−6
micro
μ
0,000 001
10−9
nano
n
0,000 000 001
pico
p
0,000 000 000 001
10−15
femto
f
0,000 000 000 000 001
10−18
atto
a
0,000 000 000 000 000 001
10−21
zepto
z
0,000 000 000 000 000 000 001
10−24
yocto
y
0,000 000 000 000 000 000 000 001
10
−12
Valore
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Notazione scientifica e ordine di grandezza
In fisica si ha a che fare spesso con misure molto grandi o molto piccole:
Distanza media terra-sole = 149000000000 m
Massa dell’elettrone = 0,0000000000000000000000000009108 kg. S
Come si può ben vedere è difficile leggerli, così come fare calcoli con numeri così scritti. Nel trattare
questi numeri è conveniente usare la notazione scientifica basata sull’uso delle potenze del 10: ogni
numero è scritto come prodotto fra un (compreso fra 1 e 9 ) e una potenza del 10. I numeri su scritti si
possono così scrivere:
1,49 ∙ 1011 m
9,108 ∙ 10-31
In generale un numero in notazione scientifica si scrive:
𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 × 10𝑏𝑏
con
e
a = numero reale 1≤ 𝑎𝑎 < 10
b = numero intero positivo o negativo
La notazione scientifica è molto comoda,perché la potenza del 10 esprime immediatamente il suo
ordine di grandezza e in fisica spesso è utile avere un’idea dell’entità,una stima della grandezza.
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza del 10 che più si avvicina al numero.
Per determinare l’ordine di grandezza di un numero 𝑥𝑥 si procede nel seguente modo:
Si scrive il numero in notazione scientifica 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 × 10𝑏𝑏
Se |𝑎𝑎| < 5 l’ordine di grandezza è 10b
Se |𝑎𝑎| ≥ 5 l’ordine di grandezza è 10b+1
Per esempio:
1,49 ∙ 1011
9,108 ∙10−31
4,65 ∙10−12
5,67 ∙1024
o. d. g. ≈ 1011
≈ 10−30
≈ 10−12
≈ 1025
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Esempi di grandezze fisiche:
massa dell’elettrone
massa del protone
raggio della Terra
un anno
lunghezza d’onda della luce visibile
raggio di un nucleo
raggio di un atomo
raggio dell'universo
raggio dell'elettrone
raggio della galassia
raggio del Sole
massa della Terra
massa della galassia
massa dell’universo
massa del Sole
età dell’universo
9,1 × 10-31 kg
1,67 × 10-27 kg
6,4 × 106 m
3,1 × 107 s
0.5×10−6 m = 0.5μm
10−15 m=1 fm
10−10 m
1026 m
< 10−16 m
1021 m
7 × 108 m
6 × 1024 kg
8 × 1041 kg
1053 kg
2 × 1030 kg
1017 s
Analisi dimensionale
Dimensione di una grandezza fisica: per ciascuna delle grandezze fondamentali si introduce
un'etichetta di riconoscimento, detto simbolo dimensionale (Tabella A.1) che, racchiusa fra parentesi
quadre, indica la cosiddetta dimensione della grandezza stessa.
Le dimensioni di una grandezza derivata si ricavano dalla relazione che lega questa alle grandezze
fondamentali. Esempi:
area rettangolo:
𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 ∙ ℎ
⇒
[𝐴𝐴] = [𝑏𝑏] ∙ [ℎ] = [𝑙𝑙 ] ∙ [𝑙𝑙 ] = [𝑙𝑙 2 ]
volume del parallelepipedo:
𝑉𝑉 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐 ⇒ [𝑉𝑉 ] = [𝑎𝑎] ∙ [𝑏𝑏] ∙ [𝑐𝑐 ] = [𝑙𝑙 ] ∙ [𝑙𝑙 ] ∙ [𝑙𝑙 ] = [𝑙𝑙 3 ]
Se due grandezze fisiche hanno le stesse dimensioni si dicono omogenee.
Grandezze fisiche adimensionali sono quelle prive di dimensioni,sono ottenute come rapporto fra
due grandezze omogenee. Sono adimensionali anche gli angoli, che nel SI si misurano in radianti,le
funzioni goniometriche: sen, cos, tg, ecc., sono grandezze definite come rapporto tra due segmenti.
Regole pratiche per l'analisi dimensionale:le dimensioni vengono trattate proprio come quantità
algebriche nel calcolo letterale.
I numeri puri, gli angoli e tutte le grandezze adimensionali si possono sostituire con un 1
nell'analisi dimensionale.
Le grandezze fisiche possono essere sommate o sottratte solo se hanno le stesse dimensioni,
ovvero solo se sono omogenee.
I due membri di un'uguaglianza devono avere le stesse dimensioni.
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Incertezza nelle misure
Se si esegue più volte la misura di una grandezza fisica ci si accorge che i risultati ottenuti sono diversi
anche se la procedura è stata molto accurata. Per esempio la misura del cattedra eseguita da un gruppo
di studenti porterà a risultati disuguali, pur avendo usato strumenti di misurazione molto sensibili.
Possiamo concludere che nessuna delle misure è errata, ma tutte hanno una buona probabilità di
coincidere con quella reale. Ogni misura eseguita è affetta da un certo grado di incertezza o errore,
qualunque sia il metodo adoperato o la sensibilità dello strumento, cioè la misura x non è un valore
preciso, ma un valore compreso all’interno di un intervallo:
1
𝑥𝑥 − 𝛥𝛥𝑥𝑥 < 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥 + 𝛥𝛥𝑥𝑥 con 𝛥𝛥𝛥𝛥 incertezza o errore della misura
Le cause della variabilità delle misure, errori, possono essere diverse:.
condizioni ambientali (variazioni di temperatura, pressione, umidità, interferenza con campi
magnetici ed elettrici, ecc.);
limitazioni tecnologiche della strumentazione (imperfezioni costruttive, instabilità della taratura,
uso improprio dello strumento,ecc.);
imperizia, distrazione e inesperienza dell’operatore, trascrizioni sbagliate del risultato, ecc.
e si possono così classificare:
ERRORI
CASUALI
SISTEMATICI
GROSSOLANI
Sono prodotti da lettura errata
dello strumento
Trascrizione errata del risultato
Distrazione o inesperienza
dell’operatore
Si eliminano eseguendo le
misure con cura e attenzione
Sono prodotti da difetti
costruttivi o di taratura dello
strumento o dei campioni
Si manifestano sempre con lo
stesso segno e con la stessa
ampiezza ogni volta che si
esegue la misura
Si eliminano sostituendo lo
strumento o il campione con
uno più preciso
Non sono influenzati dalla
ripetizione delle misure
1
Sono prodotti da variazioni
casuali e sconosciute
delprocedimento o dello
strumento di misura
Da instabilità delle condizioni
ambientali
Dall’operatore umano
Non si ripetono sempre nello
stesso modo e hanno diversa
entità
Non possono mai essere
eliminati,ma possono essere
ridotti usandole tecniche della
statistica (ripetendo più volte la
misura e calcolandoil valor
medio tra le misure effettuate)
Va sottolineato che il termine errore assume una valenza diversa in ambito scientifico: nella scienza la
parola errore non implica il solito significato di sbaglio o svista. ”Errore” in una misura scientifica significa
l’inevitabile incertezza che èpresente in tutte le misure.
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Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Calcolo dell’incertezza della misura
Dal momento che l'errore casuale di misura non è eliminabile, dobbiamo sempre considerare la
misura di una grandezza come approssimata, nel senso che essa è più o meno vicina al valore vero.
Esiste una teoria scientifica, detta teoria degli errori (nel 1809 C.F. Gauss curò la prima esposizione
della teoria degli errori di misura ),che insegna come dare una valutazione dello scarto tra il valore
misurato e quello vero.
Consideriamo per esempio n misurazioni della grandezza x che hanno dato le misure x1, x2,...xn.
Assumiamo:
come valore più probabile il valor medio, ossia la media aritmetica delle misure ottenute:
somma delle misure
valore medio =
numeri delle misurazioni
xm
=
∑ni=1 xi
n
come stima dell’errore si assume la semidifferenza tra la misura massima e quella minima,detta errore
assoluto o semidispersione ∆x
∆x =
Il risultato della misura si scrive nella forma:
xmax − xmin
2
x = xm ± ∆x
Il valore della semidispersione non è indicativo della precisione della misura: nelle seguenti
misurazioni (1000 ± 10)me(100 ± 10)m, l'errore assoluto è lo stesso e cioè ( ± 10 m), ma assume un
significato diverso a seconda della misura effettuata e cioè 1000 metri o 100 metri. La precisione di
una misura si ottiene confrontando l'errore assoluto al valore della misura stessa. Si definisce per
questo l’errore relativo o semidispersione relativa definita come:
ε=
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
= 𝑥𝑥∆𝑥𝑥𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
L'errore relativo non ha unità di misura ma è un numero essendo il rapporto tra due misure.
Moltiplicando l'errore relativo per 100 che viene detto errore relativo percentuale:
ε% =
semidispersione
∆x
=
valore medio
xm
da cui si può vedere che minore è l'errore relativo e maggiore è la precisione della misura.
Anna Infusino - 14 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Incertezza nelle misure indirette
Spesso in laboratorio si eseguono misure indirette, misure ottenute attraverso relazioni matematiche
tra altre grandezze. Per esempio dato un rettangolo di lati:
a = am ± ∆a
e
b = bm ± ∆b
Il perimetro e l’area sono misure affette da errore perché lo sono anche i lati a e b
2p = 2(a + b)
A=a∙b
cioè gli errori su a e b si sono propagate su 2p e A seguendo la legge di propagazione degli errori:
L’incertezza assoluta su una somma o differenza è uguale alla somma delle incertezze assolute
delle singole misure
L’errore relativo (percentuale) su un prodotto è uguale alla somma degli errori relativi
(percentuali) dei singoli fattori
L’errore relativo (percentuale) su un quoziente è uguale alla somma degli errori relativi
(percentuali) delle grandezze a numeratore e denominatore
L’errore relativo (percentuale) di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per l’errore
relativo (percentuali) della base
L’errore relativo (percentuale) di una radice è uguale al quoziente dell’errore relativo
(percentuali) del radicando con l’indice della radice
Tabella riassuntiva sulla propagazione degli errori : siano x e y due grandezze fisiche e z grandezza
derivata, siano:
x = xm ± ∆x
y = ym ± ∆y
z = f (x, y)
Approssimazione di una misura e cifre significative
Ogni misura eseguita con uno strumento è un’approssimazione del valore della grandezza. E' quindi
lo strumento usato che stabilisce il numero delle cifre con cui dare il risultato della misurazione. A
queste cifre si da il nome di cifre significative. Le cifre significative sono pertanto tutte quelle cifre che
lo strumento usato è effettivamente in grado di valutare,cioè le cifre note con certezza più la prima
cifra incerta.
Grandezza
Errore assoluto
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
∆𝑧𝑧 = ∆𝑥𝑥 + ∆𝑦𝑦
𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑘𝑘
∆𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦
𝑧𝑧 =
∆𝑧𝑧 = ∆𝑥𝑥 + ∆𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
Errore relativo
𝜀𝜀𝑧𝑧 = 𝜀𝜀𝑥𝑥
𝜀𝜀𝑧𝑧 = 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑦𝑦
𝜀𝜀𝑧𝑧 = 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑦𝑦
Anna Infusino - 15 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Ecco alcune regole per individuare le cifre significative:
tutte le cifre diverse da zero sono significative: 734,25 m ha cinque cifre significative
tutti gli zeri compresi tra due cifre diverse da zero sono cifre significative : 403,002 kg ha sei cifre
significative
tutti gli zeri a destra di una cifra diversa da zero sono significativi: 103500 s
significative.
se la misura è espressa in notazione scientifica a ∙ 10b il computo delle cifre significative può
farsi solo sul coefficiente a : 1035 ∙102 oppure 1,035 ∙105 ha quatto cifre decimali
tutti gli zeri a destra di una virgola e che seguono una cifra diversa da zero sono cifre
significative: 0.00356 ha tre cifre significative.
ha sei cifre
Cifre significative di una misura indiretta :
nella somma e nella sottrazione il risultato va dato con il numero di cifre decimali della misura
che ne ha di meno. Es : 89,6 m + 45,43 m = 135,03 m = 135,0 m
nella moltiplicazione e nella divisione il risultato va dato con il numero di cifre significative della
misura che ne ha di meno
nelle equivalenze deve rimanere inalterato il numero di cifre significative.
Arrotondamento
Nell’esprimere il risultato di una misura è spesso necessario quindi arrotondare seguendo la seguente
regola:
se la prima cifra non significativa è < 5 la si trascura lasciando inalterata l'ultima cifra significativa
se la prima cifra non significativa è ≥ 5 la si trascura aumentando di un'unità l'ultima cifra
significativa
Anna Infusino - 16 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Principali caratteristiche degli strumenti di misura
Gli strumenti scientifici che permettono la rilevazione di una misura devono avere le seguenti
caratteristiche :
PORTATA (o fondo scala)indica il massimo valore della grandezza che lo strumento può misurare.
Per esempio non si può utilizzare una bilancia per alimenti di casa per misurare la massa di una
persona.
SENSIBILITA’ indica la più piccola variazione di grandezza apprezzabile dallo strumento,cioè la
distanza fra due tacche successive
PRONTEZZA (tempo di risposta) tempo necessario perché lo strumento risponda in modo completo
ad una sollecitazione
PRECISIONE è un indice della qualità dello strumento. Ogni strumento di misura ha delle
imperfezioni strumentali che ne influenzano il funzionamento e che non si possono eliminare.
Bilancia dell’orefice
Bilancia del
fruttivendolo
Bilancia pesa
persona
Portata
1 kg
5 kg
150 kg
Sensibilità
5 mg
2g
1 kg
Bilancia
Portata
Sensibilità
5 kg
0,1 kg
mm
Righello
Portata
Sensibilità
Anna Infusino - 17 - © Garamond 2009
50 mm
1 mm
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Vettori
In fisica le grandezze si suddividono in grandezze scalari e grandezze vettoriali.
Le grandezze come la lunghezza, la temperatura,il tempo, la massa che vengono definite una volta
dato il valore numerico con relativa unità di misura sono chiamate scalari.
Grandezze come la posizione di un oggetto, la velocità, lo spostamento, la forza esercitata su un
corpo, sono definite dando la direzione e il verso, oltre che il valore numerico con relativa unità di
misura, e sono chiamate vettori.
I vettori sono rappresentati graficamente da un segmento orientato definibile attraverso tre
parametri:
1. modulo o intensità = lunghezza del segmento proporzionale al modulo della grandezza
rappresentata
2. direzione = retta su cui giace il segmento
3.
verso orientazione del segmento, verso di percorrenza della retta
Un vettore può essere rappresentato:.
a.
In grassetto ( maiuscolo o minuscolo) : a, v, F, s, ecc.
b. Con una lettera sormontata da una freccia: 𝑎𝑎⃗, 𝑣𝑣⃗ , 𝐹𝐹⃗ , 𝑠𝑠⃗, ecc-
Il modulo di un vettore viene indicato con la stessa lettera non in grassetto o senza la freccia oppure
con il simbolo |𝑎𝑎|.
I vettori possono essere sommati, moltiplicati tra loro (il prodotto scalare e il prodotto vettoriale, che
verranno definiti successivamente), rappresentati per componenti in un sistema di riferimento ecc.
v
Intensità o modulo
Anna Infusino - 18 - © Garamond 2009
Direzione
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Operazioni con i vettori
Somma di vettori
I vettori a e b con stessa direzione e stesso verso
a
b
R
Regola: il vettore somma o risultante di due vettori avente la stessa direzione e stesso verso è
un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso dei due vettori e per modulo la somma
dei due moduli.
I vettori a e b con stessa direzione ma verso opposto
a
b
R
Regola: il vettore somma o risultante di due vettori avente la stessa direzione ma verso
opposto è un vettore che ha la stessa direzione dei due vettori e verso quello del vettore con
intensità maggiore e per modulo la differenza dei due moduli.
I vettori hanno direzione diversa
b
a
In questo caso si sommano i vettori applicando due
regole: regola del parallelogramma e regola del poligono
o punta-coda.
R
a
b
Regola del parallelogramma:
Il vettore risultante R è dato dal segmento orientato che è la diagonale del parallelogramma che
si ottiene tracciando dall’estremo del vettore a la parallela al vettore b e dall’estremo del vettore
b la parallela al vettore a
b
a
Regola del poligono o del punto coda:
Occorre traslare senza ruotare il vettore ed
attaccarne la coda alla punta del vettore
precedente il vettore risultante si ottiene
unendo l’origine del primo vettore con la punta
dell’ultimo vettore.
Cambiando l’ordine della somma il vettore
risultante non cambia.
R
R
a
b
Anna Infusino - 19 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Le due regole del parallelogramma o del poligono sono equivalenti.
Per la somma di vettori vale la proprietà commutativa, cioè
a+b=R=b+a
Nel caso in cui i due vettori a e b sono perpendicolari si ha che il calcolo dell’intensità di R lo si ottiene
con il teorema di Pitagora:
R = √a2 + b 2
somma di vettori: applets
www.walter-fendt.de/ph14i/resultant_i.htm
Differenza di vettori
Per definire la differenza di vettori è necessario introdurre il vettore opposto.
Dato un vettore a, si dice vettore opposto di a e lo si indica con – a il vettore che ha lo stesso modulo e
la stessa direzione di a ma verso opposto.
a
−a
Per calcolare la differenza di due vettori a – b occorre sommare al vettore a il vettore opposto di b :
a – b = a + (−b)
D=a−b
a
b
− b
Anna Infusino - 20 - © Garamond 2009
a
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
Scomposizione di un vettore secondo una direzioni assegnata
Dato un vettore a e una retta orientata r si definisce vettore componente di a lungo la retta r il vettore
ar ottenuto tracciando la proiezione ortogonale di a su r . Il modulo di ar e la componente di a su r.
Tale componente sarà positivo se la direzione di a e r formano un angolo acuto, negativo se la
direzione di a e r formano un angolo ottuso. Nel caso in cui la direzione di a e r sono perpendicolari il
componente è nullo.
a
α
ar
r
a
a
ar
r
Scomposizione di un vettore secondo due direzioni assegnate
L’operazione inversa della somma di due vettori è la scomposizione di un vettore in altri due vettori.
Dati due vettori esiste un solo vettore che ne rappresenta la somma, non è vero il viceversa, cioè dato
un vettore non esiste una sola coppia di vettori di cui esso rappresenta la somma, perché per
scomporre un vettore bisogna specificare le direzioni lungo le quali agiscono i vettori componenti.
r
a
R
b
s
Se le direzioni orientate scelte sono perpendicolari tra loro, i vettori componenti sono detti
componenti cartesiani del vettore e si indicheranno mettendo come pedice la x e a y come in figura:
Anna Infusino - 21 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Concetti generali della Fisica
ax =a cos θ
ay =a sen θ
a = �a2x + a2y
tan θ =
Anna Infusino - 22 - © Garamond 2009
ay
ax
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Cinematica del punto materiale
Tra i tanti problemi che la mente umana si è trovata a risolvere alla fine del 1500 c’è il
problema del movimento. Da Aristotele (384-322 a. C. )a Galileo molti filosofi-scienziati
hanno creduto e insegnato cose errate sul moto degli oggetti inanimati. Soltanto grazie a
Galileo e Newton si ebbe una sistemazione dei concetti del moto così come oggi lo
concepiamo.
In questo capitolo saranno sviluppati i concetti utili sia allo studio del moto degli oggetti
che ci circondano ( auto, aerei, ecc ) sia al moto dei corpi celesti, sia al moto delle
particelle atomiche.
Moto rettilineo
Moto rettilineo uniforme
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Moto naturalmente accelerato:oggetti in caduta libera
Moto in due dimensioni: moto di un proiettile
Moto in due dimensioni: moto circolare
Moto in due dimensioni: moto armonico
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Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE
PREREQUISITI
[ Possedere i concetti di grandezza scalare e vettoriale - Saper rappresentare un vettore e operare con i
vettori - Saper rappresentare una legge fisica - Saper lavorare con le unità di misura e le dimensioni ]
OBIETTIVI
[ Conoscere il significato e la definizione di traiettoria, spostamento, velocità media e istantanea Conoscere il significato e la definizione di accelerazione media e istantanea -Conoscere il significato e
le equazioni del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato - Saper costruire e analizzare i
diagrammi “spazio-tempo” e “velocità-tempo” - Risolvere problemi sul moto ]
Moto rettilineo
Il problema del moto ha sempre destato interesse degli scienziati.
Il ramo della fisica che studia il movimento è la meccanica che si suddivide in:
Cinematica, che studia il moto indipendente dalle cause che lo producono;
Dinamica, che descrive il moto esaminando le cause che lo producono;
Statica, che studia e determina le condizioni di equilibrio dei corpi.
In generale diciamo che:
un corpo è in moto quando la sua posizione cambia nel tempo rispetto ad un altro assunto
come riferimento.
un corpo è in quiete quando la sua posizione non cambia nel tempo rispetto ad un altro
assunto come riferimento.
Quindi sia moto che quiete sono concetti relativi.
Ogni moto va studiato dopo aver fissato un sistema di riferimento, cioè un punto di vista da cui
osservare il fenomeno,cioè rispetto al quale si definisce la posizione del corpo studiato e il suo
movimento.
Il sistema di riferimento può essere a sua volta in movimento rispetto ad un altro sistema di
riferimento. Il moto assoluto non esiste perché non esiste un sistema di riferimento assolutamente
fermo.
Qual è allora il sistema di riferimento migliore per studiare il moto? La scelta deve cadere su quello in
cui il moto appare il più semplice possibile da studiare.
Come sistema di riferimento useremo il riferimento terrestre, cioè un sistema solidale alla terra
che sarà una retta se il moto avviene lungo una sola direzione, una coppia di assi cartesiani se il moto
avviene nel piano, una terna di assi cartesiani se gli spostamenti avvengono nello spazio.
Anna Infusino - 24 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Il corpo in moto é sostituito con un punto detto punto materiale, un punto di dimensioni
trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui può muoversi il corpo o degli altri corpi con cui può
reagire.
Un corpo esteso solo eccezionalmente si muove come un punto materiale (si parla in tal caso di
traslazione); esso può compiere contemporaneamente altri tipi di moto, come rotazioni (ad esempio
una ruota) o vibrazioni (una goccia di liquido che cade).
P(x)
Moto unidimensionale
P(x,y
)
Moto bidimensionale
Moto
tridimensionale
Il moto di un punto materiale è determinato se è nota:
la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento, ossia ad
esempio se sono note le sue coordinate x(t), y(t), z(t) in un sistema di riferimento cartesiano.
la traiettoria: è la linea costituita dall’insieme delle posizioni occupate,nel tempo, dal punto
materiale in moto.
Anna Infusino - 25 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Legge del moto: è un'espressione matematica che mette in relazione le distanze,
effettivamente percorse, con i tempi impiegati a percorrerle. Questa consente di determinare, in
ogni istante, la posizione occupata dal punto materiale, lungo la sua traiettoria. E' generalmente,
espressa da:
x = f(t)
con x distanza percorsa
Per descrivere il moto di un punto materiale è necessario conoscere tre grandezze fisiche vettoriali:
lo spostamento: è il vettore che unisce il punto iniziale della traiettoria con quello finale
(non dipende dall’ effettivo spazio percorso lungo la traiettoria).
r=xi+yj+zk
r’ = x’ i + y’ j + z’ k
P’(x’,y’,z’)
r’
j
k
i
la velocità (media) : è una grandezza derivata che mette in relazione la distanza percorsa con
il tempo impiegato a percorrerla.
Possiamo definire la velocità vettoriale come la rapidità con cui varia lo spazio:
𝑣𝑣 =
ll vettore velocità ha la stessa direzione di
∆𝑟𝑟
∆𝑡𝑡
∆𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 ′
Anna Infusino - 26 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
La velocità media e il vettore spostamento non forniscono informazioni sui dettagli del moto.
Si definisce velocità istantanea il limite del rapporto tra il vettore spostamento Δr e l’intervallo di
tempo corrispondente Δt , quando tale intervallo tende a zero:
∆𝑟𝑟
𝛥𝛥𝛥𝛥→0 ∆𝑡𝑡
𝑣𝑣 𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚
La direzione del vettore vi è quella della retta tangente alla traiettoria nel punto considerato.
Retta
L’accelerazione:definita come la rapidità con cui varia la velocità, mette in relazione la variazione di
velocità con l’intervallo di tempo in cui tale variazione avviene :
𝑎𝑎 =
∆𝑣𝑣
∆𝑡𝑡
dove
∆𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 ′
e
∆𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 ′
Anche l’accelerazione media non fornisce informazioni sui dettagli del moto.
Anna Infusino - 27 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Per questo si definisce l’accelerazione istantanea, l’accelerazione media del punto materiale relativa
ad un intervallo di tempo molto piccolo, al limite tendente a zero. Dal punto di vista formale
∆v
ai = lim
Δt→0 ∆t
Il vettore accelerazione a non ha la stessa direzione delle velocità o dello spostamento.
Consideriamo un punto materiale P in moto con velocità di modulo v. La descrizione del moto del
corpo può essere fatto in due modi distinti:
Tramite una descrizione della traiettoria seguita: se il moto è piano, la traiettoria seguita
può essere rettilinea o curvilinea e quindi si parlerà rispettivamente di moto rettilineo o moto
curvilineo.
Tramite l’analisi del modulo della velocità: se v è costante nel tempo, il corpo si muove di
moto uniforme (per esempio, moto rettilineo uniforme se il punto materiale si muove su
traiettoria rettilinea, moto circolare uniforme se si muove su una particolare traiettoria curvilinea,
quella circolare); se il modulo della velocità cambia col tempo, il corpo si muove di moto vario;
se il cambiamento del modulo della velocità segue un andamento lineare nel tempo o, se
l’accelerazione con cui si muove il punto è costante, si avrà un moto uniformemente vario.
Moto rettilineo uniforme
Un moto si dice rettilineo uniforme se:
La traiettoria è rettilinea, cioè il moto si svolge lungo una linea retta;
La velocità è costante in qualunque intervallo di tempo, cioè il punto mobile percorre spazi
uguali in tempi uguali.
Esempi di moto rettilineo uniforme : un’auto su un tratto di autostrada rettilinea.
Nel moto rettilineo uniforme la velocità e data da:
v=
∆x
∆t
dove ∆x = x − x0
e
Dalla precedente s ipuò ricavare l’equazione oraria:
∆t = t − t 0
x − x0 = v (t − t 0 )
Se all’istante iniziale,cioè t 0 = 0, il corpo si trova nella posizione xo di partenza l’equazione oraria che
descrive il moto rettilineo unifirme diventa:
x = xo + vt
e l’equazione della velocità :
v = cost
Se all’istante iniziale,cioè t 0 = 0 , il corpo si trova nella posizione di partenza xo =0 l’equazione oraria
che descrive il moto rettilineo uniforme diventa:
x = vt
e l’equazione della velocità :
L’equazione dimensionale della velocità è :
v = cost
Anna Infusino - 28 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
[v ] =
[∆x]
[∆t]
=
[L]
[t]
= [L t −1 ]
Nel Sistema SI l’unità di misura della velocità è il metro al secondo
in simbolo m/s .
Diagramma spazio-tempo e velocità-tempo del moto rettilineo uniforme
E’ possibile dare una rappresentare grafica del moto rettilineo uniforme attraverso i diagrammi: spazio
– tempo, velocità – tempo, accelerazione – tempo .
Moto rettilineo uniforme con condizioni iniziali t 0 = 0 x0 ≠0
x
a
v
x
t
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑜𝑜 + 𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑎𝑎 = 0
𝑣𝑣 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Moto rettilineo uniforme con condizioni iniziali t 0 =0 x0 = 0
x
v
𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑣𝑣
t
t
t
𝑣𝑣 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
a
t
𝑎𝑎 = 0
t
Poiché l’equazione oraria è una relazione lineare o una proporzionalità diretta, la rappresentazione
cartesiana del moto uniforme è una semiretta che interseca l’asse verticale o una retta che passa per
l’origine del sistema di assi cartesiano.
La pendenza di questa retta rappresenta in entrambe le situazioni la velocità costante del moto:
pendenza = velocità
Anna Infusino - 29 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Esempio 1: rappresentiamo il moto di un automobile, una moto e un camion in moto rettilineo
uniforme su una strada rettilinea. Sia va = 100 km/h, vm = 130 km/h, vc = 60 km/h le
velocità rispettivamente dell’auto,della moto e del camion e sia xo = 0 a t =0 .
300
140
250
120
100
200
150
100
sa
80
va
sm
60
vm
40
sc
50
vc
20
0
0
0
1
2
0
3
Fig. 1 - Diagramma spazio-tempo di
un'auto, moto e camion
1
2
3
Fig. 2 - Diagramma velocità-tempo di
un'auto,moto e camion
Esempio 2: rappresentiamo il moto di un automobile, una moto e un camion in moto rettilineo
uniforme su una strada rettilinea. Sia va = vm = vc = 100 km/h le velocità dell’auto,della
moto e del camion e sia xa = 0 , xm = 50 km , xc = 100 km i punti in cui si trovano
rispettivamente auto, moto e camion all’istante t=0.
350
300
250
200
sa
sm
sc
150
100
50
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Fig. 3 - Diagramma spazio-tempo di un auto, moto e camion
con uguali velocità
Osservazioni:
i diagrammi orario di FIG. 1 sono costituiti tutti da rette passanti per l’origine, cioè all’istante
iniziale, quando il cronometro segna t = 0 l’auto, moto e camion si trovano nel medesimo punto
di partenza;
le tre rette di FIG. 1 hanno pendenza diversa; a pendenza maggiore corrisponde velocità
maggiore,quindi il coefficiente angolare della retta rappresenta la velocità;
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Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
la retta non rappresenta la traiettoria, ma il modello matematico che definisce la proporzionalità
tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo;
i diagrammi orario di FIG. 3 rappresentano tre rette parallele : hanno la stessa pendenza e quindi
lo stesso coefficiente perché hanno la stessa velocità
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Il moto reale difficilmente avviene a velocità costante: il moto di un auto che si muove nel traffico,il
moto di un atleta che percorre i 200 m, un corpo che cade, ecc .Si ha quindi a che fare con corpi che si
muovono di moto vario, cioè con velocità variabile.
Un esempio importante di moto vario è il moto rettilineo uniformemente accelerato, caratterizzato da
una traiettoria rettilinea e da un'accelerazione costante, cioè le variazione della velocità sono
direttamente proporzionali agli intervalli di tempo trascorsi. Questo vuol dire che dalla definizione di
accelerazione:
a=
Segue che a =
v−v 0
t−t 0
v − v0
t − t0
𝑎𝑎
= cost
𝑡𝑡0
ovvero
𝑡𝑡
𝑣𝑣
v − v0 = a (t − t 0 )
𝑣𝑣 − 𝑣𝑣0
𝑣𝑣0
𝑡𝑡0
Nel caso in cui a t 0 = 0 e v0 sia diversa da zero si ha:
v = v0 + at
𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0
𝑡𝑡
𝑣𝑣0
t
Anna Infusino - 31 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Nel caso in cui a t 0 = 0 e v0 sia uguale a zero si ha:
𝑣𝑣
v = at
𝑡𝑡
In un moto uniformemente accelerato la velocità varia uniformemente da un valore iniziale v0
valore finale e la velocità media si ottiene come media aritmetica tra v e v0 :
v + v0
vm =
2
E dato che per qualunque moto vale la relazione vm =
E ricordando che v = v0 + a∆t si ha:
∆s =
∆x =
v 0 + a∆t +v 0
2
∆x
∆t
a un
sostituendo nella precedente
v + v0
∆t
2
∆t = v0 ∆t +
1
2
a (∆t)2
Che esprime la relazione tra spazio e tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato.
Esplicitando ∆x e ∆t si ottengono le equazioni generali del moto rettilineo uniformemente accelerato
quando a t 0 = 0 e v0 ≠ 0 e x0 ≠ 0 :
𝑎𝑎
a =k
𝑡𝑡
v = v0 + at
𝒗𝒗𝟎𝟎
x = xo + v0 t +
1
2
a t2
𝒙𝒙𝟎𝟎
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𝑡𝑡
𝑡𝑡
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Le equazioni generali del moto rettilineo uniformemente accelerato quando t 0 = 0, v0 = 0 e x0 =
0:
a =k
𝑎𝑎
𝑡𝑡
v = at
𝒗𝒗𝟎𝟎
x =
1
2
a t2
𝑡𝑡
𝑥𝑥
𝑡𝑡
Sia nel moto uniforme che nel moto rettilineo uniformemente accelerato l’area compresa tra la retta
della velocità e l’asse dei tempi rappresenta la distanza percorsa
𝑣𝑣
𝑣𝑣
𝑣𝑣0
𝑣𝑣0
Digramma (v;t) di un
moto rettilineo
uniforme con 𝑡𝑡 = 0 e
𝑣𝑣0 = 0
𝑡𝑡
𝑡𝑡
Digramma (v;t) di un moto
rettilineo uniformemente
accelerato con 𝑡𝑡 = 0 𝑣𝑣0 ≠ 0
Nel caso in cui non si dispone del tempo nella descrizione del moto rettilineo uniformemente
accelerato si possono comporre le equazione orarie e della velocità per ottenere un’equazione che non
contiene il tempo.
Anna Infusino - 33 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Mettendo a sistema le equazioni
1 2
at
2
v = v0 + at
x = xo + v0 t +
e risolvendo rispetto a t la seconda equazione :
t =
v − v0
a
e sostituendo nella prima si ottiene :
x = xo + v0 �
v − v0
1
v − v0 2
� + a�
�
a
a
2
da cui si ricava attraverso semplici passaggi algebrici:
v 2 = v02 + 2a(x − x0 )
che è l’equazione non contenente il tempo.
Si rimanda al link sotto per visualizzare applets sui moti
http://didatticait.altervista.org/Didattica/fisica/cinematica/
Anna Infusino - 34 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Moto naturalmente accelerato: oggetti in caduta libera
Il più famoso esempio di moto uniformemente accelerato è
quello di un oggetto in caduta libera. Galileo Galilei risolse
per primo il problema degli oggetti che cadono e come dice
la leggenda pare abbia lasciato cadere oggetti dalla torre
pendente di Pisa per confermare le sue ipotesi. Tuttavia le sue
conclusioni si basarono su numerosi esperimenti eseguiti
con sferette che rotolavano lungo piani inclinati. I risultati
raggiunti si possono così riassumere:
trascurando la resistenza dell’aria, un corpo, prossimo alla
superficie terrestre, in caduta libera cade lungo la verticale
con moto uniformemente accelerato;
il valore dell’accelerazione, di solito indicato con “ g “, non
dipende dal peso del corpo, cioè tutti gli oggetti posti nello
stesso luogo hanno la stessa accelerazione (dipende invece
dalla latitudine).
Chi
arriva
prima ?
Modello di piano inclinato di Galilei Galileo: quando
la sferetta scende i campanelli posti a distanze crescenti
con legge quadratica suonano rivelando uguali
intervalli di tempo.
Galileo non calcolò il valore numerico dell’accelerazione di gravità e neanche cercò di spiegare il
perché i corpi cadono con la stessa accelerazione. Egli si accontentò di dare una spiegazione di come
avviene il moto di caduta libera . Sarà lo scienziato inglese Isaac Newton a spiegare, attraverso la teoria
della gravitazione, il perche tutti i corpi sulla terra hanno una stessa accelerazione.
L’accelerazione di gravità è diretta verso il centro della terra e ha il valore di a = g = 9,8 m/s2. Più
precisamente risulta:
All’equatore
latitudine 0°
g = 9.780 m/s2
Al polo nord
latitudine 90°
g = 9.793 m/s2
Hong Kong
latitudine 30°
g = 9.780 m/s2
Oslo
latitudine 60°
g = 9.819 m/s2
Nota : un oggetto è in caduta libera sia che cada da fermo, sia che venga lanciato o lasciato
cadere verso il basso, sia che venga lanciato verso l’alto.
Anna Infusino - 35 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Tenendo presenti queste considerazioni si possono scrivere le equazioni che descrivono un corpo in
caduta libera considerando come sistema di riferimento per la descrizione del moto un sistema di assi
cartesiani con ascissa positiva verso destra e ordinata positiva verso l’alto e trascurando la resistenza
dell’aria:
La figura mostra che :
− lo spazio percorso e la
velocità sono funzione del
tempo;
− la velocità è funzione lineare
del tempo;
− lo spazio è funzione
quadratica di t;
− l’accelerazione g = - 9,8 m/s2
è negativa perché si è scelto
un sistema di riferimento
positivo verso l’alto per la
descrizione del moto.
L’equazione oraria e data da :
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑣𝑣0 𝑡𝑡 −
L’equazione della velocità è :
L’equazione dell’accelerazione è :
1
𝑔𝑔 𝑡𝑡 2
2
𝑣𝑣 = 𝑣𝑣0 − 𝑔𝑔 𝑡𝑡
𝑎𝑎 = −𝑔𝑔
Nota : il segno meno nelle tre equazione è dovuto al fatto che il verso del vettore accelerazione è
opposto a quello del sistema scelto per la descrizione del moto.
Anna Infusino - 36 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Moto in due dimensioni: moto di un proiettile
Nel 1500 incominciavano a diffondersi le armi da fuoco e uno dei problemi più studiati era quello del moto
di un proiettile . Diverse erano le teorie sviluppatesi, soprattuuto ad opera di ingegneri e artigiani, da quella
aristotelica a quella dell’impeto a quella di Galileo.Quest’ultima era rivolta a demolire la concezione
aristotelica del moto e la tesi dell’immobilità della Terra. Grazie a “sensate esperienze” e a “certe
dimostrazioni” Galileo individuò il cosiddetto “Principio di indipendenza dei moti”, che gli permise di
superare le obiezioni aristoteliche al moto della Terra. Secondo tale principio, una pietra lanciata in aria non
resta indietro rispetto al suolo perché, oltre a cadere con un moto verticale uniformemente accelerato,
continua a muoversi del moto orizzontale uniforme impresso dalla mano da cui è partita. La stessa cosa
accade anche all’interno di una grande nave: il moto dei vari oggetti all’interno della nave non consente di
capire se la nave sia ferma in porto o in navigazione con moto costante. Il “Principio di indipendenza dei
moti” e l’analogia della nave portarono Galileo al “Principio d’inerzia” e alla “Relatività classica”. Tuttavia,
Galileo non enunciò formalmente questi due principi, ma dichiarò di aver studiato il moto di caduta libera
per dare una spiegazione al moto di un proiettile rispondendo alle seguenti domande:
Che forma ha la traiettoria di un proiettile?
Qual è la distanza massima orizzontale di caduta del proiettile, cioè la sua gittata G?
La velocità iniziale e l’angolo di lancio del proiettile come influenzano la gittata G?
Per applicare la spiegazione che Galileo diede del moto del proiettile immaginiamo di eseguire il
seguente esperimento:
Da un tavolo del laboratorio di fisica
lanciamo
contemporaneamente due palline una rossa e una gialla: la
rossa è lasciata cadere da ferma lungo la verticale, la gialla è
lanciata orizzontalmente. Le foto dell’esperimento scattate
con una lampada stroboscopica a intervalli di tempo regolari
riprendono le due palline sempre alla stessa altezza come
rappresentato in figura. La conclusione che si possono trarre è
che le due palline raggiungono terra contemporaneamente.
Eseguendo più volte l’esperienza da diverse altezze e con
diversa velocità di lancio orizzontale, si osserva che le due
palline cadono a terra contemporaneamente e lo spazio
orizzontale percorso è
direttamente proporzionale alla
velocità orizzontale di lancio. Quindi le conclusione che si
possono trarre sono:
1. gli spostamenti verticali sono identici;
2. Il tempo di caduta è indipendente dalla velocità
orizzontale con la quale è stata lanciata la pallina: le due
palline arrivano contemporaneamente a terra;
3. I due moti, quello orizzontale rettilineo uniforme con
velocità costante (uguale a quella iniziale) e quello
verticale uniformemente accelerato con accelerazione g,
avvengono senza influenzarsi reciprocamente, cioè in
modo indipendente.
Anna Infusino - 37 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Quest’ultima conclusione è il Principio di indipendenza dei moti di Galileo:
Un corpo, soggetto contemporaneamente a due o più movimenti per un determinato tempo, viene a
trovarsi nella stessa posizione in cui si troverebbe se i movimenti avvenissero l'uno
indipendentemente dall'altro, ciascuno per un tempo uguale a quello considerato.
Analisi del moto del proiettile: lancio ad angolo zero
Il moto della pallina lanciata orizzontalmente dal tavolo è del tutto simile a quello di un proiettile
lanciato ad angolo zero. Il moto avviene nel piano individuato da vo e g e, scegliendo un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale orientato come in figura, può essere analizzato separatamente
nelle sue componenti :
la componente orizzontale è descritta dalle relazioni cinematiche del moto rettilineo uniforme
quella verticale dalle relazioni del moto uniformemente accelerato
x1
x
x3
x
V0
y
(m)
t
=
V0
h
x(m)
y1
y2
t =1
x (m)
t =2
y3
t
y
t =4
Posizione finale
Indicando con v0 la velocità iniziale orizzontale, h l’altezza da cui è lanciato il proiettile e con g
l’accelerazione di gravità si ha:
moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle x :
𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0 𝑡𝑡
𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Anna Infusino - 38 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
𝑎𝑎𝑥𝑥 = 0
moto rettilineo uniformemente accelerato lungo l’asse y :
1
𝑦𝑦 = ℎ − 𝑔𝑔 𝑡𝑡 2
2
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑎𝑎𝑦𝑦 = −𝑔𝑔
𝑣𝑣𝑦𝑦2 = −2𝑔𝑔∆𝑦𝑦
Componendo le due equazioni orarie in direzione x e y si ottiene l’equazione della traiettoria del
proiettile:
𝒙𝒙 = 𝒗𝒗𝟎𝟎 𝒕𝒕
𝟏𝟏
𝒚𝒚 = 𝒉𝒉 − 𝒈𝒈 𝒕𝒕𝟐𝟐
𝟐𝟐
Ricavando t dalla prima
e sostituendolo nella seconda si ha :
𝑦𝑦 = ℎ −
𝑡𝑡 =
𝑥𝑥
𝑣𝑣0
1
𝑥𝑥 2
𝟏𝟏 𝒈𝒈 𝟐𝟐
𝑔𝑔 � � = 𝒉𝒉 −
𝒙𝒙
2
𝑣𝑣0
𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟎𝟎
che è l’equazione della parabola descritta dal proiettile e poiché 𝑣𝑣0 e g sono costanti, ponendo 𝑎𝑎 =
𝑐𝑐 = ℎ
𝑔𝑔
2𝑣𝑣02
e
l’equazione diventa: 𝒚𝒚 = − 𝒂𝒂 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒄𝒄 che rappresenta graficamente una parabola rivolta verso il basso
con il vertice nel punto (0;h) come in figura. La parabola rappresenta la composizione di un moto
rettilineo uniforme in direzione orizzontale e un moto uniformemente accelerato in direzione
verticale.
La gittata o distanza massima orizzontale si ricava
ponendo nell’equazione della parabola 𝑦𝑦 = 0 cioè.
V (0;h)
da cui si ricava:
2
0 = −𝑎𝑎 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
+ 𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝒙𝒙𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = � = �
𝑎𝑎
G ( xmax;0)
2ℎ𝑣𝑣02
ℎ
�
𝑔𝑔
2𝑣𝑣2
0
𝑔𝑔
𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝒗𝒗𝟎𝟎 �
𝒈𝒈
Il tempo di caduta del proiettile si ricava ponendo y
= 0 nell’equazione oraria dell’asse y :
1
da cui si ricava:
0 = ℎ − g 𝑡𝑡 2
2
𝒕𝒕 = �
Analisi del moto del proiettile : Lancio ad angolo qualunque
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒈𝒈
Un proiettile sparato da un cannone con un’inclinazione α si m uove in verticale,lungo l’asse y, di m oto
rettilineo uniformemente accelerato e in orizzontale,lungo l’asse x, di moto rettilineo uniforme. La
traiettoria seguita la parabola, è il risultato della composizione di questi due moti.
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Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Per descrivere tale moto consideriamo un sistema di assi cartesiani con origine nel punto di lancio
come in figura,con vo velocità iniziale contenuta nel piano (xy),
α inclin azione del lan cio, g
accelerazione di gravità, v0x = v0 cos α, v0y = v0 sin α :
y
vo
Vo
α
x
vox
Per il principio di simultaneità dei moti possiamo scrivere le equazioni che descrivono tale moto:
𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥 𝑡𝑡
𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥
𝑎𝑎𝑥𝑥 = 0
1
𝑦𝑦 = − 𝑔𝑔 𝑡𝑡 2
2
𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑣𝑣0𝑦𝑦 – 𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑎𝑎 𝑦𝑦 = −𝑔𝑔
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜: 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣: 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
ricavando t dall’equazione oraria lungo l’asse x :
𝑡𝑡 =
𝑥𝑥
𝑣𝑣0𝑥𝑥
e sostituendolo nella equazione oraria lungo l’asse y si ricava:
𝑦𝑦 = −
1
𝑥𝑥 2
1 𝑔𝑔 2
𝑔𝑔 � � = −
2 𝑥𝑥
2
𝑣𝑣0𝑥𝑥
2 𝑣𝑣0𝑥𝑥
che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso,poiché il coefficiente di 𝑥𝑥 2 è
negativo.
Più in generale possiamo descrivere il moto di un proiettile ad angolo qualunque
α lan ciato da un
cannone posto a un dato livello dal suolo con le seguenti equazioni dopo aver scelto il sistema di
riferimento come in figura:
Anna Infusino - 40 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥 𝑡𝑡
𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑣𝑣0𝑥𝑥
𝑎𝑎𝑥𝑥 = 0
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑣𝑣0𝑦𝑦 𝑡𝑡 −
1 2
𝑔𝑔𝑡𝑡
2
𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜 − 𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑎𝑎𝑦𝑦 = −𝑔𝑔
ricavando t dall’equazione oraria lungo l’asse x
𝑡𝑡 =
𝑥𝑥
𝑣𝑣0𝑥𝑥
e sostituendolo nella equazione oraria lungo l’asse y si ricava:
dato che
𝑎𝑎 = −
𝑣𝑣0𝑦𝑦
𝑣𝑣0𝑥𝑥
e
1 𝑔𝑔
2
2 𝑣𝑣0𝑥𝑥
1
𝑔𝑔
2
2 𝑣𝑣0𝑥𝑥
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑣𝑣0𝑦𝑦
𝑣𝑣0𝑦𝑦
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥 2
1 𝑔𝑔 2
− 𝑔𝑔 �
� = 𝑦𝑦0 +
𝑥𝑥 −
2 𝑥𝑥
𝑣𝑣0𝑥𝑥
𝑣𝑣0𝑥𝑥
2
𝑣𝑣0𝑥𝑥
2 𝑣𝑣0𝑥𝑥
sono costanti, essendo rapporti tra quantità ccostanti, e ponendo :
𝑒𝑒 𝑏𝑏 =
𝑣𝑣0𝑦𝑦
𝑣𝑣0𝑥𝑥
L’equazione si può scrivere:
𝑦𝑦 = −𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏 𝑥𝑥
Che rappresenta l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse y, con cocavità rivolta verso il
basso e passante per l’origine degli assi dato che manca il termine noto nell’equazione.
Osservazioni: la traiettoria parabolica del proiettile parte dall’origine con velocità vo , il vettore v varia
nel tempo sia in modulo che in direzione. L a variazione del vettore velocità è dovuta all’accelerazione
nella direzione negativa della y . La componente x della velocità rimane costante nel tempo perché non
vi è accelerazione lungo la direzione orizzontale. La componente y della velocità si annulla nel punto
più alto della traiettoria. Il moto nella fase di salita è lo stesso che nella fase di discesa. Il tempo
impiegato dal proiettile a raggiungere il punto più alto, tempo di salita, è lo stesso del tempo impiegato
dal proiettile per scendere, tempo di discesa. Il tempo in cui il proiettile sta in aria, tempo di volo, è pari
a due volte il tempo di salita.
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Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Moto in due dimensioni: moto circolare uniforme
Si definisce moto circolare uniforme Il moto di un punto mobile che avviene su una traiettoria circolare (una
circonferenza) con velocità costante in modulo. Infatti la velocità è un vettore per cui è caratterizzata da
modulo o intensità, direzione e verso e nel moto circolare si mantiene costante il modulo mentre varia
continuamente la direzione della velocità. Tale moto ha grande importanza in molti campi della scienza e
della tecnica, esempio: sono moti circolari quelli di un satellite intorno a un pianeta.
Quindi un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme percorre archi di circonferenze che sono
direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati.
v2
B
v1
O
A
Il fatto che la velocità cambia di direzione, anche se non cambia in intensità,fa si che il moto circolare
uniforme sia un moto accelerato. Per calcolare questa accelerazione consideriamo i vettori velocità v1
e v2 nei punti A e B e determiniamo il Δ v con la regola del parallelogramma Δv = v2 – v1 .
Graficamente si ha:
v2
B
Δv
- v1
O
v1
A
Come si osserva dalla figura il Δ v è diretto verso il centro della circonferenza lungo la quale avviene il
moto.
Dividendo questo vettore per il tempo Δ t impiegato per andare da A a B si ottiene l’accelerazione del
moto che è un vettore che ha la stessa direzione e verso del vettore Δ v perché il Δ t per cui si divide è
un numero positivo. Quindi l’accelerazione risulta:
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Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
𝑎𝑎𝑐𝑐 =
∆ 𝑣𝑣
∆ 𝑡𝑡
Dove il pedice c sta a significare che l’accelerazione punta verso il centro e per questo è detta
accelerazione centripeta.
L’accelerazione centripeta è il vettore che misura la rapidità con cui cambia la direzione del vettore
velocità.
Si può dimostrare che l'intensità dell'accelerazione centripeta si calcola con la formula: 𝑎𝑎𝑐𝑐 =
𝑣𝑣 2
𝑟𝑟
.
Oltre all’accelerazione centripeta le grandezze che caratterizzano il moto circolare uniforme sono :
Il periodo T del moto cioè l'intervallo di tempo (sempre uguale) in cui il corpo compie un giro
completo. Il moto circolare uniforme è periodico perché si ripete sempre uguale per ogni intervallo di
tempo T.
La frequenza f del moto come l'inverso del periodo. Essa rappresenta il numero di giri completi
compiuti nell'unità di tempo e si misura in hertz (simbolo Hz): 𝑓𝑓 =
1
𝑇𝑇
Il vettore velocità tangenziale v che ha direzione istante per istante tangente alla traiettoria circolare.
Il modulo della velocità invece rimane costante ed è dato dal rapporto tra la lunghezza della
circonferenza e il periodo :
𝑣𝑣 =
2 𝜋𝜋 𝑅𝑅
= 2 𝜋𝜋 𝑓𝑓 𝑅𝑅
𝑇𝑇
La velocità angolare
RC
RC
R
R
RA
RA
v
A
v
C
v v
B C
v
B
Siano A,B,C, tre punti collocati su una piattaforma girevole a velocità costante e siano RA,RB,RC, le
distanze dei rispettivi punti dal centro di rotazione. Ciascun punto descrive un moto circolare
uniforme espresso dalle equazioni:
𝑣𝑣𝐴𝐴 =
2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑇𝑇
;
𝑣𝑣𝐵𝐵 =
2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐵𝐵
𝑇𝑇
Ora poiché vale la relazione: RC > RB > RC
2 𝜋𝜋𝑅𝑅𝐶𝐶 > 2 𝜋𝜋𝑅𝑅𝐵𝐵 > 2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐴𝐴
;
𝑣𝑣𝐶𝐶 =
2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐶𝐶
𝑇𝑇
;
di conseguenza vale anche la relazione:
e quindi
vC > vB > vA
Cioè la velocità dei punti A,B,C, è direttamente proporzionale ai raggi RA, RB, RC e la costante di
proporzionalità e il rapporto
2𝜋𝜋
𝑇𝑇
,tale rapporto prende il nome di velocità angolare 𝜔𝜔 : 𝜔𝜔 =
2𝜋𝜋
𝑇𝑇
Dove 2 𝜋𝜋 è la misura dell’angolo giro, espresso in radianti, descritto dai raggi RA, RB, RC durante il
periodo T. Come si vede la velocità angolare è indipendente dalla distanza del punto mobile dal
centro di rotazione, cioè in un moto circolare uniforme 𝜔𝜔 si mantiene costante ed è uguale per tutti e
tre i punti A,B,C.
E’ possibile mettere in relazione la velocità angolare 𝜔𝜔 con la velocità tangenziale:
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Fisicanet: la Meccanica
e poiché
𝜔𝜔 =
si ha
2𝜋𝜋
𝑣𝑣 = 𝜔𝜔 𝑟𝑟
𝑇𝑇
Cinematica del punto materiale
𝑣𝑣 =
e anche
𝜔𝜔 =
𝑣𝑣
𝑟𝑟
2 𝜋𝜋 𝑅𝑅
𝑇𝑇
.
Moto circolare uniformemente accelerato
Si definisce moto circolare uniformemente accelerato il moto di un punto che percorre una traiettoria
circolare con accelerazione angolare costante.
Il moto circolare uniformemente accelerato è equivalente al moto rettilineo con accelerazione
costante. Ciò che si deve fare è sostituire ogni grandezza lineare con la corrispondente grandezza
angolare e si otterranno le equazioni del moto circolare uniformemente accelerato: l’angolo θ
sostituirà la distanza x, la velocità angolare ω la velocità v, e l’accelerazione angolareαl’accelerazion e a.
La tabella riporta le equazioni del moto circolare uniformemente accelerato a confronto con quelle del
moto rettilineo uniformemente accelerato:
Moto traslatorio
Moto rotatorio
x = spostamento lineare
θ = angolo di rotazione
vm =
∆x
velocità lineare media
∆t
∆x
velocità lineare istqntanea
∆t
v0 + v
vm =
velocità lineare media
2
vi = lim
∆t→0
∆v
accelerazione lineare media
∆t
∆v
ai = lim
accelerazione lineare istantanea
∆t→0 ∆t
v = v0 + at
am =
1 2
at
2
v 2 = v02 + 2a∆x
x = x0 + v0 t +
ωm =
∆θ
velocità angolare media
∆t
∆θ
velocità angolare istantanea
∆t
ω0 + ω
ωm =
velocità angolaremedia
2
ωi = lim
∆t→0
∆ω
accelerazione angolare media
∆t
∆v
αi = lim
accelerazione lineare istantanea
∆t→0 ∆t
ω = ω0 + αt
αm =
1 2
αt
2
ω2 = ω20 + 2α∆θ
θ = θ0 + ω0 t +
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Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Moto in due dimensioni: moto armonico come “proiezione” del moto
circolare uniforme
Il moto armonico è un tipo particolarmente semplice di moto periodico: l’equazione oraria del moto di un
punto che si muova di moto armonico è una semplice sinusoide di ampiezza costante.
Si consideri un punto materiale P che si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio A.
Si proietti il punto P sul diametro verticale e si chiami Q la sua proiezione. E' evidente che il punto Q
oscillerà tra la posizione x = R e la posizione x = − R. Si dimostra che Q si muove di moto armonico semplice
cioè con una legge oraria rappresentata da una funzione sinusoidale. Per questo consideriamo un sistema di
riferimento posto nel centro della circonferenza e supponiamo che:
che all'istante t =0 il punto P si trovi in una posizione che corrisponde, per il punto Q alla ascissa
x=0
che il punto P si muova con velocità angolare costante ω e che abbia percorso, dopo il tempo t,
un angolo θ = ω t
che il moto di Q , cioè la posizione,la velocità e l’ accelerazione siano descritte attraverso le
proiezioni sul diametro delle corrispondenti grandezze relative al punto P.
nelle figure sotto sono rappresentate tali grandezze.
Proiezione delle grandezze cinematiche
proiezione del raggio vettore
R
Sia
𝜃𝜃 = 𝜔𝜔𝜔𝜔
l’angolo spazzato dal raggio e sia 𝜔𝜔 la velocità
angolare del moto circolare uniforme, si ricava
dalla figura, con l’aiuto della trigonometria
applicata al triangolo rettangolo OHP,che la
posizione di Q ad un istante generico t è data da:
−R
𝜃𝜃 = 𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔
proiezione della velocità
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Fisicanet: la Meccanica
R
𝒗𝒗
Cinematica del punto materiale
Dalla figura si ricava, con l’aiuto della trigonometria
applicata al triangolo rettangolo PST,e della
relazione tra velocità 𝑣𝑣 e 𝜔𝜔, cioè 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 che la
velocità di Q ad un istante generico t è data da:
𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑡𝑡) = 𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔𝜔𝜔
Come si vede dalla figura la 𝑣𝑣𝑥𝑥 è massima quando
𝑥𝑥 = 0, è nulla quando 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 𝑒𝑒 𝑥𝑥 = −𝑅𝑅
Dalla figura si ricava , con l’aiuto della
trigonometria applicata al triangolo rettangolo
−R
proiezione dell'accelerazione
PST,e della relazione 𝑎𝑎𝑐𝑐 =
𝑣𝑣 2
𝑅𝑅
2
= 𝜔𝜔 𝑅𝑅
che la
accelerazione di Q ad un istante generico t è data
da:
𝑎𝑎𝑥𝑥 (𝑡𝑡) = −𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔𝜔𝜔 = −𝜔𝜔2 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔𝜔𝜔
E ricordando l’espressione della proiezione del
raggio vettore si ha:
𝒂𝒂𝒄𝒄
𝑎𝑎𝑥𝑥 (𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2 𝑅𝑅 𝑥𝑥 (𝑡𝑡)
Il segno meno è dovuto al fatto che l’accelerazione
è sempre di segno opposto allo spostamento
𝑥𝑥(𝑡𝑡)del punto materiale ( come si vede dalla figura),
caratteristica questo del moto armonico semplice e
𝜔𝜔 =
2𝜋𝜋
𝑇𝑇
è definite pulsazione del moto armonico.
Come si vede dalla figura la 𝑎𝑎𝑥𝑥 è massima quando
𝑥𝑥 = 0, è nulla quando 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 𝑒𝑒 𝑥𝑥 = −𝑅𝑅
Si può cosi definire il moto armonico come quel moto in cui l’accelerazione risulta essere
direttamente proporzionale allo spostamento 𝑥𝑥(𝑡𝑡)e verso opposto ad esso, cioè genericamente
possiamo scrivere:
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑡𝑡)
con 𝑘𝑘 costante di proporzionalità tra l’acceletazione e lo spostamento.
Osservazione: è possibile trattare il moto del punto P indipendentemente dal fatto che a all'istante
t=0 il punto Q abbia ascissa x=0. Ciò si può introdurre un angolo di fase o fase 𝜑𝜑 che indichi la
posizione iniziale del punto P. Tale angolo dovrà essere sommato ad θ=ωt per avere la posizione del
punto P dopo un tempo t. Tutte le formule potranno essere riscritte tendendo conto di questo fatto e
cioè :
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)
𝑣𝑣𝑥𝑥 (𝑡𝑡) = 𝑣𝑣 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑 ) = 𝜔𝜔𝜔𝜔 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)
𝑎𝑎𝑥𝑥 (𝑡𝑡) = −𝑎𝑎𝑐𝑐 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) = −𝜔𝜔2 𝑅𝑅 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)
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Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
Riassumendo, in generale le equazione che descrivono il moto armonico semplice sono:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔𝜔𝜔 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥 (𝑡𝑡)
I diagrammi di 𝑥𝑥(𝑡𝑡) , 𝑣𝑣(𝑡𝑡), 𝑎𝑎(𝑡𝑡)sono rappresentati nella figura sotto:
𝑥𝑥
Analizzando I grafici si osserva :
R
T
𝑣𝑣
t
ωR
2
ω
R
t
𝑎𝑎
t
𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 , cioè spostamento massimo,
velocità
𝑣𝑣 è
nulla
mentre
l’accelerazione ha valore massimo −𝜔𝜔2 𝑅𝑅
Per
la
ma negativo, cioè ha verso opposto allo
spostamento 𝑥𝑥 .
Per
𝑥𝑥 = 0 , cioè spostamento nullo, la
velocità 𝑣𝑣 è −𝜔𝜔 𝑅𝑅 mentre l’accelerazione
è nulla .
Per
𝑥𝑥 = −𝑅𝑅 , cioè spostamento
massimo negativo, la velocità 𝑣𝑣 è nulla
mentre l’accelerazione è massima ma
positive.
Per visualizzare come avviene questo tipo di moto si rimanda al link sotto:
http://www.eidosoft.it/Malpighi/2007/MAS/24MASequaz.ppt
Esercizi svolti di cinematica del punto materiale
1. Una particella viene lanciata verticalmente con velocità voy = 6,0 m/s . Si calcoli :
a. quale altezza raggiunge;
b. quanto tempo impiega;
c. con quale velocità ricade a terra.
Punto a.
Soluzione
2
− 2gymax
La quota raggiunta è data da : vy2 = v0y
2
0 = v0y
− 2gymax
⇒
ymax =
Punto b.
nel punto di altezza massima la particella è ferma : vy = voy − gt = 6,0 − 9,8 t = 0 ⇒
0,61s
Punto c.
Anna Infusino - 47 - © Garamond 2009
v 20y
2g
= 1,8 m
t=
6,0
9,8
=
Fisicanet: la Meccanica
Cinematica del punto materiale
La velocità con cui tocca terra è la stessa con cui è partito, cambia di verso: v = −6,0 m/s
2. Una particella viene lanciata orizzontalmente con velocità vox = 7,0 m/s da un’altezza y0 = 15 cm.
Calcolare la gittata.
Soluzione
La gittata è data da
x = v0x t
quindi bisogna calcolare il tempo di volo usando la componente del moto in direzione y:
y = y0 + v0y t −
1
2
g t2
0 = y0 −
e sostituendo a v0y = 0 e y = 0
1
2
g t2
2y 0
da cui si ricava: t = �
9
= 0,17 s
3. Su una strada rettilinea, quando il semaforo diventa verde, una macchina parte con accelerazione
a = 4m/s2, mentre un motorino, che arriva in quel momento continua la sua corsa con costante v
= 36 Km/h .
Calcolare:,
a.
quanto tempo impiega l’automobile a raggiungere e superare il motorino;
b.
la distanza percorsa.
Dati
aa = 4 m/s2
vm = 36k m/h
Richieste
a. t di sorpasso
b. x percorsa
Soluzione
Per calcolare il tempo necessario per il sorpasso si impone che all’istante t’ lo spazio percorso dall’auto
(mezzo 1) e dal motorino (mezzo 2) sia uguale :
x1 = x2
1
2
dove x1 = v1 t
e x2 = a2 t
2
sostituendo si ha :
1
v1 t = a2 t 2
2
2v
le soluzione sono: t1 = 0 e
t 2 = 1 , la prima coincide con l’origine del moto, mentre la
a2
seconda permette di ricavare lo spazio:
x1 = x2 = 50 m
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Dinamica del punto materiale
In questa sezione verrà trattato il moto di un punto materiale prendendo in esame le cause
che lo hanno determinato, cioè la dinamica del punto materiale.
Se lo sviluppo della cinematica e quindi la spiegazione del moto di un punto materiale è
opera di Galileo Galilei, lo sviluppo della dinamica e quindi la spiegazione delle cause del
moto è opera di un altro grande scienziato Isaac Newton che, circa un secolo
dopo,continuando l’opera di Galileo, formulò un insieme di poche leggi che permisero
una spiegazione di tutti i problemi del moto. Con lui la fisica classica assunse un aspetto
definitivo, destinato a durare fino alla formulazione della fisica relativistica di Albert
Einstein e della fisica quantistica di Max Planck.
Principi di Newton
Forze
Legge di gravitazione universale
Forze d’attrito
Forze elastica: legge di Hooke
Quantità di moto
Pendolo semplice
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
PREREQUISITI
[ Possedere i concetti di velocità e accelerazione medie e istantanee - conoscere delle equazioni
cinematiche relative ai moti - Rappresentare graficamente i moti – Sapere eseguire operazioni con i
vettori - Sapere risolvere equazioni e sistemi di primo e secondo grado ]
OBIETTIVI
[ Conoscere i principi di Newton – conoscere i significati di massa e forza e la differenza tra massa e
peso – sapere analizzare diverse situazioni fisiche utilizzando i principi della dinamica - ]
Principi di Newton
Isaac Newton nacque nel 1642, anno della morte di Galileo, in un
viIlaggio del Lincolnshire, in Inghilterra.
Egli trascorse i suoi anni creativi all'Università di Cambridge prima
come studente, e in seguito come un onorato professore.
Il suo brillante talento lo rese uno dei grandi geni della scienza di tempi.
Tre erano i problemi che occupavano la mente degli scienziati ai tempi
di Newton: le leggi del moto, le leggi delle orbite planetarie e la
matematica delle grandezze variabili con continuità (un campo noto
oggi come calcolo differenziale e integrale). Si può affermare
tranquillamente che Newton fu il primo a risolverli tutti e tre.
Nel 1687 pubblicò a Londra i Philosophiae naturalis principia
mathematica, axiomata sive leges motus.
Opera di fondamentale importanza per l’influenza che ebbe sulla
Isaac Newton
scienza del periodo e su quella successiva. In questa opera Newton
presentava una nuova teoria, la meccanica, le cui leggi mettono in relazione il moto dei corpi con le
cause che lo producono.
Nella sua teoria Newton, dopo aver dato alcune definizioni relative alle
grandezze presenti, enuncia i principi su cui si basa l’interpretazione di
una vasta gamma di fenomeni meccanici.
Primo principio o principio d’inerzia:
Ogni corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme,
fino a quando non agiscono su di esso forze esterne che modifichino tale
stato.
Philosophiae naturalis principia
mathematica, axiomata sive leges
motus
La tendenza del corpo a mantenere invariato il suo stato viene chiamata
inerzia, ecco perche il principio viene chiamato principio d’inerzia.
Tutti i corpi sono dotati d’inerzia che è tanto più grande quanto maggiore è la massa del corpo.
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
In simboli:
� 𝐹𝐹 = 0
⟺
𝑣𝑣 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Cioè dinamicamente lo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme si equivalgono dal punto di vista
delle cause che li producono, perché in entrambi i casi
𝑣𝑣 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑣𝑣 = 0 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞
La quiete e il moto rettilineo uniforme di cui parla il primo principio sono relativi a un sistema di
riferimento. Che influenza allora ha il sistema di riferimento sul principio d’inerzia? Il principio
d’inerzia resta valido qualunque sia il sistema di riferimento scelto?
In realtà il primo principio di Newton definisce i sistemi di riferimento all’interno dei quali esso è
valido: tali riferimenti sono detti sistemi di riferimento inerziali.
In generale se un sistema di riferimento è inerziale, allora un qualsiasi sistema di riferimento che si
muove con velocità vettoriale costante ( cioè di moto rettilineo uniforme) rispetto a quel sistema è
anche inerziale.
Secondo principio:
Ogni corpo soggetto all’azione di una o più forze subisce un’accelerazione che è direttamente proporzionale
alla forza risultante e ha stessa direzione e verso di questa.
Per analizzare il principio consideriamo i seguenti casi sperimentali:
Se a un corpo di massa m si applica una forza F1, il corpo accelera con una accelerazione a1;
Se a un corpo di massa m si applica una forza F2 = 2 F1 l’accelerazione diventa a2 = 2a1;
Se a un corpo di massa 2m si applica una forza F1, l’accelerazione diventa
2
a1 ;
2a1
a1
m
1
F1
m
m
F1
1
2
2F1
a1
m
In simboli il secondo principio si traduce :
𝒂𝒂 =
𝑭𝑭
𝑚𝑚
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑭𝑭 = 𝑚𝑚 𝒂𝒂
In generale se più forze agiscono su un corpo di massa m il principio si scrive in forma vettoriale:
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
𝑎𝑎 =
∑ 𝐹𝐹
𝑚𝑚
𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
� 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎
L’equazione vettoriale precedente si scinde, nel caso di moto in due dimensioni, in due equazioni
scalari lungo le componenti x e y :
� 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑥𝑥
� 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑦𝑦
Si può notare che il secondo principio implica come caso particolare il primo, infatti se
∑ 𝐹𝐹 = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒
𝑎𝑎 =
∑ 𝐹𝐹
𝑚𝑚
0
=
𝑚𝑚
=0
L’unità di misura della forza nel Sistema Si è il newton ( N ) , così definito:
1 newton è la forza da applicare a una massa di 1 kg per imprimere un’accelerazione di 1
formule:
Dalla relazione 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎
1 𝑁𝑁 = ( 1 𝑘𝑘𝑘𝑘)( 1
𝑚𝑚
𝑠𝑠 2
𝑚𝑚
𝑠𝑠 2
cioè in
𝑚𝑚
= 𝑘𝑘𝑘𝑘 2 )
𝑠𝑠
si ha che l’equazione dimensionale della forza è : [𝐹𝐹] = [𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝑡𝑡 −2 ]
Lo strumento adoperato per misurare le forze è il dinamometro.
Terzo principio:
A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, cioè le forze di interazione tra due corpi sono
sempre uguali tra loro in modulo e direzione ma hanno versi opposti.
Esempi relativi al terzo principio:
Se una persona dà un pugno al muro, egli avverte subito la veridicità del terzo principio perchè
sente dolore, cioè il pugno ha ricevuto, dal muro, anch’esso una forza uguale e contraria a
quella esercitata sul muro. Quando infatti il pugno tocca il muro, esercitando su di esso una
forza detta azione, avverte una forza detta di reazione di uguale intensità che il muro esercita
sulla persona.
Quando si cammina i nostri piedi esercitano una forza all'indietro contro il suolo e questo
reagisce con una forza uguale e contraria spingendoci in avanti.
La terra attira un corpo verso il suo centro e questa forza si chiama peso del corpo.
Contemporaneamente quel corpo attira la terra con una forza di uguale direzione, intensità ma
di verso opposto (naturalmente l'effetto della forza con cui il corpo attira la terra è trascurabile
data la enorme massa della terra nei confronti di quelle dei corpi con cui si ha a che fare
quotidianamente).
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Nell’esempio di un libro poggiato su un tavolo la
forza che agisce verso il basso sul libro è il peso P
dovuto all’azione gravitazionale della Terra. Una
forza uguale e opposta P’ viene esercitata dal
libro sulla Terra. P e P’ sono una coppia azionereazione.
Se fossero le sole forze agenti, il libro
accelererebbe verso il basso,ma il tavolo in
contatto con il libro esercita su di esso una forza
Fn detta normale diretta verso l’alto; questa forza
equilibra il peso del libro.
Un’importante osservazione da fare relativamente al terzo principio di Newton è che le forze di azione
e reazione non si annullano a vicenda in quanto agiscono su corpi differenti.
Dai principi su scritti si può osservare essi trattano le forze, quindi è necessario conoscere cosa è una
forza.
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Forze
Le due definizioni di forza sono equivalenti:
Definizione statica:
Una forza è una qualsiasi causa in grado di provocare la deformazione di un corpo materiale.
Definizione dinamica:
Una forza è una qualsiasi causa in grado di determinare una variazione di moto.
La forza è quindi una grandezza vettoriale caratterizzata da una intensità, una direzione e un verso. Si
può trasmettere per contatto (diretto o indiretto) o a distanza. Per esempio la forza esercitata per
spingere un corpo è una forza ch si trasmette per contatto diretto; la forza esercitata sui pedali di una
bicicletta è una forza di contatto indiretto così come la forza esercitata tramite una fune.
Sono forza di trasmissione a distanza la forza di attrazione tra il sole e i pianeti, le forze elettriche , le
forze magnetiche.
Le forze ,fino ad ora conosciute, che regolano il funzionamento dell’intero universo sono dette forze
fondamentali si possono suddividere in quattro grandi gruppi a seconda della loro origine:
1.
2.
3.
4.
Forza gravitazionale che ha origine dalla massa;
Forza elettromagnetica che ha origine dalla carica elettrica;
Forze nucleare debole che ha origine da ogni particella;
Forze nucleare forte che ha origine da ogni particella costituente il nucleo.
Legge di gravitazione universale
La forza più comune sulla terra è la forza gravitazionale ,che lega i corpi alla terra. Newton fu il primo
ad analizzarla. Si dice che Newton, seduto sotto un melo, osservando una mela cadere al suolo ebbe
l’intuizione che la forza che faceva cadere la mela era la stessa che mantiene la luna nella sua orbita
intorno alla terra. Se la storia sia vero o no poco importa, di sicuro Newton fu il primo tra i fisici a
scrivere una legge che spiegava tanto la caduta dei corpi quanto il moto della luna.
La grande scoperta di Newton porta alla famosa legge della gravitazione universale:
due corpi puntiformi di massa m1 e m2 si attraggono con una forza che è direttamente
proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della
distanza tra i due corpi.
Cioè:
Con
G costante di proporzionalità detta costante di gravitazione universale calcolata circa 100
anni dopo, nel 1798 , dal fisico inglese henry Cavendish . Il valore di risulta essere:
𝐺𝐺 = 6,67 ∙ 10−11
𝑁𝑁 𝑚𝑚2
𝑘𝑘𝑘𝑘2
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
La forza, il cui modulo è quello espresso dalla legge
masse, come in figura:
m1
F
𝐹𝐹 = 𝐺𝐺
𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2
𝑟𝑟 2
giace sulla retta congiungente le
m1
F
r
Il fatto che la 𝐺𝐺 sia molto piccola significa che la forza di gravità fra oggetti comune è impercettibile.
Inoltre, se una massa è sottoposta all’azione gravitazionale di un numero n di masse , la forza
risultante su di essa è il vettore risultante della somma delle singole forze. Vale cioè quello che viene
chiamato principio di sovrapposizione.
Massa e peso
L’esempio più diffuso della legge di Newton sulla gravitazione è la forza attrattiva che la Terra esercita
sui corpi che si trovano sulla sua superficie. Indicando con mT la massa della Terra e con m la massa
di un qualsiasi oggetto
( esempio una mela ) posto sulla Terra, la forza gravitazionale è :
FG = G
mT m
r2
Dove r è la distanza tra il centro della terra e il centro dell’oggetto.
Consideriamo l’oggetto di massa m posto su un piano sulla superficie della Terra, sia FG la forza
gravitazionale, N la forza esercitata dal piano d’appoggio. Se si sposta l’oggetto fuori da piano
d’appoggio la forza FG non equilibrata produce un’accelerazione, per la seconda legge di Newton,
data da:
N
𝑁𝑁 = 𝐹𝐹𝐺𝐺
𝐹𝐹𝐺𝐺 = 𝑚𝑚𝑚𝑚
m
𝑭𝑭𝑮𝑮
Sostituendo a FG = ma l’espressione della legge di gravitazione si ha:
G
da cui si ricava :
mT m
= ma
r2
a =
G mT
r2
g =
G mT
r2
che rappresenta l’accelerazione per tutti i corpi posti sulla Terra.
A questa accelerazione viene dato il simbolo e chiamata accelerazione di gravità :
Il valore di tale accelerazione è g = 9,8
m
s2
.
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m
𝑭𝑭𝑮𝑮
Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Il valore di è massimo al livello del mare e decresce con il crescere dell’altitudine. Esso varia da 9,832
m
m
2 ai poli a circa 9,780 2 all’equatore e questo indica che la Terra non è esattamente sferica.
s
s
Poiché tutti i corpi sulla Terra hanno la stessa accelerazione di gravità
la seconda legga di Newton
FG = m a diventa : P = m g cioè si definisce peso di un corpo.
Peso di un corpo sulla superficie terrestre è la forza gravitazionale esercitata su di esso dalla Terra.
Il peso di un oggetto è una grandezza vettoriale che varia da un luogo all’altro, sia sulla Terra che su
pianeti diversi.
1
Per esempio un oggetto sulla Luna pesa circa di quello della Terra perché la massa della Luna è circa
6
1
di quello della Terra.
6
La massa di un oggetto definita come la quantità di materia racchiusa in un corpo è una grandezza
scalare ed è una quantità invariante, cioè non varia per uno stesso corpo da luogo a luogo.
Se due corpi vengono pesati con una bilancia a molla in uno stesso luogo, le loro masse m1 e m2
hanno lo stesso rapporto dei loro pesi. Infatti:
P2 = m2 g
P1 = m1 g ,
Dividendo membro a membro si ha :
m1
P1
=
P2
m2
Cioè la bilancia può essere usata per paragonare tra loro i pesi e le masse.
Accanto a queste forze fondamentali ne esistono altre non fondamentali quali per esempio la forza
elastica e la forza d’attrito.
Forze d’attrito
Quando un corpo scivola o scorre su di una superficie oppure, quando si muove all'interno di un fluido,
come l'aria o l'acqua, si verifica una resistenza al suo spostamento dovuta proprio alle forze di attrito.
L’attrito che si analizzerà sarà quello derivante dal contatto solido-solido e solido- liquido. Nel primo caso
tratteremo l’attrito radente e volvente, nel secondo l’attrito viscoso o resistenza del mezzo.
Attrito radente
Quando due corpi solidi a contatto strisciano l’uno sull’altro si genera una forza d’attrito radente che:
dipende dalle condizioni delle superfici a contatto ,scabre o levigate, bagnate o asciutte,
lubrificate o secche,ecc e dalla natura delle superfici;
dipende dalla forza normale N tra le superfici
non dipende dall’area delle superfici a contatto né dalla velocità relativa delle due superfici;
è parallela alla superficie di contatto;
il suo verso si oppone al moto.
Sia m un blocco poggiato su di un piano orizzontale a cui viene applicata una forza parallela al piano
F , si nota che il blocco rimane fermo fino a quando la forza applicata non è sufficientemente elevata
da essere uguale e opposta alla forza d’attrito che nasce tra piano e corpo.
N
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𝐹𝐹𝑎𝑎
Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
F
F
P
𝐹𝐹𝑎𝑎
P
𝐹𝐹𝑎𝑎
In formule queste caratteristiche si traducono:
dove Fa è la forza d’attrito ,
Fa = μ N
è la forza normale, μ è il coefficiente d’attrito radente. Quindi la forza
d’attrito è direttamente proporzionale alla forza premente contro il piano d’appoggio.
Il coefficiente d’attrito radente varia se il corpo è il quiete e si deve
mettere in moto o se è in moto e si deve mantenere in moto. Nel primo caso parleremo di coefficiente
d’attrito statico μs , nel secondo caso di coefficiente d’attrito dinamico μd , e sperimentalmente si
verifica che:
μd < μs
μd e μd sono coefficienti adimensionali che dipendono dai materiali a contatto
Attrito volvente
Quando un corpo, per esempio una palla, rotola su una superficie si manifesta una forza d’attrito
volvente che è inferiore a quello radente. Sperimentalmente si verifica che l’attrito volvente è
direttamente proporzionale alla forza premente sul corpo e inversamente proporzionale al raggio del
corpo che rotola. In simboli :
𝑁𝑁
𝐹𝐹𝑣𝑣 = 𝜇𝜇𝑣𝑣
𝑟𝑟
Dove Fv è la forza di attrito volvente, μv è il coefficiente d’attrito volvente, è la forza premente e è
il raggio del corpo che rotola. Il coefficiente 𝜇𝜇𝑣𝑣 ha le dimensioni di una lunghezza. A parità di
condizioni l’attrito radente è maggiore dell’attrito volvente.
Attrito viscoso o resistenza del mezzo
Un corpo che si muove in un fluido (gas o liquido) è sottoposto a una forza resistente che si oppone al
movimento. Tale resistenza dipende da vari fattori, quali la densità del mezzo, la forma, la velocità del
corpo. La forza resistente FR aumenta col crescere della velocità di caduta e per velocità non molto
elevate si ha: 𝑭𝑭𝑹𝑹 = − 𝓀𝓀 𝒗𝒗
Dove il segno − sta ad indicare che il verso della 𝑭𝑭𝑹𝑹 è opposto a quello di 𝒗𝒗
𝑭𝑭𝑹𝑹
P
Per velocità elevate la resistenza del mezzo dipende dal quadrato della velocità.
Nella tabella seguente sono riportati i coefficienti d’attrito approssimato a solo scopo indicativo
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Forze elastica: legge di Hooke
Un’altra forza che ricorre frequentemente nei fenomeni fisici della vita quotidiana è la forza elastica,
cioè quella forza che tende a riportare un corpo deformato nella situazione iniziale. L’esempio più
semplice di corpo elastico è la molla, costituita da un filo metallico avvolto a spirale. Se tentiamo di
comprimerla essa tenderà ad allungarsi, se, invece, tentiamo di allungarla essa si comprime e in ogni
circostanza possiamo dire che essa tende a tornare nella posizione di riposo.
Studiare il comportamento di una molla vuol dire conoscere la legge che lega la deformazione
osservata (compressione o allungamento) con la forza ad essa applicata. Per questo consideriamo un
molla a spirale come in figura e sottoponiamola a una deformazione, allungandola o comprimendola.
Osserviamo che essa reagisce con una forza tanto più intensa quanto maggiore e stata la
deformazione.
x0
F
x
x
Cioè la molla riprende la propria lunghezza iniziale x0 con una forza elastica direttamente
proporzionale alla deformazione x cioè:
𝐹𝐹 = −𝑘𝑘 𝑥𝑥
dove 𝑘𝑘 è detta costante elastica o rigidità della molla, il segno – indica che è una forza di richiamo,
cioè agisce sempre in verso opposto alla deformazione. Nel sistema SI l’unità di misura di 𝑘𝑘 è N/m
Tale legge è nota come legge di Hooke, fisico inglese contemporaneo di Newton. Si osserva che la
proporzionalità tra F e x non è illimitata, ma viene rispettata solo fino a un certo valore di Fe della
Anna Infusino - 58 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
forza applicata, detto limite di elasticità oltre il quale il corpo si deforma permanentemente fino a
spezzarsi.
Forza elastica e moto armonico
Se un corpo di massa m è attaccato a una molla sollecitata , in base al secondo principio di Newton si
può scrivere:
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎 = −𝑘𝑘 𝑥𝑥
da cui si ricava:
𝑘𝑘
𝑎𝑎 = − 𝑥𝑥
𝑚𝑚
Da questa formula si deduce che il corpo di
massa m attaccato alla molla di costante
elastica k si muove di moto perché ha
un’accelerazione direttamente proporzionale
allo spostamento e verso opposto.
Confrontando la accelerazione ottenuta per il corpo attaccato a una molla a = −
2
moto armonico a = − ω x si ha:
si ottiene
𝑇𝑇 2
4𝜋𝜋 2
=
𝑚𝑚
𝑘𝑘
−
𝑘𝑘
𝑥𝑥 = − 𝜔𝜔2 𝑠𝑠
𝑚𝑚
𝑚𝑚
da cui si ricava il periodo T : 𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋�
𝑘𝑘
k
m
x con quella del
da cui si vede che il periodo T di un
corpo attaccato a una molla è indipendente dall’ampiezza dell’oscillazione della molla. Questa
importante proprietà permetta di accordare gli strumenti musicali e quindi di avere un’orchestra.
In base alla legge di Hooke si costruiscono i dinamometri che non sono altro che molle tarate
direttamente in newton e che misurano l'intensità di una forza attraverso la misura della
deformazione. Anche le comuni bilance pesa-persone sono dinamometri in cui una molla viene
compressa dall'azione di una forza.
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Quantità di moto
In dinamica non sempre basta, per descrivere il moto di un corpo, conoscere la velocità v, ma bisogna
tener conto della massa. Un esempio viene dell’osservazione del gioco del biliardo e degli urti tra due
palle o tra una palla e un pallino.
La quantità di moto p è definita come:
p=mv
dove v è la velocità del corpo di massa m. Poiché la velocità è un vettore, ne deriva che anche la
quantità di moto è un vettore. La direzione ed il verso di p coincide con la direzione ed il verso di v.
L’unità di misura della quantità di moto è semplicemente quella della massa per la velocità, che nel SI
è kg m/s.
Si può esprimere il secondo principio della dinamica attraverso la quantità di moto:
∆𝑣𝑣
∆(𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚
=
∆𝑡𝑡
∆𝑡𝑡
e applicando la definizione di quantità di moto si ha :
∆𝑝𝑝
𝐹𝐹 =
∆𝑡𝑡
Quindi si può enunciare la seconda legge di Newton in altra forma: la forza agente su un punto
materiale uguaglia la rapidità di variazione della quantità di moto.
La formulazione del secondo principio della Dinamica facendo uso della quantità di moto è molto più
generale di F = ma, perché contempla casi in cui la massa può variare.
Dalla nuova formulazione della seconda legge di Newton deriva un importante principio della fisica
che ha notevoli implicazioni in gran parte dei fenomeni del mondo che ci circonda: il principio di
conservazione della quantità di moto.
Se su un corpo non agiscono forze o la risultante delle forze è nulla, cioè si dice che il sistema è isolato,
si ha:
∆𝑝𝑝
0 =
∆𝑡𝑡
Da cui
∆𝑝𝑝 = 0
E cioè la quantità di moto totale di un sistema isolato di corpi rimane costante :
p = costante ( pi = pf )
Dal secondo principio di Newton 𝐹𝐹 =
∆𝑝𝑝
∆𝑡𝑡
moltiplicando ambo i membri per ∆t si ottiene:
𝐹𝐹 ∆𝑡𝑡 = ∆𝑝𝑝
Dove il prodotto al primo membro è una nuova grandezza fisica vettoriale che si chiama impulso
attraverso il quale si può enunciare il teorema dell’impulso: l’impulso di una forza agente su un corpo
è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo. Cioè la stessa variazione di quantità di moto
si può ottenere sia con una forza grande che agisce per un tempo breve, sia con una forza piccola che
agisce per un tempo lungo. Un esempio applicativo può essere il gioco del tennis: un “maggiore
effetto” sulla pallina è dato quando il contatto racchetta-pallina è molto rapido (tempo piccolo, forza
grande); un “minore effetto” è dato quando il contatto racchetta-pallina avviene in tempo lungo
(tempo lungo, forza piccola).
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Applicazione della quantità di moto
Consideriamo l’urto tra due biglie A e B come
mostrato in figura. Sia nulla la forza risultante
esterna che agisce sul sistema, cioè le uniche
forze agenti siano quelle che ciascuna biglia
esercita sull’altra durante l’urto( sistema
isolato). Per effetto dell’urto la quantità di
moto di ciascuna biglia varia , ma “la somma”
delle loro quantità di moto è la stessa prima e
dopo l’urto.
Siano pA e pB le quantità di moto dei due corpi prima dell’urto, e p’A e p’B le quantità di moto dopo
l’urto. Per il principio di conservazione della quantità di moto, la quantità di moto totale del sistema
prima e dopo l’urto sono uguali.
Cioè :
𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = 𝐩𝐩𝐀𝐀 + 𝐩𝐩𝐁𝐁
𝐩𝐩𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 = 𝐩𝐩′𝐀𝐀 + 𝐩𝐩′𝐁𝐁
pA + pB = p′A + p′B
mA vA + mB vB = mA vA′ + mB vB′
Da ricordare che p è un vettore, il teorema di conservazione della quantità di moto è scritto in forma
vettoriale e quindi quando si deve risolvere un problema si devono scomporre le quantità di moto
totali nelle direzioni x,y e z che si conservano tutte indipendentemente.
Il principio di conservazione della quantità di moto spiega il moto di un razzo spazio. Infatti se un
razzo fermo, di massa M, espelle una massa m di gas con velocità vg, la massa (M-m) del razzo acquista
una velocità vR.
0 = 𝒑𝒑𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 + 𝒑𝒑𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓
𝑚𝑚𝑣𝑣𝑔𝑔 = (𝑀𝑀 − 𝑚𝑚)𝑣𝑣𝑅𝑅
http://didatticait.altervista.org/Didattica/fisica/didattica_fisica.php
Pendolo semplice
Il pendolo semplice è un sistema costituito da una pallina di massa m appesa a un filo inestensibile di
massa trascurabile e di lunghezza l , fissato a un punto O, detto centro di sospensione.
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
O
θ
Se la pallina è ferma nel punto A, vi rimane perché il suo
peso P è equilibrato dalla tensione T del filo.
Se invece viene spostata in B e abbandonata da ferma si
osserva che comincia ad oscillare lungo l’arco BB’.
Le forze agenti sul corpo, disegnate in figura, sono il
peso P e la tensione T , e per il secondo principio della
dinamica possiamo scrivere la seguente equazione
B vettoriale:
l
T
s
B’
T+P=ma
P
Nella figura in basso a sinistra si può vedere la
scomposizione delle forze T e P rispetto a un sistema di
coordinate con asse y lungo il e asse x tangente in B
all’arco descritto durante il moto con verso da B a A .
Dalla similitudine dei triangoli OBH e MBL si ha:
A
O
y
𝐵𝐵𝐵𝐵 ∶ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 ∶ 𝑂𝑂𝑂𝑂
E poiché BL = Px , BM = P , BH = s , OB = l
la proporzione diventa:
s
H
𝑃𝑃
𝑃𝑃𝑥𝑥
=
𝑙𝑙
𝑠𝑠
B
Se l’angolo θ è piccolo il segmento BH si può considerare
uguale all’arco BA , il vettore Px è negativo, quindi si può
scrivere:
L
x
M
𝑃𝑃
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑠𝑠 =
𝑙𝑙
𝑙𝑙
−𝑃𝑃𝑥𝑥 =
Da cui si può ricavare l’accelerazione a a cui è sottoposta la pallina:
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑙𝑙
𝑚𝑚 𝑎𝑎 = −𝑃𝑃𝑥𝑥
−𝑃𝑃𝑥𝑥 =
𝑎𝑎 = −
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑔𝑔
= − 𝑠𝑠
𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑙𝑙
Per piccole oscillazioni la pallina subisce un’accelerazione che è direttamente proporzionale allo
spostamento e ha verso opposto. Questa caratteristica porta ad affermare che il pendolo si muove di
moto armonico.
Confrontando la accelerazione ottenuta per il pendolo 𝑎𝑎 = −
𝑎𝑎 = − 𝜔𝜔2 𝑠𝑠
si ha:
da cui ricordando che
− 𝜔𝜔2 𝑠𝑠 = −
𝜔𝜔 =
2𝜋𝜋
𝑇𝑇
semplificando si ricava il periodo
𝑔𝑔
𝑙𝑙
𝑠𝑠
si ottiene:
T: 𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋�
𝑙𝑙
𝑔𝑔
4𝜋𝜋 2
𝑇𝑇
𝑔𝑔
𝑙𝑙
𝑠𝑠 con quella del moto armonico
𝑠𝑠 =
𝑔𝑔
𝑙𝑙
𝑠𝑠
che, per piccole oscillazioni non dipende
dall’ampiezza delle oscillazioni. Questa proprietà prende il nome di isocronia e fu osservata da Galileo
Galilei (legge dell’isocronismo del pendolo).
Per mezzo del pendolo si può misurare l’accelerazione di gravità. Infatti dalla relazione
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
𝑙𝑙
𝑔𝑔
𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋�
si ricava 𝑔𝑔 del luogo in cui è posto il pendolo:
𝑔𝑔 = 4 𝜋𝜋 2
𝑙𝑙
𝑇𝑇 2
noti l e T .
Applicazioni della seconda legge di Newton: consigli utili
Nella risoluzione di problemi che coinvolgono le forze e la seconda legge di Newton necessario seguire
i seguenti passi:
a.
individuare i corpi che formano il sistema e disegnare le forze esterne che agiscono su ogni
corpo ;
b. sostituire il corpo con una particella puntiforme della stessa massa e applicare a questo punto
le forze che agiscono sul corpo, cioè tracciare il diagramma del corpo libero;
c.
scegliere un opportuno sistema di coordinate ( spesso si sceglie un sistema che abbia una
direzione coincidente con quella del moto);
d. scomporre le forze nelle loro componenti secondo il sistema di coordinate prescelto;
e.
applicare la seconda legge di Newton a ogni componente.
Sono riportati alcuni esempi tratti dal sito www.dacrema.com/fisica/diagramma_corpo_libero.htm
α
α
Fa
P
Fa
P
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
P
P
P
Esempio 1 . Macchina di Atwood : tale macchina è di solito usata nei laboratori di fisica per studiare i
corpi in caduta libera e per misurare l’accelerazione di gravità. E’ costituita da due masse collegate tra
loro da una fune che passa attraverso una carrucola che si suppone senza attrito ai perni. Si supponga
che il corpo 1 salga e il corpo 2 scenda come indica il vettore accelerazione.
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Si applica la seconda legge
di Newton al corpo di
massa m1 :
a
T
a
a
T
𝑇𝑇 − 𝑃𝑃1 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
P1
m1
T
P1
m2
a
P1
T
P2
e al corpo di massa m2 :
𝑇𝑇 − 𝑃𝑃2 = 𝑚𝑚2 (−𝑎𝑎)
Il segno −
dell’accelerazione è
dovuto al fatto che il corpo
2 accelera verso il basso.
Mettendo a sistema le due equazioni su scritte si possono determinare l’accelerazione e la tensione o se
queste sono note le masse del sistema, ecc
𝑇𝑇 − 𝑃𝑃1 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
𝑇𝑇 − 𝑃𝑃2 = 𝑚𝑚2 (−𝑎𝑎)
Esempio 2.
Risolvere il seguente sistema di corpi rappresentato in figura determinando
l’accelerazione e le tensioni della corda.
Prima di affrontare l’esempio è
necessario chiarire il significato di
tensione di una corda o fune.
m1
Quando si tira un oggetto con una
fune applichiamo una forza che se la
fune è di massa trascurabile si
trasmette al corpo.
Quindi la fune è un tramite per
m2
trasferire forze da un punto a un
altro.
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Seguendo i passi su esposti disegniamo le forze agenti sui due corpi:
N1
T
m1
P1
T
m2
P2
Immaginiamo i corpi di massa m1e m2 come punti materiali posti nell’origine del sistema cartesiano
scelto, disegniamo le forze e scriviamo la legge di Newton relativa alle due componenti cartesiane dei
due corpi.
a
a
N1
T
T
°
P1
P2
Corpo di massa m1
Corpo di massa m2
T –P2 = m2 a
Combinando le equazioni
tensione T.
𝑁𝑁1 − 𝑃𝑃1 = 0
�
𝑇𝑇 = m1 a
𝑇𝑇 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
𝑇𝑇 − 𝑃𝑃2 = 𝑚𝑚2 𝑎𝑎
da cui si ricavano l’accelerazione a e la
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Esempio 3 . Piano inclinato: risolvere il problema del moto di un corpo di massa m lungo un piano
inclinato di lunghezza l e pendenza α nei seguenti casi:
a.
b.
N
Py
P
α
l
Px
Soluzione punto a.
h
α
y
N
Tra corpo e piano non c’è attrito
Tra corpo e piano c’è una forza d’attrito il
cui coefficiente è µ.
Nella figura
riportiamo
coordinate
inclinato e
inclinato.
Applicando la seconda legge di Newton si ha:
𝑁𝑁 − 𝑃𝑃𝑦𝑦 = 0
𝑃𝑃𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑚𝑚
Px
Dalla prima si ricava che 𝑁𝑁 = 𝑃𝑃𝑦𝑦 = 𝑃𝑃 cos 𝛼𝛼 ;
dalla seconda si ricava l’accelerazione a:
x
Py
𝑎𝑎 =
P
Px
Fa
l
h
Si applica la seconda legge della dinamica e si ha:
𝑁𝑁 − 𝑃𝑃𝑦𝑦 = 0
𝑃𝑃𝑥𝑥 − 𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝑚𝑚𝑚𝑚
α
y
Dove 𝐹𝐹𝑎𝑎 è la forza di attrito radente data da:
𝐹𝐹𝑎𝑎 = 𝜇𝜇 𝑁𝑁 = 𝜇𝜇 𝑃𝑃𝑦𝑦
Quindi le due equazioni diventano:
N
Fa
𝑃𝑃 sin 𝛼𝛼
𝑚𝑚𝑚𝑚 sin 𝛼𝛼
𝑃𝑃𝑥𝑥
=
=
= 𝑔𝑔 sin 𝛼𝛼
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
Soluzione punto b.
Anche in questo caso riportiamo su un
opportuno sistema di coordinate con asse x
parallelo al piano inclinato e asse y
perpendicolare al piano inclinato le forze
disegnate.
N
Py
sono già disegnate le forze che ora
su un opportuno sistema di
con asse x parallelo al piano
asse y perpendicolare al piano
Px
Py
x
𝑁𝑁 = 𝑃𝑃𝑦𝑦
𝑃𝑃𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 𝑃𝑃𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚
cioè
𝑚𝑚𝑚𝑚 sin 𝛼𝛼 − 𝜇𝜇 𝑚𝑚 𝑔𝑔 cos 𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝑚𝑚
da cui si ricava a:
𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 (sin 𝛼𝛼 − cos 𝛼𝛼)
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Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
Esercizi svolti di dinamica del punto materiale
Esercizio svolto 1.
Tre blocchi di massa rispettivamente m1 = 5 kg, m2 = 2 kg e m3 = 3 kg poggiano su un piano orizzontale
e sono uniti da due funi come in figura. Sul blocco 1 agisce una forza orizzontale
N. Si
determini l'accelerazione di ciascun blocco e la tensione delle due funi nel caso in cui:
a. l'attrito dinamico di ciascuno dei tre blocchi sia pari a µ1 = µ2 = µ3 = 0,2.
b. non vi sia attrito tra blocchi e piano
m
m13
m2 2
m
m
m31
F
Soluzione: costruiamo il diagramma delle forze agenti sui corpi.
Indichiamo con P1, P2, P3 i pesi dei tre corpi, 𝑁𝑁 1, 𝑁𝑁 2 , 𝑁𝑁 3 le forze normali dei tre corpi, T1 , T2 le
tensioni applicate dalle funi sui corpi e F1a , F2a , F3a le forze d’attrito dinamico tra i corpi e il piano
d’appoggio, consideriamo un sistema cartesiano come quello disegnato a lato per tutti e tre i corpi.
m3
𝑁𝑁 3
F3a
P3
T1
T1
m2
F2a
𝑁𝑁 2
T2
T2
F1a
P2
m1
𝑁𝑁1
F
P1
Possiamo immaginare il sistema di coordinate applicato a ogni corpo e quindi applicare la seconda
legge di Newton, F = m a, a ciascuno dei tre corpi scrivendo le due equazioni scalari in x e y :
corpo di massa
m3
𝑁𝑁3 – 𝑃𝑃3 = 0
𝑇𝑇1 – 𝐹𝐹3𝑎𝑎 = 𝑚𝑚3 𝑎𝑎
corpo di massa
m2
𝑁𝑁2 – 𝑃𝑃2 = 0
𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 − 𝐹𝐹2𝑎𝑎 = 𝑚𝑚2 𝑎𝑎
corpo di massa
m1
𝑁𝑁1 – 𝑃𝑃1 = 0
𝐹𝐹 − 𝑇𝑇2 − 𝐹𝐹1𝑎𝑎 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
Anna Infusino - 68 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Ricordando che
scalari in y
𝑁𝑁3 = 𝑃𝑃3
,
Dinamica del punto materiale
𝐹𝐹3𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝑁𝑁3 ,
𝑁𝑁2 = 𝑃𝑃2
𝐹𝐹2𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝑁𝑁2 ,
𝐹𝐹1𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝑁𝑁1
e ricavando dalle equazioni
𝑁𝑁1 = 𝑃𝑃1
e
si scrive il sistema che permette di ricavare
𝑇𝑇1 , 𝑇𝑇1 , 𝑎𝑎
𝑇𝑇1 – 𝐹𝐹3𝑎𝑎 = 𝑚𝑚3 𝑎𝑎
�𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 − 𝐹𝐹2𝑎𝑎 = 𝑚𝑚2 𝑎𝑎
𝐹𝐹 − 𝑇𝑇2 − 𝐹𝐹1𝑎𝑎 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
𝑇𝑇1 – 𝜇𝜇𝑁𝑁3 = 𝑚𝑚3 𝑎𝑎
� 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 − 𝜇𝜇𝑁𝑁2 = 𝑚𝑚2 𝑎𝑎
𝐹𝐹 − 𝑇𝑇2 − 𝜇𝜇𝑁𝑁1 = 𝑚𝑚1 𝑎𝑎
Esercizio svolto 2.
Una pallina è posta su una pista sopra un tavolo ad altezza
m rispetto al pavimento come in
figura. La pista è inclinata di
rispetto al piano orizzontale del tavolo e tra la fine della pista e
il bordo del tavolo c'è una distanza
cm. La pallina scivola lungo la pista e deve colpire un
bersaglio sul pavimento a distanza G = 60 cm dal piede del tavolo. Supponendo che nel cambio di
pendenza tra pista e tavolo la velocità non cambi in modulo,si chiede:
a.
Quale deve essere la velocità con cui la pallina arriva al bordo del tavolo;
Se il bimbo lascia partire da ferma la pallina, da quale altezza
se:
rispetto al tavolo deve lasciarla andare
b. non vi sono attriti lungo il tratto orizzontale sul tavolo;
c.
vi è un attrito con coefficiente µ = 0,25 lungo il tratto orizzontale.
G
Soluzione:
Punto a.
La pallina cade di moto parabolico con velocità iniziale parallela all’asse delle x. Per la legge di
composizione dei moto il tempo impiegato dalla pallina a compiere il tratto G è lo stesso del tempo
impiegato a percorrere il tratto H in caduta libera. Quest’ultimo si può ricavare da:
𝐻𝐻 =
1
2
𝑔𝑔𝑡𝑡 2
2𝐻𝐻
𝑡𝑡 = �
𝑔𝑔
lo spazio G percorso con moto rettilineo uniforme è dato da: 𝐺𝐺 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 , da cui si ricava 𝑣𝑣 =
accoppiando le due equazioni si ricava 𝑣𝑣
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𝐺𝐺
𝑡𝑡
e
Fisicanet: la Meccanica
Dinamica del punto materiale
2𝐻𝐻
𝑡𝑡 = �
𝑔𝑔
�
𝐺𝐺
𝑣𝑣 =
𝑣𝑣 = 𝐺𝐺 �
𝑡𝑡
𝑔𝑔
𝑣𝑣 ≅ 1,213
2 𝐻𝐻
𝑚𝑚
𝑠𝑠
Punto b.
Nel caso di assenza d’attrito la velocità v della pallina è quella acquistata lungo il piano inclinato con
moto uniformemente accelerato quindi l’equazione oraria del moto è :
𝑥𝑥 =
1
𝑎𝑎 𝑡𝑡 2
2
dove l’accelerazione 𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 ( componente dell’accelerazione di gravità lungo il piano inclinato).
L’altezza h da cui far cadere la pallina è ℎ = 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 e la velocità finale è 𝑣𝑣 = 𝑎𝑎 𝑡𝑡 . Mettendo insieme
tutte queste formule :
𝑥𝑥 =
1
2
𝑎𝑎 𝑡𝑡 2
𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
Si ottiene:
da cui si ricava
ℎ =
𝑣𝑣 = 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 �
𝑣𝑣 2
2𝑔𝑔
ℎ = 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
𝑣𝑣 = 𝑎𝑎 𝑡𝑡
2𝑥𝑥
ℎ
= √2𝑎𝑎𝑎𝑎 = �2
𝑔𝑔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = �2ℎ𝑔𝑔
𝑎𝑎
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼
7,5 cm . Come si vede dalla formula il risultato è indipendente
dall’inclinazione del piano.
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Energia e forme di energia
Da dove si ricava l’energia che serve agli esseri viventi? Quasi tutta quella che l’uomo ,
adopera, direttamente o indirettamente, proviene dal Sole.
Questa energia si trova immagazzinata negli alimenti: verdure, carne, latte ecc., sotto
forma di energia chimica.
Gli esseri viventi, attraverso delicati meccanismi, riescono a trasformarla in forme
utilizzabili.
Gran parte dell’energia adoperata nelle industrie, nei mezzi di trasporto, per il
riscaldamento ecc., proviene da combustibili fossili: petrolio, carbone e gas naturali.
Anche l’energia dei combustibili fossili proviene dal Sole: essi sono il prodotto della
trasformazione lenta e complessa di materiali organici d’origine animale e vegetale,
avvenuta in un arco di tempo di qualche milione di anni.
E l’energia dei corsi d’acqua, l’energia del vento? Anche questa energia deriva dal Sole. I
corsi d’acqua e il vento sono, infatti, la conseguenza più o meno diretta di modificazioni
che il calore del Sole produce sulla superficie terrestre e nell’atmosfera.
Il Sole è quindi la principale fonte di energia; questa arriva sulla Terra sotto forma di
energia radiante.
Le forme di energia sono molteplici, i fisici però ne distinguono principalmente cinque:
meccanica, termica, chimica, raggiante e nucleare.
Non tutte le fonti di energia di cui disponiamo hanno però origine dal Sole: l’energia
geotermica e l’energia nucleare hanno origini diverse.
L’energia può passare da una forma ad un’altra e tutto ciò che ci sta intorno partecipa a
un continuo fluire d’energia. Data l’importanza di questo concetto, consideriamo in
questo capitolo le forme di energia meccanica.
Lavoro di una forza costante
Lavoro di una forza variabile
Potenza
Energia cinetica e teorema dell’energia cinetica (o delle forze vive)
Energia potenziale
Principio di conservazione dell’energia
Energia cinetica e teorema dell’energia cinetica (o delle forze vive)
Forma generale del principio di conservazione dell’energia
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
ENERGIA E FORME DI ENERGIA
PREREQUISITI
[ Conoscere le leggi della dinamica - Saper applicare le leggi della dinamica ]
OBIETTIVI
[ Conoscere il significati dei concetti di lavoro ed energia – Conoscere le varie forme di energia e le loro
trasformazioni – conoscere il significato e l’importanza dei principi di conservazione – Conoscere e
saper applicare i principi di conservazione nella soluzione dei problemi di meccanica ]
Lavoro
Il termine lavoro ha nel linguaggio comune un significato ben preciso: lavoro è tutto ciò che comporta
fatica. Infatti comunemente il termine sta ad indicare lo sforzo muscolare per trasportare o sollevare un
oggetto,l’attività compiuta da uno studente, oggetti ottenuti attraveso attività manuali e non.
Il fisica il lavoro non ha più molti significati, ma è una grandezza che ha un significato solo se si fa
riferimento a una forza.
Lavoro di una forza costante
In fisica si compie lavoro quando il punto di applicazione di una forza F agente su un corpo subisce uno
spostamento. Esempio: se una forza F viene applicata a un corpo e ne determina uno spostamento s,come in
figura, allora si compie lavoro inteso in senso fisico.
Si definisce lavoro, e lo si indica con L il prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore spostamento:
𝐿𝐿 = 𝐹𝐹 × 𝑠𝑠
Svolgendolo il prodotto scalare diventa:
(si legge F scalare s)
L= 𝐹𝐹 𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
Dove F e s rappresentano i moduli dei vettori F e s e α è l’angolo da essi formato.
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Il lavoro è una grandezza scalare e nel Sistema Internazionale la sua unità di misura è il Joule in
simbolo J.
Un Joule è il lavoro compiuto da una forza di 1 newton quando il suo punto di applicazione si sposta
di 1 metro in direzione della forza. Cioè:
1 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 = 1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ∙ 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2 𝑠𝑠 −2
Le dimensioni del lavoro sono:
[ 𝐿𝐿 ] = [ 𝐹𝐹 ] [ 𝑠𝑠 ] [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 ] = [ 𝑙𝑙 𝑚𝑚 𝑡𝑡 −2 ] [ 𝑙𝑙 ] = [ 𝑙𝑙 2 𝑚𝑚 𝑡𝑡 −2 ]
Si noti che 𝐿𝐿 = 𝐹𝐹 × 𝑠𝑠
L= (𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼)𝑠𝑠 = 𝐹𝐹∥ 𝑠𝑠
oppure si può scrivere:
L = 𝐹𝐹 (𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼) = 𝐹𝐹 𝑠𝑠∥
si può anche scrivere come :
dove 𝐹𝐹∥ è la componente di F parallela a s
dove
𝑠𝑠∥ è la componente di s parallela a F
Nelle seguenti figure è illustrata la situazione relativa ai diversi valori dell’angolo tra vettore forza e
vettore spostamento:
Se 0 < 𝛼𝛼 < 90°
𝐿𝐿 = 𝐹𝐹 × 𝑠𝑠 = 𝐹𝐹 𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
Il lavoro è positivo ed è detto lavoro motore
Se
𝛼𝛼 = 0
𝐿𝐿 = 𝐹𝐹 × 𝑠𝑠 = 𝐹𝐹 𝑠𝑠
Il lavoro è positivo,è massimo ed è motore, cioè i
vettori F e S sono paralleli ed concordi.
Se
𝛼𝛼 = 90°
𝐿𝐿 = 𝐹𝐹 × 𝑠𝑠 = 0
Il lavoro è nullo: F è perpendicolare a s e non
compie lavoro, per esempio portare una valigia
dopo averla sollevata da terra non fa compiere
lavoro , inteso in senso fisico.
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Se 90°< 𝛼𝛼 < 180°
𝐿𝐿 = 𝐹𝐹 × 𝑠𝑠 = 𝐹𝐹 𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
Il lavoro è negativo perché 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 < 0 ed è detto
lavoro resistente.
Se 𝛼𝛼 = 180°
𝐿𝐿 = 𝐹𝐹 × 𝑠𝑠 = − 𝐹𝐹 𝑠𝑠
Il lavoro è negativo perché 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = −1 ed è
detto lavoro resistente massimo, cioè i vettori F e
S sono paralleli ed discordi.
Esempio di lavoro nullo di una forza.
Esempi tratti dal libro Fisica di
S. Papucci - Hoepli
c
Nella figura a, la forza premente,esercitata dalla pila di libri, non compie lavoro perché non sposta il
suo punto d’applicazione.
La stessa vale sia per l’uomo della figura b dove l’uomo tiene sollevata la valigia, sia per l’uomo della
figura c che sta camminando con la valigia in mano. In entrambi i casi la forza muscolare esercitata
attraverso il braccio non compie lavoro perché in b s = 0 , in c invece s = 90° . Ciò è intuitivamente
giustificabile notando che lo spostamento non è determinato dal braccio, ma dalle gambe, che
muovono in orizzontale tutta la persona: quindi sono le gambe che fanno lavoro, non il braccio.
Anna Infusino - 74 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Lavoro di una forza variabile
L’espressione di lavoro data sopra non può essere applicata nel caso in cui la forza applicata al corpo
sia variabile: non si saprebbe quale valore assegnare a F. Un esempio è fornito dalla forza elastica che
funzione dello spostamento come rappresentato in figura:
Fel
F’el
s’
s
Supponiamo ora di avere un corpo che sotto effetto di una forza variabile si muove lungo l’asse delle x
dal punto x1al punto xn
F
Fn
F1
∆x1
∆xn
x
Se noi ora supponiamo di dividere in tanti piccoli intervalli ∆xi lo spostamento, possiamo considerare
in questi piccoli intervalli la forza come costante. Il lavoro totale sarà dato approssimativamente dalla
somma dei lavori in tutti i piccoli intervalli ∆xi .Se questi intervalli tendono a 0 il lavoro totale della
forza nello spostamento da x1 a xn sarà:
n
n
i=1
i=1
L = � Li = � Fi × ∆xi
Dove Li rappresenta l’ area dei rettangoli e quindi il lavoro totale risulta essere uguale alla somma
delle aree dei rettangoli . E’ ovvio che quando 𝑛𝑛 ⟶ ∞, ∆𝑥𝑥𝑖𝑖 ⟶ 0 , F tende a diventare costante e
quindi l’area costituita dalla somma dei rettangoli tende a coincidere con l’area sottesa dalla curva.
Possiamo concludere che il lavoro di una forza variabile è dato dall’area compresa tra la funzione che
rappresenta la forza, l’asse x e i segmenti verticali corrispondenti ai valori iniziale e finale della
posizione del corpo.
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Nel caso del lavoro di una forza elastica si ha che il lavoro è dato dall’area del triangolo delimitato da
s’ e F’el,
cioè :
1 ′
1
′
𝐿𝐿 = 𝑠𝑠 ∙ 𝑘𝑘 𝑠𝑠 = 𝑘𝑘 𝑠𝑠′2
2
2
Potenza
Un’altra grandezza fisica importante nella valutazione del lavoro è la potenza.
La definizione di lavoro non coinvolge il tempo, ma la bontà di una macchina è legata al tempo che
impiega a produrre una quantità di lavoro.
Per questo si definisce potenza di una macchina il lavoro che essa compie nell’unità di tempo, cioè
P =
L
t
L’unità di misura della potenza nel Sistema SI è il watt (W): una macchina ha la potenza di 1 watt
quando è capace di compiere il lavoro di 1 J in 1 secondo;
1𝑊𝑊 =
1 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽
𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚
=
1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑠𝑠
Energie e diverse manifestazioni
In fisica si definisce energia l’attitudine di un corpo a compiere lavoro e si manifesta in varie forme
convertibili l’una nell’altra: energia meccanica, energia elettromagnetica, energia termica, energia
eolica, ecc. L’energia meccanica comprende l’energia cinetica e l’energia potenziale che saranno
trattate in questo volume.
Un corpo in movimento è capace di compiere un lavoro grazie alla velocità posseduta, un corpo che
cade da una certa altezza è in grado di compiere un lavoro grazie al suo peso
Energia cinetica e teorema dell’energia cinetica (o delle forze vive)
Si consideri un corpo di massa m che spinto da una forza costante F si sposta di un tratto∆s parallelo
alla forza.
Il lavoro compiuto dalla forza F è:
L = F ∆s
Per il secondo il principio della dinamica F = m a , quindi:
e sostituendo a =
L = ma ∆s = m
v 2 −v 1
t 2 −t 1
v 2 −v 1
t 2 −t 1
L = F ∆s = ma ∆s
dove v2 e v1 sono le velocità agli istanti t2 e t1 si ha:
∆s = m (v2 − v1 )
∆s
∆t
= m (v2 − v1 ) vm
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Dove vm è la velocità media che è data da : vm =
quindi
Chiamiamo la quantità
1
2
L = m (v2 − v1 )
v2− v1
2
v2 − v1
1
1
= m v22 − m v12
2
2
2
m v 2 energia cinetica e indichiamola con K.
Si definisce energia cinetica l’energia che un corpo possiede in virtù del suo movimento . In simboli:
K =
1
m v2
2
Usando la formula precedente il lavoro calco lato sopra diventa :
L = K 2 − K1 = ∆ K
Questa formula rappresenta il teorema dell’energia cinetica che dice che il lavoro eseguito da una
forza costante F nello spostare una particella di massa m è uguale alla variazione di energia cinetica
della particella.
Energia potenziale
Dato un corpo di massa m posto a un’altezza h dal suolo, calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza
peso sul corpo in caduta. Nell’ipotesi che la forza peso si mantenga costante per piccoli
dislivelli,consideriamo le situazioni presentate nelle figure e calcoliamo il lavoro della forza peso
posta a quota h nei tre casi :
Caso a)
Il lavoro della forza peso è dato da:
P
L = P h = mgh
h
Caso b)
Il lavoro della forza peso è dato da :
N
l
Py
P
Px
dove
L = Px l = mg sin α l = mgh
h = sin α l
h
α
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Caso c)
P
Il lavoro della forza peso è dato dalla somma dei
lavori nei singoli tratti verticali e orizzontali del
percorso scelto.
Tenendo presente la definizione di lavoro, si ha che
il peso compie lavoro nullo quando percorre i tratti
orizzontali,quindi il lavoro è calcolato solo sui tratti
verticali degli scalini :
h1
h2
h
L = P h = mgh1 + mgh2 + mgh3 =
= mg ( h1 + h2 + h3 ) = mgh
h3
Dall’osservazione dei tre casi risulta che il lavoro della forza peso non dipende dal particolare
cammino scelto ( percorso verticale, obliquo o a scalini) ma dipende solo dall’altezza da cui cade il
corpo. Nei tre casi essendo l’altezza uguale a h il lavoro risulta essere lo stesso.
L’indipendenza del lavoro dalla particolare traiettoria seguita dal corpo costituisce una proprietà che
caratterizza la forza peso e più in generale tutte le forze conservative.
Quindi anche nel caso di figura sotto si ha :
1
A
ℎ𝐴𝐴 − ℎ𝐵𝐵
Il lavoro di un corpo di massa m lungo
le tre traiettorie diverse 1, 2 , 3 risulta
essere lo stesso e precisamente:
2
hA
L = mg ( hA − hB )
B
3
hB
Dall’indipendenza del lavoro dalla traiettoria segue che il lavoro è nullo lungo una traiettoria chiusa.
A
I lavori compiuti dallla forza peso
lungo i cammini 1 e 2 sono di segno
opposto:
B
hA
hB
𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 (ℎ𝐴𝐴 − ℎ𝐵𝐵 ) − 𝑚𝑚𝑚𝑚 (ℎ𝐴𝐴 − ℎ𝐵𝐵 ) = 0
i di il l
è
ll
Forza conservativa
Una forza si dice conservativa quando il lavoro da essa compiuto, nello spostare il suo punto di
applicazione da A a B , è indipendente dal particolare cammino percorso e dipende solo dalle
posizioni iniziale A e finale B del corpo.
Una forza si dice conservativa quando il lavoro da essa compiuto lungo una qualsiasi traiettoria
chiusa è nullo.
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Le due definizioni sono perfettamente equivalenti. Sono forze conservative la forza peso e la forza
elettrica, la forza elastica; non lo sono le forze d’attrito.
Poiché si può rappresentare il lavoro della forza peso come la variazione di una grandezza il cui valore
dipende solo dalle posizioni di partenza e di arrivo:
Se alla quantità
scrivere:
𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 ( ℎ𝐴𝐴 − ℎ𝐵𝐵 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ𝐴𝐴 − 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ𝐵𝐵
𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ si dà il nome di energia potenziale gravitazionale e il simbolo U possiamo
𝑈𝑈 = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ
E il lavoro L scritto diventa:
𝐿𝐿 = 𝑈𝑈𝐴𝐴 − 𝑈𝑈𝐵𝐵 = −∆𝑈𝑈
Si definisce energia potenziale gravitazionale l’energia posseduta da un corpo in virtù della sua
posizione in un campo gravitazionale.
Nell’espressione dell’energia potenziale gravitazionale l’altezza h può essere valutata a partire da un
qualsiasi livello zero, non necessariamente coincidente con quello della superficie terrestre.
Possiamo concludere che l’energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa m posto a quota ha
da Terra è data da :
U = mgh + c
con c costante arbitraria.
Si può concludere dicendo che l’energia potenziale gravitazionale è definita a meno di una costante
additiva.
Dalla relazione: L = UA − UB = −∆U si deduce che se l’energia potenziale diminuisce
Il lavoro è positivo; viceversa se l’energia potenziale aumenta il lavoro è negativo.
Anche la forza elastica è una forza conservativa e si può ricavare che l’energia potenziale elastica è:
1
Uel = k x 2
2
Nella tabella sotto vengono riportate le grandezze fisiche esposte in questo capitolo:
Tipo di forza
gravitazionale
elastica
Energia cinetica
(K)
Energia potenziale
(U)
1
𝑚𝑚𝑣𝑣 2
2
𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ
1
𝑚𝑚𝑣𝑣 2
2
1 2
ℎ𝑠𝑠
2
Principio di conservazione dell’energia
Nel XIX secolo si scoprì che l'energia può essere trasformata tra più forme diverse ma non creata né
distrutta. Questa affermazione, conosciuta come principio di conservazione dell'energia, costituisce
uno dei concetti fondamentali della meccanica classica.
Finora abbiamo trattato due forme di energia: l’energia cinetica e l’energia potenziale, ora
dimostreremo che, se non ci sono attriti, la somma delle due energie,che indicheremo con E, rimane
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Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
sempre uguale: quando una diminuisce, l’altra aumenta in modo che la loro somma rimanga
costante.
Consideriamo un corpo di massa m che si trova fermo a quota h dal suolo, siano A,B,C le successive
posizioni occupate dal corpo in caduta libera. Analizziamo la situazione da un punto di vista
energetico, trascurando l’attrito dell’aria. Indichiamo con E è l’energia meccanica posseduta dal corpo
di massa m:
Posizione A: la pallina,essendo ferma, ha solo energia
potenziale
𝐸𝐸 = 𝑈𝑈𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ𝐴𝐴
A
P
Posizione B : la pallina possiede sia energia potenziale che
energia cinetica
1
𝐸𝐸 = 𝑈𝑈𝐵𝐵 + 𝐾𝐾𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ𝐵𝐵 + mvB2
2
Dove vC e hC sono rispettivamente la velocità e la
quota del corpo nel punto C
B
h
Posizione C : la pallina sta toccando il suolo, quindi ha quota
zero e possiede solo energia cinetica
1
𝐸𝐸 = 𝐾𝐾𝐶𝐶 = mvC2
2
C
Quindi possiamo dire che mghA = mghB +
1
2
mvB2 =
mantenendo forme diverse nelle tre posizioni diverse.
1
2
mvC2 cioè l’energia meccanica si conserva pur
Principio di conservazione dell’energia : in presenza di forze conservative, l’energia meccanica
di un sistema di conserva
In simboli:
E = U + K = costante
che è equivalente a :
∆E = 0
Forma generale del principio di conservazione dell’energia
Quasi sempre l’energia meccanica di un sistema non si conserva: lo stesso corpo di massa m
esaminato precedentemente perde la sua energia quando arriva a terra; stessa cosa succede a un corpo
che scivola lungo un piano inclinato. Cosa è successo, non vale più il principio?
In realtà l’energia scompare perchè sul sistema sono intervenute forze che non sono più conservative,
cioè le forze d’attrito. Sono forze che non ammettono energia potenziale e per le quali il lavoro
compiuto dipende dal particolare percorso seguito, tali forze sono dette dissipative.
Poiché l’attrito è una forza opposta al movimento, essa compie sempre lavoro negativo. Tenendo
conto di questo,il principio di conservazione dell’energia, nella forma più generale, diventa:
𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 + 𝐿𝐿𝑛𝑛𝑛𝑛
dove 𝐿𝐿𝑛𝑛𝑛𝑛 è il lavoro compiuto dalle forze dissipative che in molti casi si trasforma in energia termica e
viene percepito come aumento della temperatura del corpo.
Anna Infusino - 80 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Nella figura è rappresentato un pendolo semplice, quindi un sistema su cui agiscono solo forze
conservative. Si può osservare che all’oscillazione del pendolo le due forme di energia meccanica:
potenziale gravitazionale e cinetica cambiano, ma la loro somma rimane costante.
E=K+U
Anna Infusino - 81 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Esercizi svolti sul lavoro e sul principio di conservazione dell’energia
Esercizio svolto 1.
Un operaio che si trova su un’impalcatura lascia cadere da un’altezza di 10,0 m un martello di 2,0kg.
Determinare:
a.
qual è l ’energia cinetica del barattolo quando è a un altezza di 4,0m?
b. con che velocità il barattolo raggiunge il suolo?
Dati
m = 2,0 kg
h0 = 10,0 m
h = 4,0 m
v0 = 0 (dato nascosto)
Richieste: a. K
b. v
Soluzione a. l’energia totale del martello si conserva durante tutto il moto trascurando l’attrito
dell’aria, cioè:
𝐸𝐸 = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑈𝑈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 + 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ0 = (2,0 𝑘𝑘𝑘𝑘) �9,8
𝑚𝑚
� (10,0 𝑚𝑚) = 196 𝐽𝐽
𝑠𝑠 2
La relazione 𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 vale durante tutta la fase di caduta del martello, per cui :
𝐾𝐾ℎ = 𝐸𝐸 − 𝑈𝑈ℎ= = 𝐸𝐸 − 𝑚𝑚𝑚𝑚ℎ = 196 𝐽𝐽 − ( 2,0 𝑘𝑘𝑘𝑘 ) �9,8
𝑚𝑚
𝑠𝑠
� (4,0𝑚𝑚) = 117,6 𝐽𝐽
Soluzione b. si applica il principio di conservazione dell’energia: l’energia in cima all’impalcatura
eguaglia l’energia al suolo
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑈𝑈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐾𝐾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑈𝑈𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
0 + 𝑈𝑈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐾𝐾𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 0
Da cui si ricava :
𝑈𝑈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
1
2
𝑚𝑚 𝑣𝑣 2
cioè 𝑣𝑣 = �
2𝑈𝑈 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑚𝑚
= �
2∙196
2
Anna Infusino - 82 - © Garamond 2009
= 14 m/s
Fisicanet: la Meccanica
Energia e forme di energia
Esercizio svolto 2.
Uno sciatore di 80 kg, che parte da fermo da una quota di 100 m, percorre un pendio. La velocità dello
sciatore in fondo al pendio è 20 m/s.
a. Dimostrare che il sistema non è conservativo.
b. Quanto lavoro viene compiuto dalla forza non conservativa?
Dati
m = 80 kg
h = 100 m
v0= 20m/s
v = 20m/s
Richieste:
a.
E non è costante
b. L
Soluzione a. se il sistema fosse conservativo, l’energia meccanica totale sarebbe costante. All’inizio
l’energia meccanica è:
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑈𝑈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = (80𝑘𝑘𝑘𝑘) �9,8
In fondo al pendio l’energia meccanica è :
𝐸𝐸𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐾𝐾𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 =
𝑚𝑚
� 100𝑚𝑚 = 78400𝐽𝐽
𝑠𝑠
1
1
𝑚𝑚
𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = (80𝑘𝑘𝑘𝑘)(20 )2 = 16000𝐽𝐽
2
2
𝑠𝑠
Si deduce che il sistema non è conservativo in quanto
𝐸𝐸𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 < 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Soluzione b. il lavoro compiuto dalla forza d’attrito,non conservativa,è uguale all’energia dissipata,
cioè:
𝐿𝐿𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝐸𝐸𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 = (78400 − 16000)𝐽𝐽 = 62400𝐽𝐽
Confrontando il 𝐿𝐿𝑛𝑛𝑛𝑛 con
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 si ottiene l’energia percentuale dissipata:
𝐿𝐿𝑛𝑛𝑛𝑛
∙ 100 = 80%
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Cioè circa 80% dell’energia è stata dissipata.
Appendici
APPENDICE 1. Approfondimento sulle unità di misura
*Il metro in Italia è costruito mediante i campioni dell’Istituto di Metrologia “Gustavo Colonnetti”
del CNR a Torino.
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Il metro ha cambiato diverse volta definizione:
Rivoluzione francese (nascita)
o
1 m = 1/40’000’000 parte del
meridiano terrestre passante per Parigi
o
1 m = distanza tra due tacche di una
sbarra di platino
1889 : 1 m = distanza tra due tacche di una
sbarra di platino-iridio (2 10-7)
1960 : 1 m =1’650’763.73 lunghezze d’onda della luce emessa dal 86Kr
1983 :
quella riportata in tabella
** Il kilogrammo in Italia è costruito mediante un campione conservato presso l’Istituto di Metrologia
“Gustavo Colonnetti” del CNR a Torino e uno presso il ministero dell’industria, del commercio e
dell’artigianato a Roma.
Finora non è stato ancora possibile definire il campione di massa (il kilogrammo) sulla base delle
proprietà atomiche:
Rivoluzione francese
o
1kg = massa contenuta in un cilindro di platino iridio conservato al museo di Sevres.
***Il secondo in Italia è costruito mediante il campione dell’Istituto Elettrotecnico Nazionale “Galileo
Ferraris” a Torino.
Anche il campione del tempo ha subito cambiamenti nel corso degli anni
1s = 1/86400 del giorno solare medio
1900: 1s = 1/31’556’925.97474 dell’anno tropicale 1900
1967 (orologio atomico): quella riportata in tabella
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Angolo piano
𝛺𝛺 =
Ω𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
area della calotta
S
= 2
raggio della sfera al quadrato r
area della sfera
4𝜋𝜋𝑟𝑟 2
= 2 = 4𝜋𝜋 (𝑠𝑠𝑠𝑠, 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)
𝑟𝑟
raggio della sfera al quadrato
Angolo solido Ω
𝜃𝜃 =
lunghezza dell′arco
l
=
raggio della circonferenza r
Fattore di conversione da gradi in radianti
360: 2π = θgradi ∶ θradianti
360: 2π = θgradi ∶ 1rad
Anna Infusino - 85 - © Garamond 2009
→
θgradi
360 ∙1
2π
= 57,35°
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APPENDICE 2. Breve cronologia delle unità di misura
1790
Il governo francese avvia il primo tentativo di costruire un sistema di unità di misura.
1795
Il governo francese introduce per legge il Sistema metrico decimale. Prima definizione del metro
come la frazione 1/107 dell'arco di meridiano terrestre dal polo all'equatore. La definizione
verrà modificata nel 1799.
1799
Il campione naturale del metro (1/107 dell'arco di meridiano terrestre dal polo all'equatore) viene
sostituito da un campione artificiale costituito da una barra in platino (metro legale di Fortin). Il
campione verrà sostituito nel 1889. Viene costruito il campione in platino del chilogrammo.
1832
Gauss promuove il Sistema Metrico, adottando per le misure di tempo il secondo definito
astronomicamente.
1874
La British Association for the Advancement of Science (BAAS) introduce il sistema c.g.s. , un
sistema coerente basato sulle tre unità meccaniche: centimetro, grammo, secondo.
1875
La Convenzione del metro viene firmata a Parigi dai rappresentanti di 17 stati.
Viene istituito il Bureau International des Poids et Mesures.
1880
La British Association for the Advancement of Science (BAAS) introduce un insieme coerente di
unità pratiche per l'elettromagnetismo, tra cui l'ohm, il volt e l'ampere.
1889
La 1a C.G.P.M. introduce i nuovi campioni in platino-iridio del metro e del chilogrammo.
Insieme con il secondo, le tre unità della meccanica formano il sistema M.K.S. Il campione del
metro verrà sostituito nel 1960.
1901
Giorgi mostra che è possibile combinare le 3 unità meccaniche del sistema M.K.S. con le unità
pratiche dell'elettromagnetismo, formando un sistema coerente con 4 unità fondamentali: le
tre meccaniche ed una elettromagnetica (Sistema Giorgi).
1948
La 9a C.G.P.M. definisce l' ampere con riferimento alla legge dell'azione elettrodinamica tra due
conduttori paralleli.
1954
La 10a C.G.P.M. introduce il kelvin e la candela.
1960
La 11a C.G.P.M. introduce il Sistema Internazionale (S.I.) Il campione artificiale del metro (barra
in platino-iridio) viene sostituito da un campione naturale, il metro ottico, definito come un
multiplo della lunghezza d'onda della luce emessa dall'isotopo 86 del kripton. Il campione
verrà sostituito nel 1983.
1967
La 13a C.G.P.M. definisce il secondo con riferimento alla frequenza della radiazione emessa
dall'isotopo 133 del Cesio. Nasce l'orologio al Cesio. Viene anche ridefinito il kelvin come unità
di misura della temperatura.
1971
La 14a C.G.P.M. definisce la mole come unità di misura della quantità di sostanza.
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1979
La 16a C.G.P.M. ridefinisce la candela come unità di misura dell'intensità luminosa.
1983
La 17a C.G.P.M. ridefinisce il metro come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un ben
definito intervallo di tempo. La velocità della luce nel vuoto diviene una costante esatta.
Le unità di misura nell'antica Roma
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APPENDICE 3. Metodo sperimentale o di Galileo
Prima dell’avvento del metodo sperimentale l’uomo aveva manifestato interesse nello studio della
natura, ma senza possedere gli strumenti adeguati per portare avanti questa impresa. L’antica civiltà
greca, ad esempio, aveva avuto numerosi "filosofi" (Democrito,Archimede, Aristotele,ecc.)il cui
obiettivo era quello di conoscere il mondo ed i fenomeni naturali, ma Il loro metodo d'indagine era
di natura quasi esclusivamente speculativa, basato cioè sul ragionamento :il problema stesso veniva
affrontato mediante l’elaborazione di ragionamenti teorici ed astratti.
Il metodo sperimentale o di Galileo nasce nel 1600 ad opera di Galileo Galilei, il quale pose i
fondamenti del metodo stesso. Prima di Galileo, dunque, la scienza non era dotata di un adeguato
metodo d'indagine,per questo possiamo considerare Galileo non soltanto un grande fisico, ma il
padre della scienza come è concepita modernamente.
In che cosa consiste questo metodo sperimentale? Il metodo sperimentale può pensarsi costituito
dalle seguenti attività:
Osservazione del fenomeno
Scelta delle grandezze
Formulazione delle ipotesi
Esperimento per verificare le ipotesi
No
Ipotesi corretta?
Si
Formulazione della legge
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Osservazione del fenomeno: è il primo livello di conoscenza dei fenomeni naturali e consiste nell’
inquadrare il fenomeno che si vuole studiare e nel raccogliere informazioni al suo riguardo.
Scelta delle grandezze: in questa fase si assume un punto di vista rigorosamente quantitativo e si
passa all'individuazione delle variabili significative: in ogni esperimento si sceglie una sola variabile
indipendente e si individuano tutte le variabili dipendenti da essa.
Formulazione delle ipotesi: è la terza fase in cui si passa all'elaborazione dei dati raccolti e si
formulano delle ipotesi circa la relazione matematica che lega l’una all’altra le variazioni quantitative
dei dati. In questa fase che porta dall’analisi e interpretazione dei dati alla formulazione delle ipotesi il
un procedimento logico usato è quello induttivo ( da una serie di casi particolari si arriva ad una
affermazione generale)
Esperimento: in questa quarta fase lo scienziato si accerta se l’ipotesi è valida o no . A tale scopo si
riproduce il fenomeno in laboratorio e si osserva attraverso l’elaborazione dei dati sperimentali se le
ipotesi si sono realizzate. Se questo avviene l’ipotesi è trasformata in legge. Al contrario se l’ipotesi è
falsa l’indagine riparte dall’osservazione. Il processo logico che porta dalle ipotesi alle conclusioni si
chiama processo deduttivo.
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APPENDICE 4. Quadro riassuntivo del moto
Quadro riassuntivo moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente accelerato : equazioni
Equazione oraria
Moto rettilineo uniforme
Equazione della velocità
V=
x = x0 + v (t – t0)
𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝒐𝒐 + 𝒗𝒗𝟎𝟎 𝒕𝒕 +
Moto rettilineo
uniformemente accelerato
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∆𝒙𝒙
∆𝒕𝒕
Equazione dell’accelerazione
= costante
a=0
𝒗𝒗 = 𝒗𝒗𝟎𝟎 + 𝒂𝒂𝒂𝒂
𝒂𝒂 𝒕𝒕𝟐𝟐
𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟎𝟎 +𝟐𝟐 𝒂𝒂 (𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 )
a =
𝚫𝚫𝒗𝒗
𝚫𝚫𝒕𝒕
= 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
Quadro riassuntivo moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente accelerato : grafici
Grafico (s,t)
Moto rettilineo
Grafico (v,t)
Grafico (a,t)
v
x
uniforme
t
t
Velocità = coefficiente
angolare della retta
Distanza percorsa = area
della regione di piano
tratteggiata
x
v
a
Moto rettilineo
uniformemente
accelerato
t
a > 0 parabola rivolta
versol’alto
a < 0 parabola rivolta verso il
basso
Minore è il |𝑎𝑎|più è larga la
parabola
Distanza percorsa = area
della regione di piano
tratteggiata
accelerazione =
coefficiente angolare
della retta
Anna Infusino - 90 - © Garamond 2009
t
t
Variazione di
velocità = area della
regione di piano
tratteggiata
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APPENDICE 5. Galileo Galilei e il moto parabolico
Prima di Galileo erano state proposte diverse teorie tra cui:
c.
quella aristotelica che sosteneva l’idea che il proiettile seguisse inizialmente in moto rettilineo
nella direzione del lancio e successivamente cadesse verso il basso sotto l’azione del suo peso;
d. quella della teoria dell’impeto che sosteneva che un corpo lanciato in direzione orizzontale,
per esempio un proiettile sparato da un cannone, si muovesse in direzione orizzontale fino a
quando non perdeva il suo "impeto", dopodiche' cadeva verso terra, seguendo una traiettoria
curvilinea non ancora conosciuta.
Nel "Dialogo intorno a Due Nuove Scienze", Galileo affronta il problema del moto dei proiettili. Galileo si
accorse, durante lo studio del moto dei proiettili, che essi non sono soggetti soltanto alla forza che li
spinge in direzione orizzontale, ma anche alla forza di gravita', che li attira verso il basso. La prima
componente agisce in modo che il corpo ad essa soggetto percorre una distanza in orizzontale che e'
proporzionale al tempo impiegato per percorrerla. La seconda invece provoca un moto
uniformemente accelerato, cioe' la distanza percorsa in verticale e' proporzionale al quadrato del
tempo impiegato a percorrerla. Galileo dimostro' che la combinazione dei due moti orizzontale e
verticale risulta nel moto del proiettile lungo un arco di parabola.
Disegno di Galileo che illustra i suoi esperimenti
sul moto dei proiettili
Disegno che illustra il moto parabolico dei proiettili,
lanciati con angoli di inclinazione diversi
I proiettili tracciano traiettorie paraboliche diverse a seconda dei valori della velocità iniziale 𝑣𝑣0 con
cui viene sparato. Tanto maggiore è 𝑣𝑣0
tanto più piatta è la parabola e il proiettile cade
lontano,poiché percorre più spazio di moto orizzontale. La velocità istantanea del proiettile si ottiene
sommando vettorialmente la velocità orizzontale e quella verticale. A causa della forza di gravità che
ogni secondo aggiunge 10 m/s alla velocità verticale,la velocità del proiettile aumenta man mano che
cade. Galilei riconosce la medesima legge per qualsiasi direzione del lancio e dimostra che il raggio di
proiezione è massimo per un angolo di 45°.
Anna Infusino - 91 - © Garamond 2009
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APPENDICE 6. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)
In questo appendice sono riportate le leggi di Newton tratte dall’opera pubblicata nel 1687 : :
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Lex 1: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uni formiter in directum,
nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.
Lex 2: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, et fieri secundum lineam
rectam
qua vis illa imprimitur.
Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul et
semel, sive gradatim et successive impressa fuerit. Et hic motus quoniam in eandem semper
plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui eius vel
conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adiicitur, et cum eo
secundum utriusque determinationem componitur.
Lex 3 : Actioni contrariam semper te æqualem esse reactionem: sive cor porum duorum
actiones in se
mutuo semper esse æquales & in par tes contrarias dirigi.
Per approfondire l’argomento si rimanda al link :
Isaac Newton
Newton:
lex prima et secunda a
Principia Mathematica.
Anna Infusino - 92 - © Garamond 2009
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APPENDICE 7. Misura della costante di gravitazione universale G
Tra due punti materiali di massa m ed M, posti a distanza R fra di loro, si esercita una forza data da
detta forza di gravitazione universale.
F =G
Mm
r2
Il valore comunemente accettato per G è G = 6,67* 10-11 Nm2/ kg2
che corrisponde alla forza fra due sfere omogenee di massa 1 kg poste a distanza di 1 metro.
La costante G è detta universale perché è indipendente dalle proprietà della materia di cui sono fatti i
corpi, dal luogo dove viene svolta l’esperienza e da quando.
Il primo che riuscì ad eseguire la misura di G fu Cavendish. circa 100 anni dopo Il dispositivo
utilizzato era una bilancia di torsione come disegnato nella seguente figura:
Due piccole sfere di piombo, di massa m,
contrassegnate con i numeri 1 e 2 sono
fissate alle estremità di una leggere asta
lunga circa 2 metri e sospesa per il suo
punto medio ad un lungo e sottile filo di
quarzo. Tutto il dispositivo è posto in una
custodia in modo da essere schermato da
correnti d’aria. Sul filo di quarzo è fissato
uno specchietto in grado di riflettere un
raggio luminoso, prodotto da una sorgente
, posta a distanza fissa dalla bilancia. Il
raggio viene proiettato su una scala
graduata collocata alla distanza L dalla
bilancia, in modo che gli spostamenti
lungo la scala riflettano gli
spostamenti angolari dell’asta.
Due grosse sfere di piombo A e B, di massa M, sono fissate in prossimità delle sferette. La forza
gravitazionale esercitata dalle sfere grosse su quelle piccole si traduce quindi in una deviazione del
raggio luminoso; la misura dello spostamento del raggio luminoso costituisce così una misura
indiretta della forza che ha provocato quello spostamento.
Cambiando la natura, la distanza, e le dimensioni delle sferette, Cavendish trovò il valore di G.
Questo esperimento fu chiamato da Cavendish pesata della Terra, perché , noto il valore di G, si può
determinare indirettamente la massa della terra.
Infatti indicando con R e MT rispettivamente il raggio e la massa della terra , la forza con cui la terra
attrae un corpo di massa m posto sulla sua superficie è :
𝐹𝐹 = 𝐺𝐺
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇
𝑅𝑅2
Applicando la seconda legge di Newton al corpo di massa m che accelera con accelerazione g , si ha :
Uguagliando si ha
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 𝑔𝑔
Anna Infusino - 93 - © Garamond 2009
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Glossario
𝑚𝑚 𝑔𝑔 = 𝐺𝐺
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇
𝑅𝑅2
da cui si ricava, semplificando la massa m che compare nel secondo principio e la massa m che
compare nella legge di gravitazione universale,
𝑀𝑀𝑇𝑇 =
𝑔𝑔 𝑅𝑅2
𝐺𝐺
Sostituendo i valori di 𝑔𝑔 , R , G si ottiene la massa della Terra :
𝑀𝑀𝑇𝑇 = 5,98 ∙ 1024 𝑘𝑘𝑘𝑘
APPENDICE 8. Massa inerziale e massa gravitazionale
Nell’appendice precedente, nel calcolare la massa della terra ho semplificato la massa m che compare
nel secondo principio della dinamica con la massa m che compare nella legge della forza
gravitazionale, ma in realtà i due simboli sono relativi a due concetti diversi: massa gravitazionale
nella legge di gravitazione universale , massa inerziale nella seconda legge di Newton.
La massa gravitazionale è la proprietà posseduta dai corpi in virtù della quale nascono le forze
gravitazionali.
La massa inerziale rappresenta solo la proprietà che hanno i corpi, in virtù della quale essi si
oppongono alla variazione del loro stato di quieto o moto rettilineo uniforme.
Lo stesso Newton cercò di dimostrare che la massa gravitazionale ha lo stesso valore della massa
inerziale tramite il seguente esperimento.
Se si considera l’equazione del pendolo facendo la distinzione tra massa inerziale (che interviene nella
seconda legge della dinamica) e la massa gravitazionale (che interviene nella forza peso) si ha per il
periodo delle piccole oscillazioni del pendolo la seguente formula
Questa formula si riduce alla formula
l
T = 2 π � solo se
g
l mi
T =2π�
g mg
mi = mg
Newton provo con vari corpi che aveva diverso peso senza trovare nessuna variazione nel periodo T e
concluse che poteva assumere mi = mg
L’equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale è una fortunata coincidenza in meccanica classica,
mentre trova una spiegazione logica nella teoria della relatività generale: non si tratta di due diverse
proprietà della materia, ma di due differenti descrizioni del comportamento osservato della materia.
Anna Infusino - 94 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA
D. Halliday - R. Resnick J Walker, Fondamenti di fisica: meccanica,– Zanichelli,Seconda edizione
A.Caforio - A. Ferilli, Fisica 1, Le Monnier, Nuova edizione:gennaio 1994
Paul A. Tipler, Corso di fisica: meccanica – onde - termodinamica, Zanichelli, Terza edizione italiana:
ottobre 1995
U. Amaldi, La fisica di Amaldi: Idee ed esperimenti 1, Zanichelli, prima edizione:febbraio 2007
S. Papucci, Fisica, Hoepli,edizione 2002
Anna Infusino - 95 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Sitografia
SITOGRAFIA
http://www.walter-fendt.de/ph14i/resultant_i.htm
http://didatticait.altervista.org/Didattica/fisica/cinematica/
http://www.eidosoft.it/Malpighi/2007/MAS/24MASequaz.ppt
http://didatticait.altervista.org/Didattica/fisica/didattica_fisica.php
http://didatticait.altervista.org/Didattica/fisica/didattica_fisica.php
http://www.science.unitn.it/~labdid/sisint/si3_storia/si_storia_Roma.html
http://la.wikisource.org/wiki/Scriptor:Isaac_Newton
Anna Infusino - 96 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Glossario
GLOSSARIO
A
.........................................................................................................................................
Accelerazione – rapidità con cui cambia la velocità di un oggetto. I termini accelerare e rallentare
implicano i concetti di accelerazione positiva e accelerazione negativa, quest’ultima detta anche
decelerazione.
Attrito – forza che si oppone al libero scorrimento di due superfici materiali l'una sull'altra. Se le due
superfici scorrono l'una sull'altra, l'attrito agisce sempre in direzione opposta a questo moto.
C
.........................................................................................................................................
Cinematica – ramo della fisica che studia il moto indipendente dalle cause che lo producono;
D
.........................................................................................................................................
Dinamica – ramo della fisica che occupa del moto dei corpi esaminando le cause che lo determinano
E
.........................................................................................................................................
Energia cinetica – energia posseduta da un corpo in movimento.
Energia potenziale – energia posseduta da un corpo in virtù della sua posizione in un campo di
forze conservative.
F
.........................................................................................................................................
Forza – una qualsiasi causa che modifichi lo stato di quiete o di moto di un corpo o lo deforma. E’ una
grandezza vettoriale caratterizzata da intensità (modulo), direzione e verso.
Frequenza – numero degli eventi che vengono ripetuti in una unità di tempo.
G
.........................................................................................................................................
Grandezza fisica – caratteristica di un corpo o di un fenomeno che può essere misurata con uno
strumento di misura cioè espressa attraverso un numero e un’unità di misura.
Gravità – forza di attrazione tra due corpi, direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e
inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra essi.
I
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Incertezza assoluta – ampiezza dell'intervallo centrato sul valore del parametro entro cui si
considera compreso il reale valore della misura.
Anna Infusino - 97 - © Garamond 2009
Fisicanet: la Meccanica
Glossario
Incertezza relativa – rapporto fra i valori della incertezza assoluta e del valore della misura.
Inerzia – tendenza del corpo a mantenere invariato il suo stato. La misura quantitativa dell'inerzia di
un corpo è la sua massa.
L
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Lavoro – grandezza scalare, definita dal prodotto scalare della forza applicata a un corpo per lo
spostamento che esso subisce a causa dell'azione della forza. Una forza compie lavoro ogni volta che
produce uno spostamento del corpo su cui agisce
M
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Massa – quantità di materia racchiusa in un corpo.
P
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Peso – forza a cui è sottoposta una massa quando si trovi in un campo gravitazionale.
S
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V
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Velocità – rapidità con cui varia la posizione di un corpo.
Velocità angolare – rapidità con cui varia la posizione angolare di un corpo nei moti circolari , si
esprime in funzione dell’angolo al centro corrispondente all’arco di traiettoria percorso. E’ una
grandezza vettoriale definita quindi da intensità o modulo, direzione e verso. In genere si indica con la
lettera greca ω e si misura in radianti al secondo.
Anna Infusino - 98 - © Garamond 2009
