Equazione dello psicrometro a bulbo bagnato

Strumenti di misura dell’umidità relativa: psicrometro a bulbo bagnato
e ventilato.
Deduzione dell’equazione psicrometrica. Temperatura del bulbo
bagnato e umidità relativa. Relazione con il punto di ruggiada.
Lo psicrometro è uno strumento che serve a misurare l’umidità relativa.
E’ costituito da due termometri di cui uno fornisce la temperatura ambiente, ed ha il
bulbo “asciutto”, mentre l’altro è avvolto da una garza che deve essere
costantemente mantenuta “bagnata”. Ciò viene ottenuto immergendo un’estremità
della garza (lontana dal bulbo!) in acqua preferibilmente distillata; la garza, per
capillarità, rimane pertanto costantemente impregnata di acqua.
Definizione della temperatura del bulbo bagnato
La temperatura misurata con il termometro a bulbo bagnato è la temperatura più
bassa che l’aria può raggiungere per evaporazione dell’acqua nel suo seno.
Il termometro a bulbo bagnato deve essere posizionato in una corrente di aria a
temperatura ambiente, nel luogo dove si effettua la misura.
Le due condizioni sopracitate, garza imbevuta e ventilazione continua sono
fondamentale per il corretto funzionamento dello strumento e per ottenere un
risultato affidabile.
Il sistema termodinamico sotto studio e quindi il sistema formato da: garza
imbevuta + aria immediatamente circostante. Assumendo che questo sistema sia
isolato, il processo è adiabatico (scambi di calore esclusivamente all’interno del
sistema garza+aria) e a pressione costante (pressione atmosferica). Un processo di
queste caratteristiche (adiabatico e isobarico) si dice anche isentalpico, ovvero, a
entalpia costante.
Quando il termometro a bulbo bagnato ha raggiunto la temperatura minima o
temperatura del bulbo bagnato (TB), per le condizioni presenti nel luogo dove si
effettua la misura, ovvero, a regime raggiunto, deve valere quindi che la variazione
di entalpia dell’aria umida (ma non satura) che si raffredda quando passa sopra il
bulbo bagnato, più la variazione dell’entalpia del vapore acqueo presente nell’aria e
che si raffredda anch’esso alla TB, sia uguale alla variazione di entalpia di
vaporizzazione della massa di acqua che evapora dalla garza alla temperatura TB.
Si fa notare che, mentre una volta raggiunto l’equilibrio termico (la TB non scende
più) la temperatura del bulbo bagnato rimane costante, il processo sotto studio non
è all’equilibrio dal punto di vista dell’evaporazione. Essendo la garza sempre
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bagnata, il sistema continua ad evaporare, dal momento che non si raggiunge mai la
saturazione (escluso il caso in cui l’umidità relativa è pari al 100%) e quindi il
processo è spontaneo e irreversibile, la quantità di vapore acqueo (in massa)
continua ad aumentare, c’è evaporazione netta di acqua che passa allo stato di
vapore, aumentando così il “mixing ratio”, cioè, il rapporto tra la massa di vapore
presente e la massa di aria secca.
Definiamo:
Ta= temperatura ambiente (quella del bulbo asciutto)
TB= temperatura del bulbo bagnato
M = massa d’aria secca che si raffredda da Ta (T ambiente) a TB (T del bulbo bagnato)
Mv = massa di vapore presente nell’aria e che si raffredda da Ta a TB
Mw = massa di acqua che evapora dalla garza a TB
W = mixing ratio = Mv/M
Ws = Mvs/M = mixing ratio alla saturazione, alla TB ,e alla pressione atmosferica
L’equilibrio della variazione di entalpia del sistema aria+garza risulta quindi:
∆hM + ∆hMv = ∆hMw (1)
Dalla definizione di “mixing ratio”:
Mv
w=
M
es (T )
ws ≈ ε
(2)
pat
Dove es(T) è la pressione di vapore saturo alla temperatura T e alla pressione
atmosferica, Pat, ε è definito da:
2
Rd M d
ε=
=
= 0,622
Rv M v
E Rd e Rv sono, rispettivamente, le costanti specifiche del gas per l’aria e per il
vapore acqueo. D’altra parte, la quantità di acqua che evapora dalla garza si può
M W = M ⋅ ( wS − w)
ricavare come:
La variazione di entalpia dell’aria secca viene data da:
∆hM = M ⋅ c pd .(Ta − TB )
dove M è la massa di aria secca e cpd è il calore specifico a pressione costante per
l’aria secca.
∆hMv = M v ⋅ c pv .(Ta − TB )
La variazione di entalpia del vapore presente nell’aria viene data da:
dove Mv è la massa di vapore e cpv è il calore specifico a pressione costante per il
vapore acqueo.
Infine, la variazione di entalpia dell’acqua che evapora dalla garza a TB viene data da:
∆hMw = M w ⋅ Lv
dove Mw è la massa di acqua evaporata e Lv è il calore latente di vaporizzazione
dell’acqua.
∆hMv = M ⋅ w ⋅ c pv .(Ta − TB )
Con un pò di algebra possiamo scrivere:
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∆hMw = M ⋅ ( ws − w) ⋅ Lv
Sostituendo nell’Eq.(1) otteniamo:
(c pd + w ⋅ c pv ) ⋅ (Ta − TB ) = Lv ( ws − w)
Che viene chiamata equazione psicrometrica dello psicrometro ventilato.
Da questa equazione possiamo ricavare:
w=
Lv ⋅ ws − c pd ⋅ (T − TB )
c pv (T − TB ) + Lv
Ws si ottiene dall’espressione approssimata (2).
Da questa espressione possiamo ricavare il mixing ratio, w, e ricavato il mixing ratio
alla saturazione alla temperatura TB, ws(TB), dall’espressione (2), ottenere l’umidità
relativa come: RH= w/ws.
Vediamo un calcolo da dati raccolti in laboratorio:
Ta = 22 °C
TB = 15°C
Pat =975,9 mbar = 975,9 hPa
Δ= T –TB = 7°C
Valori noti:
Cpd = 1,005 103 J kg-1 K-1
Cpv= 1,85 103 J kg-1 K-1
Lv (calore latente di vaporizzazione dell’acqua)= 2,50 · 106 J Kg-1
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Rv= 461,5Jkg-1K-1
Il mixing ratio alla saturazione a T = Ta si ottiene come
e(TB )
e(15o C )
17,05hPa
wS (TB ) ≈ 0,622
= 0,622
= 0,622
= 0,0108
p
p
975,9hPa
Dalla espressione per w otteniamo, sostituendo nella equazione psicrometrica:
w = 0,0079 e quindi un umidità relativa di
RH=0,0079/0,0108 = 47%
Da questo valore dell’umidità relativa, sfruttando l’equazione di Clausius-Clapeyron,
dovremmo ricavare il punto di ruggiada. L’equazione di Clausius-Clapeyron, scritta in
termini di RH è:
T − Tdew = −
RvTTdew
ln r
lv
(r = RH = 0,47 = 47%)
Da qui otteniamo:
Tdew
lvT
− 2,50 ⋅ 10 6 Jkg −1 (22 + 273) K
=−
=
= 283 K = 10 o C
−1
−1
6
−1
TRv ln r − Lv (22 + 273) K ⋅ 461,5 Jkg K ln(0,47) − 2,50 ⋅ 10 Jkg
Usando i valori tabulati per la pressione di vapore saturo in funzione della
temperatura, ammesso che questo fosse il valore del punto di ruggiada,
otterremmo:
RH =
e(TD ) 12,28hPa
=
= 0,46 = 46%
e(Ta ) 26,44hPa
In ottimo accordo con il valore misurato con una differenza di solo un 2%.
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Facciamo notare che Td = 10 °C < TB = 15 °C e che entrambe forniscono il valore
dell’umidità relativa, pur rappresentando due temperature differenti, in quanto si
raggiungono con processi fisici differenti.
La temperatura del bulbo bagnato, come detto prima, è la temperatura minima che
l’aria può raggiungere per evaporazione di acqua nel suo seno. E’ un processo
irreversibile, isobarico e adiabatico. Il raffreddamento dell’aria avviene per
evaporazione di acqua, a temperatura costante (quella che segna il bulbo bagnato),
e mixing ratio variabile: c’è un passaggio costante di acqua dallo stato liquido a
quello di vapore, ovvero, un “rate” di evaporazione costante).
In atmosfera questo processo avviene quando la pioggia che cade evapora prima di
arrivare a terra così raffreddando l’aria che attraversa.
D’altra parte, il punto di ruggiada è la temperatura alla quale l’aria si deve
raffreddare per raggiungere la saturazione per una quantità fissa di vapore acqueo
(ovvero, per un mixing ratio fisso).
In atmosfera questo processo avviene quando, l’aria si raffredda per irraggiamento,
o dell’aria stessa o della superficie con la quale sta a contatto (generalmente la
terra) e raggiunge la saturazione (condensa) perchè, pur rimanendo costante la
quantità di vapore acqueo, la pressione di vapore diminuisce al diminuire della
temperatura (curva di Clausius-Clapeyron).
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