Onde elettromagnetiche piane - Ingegneria elettrica ed elettronica

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
EQUAZIONI D’ONDA VETTORIALI OMOGENEE
⎧ 2
1 ∂2 E
⎪∇ E − 2 2 = 0
⎪
u ∂t
⎨
2
2
H
1
∂
⎪∇ H −
=0
2
2
⎪⎩
u ∂t
u = 1/ µε
Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi
non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche
libere dove ρ e J sono entrambi uguali a zero.
Nei dielettrici puri sono predominanti le correnti di spostamento e
in questa categoria rientrano tutti i fenomeni di propagazione e
radiazione.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
1
Nel vuoto, (al di là dell’atmosfera terrestre), le equazioni
d’onda in assenza di sorgenti sono:
dove
1 ∂2 E
∇ E− 2 2 =0
c ∂t
2
c=
1 ∂2 H
∇ H− 2
=0
2
c ∂t
2
1
⎡m ⎤
⎡ km ⎤
≅ 3 × 10 8 ⎢ ⎥ = 300.000 ⎢ ⎥
µ0 ε0
⎣s⎦
⎣ s ⎦
c é la velocità di propagazione dell’onda (velocità della luce)
nel vuoto (velocità della luce) .
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
2
Onde elettromagnetiche piane
L’onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione delle
equazioni di Maxwell e costituisce una buona approssimazione
delle onde elettromagnetiche reali in molte applicazioni
pratiche.
Le caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente
semplici e il loro studio é fondamentale sia dal punto di vista
teorico che pratico.
Un onda è piana quando il suo fronte d’onda è un piano.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
3
Onde elettromagnetiche piane
I campi E e H sono sempre e ovunque in fase, cioè per ogni
valore di z la loro variazione temporale è sempre identica
anche se le loro direzioni spaziali sono ortogonali.
Esse sono caratterizzate dal fatto che sia il campo H che il
campo E assumono la stessa direzione, ampiezza e fase in
piani perpendicolari alla direzione di propagazione.
H
In altre parole i campi E e H sono:
• in fase nel tempo e
• in quadratura nello spazio
direzione di propagazione delle onde
E
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
4
Onde elettromagnetiche piane
Radiofrequenze a grande distanza dal trasmettitore e da
oggetti con curvatura trascurabile, che causa difrazione,
possono essere studiate come onde piane.
• L’approssimazione delle onde piane è molto utilizzata
nell’ottica.
• Inoltre tipi d’onda più complessi possono essere considerati
come formati dalla sovrapposizione di onde piane.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
5
Nella ipotesi di regime sinusoidale si possono studiare le onde
con i fasori e nelle regioni in cui non sono presenti sorgenti
(cariche a riposo o correnti elettriche) le onde sono descritte dalle
soluzioni delle equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee:
2
∇ E + k2E = 0
e
2
∇ H + k2H = 0
⎡ rad ⎤
2
2
→
k
=
ω
µε
⎢⎣ m ⎥⎦
= numero d’onda in un mezzo di trasmissione qualsiasi
ω 1
k = ω µε = =
u λ
k=
1
λ
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
6
Onde elettromagnetiche piane nei mezzi privi di perdite
L’equazione (vettoriali) delle onde elettromagnetiche nello spazio
libero in assenza di sorgenti diventano:
⎧∂ 2 E ∂ 2 E ∂ 2 E
2
2
+
+
+
k
E=0
⎪ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
0
⎧⎪∇ E + k0 2 E = 0
⎪
→
⎨ 2
⎨ 2
2
2
2
∂
H
∂
H
∂
H
⎪⎩∇ H + k0 H = 0
2
⎪
+
+
+
k
H=0
2
2
2
0
⎪⎩ ∂x
∂y
∂z
dove k0 é il numero d’onda nello spazio libero
(k0 = free space wavenumber), esso é il reciproco della lunghezza
d’onda nel vuoto:
ω 1 ⎡ rad ⎤
k 0 = ω µ0 ε 0 = =
c λ0 ⎢⎣ m ⎥⎦
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
7
In coordinate cartesiane la prima equazione di Helmholtz equivale
a tre equazioni (scalari) di Helmholtz, una per ciascuna
componente: Ex, Ey e Ez.
⎛ ∂2
∂2
∂2
2⎞
Per la componente Ex si ha: ⎜⎜ 2 + 2 + 2 + k 0 ⎟⎟ E x = 0
∂z
∂y
⎝ ∂x
⎠
Se si considera un’onda piana uniforme, caratterizzata da una
Ex uniforme (ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane
perpendicolari a z, cioè:
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
=0 e
=0
2
2
∂x
∂y
l’equazione precedente diventa:
∂ 2 Ex
∂z 2
+ k 02 E x = 0
essa é una equazione differenziale ordinaria poiché Ex dipende
solo da z Ex=f(z).
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
8
La soluzione della equazione:
∂ 2 Ex
∂z 2
+ k 02 E x = 0
− jk z
+ jk z
é : E x ( z ) = E +x ( z ) + E −x ( z ) = E +0 e o + E o− e o
E +0 e E −o sono costanti arbitrarie che devono essere
determinate con le condizioni al contorno.
Si consideri da prima solo primo termine: E + ( z ) = E + e − jk o z
0
x
usando cos ωt come fasore di riferimento e assumendo E0+
costante reale ( fase = 0 per z = 0) si ha:
E +x
(z, t )
M. Usai
[
= Re[E
= Re E +x
+
0
(z)e
jωt
] = Re{[ (z)e ]e }
⎡V⎤
)
] = E cos(ωt − k z) ⎢⎣m⎥⎦
(z)e j(ωt − k o z
(− jk o z ) ( jωt )
E +0
+
0
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
0
9
Esaminando in dettaglio l’equazione trovata:
E x (z, t ) = E 0 cos(ωt − k 0 z)
+
+
⎡V⎤
⎣⎢ m ⎥⎦
si può pensare di tracciare il grafico in un istante definito in funzione
di z . In particolare per t=0, essendo:
cos ( − k0 z) = cos (k0 z) ⇒ E +x ( z, 0 ) = E 0+ cos (k0 z )
+
per cui si avrà una cosinusoide con una ampiezza E 0
Per tutti gli istanti successivi le curve relative avranno un andamento
identico, ma traslano nella direzione positiva di z.
Ciò dimostra che la curva é viaggiante nella direzione positiva di z
con una velocità up che dipende da ω, ossia dalla frequenza f.
Per aumentare la velocità di trasmissione up, che dipende da ω, si può
aumentare la frequenza.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
10
• Onda viaggiante nella direzione positiva z, per diversi valori di t
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
11
Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto
che la fase è costante in ciascun piano normale alla direzione z di
propagazione:
ωt-koz=A
o cos(ωt-koz) = a, e lo spazio percorso z =
(ωt − A)
k0
Inoltre per le onde piane, al variare del tempo i piani in cui la fase
è costante (fronti d’onda), viaggiano alla velocità della luce c nella
direzione z.
Quindi imponendo che ωt-koz sia costante all’aumentare di z e
di t, si ottiene l’espressione della velocità di propagazione (up=c):
⎛ (ωt − A) ⎞
⎟⎟
d ⎜⎜
k0 ⎠ ω
1
dz
8 ⎡m⎤
⎝
= =
= c = 3 × 10 ⎢ ⎥
=
up =
dt
t
k0
µ0 ε 0
⎣s⎦
k0 numero d’onda, misura il numero di lunghezze d’onda in un
ciclo completo.
ω 2πf
⎡ rad ⎤
k0 =
M. Usai
c
=
c
⎣⎢ m ⎥⎦
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
12
Analogamente si può verificare che il secondo termine della
relazione :
E x ( z ) = E +x ( z ) + E −x ( z ) = E +0 e − jk o z + E −o e + jk o z
rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z
con la stessa velocità c.
Si consideri per ora solo l’onda diretta assumendo l’ipotesi che:
E 0− = 0
anche se quando sono presenti delle discontinuità nel mezzo,
devono essere considerate anche
le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
13
Il campo magnetico associato alla sola onda diretta H può essere
determinato dalla relazione: ∇ × E = − jωµ H . In forma matriciale:
ax
ay
∂
∂
∇× E =
∂x
∂y
Ex+ (z) 0
az
∂
= − jωµ0 ax H x+ + a y H y+ + az H z+ ,
∂z
0
+
H
dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove y risulta
(
)
l’unica componente diversa da zero:
⎧ H x+ = 0,
⎪
1 ∂E x+ ( z )
⎪ +
,
⎨H y =
− jωµ 0 ∂z
⎪
⎪H + = 0
⎩ z
M. Usai
⎛ +
⎞
1 ∂E x+ ( z )
+
⎜⎜ H z = −
= 0 essendo E x = f ( z )⎟⎟
jωµ 0 ∂y
⎝
⎠
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
14
Per un’onda piana uniforme, caratterizzata da una Ex uniforme
(ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z,
risulta che le componenti del campo elettrico E e del campo
magnetico H siano rispettivamente uguali a:
⎧ E x+ = 0,
⎪ +
⎨ E y = 0,
⎪ +
⎩ E z = f ( z ),
⎧ H x+ = 0,
⎪
1 ∂E x+ ( z )
⎪ +
,
⎨H y =
− jωµ 0 ∂z
⎪
⎪H + = 0
⎩ z
M. Usai
⎛ +
⎞
1 ∂E x+ ( z )
+
⎜⎜ H z = −
= 0 essendo E x = f ( z )⎟⎟
jωµ 0 ∂y
⎝
⎠
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
15
Quindi:
+
∂
E
z
1 ∂
+
x ( )
Hy =
E0+ e − jko z ) =
=
(
− jωµ0 ∂z
− jωµ0 ∂z
1
=
1
− jωµ0
ω
( − jk0 E
2πf
con k0 = =
c
c
e
+
x
( z )) =
⎡ rad ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
k0
ωµ0
E
+
x
( z) =
1
η0
c=
Ex+ ( z )
1
⎡m⎤
= 3 × 108 ⎢ ⎥
µ0 ε0
⎣s⎦
µ0
4π ⋅10−7
4π ⋅10−7
=
≅
≅ 120π ≅ 377 [ Ω ]
η0 =
−9
−12
8,854 ⋅10
ε0
(1/ 36π ) ⋅10
η0 è l’ impedenza intrinseca dello spazio libero (essa è un numero
reale).
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
16
+
+
(
)
E
H
z
Poichè η0 è un numero reale y
risulta in fase con x ( z ) e si
può scrivere l’espressione di H come:
H ( z,t ) =a y H +y ( z,t ) =a y Re ⎡⎣ H +y ( z ) e jωt ⎤⎦ =
=a y
E +0
η0
cos ( ωt-k 0 z )
⎛A⎞
⎜ ⎟
⎝m⎠
Quindi per un’onda piana e uniforme il rapporto delle ampiezze di
E e H é l’impedenza intrinseca del mezzo:
+
E
µ0
1
+
+
x
⇒
= η0 con η0 =
H y = Ex
+
Hy
η0
ε0
Inoltre risulta che H é perpendicolare ad E e che entrambe
sono normali alla direzione di propagazione.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
17
Campi E e H di un’onda piana uniforme per t=0
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
18
Effetto Doppler
Quando c’é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel
tempo e un ricevitore, la frequenza dell’onda intercettata dal
ricevitore f ' tende ad essere diversa da quella emessa dalla
sorgente f .
Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta
in acustica come nell’elettromagnetismo.
Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un’onda armonica
nel tempo di frequenza f si muova con velocità u con una
deviazione di un angolo θ rispetto alla direzione della
congiungente Trasmettitore-Ricevitore.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
19
Le onde elettromagnetiche emesse da T nell’istante t = 0
r
raggiungeranno il ricevitore R nell’istante t 1 = 0 .
c
u
T
T’
u∆ t
θ
r0
R
T
u
θ
r’
H
r0
R
t = ∆t
t=0
Nell’istante successivo t = ∆t, la sorgente T si é spostata nella nuova
posizione T’ e l’onda emessa da T’ in quell’istante raggiungerà il
ricevitore nell’istante t2:
r'
t2 = t1 +
c
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
20
u
T
T’
u∆ t
θ
R
r0
t=0
r'
r'
t2 = t1 + = ∆t + = ∆t +
c
c
(
T
c
r’
H
θ
1
HR 2 + T ' H 2 2
)
u
r0
R
t = ∆t
=
1
1⎡
2
= ∆t + ( r0 − ( u∆t ) cos θ ) + ( u∆t )2 sin 2 θ ⎤ 2
⎥⎦
c ⎢⎣
(
)
1
1 ⎡⎛ 2
⎤
= ∆t + ⎢⎜ r − 2r0 ( u∆t ) cos θ + ( u∆t )2 cos 2 θ ⎞⎟ + ( u∆t )2 sin 2 θ ⎥ 2
c ⎣⎝ 0
⎠
⎦
1
1
= ∆t + ⎡ r 2 − 2r0 ( u∆t ) cos θ + ( u∆t )2 ⎤ 2
⎥⎦
c ⎣⎢ 0
(
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
)
21
Se TT ' = (u∆t )2 << r02
l’equazione precedente diventa:
⎞
r0 ⎛ u ∆t
t2 ≅ ∆t + ⎜1 −
cos θ ⎟ .
c⎝
r0
⎠
Quindi il ritardo temporale in R pari a ∆t’, che corrisponde al ∆t in
T é:
⎞ r0
r0 ⎛ u∆t
⎛ u
⎞
∆t'=t 2 -t1 =∆t+ ⎜1cosθ ⎟ - =∆t ⎜1- cosθ ⎟ ,
c ⎝ r0
⎝ c
⎠
⎠ c
che non é uguale al ∆t . Se ∆t rappresenta un periodo della
sorgente armonica nel tempo, cioè ∆t =1/f, allora la frequenza
dell’onda ricevuta da R per la condizione più comune (u/c)2 << 1
é:
1
f
⎛ u
⎞
≅ f ⎜1 + cos θ ⎟
=
f '=
∆t ' ⎛ u
⎞
⎝ c
⎠
1
cos
θ
−
⎟
⎜
⎝
M. Usai
c
⎠
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
22
Questa é una formula approssimata che non é valida quando θ é
prossimo a π/2, e in base a questa relazione si può dire che:
f '=
1
f
≅
=
∆t ' ⎛ u
⎞
⎜1 − cos θ ⎟
⎠
⎝ c
⎛ u
⎞
f ⎜1 + cos θ ⎟
⎝ c
⎠
La frequenza in ricezione é maggiore della frequenza di trasmissione
f’ > f quando T si muove avvicinandosi a R
(max incremento di f si ha per θ = 0), mentre
per θ = 0
⎛ u
⎞
cos θ = 1 → f ' ≅ f ⎜1 + cos θ ⎟ =
⎠
⎝ c
⎛ u⎞
f ⎜1 + ⎟ → f ' > f
⎝ c⎠
• la frequenza in ricezione é minore della frequenza di trasmissione
f’ < f quando T si muove allontanandosi da R
(max decremento di f si ha per θ = π)
per θ = π
M. Usai
cos θ = −1 →
⎛ u
⎞
f ' ≅ f ⎜1 + cos θ ⎟ =
⎠
⎝ c
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
⎛ u⎞
f ⎜1 − ⎟ → f ' < f
⎝ c⎠
23
Risultati simili si ottengono se R si muove e T é fissa.
L’effetto Doppler si verifica ogni volta che esiste movimento
relativo tra un ricevitore e un emettitore.
L’effetto Doppler é alla base del funzionamento del radar
Doppler usato dalla polizia per valutare la velocità di un
veicolo.
La variazione di frequenza dell’onda di ricezione riflessa dal
movimento del veicolo è proporzionale alla velocità del
veicolo e può essere misurata e visualizzata nell’unità di
misura stabilita.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
24
L’effetto Doppler è anche la causa, in astronomia, della
cosiddetta red shift (variazione rossa) dello spettro della luce
emessa da una stella distante che si allontana.
Quando la stella si allontana ad alta velocità rispetto ad un
osservatore sulla terra, la frequenza ricevuta trasla verso la bassa
frequenza (rossa) dello spettro (si verifica un allungamento della
lunghezza d’onda).
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
25
Onde elettromagnetiche trasversali
Un’onda piana uniforme caratterizzata da E = a x E x che si propaga
nella direzione + z è associato a un campo magnetico H = a y H y .
Quindi E e H sono perpendicolari uno con l’altro ed entrambi sono
trasversali alla direzione di propagazione.
Questo è un caso particolare di onda trasversale elettromagnetica
(transverse electromagnetic wave: TEM wave).
Le grandezze di campo vettoriali sono funzioni della sola distanza z e
quindi variano lungo un singolo asse di coordinate.
Si considera ora la propagazione di un’onda piana uniforme lungo
una direzione arbitraria, che non coincide necessariamente con un
asse delle coordinate.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
26
L’intensità del fasore campo elettrico per un’onda piana uniforme
che si propaga nella direzione +z è:
E ( z ) = E 0 e− jk z z
dove E 0 è un vettore costante.
L’espressione più generale per un’onda che si propaga in una
direzione generica sarà:
− jk y y − jk z z
jk
x
−
x
E ( x, y , z ) = E o e
e
e
Si dimostra facilmente per sostituzione diretta che questa
espressione soddisfa l’equazione omogenea di Helmholtz e che:
k x2 + k 2y + k z2 = ω 2 µ ε
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
27
Definendo un vettore numero d’onda come:
k = a x k x + a y k y + a z kz = k a n
e un vettore radiale dall’origine:
R = ax x + a y y + azz
La relazione precedente può essere scritta in forma compatta:
E( R ) = E 0 e
− jk R
= E 0e
− j an ⋅R
⎡V ⎤
⎣⎢ m ⎥⎦
con a n versore nella direzione di propagazione.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
28
Per la relazione: k = a x k x + a y k y + a z k z = k a n
kx = k ⋅ a x = kan ⋅ a x
k y = k ⋅ a y = kan ⋅ a y
kz = k ⋅ a z = k a n ⋅ a z
per cui: a n ⋅ R = length OP è l’equazione di un piano normale ad
a n , direzione di propagazione.
Piano con fase costante
x
R
0
an
P
y
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
z
29
Se un’onda si propaga nella direzione z, nel piano z = costante il
− jkz
campo E ( z ) = E 0 e
ha fase costante e ampiezza uniforme.
Analogamente si dimostra che l’onda che si propaga in una direzione
generica definita dalla relazione: E( R ) = E 0 e − j k ⋅ R = E 0 e − j a n ⋅ R
ha fase costante e ampiezza uniforme nel piano a n ⋅ R = cos tan te
Infatti in una regione dello spazio priva di cariche, ∇ ⋅ E = 0
per cui ∇ ⋅ (E( R )) = ∇ ⋅ E 0 ∇ ⋅ e − j a n ⋅ R = E 0 ∇ ⋅ e − j a n ⋅ R = 0 , essendo
E 0 un vettore costante.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
30
Ma
∇⋅e
− j an ⋅R
∂ ⎞ − (k x x + k y y + k z z )
∂
∂
⎛
=
+ a x ⎟e
= ⎜ax
+ ax
∂x
∂x ⎠
⎝ ∂x
= − j (a x k x + a y k y + a z k z )e
− (k x x + k y y + k z z )
=
= − jk a n e − jk a n ⋅ R ,
per cui l’equazione E 0 ∇ ⋅ e − j a n ⋅ R = 0 diventa :
− jk (E 0 ⋅ a n )e − jk a n ⋅ R = 0
⇒
E0 ⋅ an = 0
ciò implica che il campo E 0 sia trasversale alla direzione di
propagazione delle onde.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
31
Il campo magnetico H ( R ) associato al campo elettrico:
E( R ) = E 0 e − j a n ⋅ R
può essere ottenuto dalla equazione di Maxwell: ∇ × E = − jωµ H
1
H (R ) = −
∇ × E (R )
jωµ
1
1
H (R ) =
a n × E ( R ) = ( a n × E 0 ) e - jk a n ⋅ R
o
η
ωµ
µ
=
dove: η =
k
ε
l’impedenza d’onda.
M. Usai
η
[Ω ]
⎡ A⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
è l’impedenza intrinseca del mezzo o
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
32
Dalla espressione trovata per il campo magnetico:
H (R ) =
1
η
a n × E (R ) =
1
η
(a
- jk a n ⋅ R
n × E0 )e
⎡ A⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
appare chiaramente come un’onda piana uniforme che si propaga in
una direzione arbitraria an sia un’onda trasversale elettromagnetica
TEM con il campo elettrico E e il campo magnetico H
perpendicolari tra di loro ed entrambi normali alla direzione di
propagazione dell’onda, ossia la direzione del versore a n .
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
33
Analogamente assumendo il campo magnetico: H ( R ) = H 0 e − j a n ⋅ R
in base alla equazione di Maxwell; ∇ × H = jωε E si ottiene:
E (R ) =
1
jωε
∇ × H (R ) =
E (R ) = η a n × H (R )
o
1
jωε
(- jk ) a n × H ( R )
⎡V ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
⎡V ⎤
⎣⎢ m ⎥⎦
Dalle quali sono deducibili le stesse considerazioni fatte in base alle
espressioni del campo magnetico H ( R ).
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
34
Polarizzazione delle onde piane
Se si considerano 2 onde piane con la stessa direzione di
propagazione e si analizza la sovrapposizione dei loro effetti,
l’orientazione dei vettori di campo risultante, viene indicata
come polarizzazione.
Lo studio della polarizzazione indica il metodo per ottenere in
un punto dello spazio, interessato dalle onde, orientazioni
diverse dei vettori di campo E e H , agendo sulle specifiche
(o caratteristiche) delle singole onde piane.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
35
Polarizzazione delle onde piane
La polarizzazione di un’onda piana uniforme descrive come
variano l’ampiezza e la fase del vettore intensità campo
elettrico E in un dato punto dello spazio, al variare del
tempo.
Essa indica come il campo elettrico E e quindi il campo
magnetico H oscilla durante la propagazione dell’onda.
Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare,
circolare ed ellittica in base al fatto che l’estremità del vettore
campo elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la
trasmissione, si muova su una retta, su un cerchio o su
un’ellisse.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
36
Se il vettore E dell’onda piana è fissato nella direzione x:
E = a x E x dove Ex può essere positivo o negativo, l’onda è
detta polarizzata linearmente nella direzione x.
Una descrizione separata del campo magnetico H non è
necessaria, poiché la direzione di H è legata a quella del campo
elettrico E .
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
37
In diversi casi
la direzione di E dell’onda piana in un dato punto varia nel
tempo e il campo si può considerare come la sovrapposizione
di due onde lineari:
1. una polarizzata nella direzione x di ampiezza E10 e
2. l’altra polarizzata nella direzione y e ritardata di 90°
(o π/2 rad) nella fase temporale di ampiezza E20.
La notazione fasoriale sarà:
E ( z ) = a x E1 ( z ) + a y E2 ( z ) = a x E10 e − jkz − a y jE20 e − jkz
dove E10 e E20 , che indicano le ampiezze delle due onde
polarizzate linearmente, sono numeri reali.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
38
E ( z ) = a x E1 ( z ) + a y E2 ( z ) = a x E10 e − jkz − a y jE20 e − jkz
L’espressione istantanea di E è :
E ( z , t ) = Re{ [a x E 1 ( z ) + a y E 2 ( z )] e jωt } =
E
π
= a x E 10 cos( ωt − kz ) + a y E 20 cos( ωt − kz − )
2
Per studiare la variazione di direzione di E in un punto dato al
variare di t , è conveniente considerare il punto per il quale z = 0:
E (t ) = a x E1 (0, t ) + a y E2 (0, t ) = a x E10 cos ωt + a y E20 sin ωt
come ωt varia da 0 a 2 π, l’estremità del vettore E ( 0 , t ) percorre un
luogo ellittico in senso antiorario.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
39
Infatti analiticamente si ha:
E 1 (0 , t )
cos ωt =
e
E 10
⎡ E 1 (0 , t )⎤
E 2 (0 , t )
2
= 1 − cos ωt = 1 − ⎢
sinωt =
⎥
E 20
E
⎣
⎦
10
2
che porta alla seguente equazione di una ellisse:
⎡ E 2 (0 , t ) ⎤ ⎡ E 1 (0 , t ) ⎤
⎢ E
⎥ +⎢ E
⎥ =1
⎦ ⎣
⎦
⎣
20
10
2
M. Usai
2
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
40
Quindi il campo elettrico E , ottenuto come la somma di due
onde polarizzate sia nello spazio che nel tempo, è
• polarizzato ellitticamente se E20 ≠ E10 e
• polarizzato circolarmente se E20 = E10 .
Quando E20 = E10 l’angolo istantaneo che E forma con l’asse x
per z = 0 è:
y
−1 E2 (0, t )
α = tan
= ωt ,
E1 (0, t )
ossia E ruota con velocità
angolare uniforme ω in
senso antiorario.
M. Usai
E20 ω
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
0
E( 0 ,t )
α
E10
x
41
Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di E , il
pollice indica la direzione della propagazione dell’onda.
Questa è un’onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa.
Se E2(z) è sfasata nel tempo di 90° in anticipo rispetto a E1(z):
E( z ) = a x E10 e − jkz + a y jE 20 e − jkz
e
E( 0 , t ) = a x E10 cos ωt − a y jE 20 sin ωt
anche in questo caso E risulta ellitticamente polarizzato e se
E20 = E10 , ruota in senso orario con velocità angolare -ω.
Questa è un’onda polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
42
Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa
(direzione della propagazione entrante nel foglio)
•
×
Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa
(direzione della propagazione uscente nel foglio)
Agendo sullo sfasamento di E2 rispetto a E1 si può invertire il
senso di propagazione dell’onda.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
43
Se E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel
tempo, la loro somma E sarà polarizzata linearmente lungo una
−1 ⎛ E 20 ⎞
⎟⎟ con l’asse x e
linea che forma un angolo θ = tan ⎜⎜
⎝ E10 ⎠
l’espressione istantanea di E per z = 0 è:
E ( 0 , t ) = (a x E 10 + a y E 20 )cos ωt
L’estremità di E ( 0 , t ) sarà nel
punto P1 quando ωt = 0.
La sua ampiezza decrescerà verso
zero come ωt aumenta verso π/2.
Quindi E ( 0 , t ) inizia ad aumentare
di nuovo, in direzione opposta
verso il punto P2 dove ωt = π.
M. Usai
y
E20
0
P1
−1 ⎛ E 20
⎞
⎟⎟
⎜
θ = tan ⎜
⎝ E10 ⎠
E10
x
P2
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
44
Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile
ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ
qualsiasi rispetto all’asse delle x, essendo:
⎞
⎟⎟
θ = tan ⎜⎜
⎝ E10 ⎠
−1 ⎛ E 20
Nel caso generale E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma
hanno ampiezza diversa E20 ≠ E10 e possono avere una differenza di
fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di π/2.
La loro somma E sarà:
•polarizzata ellitticamente e
•gli assi principali dell’ellisse di polarizzazione non coincideranno
con gli assi delle coordinate.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
45
Si noti che le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di
trasmissione AM dalle loro torri di antenne sono linearmente
polarizzate con il campo E perpendicolare al suolo.
Per la massima ricezione l’antenna ricevente dovrà essere parallela
al campo E che è verticale alla direzione di propagazione.
I segnali televisivi al contrario, sono polarizzati linearmente nella
direzione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle
antenne riceventi sui tetti sono orizzontali.
Le onde FM irradiate da stazioni radio sono generalmente
polarizzate circolarmente; quindi l’orientazione di una antenna
ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel piano normale
alla direzione del segnale.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
46
Onde piane nei mezzi dissipativi
In un mezzo dissipativo privo di sorgenti l’equazione del vettore
omogeneo di Helmholz da risolvere è:
2
2
∇ E+k E =0
dove il numero d’onda: k c = ω µε c = ω µ (ε '− jε ")
σ
" ⎡ F⎤
è un numero complesso, essendo ε c = ε -j
= ε '− jε ⎢ ⎥
ω
⎣m⎦
Le onde piane in un mezzo dissipativo si studieranno in maniera
analoga alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite
sostituendo a k → kc definendo una costante di propagazione γ tale
che:γ = jk c = jω µε c m -1 .
[ ]
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
47
Poichè γ é un numero complesso si può scrivere:
1
1
σ ⎞2
ε"⎞2
⎛
⎛
γ = α + jβ = jω µε c = jω µε ⎜1 +
⎟ = jω µε '⎜ 1 − j ⎟
ε'⎠
jωε ⎠
⎝
⎝
γ = jk c = jω µε c ; γ 2 = − kc 2 → kc 2 = −γ 2
2
l’equazione di Helmholtz diventa: ∇ E − γ 2 E = 0
e la soluzione é un’onda piana uniforme che si propaga nella
direzione z, nella ipotesi che l’onda sia linearmente polarizzata
nella direzione x:
E = a x E x = a x E0 e −γz = a x E0 e −αz e − jβz
con:
e − αz e α fattore e costante di attenuazione in [Np/m]
e − jβz e β fattore e costante di fase in [rad/m]
α e β esprimono l’attenuazione in ampiezza e
lo sfasamento dell’onda per un metro (1 m) di propagazione.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
48
• Il Neper è utilizzato come unità di misura per esprimere un
rapporto tra due grandezze dello stesso tipo, per cui una
grandezza espressa in Neper:
⎛ x1 ⎞
Np = ln ⎜
⎟ =ln x1 -ln x 2
⎝ x2 ⎠
20
il valore corrispondente in decibel: 1Np =
dB = 8.686 dB
ln10
• Il decibel esprime il rapporto tra due livelli, di cui uno (quello a
denominatore) è assunto come riferimento:
⎛ x1 ⎞
dB= 10 log10 ⎜
⎟ per le potenze
⎝ x2 ⎠
2
⎛ x1 ⎞
⎛ x1 ⎞
dB= 10 log10 ⎜
⎟ =20 log10 ⎜
⎟ per le tensioni e le correnti
⎝ x2 ⎠
⎝ x2 ⎠
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
49
l’attenuazione in ampiezza e lo sfasamento dell’onda α e β
dipendono dalla pulsazione ω e dai parametri costitutivi ε, µ e σ
e possono essere espressi in funzione di questi.
In particolare per i mezzi:
• dielettrici con basse perdite
• buoni conduttori
• gas ionizzati
si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide
per molte applicazioni pratiche.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
50
Dielettrici a basse perdite
ωε " µ
α≅
2 ε'
⎡ Np ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
⎡ 1 ⎛ ε " ⎞2 ⎤
β ≅ ω µε ' ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ 8 ⎝ ε ' ⎠ ⎥⎦
µ⎛
ε" ⎞
ηc ≅
⎜1 + j
⎟
2ε ' ⎠
ε '⎝
1 ⎡ 1 ⎛ ε"⎞
ω
up = ≅
⎢1 − ⎜ ⎟
β
µε ' ⎢⎣ 8 ⎝ ε ' ⎠
M. Usai
fattore di attenuazione
⎡ rad ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
fattore di fase
[Ω]
impedenza intrinseca
2⎤
⎥
⎥⎦
⎡m⎤
⎢⎣ s ⎥⎦
velocità di fase
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
51
Buoni conduttori
⎡ Np ⎤
α = β = πfµσ
⎢⎣ m ⎥⎦
fattore di attenuazione e fattore di fase variabili con f e σ
µ
ηc =
≅
εc
jωµ
α
= (1 + j )
σ
σ
[Ω]
impedenza intrinseca con fase di 45° * * *
2ω
ω
up = ≅
β
µσ
⎡m⎤
⎢⎣ s ⎥⎦
velocità di fase proporzionali a f e
***
1
σ
il campo magnetico é traslato di 45° rispetto a quello elettrico
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
52
Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration:
δ=
λ
1
1
=
=
α
πfµσ 2 π
[m ]
essa é la distanza lungo la quale l’ampiezza di un onda piana
viaggiante diminuisce di un fattore pari a e-1 o di 0.3679.
Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano
in un mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto
rapidamente, essendo sia f che σ valori molto grandi.
In particolare alle frequenze delle microonde la skin depth di
penetrazione di un buon conduttore é così piccola, che i campi e
le correnti possono essere considerati confinati in uno strato
molto sottile della superficie del conduttore.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
53
skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori
confrontata con quella dell’acqua
Materiale
σ [S/m]
f = 60Hz
1 MHz
argento
rame
oro
alluminio
ferro
6.17 107
5.80 107
4.10 107
3.54 107
1.00 107
8.27 [mm]
8.53
10.14
10.92
0.65
0.064 [mm]
0.066
0.079
0.084
0.005
32 [m]
0 .25 [m]
acqua di mare
M. Usai
4
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
1GHz
0.0020 [mm]
0.0021
0.0025
0.0027
0.00016
54
Gas ionizzati
Al di sopra della atmosfera terrestre, approssimativamente a
una quota compresa tra 50 e 500 km di altezza, esistono strati
di gas ionizzati: la ionosfera.
Essa é costituita di elettroni liberi e ioni positivi che sono
prodotti quando la radiazione ultravioletta proveniente dal sole
é assorbita dagli atomi e dalle molecole della parte superiore
della atmosfera.
Le particelle cariche tendono ad essere attratte dal campo
magnetico terrestre.
L’altezza e le caratteristiche degli strati ionizzati dipendono
sia dalla natura della radiazione solare che dalla composizione
della atmosfera. Essi variano con il ciclo di sunspot, la
stagione e l’ora del giorno in modo molto complicato.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
55
La densità degli elettroni e degli ioni nei singoli strati ionizzati
sono essenzialmente uguali.
I gas ionizzati con uguale densità di elettroni e ioni sono chiamati
plasmi.
La ionosfera gioca un ruolo importante nella propagazione delle
onde elettromagnetiche e influisce sulla telecomunicazione.
Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono
più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche che
passano attraverso la ionosfera.
Le nostre analisi saranno svolte con le seguenti ipotesi :
• movimento degli ioni trascurabile,
• ionosfera costituita da gas di elettroni liberi e
• trascurando le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le molecole
del gas.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
56
Su un elettrone di carica -e e massa m in un campo elettrico
armonico nel tempo E nella direzione x con frequenza angolare ω,
si verifica una forza –eE (F=qE), che lo dispone a distanza x da
uno ione positivo in modo tale che (F=ma2):
d2 x
− e E = m 2 = mω 2 x
dt
oppure
x=
e
mω
2
E
dove E e x sono fasori.
Tale disposizione fa nascere un momento di dipolo elettrico:
p = −e x
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
57
Se ci sono N elettroni per unita di volume si ha una densità di
volume del momento di dipolo elettrico o vettore di
polarizzazione pari a:
Ne 2
P= Np=−
E
2
mω
nella precedente equazione noi abbiamo implicitamente
trascurato l’ effetto mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli
elettroni sugl’altri.
In base alle leggi dell’elettrostatica si ha:
⎛
⎛
Ne 2 ⎞
ω2p ⎞
⎟⎟ E = ε 0 ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ E
D = ε 0 E + P = ε 0 ⎜⎜ 1 −
2
mω ε 0 ⎠
ω ⎠
⎝
⎝
con ω p =
M. Usai
N e2
m ε0
⎡ rad ⎤
⎢⎣ s ⎥⎦ frequenza angolare del plasma
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
58
La corrispondente frequenza del plasma è:
ωp
1 N e2
=
fp =
[ Hz ]
2π 2π m ε 0
quindi la permettività equivalente della ionosfera o plasma è:
⎛
⎛
ω 2p ⎞
f p2 ⎞ ⎡ F ⎤
ε p = ε 0 ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ = ε 0 ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ ⎢ ⎥
ω ⎠
f ⎠ ⎣m⎦
⎝
⎝
dalla quale si ottiene la costante di propagazione:
γ = jω µε 0
e l’impedenza intrinseca: η p =
M. Usai
⎛ fp ⎞
1−⎜ ⎟
⎝ f ⎠
η0
⎛ fp ⎞
1−⎜ ⎟
⎝ f ⎠
2
2
dove η0 =
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
µ0
= 120π [Ω ]
ε0
59
L’espressione della permettività equivalente descrive il fenomeno
peculiare del suo annullamento come f tende a fp.
Quando la permettività diventa nulla, lo spostamento elettrico D
(che dipende solo dalle cariche libere è nullo, anche quando
l’intensità del campo elettrico E (che dipende sia dalle cariche
libere che dalla polarizzazione) non lo è.
In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico
oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere, ottenendo
una cosi detta oscillazione di plasma.
Quando f < fp , γ diventa puramente reale, indicando un
attenuazione senza propagazione; contemporaneamente ηp diventa
puramente immaginario indicando una carico reattivo senza
trasmissione di potenza.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
60
Perciò fp é anche indicata come frequenza di taglio.
Quando f > fp , γ é puramente immaginario, e le onde
elettromagnetiche si propagano attenuate nel plasma (nella ipotesi
di perdite di collisione trascurabili).
Se si sostituiscono i valori di e, m e ε0 nella espressione della fp, si
ottiene una formula molto semplice per la frequenza di taglio del
plasma:
ω p 1 N e2
=
≅ 9 N [ Hz ]
fp =
2π 2π m ε 0
La densità elettronica della ionosfera (N elettroni per unita di
volume ) varia da 1010/m3 nello strato più basso a 1012/m3 nello
strato più alto. Per cui fp varia da 0.9 a 9MHz.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
61
Quindi per la comunicazione con un satellite o una stazione spaziale
oltre la ionosfera si devono usare frequenze superiori a 9 MHz per
assicurare la penetrazione delle onde nello strato con N più elevato
per qualunque angolo di incidenza.
• I segnali con frequenze minori di 0.9 MHz non possono penetrare
nello strato più basso della ionosfera, ma possono propagarsi molto
lontano intorno alla terra per via di riflessioni multiple sul contorno
della ionosfera e sulla superficie della terra.
• I segnali con frequenze tra 0,9 e 9 MHz penetreranno parzialmente
negli strati più bassi della ionosfera ma saranno rinviati indietro dove
N é più grande.
La situazione reale é più complessa per l’inesistenza di strati
caratterizzati da densità elettronica costante e dalla presenza del
campo magnetico terrestre, che agiste differentemente da punto a
punto della spazio.
M. Usai
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6c
62