Conservazione e dissipazione dell`energia meccanica

Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
Conservazione e dissipazione dell'energia meccanica
Gli esperimenti che seguono sono finalizzati alla costruzione delle equazioni dell’energia cinetica,
dell’energia potenziale di gravità e dell’energia potenziale elastica. Già dalla prima attività gli
studenti dovrebbero essere stati coinvolti nella ricerca di relazioni matematiche che diventano
plausibili in esperimenti nei quali è richiesto, anche se le espressioni delle tre energie sono già note,
di ricostruire il significato delle definizioni operative che sono proposte.
Energia potenziale di gravità ed energia cinetica
Gli studenti sono invitati ad analizzare diversi moti di caduta e di risalita, in una e due dimensioni
(moto di caduta e risalita lungo la verticale, lungo guide inclinate, lungo profili curvi, su tavole
inclinate, ecc.) con l'obiettivo di "costruire" espressioni (delle due energie) attraverso relazioni tra
esse.
L'attività di analisi e di misura si sviluppa guidando gli studenti nel riconoscere la conservazione sia
durante il moto (istante per istante e/o per ciascuna posizione assunta dall'oggetto in moto) sia
riferendosi ad intervalli di tempo sia a differenze di quote. E la correlazione tra i due modi di
analizzare si avvale della possibilità di usare in modo integrato cronometri, aste graduate, sistemi
per la registrazione del moto (trasduzione con sensori in linea, telecamere, foto stroboscopiche
registrazioni con carta metallizzata, ecc.) e sistemi di simulazione e animazione (Excel, Interactive
Physics, ecc.).
Possibili esperimenti da realizzare in grande gruppo:
Caduta libera di una sfera (di acciaio)
L'esperienza può essere realizzata in diversi modi. Ad esempio disponendo di un sistema che
permetta di raccogliere in modo automatico distanze percorse e tempi. In diverse scuole sono
disponibili apparati per lo studio del moto uniformemente accelerato costituiti da un sistema per il
rilascio della sferetta (ad esempio una elettrocalamita), una serie di traguardi a infrarossi e un
cronometro digitale. Lavorando con sfere di acciaio la resistenza dell'aria è trascurabile e si
ottengono risultati anche precisi.
In generale questa esperienza è descritta (in configurazioni diverse per la registrazione del moto) in
tutti i testi dal punto di vista cinematico, è poi ripreso nella parte di dinamica (F=ma=mg) e
scarsamente analizzato dal punto di vista energetico. La semplicità dell'esperimento e le conoscenze
sul moto uniformemente accelerato permettono di costruire in laboratorio i passaggi fondamentali
del bilancio energetico
Conservazione dell’energia nella caduta libera
Si consiglia di lavorare, nell'interpretare il fenomeno e nell'analizzare i dati, non separando gli
aspetti cinematici e dinamici da quelli energetici. Partendo dal moto unidimensionale e facendo leva
su conoscenze in parte acquisite si ha così la possibilità di allargare successivamente l'analisi a moti
in più dimensioni e/o su traiettorie prestabilite facendo cogliere i vantaggi derivanti da analisi basate
su bilanci energetici quando non è semplice costruire e integrare le equazioni del moto. Sono
ritenuti fondamentali i seguenti obiettivi (che sono anche riferiti ad una possibile che sequenza di
attività):
-
riconoscere che v e h variano (al crescere di v diminuisce h) e che quindi le singole energie
(cinetica e potenziale) non possono conservarsi;
Progetto LES
-
-
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apr.2002
riflettere sul fatto che la massa e il peso non variano durante la caduta e riconoscerne le
conseguenze;
riflettere sui modi per rendere omogenee grandezze nelle quali compaiono v e h;
costruire/analizzare, anche in analogia con altre conservazioni, la struttura formale della
compensazione additiva (al crescere dell'energia potenziale diminuisce quella cinetica in modo
che la loro somma resti costante) e riconoscere che ciò implica una omogeneità delle grandezze
che compaiono nelle equazioni;
riflettere sulla struttura algebrica di compensazioni che implicano la conservazione di grandezze
costruite con prodotti di altre grandezze (momenti per l'equilibrio con leve, ecc.);
riconoscere il ruolo e le entità delle forze dissipative (in questo caso resistenza del mezzo);
saper calcolare istante per istante le grandezze che permettono di definire e costruire le energie
in gioco e riconoscere che la conservazione avviene con continuità ma che può anche essere
studiata in intervalli di tempo e di posizione;
saper costruire e interpretare grafici di h in funzione di v e in funzione di v2 ( e viceversa)
ricercando e analizzando il significato del rapporto incrementale;
saper costruire e interpretare grafici delle due energie (cinetica e potenziale) in funzione
dell'altezza h;
correlare i precedenti grafici (ed equazioni) rispetto all'altezza con quelli in funzione del tempo;
saper costruire, interpretare, correlare (con excel) grafici per punti (discreti) con grafici di
funzioni, grafici cartesiani e grafici a barre;
saper analizzare dati sperimentali raccolti "a mano" e in modo automatico con apparati di
registrazione;
saper lavorare con ambienti di modellizzazione (Interactive Physics) e con applets in rete
adoperando le simulazioni e le animazioni sia per una esplorazione e per un ampliamento della
fenomenologia sia per validare ipotesi e "costruire" teorie;
saper correlare esperimenti e simulazioni-animazioni.
Esempio di simulazione
Nell’esempio che segue un oggetto di massa m=1kg è inizialmente fermo alla quota h=5m.
All’istante t=0, l’oggetto (avente velocità iniziale nulla), è libero di cadere e, in assenza di forze di
attrito, si mette in moto con accelerazione costante g=9,81 m/s2. I ragazzi conoscono le equazioni
del moto uniformemente accelerato e possono così costruire le prime tre colonne della tabella. La
costruzione delle altre colonne dovrebbe avvenire, in modo coordinato e parzialmente guidato,
facendo riferimento agli obiettivi precedentemente indicati e condividendo con la classe la ricerca
di una grandezza (legata all’altezza e alla velocità) che si conserva durante il moto. Questa attività
di simulazione con excel può essere integrata alle attività di misura e alle attività con Interactive
Physics e con applets e ha come obiettivo principale la costruzione di relazioni e di grafici. Se
opportunamente gestita (facendo variare le condizioni iniziali, il tempo finale, ecc. e costruendo
colonne con grandezze derivate da h e v “suggerite” dai ragazzi) questa attività può essere di aiuto
per chiarire diversi aspetti fondamentali.
t
(s)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
h
(m)
5,000
4,951
4,804
4,559
4,215
3,774
v
m/s
0
1,0
2,0
2,9
3,9
4,9
v^2
(m/s)^2
0,0
1,0
3,8
8,7
15,4
24,1
mgh
(J)
49,05
48,57
47,13
44,72
41,35
37,02
0,5*mv^
2
(J)
0,00
0,48
1,92
4,33
7,70
12,03
En.tot
∆v^2/∆h
(J)
49,05
49,05
49,05
49,05
49,05
49,05
(m/s^2)
-19,62
-19,62
-19,62
-19,62
-19,62
Progetto LES
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
3,234
2,597
1,861
1,027
0,095
Sceneggiatura Energia 2 ver.
5,9
6,9
7,8
8,8
9,8
34,6
47,2
61,6
78,0
96,2
31,73
25,47
18,25
10,07
0,93
apr.2002
17,32
23,58
30,80
38,98
48,12
49,05
49,05
49,05
49,05
49,05
-19,62
-19,62
-19,62
-19,62
-19,62
10
9
8
100
7
6
5
4
3
70
2
1
0
0,0
90
80
v2 (m/s)2
v (m/s)
Tabella excel della simulazione
Tabella excel riferita al moto di caduta libera (con accelerazione costante, quota iniziale pari a 5m
velocità iniziale nulla) di un corpo di massa 1kg in assenza di resistenza del mezzo. L'accelerazione
g è pari a 9,81 m/s2. Si tratta di dati di una simulazione e nessuna attenzione è stata posta nel
determinare le cifre significative in relazione agli errori. Il foglio di lavoro dovrebbe essere scritto
in modo generale (ad esempio indicando in apposite celle i valori iniziali, la massa, ecc. e facendo
uso di riferimenti assoluti) così da consentire studi al variare delle condizioni sperimentali.
Costruendo una analoga tabella con dati sperimentali (in questo caso l’altezza iniziale sarà
probabilmente minore e la massa sarà quella di una sferetta di acciaio) si otterranno valori che
potranno essere confrontati con quelli attesi con un accordo che è in relazione all'apparato scelto, al
metodo di misura e alla precisione della misura.
y = -19,62x + 98,1
R2 = 1
60
50
40
30
20
10
0
1,0
2,0
3,0
h (m)
4,0
5,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
h (m)
Grafici della simulazione
Grafico della velocità in funzione della quota (a sinistra) e della velocità al quadrato in funzione
della quota (a destra). Nel riquadro del grafico a destra, con i punti calcolati (in tabella), è
rappresentata la retta dei minimi quadrati. La pendenza negativa della retta è pari al doppio della
accelerazione di gravità. Il valore della pendenza calcolata nel fit coincide con il rapporto
incrementale calcolato nell'ultima colonna della tabella. Il coefficiente di correlazione è (nella
simulazione) pari a 1 (perfetto adattamento). Gli stessi grafici e le stesse elaborazioni possono
essere realizzati, in modo analogo con i dati sperimentali. Nel lavoro in classe si suggerisce di
condividere i risultati ottenuti evitando un uso acritico delle elaborazioni statistiche di excel. Se si
lavora con la retta dei minimi quadrati, ad esempio, diventa importante lavorare con le dimensioni
fisiche dei coefficienti, cogliere il significato dei coefficienti di correlazione, ecc.
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apr.2002
50
50
45
45
40
40
Ep, Ec, Ep+Ec (J)
Ep, Ec, Ec+Ep (J)
Progetto LES
35
30
25
20
15
35
30
2
25
y = -48,118x + 49,05
20
2
R =1
15
10
10
5
5
0
0
0
1
2
3
4
5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t (s)
h (m)
Grafici della simulazione
Energia potenziale e cinetica e loro somma in funzione della quota (a sinistra) e in funzione del
tempo (a destra). Le curve delle due energie sono lineari rispetto alla quota e quadratiche rispetto al
tempo. La somma è costante sia rispetto al tempo sia rispetto alla quota. Nella simulazione si
evidenzia una “perfetta relazione” quadratica di Ep rispetto al tempo (e quindi anche di Ec). La
dipendenza quadratica è immediatamente ricavata dalle equazioni del moto con accelerazione
costante. facilmente ricavabili riferendosi al moto uniformemente accelerato. Gli stessi grafici e le
stesse elaborazioni possono essere realizzati, in modo analogo con i dati sperimentali.
50
45
40
Ep, Ec (J)
35
30
25
20
15
10
5
0
5,00 4,95 4,80 4,56 4,22 3,77 3,23 2,60 1,86 1,03 0,10
h (m)
Grafici della simulazione
1
Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
Grafico a pila dell'energia potenziale (celeste) e cinetica. Il grafico aiuta a comprendere il
significato della compensazione additiva. Al diminuire della quota (in corrispondenza di intervalli
di 0,1 s Ep diminuisce e Ec aumenta in modo che la loro somma sia costante (nel tempo e per ogni
quota). Se si ottengono grafici di questo tipo occorre far riflettere sulla non linearità della scala della
quota, in realtà, le barre sono equispaziate rispetto al tempo e ciò spiega la apparente decrescita
(crescita) non lineare di Ep (Ec) rispetto alla quota.
ATTENZIONE
Nell’esempio sono suggeriti modi per “costruire” le espressioni delle energie (cinetica e
potenziale di gravità) a partire da un programma, condiviso con gli studenti, che mira, dopo
analisi qualitative e correlazioni tra fenomeni anche diversi, a rendere plausibili (e ad
interpretarne il significato) le equazioni del bilancio energetico. Nell’esempio i dati sono
riferiti ad una simulazione con excel. Lavorando, come suggerito, con dati sperimentali,
analizzati ad esempio con Excel, occorre guidare nella modellizzazione facendo cogliere i
legami tra esperimento e modello, e in questo caso, discutendo, non solo sul significato degli
errori sperimentali e sulle elaborazioni ma anche sul fatto che le parti che “mancano” nel
bilancio energetico si ritrovano in altre forme di energia.
Esperimento : Moto di un carrello lungo una guida non rettilinea
grande gruppo
Attività di
L’esperienza consiste nel misurare e correlare velocità e altezza di una carrellino o di una biglia in
moto lungo una guida ondulata.
Il sistema Roller Coaster della Pasco, montato a parete, permette di realizzare piste di diverse
forme sulle quali far correre con basso attrito carrelli di massa variabile. Il sistema è di
grandi dimensioni (in figura il pannello bianco è largo 230cm e alto 60 cm), utilizzando
barriere a infrarossi e cronometri è possibile misurare la velocità del carrello in un punto
della pista e coinvolgere l'intera classe nella ricerca della relazione tra velocità e altezza,
altezza e velocità al quadrato, ecc.
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Sceneggiatura Energia 2 ver.
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Simulazione con Interactive Physics del moto di un carrello in moto, in assenza di attrito,
lungo un percorso prestabilito
Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
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Rimbalzi di una pallina contro il pavimento con il moto della pallina ripreso dal
sonar
L’esperimento è stato precedentemente discusso. Per lo studio con un sistema MBL si veda :
Ottavia Foà, Gabriella Greblo e Anna Rambelli “Moto di una pallina da ping-pong che rimbalza”
Moto di un carrello lungo una guida inclinata con il carrello ripreso dal sonar
L’esperimento, realizzato con un carrello con respingente a molla è descritto nel seguito. Per la
conservazione della somma energia cinetica + potenziale di gravità ci si può riferire al moto di
salita e/o a quello di discesa.
Moto di un pendolo ripreso con un sonar o con traguardo a infrarossi
L’esperimento consiste nel far partire il pendolo da fermo da diverse altezze e nel misurare la
velocità in funzione dell’altezza. Per semplicità l’altezza vale zero quando il pendolo passa per la
posizione di equilibrio. L’esperimento può essere ripetuto lavorando con pendoli di masse e
lunghezze diverse ritrovando, ad esempio, che indipendentemente dalla massa e dall’ampiezza
iniziale, la velocità massima che il pendolo ha quando passa per la posizione di equilibrio è, nei
limiti degli errori sperimentali, uguale a parità di altezza iniziale. Noi abbiamo realizzato
l’esperienza lavorando con pendoli di masse comprese tra 50 e 200 grammi (sfere di piombo da
pesca) e con lunghezze comprese tra 100 e 150 cm registrando il moto con un sonar in linea al
computer
Grafico della distanza in funzione del tempo del moto di un pendolo (una sferetta di piombo
attaccata ad un filo di nylon) registrato con un sonar. Misurando altezza e velocità è possibile
lavorare con la conservazione dell’energia (cinetica e potenziale di gravità). Per costruire la
tabella excel sotto riportata abbiamo misurato, per ciascuno dei moti registrati, l’altezza
iniziale del pendolo (da fermo, vo=0) e la velocità massima (calcolata dal software di
acquisizione) al passaggio del pendolo per la posizione di equilibrio.
h(cm)
m
0,020
0,030
0,040
0,050
v(cm/s)
m/s
0,61
0,76
0,88
0,99
v2
(m/s)2
0,37
0,58
0,77
0,98
gh
(m/s)2
0,20
0,29
0,39
0,49
gh/v2
0,54
0,50
0,51
0,50
Tabella excel
Nella prima colonna è riportata l’altezza iniziale (per diversi pendoli al variare della
lunghezza e quindi della ampiezza iniziale e della massa). Nella seconda colonna sono
riportate le medie aritmetiche di velocità per la posizione di equilibrio di pendoli partiti da
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fermi dalla stessa altezza . Nelle ultime tre colonne valori calcolati che possono aiutare nel
lavoro di modellizzazione
2
v (m/s)
2
1,50
1,00
y = 19,4x
2
R = 0,99
0,50
0,00
0,000
0,020
0,040
0,060
h (m)
Grafico excel
Velocità al quadrato (nel punto di equilibrio) in funzione dell’altezza del punto di partenza da
fermo. Il pendolo è un sistema che dissipa poca energia meccanica e quindi per la
conservazione dell’energia meccanica altezza e velocità al quadrato sono linearmente
correlate così come mostrato dal coefficiente di correlazione lineare. La pendenza della retta
dei minimi quadrati è, nei limiti degli errori, pari a 2g.
Studio con Interactive Physics
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La conservazione dell’energia meccanica per il pendolo semplice può essere studiata con le
animazioni – simulazioni di Interactive Physics che permettono, in attività di piccolo gruppo, di
legare lo studio cinematico e dinamico del pendolo alla trattazione degli aspetti energetici. In figura
le oscillazioni del pendolo sono rappresentate attraverso i grafici temporali dell’energia cinetica e
potenziale di gravità.
Studio con Interactive Physics
Lo stesso pendolo della figura precedente in presenza di resistenza del mezzo.
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Moto parabolico di una sferetta con un lanciatore a molla
Con un lanciatore a molla si possono realizzare moti in una o due dimensioni. Così come per il
carrello a molla la conservazione dell’energia può riguardare l’energia cinetica quella
potenziale di gravità e quella potenziale elastica (o due di esse).
Il lanciatore a molla della Pasco permette di realizzare moti lungo la verticale o in due
dimensioni.
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x (mm)
33
53
74
x2 (mm)
1100
2800
5500
hmax (mm)
535
1287
2381
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hmax/x2 (mm-1)
0,49
0,46
0,43
Tabella Excel
Dati di un esperimento realizzato con una sfera di plastica lanciata lungo la verticale con il
lanciatore a molla (vedi figura in alto a destra). Nella prima colonna la x rappresenta la
compressione della molla. Il rapporto tra la quota massima raggiunta dalla sfera e la
compressione al quadrato non si mantiene costante a causa della massa non trascurabile della
molla-pistone e degli attriti. L’esperimento può essere realizzato prima in modo
semiquantitativo, poi si può analizzare l’apparato per cercare di interpretare la diminuzione
del rapporto hmax/x2 all’aumentare della compressione x.
Studio con Interactive Physics
Simulazione-animazione-modellizzazione con Interactive physics del lancio di una sfera in
assenza di attriti. E’ possibile variare le condizioni iniziali e la massa della sfera. Le energie
(cinetica e potenziale di gravità) sono rappresentate, nel tempo, con barre, con valori
numerici e grafici cartesiani rispetto al tempo.
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apr.2002
Energia cinetica ed energia potenziale elastica
Lancio del carrello con respingente
Un carrello con respingente a molla è inizialmente fermo su un binario orizzontale. La molla è
inizialmente compressa e all’istante t=0 la molla viene liberata e il carrello parte con moto
rettilineo. L’esperienza è ripetuta diverse volte al variare della massa complessiva del carrello (sul
carrello possono essere alloggiate masse aggiuntive) e della compressione iniziale della molla e il
moto del carrello è registrato con un sonar in linea la computer.
Noi abbiamo svolto l’esperienza con il carrello della Pasco e con il sistema MBL della Vernier con
due diverse compressioni della molla e con sette diversi valori della massa complessiva del carrello.
La costante elastica della molla è stata determinata comprimendo la molla con forze note e la massa
del carrello con una bilancia al grammo.
Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
Grafici MBL di distanza, velocità e accelerazione del carrello al variare della
massa
In ciascuna registrazione il carrello parte nell’intervallo di tempo (0;1) s e viene bloccato
nell’intervallo (2;3,5)s. Queste fasi impulsive sono ben evidenziate dai picchi (partenza verso il
basso, e arresto verso il basso) dei grafici delle accelerazioni. La conservazione dell’energia può
essere studiata durante tutta la fase di decompressione della molla analizzando i dati di distanza e
velocità registrati dal software di acquisizione.
m
kg
0,50
0,60
0,75
1,00
1,50
2,13
2,50
v
m/s
0,876
0,799
0,701
0,605
0,503
0,442
0,401
mv
kg m/s
0,438
0,479
0,526
0,605
0,755
0,941
1,00
v2
(m/s)2
0,767
0,638
0,491
0,366
0,253
0,195
0,161
Ecin
J
0,19
0,19
0,18
0,18
0,19
0,21
0,20
Tabella excel con i dati raccolti nel lancio del carrello (∆x=27mm)
La costante elastica della molla del respingente è stata misurata ed è risultata pari a 701 N/m e la
molla è stata ugualmente compressa di 27mm. L’energia potenziale elastica è pari a circa 0,25 J.
Nella prima colonna è riportata la massa complessiva del carrello, nella seconda la velocità del
carrello (alla fine del lancio, vedi grafico in alto della velocità), nella terza la quantità di moto, nella
quarta la velocità al quadrato, nell’ultima l’energia cinetica. Dall’analisi della tabella risulta che
l’energia cinetica è nei limiti degli errori sperimentali costante, mentre la quantità di moto aumenta
all’aumentare della massa (anche se la velocità diminuisce).
0,25
Ecin (J)
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
m (kg)
Grafico Excel dell’energia cinetica in funzione della massa
Rappresentando i dati sperimentali con a barra di errore si evidenzia che l’energia cinetica è nei
limiti deglierrori costante.
Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
0,800
0,700
-0,9533
y = 0,3837x
2
R = 0,9965
v2 (m/s)2
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
m (kg)
Grafico Excel della velocità al quadrato in funzione della massa
La relazione tra le due grandezze è, nei limiti degli errori, di inversa proporzionalità così come
evidenziato dall’equazione della curva di interpolazione dei dati sperimentali.
m
kg
0,50
0,60
0,75
1,00
1,50
2,13
2,50
v
m/s
0,552
0,497
0,442
0,393
0,320
0,272
0,240
mv
kg m/s
0,28
0,30
0,33
0,39
0,48
0,58
0,60
v2
(m/s)2
0,305
0,247
0,195
0,154
0,102
0,074
0,058
Ecin
J
0,08
0,07
0,07
0,08
0,08
0,08
0,07
Tabella excel con i dati raccolti nel lancio del carrello (∆x=17mm)
La costante elastica della molla del respingente è stata misurata ed è risultata pari a 701 N/m e la
molla è stata ugualmente compressa di 17mm. L’energia potenziale elastica è pari a circa 0,10 J.
Nella prima colonna è riportata la massa complessiva del carrello, nella seconda la velocità del
carrello (alla fine del lancio, vedi grafico in alto della velocità), nella terza la quantità di moto, nella
quarta la velocità al quadrato, nell’ultima l’energia cinetica. Dall’analisi della tabella risulta che
l’energia cinetica è nei limiti degli errori sperimentali costante, mentre la quantità di moto aumenta
all’aumentare della massa (anche se la velocità diminuisce).
Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
0,350
0,300
y = 0,1508x
v2 (m/s)2
0,250
-0,9965
2
R = 0,9974
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
m (kg)
Grafico Excel della velocità al quadrato in funzione della massa
La relazione tra le due grandezze è, nei limiti degli errori, di inversa proporzionalità così come
evidenziato dall’equazione della curva di interpolazione dei dati sperimentali.
Commento
L’esperienza può essere organizzata, in analogia, seguendo i suggerimenti dati per la caduta libera
della sferetta di acciaio e cioè guidando i ragazzi nell’integrare esperimenti e attività di
modellizzazione mirate alla costruzione delle equazioni della conservazione. Nei due esempi del
lancio del carrello l’energia cinetica è nei limiti degli errori costante ma sistematicamente minore
dell’energia potenziale elastica. Ciò è da attribuire essenzialmente a:
a) la massa del respingente e della molla non sono trascurabili. Quando il carrello parte in
avanti la molla e il respingente sono espulsi in senso opposto;
b) la presenza di attriti.
In particolare il primo contributo è quello più significativo e ciò può essere evidenziato alloggiando
in modo non stabile le masse aggiuntive sul carrello e mostrando come in questo caso la velocità
alla fine del lancio sia minore.
Carrello in moto lungo una guida inclinata
Esperimento
Attività di grande gruppo
Un carrello con respingente a molla è inizialmente fermo con la molla compressa. Poi la molla
viene istantaneamente liberata ed il carrello risale lungo la guida inclinata. Il carrello si ferma ad
una quota massima, quota che si rileva con una riga metrica.
Prima di iniziare l'esperimento si determina la costante elastica della molla del carrello: la molla si
comprime di un valore
∆x = 9 x 10-3 m; con una forza f= 0.6 kgp.
Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
determinando così , in base alla legge di Hooke, una costante elastica K pari a
K = 653N/m.
Prima di effettuare le misure si eseguono esperienze qualitative al variare dei parametri.
Si osserva la quota massima alla quale arriva il carrello variando la compressione della molla; la
quota è più bassa con una compressione minore.
Si osserva la quota massima alla quale arriva il carrello variando la massa del carrello: la quota
diminuisce all'aumentare della massa.
Si osserva la quota massima alla quale arriva il carrello variando l'inclinazione della guida.
L'osservazione di questa fenomenologia, insieme alla considerazione che alla molla del carrello è
associata una energia potenziale elastica che si trasforma in energia potenziale gravitazionale
quando il carrello si ferma, conduce i ragazzi a riflettere sulle grandezze dalle quali dipende
l'energia potenziale elastica.
Dopo queste considerazioni qualitative, in grande gruppo si svolge l'esperimento.
Viene richiesta la collaborazione di tutta la classe; generalmente l'insegnante libera la molla con un
colpo di martello ed un ragazzo rileva ad occhio, lungo il binario, la posizione nella quale il carrello
si ferma e dopodiché, con la riga metrica, si misura l'altezza .
Nella tabella viene riportata la differenza di altezza, avendo, prima di liberare la molla, misurato
l'altezza alla quale si trova il carrello prima di partire.
Nella tabella seguente sono riportati i risultati che generalmente si ottengono svolgendo
l'esperimento con una classe coinvolta nell'attività.
m (kg)
massa
carrello
0.516 kg
0.100 kg
0.516 kg
x (metri)
massima
compres
sione
molla
0.024
0.024
0.017
kx
massima
forza
elastica
h (metri)
differenza
di altezza
1/2 Kx2
mgh
mgh/((1/2) K⋅ x2)
15.7
15.7
11.1
0.028
0.015
0.015
0.19
0.19
0.09
0.14
0.15
0.07
0.73
0.78
0.77
L'errore sul rapporto, calcolato con la propagazione dell'errore sperimentale, è sulla seconda cifra
decimale e quindi se consideriamo una approssimazione inferiore il rapporto può essere considerato
costante.
Tuttavia il fatto che questo rapporto non sia uguale ad 1, ma inferiore, vuol dire che non tutta
l'energia potenziale elastica si trasforma in potenziale di gravità , quando il carrello si ferma.
Nel bilancio energetico bisognerà tener conto dell'energia "persa" per attrito.
2.2 Esperimento
Con la stessa configurazione dell'esperimento precedente, il carrello, raggiunta la quota massima si
ferma e torna indietro. All'estremità in basso la sua molla urta contro il blocco fisso, la molla si
comprime fino all'arresto del carrello poi si dilata di nuovo ed il carrello riparte di nuovo in salita.
L'esperimento continua fino all'arresto definitivo del carrello. All'estremità in alto è posto un sonar
collegato al computer che permette di studiare il moto del carrello attraverso l'analisi dei grafici
costruiti mentre il fenomeno si svolge.
La figura riporta la configurazione dell'esperimento mediante il quale sono stati realizzati i grafici
riportati successivamente
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Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
Progetto LES
Sceneggiatura Energia 2 ver.
apr.2002
l
d
h1
h
Dopo aver realizzato l'esperimento e registrato i grafici col sonar, in grande gruppo, e quindi in una
condizione di apprendimento collaborativo, si invitano i ragazzi a risalire al moto del carrello lungo
la guida attraverso l'analisi puntuale dei grafici.
Si invitano i ragazzi ad indicare, sui tre grafici ottenuti, gli istanti in cui il carrello si trova
-nell'inversione salita - discesa
-con i più alti valori assoluti della velocità
-con la molla che ha subito il massimo della compressione nell'urto.
Si invitano i ragazzi a fare una valutazione del tempo di durata di un urto del carrello contro il
blocco e di come sia possibile, con i dati dell'esperimento, risalire alla variazione di altezza del
carrello ad ogni arresto in salita.
Dalla figura del piano inclinato, si può notare che vale la seguente proporzione
l : h = d : h1
per cui percorrere in salita un tratto d significa salire di una quota h1 = dh/l.
Si può risalire al valore del tratto d conoscendo la lunghezza l e la distanza della parte posteriore
del carrello dal sonar (che si rileva dai grafici cinematici).
La fase successiva dell'attività riguarda l'analisi puntuale dei dati con il bilancio energetico.
Sinteticamente l’analisi po’ essere così condotta:
• per ciascun tratto di salita e discesa (escludendo la fase dell’urto) è possibile studiare la
conversione tra energia cinetica e potenziale di gravità;
• in ciascun urto è possibile studiare il bilancio comprendente le tre energie (potenziale
elastica e di gravità e cinetica);
• in ciascun tratto di salita e discesa parte dell’energia meccanica viene dissipata a causa di un
attrito che per bassi velocità risulta essere costante;
• l’urto è di tipo anelastico e in ciascun urto il rapporto tra le energie cinetiche è nei limiti
degli errori costante.
L’esperimento da noi realizzato con la guida e il carrello della Pasco (figura in basso) è descritto
commentando i grafici che abbiamo ottenuto.
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Lo schema dell’esperimento. Il carrello parte da fermo in basso, con la molla compressa. Poi
la molla viene liberata e il carrello parte in salita e sale lungo la guida, si ferma, e scende
urtando con il pistone a molla contro il blocco in basso. Nell’urto la molla si contrae, poi si
dilata rilanciando il carrello verso l’alto che raggiunge una quota minore della precedente. Il
fenomeno si ripete alcune volte fino alla totale dissipazione dell’energia meccanica. Il moto è
registrato dal sonar in alto che riprende la parte posteriore del carrello
2.0
Distance (m)
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
10
12
14
16
10
12
14
16
Velocity (m/s)
Time (seconds)
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0
2
4
6
8
Accel (m/s/s)
Time (seconds)
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
2
4
6
8
Time (seconds)
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Grafici MBL del moto del carrello
Grafici temporali della distanza, della velocità e dell’accelerazione. Il carrello è inizialmente
fermo alla distanza di circa 1,9m dal sonar. Nell’intervallo 1,5s<t<2s la molla viene liberata e
il carrello parte in salita avvicinandosi al sonar che è in alto. L’analisi può essere fatta
analizzando prima separatamente gli intervalli di salita-discesa e gli intervalli di urto poi
l’intero moto. In ciascuna intervallo di salita-discesa la legge oraria è rappresentata da una
“quasi parabola” con la concavità verso l’alto, la velocità è approssimativamente una retta
con pendenza positiva, l’accelerazione è approssimativamente una retta orizzontale. Le fasi
impulsive di urti appaiono come picchi volti verso il basso nel grafico dell’accelerazione, come
linee con pendenza negativa nel grafico della velocità, con raccordi tra parabole nel grafico
della distanza.
In riferimento ai grafici precedenti, per il bilancio energetico, misurata l’inclinazione della guida, la
massa del carrello, la costante e la compressione iniziale della molla si procede nel modo seguente:
• si converte la distanza dal sonar in quota (rispetto ad esempio al piano su cui è appoggiata la
guida) per il calcolo dell’energia potenziale di gravità (e dell’energia potenziale elastica se
si vuole fare il bilancio durante l’urto);
• si legge il valore della velocità per il calcolo dell’energia cinetica;
• si correlano a due a due le energie (cinetica e potenziale di gravità, cinetica e potenziale
elastica, potenziale elastica e potenziale di gravità;
• si valuta l’energia cinetica prima e dopo di ciascun urto (e si studia la legge con cui
diminuisce);
• si studia come varia la somma delle tre energie (pari in assenza di attriti e per urti
perfettamente elastici all’energia potenziale elastica iniziale).
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Grafico MBL della legge oraria
Un ingrandimento ed una elaborazione statistica con la prima delle quasi-parabole. Ciascuna
di esse è in realtà una curva formata da due distinte parabole: una parabola di salita e una
parabola di discesa. Ciò si spiega con il fatto che a causa dell’attrito costante l’accelerazione
in salita è maggiore di quella in discesa, la loro semisomma è pari all’accelerazione dovuta
all’attrito mentre la media aritmetica è pari all’accelerazione che si avrebbe in assenza di
attrito. Questo effetto è ben visibile sia nell’analisi dei grafici sia nelle tabelle di velocità e
accelerazione.
Ai fini del bilancio energetico le osservazioni contenute nella precedente didascalia permettono di
valutare il lavoro delle forze di attrito.
16
Chi^2 = 0.00006
R^2
= 0,99999
14
12
y0
A1
t1
altezza (mm)
10
0.39175
14.00779
1.13628
±0.00874
±0.0109
±0.0024
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
numero d'ordine del rimbalzo
Elaborazione statistica con le massime quote raggiunte dal carrello
I cinque dati relativi alla minima distanza dal sonar (vertici delle quasi-parabole della legge
oraria del grafico MBL in alto) convertiti in altezza (quote massime dopo ciascuna partenza
dal basso) in funzione del numero d’ordine del rimbalzo sono ben interpolati da una funzione
di decrescita esponenziale. L’elaborazione realizzata con Microcalc-Origin mostra una quasi
perfetta elaborazione (con il coefficiente di correlazione quasi pari a 1 e il chi quadro quasi
pari a 0).
L’osservazione contenuta nella precedente didascalia mostra che è possibile trattare i rimbalzi del
carrello contro il respingente come quelli della pallina contro il pavimento (vedi sceneggiatura
precedente). In entrambi i casi, con buona approssimazione, negli urti si conserva il rapporto tra le
quantità di moto e quindi tra le velocità e quindi tra le energie cinetiche e quindi tra quelle
potenziali massime di gravità.
Al di là del risultato numerico, la dinamica dei rimbalzi permette di riflettere sulla presenza
dell’energia potenziale elastica negli urti.
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Attività con Interactive Physics
Diverse attività possono essere realizzate con I.P. per confrontare risultati sperimentali e risultati di
simulazioni.
L’esempio che abbiamo realizzato mira ad evidenziare, rispetto all’esperimento appena realizzato, il
diverso comportamento, di un carrello, che pure va su e giù lungo una guida inclinata, ma che è
sempre attaccato ad una molla ( e realizza quindi un oscillatore armonico). Questo esempio può
essere tradotto in un esperimento MBL (con il sonar in basso che vede il carrello andare su e giù) e
può coinvolgere la classe prima o dopo dell’esperimento sull’oscillatore armonico che segue.
Studio e animazione di un carrello attaccato ad una molla che va su e giù lungo una guida
inclinata. In questo caso tutti i grafici temporali di posizione, velocità, accelerazione, energia
cinetica, potenziale elastica e potenziale di gravità sono periodici.
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3. Energia dell’oscillatore armonico
3.1 a) ; 3.1 b) ; 3.1 c) Analisi qualitativa del fenomeno
Elaborazione individuale della
scheda e discussione collettiva
Questa esperienza permette di lavorare con le tre energie (potenziale di gravità, potenziale elastica e
cinetica), in funzione del tempo e della posizione. Nelle ricerche sulle difficoltà di apprendimento e
insegnamento si evidenzia come studenti, in grado di riconoscere le differenti forme d'energia
coinvolte in catene di trasformazioni, incontrino difficoltà nel riconoscere la presenza simultanea
delle differenti forme d'energia in uno stesso sistema. Questa esperienza che integra aspetti
qualitativi e sistemi di studio diversi (MBL, Excel, Interactive Physics) dovrebbe aiutare a supeare
tali difficoltà.
La prima parte di questa fase dell'attività è una discussione con l'intera classe che è volta a portare
gli studenti a riconoscere la presenza contemporanea delle tre forme d'energia.
La discussione è guidata dalle risposte dei ragazzi alle domande sulle schede; infatti, in questa
parte, nella scheda-studente, si chiede ai ragazzi di descrivere le oscillazioni in verticale del sistema
considerando le trasformazioni energetica e coinvolte.Gli studenti in questo compito vengono
aiutati dalla seconda domanda nella quale si suggerisce loro di individuare quali grandezze
subiscono una variazione in questo fenomeno; se le grandezze variano deve presumibilmente
variare il valore dell'energia ad esse collegato. L’osservazione del fenomeno in tempi più lunghi
permette, sia attraverso i grafici, sia dall’osservazione diretta, di discutere sulla dissipazione
(correlata) delle tre energie
3.2a) ; 3.2b) 3.2c) Analisi quantitativa del fenomeno
Attività sperimentale in grande gruppo ed
elaborazione individuale della scheda
Con un sonar interfacciato al computer si ottengono i grafici della legge oraria, della velocità e
dell’accelerazione. Nell’esperienza che abbiamo realizzato la massa m e pari a 1 kg e la costante
elastica K è pari 25 N/m. La visualizzazione di questi grafici offre agli studenti una esplicitazione
grafica della validità istante per istante del principio di conservazione dell'energia in un fenomeno
periodico. L'osservazione dei grafici serve per rinforzare l'idea che il comportamento delle tre forme
di energia risponde ad una regola di compensazione additiva : al variare dell'una forma di energia
devono variare anche le altre in modo che la loro somma resti costante.
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Grafici MBL
Grafici temporali di distanza (dal sonar) e di velocità dell’oscillatore avente m=1kg e
K=25N/m. I grafici sono due in ciascuna finestra grafica e sono stati realizzati con il pesetto in
moto e con il pesetto quasi fermo al fine di individuare la posizione di equilibrio distante 49
cm dal sonar. L’intervallo temporale di registrazione è stato fissato in 100 s. Poi si è deciso di
analizzare il fenomeno nei primi 10 s. Nella stessa registrazione si studiano anche le
correlazioni con il grafico dell’accelerazione e il grafico velocità-distanza qui omessi per
semplicità.
I grafici dell'oscillatore armonico sono riportati sulla scheda-studente: gli studenti devono calcolare
in determinati istanti, corrispondenti a “punti notevoli”, dai valori di posizione e velocità le tre
energie e la loro somma. Il valore delle tre energie è legato alla posizione del pesetto attaccato alla
molla, ad esempio, se si è scelto un valore zero per l’energia potenziale di gravità, in basso,
corrispondente al massimo allungamento della molla, quando il pesetto sale l'energia potenziale di
gravità deve aumentare, mentre quella elastica deve diminuire. L’energia cinetica è invece nulla agli
estremi dell’oscillazione (v=0) e massima sia in discesa che in salita al passaggio per la posizione di
equilibrio.Per calcolare l'energia cinetica gli studenti leggono dal grafico (o dalla tabella) il valore
della velocità; per calcolare l'energia potenziale elastica leggono la distanza del pesetto dal centro di
equilibrio e calcolano l'allungamento. La posizione di equilibrio è ∆y = mg/k e le tre energie
possono essere calcolate, in corrispondenza dei punti A..E indicati sul grafico precedente come
segue.
EA =
lunghe zza a r iposo se nza pesetto
∆ y= m g/k
d
punto
t [s]
d [m]
v [m/s]
Ec [J]
y = 0, Ep g= 0
Epg [J]
Epe [J]
A
0,5
0,8
1,01
1,05
1,08
0,07
0
-0,07
0
0,07
0
0,350
0
-0,350
0
0
0,061
0
0,061
0
2,67
1,92
1,30
1,92
2,67
C
D
E
1
k (∆y)2 + mgd +
2
1
1
mv2B ;EC = k (∆y 2
2
d)2 + 2mgy
pos izio ne d i eq uilib r io d= 0,
Ec in= m a x
d
B
1
k (∆x + d)2; EB =
2
0
0,69
1,37
0,69
0
Ec+ Epe+ Epg [J]
2,67
2,67
2,67
2,67
2,67
Analizzando poi dal grafico il comportamento delle tre forme d'energia, ci si rende conto che il loro
andamento è ciclico: si ripete uguale ad intervalli di tempo regolari.In particolare ogni singola
forma d'energia varia tra un valore massimo ed un valore minimo. Questo comportamento può
essere interpretato pensando a tre serbatoi per l'energia che si scambiano flussi di energia: uno per
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l'energia cinetica, uno per l'energia potenziale gravitazionale ed uno per l'energia potenziale
elastica.
Attività con Excel
Con Excel si possono svolgere di diverse attività volte alla modellizzazione del fenomeno, ad
esempio:
• si possono ricostruire grafici a tabelle al variare delle condizioni inziali e dei parametri del
modello;
• si possono studiare (con i dati sperimentali) le modalità di smorzamento dell’oscillatore;
• si può lavorare con lo spazio delle fasi;
• ecc.
L’esempio che qui proponiamo è finalizzato a generalizzare la descrizione dell’esperimento svolto.
Il foglio costruito in attività di piccolo gruppo con la guida dell’insegnante rappresenta, le energie
potenziali in funzione dell’ascissa y. Il bilancio energetico dell’oscillatore armonico in verticale può
essere realizzato non considerando l’energia potenziale di gravità (quindi non considerando l’effetto
della gravità). In questo caso la posizione del pesetto deve essere misurata rispetto alla posizione di
equilibrio. Per rendere evidente il legame tra le due descrizioni si può lavorare e condividere la
costruzione del foglio di lavoro e il significato dell’insieme di grafici rappresentati in figura.
0,3
0,25
Epot (J)
Grafici
Excel
0,2
per un
pesetto
0,15
in
0,1
oscillazio
ne
0,05
attaccato
a
una
0
molla
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
-0,05
verticale
In figura
-0,1
sono
rappresen
-0,15
tati
i
y (m)
grafici
dell’ener
gia
potenziale in funzione dell’ascissa y (diretta verso il basso a partire dalla posizione a riposo della
molla, cioè senza pesetto): dell’energia potenziale elastica ½Ky2 (in blu) , dell’energia potenziale di
gravità -mgy (retta tratteggiata in rosso) e della loro somma ½ K y ’2 (in nero) che quindi
rappresenta la variazione di energia potenziale totale (comprendente l’energia potenziale di gravità)
con y’ diretta verso il basso e avente come origine la posizione di equilibrio (con il pesetto
attaccato). La linea tratteggiata orizzontale ha equazione y=y0 (posizione di equilibrio) e si ha y’=
y-y0. Se l’energia potenziale è misurata rispetto alla posizione di equilibrio, si può non tener conto
della gravità: Epot= ½ Ky’2. L’esempio è stato realizzato ponendo K=25N/m; m=0,1kg; g=9,81m/s2
e assumendo y>0 verso il basso (contrariamente a quanto fatto nella descrizione dell’esperimento
precedente. Costruito il foglio di lavoro, l’attività può essere sviluppata variando le caratteristiche
dell’oscillatore, il verso di y, ecc. in modo da far esercitare gli studenti su rappresentazioni che
aiutano a cogliere il significato delle grandezze in gioco.
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Attività con Interactive Physics
Con Interactive Physics e con animazioni interattive in rete è possibile esplorare nuove
fenomenologie aiutando a costruire capacità di interpretare rappresentazioni del fenomeno
cogliendo gli aspetti fondamentali del modello. Nelle figure che seguono due esempi disponibili in
I.P. Lo studio dell’oscillatore smorzato e forzato, con lo spazio delle fasi e la rappresentazione delle
energie per un oscillatore in verticale.