Il test F - I blog di Unica

Introduzione
L’esame di Economia Politica
Le pulci d’acqua
Corso di Psicometria Progredito
4.2 I principali test statistici per la verifica di ipotesi:
Il test F
Gianmarco Altoè
Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia
Università di Cagliari, Anno Accademico 2013 - 2014
Introduzione
L’esame di Economia Politica
Sommario
1
Introduzione
2
L’esame di Economia Politica
3
Le pulci d’acqua
Le pulci d’acqua
Introduzione
L’esame di Economia Politica
Le pulci d’acqua
La verifica dell’omogeneità delle varianze
Nella lezione precedente abbiamo imparato a verificare
l’ipotesi riguardante l’uguaglianza tra le medie di due
campioni indipendenti.
E se volessimo verificare l’omogeneità delle varianze di due
campioni indipendenti?
Esistono vari test statistici in grado di testare tale ipotesi.
Nel corso di questa lezione vedremo il test F o del rapporto
tra due varianze.
Introduzione
L’esame di Economia Politica
Un po’ di storia sulla distribuzione F di
Fisher-Snedecor
Le pulci d’acqua
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Le pulci d’acqua
La distribuzione F di Fisher-Snedecor
1.0
Distribuzione F al variare dei gradi di libertà
0.6
0.4
0.0
0.2
Densità
0.8
gradi di libertà (5,5)
gradi di libertà (5,10)
gradi di libertà (10,10)
gradi di libertà (15,10)
gradi di libertà (20,20)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
F
Nota bene: A differenza della distribuzione Normale e della t di Student la
distribuzione F è definita solo per valori (quantili) positivi.
3.0
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Le pulci d’acqua
Il test F: i passi fondamentali
1
L’ipotesi nulla del test prevede l’omogeneità delle varianze
dei due campioni (omoschedasticità). L’ipotesi alternativa
prevede l’eterogeneità delle varianze dei due campioni
(eteroschedasticità).
2
La statistica test è data dal rapporto tra la varianza
maggiore e la varianza minore.
3
Sotto H0 la statistica test si distribuisce come una F di
Fisher-Snedecor con gradi di libertà rispettivamente pari a: la
numerosità del campione con varianza maggiore meno uno,
la numerosità del campione con varianza minore meno uno.
4
Se il valore osservato di F è superiore al valore critico,
individuato per un livello di significatività α fissato a priori,
l’ipotesi nulla deve essere rifiutata.
... vediamo subito un esempio ;-)
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Le pulci d’acqua
L’esame di Economia Politica
A due gruppi di studenti, ciascuno di 9 persone, viene
sottoposta una simulazione dell’Esame di Economia Politica.
Gli studenti del Gruppo A hanno frequentato il corso di
Economia Politica, mentre gli studenti del Gruppo B hanno
studiato ciascuno per conto proprio senza frequentare il
corso.
Sapendo che, la deviazione standard campionaria dei risultati
del Gruppo A è pari a 5 mentre quella dei risultati del Gruppo
B è pari a 10, si può concludere ad un livello di significatività
del 5% (α = 0.05) che i due gruppi non hanno varianza
omogenea?
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Le pulci d’acqua
1. La costruzione del sistema di Verifica di Ipotesi
H0 : σa2 = σb2
H1 : σa2 6= σb2
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Le pulci d’acqua
2. Calcolo del valore osservato della statistica test
La statistica test è data dal rapporto tra la varianza campionaria
maggiore e la varianza campionaria minore:
FOSS =
2
102
smax
=
=4
2
52
smin
Dalla teoria sappiamo che se vale H0 la statistica test si
distribuisce come una F di Fisher-Snedecor con
nmax − 1 ; nmin − 1 (8 ; 8 nel nostro caso) gradi di libertà.
Note:
2
2
smax
; smin
sono rispettivamente le varianze campionarie del gruppo con
varianza maggiore e minore
nmax ; nmin sono rispettivamente le numerosità campionarie del gruppo
con varianza maggiore e minore
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3. Confronto tra valore osservato e valore critico
Non Posso Rifiutare Ipotesi Nulla
Rifiuto Ipotesi Nulla
0.4
0.2
0.0
Densità
0.6
0.8
Distribuzione F con (8,8) gradi di libertà
α = 0.05
FCRIT = 3.438
F
FOSS = 4
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3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico e
decisione finale
Dall’analisi condotta emerge che il valore osservato della
statistica test è superiore al valore critico.
L’ipotesi nulla che prevede l’omogeneità delle varianze dei
due gruppi deve essere rifiutata ad un livello di significatività
del 5%.
... in sostanza, dal punto di vista statistico, i dati non
supportano l’omogeneità delle varianze dei due gruppi.
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Le pulci d’acqua
Le pulci d’acqua (esercizio proposto)
Nella seguente tabella sono riportate (in millimetri) le
lunghezze di alcune pulci d’acqua. Le prime 5 pulci sono
sono state prelevate dallo stagno A, mentre le altre 7 sono
state prelevate dallo stagno B.
Gruppo A
3
3
5
4
2
Gruppo B
4
5
4
3
6
5
6
Valutare ad un livello di significatività del 5% (α = 0.05)
l’omogeneità delle varianze dei due gruppi di pulci.