47-51) ottica geometrica e lenti

N.47
Un certo vetro ha indice di rifrazione 1.5 per la luce visibile. Quanto
vale l’angolo critico per la riflessione totale?
Quando la luce si propaga da un mezzo con un certo indice di rifrazione ad un altro
con indice di riflessione minore se l’angolo di incidenza della luce rispetto alla
normale alla superficie di separazione dei due mezzi supera un certo angolo ( detto
angolo critico θc )
accade un fenomeno particolare detto riflessione totale , cioè la luce tornerà indietro
nel primo mezzo.
MEZZO 2
θ < θc
θ = θc
θ > θc
n 2 < n1
MEZZO 1
Quest’angolo θc soddisfa l’equazione:
sen  c 
n2
n1
Nel nostro caso n1 = 1.5 ed n2 = 1 ( noi supporremo che il secondo mezzo sia il vuoto
) , quindi:
sen θc = 1.5  θc = arcsen 0.67 = 41.8° = 0.73 radianti
N.48
In un prisma dispersivo radiazioni di lunghezza d'onda 400 e 700 nm
hanno un indice di rifrazione pari a 1.55 e 1.43 rispettivamente. Dire
quale dei due sarà maggiormente deviato.
Un prisma dispersivo non è altro che un prisma ( figura geometrica tridimensionale di
forma simile a quella di un tetto a due falde con le due falde che formano un angolo
di sessanta gradi ) fatto di un materiale che ha un indice di rifrazione più grande
dell’aria. Un fascio luminoso che incide su una delle due falde, nell'uscire dall'altra
falda viene “disperso” in tutte le sue lunghezze d’onda, cioè forma un piccolo
arcobaleno.
Questo fenomeno si spiega ricorrendo alla legge di Snell per la rifrazione.
Quest’ultima asserisce che “quando un fascio luminoso di lunghezza d’onda  passa
da un mezzo (con indice di rifrazione n1) ad un altro (con indice di rifrazione n2),
l’angolo di incidenza θi (calcolato rispetto alla normale alla superficie di separazione
dei due mezzi) e quello di rifrazione θr soddisfano l’equazione:
n1 sen θi = n2 sen θr
Nel nostro caso supporremo che il mezzo da cui parte la radiazione sia il vuoto (o
l'aria), cioè porremo n1=1; e sia n2 l'indice di rifrazione del materiale del prisma
otteniamo così
sen θi = n2 sen θr
A parità di angolo di incidenza θi le due radiazione, ci dice il testo del problema,
hanno due indici di rifrazione n2 diversi; ricavando θr otteniamo:
θr = arcsen ( sen θi / n2 )
Dato che l’arcoseno è una funzione crescente, θr è allora una funzione decrescente
rispetto ad n2 , cioè all’aumentare di n2 , l’angolo di rifrazione diminuisce cioè il
raggio luminoso viene maggiormente deviati avvicinandosi maggiormente alla
normale alla superficie. Quando il raggio raggiunge l'altra "falda" del prisma,
nell'uscire in aria , dato che passa da un mezzo ad indice rifrazione più grande ad uno
più piccolo si allontana dalla normale (vedi figura) anche in questo caso, riapplicando
la legge di Snell, ci accorgiamo che viene maggiormente deviato (allontanandosi
dalla normale questa volta) quanto più grande è n2. A seguito di queste due deviazioni
il fascio uscente dal prisma è deviato rispetto alla sua direzione originaria. Esso sarà
tanto più deviato quanto maggiore è l'indice di rifrazione del prisma. Risulterà quindi
globalmente più deviata la radiazione alla quale compete l'indice di rifrazione
maggiore cioè la 400 nm (blu).
N.49
Quale deve essere il minimo valore dell'indice di rifrazione di un materiale
affinchè un prisma retto possa servire per riflettere di 90° una radiazione
incidente perpendicolarmente ad una sua faccia ?
La riflessione totale si ha quando l'angolo di incidenza è maggiore o uguale all'angolo
critico, che corrisponde a quell'angolo per il quale il raggio rifratto è parallelo alla
superficie (cioè l’angolo di rifrazione è uguale a 90°).Tale condizione è ottenuta dalla
legge di Snell :
indicedirifrazionedelvetro*sen(tetacritico)=indicedirifrazionedell'aria*sen(90°)
L'indice di rifrazione dell'aria è = 1 e sin(90°) è anche = 1, cosicchè la formula che
definisce tetacritico è :
n*sen(tetacritico)=1
(n=indicedirifrazionedelvetro) da cui:
tetacritico=arcsen(1/n)
Nel nostro esercizio noi vogliamo che tetacritico sia inferiore a 45° (vedi figura)
cosicchè il raggio di luce che arriva alla base del prisma venga totalmente riflesso.
Quindi vogliamo che:
arcsen(1/n) < 45°
cioè:
1/n< sin(45°)
da cui :
n>1/sin (45°)
e quindi:
n>1,414
N.50
Una lente convergente ha focale 50 cm. Ponendo un oggetto a 70 cm dalla
lente a che distanza si formerà l’immagine ? Quale sarà il valore
dell’ingrandimento? A che valore di distanza bisogna porre l’oggetto per
trovare l’immagine non ingrandita nè rimpicciolita?
IMMAGINE
OGGETTO F
F
Nella nostra costruzione grafica il rettangolo è la lente convergente. Per
sapere a che distanza si formerà l’immagine applichiamo l’equazione per
1
1
1


s
s
f
lenti sottili:
dove s è la distanza oggettolente, s’ è la distanza lenteimmagine ed f è
la coordinata ( rispetto al centro della lente ) del fuoco. Ricaviamo s’:
1
Quindi
1
1
s f
 cm 70cm
 3500cm
f s
50
s 
s
f  s
 175cm
f
s
s f
70cm  50cm
20
L’immagine cioè si formerà a 175 cm dalla lente e sarà dietro la lente ( perchè s’> 0 )
, sarà quindi un’immagine reale. Il valore dell’ingrandimento M può essere ricavato
M 
h
s
175cm
 
 2.5
h
s
70cm
così:
Il fatto che l’ingrandimento sia negativo ci dice che l’immagine è capovolta rispetto
all’oggetto. Affinchè, come ci chiede il problema, l’immagine non sia nè ingrandita,
nè rimpicciolita dobbiamo porre nell’ultima formula h’=h
cioè dobbiamo porre s = s’. Per poter trovare la distanza s a cui ciò accade
sostituiamo a s’ l’espressione che abbiamo precedentemente trovato:
h
s


1
 s 2h  s  sf  f
f s
s   s 
s f
M 
s


  s 2  2s  f  0 
 s( s  2 f )  0
Quindi l’immagine non sarà nè rimpicciolita nè ingrandita in due casi
s=0
oppure
s = 2f
Il primo caso, quando s=0 , accade quando l’oggetto è ad una distanza
0 dalla lente, cioè quando è dentro la lente ( in questa caso oggetto ed
immagine coincidono ). Il secondo e fisicamente più interessante caso
accade quando s = 2f. Ciò vuol dire che se poniamo l’oggetto ad una
distanza che sia doppia rispetto alla distanza focale della lente,
l’immagine avrà le stesse dimensioni dell’oggetto. Quindi nel nostro
caso la distanza per cui non si ha ingrandimento è:
s = 2f = 100 cm
N.51
Una lente di focale 1 cm e una di focale 5 cm sono accoppiate per
formare un microscopio composto. Assumendo che l’immagine reale
formata dall’obiettivo si formi a 20 cm di distanza dallo stesso e che
l’immagine virtuale formata dall’oculare si forme a 25 cm dallo stesso,
calcolare l’ingrandimento ottenuto.
LEGENDA:
OGGETTO
IMMAGINE REALE
IMMAGINE VIRTUALE
sob
F1
F1
F2
s’ob
s’oc
Scriviamo l’equazione delle lenti per la prima lente ( l’obiettivo ):
1
1
1



s ob s ob
f ob
Calcoliamo la distanza sob dell’oggetto dalla lente :
sob 

f  sob
1cm  20cm
20cm


 1.05cm
  f
sob
20cm  1cm
19
Calcoliamo l’ingrandimento per l’obiettivo:
M ob 
s
h
20cm
  ob  
 19.05
h
sob
1.05cm
F2
soc
Scriviamo ora l’equazione delle lenti per la seconda lente ( l’oculare ):
Calcoliamo la distanza sob dell’oggetto dall’oculare ( l’immagine è virtuale quindi
s’oc<0) :
1
1
1



s oc s oc
f oc
soc 

f  soc
5cm   25cm  125cm


 4.17cm
  f
soc

25
cm

5
cm
30
s
h
 25cm
M oc 
h

oc
soc

4.17cm
6
L’ingrandimento per l’oculare quindi è:
Notiamo che, dato che “l’oggetto” dell’oculare è l’immagine reale dell’obiettivo (
vedi disegno ), possiamo ricavare la distanza tra le due lenti:
D = 4.17 cm + 20 cm = 24.17 cm
L’ingrandimento tatale M sarà allora il prodotto dei due ingrandimenti:
M  M ob  M oc  19.05  6  114.3
Cioè questo microscopio ingrandisce gli oggetti più di 110 volte, però li capovolge
(perchè M<0 ).
In via più approssimata l'esercizio è risolvibile semplicemente ricordando che
l'ingrandimento dell'obbiettivo e dell'oculare, dato che in entrambi i casi l'oggetto è
vicino al fuoco potranno scriversi Mob=20 cm/fob e Moc= 25cm/fob e poi calcolare
l'ingrandimento totale come prodotto dei due ingrandimenti.