Circuiti elettrici lineari
Misure con l’oscilloscopio
e con il multimetro
Edgardo Smerieri
Laura Faè
PLS - AIF - Corso Estivo di Fisica
Genova 2009
Elenco delle misurazioni
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Circuito resistivo in corrente alternata
Circuito resistivo con onda quadra
Circuito RC con onda quadra
Tempo di salita
Costante di tempo
Circuito RC in regime sinusoidale
Circuito RC come filtro passa basso
Rete di Compensazione
Teorema di sovrapposizione
Teorema di Thevenin
pag. 06
pag. 08
pag. 10
pag. 13
pag. 14
pag. 18
pag. 34
pag. 38
pag. 40
pag. 44
2
1
Schema base del circuito di misura
Oscilloscopio
Disp. 1
CH1
Generatore
CH2
Disp. 2
3
Parametri di alcuni segnali tipici
Segnale sinusoidale
– Ampiezza
– Frequenza/Periodo
– Fase
V (t ) = Vmax sin(ωt + ϕ) = Vmax sin( 2πft + ϕ)
Segnale impulsivo/onda quadra
–
–
–
–
Ampiezza picco-picco Epp
Livelli High EH e Low EL
Frequenza/Periodo
Duty cycle d = TH / (TH+TL)
EH
EL
TH
Epp
TL
4
2
Parametri di alcuni segnali tipici
Segnale triangolare simmetrico
– Ampiezza
– Frequenza/Periodo
V(t)
+E
T/2 3T/4
t
T
T/4
−E
Segnale a dente di sega
– Ampiezza picco-picco Epp
– Valore massimo Emax e valore minimo Emin
– Frequenza/Periodo
V(t)
Emax
T/2
T
t
Emin
5
Misura su un circuito resistivo
in corrente alternata
Vin(t) è un segnale sinusoidale con
un’ampiezza Ein di 10 V ed una frequenza
di 1000 Hz
•
•
Misurare l’ampiezza Eout di Vout(t)
Verificare che il rapporto tra le ampiezze Ein ed Eout oppure tra due valori
istantanei qualunque di Vin(t) e Vout(t) è costante e pari a
Eout Vout (t )
R2
=
=
= 0.6875
Ein
Vin (t ) R1 + R2
•
Variare successivamente, a piacere, sia l’ampiezza che la frequenza e
verificare che il precedente rapporto è costante
6
3
Circuito resistivo in corrente alternata
I segnali d’ingresso e di uscita hanno la stessa forma e sono in fase
7
Misura su un circuito resistivo
con un segnale ad onda quadra
Vin(t) è un segnale impulsivo ad onda quadra
con ampiezza Ein picco-picco di 10 V e
variabile tra +5V e – 5V ed una frequenza di
10 kHz
•
•
Misurare l’ampiezza picco-picco Eout di Vout(t)
Verificare che il rapporto tra le ampiezze Eout ed Ein oppure tra due valori
istantanei qualunque di Vin(t) e Vout(t) è costante e pari a
Eout Vout (t )
R2
=
=
= 0.6429
Ein
Vin (t ) R1 + R2
•
Variare successivamente, a piacere, sia l’ampiezza che la frequenza e
verificare che il precedente rapporto è costante
8
4
Circuito resistivo con onda quadra
Il segnale d’ingresso e il segnale d’uscita hanno la stessa forma
9
Misura sul circuito RC
con un segnale ad onda quadra
Vin(t) è un segnale impulsivo ad onda quadra
con ampiezza Ein picco-picco di 10 V e
variabile tra +5V e –5V ed una frequenza di
10 kHz (corrisponde ad un periodo di 100 μs)
Esaminiamo i casi corrispondenti a diversi valori della costante di
tempo τ = RC in rapporto al valore della frequenza del segnale
a.
R = 2.2 kΩ e C = 1 nF
quindi
τ =RC = 2.2 μs
b.
R = 2.2 kΩ e C = 100 nF
quindi
τ =RC = 220 μs
10
5
Circuito RC con onda quadra – Caso a
τ << T / 2
τ = RC = 2.2 μs
T = 100 μs
Il segnale d’uscita ai capi del condensatore è, teoricamente,
sempre deformato rispetto a quello d’ingresso, ma in modo
accettabile
11
Altre misure sul circuito RC – Caso a
Il segnale d’uscita ai capi della resistenza è costituito in questo caso da picchi
e si dice che il circuito funziona da derivatore
12
6
Circuito RC - Misura del tempo di salita
Epp
t1 e t2 sono rispettivamente gli istanti a cui la tensione ai capi del condensatore
raggiunge rispettivamente il 10% e il 90% di Epp
t rise −time = t 2 − t1
13
Circuito RC - Misura della costante di tempo
VC (1τ) = 0.632 Epp
Epp
14
7
Tempo di salita e costante di tempo
Il tempo di salita è importante perché tramite esso si può
determinare facilmente il valore della costante di tempo.
t rise ≅ 2.2 RC
time
Lo schermo dell’oscilloscopio è predisposto per leggere il
tempo di salita.
90%
10%
15
Circuito RC con onda quadra – Caso b
τ>T
τ = RC = 220 μs
T = 100 μs
Il segnale d’uscita sul condensatore è, teoricamente,
sempre deformato rispetto a quello d’ingresso, ma in
modo non accettabile
Il segnale d’uscita sul condensatore può però essere
16
usato come un’onda triangolare
8
Circuito RC con onda quadra
t
⎛
−
⎜
RC
VC (t ) = E 1 − e
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
VR (t ) = Ee
−
t
RC
Istante per istante si ha
VC (t ) + VR (t ) = E
In generale
V (t ) = A + Be
−
t
RC
(
)
= V fin − V fin − Viniz e
−
t
RC
Per tempi per i quali t <<RC (caso b)
t
⎛
−
⎜
RC
VC (t ) = E 1 − e
⎜
⎝
2
⎞
⎛
⎞
⎟ = E ⎜1 − 1 + t − 1 ⎛⎜ t ⎞⎟ + ....⎟ ≅ E t
⎟
⎜
⎟ RC
RC 2! ⎝ RC ⎠
⎝
⎠
⎠
17
Misura sul circuito RC
in regime sinusoidale
Vin(t) è un segnale sinusoidale con ampiezza
Ein di 5 V e una frequenza di 100 Hz
R = 1.2 kΩ e C = 1 μF
• Visualizzare sull’oscilloscopio Vin(t) , VC(t) , VR(t)
• Misurare l’ampiezza VCmax , VRmax rispettivamente di VC e VR
• Verificare che istante per istante è verificata l’equazione
VR (t ) + VC (t ) = Vin (t )
• Verificare che non si sommano i valori massimi delle tensioni
VR max + VC max ≠ Vin max
18
9
Circuito RC in regime sinusoidale
19
Determinazione dello sfasamento
Misurare Δt sull’oscilloscopio e da questo calcolare
Δϕ : Δt = 2π : T
lo sfasamento tra Vin e VC con la proporzione
Confrontarlo con il valore teorico dato da
tan ϑ = −ωRC
20
10
Sinusoidi e vettori rotanti
21
Vettori rotanti perché ?
Segnale d’ingresso
a(t ) = A sin ωt
Segnale d’uscita
b(t ) = B sin(ωt + ϕ)
22
11
Il valore efficace
• Con il multimetro in AC si misura il valore efficace di una
grandezza alternate
– Misurare la tensione del segnale d’ingresso Vineff
– Misurare le tensione ai capi di R e di C indicate con VReff e VCeff
– Osservare che è verificata l’equazione
VR2eff + VC2eff = Vin2eff
• In corrente alternata non si sommano i valori efficaci
• Le tensioni e le correnti alternate si sommano vettorialmente
VRmax
VR (t ) = RI (t )
Imax
I (t ) = C
VCmax Vinmax
VR2max
dVC (t )
dt
+ VC2max
= Vin2 max
Veff =
Vmax
I eff =
I max
2
2
23
Relazioni temporali tra V e I in AC
Resistenza
I R (t ) = I R max sin ωt
VR (t ) = RI R (t )
VR (t ) = RI R max sin ωt
Condensatore
I C (t ) = I C max sin ωt
VC (t ) =
I C (t ) = C
dVC (t )
dt
I C max
π⎞
⎛
sin ⎜ ωt − ⎟
ωC
2⎠
⎝
Induttanza
I L (t ) = I L max sin ωt
VL (t ) = L
dI L (t )
dt
π⎞
⎛
VL (t ) = ωLI L max sin ⎜ ωt + ⎟
2⎠
⎝
24
12
Il concetto di Reattanza
VR max = RI R max
VC max =
1
I C max
ωC
VL max = ωLI L max
VCeff =
1
I Ceff
ωC
VLeff = ωLI Leff
VReff = RI Reff
X L = ωL
XC =
Reattanza induttiva
1
ωC
Reattanza capacitiva
La reattanza dipende dalla frequenza del segnale applicato
Nello studio con il metodo vettoriale vanno tenute in considerazione
le relazioni di fase dei singoli componenti
25
Il concetto di Impedenza (ohmico-capacitiva)
VRmax
R
Imax
XC
VCmax Vinmax
VR2max + VC2max = Vin2 max
Vin max = Z ⋅ I max
Vineff = Z ⋅ I eff
Z
Imax
Z Impedenza
Resistenza e reattanza non si sommano
algebricamente ma vettorialmente
1
2
2
2
R 2 I max
+ 2 2 I max
= Z 2 I max
ω C
Z = R2 +
1
ω C2
2
L’impedenza dipende dalla frequenza del segnale applicato
Vin = Z ⋅ I
26
13
Il concetto di Impedenza (ohmico-induttiva)
VLmax
XL
Vinmax
VRmax
Z
R
Imax
Z Impedenza
Imax
Resistenza e reattanza non si sommano
algebricamente ma vettorialmente
VR2max + VL2max = Vin2max
2
2
2
R 2 I max
+ ω2 L2 I max
= Z 2 I max
Vin max = Z ⋅ I max
Vineff = Z ⋅ I eff
Z = R 2 + ω2 L2
L’impedenza dipende dalla frequenza del segnale applicato
Vin = Z ⋅ I
27
Quanto vale l’impedenza di questi
semplici circuiti ?
Z=
Z=
R
1 + ω2 R 2C 2
ωLR
R + ω2 L2
2
28
14
Il circuito RLC serie
B1
A1
VL
VL
C1
I
VR
VL
VR
VC
VC
A2
B2
C2
VR
Vin
VC
I
Vin
I
VR
VC
VC
VL
I
VR
I
VL
VR
I
Vin
VL
VC
29
Impedenza del circuito RLC serie
Resistenza e reattanza non si sommano
algebricamente ma vettorialmente
1 ⎞
⎛
Z = R + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
2
2
Il tipo di impedenza dipende dalla frequenza del segnale applicato
tan ϑ =
ωL −
1
ωC
R
30
15
La potenza in corrente alternata
Pistantanea (t ) = V (t ) I (t )
CIRCUITO RESISTIVO PURO
2
2
sin 2 ωt = RI max
Pistantanea (t ) = V (t ) I (t ) = RI max
1 − cos 2ωt
2
CIRCUITO INDUTTIVO PURO
1
Pistantanea (t ) = V (t ) I (t ) = Vmax I max sin ωt cos ωt = Vmax I max sin 2ωt
2
CIRCUITO CAPACITIVO PURO
1
Pistantanea (t ) = V (t ) I (t ) = −Vmax I max sin ωt cos ωt = − Vmax I max sin 2ωt
2
31
Potenza - Andamento temporale
Segnale d’ingresso
tempo
PR
PL
tempo
PC
32
16
La potenza nei circuiti in AC
V
Ieff
ϕ
Veff
I
Pistantanea (t ) = V (t ) I (t )
T
Pmedia =
∫
1
V (t ) I (t )dt
T
0
Indichiamo con φ lo sfasamento tra tensione e corrente
1
Pmedia = Veff I eff cos ϕ = Vmax I max cos ϕ
2
33
Misura sul circuito RC come filtro passa basso
Vout
1
=
Vin
1 + ω2 R 2C 2
L’ampiezza del segnale in uscita dipende dalla
frequenza del segnale applicato quindi su un
segnale d’ingresso complesso, formato da un
numero più o meno elevato di componenti
sinusoidali, il circuito si comporta come un filtro
sulle componenti del segnale stesso.
Rilievo della risposta in frequenza :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Fissare l’ampiezza del segnale d’ingresso e lasciarla costante per tutta la misura
Misurare l’ampiezza del segnale d’uscita
Calcolare il rapporto Vout/Vin
Misurare la frequenza del segnale
Variare la frequenza e ripetere dal punto 2 per un numero sufficiente di punti
Fare il grafico di Vout/Vin in funzione della frequenza (usare una scala logaritmica
per la frequenza)
34
17
Risposta in frequenza del filtro passa basso
Vout
1
=
≅ 0.707
Vin
2
Frequenza di cut-off
f cutoff =
1
2πRC
1592 Hz
35
Filtro RC passa basso
Determinazione della frequenza di cutoff
dalla risposta all’onda quadra
•
•
Il metodo precedente è molto lungo e laborioso
In alternativa si può usare un metodo molto più veloce che consiste
nell’applicare un segnale ad onda quadra e da questo risalire alla frequenza
di taglio.
ωcutoff =
t rise ≅ 2.2 RC
1
RC
time
f cutoff =
0.35
t rise
time
•
•
La frequenza del segnale da applicare va scelta in modo da permettere la
carica completa del condensatore
La base dei tempi dell’oscilloscopio deve essere tale da permettere una
facile lettura.
36
18
Misura della frequenza di cutoff dalla
risposta all’onda quadra
Vin è onda quadra di 500 Hz
variabile tra 0 e +10V
trisetime = 220 μs
fcutoff = 1592 Hz
37
Rete di compensazione
Segnale Vin
• onda quadra
• ampiezza 10V
• frequenza 500 Hz
La forma del segnale d’uscita dipende dal valore relativo delle due costanti
di tempo ovvero da quale delle tre condizioni seguenti è soddisfatta
• Sovracompensazione
R1C1 < R2 C 2
• Compensazione
R1C1 = R2 C 2
• Sottocompensazione
R1C1 > R2 C 2
Provare i valori seguenti per C1
15 nF - 22 nF - 33 nF
38
19
Rete di compensazione
C1 = 15 nF sovracompensazione
C1 = 22 nF compensazione
C1 = 33 nF sottocompensazione
39
Sovrapposizione degli effetti
Segnale E1
• onda quadra
• ampiezza ± 10V
• frequenza 1 kHz
Segnale E2
• sinusoide
• ampiezza 5 V
• frequenza 10 kHz
L’applicazione della sovrapposizione degli effetti porta a passivare
successivamente tutti i generatori ad eccezione di uno.
Passivare un generatore significa sostituirlo con la sua resistenza interna, in
genere 50 Ω, in questo caso trascurabile rispetto alle altre resistenze del circuito.
Vout è la somma algebrica dei segnali Vout1 e di Vout2
40
20
Sovrapposizione degli effetti
Vout1 è il segnale di uscita dovuto al generatore E1 passivando E2
Vout2 è il segnale di uscita dovuto al generatore E2 passivando E1
41
Sovrapposizione degli effetti
Il teorema di sovrapposizione dice che Vout è la somma algebrica
dei segnali Vout1 e di Vout2 determinati precedentemente
42
21
Teorema di Sovrapposizione
Procedura della misura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Montare il circuito completo e misurare con l’oscilloscopio la tensione
Vout ai capi della resistenza R3
Staccare il generatore E2 e sostituirlo con un filo di corto circuito (la sua
resistenza interna tipicamente di 50 Ω è trascurabile rispetto alle
resistenze in gioco)
Misurare con l’oscilloscopio la tensione Vout1
Togliere il cortocircuito messo al posto del generatore E2
Inserire il generatore E2
Staccare il generatore E1 e sostituirlo con un filo di corto circuito (la sua
resistenza interna tipicamente di 50Ω è trascurabile rispetto alle
resistenze in gioco)
Misurare con l’oscilloscopio la tensione Vout2
Sommare algebricamente il segnale Vout1 e il segnale Vout2
Confrontare il segnale ottenuto al punto 8 con quello misurato
inizialmente al punto 1
43
Teorema di Thevenin
1. Il valore Eeq del generatore equivalente
di Thevenin corrisponde alla tensione tra i
morsetti A e B (del circuito originario) con
R5 e C3 staccati
2. Il valore Zeq della impedenza equivalente
di Thevenin è l’impedenza “vista” tra i
morsetti A e B (del circuito originario) con
R5 e C3 staccati
44
22
Teorema di Thevenin - Misura
1. Il valore Eeq del generatore equivalente di
Thevenin corrisponde alla tensione tra i morsetti
A e B (del circuito originario) con RL staccata
2. Il valore della resistenza equivalente di Thevenin
Req è la resistenza “vista” tra i morsetti A e B
(del circuito originario) con RL staccata
Valori per l’esperienza
Vin è un segnale sinusoidale di ampiezza 10 V e frequenza 1 kHz.
I valori teorici sono : Eeq ~ 1.51 V e Req ~ 6687Ω
Tensione ai capi di RL pari a 0.622 V
45
Teorema di Thevenin
Procedura della misura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Montare il circuito completo e misurare la tensione ai capi della resistenza RL
Staccare la resistenza RL dai morsetti A e B
Misurare la tensione tra i morsetti A e B con RL staccata; questa sarà il valore Eeq
del generatore equivalente di Thevenin
Staccare il generatore Vin e sostituirlo con un filo di corto circuito (la sua
resistenza interna tipicamente di 50Ω è trascurabile rispetto alle resistenze in
gioco)
Misurare con un multimetro la resistenza “vista” tra i morsetti A e B con RL
staccata; questa sarà il valore della resistenza equivalente di Thevenin Req
Togliere il filo di cortocircuito e inserire nuovamente il generatore regolando
l’ampiezza del segnale al valore di Eeq misurato al punto 3
Regolare la resistenza del trimmer fornito per l’esperienza fino ad ottenere una
resistenza pari a Req
Montare il circuito equivalente di Thevenin collegando il trimmer, così tarato,
all’uscita del generatore
Collegare la resistenza RL
Misurare la tensione ai capi di RL
Confrontare la tensione misurata al punto 10 con quella misurata inizialmente al
punto 1
46
23
• Domande ?
• Chiarimenti ?
• Approfondimenti ?
Buon lavoro …..
47
24
