Capitolo 3

Indice
3 Rumore termico e doppi bipoli
3.1 Rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Descrizione probabilistica del rumore termico . . . . . .
3.1.2 Densità spettrale di potenza disponibile di rumore . . .
3.1.3 Temperatura equivalente di rumore di una sorgente . . .
3.2 Caratterizzazione di doppi bipoli rumorosi . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Cifra di rumore di un doppio bipolo . . . . . . . . . . .
3.2.2 Temperatura equivalente di rumore di un doppio bipolo
3.2.3 Formule di conversione tra Teq e F . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Esempio: calcolo cifra di rumore attenuatore . . . . . .
3.2.5 Interpretazione fisica della cifra di rumore . . . . . . . .
3.3 Cascate di doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Calcolo F e Teq cascata di doppi bipoli . . . . . . . . . .
3.3.2 Sistemi singola tratta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Sistemi multitratta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Riassunto formule principali sul rumore termico
1
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33
33
33
36
37
38
38
39
40
40
41
42
42
43
44
47
2
Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
Dispense Comunicazioni Elettriche, M. Beardo. Ultimo aggiornamento: 30 settembre 2010.
Capitolo 3
Rumore termico e doppi bipoli
In questo capitolo si tratta l’argomento del rumore, in particolare del rumore termico.
Si intende qui come rumore un qualunque disturbo additivo sul segnale utile che abbia
caratteristiche stocastiche.
In particolare, si tratterà il rumore più comunemente riscontrato negli apparati elettrici, cioè il rumore gaussiano bianco additivo. Questo genere di rumore è essenziale
per gran parte dei sistemi di telecomunicazioni, perché determina le prestazioni finali del
sistema stesso.
3.1
Rumore termico
Si consideri un generico resistore con resistenza pari a R, posto a una temperatura T
diversa dallo zero assoluto (vedi figura 3.1). Il moto casuale degli elettroni al suo interno
genera una certa tensione di rumore v(t), anche se non vengono applicati campi elettrici
dall’esterno. Il moto è sempre non nullo tranne che allo zero assoluto. Tale fenomeno
è denominato rumore termico ed è fondamentale per tutte le applicazioni di
telecomunicazioni.
3.1.1
Descrizione probabilistica del rumore termico
La prima domanda che sorge spontanea è quale possa essere la caratterizzazione matematica di questo fenomeno. Poiché la tensione di rumore è generata dal moto casuale
degli elettroni all’interno del resistore, risulta naturale modellare tale fenomeno con un
processo casuale.
Essendo la tensione v(t) generata dalla somma dei contributi dei campi elettrici di un
gran numero di elettroni, possiamo fare appello al teorema del limite centrale e dire che
la densità di probabilità di tale processo è gaussiana.
Inoltre, non c’è alcuna ragione che spinga gli elettroni ad andare da una parte piuttosto
che da un’altra, quindi possiamo supporre che il processo casuale abbia valor medio
nullo.
Supponendo poi che le condizioni del resistore e il suo ambiente esterno non varino nel
tempo, possiamo infine ipotizzare che tale processo casuale sia stazionario.
Riassumendo, il rumore termico può essere modellato con un processo casuale gaussiano, stazionario e a valor medio nullo.
Resta infine da valutare la densità spettrale del valor quadratico medio. Mediante
considerazioni di meccanica quantistica che esulano dagli scopi di questo corso, si può
33
Il rumore
termico è un
processo casuale
34
Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
Figura 3.1: Tensione di rumore ai capi di un resistore.
Densità
calcolare la densità spettrale del valor quadratico medio del processo v(t) tensione ai capi
di un resistore con resistenza R:
"
spettrale del
h |f |
h |f |
+ h |f |
Gv (f ) = 2 R
2
e KT − 1
valor quadratico
medio del
rumore
#
"
V2
Hz
#
(3.1)
dove:
• Il termine
h |f |
2
è rumore dovuto al principio di indeterminazione e il termine
è rumore dovuto al moto termico;
h |f |
h |f |
e KT −1
• K = 1.38 · 10−23 J/◦ K è la costante di Boltzmann;
• h = 6.63 · 10−34 J · s è la costante di Planck;
• T = temperatura del resistore in ◦ K (si ricorda che 0◦ C = 273◦ K).
Commenti su
unità di misura
della (3.1)
Approssimazione
della (3.1)
Per prima cosa occorre commentare l’unità di misura dell’espressione (3.1). Nel corso Teoria dei segnali si consideravano sempre funzioni del tempo adimensionate. Conseguentemente, le densità spettrali di potenza avevano unità di misura [1/Hz].
In questo corso invece le funzioni del tempo avranno spesso unità di misura. Nel caso
della (3.1), il segnale nel tempo è misurato in [V], e quindi la corrispondente densità spettrale di potenza è espressa in [V 2 /Hz]. Si noti come tale grandezza non sia propriamente
una potenza dal punto di vista dimensionale.
Ci chiediamo a questo punto se sia possibile approssimare la (3.1) con un’espressione
più semplice da trattare analiticamente. La risposta è la seguente. Per tutte le applicazioni
tipiche delle comunicazioni classiche, e cioè per temperature tra 0◦ e 50◦ C e per frequenze
minori di 1 THz, si ha che:
hf
¿1
KT
⇒
hf
e KT − 1 ≈
hf
KT
per cui solitamente si può approssimare la (3.1) come:
"
Gv (f ) ≈ 2RKT
V2
Hz
#
(3.2)
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3.1. Rumore termico
35
Figura 3.2: Circuito equivalente di Thevenin di un resistore rumoroso. Un resistore rumoroso R è equivalente a un resistore non rumoroso R posto in serie a un generatore di
rumore v(t).
Rumore bianco
L’approssimazione (3.2) viene comunemente fatta nell’ambito delle Comunicazioni Elettriche, ed è la ragione per cui questo tipo di rumore viene anche detto bianco, cioè
spettralmente piatto.
Si noti che tale approssimazione non è indolore da un punto di vista matematico. Dalla
(3.2) segue che il valor quadratico medio del rumore è infinito, il che non è fisicamente
realizzabile. Si ricordi però che qualsiasi sistema di comunicazione avrà all’interno del
ricevitore un filtro di ricezione, centrato attorno alla frequenza della portante del segnale
che si vuole ricevere, e con banda B sempre molto inferiore al THz. Conseguentemente
la densità spettrale del valor quadratico medio della tensione di rumore dopo il filtro di
ricezione sarà sempre piatta e limitata in banda proprio grazie a suddetto filtro. Quindi, in conclusione, l’approssimazione (3.2) ha senso solamente a valle del filtro di ricezione.
L’approssimazione
(3.2) ha senso
solo a valle del
filtro di
ricezione
Riassumendo, il rumore termico è con ottima approssimazione rappresentabile come
un processo stocastico:
• Gaussiano;
Riassunto
caratteristiche
• Bianco;
statistiche
rumore
• A valor medio nullo;
• Ergodico;
• Stazionario.
Notare che il valore efficace1 , cioè la deviazione standard del rumore su una banda B
è dato da:
sZ
q
+B
√
Gv (f ) df = 4RKT B [V ]
Vef f = < v 2 (t) > =
−B
Ad esempio, se R = 100 Ω, T =
300◦ K,
Vrms =
B = 1 M Hz si ha che:
√
4RKT B = 1.29 · 10−6 [V ]
Analogamente si può trovare la densità spettrale del valor quadratico medio della corrente
di rumore:
"
#
Gv (f )
2KT
A2
GI (f ) =
=
R2
R
Hz
espressione che però non ci interessa più di tanto.
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36
Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
Figura 3.3: Resistenza rumorosa R a temperatura T chiusa su una resistenza ideale R.
Siccome la resistenza di carico è uguale alla resistenza della sorgente, il circuito è adattato.
Vogliamo dare ora una descrizione circuitale di un resistore rumoroso R. Poiché si
tratta di un bipolo lineare, possiamo applicare il teorema di Thevenin (visto nei corsi di
Elettrotecnica), che porta al modello circuitale mostrato in figura 3.2, costituito da un
resistore non rumoroso R in serie a un generatore di tensione di rumore pari a v(t).
3.1.2
Circuiti adattati
In TLC conta
potenza ricevuta
e si usano
circuiti adattati
Densità spettrale di potenza disponibile di rumore
Quando si valutano le prestazioni di un sistema di telecomunicazioni, si è solitamente
interessati alla potenza elettrica del rumore, e non al suo valor quadratico medio.
Al fine di valutare la densità spettrale di potenza di rumore, si consideri un resistore
rumoroso avente resistenza R e posto alla temperatura T , e lo si chiuda su un resistore
ideale di resistenza Rc . E’ noto dai corsi di Elettrotecnica che la situazione che consente di
avere il massimo trasferimento di potenza dalla sorgente al carico è quella in cui Rc = R,
cioè il carico abbia la stessa resistenza della sorgente. In tal caso si dice che il circuito è
adattato (vedi figura 3.3).
Nelle telecomunicazioni ciò che conta è sempre la potenza ricevuta, e non tanto la
tensione o la corrente. Inoltre, poiché interessa utilizzare al meglio la potenza ricevuta
(di segnale utile si intende, non di rumore), si lavora solitamente in condizioni di adattamento energetico. Dunque ragioneremo sempre in termini di densità spettrale di potenza
disponibile. In seguito, salvo diversamente indicato, useremo sempre circuiti elettrici
adattati.
In tal caso, facendo riferimento alla figura 3.3, abbiamo che:
vL (t) =
Densità
v(t)
2
⇒
PL (t) =
vL2 (t)
v 2 (t)
=
R
4R
Allora la densità spettrale di rumore disponibile ai capi di una resistenza è data da:
spettrale di
Gd (f ) =
rumore
disponibile ai
capi di una
resistenza
Potenza disponibile
Gv (f )
4R
=
KT
2
h
W
Hz
i
(3.3)
dove la d sta per disponibile.
4
Solitamente si definisce N0 = KT e si esprime la (3.3) nella forma:
Gd (f ) =
1
N0
2
·
W
Hz
¸
Detto anche RMS - Root Mean Square.
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Circuito
equivalente di
un resistore
rumoroso
3.1. Rumore termico
37
Figura 3.4: Rumore filtrato da filtro con banda equivalente B.
che è già stata vista a Teoria dei Segnali ed è sicuramente quella più familiare per gli
studenti.
A questo punto sono doverosi alcuni commenti sulla (3.3).
• Questa è effettivamente una potenza anche dal punto di vista dimensionale.
• Notare che non dipende dal valore della resistenza.
• Consideriamo il sistema della figura 3.4, cioè del rumore all’ingresso di un filtro con
banda equivalente B.
4
– All’ingresso la densità spettrale vale Gd (f ) = N0 /2 con N0 = KT .
– All’uscita la potenza è pari a Pd = KT B. Come già osservato in precedenza,
l’approssimazione di rumore bianco ha senso solo in un caso come questo di
rumore filtrato.
Ad esempio, se R = 100 Ω, T = 300◦ K, B = 1 M Hz, ho che:
Pd = KT B = 4.14 · 10−15 [W ]
3.1.3
Temperatura equivalente di rumore di una sorgente
Una generica sorgente con una certa resistenza interna R genererà una certa quantità di
rumore che può essere solo di tipo termico.
Dal punto di vista sistemistico si definisce una:
Pdisponibile su banda B
Temperatura equivalente di rumore = Teq =
KB
Più precisamente, se si ha dipendenza dalla frequenza:
4
Teq (f ) =
2 Gd (f )
K
Notare che:
• Teq è la temperatura fisica della resistenza se la sorgente è costituita da sole resistenze
(adattate);
• In generale per una sorgente generica può non essere la temperatura ambiente (spesso è superiore se la sorgente contiene dei dispositivi attivi, ma può essere
inferiore nel caso in cui la sorgente sia un’antenna).
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Temperatura
equivalente di
rumore di una
sorgente
38
Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
Figura 3.5: Doppio bipolo lineare alimentato da una resistenza rumorosa.
3.2
Caratterizzazione di doppi bipoli rumorosi
Caratterizziamo ora i doppi bipoli lineari, cioè tipicamente gli amplificatori e gli attenuatori (vedi figura 3.5).
Dal nostro punto di vista un doppio bipolo si caratterizza con i seguenti parametri.
1. Guadagno di potenza disponibile:
Ad (f ) =
Gout (f )
Gin (f )
E’ il guadagno di potenza di segnale supponendo di avere tutto adattato.
2. Rumore.
Occorre fare due osservazioni in merito.
1. Quando si parla di doppi bipoli occorre prestare attenzione al concetto di adattamento. In questo caso bisogna che la resistenza di ingresso del doppio bipolo sia
uguale alla resistenza della sorgente e che la resistenza di uscita del doppio bipolo
sia uguale alla resistenza di carico.
2. Attenzione che per la definizione di guadagno disponibile non si considera l’effetto
del rumore.
Nel resto del corso, salvo diversamente specificato, si intenderà sempre che:
• I circuiti siano adattati;
• I guadagni e le densità spettrali di potenza siano definiti in questa situazione (e
dunque siano delle quantità disponibili);
• Il sistema sia all’equilibrio termodinamico.
3.2.1
Cifra di rumore di un doppio bipolo
Per quantificare il rumore introdotto da un doppio bipolo, si fa l’esperimento ideale illustrato in figura 3.6. Si confrontano le potenze di rumore all’uscita del doppio bipolo
ideale (che non introduce rumore e dà solo un guadagno Ad ) e il doppio bipolo reale (che
introduce rumore). Si definisce poi una cifra di rumore:
Cifra di rumore
di un doppio
bipolo
Cifra di rumore
Greale
out (f )
F (f ) = ideale
=
Gout (f )
4
KT0
2
Ad (f ) + Ginterna (f )
KT0
2
Ad (f )
(3.4)
Importante: la cifra di rumore deve essere definita:
va definita con
sistema adattato
e con resistenza
di ingresso a
T = 290◦ K
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3.2. Caratterizzazione di doppi bipoli rumorosi
39
Figura 3.6: Esperimento ideale per determinare la cifra di rumore di un doppio bipolo.
• Con il sistema adattato;
• Con la resistenza di ingresso a T = 290◦ K.
Occorre fare subito alcune osservazioni sulla definizione (3.4).
• F (f ), essendo un rapporto di potenze, è un numero puro.
• Greale
out (f ) è la somma della densità spettrale di rumore introdotta dal doppio bipolo
(Ginterna (f )) e della densità spettrale di rumore in uscita dovuta alla resistenza R
che alimenta il doppio bipolo ((KT0 /2) Ad (f )). Le due densità spettrali si sommano
perché i due contributi di rumore sono statisticamente indipendenti.
• Poiché Ginterna (f ) ≥ 0, la definizione (3.4) implica che F (f ) > 1. Un doppio bipolo
è tanto migliore (dal punto di vista del rumore) quanto più la sua cifra di rumore si
avvicina a 1.
Spesso supporremo che la cifra di rumore sia indipendente dalla frequenza e la indicheremo
quindi semplicemente con F .
Dalla definizione (3.4) segue che:
K
Greale
out (f ) = Ad (f ) 2 T0 F (f )
(3.5)
Questa espressione tornerà utile più avanti.
3.2.2
Temperatura equivalente di rumore di un doppio bipolo
Per quantificare il rumore introdotto dai doppi bipoli, si usa a volte un’altra definizione,
detta temperatura equivalente di rumore e definita implicitamente come:
Temperatura
equivalente di
K
Greale
out (f ) = Ad (f ) 2 (T0 + Teq (f ))
(3.6)
Teq (f ) è detta temperatura equivalente di rumore e si misura in ◦ K. E’ pari all’aumento
ideale di temperatura che si deve dare al resistore rumoroso in ingresso per avere la corretta
quantità di rumore in uscita, considerando il doppio bipolo ideale.
E’ importante osservare che utilizzando la temperatura equivalente tutte le sorgenti di
rumore vengono trasferite all’ingresso del sistema.
Spesso supporremo che Teq (f ) sia indipendente dalla frequenza e la indicheremo semplicemente con Teq . Ovviamente si ha sempre Teq > 0◦ K.
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rumore di un
doppio bipolo
40
Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
Figura 3.7: Attenuatore alimentato da una resistenza rumorosa.
3.2.3
Formule di conversione tra Teq e F
Vediamo come sia possibile passare da F a Teq e viceversa. Supponiamo per semplicità
che tutte le quantità in gioco siano indipendenti dalla frequenza, e dunque omettiamo la
variabile f . La (3.5) diventa:
K
Greale
T0 F
(3.7)
out = Ad
2
e la (3.6) diventa:
K
Greale
(T0 + Teq )
(3.8)
out = Ad
2
Eguagliando la (3.7) e la (3.8), si ricava:
T0 + Teq = T0 F
Quindi le formule di conversione tra F e Teq sono:
Formule di
conversione
Teq
T0
(3.9)
Teq = T0 (F − 1)
(3.10)
F =1+
F -Teq
3.2.4
Esempio: calcolo cifra di rumore attenuatore
Consideriamo un attenuatore passivo con attenuazione L (costituito tipicamente da una
linea di trasmissione tipo cavo coassiale) alimentato da una resistenza rumorosa (vedi
figura 3.7). Il guadagno disponibile è ovviamente dato da: Ad = L1 . Supponiamo come al
solito che il sistema sia:
• Adattato;
• Alla temperatura T0 .
Se tutto è adattato, dall’uscita vedo un sistema completamente passivo alla temperatura
T0 , e di conseguenza la densità spettrale dovrà essere la stessa che si ha all’uscita di una
resistenza alla stessa temperatura, cioè:
Gout (f ) =
K
T0
2
(3.11)
Dalla definizione (3.6) di temperatura equivalente di rumore, e ricordando che l’attenuatore
ha Ad = 1/L, si ottiene:
Gout (f ) = Ad
K
K (T0 + Teq )
(T0 + Teq ) =
2
2
L
(3.12)
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3.2. Caratterizzazione di doppi bipoli rumorosi
41
Figura 3.8: Rapporto segnale-rumore all’ingresso e all’uscita di un doppio bipolo.
Uguagliando la (3.11) con la (3.12) trovo:
T0 =
T0 + Teq
L
e infine:
Teq = T0 (L − 1)
Grazie poi alla formula di conversione (3.9) si ottiene:
F =1+
Teq
T0 (L − 1)
=1+
=1+L−1=L
T0
T0
cioè la cifra di rumore di un attenuatore è pari alla sua attenuazione:
Cifra di rumore
di un
F =L
attenuatore
Si fa notare che questo è l’unico caso in cui si riescono a calcolare Teq e F con considerazioni
fisiche semplici.
3.2.5
Interpretazione fisica della cifra di rumore
Vogliamo dare ora un’interpretazione fisica alla cifra di rumore F . Supponiamo di avere
un doppio bipolo con all’ingresso anche una potenza utile Ps su una banda B (vedi figura
3.8). Il rapporto segnale-rumore in ingresso al doppio bipolo sarà:
SN R|in =
Ps
KT B
e quello in uscita (ricordando la (3.5)) sarà:
SN R|out =
Ps Ad
Ps
=
KT BAd F
KT BF
da cui risulta l’interpretazione fisica del significato di cifra di rumore:
F =
SN R|in
SN R|out
La cifra di
rumore è il
(3.13)
cioè la cifra di rumore è il rapporto tra il rapporto segnale-rumore in ingresso
e in uscita dal doppio bipolo. Poiché F > 1, la (3.13) ci dice che il rapporto segnalerumore in ingresso è sempre maggiore del rapporto segnale-rumore in uscita. Questo è un
risultato che potevamo aspettarci anche intuitivamente.
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rapporto tra il
rapporto
segnale-rumore
in ingresso e in
uscita dal
doppio bipolo
42
Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
Figura 3.9: Cascata di due doppi bipoli (sopra) e doppio bipolo equivalente (sotto).
3.3
Cascate di doppi bipoli
Spesso capita di considerare cascate di doppi bipoli. Una cascata di doppi bipoli alimentati
da un resistore rumoroso è un ottimo modello di un ricevitore per telecomunicazioni o di
un sistema di trasmissione via cavo.
3.3.1
Calcolo F e Teq cascata di doppi bipoli
Iniziamo a calcolare la cifra di rumore-temperatura equivalente dei due stadi di figura 3.9,
supponendo che tutto sia indipendente dalla frequenza.
Calcoliamo le densità spettrali di potenza di rumore nelle varie sezioni della cascata di
(1)
doppi bipoli. Usando la (3.6), e indicando con Teq la temperatura equivalente del primo
doppio bipolo, si trova che la densità spettrale di potenza di rumore alla sua uscita vale:
´
K³
(1)
T0 + Teq
2
Pertanto, dal punto di vista del secondo doppio³ bipolo, è ´come se questo fosse alimentato
(1)
da un resistore rumoroso con temperatura Ad1 T0 + Teq . Si trova quindi che la densità
spettrale di rumore all’uscita del secondo stadio vale:
(1)
Gout (f ) = Ad1
(2)
´
K³
(1)
(2)
Ad1 (T0 + Teq
) + Teq
=
2
Ã
!
(2)
Teq
K
(1)
= Ad1 Ad2
T0 + Teq +
2
Ad1
Gout (f ) = Ad2
da cui, confrontando con l’espressione classica (3.6) della densità spettrale di potenza
all’uscita di un generico doppio bipolo, si ottiene:


(T OT )
Teq
 A
dT OT
Temperatura
doppi bipoli in
cascata
T
(2)
Procedendo con conti analoghi, per N doppi bipoli in cascata si trova che:
equivalente di
rumore di N
(1)
= Teq + Aeqd1
= Ad1 · Ad2
(1)
(T OT )
+
= Teq
Teq
(2)
Teq
Ad1
+
(3)
Teq
Ad1 Ad2
+ ··· +
(N )
Teq
Ad1 Ad2 ···Ad(N −1)
(3.14)
AdT OT = Ad1 · Ad2 · · · AdN
Alcuni commenti sulla (3.14) sono doverosi.
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3.3. Cascate di doppi bipoli
43
Figura 3.10: Tratta amplificata. L’amplificatore compensa esattamente l’attenuazione del
cavo.
• La temperatura equivalente di rumore dello stadio i-esimo è divisa per i guadagni
degli stadi precedenti.
• In presenza di guadagni positivi (in dB) risultano dunque maggiormente critici per il
rumore i primi stadi. Se si considera ad esempio un ricevitore per telecomunicazioni,
ne segue che, per avere una temperatura equivalente di rumore bassa, i primi stadi
devono essere progettati con estrema cura, in modo da avere bassa cifra di rumore,
magari a scapito del guadagno. Gli ultimi stadi, invece, sono progettati per avere
alte amplificazioni, anche se questo porta ad avere alte cifre di rumore.
• In generale è sempre meglio prima amplificare e poi attenuare, non viceversa.
Con conti simili a quelli appena fatti, si può ottenere una formula analoga per la cifra di
rumore:
−1
FT OT = F1 + FA2 −1 + AF3 −1
(3.15)
+ · · · A A FN···A
A
d1
d1
d2
d1
d2
d(N −1)
Cifra di rumore
di N doppi
bipoli in cascata
Attenzione alla presenza del −1, rispetto alla formula precedente.
3.3.2
Sistemi singola tratta
In un sistema di telecomunicazioni, per coprire lunghe distanze, si spezza spesso un collegamento in varie tratte. Una tratta è definita come segue (si faccia riferimento alla figura
3.10).
Tratte
amplificate
• E’ la cascata di un cavo seguito da un amplificatore che ne compensa esattamente le
perdite. L’amplificatore ha guadagno A e cifra di rumore Fa . Il cavo ha attenuazione
L = A e cifra di rumore L.
• Il guadagno di potenze di una tratta è dunque unitario per definizione.
Per una tratta posso applicare la (3.15) e calcolare la sua cifra di rumore:
Ftratta
F2 − 1
Fa − 1
= F1 +
=L+
= Fa L
1
A1
L
Cifra di rumore
di una tratta
(3.16)
che in dB diventa, ricordando che L|dB = α|km · D|dB/km :
Ftratta |dB = Fa |dB + α|km · D|dB/km
quindi la cifra di rumore di tratta, in dB, è linearmente proporzionale alla lunghezza del
cavo. La cifra di rumore in unità lineari cresce dunque esponenzialmente con
la lunghezza del cavo.
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singola
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Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
Figura 3.11: Sistema multitratta.
3.3.3
Cifra di rumore
cascata di N
tratte
Sistemi multitratta
Solitamente nella pratica i collegamenti a lunga distanza sono divisi in sotto-tratte di
lunghezza più piccola (vedi figura 3.11). Vediamo cosa succede in questo caso.
Consideriamo la cascata di N tratte identiche. Consideriamo ogni tratta come un
doppio bipolo con guadagno unitario e cifra di rumore Fa L (come calcolato nella (3.16)).
Con queste ipotesi, possiamo applicare la (3.15) per calcolare la cifra di rumore complessiva
della cascata di N tratte:
F (N ) = Fa L + (Fa L − 1) + · · · + (Fa L − 1) =
|
{z
}
termini
= Fa L + (N − 1)(Fa L − 1) =
(N −1)
=
N LFa − (N − 1)
(3.17)
Ottimizzazione sistemi multitratta
Calcoliamo ora il numero ottimo di tratte da utilizzare, cioè il numero di tratte che
minimizzano la cifra di rumore complessiva. Le ipotesi sono le seguenti.
• Distanza complessiva da coprire: DT OT .
• Attenuazione complessiva in dB: LT OT = α · DT OT [dB].
• Lunghezza di ogni tratta D = DT OT /N .
1
• Attenuazione di ogni tratto di cavo (unità lineari): L = LTNOT .
Con questi valori e usando la (3.17) trovo che:
1
F (N ) = N LTNOT Fa − (N − 1)
(3.18)
La figura 3.12 mostra l’andamento di F (N ) in funzione di N . Come si vede la funzione ha un minimo assoluto, che corrisponde alla cifra di rumore più bassa raggiungibile.
Trascurando il termine (N − 1) e derivando la (3.18) rispetto a N , si trova:
dF (N )
dN
µ
1
N
≈ Fa LT OT + Fa N LT OT ln(LT OT ) −N
1
µ
= Fa LTNOT 1 −
Numero ottimo
di tratte
³
1
N
ln(LT OT )
N
−2
´¶
=
¶
che, uguagliata a zero, fornisce il valore ottimo di N :
Nottimo ≈ ln (LT OT ) ≈ 0.23 · LT OT |dB
(3.19)
Il risultato va sempre arrotondato all’intero più vicino.
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3.3. Cascate di doppi bipoli
45
Figura 3.12: Andamento della cifra di rumore di un sistema multitratta in funzione del
numero di tratte. Come si vede dalla figura, la funzione ha un minimo assoluto.
Sostituendo la (3.19) nella (3.18) si trova la cifra di rumore complessiva. Dopo qualche
passaggio algebrico il risultato è:
Fottimo = Fa · ln (LT OT ) · e
(in lineare)
Fottimo |dB = Fa |dB + 10 log10 (LT OT |dB ) − 2.0378 dB
(in unità logaritmiche)
Confronto multitratta con singola tratta
Confrontiamo i sistemi singola tratta e multitratta (ottimizzato) sulla stessa distanza
complessiva. Dato che l’attenuazione totale è la stessa, si ha:
Singola tratta
Multitratta
Fsingola = Fa · LT OT
Fmulti = Fa · ln (LT OT ) · e
Nel sistema singola tratta la cifra di rumore è proporzionale alla attenuazione totale, e
dunque esponenziale con la distanza.
Nel sistema multitratta la cifra di rumore è logaritmica con l’attenuazione, e dunque
lineare con la distanza.
Si noti come la soluzione multitratta abbia prestazioni decisamente migliori a fronte
di costi molto maggiori.
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Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
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Appendice A
Riassunto formule principali sul
rumore termico
Si riportano in questa appendice le formule principali che sono state ottenute in questo
capitolo. Tali formule possono essere utili per lo svolgimento degli esercizi, e sono tutte
presenti anche sul formulario del corso (che si può scaricare dal sito del corso). Si ricorda
che il formulario è l’unico materiale che è consentito tenere in sede d’esame.
Si ricorda che è fondamentale, ed è compito dello studente, conoscere a fondo sia le
ipotesi sotto le quali sono state ottenute le varie formule, sia il significato esatto dei vari
parametri.
Per facilitare il ritrovamento di queste formule all’interno del capitolo, quando sono
state ottenute, sono state messe all’interno di un riquadro per evidenziarle meglio.
• Rumore termico: densità spettrale di potenza di rumore ai capi di una resistenza:
Gd (f ) =
KT
2
·
¸
W
;
Hz
·
K = 1.38 · 10−23
J
◦K
¸
• Rumore termico: densità spettrale di potenza di rumore in uscita da un doppio
bipolo:
K
K
Greale
(T0 + Teq (f )) = Ad (f ) T0 F (f )
out (f ) = Ad (f )
2
2
• Formule di conversione tra cifra di rumore e temperatura equivalente di un doppio
bipolo:
F
Teq
Teq
T0
= T0 (F − 1)
= 1+
• Cascate di doppi bipoli:
(2)
(T OT )
Teq
FT OT
(3)
(N )
Teq
Teq
Teq
=
+
+
+ ··· +
Ad1
Ad1 Ad2
Ad1 Ad2 · · · Ad(N −1)
F3 − 1
FN − 1
F2 − 1
+
+ ···
= F1 +
Ad1
Ad1 Ad2
Ad1 Ad2 · · · Ad(N −1)
(1)
Teq
47
48
Capitolo 3. Rumore termico e doppi bipoli
• Tratte periodiche amplificatore + attenuatore:
F (N ) = N LFa − (N − 1)
Nottimo ≈ ln (LT OT ) ≈ 0.23 · LT OT |dB
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