Fisica generale II, a.a. 2013/2014 TUTORATO 2: ELETTROSTATICA

Fisica generale II, a.a. 2013/2014
TUTORATO 2: ELETTROSTATICA
SELEZIONE DI ESERCIZI DI ELETTROSTATICA.
2.1. Un processo elettrolitico divide 1.3 mg di NaCl (massa di una mole = 59 g) in Na+ e Cl. Le
cariche positive vengono allontanate da quelle negative sino a che la forza di attrazione tra cariche
di segno opposto si riduce a 1 N. La distanza d tra cariche positive e negative è di circa
(A) 1 km
(B) 10 km (C) 40 km (D) 200 km (E) 1000 km
SOLUZIONE. Ogni ione porta una carica pari, in modulo, alla carica elementare. Il processo
elettrolitico forma
dove NA è il numero di Avogadro (  6.0221023). La carica di una mole di elettroni
(e  1.61019 C) è il Faraday (con F maiuscolo e simbolo F!) pari a

La carica degli ioni positivi/negativi in 1.3 mg di NaCl vale in valore assoluto

| |
Deve quindi essere
√
A
2.2. Tre cariche elettriche qA, qB = qC sono poste ai vertici di un triangolo
isoscele di vertice A, altezza AH = 12 cm e base BC = 6 cm. Se qB = 5 nC e il
campo elettrico nel baricentro M si annulla la carica qA vale:
(A) _______ (B) 1.22 nC (C) 2.89 nC (D) 8.64 nC (E) 20.5 nC
M
C
H
SOLUZIONE. Poichè qB = qC, |EB|=|EC|; il vettore EB+EC è verticale e ha
modulo pari a |EB+EC| = 2|EB|cos(). Il campo elettrico EA creato da qA deve
A
soddisfare la relazione:

|
EB
EC
|
Per le proprietà del baricentro:
 EA
C
H
B
√
B
Utilizzando questi valori nell’espressione di EA otteniamo:
( )
2.3. Le coordinate (in metri) dei punti ABC della figura sono riportate in tabella. Nel
punto B è posta una carica qB = 9 nC e la carica in C è scelta in
A B C
modo che il campo elettrico nel punto O (0,0) sia nullo. La carica
x 2 0 3
qA vale
y 0 3 4
(A) 3 nC
(B) 4 nC
(C) 6.75 nC
(D) 7.20 nC (E) ____nC
y
C
B
O
x
A
1
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y
SOLUZIONE. Poichè il campo elettrico prodotto in O da una carica posta in C è
diretto lungo la retta tratteggiata, i campi EB ed EA prodotti in O dalle cariche qB
e qA devono dare come risultante un vettore giacente sulla retta:
C
B

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
O A
EB
x
(
)
r
,
R
dove r è la distanza dal centro della sfera e 0 costante. a) Calcolare l’espressione della carica Q (r)
in funzione di r; b) calcolare 0.
2.4. Una carica Q è distribuita all’interno di una sfera di raggio R con densità variabile  =  0
SOLUZIONE. Un guscio sferico di raggio r < R e spessore dr ha un volume pari a
e contiene quindi una carica dq pari a

L’espressione della carica in funzione del raggio si ottiene integrando l’espressione precedente:
∫
Imponendo che la carica totale distribuita nella sfera valga Q si ottiene l’espressione della costante
0:
e l’espressione precedente può essere scritta come
( )
2.5. Un’asta sottile che porta complessivamente una carica Q = 0.5 nC viene
curvata a forma di semicerchio di raggio R = 0.707 m mantenendo uniforme la
densità della carica stessa. Il campo elettrico nel centro del semicerchio vale
(A) 5.73 V/m
(B) 2.87 V/m
(C) 1.433 V/m
(D) 0.716 V/m
(E) 0.358 V/m
O

R
SOLUZIONE. La densità lineare di carica sulla semicirconferenza è
E
dE
 O
Ogni tratto dL = Rdϑ porta una carica
dL
e crea in O un campo elettrico pari a
|

R
d
|
di cui, per la simmetria del problema, la componente orizzontale si annulla mentre solo la
componente verticale |dE|sin(ϑ) contribuisce al campo totale E. Pertanto, integrando sulla
semicirconferenza:
2
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| |
|∫
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[
|
]
2.6. Due fili conduttori circolari (1 e 2) carichi hanno i centri sull’asse delle x e appartengono a
piani paralleli a yz. Raggi (r) dei fili, ascisse (xC) dei centri e
z
cariche (q) note sono riportate in tabella. Il campo elettrico si
annulla nel punto P dell’asse delle x che ha ascissa xP = 1/3 cm.
y
La carica q2 vale
1
r (cm) xC (cm) q (C) (A) 3.0 C (B) 4.0 C
x
(C) 6.3 C (D) 9.6 C
1
1
0
1
2
(E) 12.6 C
2
2
1
?
SOLUZIONE.
a)
b)
dq

2r
P
dq
Calcoliamo il campo lungo l’asse x della spira
conduttrice 1 di centro O. La situazione è rappresentata nella figura a). Ogni tratto infinitesimo della
spira porta una carica dq e contribuisce al campo elettrico a distanza (xP2+r2)1/2 con
√
Il contributo della spira 1 al campo totale in P vale quindi
La funzione Ex(q1, P) è rappresentata nella figura b); si noti che essa presenta un massimo per
r
|x| =
e vale zero nel centro (x = 0) della spira.
2
Per la spira conduttrice 2 si ha analogamente (in centimetri,
=1)
[
]
[
]
Poiché il punto P in cui il campo si annulla appartiene al tratto di asse x compreso tra i centri delle
due spire, q1 e q2 devono avere lo stesso segno. Uguagliando il modulo dei campi prodotti in P dalle
due spire dovo aver semplificato la costante ke otteniamo
|
|
|
[
|
|
| [
]
]
3
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Il problema si può risolvere anche cercando il minimo della funzione potenziale e notando che, per
il cerchio 1, la distanza tra il punto P(x) e un qualunque punto del cerchio 1 vale (vedi fig. a)
√
√
mentre per il cerchio 2 si ha
. Il potenziale è perciò
(
)
e la sua derivata in x è proporzionale a
dove si è tenuto conto che il segno della derivata rispetto a x di
è indeterminato. Imponendo
l’annullamento della derivata del potenziale per
si arriva all’equazione precedente.
2.7. Una sfera conduttrice di raggio Rs = 10 cm con una carica
Qs = 66.67 nC ha il centro nell’origine O degli assi cartesiani. L’asse di
un lungo cilindro conduttore di raggio Rc = 2 cm e carica per unità di
lunghezza pari a Qc/L = 3 nC/m è parallelo all’asse y e interseca l’asse x
nel punto C (5,0) che è distante 5 m da O. La componente Ex del campo
elettrico nel punto P(3.2 m, 2.4 m) vale
(A) 91.25 V/m
(B) 16.87 V/m
(C) 22.50 V/m
(D) 2.5 V/m (E) 0.0 V/m
y
P
C x
O
SOLUZIONE. La sfera genera nel punto esterno P un campo ES
diretto radialmente, la cui componente parallela all’asse x è:
EC
√
P

Il campo generato dal cilindro conduttore nel punto P è
perpendicolare al filo (ECy = 0), ha verso opposto all’asse x e la sua
intensità è:
|
ES
O
|
Sommando i due contributi di sfera e cilindro si ha:
(
)
2.8. Una sferetta di massa m = 100 g e carica q (positiva) è appesa mediante un leggero
filo di seta lungo L = 0.25 m a una sottile lamina conduttrice verticale di grande
estensione che porta una carica di densità superficiale  = 0.1 mC/m2 (vedi figura). Se,
nella condizione di equilibrio, l’angolo formato tra il filo e la lamina è  = 30o la carica q
della sferetta vale
(A) 5.1 nC (B) 43.4 nC (C) 50.1 nC (D) 81.6 nC (E) 100 nC
<

T
qE
mg
4
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SOLUZIONE. La lamina conduttrice è caratterizzata da densità
superficiale di carica pari a  sulle sue superfici esterne, mentre il campo
elettrico è nullo all’interno: Einterno = 0. Per lastra sufficientemente estesa, il
campo elettrico generato dalla lastra è perpendicolare alle sue facce.
Possiamo determinare il valore di Eesterno applicando la legge di Gauss a
uno dei due cilindri disegnati nella figura a destra con S1=S2=S3= S4
Nel caso del cilindro piccolo si ha:
Q
  S2

(E)  S1 E  int 
E
0
0
S3
S1


S2
S4
0
(la superficie S2interna alla lamina non contribuisce al flusso perché Einterno = 0).
Anche nel caso del cilindro grande, essendovi una superficie carica sopra e una sotto, si ha:
Q
2  S 3
2 
(E)  ( S 3  S 4 ) E  2S 3 E  int 
E

0
0
2 0  0
La condizione di equilibrio della sferetta carica si può esprimere dicendo che
i) il momento della forza elettrica qE e della forza peso mg rispetto al punto di sospensione
devono essere uguali e opposti
ii) la risultante qE+mg deve essere diretta come il filo per essere compensata dalla tensione T
dello stesso.
Per la condizione ii) deve quindi essere

 mg tan 8.85 1012  0.1 9.8  tan(30)
mg tan  qE  q
q 0

 50.007 109 C
0

104
2.9. Una carica positiva q è posta a d =1 mm di distanza sopra il centro della calotta
semisferica di raggio R = 100 m della figura. Il flusso del campo elettrico
attraverso la superficie piana che chiude la calotta superiormente vale circa, in
valore assoluto
(A) 0
(B) 
(C) q/0
(D) q/20
(E) _________
SOLUZIONE. La carica q è contenuta nell’emisfero superiore (tratteggiato
in figura) della sfera completa in cui si trova una carica q, spostata di un tratto
d > 0 dal centro. Il flusso di E attraverso la superficie costituita dalla calotta
sferica superiore chiusa dalla superficie circolare piana di interesse è, per la
legge di Gauss:

Poiché d << R, il campo generato da q è sostanzialmente perpendicolare alla
superficie sferica della calotta superiore e il flusso attraverso questa vale quasi esattamente la metà
del flusso attraverso l’intera sfera che racchiude q:









E
5
a
b
c
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2.10. Una sfera isolante di raggio a ha una carica totale Q, distribuita con densità volumetrica
uniforme. La sfera è circondata da un guscio sferico concentrico conduttore con raggio interno b e
raggio esterno c. Disegnare qualitativamente l’andamento, in funzione della distanza dal centro, del
modulo del campo elettrico nelle varie regioni (interno della sfera isolante, tra sfera e guscio,
interno del guscio, esterno del guscio) e calcolare
(a) La carica indotta per unità di area sulla superficie interna del conduttore cavo
(b) La carica indotta per unità di area sulla superficie esterna del conduttore cavo
SOLUZIONE. La densità di carica della sfera è
Per r < a, applicando la legge di Gauss:

( )
Poiché, per definizione di flusso:

e dalle relazioni precedenti per il campo interno alla sfera interna uniformemente carica si ha
Per a  r < b, come già visto, la sfera carica si comporta come una carica puntiforme Q posta nel
suo centro e per il campo in questa regione si ha
All’interno del guscio sferico conduttore, quindi per b  r  c, il campo elettrico è nullo.
Infine, il campo prodotto all'esterno del guscio conduttore (r > c) è lo stesso che si avrebbe se la
carica Q totale della sfera interna fosse depositata direttamente sul guscio. La densità di carica
indotta sulla superficie
elettrica del guscio è
e per r > c si ha
Graficamente:
Per il fenomeno
dell’induzione elettrica, la
carica indotta per unità di
area sulla superficie
interna del conduttore
cavo vale Q/4b2,
mentre la carica indotta
per unità di area sulla superficie esterna del conduttore cavo vale +Q/4c2.
6
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2.11. Calcolare la divergenza del vettore v(P,t) = (xat)i+ (zy+byt)j 3xz k, funzione delle
coordinate del punto P e del tempo t, con a e b costanti.
SOLUZIONE. Ricordando la definizione di divergenza:
E
r
2.12. Calcolare la differenza di potenziale tra due punti a distanza
R ed R0 dall’asse di un filo carico infinitamente lungo. L’asse del r
filo coincide con l’asse x, e sul filo vi è una densità lineare di
carica 1 (in C/m).
h
E
SOLUZIONE. Per un filo carico, le superfici equipotenziali sono
cilindri che hanno per asse il filo. La differenza di potenziale tra una superficie cilindricar a distanza
R e una a distanza R0 è
R0
V ( R)  V ( R0 )   E ( r )dr
R
In qualunque punto P il campo elettrico è diretto normalmente all’asse del filo e il suo modulo per il
teorema di Gauss è:
h
1
E (r )  2πrh  1
E (r ) 
0
2π 0 r
Sostituendo tale espressione nell’integrale precedente si ottiene:
R
R0
R
 0 dr

V ( R)  V ( R0 )   E ( r )dr  1 
 1 ln 0
R
2π 0 R r
2π 0
R
2.13. Un guscio sferico metallico di raggio esterno pari a 18 cm e raggio interno pari a 12 cm
contiene una sfera metallica di raggio 2 cm; guscio e sfera sono concentrici. La sfera interna ha una
carica qS = 2 nC mentre sul guscio esterno viene posta una carica qG = – 4 nC. Il potenziale elettrico
nel punto P(r) a una distanza r = 2 cm dal centro del sistema, cioè sulla superficie della sfera
interna, vale
(A) 650 V
(B) 200 V
(C) – 70 V
(D) – 100 V
(E)  90 V
SOLUZIONE. Il potenziale elettrico in un punto P(r) è uguale al
lavoro del campo E per portare una carica unitaria da P(r) all’infinito.
Suddividiamo il percorso in 3 tratti: da P ad A, da A a B e da B
P
B
all’infinito. Il campo elettrico nella zona compresa tra sfera e superficie
A
A
P
P
interna del guscio, cioè da P ad A, è pari a quello di una carica
puntiforme qS posta nel centro del sistema; all’interno del guscio
conduttore (tratto da A a B), E = 0; all’esterno del guscio (freccia
tratteggiata da B all’infinito), il campo E è pari al campo elettrico di una carica puntiforme
qS+qG = 2 nC posta nel centro del sistema. Si ha perciò:
7
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q
q q
 rA q

V ( P)  ke   S2 dr   S 2 G dr   ke  S
 r
rB
r
 rP r





0.18 
1 
1 
 1
9
9 
 9 109  2 10 9  

  9  10   2  10   
  650 V
 0.12 0.02 
 0.18 
2.14. Un campo elettrico uniforme E ha le componenti cartesiane date in tabella assieme alle
coordinate di due punti A e B. La differenza di potenziale VAVB vale:
x
(A)79 V
(B) –37 V
(C) 33 V
E (V/m) 3
(D) 79 V(E) _______V
A (m)
0
B (m)
4
SOLUZIONE. La differenza di potenziale tra A e B è uguale al lavoro
compiuto dal campo elettrico per spostare una carica unitaria positiva da A a B:
q q
 S G
r
0.02
0.12

y
5
1
6
z
7
2
8
2.15. Una molecola triatomica (ad esempio l’idrossido di sodio NaOH) è
r13
schematizzata come l’insieme delle tre cariche della figura, considerate puntiformi.
Q1
Q2 Q3
Sia Q1 = Q3 = +e, Q2 = 2e, r12 = 0.15 nm, r23 = 0.1 nm; l’energia potenziale totale
19
19
del sistema è pari a circa (e = 1.6(10 ) C; 1eV = 1.6(10 ) J)
A r12 B r23 C
(A) 14 eV
(B) 31 eV
(C) 42 eV (D) 48 eV (E) 98 eV
SOLUZIONE. L’energia potenziale del sistema è uguale al lavoro da compiere contro il campo
elettrico per costruire la molecola, cioè per portare in posizione i tre ioni da distanza infinita. In
assenza di Q2 e di Q3, la carica Q1 viene portata in posizione al punto A senza compiere lavoro.
Per posizionare Q2 si compie un lavoro pari a
dove V1(B) è il potenziale elettrico generato dalla carica Q1 nel punto B. Per posizionare Q3 si
compie infine un lavoro pari a
(
)
Pertanto
(
)
(
[
(
)
)]
Il valore dell’energia potenziale calcolato corrisponde all’energia di legame della molecola, cioè al
lavoro che si compie per scindere la molecola portando i suoi ioni costituenti a distanza idealmente
infinita.
2.16. Il potenziale elettrico in una regione dello spazio in prossimità dell’origine cartesiana varia in
funzione della posizione x secondo la legge:
V x   a  bx  cx 2
dove le costanti hanno i seguenti valori: a = 3000 V, b = 2000 V/m,
y
B
c = 1500 V/m2. Il bastoncello AB della figura è lungo L =2 m e porta
ai suoi estremi due cariche di segno opposto e di uguale valore
P
x 8
A
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assoluto q = 1 mC. Il punto medio P di AB è vincolato nel punto di ascissa xP = 5 m dell’asse x. Il
momento rispetto a P delle forze elettriche agenti sulle cariche del bastoncello in Nm vale in
modulo
(A) 23.8
(B) 32.2
(C) 34.0
(D) 35.7
(E) 46.0
SOLUZIONE. Calcoliamo il campo elettrico lungo x partendo dal potenziale:
La forza elettrica sia sulla carica in A sia su quella in B è diretta lungo l’asse x e vale in modulo
| |
E
B+
Le
forze
elettriche
formano
una coppia il cui momento vale in modulo
y
| | |
|
FB
P
La figura a sinistra rappresenta la situazione nel caso in cui la carica
positiva è in B, mentre quella a destra
E
E
B
rappresenta la situazione nel caso in cui la

y
A
carica positiva è in A. Nel primo caso, il
FB
momento delle forze elettriche tende a far ruotare il dipolo in senso
P
antiorario, quindi M = 34.0 k. Nel secondo caso, il momento delle forze
x
FA
elettriche tende a far ruotare il dipolo in senso orario, quindi M = 34.0 k.
FA
x
E A +
2.17. Calcolare il gradiente del campo scalare f(P)=x2+y22z e il suo modulo nel punto di coordinate
P = (1, 3, 2).
SOLUZIONE. Calcoliamo il gradiente del campo:
Nel punto P si ha
|
|
√
2.18. Lungo l’asse x del piano xy il potenziale elettrico è descritto dalla funzione
V0
V ( x) 
x2
1 2
a
con V0 = 5 V e a = 2 m. La componente Ex del campo elettrico nel punto x = 4 m vale in V/m
(A) 0.45
(B) 0.89
(C) 2.68
(D) 0.36
(E) 0 V/m
SOLUZIONE. Calcoliamo la componente Ex del campo elettrico partendo dal potenziale:
⁄
(
)(
( ) )
Per x = 4 m si ha
⁄
(
( ) )
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2.19. I potenziali elettrici nei punti del piano attorno all’origine hanno i
valori riportati in tabella. La componente Ex del campo elettrico
nell’origine vale
(A) 5V/m
(B) 10V/m
(C) 5 V/m
(D) 10 V/m(E) ____ V/m
x
0m
1 m
1m
0
0
y
0m
0m
0m
1 m
1m
V(x,y)
75 V
85 V
65 V
70 V
80 V
SOLUZIONE. Calcoliamo la componente Ex del campo elettrico
nell’origine degli assi partendo dal potenziale:
y
VD=80V
VB=65V
VA=85V
VO=75V
x
Allo stesso risultato si giunge calcolando la derivata del
potenziale tra A e O e tra O e B in quanto il campo elettrico è
uniforme.
VC=70V
10