1 - Docenti.unina

OTTICA GEOMETRICA
G. ROBERTI
G. Roberti
IPOTESI
La propagazione luminosa avviene attraverso sottili
“pennelli” di luce detti “raggi luminosi” che si
approssimano con una linea retta se il raggio si propaga
nello stesso mezzo e a cui è possibile applicare le leggi
della geometria euclidea.
d
•
D
Sorgente puntiforme
Selezionando un fascio sufficientemente
stretto con un diaframma posto a grande
distanza dalla sorgente (D/d >>1) si ottiene con
buona approssimazione un fascio parallelo
G. Roberti
LE LEGGI DELLA RIFLESSIONE E DELLA RIFRAZIONE
A
O’
α β
B
O
O’’
γ C
1a legge della riflessione:
2a legge della riflessione:
1a legge della rifrazione:
2a legge della rifrazione:
mezzo 2
mezzo 1
AO = raggio incidente (luce monocromatica)
O’OO’’ = normale nel punto d’incidenza O
α = angolo di incidenza
OB = raggio riflesso β = angolo di riflessione
OC = raggio rifratto γ = angolo di rifrazione
AO, O’OO’’, OB si trovano nello stesso piano
α=β
AO, O’OO’’, OC si trovano nello stesso piano
sen (α) / sen (γ) = n12
n12 = costante che non dipende né da α né da γ, ma solo dai due mezzi a
contatto = indice di rifrazione relativo del mezzo 2 rispetto al mezzo 1
G. Roberti
INDICE DI RIFRAZIONE
A
1
2
O’
α β
O
O’’
γ C
1
α β
2
γ
B
sen (α) / sen (γ) = n12
α>γ
sen (α) > sen (γ)
sen (α) / sen (γ) > 1
n12 >1
Il raggio passa da un mezzo meno
rifrangente ad uno più rifrangente.
sen (α) / sen (γ) = n12
α<γ
sen (α) < sen (γ)
sen (α) / sen (γ) < 1
n12 < 1
Il raggio passa da un mezzo più
rifrangente ad uno meno rifrangente.
G. Roberti
INDICE DI RIFRAZIONE RELATIVO
n12 = indice di rifrazione del mezzo 2 rispetto al mezzo 1 = indice di
rifrazione per il passaggio della luce dal mezzo 1 al mezzo 2
n21 = indice di rifrazione del mezzo 1 rispetto al mezzo 2 = indice di
rifrazione per il passaggio della luce dal mezzo 2 al mezzo 1
n21 = 1 / n12
INDICE DI RIFRAZIONE ASSOLUTO
L’indice di rifrazione assoluto di un mezzo è l’indice di rifrazione relativo
per il passaggio della luce dal vuoto al mezzo considerato.
L’indice di rifrazione assoluto del mezzo 1 è l’indice di rifrazione relativo
per il passaggio della luce dal vuoto al mezzo 1:
n1 = nv1
INDICE DI RIFRAZIONE ASSOLUTO
L’indice di rifrazione assoluto si può esprimere anche in funzione
della velocità di propagazione della luce nel vuoto, c, e della velocità
della luce nel mezzo, v1:
n1 = nv1 = c / v1
Poiché la velocità della luce nel vuoto è maggiore della velocità in
ogni altro mezzo materiale, l’indice di rifrazione assoluto di
qualunque sostanza è sempre maggiore di 1.
RELAZIONE TRA INDICE DI RIFRAZIONE ASSOLUTO E RELATIVO
n12 = n2 /n1
n12 = n2 /n1 = (c/v2) (v1/c) = v1/v2
La 2a legge della rifrazione si può scrivere
sen (α) / sen (γ) = n12 = n2/n1 = v1/v2
G. Roberti
INDICE DI RIFRAZIONE DI ALCUNI MEZZI
Mezzo materiale
Aria(c.n di T e p)
Acqua(20°C)
Fluoruro di sodio
Acetone
Alcool etilico
Soluzione di zucchero(30%)
Quarzo fuso
Soluzione di zucchero(80%)
Indice
1.000029
1.33
1.33
1.36
1.36
1.38
1.46
1.49
Mezzo materiale
Normale vetro crown
Cloruro di sodio
Polistirene
Bisolfuro di carbonio
Vetro flint denso
Zaffiro
Il più denso vetro flint
Diamante
Indice
1.52
1.54
1.55
1.63
1.65
1.77
1.89
2.42
Alcuni indici di rifrazione rispetto al vuoto per λ = 589 nm.
Un mezzo che ha un indice di rifrazione maggiore/minore di
un altro si dice che è “otticamente più/meno denso”
dell’altro.
Un raggio di luce che viaggia in aria incide sulla superficie di una sfera.
Per quale angolo d’incidenza il raggio rifratto passa per il centro della
sfera?
Raggio
rifratto
sen (α) / sen (γ) = n12
sen (α) = sen (γ) n12
Se il raggio rifratto è diretto lungo il raggio della sfera, l’angolo di
rifrazione γ vale 0°. Quindi
sen (α) = sen (γ) n12 = 0
α= 0
Anche l’angolo d’incidenza è 0° e quindi il raggio incidente è pure
diretto lungo il raggio della sfera, cioè perpendicolarmente alla
superficie sferica.
Un raggio luminoso monocromatico passa da un mezzo con
indice di rifrazione 1.33 ad un mezzo con indice di
rifrazione 1.5. Sapendo che l’angolo d’incidenza è di 45°,
quanto vale l’angolo di rifrazione?
La 2a legge della rifrazione
si può scrivere
A
1
2
O’
α β
O
O’’
γ C
B
sen (α) / sen (γ) = n12 = n2/n1
sen (γ) = sen (α) n1 /n2
sen (γ) = sen (45°) 1.33 /1.5
sen (γ) = (√2/ 2) (1.33 /1.5) = 0.627
γ = arcsen (0.627) = 38.8°
Un raggio luminoso monocromatico incide su una lastra di vetro di
spessore s = 3 cm con l’angolo d’incidenza di 30°. Di quanto sarà
spostato il raggio emergente rispetto al raggio incidente ?
d
Per il principio di reversibilità ottico il
raggio incidente sulla superficie vetro-aria
con angolo γ, emerge con angolo di
rifrazione α.
Il raggio incidente e quello emergente
sono dunque paralleli.
Dal triangolo ABC
α
A
E
s = 3 cm
γ
γ
AB = AC cos (γ)
B C
α
sin(α)/sin(γ) = nvetro/naria = n
sin(α) / n = sin(γ)
γ = arcsin ( sin(α)/n)
γ = arcsin (0.5/1.52) = 19.2°
AC = AB/cos (γ)
Poiché l’angolo AĈE = α – γ, nel triangolo
ACE
EA = AC sin (α-γ) = AB sin (α – γ)/cos(γ)
d = EA = s sin (α – γ)/cos(γ)
d = s sin (α – γ)/cos(γ) =
= 3 cm sin(10.2) / cos(19°) =
= 3 cm 0.18 0.94 = 0.51 cm
Un osservatore guarda la superficie libera dell'acqua di una piscina
profonda 2 m, secondo una direzione che forma un angolo di 20° con la
normale. Sapendo che l'indice di rifrazione dell'acqua è uguale a 1.33,
di quanto appare sollevato all'osservatore il fondo della piscina?
L
α
B
A
d1
d2
α
C
D
γ
n1
Nel triangolo rettangolo ABC:
L=d1 tg (α)
Nel triangolo rettangolo ABD:
L=d2 tg (γ)
Da cui
d1 /d2 = tg (γ) / tg(α)
Se l’ angolo α è piccolo così che
tg(α) ≈ sen(α)
(1)
γ
n2
Anche γ<α sarà tale che tg(γ) ≈ sen(γ)
(1)
d1/d2 = tg (γ)/tg(α)=sen (γ)/sen(α)=n1/n2
d1 = d2 n1 /n2
Δd = d2 – d1 = d2 - d2 n1/n2 = d2( 1 - n1/n2) = 2 m ( 1 - 1/1.33) = 0.50 m
Se l’approssimazione (1) non è valida, allora dalla II legge della rifrazione
sen (γ) = n1 sen(α) /n2
d1 /d2 = tg (arcsen (n1 senα/n2))/tg(α)
Di quanto varia l’angolo di rifrazione γ se l’angolo d’incidenza passa dal
valore α al valore α + dα. Quando la luce passa da un mezzo con indice
di rifrazione n1 ad uno con indice di rifrazione n2?
Per la II legge della rifrazione
sen(α + dα) /sen (γ + dγ) = n2/n1
senα /senγ = n2/n1
Ma poichè
cos x = d (senx) /dx = (sen (x+dx) – sen(x)) /dx
sen (x+dx) = sen(x) + cos (x) dx
sen(α + dα) /sen (γ + dγ) = (sen(a) + cos (α) dα )/(sen(γ) + cos (γ) dγ) = n2/n1
n1sen(a) + n1cos (α) dα = n2sen(γ) + n2cos (γ) dγ
dγ = n1cos (α) dα / n2cos (γ)
Se n2 > n1
→
γ<α
→
cos(γ) > cos (α)
→
dγ < dα
Un raggio luminoso monocromatico incide sulla superficie di separazione
tra un mezzo A ed un mezzo B, formando un angolo di incidenza di 38°
ed un angolo di rifrazione di 25°. Lo stesso raggio luminoso, quando
incide sulla superficie di separazione tra il mezzo A ed il mezzo C con un
angolo d'incidenza di 18°, forma un angolo di rifrazione 23°. Quanto vale
l'indice di rifrazione relativo del mezzo B rispetto al mezzo C ?
Per il passaggio della luce dal mezzo A al mezzo B
sen iA/sen iB = nB/nA = nAB
Per il passaggio della luce dal mezzo A al mezzo C
sen i’A/sen iC = nC/nA = nAC
Per il passaggio della luce dal mezzo C al mezzo B
sen iC/sen iB = nB/nC = (nB/nA) (nA/nC) = (sen iA/sen iB) (sen iC / sen i’A)
nBC = nB/nC = (sen iA/sen iB) (sen iC / sen i’A) =
= (sen 38°/sen 25°)(sen 23°/sen 18°) = 1.8
RELAZIONE TRA INTENSITA’ INCIDENTE,
RIFLESSA E RIFRATTA
G. Roberti
Intensità di un raggio luminoso = energia trasportata dal raggio / (unità di
tempo) (unità di area perpendicolare al fascio) = potenza trasportata dal
fascio/ unità di area perpendicolare al fascio
Unità di misura dell’intensità luminosa
J/sm2 = W/m2
I0 = intensità incidente
IRifl = intensità riflessa
IRifr = intensità rifratta
Per incidenza perpendicolare ( α ≈ 0)
IRifl/I0 = (n2 – n1)2/(n2 + n1)2
IRifr/I0 = (I0 – IRifl)/ I0 = 1 – (IRifl/ I0) = 1 - (n2 – n1)2/(n2 + n1)2
Quanto vale l’indice di rifrazione assoluto del ghiaccio,
sapendo che la velocità della luce nel ghiaccio è di 2.3 108
m/s?
c = velocità della luce nel vuoto
cg = velocità della luce nel ghiaccio
n = indice di rifrazione assoluto del ghiaccio = c /cg > 1
n = c / cg = 2.9 108 m/s / 2.3 108 m/s = 1.3
G. Roberti
ONDE ELETTROMAGNETICHE
→
→
Eo
→
B
y
o
E
→
z
v
x
→
Bo
→
→
→
E = E(x,t)
B = B(x,t)
→
x
λ
→
→
→
E
v= λ
T
Eo
→
B
→
Bo
T
t
Questa descrizione è valida
nel caso di onde e.m.
monocromatiche in cui i
vettori E e B non cambiano
nel
tempo
(onde
em
polarizzate linearmente).
Un’onda sonora in aria ha una frequenza di 300 Hz e viaggia alla velocità di 330 m/s.
Quanto vale la sua lunghezza d’onda?
La relazione tra lunghezza d’onda λ, frequenza ν e velocità di propagazione v
(relazione di dispersione) è
λν=v
λ = lunghezza d’onda (m) (♣)
S.I.
ν = frequenza= 1/T (sec-1 = Hz)
S.I.
v = velocità di propagazione (m/s)
S.I.
λ = v / ν = 330 m/s / 300 Hz = 1.1 m
(♣)
Altre unità di misura della lunghezza d’onda:
μm (micron) = 10-6 m; nm (nanometro) = 10-9 m; Å = 10-10 m
G. Roberti
SPETTRO ELETTROMAGNETICO
λ (m)
10–12
10–14
RAGGI
GAMMA
(Hz)
10–10
RAGGI
X
ν
1022
1020
GeV
MeV
109
106
λν = c
(μm)
(Å) (nm)
10–8
10–6
keV
1016
10–4
10–2
102
1
INFRA-ROSSO
MICRO
ONDE
1014
1012
VISIBILE
1010
ULTRA-VIOLETTO
1018
(mm) (cm)
λ
RADIO
108
ν
106
3 108 Hz
E
103
(eV)
E = hν
h=costante di Planck =
= 6.626 10-34 Js
400
500
600
λ(nm)
700
G. Roberti
DIPENDENZA DELL’INDICE DI RIFRAZIONE
DALLA FREQUENZA DELLA RADIAZIONE
Dispersione normale: n
decresce al crescere di λ
Indice di rifrazione del quarzo fuso in funzione
della lunghezza d’onda
LA DISPERSIONE NORMALE DELLA LUCE
A
1
B
α β
AO = raggio incidente (luce bianca)
OB = raggio riflesso (luce bianca)
OC1 = raggio rifratto (luce rossa)
OC2 = raggio rifratto (luce gialla)
O
2
G. Roberti
C1
C4 C C2
3
OC3 = raggio rifratto (luce verde)
OC4 = raggio rifratto (luce blu)
Tutte le radiazioni di lunghezza d’onda diversa contenute nel raggio di luce
bianca incidono con lo stesso angolo d’incidenza.
Per la radiazione rossa la legge della rifrazione dà
sen (γ) = sen (α)/n12 (λrosso)
dove n12 (λrosso) rappresenta il valore dell’indice di rifrazione alla lunghezza
d’onda della radiazione rossa.
Formule simili si possono scrivere per tutte le lunghezze d’onda. Esse mostrano
che l’angolo di rifrazione γ è diverso per le diverse componenti monocromatiche
contenute nel fascio di luce bianca (dispersione della luce).
DIPENDENZA DELL’INDICE DI RIFRAZIONE
DALLA FREQUENZA DELLA RADIAZIONE
G. Roberti
Nella dispersione anomala l’indice di rifrazione cresce al
crescere di λ.
Lo stesso materiale può avere dispersione normale in un
certo intervallo spettrale e dispersione anomala in un altro
intervallo spettrale.
Angolo di
deviazione
Prisma di materiale a dispersione normale: la radiazione rossa ha
indice di rifrazione minore e quindi viene deviata di meno
G. Roberti
RIFLESSIONE TOTALE
αl
1
2
Consideriamo
un
raggio
luminoso
monocromatico che passa da un mezzo
più rifrangente ad uno meno rifrangente
(n1 > n2).
α
γ
γ=90°
L’angolo di rifrazione, γ, sarà sempre
maggiore dell’angolo d’incidenza, α.
Ad un raggio rifratto con angolo di
rifrazione γ = 90 ° (rifrazione radente)
corrisponde un angolo d’incidenza αl <
90°.
Un raggio incidente con un angolo α > αl non può essere più rifratto, ma sarà
riflesso con le stesse leggi della riflessione normale, ma senza perdite
d’intensità (riflessione totale).
Il valore dell’angolo αl (angolo limite) si può ottenere dalla 2a legge della
rifrazione applicata all’incidenza con l’angolo limite:
sen (α) / sen (γ) = n12
α = αl
γ = 90°
sen (αl) = n12
αl = arcsen (n12)
Un’impurità puntiforme si trova al centro di un cubo di vetro di spigolo
10 cm. Quale raggio R deve avere un cerchio di cartone da incollare al
centro di ciascuna faccia per non vedere l’impurità?
Si consideri che l’angolo limite αlim per il passaggio della luce dal vetro
all’aria è di 42°.
α=αlim
R
l/2
α<αlim
α=αlim
Solo i raggi che partono dall’impurità e che vengono trasmessi attraverso
la faccia del cubo devono essere assorbiti dal cartoncino. Quelli che
subiscono la riflessione totale non devono essere schermati. Per cui
R = (l/2) tg (αlim) = 5 cm tg ( 42°) = 5 cm x 0.9 = 4.5 cm
G. Roberti
RIFLESSIONE TOTALE
Nel passaggio della luce dal vetro ( n = 1.5 (vetro crown) – 1.65 (vetro flint))
all’aria (n ≈ 1) si può avere il fenomeno della riflessione totale per angoli
d’incidenza maggiori dell’angolo limite αl = arcsen (1/1.5) = 41.8 ° per il vetro
crown e αl = arcsen (1/1.65) = 37.3° per il vetro flint.
Angolo limite per il passaggio della luce dall’acqua (n=1.33) all’aria (n ≈ 1) è
αl = arcsen (1/1.33) = 48.8°
45
°
45°
°
45
°
45
45
°
PRISMI A RIFLESSIONE TOTALE
45
°
G. Roberti
FIBRE OTTICHE
nc = indice di rifrazione assoluto del core
ng = indice di rifrazione assoluto della guaina
ng/nc << 1
“core”
guaina
αl = arcsen (ng/nc) << 45°
αmax = angolo di accettazione della fibra =
angolo massimo che forma un raggio entrante
nella fibra affinchè possa uscire dall’altra
estremità
αmax
Apertura numerica (NA) = nosen(αmax) = (nc2 – ng2)1/2
NA = 1.0
0.1 ≤ NA ≤ 1.0
Generalmente
La radiazione incidente con qualsiasi angolo viene
trasmessa dalla fibra.
G. Roberti
Specchio piano
M= ingrandimento lineare =
= dimensione lineare immagine /
corrispondente dimensione lineare oggetto
Oggetto
Immagine
altezza immagine h′ q
= =
M≡
h p
altezza oggetto
p=q
M=1
Gli specchi piani hanno ingrandimento = 1
• La distanza immagine-specchio è uguale alla distanza oggetto-specchio.
• L’immagine non è ingrandita nè rimpicciolita, è virtuale e non capovolta.
G. Roberti
Specchio piano
O = sorgente puntiforme
I = immagine
I raggi riflessi divergono,
mentre i loro prolungamenti si
incontrano nel punto I.
SPECCHIO
I è l’immagine del punto O e si
forma in posizione simmetrica
alla sorgente rispetto al piano
dello specchio ( p =q).
L’immagine formata da uno specchio piano è un’immagine virtuale: in
essa non c’è effettiva concentrazione di energia luminosa (immagine
reale), ma tutto va come se i raggi luminosi provenissero dall’immagine,
anche se essi non si incontrano effettivamente in essa.
Una persona di altezza 160 cm è in piedi di fronte ad uno specchio
piano verticale. Quale deve essere l’altezza minima dello specchio
affinché la persona si possa specchiare completamente?
uomo
C
h1
B
h2
D
h1
E
immagine
testa
h2
occhio
A
piedi
E
h1 = altezza base piedi - occhi
h2 = altezza occhi – sommità della testa
h1 + h2 = h = altezza dell’uomo
Poiché i due triangoli ABC e CDE sono isosceli, il tratto di specchio BD
necessario a formare l’immagine sarà
BD = BE + ED = h2/2 + h1/2 = (h1 + h2)/2 = h/2 = 80 cm
La porzione di specchio necessaria a formare l’immagine cambia al
variare della distanza uomo-specchio?
occhio
Uomo in piedi
lontano dallo
specchio
occhio
Uomo in piedi
vicino allo
specchio
α
Immagine
dell’uomo in piedi
vicino allo
specchio
Immagine
dell’uomo in piedi
lontano dallo
specchio
Tracciando i raggi che vanno dall’immagine virtuale agli occhi dell’uomo
a diverse distanze dallo specchio si vede che la porzione di specchio
necessaria a formare l’immagine non cambia al variare della distanza
uomo-specchio, se si suppone che l’angolo di accettazione dei raggi
luminosi da parte dell’occhio è di 180°.
Poiché l’angolo di accettazione dell’occhio (considerato fisso) αmax è di
140° (2.44 rad), questo pone un limite alla minima distanza d a cui,
usando uno specchio di altezza h/2, si può vedere l’intera immagine
della persona.
Calcolo della minima distanza a cui è possibile vedere l’intera persona
con altezza dello specchio pari a h/2
te
o
i
g
g
Ra
Ra
gg
hio
c
c
o
sta-
h2 = distanza tra occhio e piede = 150 cm
α1 h1/2
d
io
h1 = distanza tra sommità
della testa e occhio = 10 cm
pi e
de
d = distanza uomo-specchio
α2 h /2
2
-oc
ch
io
h1/2 = d tg(α1)
h2/2 = d tg(α2)
tg(α)=tg(α1 + α2)=(tg(α1)+tg(α2))/(1 –tg(α1) tg(α2)) =
= (0.8 /d) /( 1 – 3.75 10-2/d2 )
Se α < αmax
tg(α) = (0.8 /d) /( 1 – 3.75 10-2/d2 ) <
tg(αmax) = 0.839
Dal grafico si vede che la condizione è
verificata quando
d > 3 - 4 cm
Una sorgente puntiforme si trova tra due specchi piani che formano un
angolo di 90°. Quante sono le immagini che si formano?
S = sorgente puntiforme
S1
I
S
I = immagine della sorgente S
prodotta dallo specchio S1 (raggi
che si riflettono solo su S1)
I’ = immagine della sorgente S
prodotta dallo specchio S2 (raggi
che si riflettono solo su S2)
S2 I’’ = immagine prodotta dallo
specchio
S2
usando
come
sorgente l’immagine I (raggi che
si riflettono prima su S1 e poi su
S2)
I’’
I’
I’’ = immagine prodotta dallo specchio S1
usando come sorgente l’immagine I’ (raggi che
si riflettono prima su S2 e poi su S1)
Chiralità
Un oggetto si dice chirale quando non è sovrapponibile attraverso
rotazioni o traslazioni con la propria immagine speculare.
Un oggetto che possiede un asse di
simmetria verticale è achirale (per es.
la lettera “A“ è achirale).
Il corpo umano è chirale.
A
A
Navon, David (2001) The Puzzle of Mirror Reversal: a View from
Clockland, Psycoloquy: 12,#17 Mirror Reversal (1)
Burgess, Dr Neil (2001) The Effect of Mirror-Reflection on Chirality
and Handedness Can be Explained Without Social Psychology ,
Psycoloquy: 12,#31 Mirror Reversal (2)
Corballis, Michael C. (2001) Why Mirrors Reverse Left and Right,
Psycoloquy: 12,#32 Mirror Reversal (3)
Laurent, Eric (2002) From Piaget's Assimilating Mind to Navon's
Clockland: Towards a Categorical Account of Mirror Vision.,
Psycoloquy: 13,#5 Mirror Reversal (4)
Navon, David (2002) It Takes Two for an Inverse Relationship,
Psycoloquy: 13,#11 Mirror Reversal (5)
Navon, David (2002) It is Not All in Our Mind, Psycoloquy: 13,#12
Mirror Reversal (6)
Navon, David (2002) Recognizing Left-Right Reversal for What
it is, Psycoloquy: 13,#13 Mirror Reversal (7)
http://psycprints.ecs.soton.ac.uk/view/topics/mirror-reversal.html
Come si fa a capire, osservando l’immagine di un oggetto, se una
macchiolina si trova sull’oggetto e sullo specchio?
Immagine virtuale
Immagine virtuale
Oggetto
Oggetto
Se la macchiolina si trova
sull’oggetto la sua posizione
rispetto all’oggetto non cambia.
Se la macchiolina si trova sullo
specchio la sua posizione
rispetto all’oggetto cambia.
G. Roberti
Diottro sferico
Il diottro sferico è una superficie di separazione
sferica tra due mezzi con diverso indice di rifrazione.
n1, n2 = indice di rifrazione dei mezzi 1 e 2;
R, C = raggio e centro della superficie sferica;
AQ, QA’ = raggio incidente e raggio rifratto
x, x’ = distanza sorgente-diottro e diottro-immagine
G. Roberti
Diottro sferico
Per valori piccoli dell’angolo ϑ (raggi
parassiali) il diottro è un sistema stigmatico:
tutti i raggi uscenti dallo stesso punto
sorgente si incontrano nello stesso punto
immagine.
Equazione del diottro
n1/x +n2/x’ = (n2-n1)/R
Formula del diottro
sferico:dimostrazione
α
T
i=θ+α
α = r + θ’
Per raggi parassiali
sin(ϑ ) ≅
h
x
sin(α ) ≅
sin(i ) = sin(α + ϑ ) = sin(α ) cos(ϑ ) + sin(ϑ ) cos(α )
sin( r ) = sin(α − ϑ ' ) = sin(α ) cos(ϑ ' ) − sin(ϑ ' ) cos(α )
cos(ϑ ) ≅ cos(ϑ ' ) ≅ cos(α ) ≅ 1
h
R
sin(ϑ ' ) ≅
h
x'
Ricordando che, per la II legge della rifrazione,
n1 sin(i ) = n2 sin(r )
n1 (sin(α ) + sin(ϑ )) = n2 (sin(α ) − sin(ϑ ' ))
e OT ≡ O
⎛h h⎞
⎛ h h⎞
n1 ⎜ + ⎟ = n2 ⎜ − ⎟
⎝ R x' ⎠
⎝R x⎠
n1 n2 n2 − n1
+ =
x x'
R
37
G. Roberti
Fuochi del diottro sferico
I fuochi sono i punti coniugati dei punti all’infinito, cioè i
punti in cui si concentrano i raggi provenienti dall’infinito
dopo la rifrazione sul diottro.
Primo fuoco
Dall’equazione del diottro
n1/x +n2/x’ = (n2-n1)/R
x’ = R n2/(n2-n1) - n1n2/x
x →∞ x’ →f2 = R n2/(n2-n1)
Secondo fuoco
Dall’equazione del diottro
n1/x +n2/x’ = (n2-n1)/R
x = R n1/(n2-n1) - n1n2/x’
x’ →∞ x →f1 = R n1/(n2-n1)
Costruzione grafica dell’immagine di una
sorgente estesa da parte del diottro sferico
G. Roberti
Per ogni punto della sorgente bisogna considerare i raggi seguenti:
I) Il raggio passante per il centro di curvatura del diottro che non viene
deviato nell’attraversamento del diottro stesso.
II) Il raggio che incide parallelamente all’asse ottico del diottrico, che, dopo
la rifrazione sul diottro, passa per uno dei fuochi del diottro.
III) Il raggio che esce da uno dei fuochi, dopo l’attraversamento del diottro,
viene deviato in modo da risultare parallelo all’asse ottico del diottro.
B
II
I
A
F1
III
F2
O
A’
C
B’
G. Roberti
Diottro sferico
Introducendo le formule delle distanze focali nella
formula del diottro, questa diventa:
f1/x + f2/x’ = 1
Nell’ approssimazione di Gauss:
I) raggi parassiali
II) oggetti di piccole dimensioni (l << x+R))
Dalla formula del diottro
x’/x = (n2/n1)(x’-R)/(x+R)
(1)
Dalla similitudine tra ABC e A’B’C
A’C/AC = l’/l
(x’–R)/(x+R) = l’/l
Dalle equazioni (1) e (2) si ricava l’ingrandimento lineare G:
G = l’/l = x’ n1/x n2
(2)
Dimostrazione per il calcolo dell’ingrandimento di diottro
(formula (1) della diapositiva precedente)
n1/x + n2/x’ = (n2 – n1)/R = n2/R – n1/R
n1/x + n1/R = n2/R – n2/x’
n1(1/x + 1/R) = n2(1/R – 1/x’)
n1 (x + R) / Rx = n2 (x’ – R ) / Rx’
x’/x = n1(x + R) / n2(x’ – R)
Lente semplice
G. Roberti
Un sistema ottico centrato è costituito è un sistema
costituito da due o più superfici sferiche di separazione
(diottri sferici) aventi i centri sulla stessa retta.
Una lente è il più semplice sistema ottico centrato ed è costituita da due
diottri semplici, in cui il primo e terzo indice di rifrazione sono uguali.
Si applica due volte la legge del diottro: l’immagine formata dal primo diottro
fa da sorgente per il secondo diottro.
Dimostrazione della formula delle lenti spesse
1° diottro
2° diottro
n1/x1 + n2/x’ = (n2 – n1)/R’
n2/(d – x’) + n1/x2 = (n1 – n2)/R’’
Sommando membro a membro le due equazioni e riordinando gli addendi
n1/x1 + n1/x2 = (n2 – n1)/R’ – (n2 – n1)/R’’ – n2 /(d – x’) – n2 / x’
Dividendo ambo i membri per n1
1/x1 + 1 /x2 = (n – 1) ( 1/R’ – 1/R”) – n (1/x’ + 1/(d – x’))
(n2/n1= n)
G. Roberti
Lenti sottili
Applicando due volte la formula del diottro ad una lente semplice si ha:
1/x1 + 1 /x2 = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”) – n (1/x’ + 1/( d-x’))
dove
x1, x2= distanza sorgente-lente e lente-immagine
n2 = indice di rifrazione assoluto del mezzo di cui è fatta la lente
(n = n2 /n1)
n1 = indice di rifrazione assoluto del mezzo in cui è immersa la lente
R’, R’’ = raggi di curvatura del primo e secondo diottro sferico
d = spessore della lente
x’ = distanza primo diottro-immagine della sorgente formata dal primo diottro
Nel caso di lente sottile (d<<x’) e 1/(d-x’) ≈ - 1/x’. Quindi
1/x1 + 1 /x2 = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
G. Roberti
Lenti sottili
Formula delle lenti sottili o
formula dei punti coniugati
La quantità (n-1) ( 1/R’ – 1/R”), che ha le dimensioni del reciproco di una
distanza che rappresenta la distanza focale della lente, cioè.
1/x1 + 1 /x2 = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
1/f = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
Formula dei costruttori di lenti
Infatti se la sorgente si pone all’infinito (x1 →∞)
,
allora l’immagine si forma nel
fuoco (x2 →f). Se l’immagine si forma all’infinito (x2 →∞)
trova nel punto x1
,
allora la sorgente si
→f.
P = 1/f = potere diottrico o potere convergente della lente
Il potere diottrico di una lente si misura nel S.I. in m-1= diottria (D)
Esempi:
Una lente di focale 50 cm ha il potere diottrico
P = 1/50 cm = 1/0.5 m= 1/(1/2 m) = 2 m-1 = 2 D
Una lente di focale 20 cm ha il potere diottrico
P = 1/20 cm = 1/0.2 m= 1/(1/5 m) = 5 m-1 = 5 D
Una lente concentra i raggi solari in un punto posto a 20 cm dalla lente. Quanto
vale la potenza della lente?
D = potenza = potere diottrico =
= potere convergente =
= 1/distanza focale = 1 / f
F
⋅
D si misura in m-1 = diottria (D)
(S.I.)
f = 20 cm = 0.2 m
D = 1 / f = 1 / 0.2 m = 1 / ( 2/10 m) = (10/2) m-1 = 5 D
Un oggetto è posto alla distanza di 25 cm davanti ad una
lente di +6 D. A quale distanza dalla lente si forma
l’immagine?
Formula delle lenti sottili o formula dei punti coniugati
1/p +1/q=1/f
q
p = 25 cm = 0.25 m
1/f=6D
f = (1 / 6) m = 0.17 m
p>f
p
1 / q = 1 / f - 1 / p = 6 m–1 – 1/ (1/4) m = (6 – 4) m-1 = 2 m-1
q = 1/2 m = 0.5 m = 50 cm
A quale distanza da una lente di +20 D bisogna porre un oggetto
per ottenere un’immagine reale ingrandita di due volte?
B
q
L
O
A’
A
p
1/p +1/q=1/f
q=Ip
(1 / p) (1 + 1 / I ) = 1 / f
B’
Ingrandimento lineare =
= I = L’ /L
Dalla similitudine tra
i due triangoli AOB
L’
e AOB’
I = L’/L = q /p
1/p +1/Ip=1/f
(1 / p) (I + 1) / I = 1 / f
(1 / p) = (1 / f ) I / (I + 1) = 20 D 2 / (2+1) = 40/3 D
p = (3/40) m = 3/4 10-1 m = 0.75 10-1 m = 7.5 cm
G. Roberti
Lenti sottili: convenzione dei segni
Spazio sorgenti = S
R
Spazio immagini = I
R’ >
0
<
’’
0
C’’
x2 < 0
C’
x1 > 0
x1 < 0
x2 > 0
C’, C” = centro
di curvatura
del 1° e 2°
diottro
R’, R” = raggi
di curvatura
del 1° e 2°
diottro
1/x1 + 1 /x2 = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
Una sorgente ha coordinata x positiva, se si trova nello spazio-sorgenti S,
coordinata negativa se si trova nello spazio-immagini I.
Una immagine ha coordinata x positiva, se si trova nello spazio-immagini I,
coordinata negativa se si trova nello spazio-sorgenti S.
R’ > 0 se C’ è nello spazio-immagini I; R’ < 0 se C’ è nello spazio-sorgenti S.
R’’ > 0 se C’’ è nello spazio-immagini I; R’’ < 0 se C’’ è nello spazio-sorgenti S.
Lenti sottili
G. Roberti
Ingrandimento lineare
ff
f
L’ingrandimento lineare G è il rapporto tra le dimensioni lineari dell’immagine e
dell’oggetto = l2/l1. Dalla similitudine dei triangoli A1OB e A2OB2
G = l2/l1 = x2/x1
Immagine
capovolta
e reale
x1 > 0
Sorgente nello spazio sorgenti
x2 > 0
Immagine nello spazio immagini
G>0
G. Roberti
Lenti sottili
f
f
f
f
f
f
G. Roberti
Lenti sottili
f
f
f
f
f
f
Lenti sottili
G. Roberti
In tutte le costruzioni geometriche precedenti, l’immagine ottenuta
era stigmatica e non distorta. Questo avviene se sono soddisfatte le
seguenti condizioni:
Fasci di raggi parassiali
Oggetti di piccole dimensioni
Radiazioni monocromatiche
Queste condizioni non si verificano in pratica, quando sono
necessari
Grandi aperture di diaframma per avere immagini luminose
Lenti di grande apertura (obiettivi grandangolari) per ottenere
immagini di oggetti di grandi dimensioni
G. Roberti
Lenti sottili
f
G = x2 / x1 > 0
f
f
f
Una sorgente posta ad una distanza da una lente convergente maggiore
della distanza focale fornisce un’immagine reale e capovolta. Poiché nel
caso del disegno x1 > 2f ═► G < 1
Lenti sottili
f
G. Roberti
f
G = x2 / x1 < 0
f
f
Una sorgente posta ad una distanza da una lente convergente minore
della distanza focale fornisce un’immagine virtuale e dritta. Poiché in
questo caso x1 < 2f ═►|G| > 1
Lenti sottili convergenti: ingrandimento
Per valutare il valore dell’ ingrandimento consideriamo i seguenti casi:
═> x2 = x1
═>
G = 1 ═> x2/x1 = 1
═> 1/x1 + 1/x1 = 1/f
═> 2/x1 = 1/f
═> x1 = x2 = 2f
G>1
═> x2/x1 > 1
═> x2 = f x1 / (x1 – f) > x1
═> x12 – 2fx1 < 0
═> (x1– 2f) < 0
═> x2 > x1
═> fx1 > x12 – fx1
═> x1 (x1– 2f) < 0
═> x1 < 2f
═>
═>
═>
Analogamente si trova che se G < 1 allora x1 > 2f
Dall’equazione dei punti coniugati: 1/x1 + 1/x2 = 1/f si trova che
1/x2 + = 1/f - 1/x1
x2 = f x1 / (x1 – f)
1/x2 = (x1 – f) /f x1
G. Roberti
Lenti sottili
f
f
f
f
G = x2 / x1 < 0
Una sorgente posta nello spazio sorgenti di una lente divergente
fornisce un’immagine virtuale, dritta e rimpicciolita.
Lenti sottili divergenti: ingrandimento
Quando la sorgente si trova nello spazio sorgenti
x1 > 0
Poiché la lente è convergente
f<0
In questo caso
Poiché
x1 > f
1/x2 = 1/f - 1/x1 < 0
1/ x1 > 1/f
x2 < 0
Essendo sia 1/f che -1/x1 due quantità negative
1/x2 = 1/f - 1/x1 < 1/f
1/x2 = 1/f - 1/x1 < -1/x1
x2 > f
Dalla prima delle due equazioni si ha che
cioè che la posizione dell’immagine è sempre tra il vertice della
lente ed il fuoco.
Dalla seconda delle equazioni si ha che x2 > - x1
Ricordando che |x2| = - x2
|x1| = x1
I = | x2 | / | x1 | < 1
- x2 < x 1
Lenti sottili: altre formule per
l’ingrandimento
Dalla formula dei punti coniugati
1/x1 + 1 /x2 = 1/f
1/x1 = 1/f - 1 /x2
1/x1 = (x2 – f) /x2 f
Quindi l’ingrandimento G può scriversi
G = l2/l1 = x2/x1 = x2 . (1/x1) = (x2 –f)/f
Analogamente
1/x2 = 1/f - 1 /x1
1/x2 = (x1 – f) /x1 f
G = l2/l1 = x2/x1 = (1/x1)/(1/x2) = (1/x1) x1f /(x1–f) = f /(x1–f)
In definitiva
G = (x2 – f) / f
G = f / (x1 – f)
G. Roberti
Un oggetto è posto ad una distanza da una lente convergente pari al
doppio della distanza focale della lente. Quanto vale l’ingrandimento
lineare in questa situazione?
Formula delle lenti sottili o formula dei punti coniugati
1/p +1/q=1/f
q
p=2f
1 / 2f + 1 / q = 1 / f
1 / q = 1 / f – 1 / 2f
p
1 / q = (1 – 1/2) / f = 1 / 2f
q=2f
I=q/p=2f /2f=1
Sistemi a più lenti sottili
G. Roberti
Se consideriamo un sistema costituito da due o più lenti sottili i cui assi ottici
coincidano, per trovare l’immagine di una sorgente
1) Si determina la posizione e l’ingrandimento dell’immagine formata dalla
lente più vicina alla sorgente attraverso la formula dei punti coniugati;
2) Si considera l’immagine così ottenuta come sorgente per la seconda lente e si
determina la posizione e l’ingrandimento della seconda immagine;
3) Si ripete il punto 2) fino ad esaurire tutte le lenti del sistema.
Se le lenti sottili sono accostate, il potere diottrico del sistema è la somma dei
poteri diottrici delle singole lenti:
D = D1 + D2 + D3 +....... = 1/f1 + 1/f2 + 1/f3 + .....
Una lente con distanza focale 25 cm viene addossata ad un’altra lente
di distanza focale = - 20 cm. Quanto vale la potenza del sistema
ottico costituto dalle due lenti ?
Se le lenti sottili sono accostate, il potere diottrico del sistema è la somma dei
poteri diottrici delle singole lenti:
D = D1 + D2 + D3 +....... = 1/f1 + 1/f2 + 1/f3 + .....
f1 = 25 cm
f2 = – 20 cm
D1 = 1/f1 = 1/0.25 m = 1/(1/4 m) = 4 m-1 = 4 D
D2 = –1/f2 = –1/0.20 m = –1/(1/5 m) = –5 m-1 = –5 D
D = D1 + D 2 = 4 D – 5 D = - 1 D
Due lenti convergenti di distanza focale 20 cm e 25 cm sono poste in
modo che il primo fuoco della prima coincida col secondo fuoco della
seconda. Quanto vale il potere diottrico di questo sistema di lenti?
f1 = 20 cm
f2 = 25 cm
Il sistema trasforma un fascio di raggi paralleli in un fascio di raggi
paralleli: ha quindi
f ―> ∞
D = 1/f ―> 0
NB – Il potere diottrico totale di due lenti quando le lenti non sono
addossate è diverso da quello che si ha quando le lenti non sono
addossate.
Una lente con potere diottrico di 5 diottrie viene immersa in acqua.
Quale sarà il suo potere diottrico in questa situazione?
1/f = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
Formula dei costruttori di lenti
n2 = indice di rifrazione assoluto del mezzo di cui è fatta la lente
n1 = indice di rifrazione assoluto del mezzo in cui è immersa la lente
n = n2 /n1
Se la lente è immersa in aria
n1 ≈ 1
n2 = 1.52
naria = n2 /n1 = 1.52
Se la lente è immersa in acqua
n1 ≈ 1.33
n2 = 1.52
nacqua = n2 /n1 = 1.52/1.33
Il rapporto tra il potere diottrico della lente immersa nell’acqua, Dacqua,
e nell’aria, Daria è
Dacqua / Daria = (1/facqua)/(1/faria) = (nacqua - 1)/ (naria - 1) =
= (1.52 - 1 )/(1.52/1.33 - 1) = 0.52/(1.14 - 1) = 0.52/0.14 = 3.71
Dacqua = Daria x 3.71 = 5 D x 3.71 = 18.6 D
Aberrazioni assiali
G. Roberti
Le aberrazioni assiali sono deformazioni delle immagini che si
verificano quando il punto sorgente si trova sull’asse della
lente.
Aberrazioni assiali: aberrazione di sfericità
Fuoco
marginale
Fuoco
parassiale
Il punto centrale dell’immagine nel
fuoco
parassiale
rappresenta
l’mmagine parassiale del punto
sorgente.
Si verifica quando per il sistema
sorgente-lente
non
è
verificata
l’approssimazione di Gauss.
Ad un punto sorgente all’infinito
sull’asse della lente non corrisponde più
un punto immagine: i raggi che incidono
più lontano dall’asse ottico (raggi
marginali) dopo la rifrazione si
incontreranno in un fuoco marginale,
mentre quelli che incidono più vicino
all’asse
ottico
(raggi
parassiali)
convergeranno nel fuoco parassiale.
L’inviluppo di tutti i raggi rifratti
formerà la superficie caustica, che ha
un’asse, ma non un centro di simmetria.
Correzione dell’aberrazione di sfericità
G. Roberti
Per correggere l'aberrazione sferica si può ricorrere al sistema tradizionale
della combinazione di una lente positiva con una negativa più debole affetta da
aberrazione sferica uguale ma di segno opposto (la focale parassiale è minore di
quella marginale).
Quest'ultimo metodo può essere applicato in modo più preciso che in passato, in
quanto i vetri ottici oggi disponibili permettono ampie possibilità di scelta in
termini di rifrazione e dispersione.
Alcuni moderni vetri al boro, al lantanio e al torio, avendo un alto indice di
rifrazione e proprietà medie di dispersione, provocano la necessaria deviazione
dei raggi di luce con elementi di minore spessore e con curvature poco
accentuate delle superfici ottiche, condizione essenziale per impedire
l'insorgere di questo tipo di aberrazione.
Un sistema corretto per l’aberrazione di sfericità si dice aplanatico.
Aberrazioni assiali:
aberrazione di cromaticità
G. Roberti
Poiché l’indice di rifrazione dipende
dalla lunghezza d’onda, un fascio di
raggi policromatici paralleli nella
direzione dell’asse ottico non si
concentra in un unico punto, ma in
tanti punti, quanti sono le componenti
monocromatiche del fascio.
Correzione dell’aberrazione di cromaticità
Doppietto acromatico: una lente positiva (potere diottrico Dc) di
vetro crown + lente negativa (Dd) di vetro flint. Il vetro flint ha
un potere dispersivo maggiore di quello del crown, cioè il suo
indice di rifrazione ha una dipendenza dalla frequenza più forte
di quella del crown,
I raggi di curvatura delle due lenti sono scelti in modo tale che
Potere diottrico totale = Dc + Dd = Dob > 0
Dob (blu) = Dob ( rosso)
Un sistema corretto per l’aberrazione di cromaticità si dice
acromatico.
G. Roberti
Aberrazioni extra-assiali: coma
P’
P
Immagine
parassiale di P’
Se la sorgente puntiforme P si trova al di fuori dell’asse, i raggi marginali non
solo si convergono a distanza diversa dalla lente (aberrazione di sfericità), ma
anche a distanza diversa dall’asse.
Nel piano dell'immagine si forma una figura a forma di cometa con il suo apice
nel punto P', immagine parassiale della sorgente. La figura di aberrazione è
tanto più grande quanto maggiore è la distanza della sorgente dall'asse ottico
ed è qui schematizzata da una serie di anelli ognuno dei quali è il contributo di
una particolare zona anulare della lente.
G. Roberti
Aberrazioni extra-assiali: coma
Il coma si corregge con lo stesso sistema usato per l’aberrazione di sfericità
(doppietto asferico). Normalmente un sistema corretto per l’aberrazione di
sfericità, il coma risulta abbastanza corretto.
Aberrazioni extra-assiali:
astigmatismo dei raggi inclinati
G. Roberti
- Il piano meridiano MM’
contiene la sorgente e
l’asse ottico
- Il piano sagittale SS’ è
perpendicolare ad MM’.
La sorgente puntiforme produce due immagini stigmatiche a forma di segmenti:
l’immagine ad orientamento sagittale è a fuoco sul piano I, l’immagine ad
orientamento meridiano è a fuoco sul piano III.
Sul piano intermedio II , l’immagine ha forma circolare (cerchio di minima
confusione).
G. Roberti
Aberrazioni extra-assiali:
curvatura di campo
L0
Ls
Lm
Al variare della distanza della sorgente L dall’asse ottico le due immagini
astigmatiche ad orientamento sagittale e meridiano e l’immagine di minima
confusione si muovono,rispettivamente, sulle tre superficie semisferiche Ls e
Lm e L0.
Sistema anastigmatico
Se
Ls ≡ Lm ≡ L0
Se
Ls ≡ Lm ≡ L0 ≡ superficie piana
Sistema planetico
L’astigmatismo e la curvatura di campo si correggono con un’opportuna scelta
dei parametri costruttivi del sistema ottico.
G. Roberti
Aberrazioni extra-assiali: distorsione
Un sistema corretto sia per l’astigmatismo che per la curvatura di campo
(planetico) presenta un ingrandimento diverso per segmenti diversi della
sorgente (sistema non ortoscopico).
Questo fatto dà luogo al fenomeno della distorsione che può essere “ a botte”
o a” a cuscino”.
Un qualunque sistema formato da due parti uguali simmetricamente disposte
rispetto ad un piano perpendicolare all’asse non presenta distorsione.
Riflessione e rifrazione
A
1
2
O’
αβ
O
O’’
γ C
B
γ
Formalmente
la
2a legge
della
riflessione si può scrivere come un caso
particolare della 2a legge della
rifrazione. Infatti nella riflessione
γ = 2π – β = 2π – α
sen (α)/sen (γ) = sen (α)/sen (2π-α) =
sen (α)/sen (-α) = sen (α)/-sen (α) = - 1
D’altra parte per la 2a legge della rifrazione
sen (α) / sen (γ) = n2/n1
Da cui
n2/n1 = - 1
n1 = 1
n2 = - 1
Le formule ricavate per la rifrazione valgono anche per la
riflessione se si pone n1=1 e n2 = -1.
Specchio sferico convesso
R
>0
F2
x < 0 x’ > 0
x > 0 x’ < 0
Eq. del diottro sferico
n1/x +n2/x’ = (n2-n1)/R
Eq. del 2° fuoco
f2 = R n2/(n2-n1)
Ingrandimento lineare
G = l’/l = x’ n1/x n2
C
n1 = 1
n2 = - 1
Eq. dello specchio sferico
1/x - 1/x’ = -2/R
Eq. del fuoco dello specchio
f = R/2
Ingrandimento lineare
G = l’/l = - x’ /x
R
<0
Specchio sferico concavo
x >0
x’ < 0
Eq. del diottro sferico
n1/x +n2/x’ = (n2-n1)/R
Eq. del 1° fuoco
f1 = R n1/(n2-n1)
Ingrandimento lineare
G = l’/l = x’ n1/x n2
C
n1 = 1
n2 = - 1
F1
x <0
x’ > 0
Eq. dello specchio sferico
1/x - 1/x’ = -2/R
Eq. del fuoco dello specchio
f = - R/2
Ingrandimento lineare
G = l’/l = - x’ /x
Specchio sferico convesso:
costruzione dell’immagine
x>0
G < 0
1/x - 1/x’ = -2/R
f = R/2
G = l’/l = - x’ /x
1/x’ = 1/x+2/R
>0
x’ > 0
1/x’ > 1/x
x’ < x
Immagine rimpicciolita
⏐G⏐ = x’/x < 1
Specchio sferico concavo:
costruzione dell’immagine con
sorgente tra fuoco e specchio
G < 0
1/x - 1/x’ = -2/R
f = - R/2
G = l’/l = - x’ /x
1/x - 1/x’ =- 2/R > 0
⏐G⏐ = x’/x >1
1/x > 1/x’
Immagine ingrandita
x < x’
Specchio sferico concavo:
costruzione dell’immagine con
sorgente tra fuoco e infinito
G > 0
1/x - 1/x’ = -2/R
f= R/2= - x’
G = l’/l
/x
Specchio sferico concavo, sorgente tra
fuoco e infinito : ingrandimento
R < 0 ; f = – R/2 > 0
x = 2f = –
R
1/x – 1/x’ = 1/f
1/x’ = 1/x-1/f = 1/2f–1/f =– 1/2f
x’ = – 2f
|G | = |x’| / |x| = 2f / 2f = 1
x > 2f = – R
1/x < 1/2f < 1/f
1/x –1/f < 0
1/x’ = 1/x – 1/f = (f – x) / fx < 0
x’ = f x /(f – x) < 0
x > 2f
|x’| = f x /(x – f)
x– f>f
f /(x – f) < 1
|G | = |x’| / |x| = f / (x – f) < 1
http://webphysics.davidson.edu/Applets/optics4/default.html
Optics Bench.url
Montecarlo: Piazza del Casinò – Ingresso del Casinò
Nell’aiuola al centro della piazza c’è uno specchio sferico di 2.5 m di
diametro in acciaio inossidabile lucidato (lo Sky Mirror dell’artista
anglo-indiano Anish Kapoor) riflettente sia dal lato concavo che da
quello convesso.
Questo è il lato dello specchio rivolto verso l’ingresso del
Casinò di cui si vede l’immagine sullo specchio.
Alle spalle dello specchio ci sono edifici sulla collina
Questo è la foto dell’altro lato dello specchio, in cui si
vedono riflessi gli edifici della foto precedente.
Il lato concavo dello specchio si trova dalla parte dell’ingresso
del Casinò o dal lato opposto?
Il lato convesso si trova verso l’ingresso:
immagine rimpicciolita e diritta
Il lato concavo si trova verso il lato opposto:
immagine rimpicciolita e capovolta
Struttura dell’occhio reale
G. Roberti
Caratteristiche dell’occhio reale
G. Roberti
L’occhio è un sistema di lenti forma un’immagine reale e capovolta su
una superficie sensibile alla luce (campo visivo ≅ 140o).
bulbo oculare → quasi sferico, diametro ≈ 2.3 cm
coroide → membrana scura che assorbe la luce dispersa
retina e macchia lutea → l’occhio tende a ruotare in modo che
l’immagine si formi in corrispondenza della parte centrale della macula
(fovea centralis)
cornea → protuberanza trasparente posta sulla superficie del bulbo
oculare, devia gran parte della luce
iride → varia di dimensioni e determina la quantità di luce che entra
nell’occhio attraverso la pupilla (come il diaframma di una macchina
fotografica)
cristallino → lente con lunghezza focale variabile regolata dai muscoli
ciliari, n=1.437
raggio di curvatura grande → messa a fuoco di oggetti lontani
la lunghezza focale diminuisce per mettere a fuoco oggetti più
vicini
ACCOMODAMENTO = potere del cristallino di adattare la sua lunghezza
focale
L’occhio semplificato
G. Roberti
L’ occhio semplificato è uno schema ottico dell’occhio, tale che,
applicando ad esso le leggi dell’ottica, si trova, un comportamento della
luce molto simile a quello che si ottiene nell’occhio reale.
1) La cornea si può considerare, dato il suo piccolo spessore, anziché
un menisco, un diottro sferico, di raggio di curvatura 8 mm;
2) Il cristallino, formato da sei strati con indice di rifrazione
differente, si può considerare come un’unica lente biconvessa sottile
di indice di rifrazione 1.42.
3) Si può assumere che l’umor acqueo (n = 1.333) e l’umor vitreo (n =
1.336) abbiano lo stesso indice di rifrazione: 1.336. E’ come avere lo
stesso mezzo ottico tra cornea e cristallino e tra cristallino e retina
4) Il centro di curvatura della cornea è spostato dalla parte
temporale relativamente al centro delle superfici del cristallino,
spostamento che è circa di 0.1 mm e che comporta una variazione di
circa 1° nella nostra definizione di asse ottico. Non si fa quindi un
grosso errore nel considerare tutti i centri di curvatura su una retta,
che si può chiamare asse ottico dell'occhio
L’occhio semplificato
G. Roberti
5) Nell’approssimazione parassiale si assume che i raggi di luce siano
inclinati rispetto alle perpendicolari alle superfici rifrangenti, con angoli
di incidenza i piccoli abbastanza perché il sen(i) ≅ i (in radianti).
Teniamo presente che solo un fascio ristretto di raggi riesce a
penetrare attraverso la pupilla (diametro variabile tra 2 e 8 mm). Ciò
corrisponde ad una differenza massima di circa l’1% tra i e sen(i) per
le varie superfici rifrangenti. Non si fa quindi un grosso errore
nell’applicare l’approssimazione parassiale.
6) Siccome la descrizione in termini di raggi parassiali è valida,
possiamo, con buona approssimazione, ritenere trascurabile il fenomeno
dell’aberrazione.
7) Potendo considerare l’occhio come un sistema ottico centrato,
possiamo definire oltre ai punti focali (del sistema cornea-cristallino),
anche i punti nodali: ad un raggio incidente passante per il primo punto
nodale (punto nodale oggetto), corrisponde un raggio emergente
parallelo e passante per il secondo punto nodale (punto nodale
immagine).
G. Roberti
Parametri dell’occhio
semplificato
Indici di Rifrazione (n)
UMORE ACQUEO
1.336
CRISTALLINO
1.42
UMOR VITREO
1.336
OCCHIO NON
ACCOMODATO
OCCHIO
ACCOMODATO
Spazio Oggetto
-60.08 mm
-45.64 mm
Spazio Immag.
60.08 mm
45.64 mm
Spazio Oggetto
-23.81 mm
-23.81 mm
Spazio Immag.
31.81 mm
31.81 mm
Distanze Focali
CRISTALLINO
(lente)
CORNEA (diottro)
G. Roberti
Parametri dell’occhio
semplificato
Distanze(rispetto
all’apice corneale)
OCCHIO NON
ACCOMODATO
OCCHIO
ACCOMODATO
CRISTALLINO
Superficie anteriore
6.37 mm
5.78 mm
Superficie posteriore
6.37 mm
5.78 mm
IRIDE - PUPILLA
3.40 mm
3.40 mm
RETINA
24.2 mm
24.2 mm
PUNTI NODALI
Oggetto
7.39 mm
6.97 mm
Immagine
7.51 mm
7.16 mm
Raggi di Curvatura
OCCHIO NON
ACCOMODATO
OCCHIO
ACCOMODATO
CRISTALLINO
Superficie anteriore
10.2 mm
Superficie posteriore
-6.00 mm
6.00 mm
-5.5 mm
CORNEA
Superficie anteriore
8.00 mm
8.00 mm
Schema dell’occhio
semplificato
G. Roberti
Percorso di un raggio luminoso nell’occhio
semplificato: attraversamento della cornea
G. Roberti
La cornea è un diottro sferico convergente (R = 8 mm), che separa l’aria (primo
mezzo, con indice di rifrazione n1=1) dall’umor acqueo (secondo mezzo, con indice
di rifrazione n2 = 1.336).
Equazione del diottro
n1/x +n2/x’ = (n2-n1)/R
punto remoto
x = ∞, x’ = 31.81 mm;
punto prossimo x = 25 cm, x’ = 35.15 mm;
punto intermedio x > 25 cm, 31.81 <x’< 35.15
Non tutti i raggi che incidono sulla cornea arrivano sulla retina, ma solo quelli che
passano attraverso il foro pupillare. Tutti gli altri vengono bloccati dall'iride.
I raggi non convergono in un punto sulla retina, ma in un punto IC oltre essa. La
distanza di IC dalla retina è maggiore, se l'oggetto si trova nel punto prossimo. La
zona della retina colpita dai raggi è un cerchio. Il cerchio è più grande se
l'oggetto si trova nel punto prossimo.
Se nell’occhio non ci fosse il cristallino, la zona della retina stimolata sarebbe un
cerchio, l’immagine sarebbe sfocata: così vedrebbe una persona a cui sia stato
asportato il cristallino. Il cerchio s’ingrandirebbe e quindi l’immagine
diventerebbe più confusa, al diminuire della distanza dell’oggetto.
G. Roberti
Percorso di un raggio luminoso
nell’occhio semplificato:
attraversamento della cornea
punto remoto
x = ∞, x’ = 31.81 mm
Percorso di un raggio luminoso
nell’occhio semplificato:
attraversamento della cornea
punto prossimo
x = 25 cm, x’ = 35.15 mm
G. Roberti
Percorso di un raggio luminoso
nell’occhio semplificato: attraversamento
della cornea e del cristallino
G. Roberti
Per determinare la posizione dell’immagine dovuta al cristallino, bisogna
considerare l’immagine dovuta alla cornea come oggetto virtuale per il
cristallino.
Si applica l’equazione delle lenti sottili:
1/x1 + 1 /x2 = 1/f = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
f = distanza focale del cristallino.
x1 = distanza, presa con il segno negativo, tra il cristallino ed il punto immagine
Ic dovuto alla cornea.
n = indice di rifrazione relativo del mezzo in cui sitrova il cristallino (umor
vitreo e umor acqueo hanno lo steeso valore di n) ed il mezzo del cristallino.
R’, R’’ = raggi di curvatura delle superfici limite del cristallino.
Il valore di R’, R’’ e quindi di f dipende dallo stato di accomodamento dell’occhio.
Per un occhio normale (emmetrope) l’accomodamento fa sì che l'immagine si
forma sulla retina per distanze dell'oggetto comprese tra punto remoto e
punto prossimo.
Il processo di accomodazione del cristallino diminuisce con l’aumentare dell’età:
è questo il difetto chiamato presbiopia.
Percorso di un raggio luminoso nell’occhio
semplificato emmetrope: attraversamento della
cornea e del cristallino
G. Roberti
L’oggetto è posto nel punto remoto ed il cristallino è completamente rilassato
(non accomodato).
Si applica la legge delle lenti sottili
1/x1 + 1 /x2 = 1/f = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
n = ncrist/numor = 1.42/1.336
x1 = - Ic = - 31.81 mm
f = 60.08 mm
R’ = -6 mm
R’’ = 10.2 mm
l'immagine si forma sulla
retina nella fovea
Percorso di un raggio luminoso nell’occhio
semplificato emmetrope: attraversamento della
cornea e del cristallino
G. Roberti
L’oggetto è posto nel punto prossimo (25 cm) ed l’accomodazione del
cristallino è massima.
Si applica la legge delle lenti sottili 1/x1 + 1 /x2 = 1/f = (n-1) ( 1/R’ – 1/R”)
n = ncrist/numor = 1.42/1.336
R’ = -5.5 mm
R’’ = 6 mm
f = 45.64 mm
x1 = - Ic = - 35.15 mm
l'immagine si forma sulla
retina nella fovea
G. Roberti
Percorso di un raggio luminoso nell’occhio
semplificato presbite: attraversamento della
cornea e del cristallino
Occhio presbite, in cui il cristallino non “ si accomoda per niente”.
L'oggetto si trova a 25 cm di distanza. L'immagine I si trova a 1.7 mm
di distanza dalla retina. La conseguenza è che la zona della retina
colpita di raggi è un cerchio (zona bianca nella figura) e non un punto
(l'immagine è sfocata).
G. ROBERTI
Quanto vale l’altezza dell’immagine formata sulla retina da una torre alta
60 m e distante 100 metri dall’occhio? Diametro dell’occhio = 2.5 cm.
h = 60 m
h’
d = 2.5 cm
D = 100 m
B’
M•
A’
O
A
•
I triangoli OLA e OMA’ sono simili: MA’ : AL = MO : OL
MA’ = h’/2
AL = h/2
OL = D
MO = d
(h’/2) / h/2 = d/D
L
B
h’ = h d/D = 60 m 2.5 cm / 100 m = 1.5 cm
G. Roberti
Occhio emmetrope
G. Roberti
Occhio miope
G. Roberti
Occhio ipermetrope
Correzione della miopia
G. Roberti
Se le dimensioni anteroposteriori
dell’occhio
sono
maggiori di quelle dell’occhio
emmetrope, allora l’immagine di
un punto all’infinito si forma
davanti alla retina e quindi
l’immagine sulla retina appare
sfuocata.
La correzione della miopia
si ottiene ponendo davanti
all’occhio
una
lente
divergente che aumenta la
divergenza del fascio e ne
permette la focalizzazione
sulla retina.
Correzione della ipermetropia
G. Roberti
Se le dimensioni anteroposteriori dell’occhio sono
minori di quelle dell’occhio
emmetrope, allora l’immagine
di un punto all’infinito si forma
dietro alla retina e quindi
l’immagine sulla retina appare
sfuocata.
La correzione della ipermetropia
si ottiene ponendo davanti
all’occhio una lente convergente
che aumenta la convergenza del
fascio e ne permette la
focalizzazione sulla retina.
Un soggetto miope ha il punto prossimo alla distanza a1 = 12 cm dall’occhio ed il
punto remoto alla distanza a2 = 60 cm. Se usa occhiali per mettere a fuoco
oggetti a distanza molto grande, quale è la minima distanza a3, a cui riesce a
leggere un libro?
Per l’occhio che guarda oggetti alla distanza a2, dalla legge delle lenti sottili
1/f2 = 1/a2 + 1/d
(d = diametro del bulbo oculare)
Se si corregge la miopia con una lente di focale f0 in modo da mettere a fuoco
oggetti all’infinito
1/f0 + 1/f2 = 1/a’2 + 1/d = 1/d
a’2 ―> ∞
1/f0 = 1/d - 1/f2 = - 1/a2
1/a’2 ―> 0
(1)
Per l’occhio che guarda oggetti alla distanza a1, senza lente correttiva
1/f1 = 1/a1 + 1/d
(2)
1/f0 + 1/f1 = 1/a3 + 1/d
(3)
Se il soggetto usa la lente correttiva di focale f0, a parità di sforzo
accomodativo, riuscirà a vedere alla minima distanza a3, data dalla relazione
Sostituendo la (1) e la (2 ) nella (3)
- 1/a2 + 1/a1 + 1/d = 1/a3 + 1/d
1/a3 = 1/a1 - 1/a2 = 1/(12 cm) – 1/(60 cm) = (5-1)/(60 cm)=4/(60 cm)=1/(15 cm)
a3 = 15 cm
Un soggetto giovane miope non riesce a mettere a fuoco oggetti a
distanza maggiore di a = 3 m dall’occhio. Considerando che
l’accomodamento fisiologico dell’occhio è di 4 D, a quale distanza
dell’occhio xp si trova il punto prossimo?
Il potere diottrico Dmin dell’occhio quando guarda al punto remoto
(potere diottrico minimo) è dato dalla formula dei punti coniugati
Dmin = 1/f = 1/a + 1/d (1)
(d = diametro del bulbo oculare)
Poiché l’accomodamento fisiologico è di 4 D, il massimo potere
diottrico dell’occhio, che si ha quando l’occhio guarda il punto
prossimo, sarà
(2)
Dmax = Dmin + 4
Dmax = 1/xp + 1/d
(3)
Sostituendo le (1) e (2) nella (3)
Dmax = Dmin + 4 = 1/a + 1/d + 4 = 1/xp + 1/d
1/xp = 1/a + 4 = 1/(3m) + 4 m-1= 13/(3m)
xp = (3/13) m = 23 cm
Astigmatismo
G. Roberti
La cornea è normalmente un menisco convesso sferico (raggio di
curvatura ≅ 8 mm).
Se la cornea ha esattamente la
Meridiano
forma di una calotta sferica tutti
verticale
i meridiani hanno lo stesso raggio
di curvatura.
Meridiano
orizzontale
Primo fuoco del diottro
f2 = R n2/(n2-n1)
In questo caso, poiché la cornea,
se se ne trascura lo spessore, può
essere assimilata ad un diottro
sferico, in cui il fuoco è
proporzionale
al
raggio
di
curvatura, una linea verticale ed
una orizzontale sono focalizzate
alla stessa distanza, cioè sulla
retina in un occhio emmetrope.
In realtà esiste una variazione di curvatura fisiologica della cornea
(astigmatismo fisiologico) corrispondente ad una variazione di potere
diottrico di 0.5 – 1 diottria .
Astigmatismo
G. Roberti
Nell’astigmatismo i raggi di curvatura dei vari meridiani (in particolare
il meridiano orizzontale e verticale) non sono uguali. In questo caso, il
diottro avrà un fuoco più vicino, corrispondente al raggio di curvatura
minore ed uno più lontano, corrispondente al raggio di curvatura
maggiore. Se il meridiano più curvo è quello verticale, l'astigmatismo è
definito "secondo regola"; viceversa "contro regola" se il meridiano più
curvo è quello orizzontale.
L’astigmatismo, più raramente, può
essere dovuto ad una differenza di
curvatura
dei
meridiani
del
cristallino. L' occhio astigmatico
non è in grado di focalizzare
R’’
contemporaneamente linee con
diversi orientamenti, perciò la
visione
risulta
sfuocata
e
distorta.
Nella figura il meridiano verticale
ha la corretta curvatura, mentre
R’ > R’’
R’
quello orizzontale ha una curvatura
maggiore.
Astigmatismo
G. Roberti
L’astigmatismo si può combinare con la miopia e l’ipermetropia e, a
seconda dell’eccesso, del difetto o della normale curvatura dei meridiani
della cornea si possono avere diversi tipi di astigmatismo.
1° fuoco
2° fuoco
Tipo di
Astigmatismo
prima della retina
sulla retina
Miopico Semplice
dopo la retina
sulla retina
Impermetropico
Semplice
prima della retina
prima della
retina
Miopico Composto
dopo la retina
dopo la retina
Impermetropico
Composto
prima della retina dopo la retina
Astigmatismo miopico composto
Misto
Astigmatismo ipermetropico composto
Astigmatismo
G. Roberti
Per correggere l’astigmatismo si usano lenti cilindriche, che cambiano
la convergenza del fascio solo nella direzione perpendicolare alle
generatrici del cilindrico.
Una lente cilindrica piano-convessa aumenta la convergenza del fascio
e serve a correggere diminuzioni del raggio di curvatura della cornea.
Una lente cilindrica piano-concava diminuisce la convergenza del
fascio e serve a correggere aumenti del raggio di curvatura della
cornea.
Potere risolutivo dell’occhio dell’occhio:
diffrazione da un foro circolare
G. Roberti
θ ≈ 1.22 λ /a
Quando un fascio di raggi paralleli di lunghezza d’onda λ incide su un diaframma/ostacolo
circolare di diametro a ≅ λ, entra in gioco la natura ondulatoria della radiazione luminosa.
Quindi il fascio si comporta in maniera difforme dalle regole dell’ottica geometrica e dà
luogo al fenomeno della diffrazione: su uno schermo al di là del diaframma/ostacolo si
forma una figura di diffrazione con un cerchio luminoso centrale (centrica di diffrazione),
circondato da anelli alternativamente scuri e chiari (frange di diffrazione).
Potere risolutivo dell’occhio
dell’occhio: diffrazione sulla pupilla
G. Roberti
Nel caso dell’occhio umano:
a = 5 mm;
θ
a
D
θ = 1.22
D = 2.3 cm
Considerando la lunghezza
d’onda di 500 nm (vicina al
valore di picco della curva di
sensibilità spettrale fotopica
dei recettori della retina =
550 nm)
λ /a = 1.22 5 10-7 m/5 10-3 m = 10-4 rad
10-4 rad = 0.1 mrad = 0.34’ = diametro angolare sotto cui viene vista
una moneta di 50 c alla distanza di 250 m.
Il raggio della centrica di diffrazione r è
r = D tg(θ) ≅ D θ = 2.3 10-2 m 10-4 = 2.3 10-6 m = 2.3 μm
Potere risolutivo dell’occhio: diffrazione
da un foro circolare
La diffrazione limita le capacità
degli
strumenti
ottici
di
distinguere (“risolvere”) immagini
di oggetti tra loro vicini. Le
immagini
costruite
facendo
passare la luce attraverso lenti e/o
aperture (ad esempio le immagini di
due sorgenti quasi puntiformi S1 e
che
passano
attraverso
S2
un’apertura di larghezza a e con
separazione angolare θ) non sono
nette, ma sono costituite da un
massimo centrale allargato, con
altri
massimi
secondari
di
contorno.
G. Roberti
Calcolare il potere risolutivo di una lente di diametro d = 30 mm e di potenza 5 D
quando viene utilizzata luce con lunghezza d’onda di 600 nm?
a) 1 μ
b) 2 μ
c) 3 μ
d) 4 μ
e) 5 μ
Fig. 1
a = diametro del foro =
30 mm = 3 10-2 m
f = 1/D = (1/5) m =
= 0.2 m
λ = lunghezza d’onda
della radiazione
incidente = 600 nm =
= 600 10-9 m = 6 10-7 m
ϑ = 1.22 λ / a
Un foro (o un ostacolo) circolare lungo il percorso di un fascio di raggi paralleli dà
luogo ad una caratteristica distribuzione di intensità luminosa su uno schermo (figura
di diffrazione) (Fig. 1). L’angolo ϑ è l’angolo tra la direzione in cui si trova il picco ed
il primo minimo di intensità luminosa.
Fig. 2
Fig. 3
Due sorgenti separate formano due figure di diffrazioni separate (Fig.2).
Due sorgenti appaiono distinte se almeno il massimo della figura di diffrazione di
una capita nel minimo dell’altra, cioè sono separate angolarmente di ϑ (criterio di
Rayleigh) (Fig. 3).
Per una lente due sorgenti separate angolarmente di un angolo ϑ formano due figure
di diffrazione ad una distanza Δx (distanza minima risolvibile):
Δx = f tg(ϑ) = f ϑ = 1.22 f λ /a = 1.22 x 0.2 m x 6 10-7 m / 3 10-2 m =
= 1.22 x 0.4 x 10-5 m = 4.88 10-6 m ≅ 5 μm
Criterio di Rayleigh
G. Roberti
Le immagini di due sorgenti puntiformi sono risolte quando il massimo
centrale della figura di diffrazione dell’una coincide col primo minimo
dell’altra.
Questo significa che i due
picchi
delle
figure
di
diffrazione devono trovarsi
separati da una distanza
angolare di θ. Quindi anche
le sorgenti, per essere
risolte,
devono essere
angolarmente separate di
almeno un angolo θ.
θ
θ = potere risolutivo
angolare dell’occhio
Sperimentalmente
θmin = 2 10-4 rad
rmin = 4 μm
Distanza tra i coni
nella fovea = 2 μm
θ ≈ 1.22 λ /a
Si può aumentare la “risoluzione” delle immagini
diminuendo la lunghezza d’onda (microscopio a raggi X,
il microscopio elettronico ecc.)
Microscopio semplice
(lente d’ingrandimento)
G. Roberti
S
S
y
θ
xp = 25 cm
L’immagine di una sorgente S esterna sulla retina aumenta di
dimensioni man mano che la sorgente si avvicina. Tuttavia se si avvicina
ad una distanza minore della distanza del punto prossimo (25 cm)
l’immagine apparirà sfuocata.
Se due sorgenti puntiformi che si trovano alla minima distanza
angolare per poter apparire distinti (θ) sono posti nel punto prossimo
(xp = 25 cm) devono essere distanti
y = xp θ = 0.25 m 4 10-4 = 0.1 mm = 100 μm
Il più piccolo particolare che si può apprezzare ad occhio nudo, nel
punto prossimo, ha le dimensioni di 100 μm.
Microscopio semplice
(lente d’ingrandimento)
I
y
G. Roberti
Se la stessa sorgente S viene posta ad
una distanza dalla lente d’ingrandimento
(convergente) di poco inferiore alla
distanza focale, l’immagine formata I
sarà ingrandita, diritta e virtuale.
S
θ’
L’angolo θ’ sotto cui sarà vista l’immagine
virtuale I vale
tg (θ’) ≅ θ’ = y/f
f
Se si definisce l’ingrandimento angolare M
Se M > 1
xp/f > 1
M = θ’/ θ = (y/f)/(y/xp) = xp/f
xp > f
1/xp < 1/f
1/f > 1/x p = 1/0.25 m = 1/(1/4 m) = 4 m-1 = 4 D
Una lente convergente per funzionare da lente d’ingrandimento deve
avere un potere diottrico maggiore di 4 D (f < 25 cm).
A causa delle aberrazioni non si possono utilizzare lenti con f < 20-30 mm
(ingrandimento angolare di 8-10x). Sostituendo la singola lente con un gruppo di
lenti corretto per le aberrazioni, si possono raggiungere ingrandimenti fino a
40x.
A che distanza all’incirca bisogna mettere una lente d’ingrandimento da
un oggetto per avere un ingrandimento angolare pari a 5?
L’ingrandimento angolare M di una lente d’ingrandimento è
M = θ’/ θ = xp/f
θ’ = angolo sotto cui sono viste due sorgenti puntiformi poste ad
una distanza dalla lente minore della distanza focale
θ = angolo sotto cui sono viste le due stesse sorgenti puntiformi
poste nel punto prossimo in assenza di lente.
xp = distanza occhio – punto prossimo = 25 cm
f = focale della lente
5 = M = θ’/ θ = xp/f
f = xp/5 = 2.5 cm/5 = 0.5 cm
Poiché la sorgente va messa nelle vicinanze dal fuoco la distanza
tra la lente e la sorgente è uguale alla distanza focale.
G. Roberti
Microscopio composto
d
D
f1 ed f2 << D
Obiettivo e Oculare: lenti convergenti di distanza focale f1 e f2 >> f1
Lunghezza ottica del microscopio (d) = distanza tra i due fuochi più vicini
dell’obiettivo e dell’oculare (d = 160-170 mm).
Il campione è posizionato ad una distanza dall’obiettivo leggermente maggiore
della distanza focale (s1 ≅ f1). La distanza d è tale che l’immagine reale,
ingrandita e capovolta formata dall’obiettivo si formi ad una distanza
dall’oculare leggermente minore di f2. Tale immagine rappresenta la sorgente
per l’oculare che, a sua volta ne forma, un’immagine virtuale, ingrandita e
diritta.
G. Roberti
Piani coniugati nel microscopio
composto
L =
La distanza L tra l’immagine formata dall’oculare ed il cristallino viene
regolata al valore del punto prossimo spostando tutto il sistema rispetto
al campione con una vita a cremagliera con regolazione macrometrica e
micrometrica (messa a fuoco del campione).
Microscopio composto: caratteristiche
G. Roberti
1) L’obiettivo forma un’immagine reale
dell’oggetto con ingrandimento
m1=-s’1/s1≈-s’1/f1
d
2) L’oculare forma un’immagine
virtuale della prima immagine con
ingrandimento
D
M2 = s’2/s2 ≈ s’2/f2 = 0.25 m /f2
L’ingrandimento totale M sarà
Supponendo un ingrandimento M = 400, l’intervallo minimo Dx risolvibile sarà
400 volte minore di quello risolvibile ad occhio nudo (0.1 mm)
Dx = 0.1 mm/400 = 250 nm= 2500 Å
E’ possibile diminuire ulteriormente la minima distanza risolvibile aumentando
l’ingrandimento?
La minima risoluzione dipende anche dal fenomeno della diffrazione e quindi
dalla lunghezza d’onda della radiazione utilizzata !!!!!!
Un microscopio ha un intervallo ottico d = 18 cm ed un oculare di focale
f2 = 2 cm. Quale deve essere il potere diottrico del suo obiettivo per
ottenere un ingrandimento pari a 450?
s’1 ≈ f1 + d
d
Da cui
ed il potere diottrico P1
Quindi, a parte il segno meno,
D
M = (f1 + d) *0.25 /f1f2
f1 = d*0.25/(f2M - 0.25)
P1 = 1/f1 = (f2M - 0.25) / d*0.25
P1 = 1/f1 = (f2M - 0.25)/d*0.25 = (2 10-2 x 450 - 0.25)/(18 10-2 x 0.25) =
= (9 - 0.25) / 0.045 = 8.75 / 0.045 = 194 D
Microscopio composto: caratteristiche
La minima distanza risolvibile con un microscopio è
Dx = λ /(2 n sin α)
λ = lunghezza d’onda della radiazione; n= indice di rifrazione del mezzo
tra il campione e l’obiettivo; α = semiampiezza del cono di luce che dal
campione entra nell’obiettivo
La quantità n sin α si dice apertura numerica dell’obiettivo (NA) e
misura la massima ampiezza del cono di luce che entra nell’obiettivo.
Calcoliamo la risoluzione alla lunghezza d’onda di 500 nm (luce
verde) con campione in aria (n=1) e α = 90°.
Dx = 500 nm /(2 sin 90) = 250 nm
Per aumentare l’apertura numerica (e
quindi diminuire Dx) si interpone tra
l’obiettivo (obiettivo ad immersione) il
campione un sostanza con indice
di rifrazione il più alto possibile ed il più vicino a quello del
vetro (obiettivo e vetrino copri-oggetto).
Per diminuire Dx si può anche diminuire λ, cioè usare luce di
frequenza più elevata ( microscopia UV).
Un ingrandimento superiore al valore di 400-600 non migliora
la risoluzione dell’immagine.
G. Roberti
Anatomia di un microscopio
G. Roberti
fotocamera o
telecamera
oculari
stativo
fonte di
illuminazione
vite macrometrica
e micrometrica
revolver con
obiettivi
tavolino
traslatore
condensatore
diaframma
di campo
L’oculare e gli obiettivi sono lenti composte progettate per ridurre le aberrazioni
Oftalmoscopio
G. Roberti
Lampada a fessura
G. Roberti
Macchina fotografica
G. Roberti