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1
L’unità frazionaria
DEFINIZIONE. L’unità frazionaria 1n– (con n ≠ 0) rappresenta una sola delle n parti uguali in cui è
stato diviso l’intero.
ESEMPIO
Sono unità frazionarie:
1
2
1
4
1
8
ognuna di esse indica che l’intero è stato diviso rispettivamente in 2, 4, 8 parti.
Rappresentazione
1
2
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 308
1
4
1
8
1 2
La frazione come operatore
DEFINIZIONE. La frazione è un operatore che divide l’intero in tante parti uguali, quante ne indica il
denominatore, e ne prende in considerazione tante quante ne indica il numeratore.
ESEMPIO
5
Numeratore
Linea di frazione
Denominatore
8
Rappresentazione
5
8
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 309
Termini della
frazione
5
8
0
r
1
2
2 3
La classificazione delle frazioni
DEFINIZIONE. Le frazioni proprie sono frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore.
ESEMPIO
Rappresentazione
2
3
DEFINIZIONE. Le frazioni improprie sono frazioni che hanno il numeratore maggiore del
denominatore.
ESEMPIO
8
5
È una quantità maggiore
della grandezza stessa.
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 314
Rappresentazione
1
1
1
1
1
1
1
1
5
5
5
5
5
5
5
5
intero
3 3
La classificazione delle frazioni
Terzo caso
DEFINIZIONE. Le frazioni apparenti sono frazioni che hanno il numeratore uguale o multiplo del
denominatore.
ESEMPIO
3
3
8
4
e
Esse rappresentano
quantità intere.
Rappresentazione
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
intero
intero
intero
2 interi
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 315
4 4
Le frazioni equivalenti
DEFINIZIONE. Due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando sulla stessa grandezza, ne
rappresentano sempre una parte uguale.
ESEMPIO
2
3
Rappresentazione
4
6
6
9
2
3
Le tre frazioni
rappresentano la stessa
grandezza, per questo
si dicono equivalenti.
4
6
6
9
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 316
5 4
Le frazioni equivalenti
ESEMPIO
Le frazioni
4
6
e
6
9
si originano dalla frazione
2
3
moltiplicando contemporaneamente
numeratore e denominatore per una stessa quantità (rispettivamente per 2 e per 3).
2
3
2
3
2
2
4
6
2
3
2
3
6
9
3
3
4
6
Dividendo per uno stesso numero il numeratore e il denominatore delle due frazioni
e
otteniamo
9
6
la frazione di partenza.
4
6
4
6
2
2
2
3
6
9
6
9
3
3
2
3
PROPRIETÀ invariantiva delle frazioni. Se si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero,
diverso da zero, entrambi i termini di una frazione, si ottiene una frazione equivalente alla data.
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 317
6 4
Le frazioni equivalenti
DEFINIZIONE. Si chiama numero razionale assoluto una classe di frazioni equivalenti; l’insieme di
tutti i numeri razionali forma l’insieme dei numeri razionali assoluti.
ESEMPIO
3
5
3 , 6 , 9 , 12 , 15 …
5 10 15 20 25
Questa classe di equivalenza rappresenta il numero razionale
3
5
TEOREMA. L’insieme dei numeri naturali N è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri
razionali assoluti Q.
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 317
7 5
Applicazioni del concetto di equivalenza
Semplificazione di una frazione
DEFINIZIONE. Una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore ammettono divisori
comuni; si dice ridotta ai minimi termini o irriducibile se il numeratore e il denominatore sono
primi fra loro.
ESEMPIO
32
40
32
40
Applichiamo la proprietà invariantiva delle frazioni dividendo successivamente
numeratore e denominatore per i loro divisori comuni.
32
40
2
2
16
20
16
20
2
2
8
10
8
10
2
2
4
5
Osserviamo che avremmo potuto dividere il numeratore e il denominatore della frazione di
partenza per 8, che è il M.C.D. (32; 40).
REGOLA. Per ridurre ai minimi termini una frazione basta dividere numeratore e denominatore
per il loro M.C.D.
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 318
8 5
Applicazioni del concetto di equivalenza
Trasformazione di una frazione in un’altra equivalente di denominatore dato
REGOLA. Per trasformare una frazione ridotta ai minimi termini in un’altra di denominatore
assegnato, basta moltiplicare entrambi i termini della frazione per il quoto tra il denominatore
assegnato e quello della frazione data.
I° caso: frazione ridotta ai minimi termini
Vogliamo trasformare la frazione 3 in un’altra equivalente di denominatore 24.
4
3
4
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 320
3
4
6
6
18
24
9 5
Applicazioni del concetto di equivalenza
II caso: frazione non ridotta ai minimi termini
Vogliamo trasformare la frazione
55
120
11
24
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 320
55
120
in un’altra equivalente di denominatore 72.
55 5
120 5
11
24
3
3
33
72
11
24
Frazione ridotta
ai minimi termini
10 5
Applicazioni del concetto di equivalenza
Trasformazione di più frazioni allo stesso minimo comune denominatore (m.c.d.)
REGOLA. Per trasformare due o più frazioni in altre con lo stesso denominatore:
1. si riducono le frazioni ai minimi termini se necessario;
2. si calcola il m.c.m. dei denominatori (m.c.d.);
3. si divide il m.c.d. per il denominatore di ciascuna frazione;
4. si moltiplicano i numeratori di ogni frazione per i corrispondenti quoti precedentemente ottenuti.
ESEMPIO
5
2
4
3
7
4
12 2 = 6
12 3 = 4
12 4 = 3
5 ! 6 = 30
4 ! 4 = 16
7 ! 3 = 21
30
12
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 321
16
12
m.c.d. (2, 3, 4) = 12
21
12
11 6
Il confronto di frazioni
Primo caso - Frazioni con denominatori uguali
PROPRIETÀ. Se due frazioni hanno i denominatori uguali e i numeratori diversi, la maggiore è
quella che ha il numeratore maggiore.
ESEMPIO
4
7
< 6
7
Secondo caso - Frazioni con denominatori disuguali
PROPRIETÀ. Se due frazioni hanno i denominatori disuguali, dopo averle ridotte allo stesso
denominatore, è maggiore quella che ha il numeratore maggiore.
ESEMPIO
3 e 7
4 11
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 322
33 e 28
44
44
33 28
>
44 44
3 7
>
4 11
12 7
L’addizione di frazioni
REGOLA. La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che ha
come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.
ESEMPIO
3
3
8
5
8
2
8
8
2
8
REGOLA. Per calcolare la somma di due o più frazioni che non hanno lo stesso denominatore,
è necessario ridurle tutte allo stesso m.c.d. e poi sommare i numeratori.
ESEMPIO
3
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 323
1
2
3
1
1
2
6
2
1
2
7
2
13 7
La sottrazione di frazioni
REGOLA. La differenza di due frazioni aventi lo stesso denominatore, è una frazione che ha
come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la differenza dei numeratori.
ESEMPIO
7
8
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 325
3
8
4
8
14 7
La sottrazione di frazioni
REGOLA. Per calcolare la differenza di due frazioni che non hanno lo stesso denominatore, è
necessario ridurle tutte allo stesso m.c.d. e poi sottrarre i numeratori
ESEMPIO
3
4
1
2
3
4
2
4
1
4
REGOLA. La frazione complementare di una frazione propria ha per denominatore quello della
frazione data e per numeratore la differenza tra il denominatore e il numeratore della frazione data.
ESEMPIO
3
8
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 325
5
8
15 8
La moltiplicazione di frazioni
REGOLA. Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei
numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
ESEMPIO
4
3
4
3
9
8
9
8
36
24
6 3
4 2
3
2
Otteniamo lo stesso risultato semplificando “a croce” il
numeratore di una frazione con il denominatore dell’altra.
4
3
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 328
1
1
9
8
3
2
1
1
3
2
3
2
16 8
La moltiplicazione di frazioni
Le frazioni reciproche
DEFINIZIONE. Se il prodotto di due frazioni è uguale a 1, esse si dicono reciproche.
ESEMPIO
9
2
e
11
3
e
3
11
2
9
91 21
2 1 91
1
11 1 3 1
3 1 11 1
1
REGOLA . Data una frazione, per scrivere la sua reciproca basta invertire il numeratore con il
denominatore.
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 329
17 8
La divisione di frazioni
REGOLA. Per dividere due frazioni basta moltiplicare la prima per la reciproca della seconda.
ESEMPIO
5
8
Verifica
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 329
2
3
5
8
3
2
15 5 2 1
16 8 3 1
15
16
5
8
18 9
La potenza di una frazione
REGOLA. La potenza di una frazione è una frazione che ha per numeratore la potenza del
numeratore e per denominatore la potenza del denominatore.
ESEMPIO
( )
2
3
2
2
3
22
32
2
3
4
9
Esponente
( )
2
3
Base
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 330
2
4
9
Potenza
19 9
La potenza di una frazione
Casi particolari
REGOLA. La potenza di un qualsiasi numero diverso da zero, con esponente zero, è sempre uguale
a 1.
ESEMPIO
potenza con esponente 0
2
5
( )
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 331
0
1
20 9
La potenza di una frazione
REGOLA. Una potenza con esponente 1, è sempre uguale alla base stessa.
ESEMPIO
potenza con esponente 1
3
7
( )
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 331
1
3
7
21 9
Le proprietà delle potenze
REGOLA. Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha
per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
ESEMPIO
( ) ( ) ( )
3
2
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 331
2
3
2
4
3
2
2+4
( )
3
2
6
22 9
Le proprietà delle potenze
REGOLA. Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
ESEMPIO
( ) ( ) ( ) ( )
10
3
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 331
7
10
3
4
10
3
7- 4
10
3
3
23 9
Le proprietà delle potenze
REGOLA. La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e
per esponente il prodotto degli esponenti.
ESEMPIO
( )
3
2
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 331
2
4
( ) ( )
3
2
2!4
3
2
8
24 9
Le proprietà delle potenze
REGOLA. Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza
che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
ESEMPIO
( ) ( )
7
4
3
2
3
3
1
(
7
4
2
3
) ( )
3
7
6
3
2
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 331
25 9
Le proprietà delle potenze
REGOLA. Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che
ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
ESEMPIO
( ) ( )
2
9
Area 3 - Capitolo 1 - PAG. 331
9
5
7
5
(
2
9
7
5
) ( )
4
14
45
4
26