RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO: MODELLAZIONE PROBABILISTICA E
RISULTATI SPERIMENTALI
Edoardo Cosenza1, Carmine Galasso1, Giuseppe Maddaloni2
1 Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Università degli Studi di Napoli Federico II
2 Dipartimento per le Tecnologie, Università degli Studi di Napoli Parthenope
SOMMARIO
La sicurezza strutturale per tutte le opere dell’Ingegneria Civile costituisce il requisito fondamentale su cui si basa la progettazione.
Tutte le scelte fatte dagli ingegneri discendono, più o meno esplicitamente, da considerazioni sulla sicurezza opportunamente
codificate nelle normative di riferimento. Ciò vale anche per i materiali impiegati nelle costruzioni, per i quali, al fine di decretarne
l’accettabilità o meno, le norme utilizzano strumenti statistici basati sui risultati di prove standard eseguite su campioni.
Nel presente articolo a partire da un database dei risultati di circa 2700 prove a compressione eseguite su cubetti di calcestruzzo
prelevati da getti effettuati per la realizzazione di un’unica grande opera nel napoletano, è stata effettuata un’analisi statistica accurata
al fine di verificare le prescrizioni dell’attuale norma tecnica italiana (D.M. del 14 gennaio 2008) e di caratterizzare le incertezze in
gioco.
SUMMARY
The structural safety for all Civil Engineering structures is a fundamental requirement for the design. All choices made by engineers
depend, more or less explicitly, from considerations on safety appropriately codified in the codes. This concept is also valid for
materials used in constructions, for which, in order to evaluate their acceptability, codes use statistical tools based on standard test
results.
In the current paper, starting from a database of about 2700 compression tests performed on concrete cubes obtained from castings
regarding a big structure realized in Naples and in order to verify the requirements of the Italian code (D.M. 14 January 2008) and to
characterize the uncertainties, an accurate statistical analysis has been carried out.
1.
INTRODUZIONE
Il funzionamento di una struttura durante la sua vita utile
(intesa come il numero di anni nel quale la struttura, purché
soggetta alla manutenzione ordinaria, deve poter essere usata
per lo scopo al quale è destinata) è condizionato da fattori che,
per motivi diversi, non sono noti con certezza o, per meglio
dire, sono noti con incertezza (azioni, proprietà dei materiali,
caratteristiche della risposta della struttura rispetto alle
sollecitazioni, etc.). Come noto, tali grandezze sono
rappresentabili da variabili aleatorie (nel seguito v.a.) o
processi stocastici (a seconda che siano o non dipendenti dal
tempo), cioè numeri che esistono determinati ma che non sono
noti allo stato delle conoscenze del progettista [1]. Per
affrontare il problema della sicurezza strutturale è utile quindi
definire una cosiddetta funzione limite, G, che dipende dalle
suddette grandezze e che assume valori positivi se la struttura
è in sicurezza e valori non positivi nel caso in cui la stessa si
trovi in condizioni di crisi (ovvero condizioni che possono
potenzialmente determinare delle perdite).
Nel caso in cui il vettore delle grandezze in gioco (X) non
dipenda dal tempo, il problema dell’affidabilità strutturale (R)
si può formulare come in Eq. (1), cioè come probabilità che la
funzione limite sia positiva.
R = P[G(X) > 0]
(1)
Una possibile espressione della funzione limite è data
dalla differenza tra la capacità (C) della struttura di garantire
una certa prestazione (es. resistenza) e la domanda di
prestazione (D) cui è sottoposta (es. sollecitazione). In tal
caso, l’affidabilità strutturale può essere calcolata attraverso
l’Eq. (2).
R = P[C − D > 0] = P[D < C ]
(2)
Il complemento a uno dell’affidabilità esprime il rischio
che la struttura non garantisca più le prestazioni richieste e
assume il nome di probabilità di collasso (Pf); il controllo della
probabilità di collasso per una struttura nuova e la sua
valutazione per una struttura esistente è l’obiettivo della
sicurezza strutturale.
Tra le grandezze aleatorie che tipicamente entrano in
gioco nella valutazione della sicurezza delle strutture, le
proprietà dei materiali rivestono un ruolo fondamentale per la
caratterizzazione probabilistica della resistenza degli elementi
strutturali: le incertezze sulle proprietà meccaniche dei
materiali si riflettono su quelle dell’intera struttura.
Le incertezze sulle proprietà meccaniche dei materiali
dipendono da molti fattori: se si eseguono delle misure di
resistenza di campioni di uno stesso materiale, ad esempio
barre di acciaio provenienti da uno stesso lotto o cubetti di
calcestruzzo provenienti da uno stesso getto, si ottengono
risultati diversi per ogni campione a causa delle variabilità
connaturate al processo produttivo. La dispersione dei risultati
può essere piccola, come accade per l’acciaio, o molto più
grande, come nel caso dei materiali lapidei naturali o artificiali
(per esempio il calcestruzzo), ma è tuttavia sempre presente.
Al fine di decretare l’accettabilità o meno di un dato
materiale e quindi tenere in conto razionalmente e in modo
economicamente opportuno le incertezze in gioco, le norme si
basano su strumenti probabilistici.
Il tema della variabilità della resistenza del calcestruzzo è
stato studiatissimo fin dalla realizzazione delle prime opere, e
non si proverà nel seguito a presentare uno stato dell’arte.
D’altra parte la realizzazione di una grande opera in cemento
armato nel napoletano, l’Ospedale del Mare, rappresenta
un’occasione unica per la mole di dati ottenuta e per
esaminare a fondo alcuni aspetti statistici.
In particolare nel presente lavoro, a partire da un database
di circa 2700 prove a compressione eseguite su cubetti di
calcestruzzo prelevati da getti effettuati per la realizzazione
dell’Ospedale del Mare, è stata analizzata l’evoluzione della
resistenza a compressione del calcestruzzo, in relazione al
tempo ed alle condizioni di conservazione dei provini. Inoltre,
è stata effettuata un’analisi statistica allo scopo di individuare
il modello di variabile aleatoria più adeguato ai risultati
sperimentali.
1.1
Variabili aleatorie e distribuzioni di probabilità
L’incertezza sul valore di una variabile aleatoria X si può
caratterizzare attraverso la cosiddetta funzione di distribuzione
cumulata (CDF), F(x). Tale funzione associa ad ogni possibile
valore x della variabile X (supporto della v.a.) la probabilità
che essa assuma valore inferiore ad x (con la lettera minuscola
si indica un valore della variabile aleatoria). La derivata della
CDF, f(x) è la funzione densità di probabilità (PDF): se
moltiplicata per l’infinitesimo dx, la PDF associa ad ogni
possibile valore x la probabilità che X sia compresa tra x ed x
+ dx [2].
Nella maggior parte delle moderne normative per le
costruzioni, si fa riferimento al concetto di valore frattile di
una v.a. (o quantile); ad esempio, si definisce valore frattile
inferiore di probabilità p (o quantile di ordine p) quel valore xp
tale che F(xp) = p ossia quel valore tale che vi sia una
probabilità p che risulti X ≤ xp.
Esistono molti modelli di v.a. che si usano comunemente
per descrivere le incertezze di un certo fenomeno di interesse.
Tradizionalmente, i modelli di v.a. più utilizzati per
caratterizzare probabilisticamente le resistenze dei materiali da
costruzione sono quello normale, lognormale e Weibull
(Tabella 1), tutti dipendenti da due parametri.
Il modello normale è stato spesso utilizzato per
descrivere la variabilità della resistenza a compressione del
calcestruzzo [3]. Il modello lognormale si utilizza spesso
quando la variabile di interesse può assumere valori di un solo
segno, come nel caso delle resistenze (una v.a. si definisce
lognormale quando il suo logaritmo è caratterizzato da una
distribuzione normale). La resistenza allo “snervamento”
dell’acciaio è tipicamente modellata in modo lognormale.
Il modello di Weibull, è stato dimostrato adattarsi
meglio a descrivere l’andamento sperimentale delle resistenze
dei materiali fragili (rottura improvvisa quando la risposta è
ancora sostanzialmente elastica e lineare). In tali materiali la
crisi è dovuta generalmente alla propagazione di un difetto
intrinseco (ad esempio una microfessura) divenuto instabile.
Anche tale modello è definito per valori non negativi e quindi
ben si presta alla modellazione probabilistica delle resistenze
sperimentali.
Alcuni studi hanno verificato l’adattamento della
distribuzione di tipo Weibull ai risultati di prove di
compressione per i calcestruzzi ad alta resistenza, attribuendo
un comportamento fragile al materiale [4]. Questo tipo di
modello, inoltre, risulta particolarmente adatto ai materiali
innovativi (es. compositi fibrorinforzati), sempre più diffusi
anche nelle costruzioni, caratterizzati da modalità di rottura a
trazione tipica di un materiale fragile.
2.
RESISTENZA
SECONDO LE NTC
DEL
CALCESTRUZZO
Il 14 gennaio 2008 è stato firmato dal Ministro per le
Infrastrutture il decreto (G.U. n. 29 del 4 febbraio 2008) che
contiene le nuove Norme Tecniche per le Costruzioni (nel
seguito NTC) [5]. I requisiti per i materiali (ed i prodotti per
uso strutturale) da utilizzare nelle opere soggette alle NTC
sono discussi al capitolo 11.
Per il progetto delle opere in conglomerato cementizio
armato, il calcestruzzo, in accordo anche con quanto già
stabilito nei precedenti D.M., è classificato in classi in base
alla resistenza a compressione uniassiale, espressa come
resistenza caratteristica Rck oppure fck, in MPa, misurata su
provini normalizzati.
La resistenza caratteristica Rck è determinata sulla base dei
valori ottenuti da prove a compressione su cubi di 150 mm di
lato; la resistenza caratteristica fck è determinata sulla base dei
valori ottenuti da prove di compressione su cilindri di 150 mm
di diametro e 300 mm di altezza (o, equivalentemente, su
provini prismatici di base 150×150 mm e di altezza 300 mm).
Per resistenza caratteristica s’intende il valore frattile
inferiore al 5% (p = 0.05) ovvero quel particolare valore della
resistenza a compressione al di sotto del quale ci si può
aspettare di trovare al massimo il 5% della popolazione di
tutte le misure.
Tabella 1 – Principali modelli di v.a. utilizzati in affidabilità strutturale
Supporto
Normale
Lognormale
−∞ < x < ∞
0≤x<∞
x
F(x)
−∞
1
2
2
e
−
1 x−
2
2
dx =
x−
I valori caratteristici permettono di tenere conto, sia pure
con approssimazioni, della natura aleatoria della resistenza dei
materiali da costruzione. Da essi, poi, si derivano i valori di
progetto, ossia i valori deterministici nominali da utilizzare
nelle formule di progetto e verifica della normativa. La scelta
di tali valori dipende dal livello di rischio che si accetta circa il
non soddisfacimento di uno stato limite.
2.1
Modalità di esecuzione delle prove e controllo di
accettazione
Il controllo della resistenza a compressione è effettuato
prelevando in cantiere al momento del getto un volume di
calcestruzzo sufficiente a confezionare due provini ed
utilizzando stampi di dimensioni e tolleranze specificate dalla
UNI-EN 12390-1 [6]. L’impasto introdotto nella cassaforma
viene compattato “a rifiuto”, per l’eliminazione dell’aria
nell’impasto, e i provini successivamente mantenuti in
ambiente a temperatura e umidità controllata (U. R. 95%
oppure in acqua) per 28 giorni in accordo alla UNI-EN 123902 [7]. Alla scadenza di questo arco temporale, i provini
vengono sottoposti ad una prova di schiacciamento in accordo
alla UNI-EN 12390-3 e 4 [8, 9]. Il valore medio della
resistenza a compressione ottenuto su due provini derivanti da
un dato prelievo viene indicato come resistenza di prelievo,
Rcp.
Se non diversamente specificato, la maturazione dei
provini di calcestruzzo da sottoporre a schiacciamento si
intende che venga protratta quindi per 28 giorni. In casi
specifici il progettista o il direttore dei lavori potrà definire, in
aggiunta al valore convenzionale caratteristico a 28 giorni, una
resistenza convenzionale a tempi diversi e con modalità di
maturazione del conglomerato differenti da quelle specificate
nella norma UNI-EN 12390-2. Relativamente alla temperatura
di maturazione dei provini sui quali effettuare la
determinazione del valore convenzionale caratteristico a
compressione, se non diversamente specificato, deve
intendersi compresa nell’intervallo T = 20 °C ± 2 °C.
Il soddisfacimento di questa condizione è finalizzato ad
eliminare l’effetto della temperatura sulla resistenza
meccanica a compressione. In particolare, con questa
prescrizione sulla temperatura di maturazione la normativa
vuole evitare che, ad esempio, maturando il calcestruzzo a
temperature costantemente troppo basse (es. provini lasciati
maturare in cantiere durante i periodi invernali con una
temperatura media di 10 °C) il valore della resistenza risulti
penalizzato per il ridotto grado di idratazione del cemento.
Non meno critica è la situazione di provini di calcestruzzo
maturati ad una temperatura troppo elevata (es. provini lasciati
in cantiere d’estate a temperature di 35 °C). Per questi provini,
infatti, l’elevata temperatura se, da una parte produce
Weibull
0≤x<∞
log x −
log X
log X
1− e
−
x
un’accelerazione del processo di idratazione a breve termine,
dall’altra finisce per penalizzare la resistenza meccanica a
lungo termine [10].
La condizione di norma sul grado di umidità relativa per la
stagionatura dei provini serve a creare l’ambiente ottimale per
il processo di idratazione del cemento evitando che
l’esposizione ad atmosfere insature di vapore possa, per effetto
dell’evaporazione di acqua dal calcestruzzo verso l’ambiente
esterno, determinare sia una riduzione del grado di idratazione
che l’eventuale formazione di fessure nel provino. Entrambe
queste evenienze determinano una penalizzazione del valore
della resistenza meccanica a compressione del conglomerato.
Il controllo di accettazione può essere eseguito secondo
due diverse modalità descritte nelle NTC al punto § 11.2.5. In
particolare, al § 11.2.5.2 è stabilito che se si eseguono
controlli statistici accurati (per opere strutturali che richiedono
l’impiego di più di 1500 m3 di miscela omogenea),
l’interpretazione dei risultati sperimentali può essere svolta
con i metodi completi dell’analisi statistica individuando la
legge di distribuzione più appropriata (non necessariamente
utilizzando la distribuzione normale, come accadeva nei
precedenti D.M.) e il valor medio unitamente al coefficiente di
variazione (rapporto tra deviazione standard e valore medio).
3.
ANALISI
RIFERIMENTO
STATISTICA:
DATABASE
DI
I cubetti di calcestruzzo assunti come database per le
analisi sulla resistenza del materiale provengono tutti da una
grande opera in cemento armato che sta sorgendo nel quartiere
Ponticelli, nella zona orientale della città di Napoli: l’Ospedale
del Mare.
L’Ospedale del Mare è un grande complesso ospedaliero,
costituito dall’ospedale vero e proprio, da un albergo per i
parenti e i pazienti “low care”, un edificio direzionale ed una
centrale tecnologica. L’edifico ospedaliero (Figura 1) è isolato
sismicamente attraverso l’utilizzo di 327 dispositivi HDRB
(high damping rubber bearing). L’opera è realizzata in Project
Financing parziale, con ente concedente (Azienda Sanitaria
Locale Napoli 1) e un gruppo costituito da Astaldi S.p.A,
Giustino Costruzioni S.p.A, Ing. C. Coppola Costruzioni
S.p.A., F.&R.Girardi S.p.A.. Il progetto strutture è stato
redatto dagli ingg. Biagio De Risi e Carmine Mascolo; il
collaudo statico è affidato al prof. Edoardo Cosenza.
Durante tre anni di intensi lavori, sono stati eseguiti
innumerevoli getti (oltre 60.000 metri cubi di calcestruzzo,
prodotti in impianti automatizzati e qualificati ISO 9001) e
confezionati diverse centinaia di provini di calcestruzzo. In
particolare, durante la fase di confezionamento, si è avuta
sempre cura di realizzare per ogni cubetto anche un suo
“gemello”.
Figura 1 – Immagine del cantiere dell’Ospedale del Mare (Marzo 2008)
Tabella 2 – Database di riferimento
Campione
A (28 giorni di stagionatura controllata)
B (1 anno di stagionatura non controllata)
Obiettivo dell’analisi statistica è stato individuare e
confrontare, partendo da dati reali, il modello di v.a. che
maggiormente approssimasse l’andamento effettivo delle
resistenze medie sperimentali (resistenze di prelievo), per due
categorie di dati, che per semplicità sono indicati con A e B. A
tali categorie appartengono i valori ricavati da test su provini
di calcestruzzo di classe C 25/30 (fck = 25 MPa, Rck = 30 MPa)
eseguiti secondo disposizioni normative dopo 28 giorni di
stagionatura (dati A), e dei corrispettivi “gemelli” schiacciati
dopo circa un anno di stagionatura (dati B). Si veda la Tabella
2 per i dettagli. È opportuno sottolineare che il numero di
elementi indicato in Tabella 2 è riferito alle resistenze di
prelievo (media della resistenza a compressione ottenuta dallo
schiacciamento di due (dati A) o più cubetti (dati B)) e non al
numero di cubetti effettivamente schiacciati che come già
ricordato risultano essere circa 2700.
4.
Numero di resistenze medie
908
609
eseguite su campioni, lasciati maturare per circa un anno in un
deposito a cielo aperto, senza rispettare nessuna delle
disposizioni previste dalle norme relative alla stagionatura dei
provini da sottoporre a prove di resistenza. Dunque sono stati
sottoposti a condizioni di temperatura ed umidità molto
variabili. Tuttavia, tali condizioni di stagionatura “naturali”
permettono di simulare efficacemente le condizioni al
contorno “reali” che possono effettivamente verificarsi
durante l’esercizio della struttura.
Inoltre, sempre relativamente ai dati A, la forte
dissimmetria della distribuzione empirica è probabilmente
dovuta ad un controllo di qualità accurato. In particolare, su
6297 betoniere arrivate in cantiere è stato effettuato un
controllo con Slump test di oltre 1079, con rifiuto di 2
betoniere.
1
ANALISI STATISTICA: RISULTATI
A
B
A’
0.9
CDF campionaria
0.8
A partire dalle distribuzioni reali dei dati (CDF
campionarie), sono stati innanzitutto effettuati i controlli
statistici previsti dalla normativa (Tabella 3), verificando che,
il valore frattile inferiore al 5% (x0.05) sia almeno pari alla
resistenza caratteristica richiesta dal conglomerato in esame
(30 MPa). Per la distribuzione reale dei dati A, tali verifiche
risultano soddisfatte. Infatti, come può vedersi anche nella
Figura 2, il valore della resistenza corrispondente al quinto
percentile della distribuzione è maggiore della resistenza
caratteristica richiesta. Lo stesso discorso, invece, non può
essere fatto per la distribuzione empirica dei dati B. Ciò è
imputabile al fatto che, i dati A sono relativi a prove effettuate
rispettando le disposizioni previste dalle già citate norme UNI
EN-12390 1-4. I dati B, invece, sono stati ricavati da prove
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1 p = 0.05
0
10
20
30
40
R [MPa]
50
60
70
Figura 2 – CDF campionarie per i due gruppi di dati
Tabella 3 – Statistiche campionarie
Valore minimo
[MPa]
25.10
19.40
16.90
Campione
A
B
A’
CoV
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
CDF
0.9
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
1
30
40
R [MPa]
50
60
0
10
70
Confronto tra distribuzione reale B e distribuzione lognormale
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
20
30
40
R [MPa]
50
60
0
10
70
Confronto tra distribuzione reale A e distribuzione Weibull
20
30
40
R [MPa]
50
60
70
Confronto tra distribuzione reale B e distribuzione Weibull
0.5
0.4
0
10
x0.05
[MPa]
34.00
24.60
30.15
0.5
0.4
20
Coefficiente di
Asimmetria
1.52
0.40
0
0.08
0.20
0.10
Confronto tra distribuzione reale A e distribuzione lognormale
0
10
CDF
Media
[MPa]
37.16
35.47
36.40
CDF
CDF
1
Valore massimo
[MPa]
55.90
62.28
55.90
20
30
40
R [MPa]
50
60
70
Figura 3 – Confronto tra distribuzioni sperimentali e teoriche
In Figura 2 si riporta anche una distribuzione fittizia di A
(A’) che si ottiene considerando per valori di resistenza
maggiori della mediana (cinquantesimo percentile, R 36.40
MPa) la distribuzione reale dei dati di A e per valori minori
della mediana (R < 36.40 MPa) una distribuzione fittizia,
ottenuta per simmetria. In altri termini, si è resa simmetrica la
distribuzione reale in vantaggio di sicurezza. Per la
distribuzione A’ il valore frattile inferiore al 5% (x0.05) è
praticamente coincidente con la resistenza caratteristica
nominale (Tabella 3).
Le distribuzioni reali proposte, mostrano come il
calcestruzzo utilizzato sia della stessa famiglia, in quanto le
curve si avvicinano intorno al valore medio, ma allo stesso
tempo le differenti condizioni di conservazione e stagionatura,
hanno fatto variare la resistenza dei campioni, tanto in
diminuzione quanto in aumento come si rileva dalla Tabella 3,
anche in maniera significativa: i dati B presentano una
variabilità maggiore rispetto a quella dei dati A e i risultati
sperimentali ottenuti si discostano maggiormente dal valore
medio, come emerge anche dai valori assunti dal coefficiente
di variazione (CoV, rapporto tra la deviazione standard e la
media).
4.1
Test di adattamento grafico
Se si è interessati a stabilire se le determinazioni di un
campione casuale di dimensione n siano o no estratte da una
popolazione con CDF determinata, Fo(x) (con parametri noti),
ovvero se sia valido o meno l’adattamento di questa specifica
CDF al campione in esame, è possibile valutare, graficamente,
gli scostamenti dei dati sperimentali dal modello di CDF
ipotizzato. In altre parole, è possibile confrontare,
graficamente, i punti rappresentativi dei dati sperimentali (in
termini di CDF campionaria, Fn(x)) e il modello di CDF
ipotizzato.
Sulla base delle considerazioni svolte in precedenza e sulla
base del coefficiente di asimmetria sperimentale (Tabella 3), si
è scelto di considerate per il confronto la distribuzione
lognormale e la distribuzione di Weibull, entrambe definite
per valori non negativi (e con coefficiente di asimmetria
diverso da zero a differenza della distribuzione normale). I
parametri delle distribuzioni teoriche sono stati stimati
mediante il metodo della massima verosimiglianza.
In Figura 3 si riporta il confronto tra distribuzioni
sperimentali (linea continua) e le distribuzioni teoriche
lognormale e Weibull (linea tratteggiata) per i due gruppi di
dati a disposizione; negli stessi grafici è riportato l’andamento
degli scostamenti (linea continua nera) in valore assoluto tra
CDF campionaria e CDF teorica.
Nel caso dei dati A, un’ulteriore ottimizzazione della
modellazione è stata ottenuta considerando distribuzioni di
tipo tronche ricavate cioè dalle distribuzioni di partenza (in
particolare Weibull) limitando (inferiormente) il supporto di
tali distribuzioni.
In altri termini, è stata considerata la distribuzione
condizionata di Eq. (3), definita per valori di resistenza
maggiori di x*.
F ( x | X ≥ x*) =
F ( x)
1 − F ( x*)
(3)
Sulla base dei dati a disposizione, si è scelto di considerare
x* = 33.80 MPa.
1
0.9
0.8
0.7
CDF
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
20
30
40
R [km]
50
60
Smirnov per l’adattamento ad uno specifico modello di v.a.
[2]. Si dimostra che, nel caso di v.a. continue, la statistica Dn,
segue la legge di probabilità, detta di Kolmogorov e Smirnov,
che dipende esclusivamente dalla dimensione n del campione,
qualunque sia la Fo(x) ipotizzata. I limiti inferiori della zona di
rigetto per la statistica Dn (ovvero il massimo valore che può
assumere Dn per non rifiutare l’ipotesi statistica di
adattamento della distribuzione sperimentale al dato modello
teorico) possono essere valutati, per n > 35, con formule
1.36
approssimate quali
per α = 0.05 (livello di
n
significatività del test).
Per i campioni a disposizione, i valori critici di Dn per α =
0.05 (valore comunemente usato nei test di adattamento) sono
riportati in Tabella 4 e quindi per i dati A, nessun modello
teorico (tra quelli considerati) ben si adatta ai dati sperimentali
(come evidente anche dal confronto grafico di Figura 3);
viceversa, per i dati B entrambi i modelli, lognormale e
Weibull, ben approssimano l’andamento dei risultati delle
prove sperimentali sebbene, sulla base dei dati osservati, sia
preferibile il modello lognormale (Figura 3).
È opportuno sottolineare che il modello di v.a. scelto per
rappresentare le proprietà meccaniche di un materiale
strutturale gioca un ruolo fondamentale nella valutazione
dell’affidabilità di un dato elemento.
Due differenti modelli di v.a. per la resistenza di un dato
materiale o per le azioni agenti su una data struttura, possono
portare a valori di affidabilità (o equivalentemente di
probabilità di collasso) che differiscono di oltre un ordine di
grandezza. Tale problema è dovuto essenzialmente alle
differenze tra le code delle CDF (o equivalentemente tra le
PDF) comunemente utilizzate per la modellazione
probabilistica delle grandezze in gioco nei problemi di
ingegneria strutturale.
0.1
70
0.08
Tale tipo di distribuzione “troncata” approssima bene i
dati sperimentali quando si è in presenza di un processo che
scarta all’origine i campioni di modesta qualità, in base ad un
programma di controllo di accettazione accurato; ciò potrebbe
accadere nel caso in esame, avendo effettuato un forte
controllo in stabilimento e un fitto controllo in cantiere con
rifiuto del calcestruzzo in base alla risposta allo Slump test.
La distribuzione Weibull tronca si adatta in maniera
ottimale (scostamenti sempre prossimi a zero) alla
distribuzione effettiva delle resistenze medie sperimentali
(Figura 4). Naturalmente tale distribuzione annulla la
probabilità che si ottengano valori inferiori a 33.80 MPa,
mentre nella realtà un numero limitato di provini (in
particolare 10 su 908) hanno dato risultati inferiori.
0.06
4.2
Test di Kolmogorov e Smirnov e di Anderson e
Darling
Vale la pena osservare che proprio il massimo valore
assoluto della differenza Dn tra la CDF campionaria e quella
ipotizzata è utilizzato nel test (analitico) di Kolmogorov-
PDF
Figura 4 – Confronto tra distribuzione reale e distribuzione
Weibull tronca per i dati A
v.a. normale
v.a. Weibull
0.04
0.02
0
10
20
30
40
R [MPa]
50
60
70
Figura 5 – Differenze nelle code di due modelli di v.a.
In Figura 5 si riportano a titolo di esempio le PDF relative
alla resistenza del calcestruzzo, R, utilizzando due modelli di
v.a., normale e Weibull, caratterizzati da uguale media (intesa
come baricentro dell’area sottesa alla PDF) e uguale
deviazione standard; si ha:
Pr[R ≤ 25 MPa ]normale = 0.0055
Pr[R ≤ 25 MPa ]Weibull = 0.0153
Tabella 4 – Risultati del test di Kolmogorov e Smirnov
Campione
A
B
valore critico di Dn
0.05
0.09
Per tenere conto di tale questione, i risultati del test di
Kolmogorov e Smirnov sono stati verificati anche mediante il
test di Anderson e Darling, più sensibile alle differenze nelle
code [11], poiché il valore critico della statistica test dipende
esplicitamente dalla distribuzione in esame. In questo caso
(test di Anderson e Darling) la verifica dell’ipotesi di
adattamento delle distribuzioni teoriche proposte risulta non
rigettata (cioè verificata) al 5% per tutti i casi analizzati. Per
brevità non si riporta il dettaglio del calcolo.
5.
CONCLUSIONI
Il rispetto delle prescrizioni normative relative al
confezionamento ed alla maturazione dei provini ha come
obiettivo quello di far si che la resistenza meccanica a
compressione ottenuta dalle prove di schiacciamento dipenda
esclusivamente da parametri composizionali dell’impasto. Il
controllo di accettazione permette quindi di stabilire se il
calcestruzzo fornito è conforme alla resistenza caratteristica
utilizzata nei calcoli strutturali dal progettista senza tuttavia
tener conto esplicitamente di questioni legate alla durabilità
dell’opera e, in generale, dei livelli di sicurezza prefissati
nell’effettivo esercizio della struttura.
Nel presente lavoro, a partire da un database di circa 2700
prove a compressione eseguite su cubetti di calcestruzzo
prelevati da getti effettuati per la realizzazione di un’unica
grande opera nel napoletano, è stata analizzata l’evoluzione
della resistenza a compressione del calcestruzzo, in relazione
al tempo ed alle condizioni di conservazione dei provini.
I risultati presentati consentono di affermare che sono
pienamente rispettate le prescrizioni di normativa circa il
controllo del valore della resistenza caratteristica a 28 giorni di
maturazione del calcestruzzo in quanto si è ottenuto un valore
del frattile al 5% pari a 34 MPa e pertanto ben superiore a
quello richiesto dalla norma (30 MPa).
Lo studio però mostra con evidenza la convenzionalità del
calcolo della resistenza normativa. Infatti la resistenza
caratteristica dipende in modo sostanziale dal coefficiente di
variazione del campione e la conservazione dei provini in
condizioni di umidità e temperatura standard circoscrivono
fortemente la variabilità dei risultati.
Quando invece i provini vengono conservati in ambiente
“realistico” in cantiere, la resistenza riproduce la stessa media
ma lo scarto aumenta fortemente e dunque si riduce la
resistenza caratteristica.
In particolare per i dati A (28 giorni di stagionatura in
condizioni controllate secondo normativa) il valore frattile
inferiore al 5%, come detto, è maggiore del valore di
resistenza nominale, per i dati B (1 anno di stagionatura in
condizioni “non controllate”) si osserva un valore
caratteristico significativamente minore del valore dichiarato.
Inoltre, nel caso controllato il CoV è inferiore a 0.10, mentre
nel caso di conservazione ambientale è pari a 0.20. Si
sottolinea che per condizioni di conservazione “non
controllate” dei cubetti si intendono, condizioni estreme
caratterizzate cioè per alcuni da una forte esposizione
Dn lognormale
0.12
0.02
Dn Weibull
0.22
0.04
all’irraggiamento solare (per i getti effettuati durante il
periodo estivo) e per altri da un’esposizione prolungata alle
intemperie (per i getti effettuati durante il periodo invernale).
Non sono neanche esclusi urti dei provini, tipici di un cantiere
attivo. Pertanto condizioni di conservazione ben lontane
dall’essere “controllate” secondo quanto prescrivono le norme
UNI in materia.
Nel lavoro inoltre si è valutata, sia graficamente sia
mediante i test di Kolmogorov e Smirnov e di Anderson e
Darling, la distribuzione statistica che maggiormente
approssimasse l’andamento effettivo delle resistenze medie
sperimentali. In particolare, sono state considerate sia la
distribuzione lognormale sia la distribuzione di Weibull,
entrambe molto utilizzate in letteratura per la modellazione
probabilistica della resistenza dei materiali strutturali.
Per i risultati delle prove a 28 giorni (dati di tipo A),
nessun modello teorico (tra i due considerati) si adatta ai dati
sperimentali a causa della forte dissimmetria della
distribuzione empirica. Per superare tale limite, si è scelto di
considerare anche distribuzioni di probabilità tronche, cioè
definite in un sottoinsieme del supporto della v.a. di partenza.
In particolare, la distribuzione di Weibull tronca ben si adatta
(scostamenti prossimi a zero) ai risultati sperimentali.
Per le prove effettuate dopo circa 1 anno di permanenza in
ambiente non controllato (dati di tipo B) entrambi i modelli,
lognormale e Weibull, ben approssimano l’andamento dei
risultati delle prove sperimentali: il modello lognormale, in
particolare, conduce a scostamenti dai dati reali prossimi a
zero.
RINGRAZIAMENTI
Gli autori desiderano ringraziare il geom. Roberto
Rizzuto, di Astaldi SpA ed assistente al Collaudo, per il lavoro
svolto in relazione al registro delle prove effettuate, e la
Società Tecno In SpA di Napoli per lo svolgimento materiale
delle prove. Inoltre si ringraziano gli ingg. Sisto Tuccillo e
Salvatore Acampora per il lavoro di tesi svolto sull'
argomento.
BIBLIOGRAFIA
[1]
[2]
[3]
[4]
E. Cosenza, G. Manfredi, M. Pecce. (2008) Strutture
in cemento armato. Basi della progettazione, Hoepli,
capitolo 1.
P. Erto. (2008). Probabilità e Statistica per le Scienze
e l’Ingegneria. Terza edizione, McGraw-Hill, Milano.
S. Nowak, M. M. Szerszen. (2003). Calibration of
design code for buildings (ACI 318) Part 1: Statistical
Models for Resistance, ACI Structural Journal, 100 N.
3, 377–382.
P. J. Tumidajski, L. Fiore, T. Khodabocus, M.
Lachemi, R. Pari. (2006). Comparison of weibull and
normal distributions for concrete compressive
strengths, Canadian Journal of Civil Engineering, 33
N. 10,1287–1292.
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
Min.II.TT, DM 14 gennaio (2008). Norme Tecniche
per le Costruzioni (NTC), Gazzetta Ufficiale della
Repubblica Italiana, 29.
UNI EN 12390-1:2002, Prova sul calcestruzzo
indurito - Forma, dimensioni ed altri requisiti per
provini e per casseforme.
UNI EN 12390-2:2002, Prova sul calcestruzzo
indurito - Confezione e stagionatura dei provini per
prove di resistenza.
UNI EN 12390-3:2003, Prova sul calcestruzzo
indurito - Resistenza alla compressione dei provini.
UNI EN 12390-4:2002, Prova sul calcestruzzo
indurito - Resistenza alla compressione - Specifiche
per macchine di prova.
L. Coppola (2005). Controlli della resistenza a
compressione del c.l.s. in opera in accordo alle nuove
norme tecniche per le costruzioni. Contestazioni
legali. L’edilizia, 141.
A.-H. Zureick, R. M. Bennett, B. R. Ellingwood.
(2006). Statistical characterization of fiber-reinforced
polymer composite material properties for structural
design, J. Struct. Engrg., 132 N. 8, 1320–1327.
