3.
LE PROIEZIONI ORTOGONALI
Le proiezioni ortogonali sono originate dallo scopo di proiettare su un piano (il foglio della
rappresentazione) un oggetto posto nello spazio, che conservi le stesse caratteristiche
geometriche e dimensionali dell’oggetto e che siano misurabili, riferendosi ad un rapporto
predefinito fra le dimensioni dell’oggetto e della sua rappresentazione (scala grafica).
Per ottenere ciò i raggi di proiezione devono essere paralleli fra loro e perpendicolari al
piano di proiezione.
Se pensiamo ad un oggetto tridimensionale posto nello spazio possiamo rappresentare la
sua forma su un piano di proiezione che potremmo di volta in volta spostare
opportunamente
all’intorno
dell’oggetto
sempre
con
raggi
proiettivi
paralleli
e
perpendicolari al piano stesso. Si ottengono così immagini bidimensionali delle facce
esterne dell’oggetto rappresentato.
Se il piano è posto parallelamente al terreno, la proiezione ottenuta è definita come
proiezione sul piano orizzontale e se spostiamo il piano parallelamente al terreno
tagliando l’oggetto o ponendolo sopra di esso, in architettura
dell’oggetto.
Fig. 2
Proiezioni ortogonali di
un parallelepipedo su
piani esterni alla figura
6
chiamata pianta
Analogamente se il piano è posto perpendicolarmente al piano terreno (cioè al piano
orizzontale) la proiezione ottenuta è definita come proiezione sul piano verticale (o
verticale laterale), e tutte le proiezioni sul piano verticale in architettura sono chiamate
prospetti se si riferiscono alle facce laterali dell’oggetto, sezioni se si riferiscono al piano
che taglia verticalmente l’oggetto.
E’ evidente che se operiamo come sopra otteniamo di volta in volta immagini
bidimensionali
dell’oggetto
rappresentato.
Il
sistema
geometrico
per
ottenere
contemporaneamente più immagini bidimensionali sul piano orizzontale e sul piano
verticale dell’oggetto è definito, nella geometria proiettiva, come sistema delle proiezioni
ortogonali piane:
Il metodo delle proiezioni ortogonali piane consiste nel proiettare contemporaneamente su
due piani fra loro ortogonali, il piano orizzontale PO ed il piano verticale PV,che si
incontrano lungo una retta, detta linea di terra LT. Se facciamo coincidere il piano
orizzontale con il foglio da disegno e ribaltiamo il piano orizzontale lungo la linea di terra
sul piano orizzontale otteniamo, sullo stesso foglio da disegno la figura proiettata sul piano
orizzontale e quella proiettata sul piano verticale.
7
3.1
Proiezioni di figure piane
Proiezione di un punto
Un punto P posto alla distanza y dal piano orizzontale PO e alla distanza x dal piano
verticale PV incontra rispettivamente il piano orizzontale PO nel punto P1 ed il piano
verticale PV nel punto P2
Fig. 3.1
Proiezione di un punto P
sui piani PO e PV – vista
3D
Fig. 3.2
Proiezione di un punto P
sui piani PO e PV – vista
2D
8
Proiezione di una retta
Data una retta R si possono avere 4 casi :
-
1° la retta interseca i piani PO e PV rispettivamente nei punti R1 e R2;
Fig. 4.1
Proiezione di una retta
generica – vista 3D
Fig. 4.2
Proiezione di una retta
generica – vista 2D
9
-
2° la retta R è parallela al piano PV e quindi incontra il piano PO solo nel punto R1;
Fig. 5.1
Proiezione di una retta
parallela a PV – vista 3D
Fig. 5.2
Proiezione di una retta
parallela a PV – vista 2D
10
-
3° la retta R è parallela al piano PO e quindi incontra il piano PV solo nel punto R2;
Fig. 6.1
Proiezione di una retta
parallela a PO – vista 3D
Fig. 6.2
Proiezione di una retta
parallela a PO – vista 2D
11
-
4° la retta è parallela ai due piani PO PV e quindi anche alla linea di terra T.
Fig. 7.1
Proiezione di una retta
parallela ai piani PO e
PV – vista 3D
Fig. 7.2
Proiezione di una retta
parallela ai piani PO e
PV – vista 2D
I punti di intersezione della retta sul piano orizzontale e verticale sono dette tracce R1 e
R2.
12
Proiezione di un piano
Dato un piano H si possono avere 3 casi:
-
1° il piano H interseca i piani PO e PV rispettivamente lungo le rette t1h e t2h;
Fig. 8.1
Proiezione di un piano H
– vista 3D
Fig. 8.2
Proiezione di un piano H
– vista 2D
13
-
2° il piano H è parallelo al piano PV e quindi incontra il piano PO solo lungo la retta
t1h parallela alla linea di terra;
Fig. 9.1
Proiezione di un piano H
parallelo a PV – vista 3D
Fig. 9.2
Proiezione di un piano H
parallelo a PV – vista 2D
14
-
3° il piano H è parallelo al piano PO e quindi incontra il piano PV solo lungo la retta t2h
parallela alla linea di terra.
Fig. 10.1
Proiezione di un piano H
parallelo a PO – vista 3D
Fig. 10.2
Proiezione di un piano H
parallelo a PO – vista 2D
Le rete di intersezione del piano sui piani orizzontale e verticale sono dette tracce th1 e
th2.
15
3.2
Condizioni di appartenenza
Nelle proiezioni ortogonali delle figure geometriche si verificano le seguenti condizioni di
appartenenza:
- Condizione necessaria e sufficiente perché un punto P appartenga ad una retta r è che la
proiezione del punto P1 sul pano orizzontale PO e P2 sul piano verticale PV appartengano
alle proiezioni R1 e R2.
Fig. 11
Condizioni di
appartenenza tra un
punto ed una retta –
vista 2D
- Condizione necessaria e sufficiente perché una retta r appartenga ad un piano H è che
la traccia R1 della retta r sul pano orizzontale PO e la traccia R2 della retta r sul piano
verticale PV appartengano alle corrispondenti tracce th1 e th2 del piano H.
Fig. 12
Condizioni di
appartenenza tra una
retta ed un piano –
vista 2D
16
3.3
Condizioni di parallelismo
- Condizione necessaria e sufficiente perché due rette r ed s siano fra loro parallele è che
le proiezionisul PO e sul PV delle due rette siano anche esse parallele fra loro.
Fig. 13
Condizioni di parallelismo
tra due rette– vista 2D
- Condizione necessaria e sufficiente perché due piani Ha e Hb siano fra loro paralleli è
che le tracce dei due piani siano anche esse parallele fra loro.
17
3.4
Condizioni di perpendicolarità
- Condizione necessaria e sufficiente affinché una retta r sia perpendicolare ad un piano α
è che le proiezioni della retta siano perpendicolari alle tracce omonime del piano.
Fig. 14
Condizioni
di
peprpendicolarità tra una
retta ed un piano – vista
2D
Le altre condizioni di perpendicolarità si possono così enunciare:
-
due rette sono tra loro perpendicolari quando è possibile far passare per una delle due
un piano perpendicolare all’altra retta.
-
Due piani sono perpendicolari quando sono perpendicolari fra loro due rette
appartenenti ai singoli piani.
18
3.5
Proiezione di figure piane e tridimensionali
La rappresentazione completa di una figura (piana o tridimensionale) avviene attraverso la
sua proiezione su tre piani ortogonali:
- PO
Piano orizzontale;
- PV
Piano verticale;
- PV1
Piano verticale ausiliario.
Fig. 15.1
Proiezione di una figura
piana (quadrato) - vista
3D
Fig. 15.2
Proiezione di una figura
piana (quadrato) - vista
2D
19
Fig. 16.1
Proiezione di una figura
tridimensionale (cubo) vista 3D
Fig. 16.2
Proiezione di una figura
tridimensionale (cubo) vista 2D
20
3.6
Esempi di proiezioni ortogonali
Fig. 17
Rappresentazione
di
una sedia
Proiezioni ortogonali e
assonometriche
Fig. 18
Pianta
anteriore,
posteriore e prospetto
laterale
della
sedia
progettata da Ritveld
(disegni
tratti
dal
“laboratorio di disegno ”
doc. Marco Cardini)
21
Fig. 19.1
Rilievo di una lampada a
muro
Fig. 19.2
Particolari della
lampada
(disegni
tratti
dal
“laboratorio di disegno ”
doc. Marco Cardini)
22
Fig. 20
Prospetto di una cucia
Fig. 21
Rappresentazione di ua
poltroncina con tutti i
pezzi che la compongono
(disegni
tratti
dal
“laboratorio di disegno ”
doc. Marco Cardini)
23
Fig. 22.1
Rilievo di una macchina
da scrivere Olivetti
Fig. 22.2
Progetto di una sedia
(disegni
tratti
dal
“laboratorio di disegno ”
doc. Marco Cardini)
24
