ESERCIZI PER CASA – TERZA SETTIMANA
Università degli Studi di Trento – Corso di Laurea in Matematica
Corso di Teoria dei Numeri e Crittografia – A.A. 2010/11
9 marzo 2011
Un criterio di divisibilità per 7. Usiamo la notazione (dk−1 · · · d1 d0 )10 per indicare
la rappresentazione decimale del numero naturale n (nel solito modo). Dimostrate che
(dk−1 · · · d1 d0 )10 è multiplo di 7 se e solo se (dk−1 · · · d1 )10 − 2d0 è multiplo di 7.
Suggerimento: Mostrate che 10a + b è multiplo di 7 se e solo se a − 2b è multiplo di 7.
MCM. Calcolate il minimo comune multiplo degli interi da 1 a 10. Ora trovate il
minimo comune multiplo degli interi da 1 a 100; di quest’ultimo basta che esibiate la
scomposizione in fattori primi, non serve che ne troviate il valore numerico.
Frittata. Un cestino contiene un certo numero di uova. Se rimuoviamo le uova 2, 3, 4, 5
o 6 alla volta, il numero di uova che rimangono nel cestino è 1, 2, 3, 4 o 5, rispettivamente.
Se invece rimuoviamo le uova 7 alla volta, il cestino rimane vuoto. Quant’è il minimo
numero di uova che conteneva il cestino?
Sistemi di congruenze. Risolvete (cioè trovate tutte le soluzioni) della congruenza
25 x ≡ 49 (mod 97), e di ciascuno dei seguenti sistemi di congruenze:
x
≡
8
(mod
9)
x
≡
11
(mod
9)
x ≡ 11 (mod 15)
x ≡ 10 (mod 11)
x ≡ 13 (mod 11)
x ≡ 17 (mod 21)
x ≡ 12 (mod 13)
x ≡ 9 (mod 13)
x ≡ 31 (mod 35)
(notare che per l’ultimo sistema bisogna spezzare ciascuna congruenza in due rispetto a
moduli coprimi, e si fa grazie al Teorema Cinese dei resti, dopodiché. . .).
Complessità del crivello di Eratostene. Ricordo brevemente come funziona. Serve
per determinare tutti i primi fino ad un limite fissato n. Si parte con una tabella contenente i numeri naturali fino ad n. Poi se ne cancellano tutti i multipli di 2 (cioè i numeri
pari), quindi quelli di 3, poi
√ quelli di 5, e cosı́ via. Una volta cancellati tutti i multipli dei
primi che non superano n (perché?), nella tabella rimangono solo 1 ed i numeri primi
(che non superano n). (Notate
che non è necessario avere a disposizione una tabella dei
√
primi che non superano n, perché il crivello stesso la produce man mano.)
Ci si può ragionevolmente aspettare che il crivello di Eratostene sia meno efficiente
del metodo delle divisioni per tentativi (cioè eseguire le divisioni di un certo n per 2,
3, . . . , bnc) se utilizzato per determinare se un numero assegnato è primo, ma che possa
essere piú efficiente se si vogliono ottenere tutti i primi che non superano n. Dimostrate
quest’ultima affermazione. Piú precisamente, dimostrate che il tempo per l’esecuzione
del crivello di Eratostene cosı́ come descritto (trascurando questioni di memoria e, piú in
generale, come amministrare una tabella cosı́ lunga), è O(n log2 n), mentre il tempo per
ottenere una tabella tutti i primi che non superano n controllandoli uno ad uno mediante
le divisioni per tentativi è O(n3/2 log n).
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