INTRODUZIONE TEORICA SUL MOTO OSCILLATORIO
Differenze tra il moto armonico semplice e quello smorzato.
Il moto armonico semplice è il moto di un oscillatore nel caso non sia né forzato né smorzato da
forze esterne. Tale moto è periodico, in quanto si ripete ad intervalli regolari in maniera identica e
può essere descritto attraverso una funzione sinusoidale di ampiezza A costante nel tempo come ad
esempio x(t) = A cos(ω0 t + φ), dove x è la posizione in funzione del tempo.
I parametri A e φ sono rispettivamente l'ampiezza dell'oscillazione (spostamento massimo rispetto
alla posizione di equilibrio) e la fase, che dipendono entrambe dalla posizione e velocità iniziale del
moto, ovvero x(0) e v(0). Caratteristica del moto è il periodo dell'oscillazione (ovvero l'intervallo di
tempo che il moto impiega per ripetersi) definito come T = 2π/ω0.
In stretto rapporto con il periodo è la frequenza di oscillazione, definita come il numero di cicli di
oscillazione nell'unità di tempo. La frequenza ed il periodo sono l'una l'inverso dell'altro: f = 1/T .
Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme, in quanto rappresenta la
proiezione di tale moto su di un qualsiasi diametro della circonferenza. Alle diverse posizioni P1, P2,
..., Pn del punto mobile sulla circonferenza in tempi differenti t1, t2, tn , corrisponderanno le
proiezioni sul diametro AB rispettivamente P'1, P'2, ..., P'n la cui distanza dal centro indicheremo con
x (vedi Figura 1).
Figura 1
1
Nel caso ideale un esempio di oscillatore armonico semplice può essere una massa m attaccata ad
una molla di costante elastica k (vedi Figura 2).
Figura 2
L'equazione del moto è espressa dalla seconda legge della dinamica F = ma, dove la forza è la forza
elastica F = -kx, l'accelerazione è a = dv/dt con v = dx/dt, ovvero a = d2x/dt2.
L'equazione del moto diventa quindi m d2x/dt2 + k x = 0 e ha come soluzione la legge oraria del
moto armonico semplice x(t) = A cos( ω0 t + φ ).
La pulsazione propria dell'oscillazione è ω0 = (k/m)1/2 ed il periodo (ovvero l'inverso della
frequenza) sarà T = 2π/ω0 = 2π (m/k)1/2.
La forza di richiamo esercitata dalla molla, detta forza elastica perché è la forza che esercita una
molla elastica quando viene compressa o allungata rispetto alla sua lunghezza di riposo, sarà:
F = m d2x/dt2 = m[ - k/m A cos((k/m)1/2 t + φ)] = - k A cos(ω0 t + φ) = - kx = - mω02 x
diretta, come dice il nome, nel verso opposto allo spostamento.
Da questa si dimostra che l'accelerazione istantanea di un moto armonico è proporzionale alla
distanza x, ovvero a = - ω02 x = - (2π/T)2 x .
La velocità e l'accelerazione della massa saranno rispettivamente derivata prima e seconda della
legge oraria, ovvero:
x(t) = A cos(ω0 t + φ)
legge oraria lungo l'asse x
derivata prima della legge oraria (v = dx/dt)
v(t) = - ω0 A sin(ω0 t + φ)
a(t) = - ω0 2 A cos(ω0 t + φ)
derivata seconda della legge oraria (a = d2x/dt2)
Dall'analisi di questo tipo di moto risulta che la velocità ha intensità variabile nel tempo e
l'accelerazione è proporzionale allo spostamento x, in quanto a(t) = - ω0 2 x(t); le variazioni di
velocità sono sempre di segno opposto allo spostamento. La massima accelerazione si ha nei punti
A e B dove, per un istante, il punto in movimento si arresta prima di invertire il senso del moto e
dove la velocità, che subito dopo cambia di segno, per quell'istante è nulla.
In questo caso ideale sulla massa agisce esclusivamente la forza elastica che è una forza
conservativa è quindi giusto aspettarsi che l'energia meccanica rimanga costante; tuttavia è intuitivo
studiare l'evoluzione nel tempo dell'energia meccanica
E(t) = ½ m v2(t) + ½ k x2(t) = ½ m ω0 2A2sin2(ω0 t + φ) + ½ k A2cos2(ω0 t + φ) = COSTANTE .
La figura seguente ( Figura 3) mostra che l'energia meccanica dell'oscillatore armonico è la somma
di due termini oscillanti la cui somma è costante nel tempo; questi due termini oscillano in
opposizione di fase (uno è massimo quando l'altro è minimo e viceversa). Ad esempio quando ω0 t
+ φ = 0 il primo termine, l'energia cinetica, è minimo (il seno vale 0) mentre il secondo, l'energia
potenziale, è massimo ( il coseno vale 1); viceversa quando ω0 t + φ = π/2 il primo termine è
massimo (sin(π/2) = 1) mentre il secondo è minimo (cos(π/2) = 0).
2
Figura 3
Considerando per semplicità φ = 0 e osservando che mω02 = k l'espressione dell'energia meccanica
diviene:
E(t) = ½ k A2sin2(ω0 t) + ½ k A2cos2(ω0 t) = ½ k A2 [sin2(ω0 t) + cos2(ω0 t)] = ½ k A2 = COSTANTE;
ovvero l'energia meccanica dell'oscillatore è uguale in ogni istante all'energia potenziale della molla
al massimo allungamento o alla massima compressione; posizioni in cui l'energia cinetica è nulla.
Poiché k = mω02 e vmax = ω0 A è la velocità massima che l'oscillatore raggiunge alla posizione di
riposo della molla:
E(t) = ½ k A2 =½ m vmax 2 = COSTANTE ; ovvero l'energia meccanica dell'oscillatore è anche
uguale in ogni istante all'energia cinetica della molla nella sua posizione d'equilibrio; posizioni in
cui l'energia potenziale della molla stessa è nulla.
Figura 4
Se un oscillatore armonico è inizialmente a riposo la sua energia totale è nulla. Affinché esso oscilli
deve ricevere dell'energia dall'esterno, ovvero si deve compiere lavoro su di esso in modo che
aumenti la sua energia totale. Ad esempio se scostiamo la massa dalla posizione di riposo
allungando la molla, compiamo un lavoro contro la forza elastica che aumenta l'energia potenziale
3
del sistema stesso; quando lasciamo andare la massa questa energia rimane all'oscillatore armonico.
Al contrario, se fermiamo la massa, o la freniamo, l'energia totale si annulla o diminuisce.
Nell'oscillatore lasciato a se stesso, quando agisce solo la forza elastica della molla, l'energia
meccanica si conserva ma questa stessa quantità può variare a causa dell'intervento di forze esterne
all'oscillatore. E' necessario infatti osservare che nello studio di fenomeni fisici reali i corpi in
movimento sono in realtà soggetti a forze smorzanti il moto stesso, come ad esempio l' attrito.
Nell'oscillatore armonico semplice non sono considerate le forze d'attrito in quanto tale modello è
una semplificazione della realtà, una sua idealizzazione, che è valida se e solo se le forze d'attrito
sono trascurabili.
Nel caso reale (vedi Figura 5) su di una massa attaccata ad una molla oltre alla forza elastica
agiscono delle forze d'attrito; tali forze vengono prese in esame nel modello dell'oscillatore
armonico smorzato. Solitamente in questo modello le forze d'attrito vengono considerate come
forze d'attrito viscoso direttamente proporzionali alla velocità e di verso ad essa opposto, ovvero
Fattrito = - βv (maggiore è β maggiore è l'attrito).
Figura 5
L'equazione del moto diviene quindi:
md2x/dt2 + βdx/dt + kx = 0 , un'equazione differenziale di secondo grado omogenea la cui
soluzione è caratterizzata da tre diversi regimi dovuti al diverso valore che può assumere la forza
d'attrito rispetto alla forza elastica.
Sostituendo nell’equazione differenziale la soluzione di prova x(t) = A exp(λt) con le sue rispettive
derivate si ottiene l'equazione caratteristica associata :
−β ± β 2−4mk
mλ2 + βλ + k = 0 che ha come soluzioni λ 1,2=
.
2m
Prima di dare la legge oraria corrispondente ad ogni regime, osserviamo che la forza d'attrito
compie un lavoro strettamente negativo per cui l'energia totale dell'oscillatore diminuirà fino ad
annullarsi; quindi in un tempo più o meno lungo, a seconda dell'intensità della forza d'attrito,
l'oscillatore, se viene perturbato, tornerà nella sua posizione di riposo a causa della dissipazione
d'energia.
4
Sottosmorzamento
Questo caso si verifica quando β < 2 (mk)1/2, caso in cui lo smorzamento non è particolarmente
intenso in quanto la forza di attrito è debole rispetto alla forza elastica; per questo motivo il sistema
riesce a compiere qualche oscillazione attorno alla posizione d'equilibrio x = 0.
In questo caso le radici dell'equazione caratteristica associata λ1,2 sono complesse (essendo
l'argomento della radice negativo); ciò comporta che la soluzione dell'equazione differenziale
contenga un termine con esponenziale complesso, il quale rappresenta per l'appunto un termine
"oscillante". Si può dimostrare che ponendo ω = [k/m-(β/2m)2]1/2, l'equazione differenziale ha come
soluzione la seguente legge oraria: x(t) = A1 exp(- β/2m t) cos(ω t + φ ).
Notiamo che questa legge oraria descrive delle oscillazioni di frequenza f = ω/2π la cui ampiezza
diminuisce esponenzialmente nel tempo (vedi figura seguente).
L'argomento nell'esponenziale è proporzionale al coefficiente d'attrito β quindi maggiore è l'attrito
più velocemente decresce l'ampiezza delle oscillazioni.
Notiamo anche che nel caso di piccolo smorzamento la pulsazione ω = [k/m-(β/2m)2]1/2 è inferiore
alla pulsazione propria ω0 = (k/m)1/2 (la pulsazione alla quale oscillerebbe lo stesso sistema se non
fosse smorzato, ovvero se non fosse influenzato dall'attrito viscoso). Questo ha un chiaro significato
fisico: la presenza di viscosità rallenta il movimento dell'oscillatore.
Solo nel caso in cui β << 2 (mk)1/2 ovvero nel caso in cui si abbia un attrito trascurabile (oscillatore
armonico semplice) si ha ω ~ ω0 .
Figura 6
Per un oscillatore smorzato, a differenza dell'oscillatore armonico semplice, l'energia meccanica
non è più costante ma diminuisce nel tempo in modo esponenziale.
5
Smorzamento critico
Quando β = 2 (mk)1/2 si dimostrare che la legge oraria è: x(t) = (A1 + A2 t ) exp(- β/2m t ).
Le costanti A1 e A2 si determinano imponendo le condizioni iniziali x(0) = A e v(0) = 0 ovvero
imponendo che nell'istante t = 0 il sistema si trova nella posizione di elongazione A con velocità
nulla.
Figura 7
Il sistema, sebbene sia in grado di dare inizio ad un'oscillazione, la vede smorzarsi prima del suo
completamento (ovvero prima che il punto passi per la posizione di equilibrio). Inoltre la posizione
di riposo viene raggiunta nel minor tempo possibile.
Sovrasmorzamento
Consideriamo adesso il caso in cui la forza di attrito è forte rispetto alla forza elastica, ovvero
quando β > 2 (mk)1/2.
In tal caso si può dimostrare che la soluzione dell'equazione differenziale del moto coincide con la
seguente legge oraria: x(t) = A1 exp(-|λ1|t ) + A2 exp(-|λ2|t ).
Le costanti A1 e A2 si determinano imponendo che la soluzione soddisfi le condizioni iniziali
x(0) = A e v(0) = 0, ovvero che all'istante di tempo t = 0 il punto si trovi nella posizione di
elongazione A con velocità nulla.
Figura 8
Dal punto di vista fisico questa soluzione indica che lo smorzamento viscoso è tanto alto da
impedire qualunque oscillazione del punto attorno alla posizione di equilibrio x = 0.
6
Ricapitolando nel caso in cui si effettui un esperimento in cui l'attrito non rappresenti una forza
trascurabile il fenomeno fisico viene descritto attraverso il moto armonico smorzato.
Lo smorzamento nel caso β = 2 (mk)1/2 viene detto smorzamento critico perché rappresenta un
valore di transizione tra smorzamento debole β < 2 (mk)1/2 e smorzamento forte β > 2 (mk)1/2.
Lo smorzamento debole viene anche detto smorzamento sottocritico, e quello forte smorzamento
sovracritico; oppure si può dire semplicemente che un oscillatore è sottosmorzato, critico oppure
sovrasmorzato.
Lo smorzamento critico (come mostrato nella figura seguente) è caratterizzato dalla proprietà che
l'oscillatore raggiunge la posizione d'equilibrio nel tempo più breve rispetto a tutti gli altri
smorzamenti, in quanto il coefficiente d'attrito ha proprio il valore minimo necessario per riportare
il sistema all'equilibrio senza oscillare.
Figura 9
Un esperimento che ci permetterà di analizzare i diversi regimi di smorzamento sarà il circuito
elettrico RLC, formato da un resistore (R), da un induttore (L) e da un condensatore (C) collegati in
serie.
A differenza della massa legata ad una molla l'equazione differenziale non deriverà più dalla
seconda legge di Newton ma dalla seconda legge di Kirchhoff riguardante le differenze di
potenziale elettrico:
∆VR + ∆VL + ∆VC = 0;
dove ∆VR= Ri è la differenza di potenziale ai capi della resistenza R,
∆VL= L di/dt è la differenza di potenziale ai capi della induttanza L,
∆VC= q/C è la differenza di potenziale ai capi del condensatore di capacità C
Dato che la corrente elettrica i(t) è la derivata prima rispetto al tempo della carica elettrica q(t),
ovvero i = dq/dt, la seconda legge di Kirchhoff diventa:
L d2q/dt2 + R dq/dt + q/C = 0
anche essa un'equazione differenziale di secondo grado omogenea la cui soluzione ha tre diversi
regimi a seconda del valore della resistenza elettrica R.
7
Tra i due diversi oscillatori, quello meccanico e quello elettromagnetico, si possono evidenziare le
seguenti analogie:
Oscillatore meccanico
Oscillatore elettromagnetico
equazione differenziale di secondo grado
omogenea derivante
dalla seconda legge di Newton
equazione differenziale di secondo grado
omogenea derivante
dalla seconda legge di Kirchhoff
m d2x/dt2 + β dx/dt + kx = 0
L d2q/dt2 + R dq/dt + q/C = 0
x(t)
posizione
q(t)
carica
β
coefficiente d'attrito
R
resistenza
m
massa
L
induttanza
k
costante elastica
1/C
inverso della capacità
ω0 = k/m
pulsazione propria
ω0 = 1/LC
pulsazione propria
ω = [k/m-(β/2m)2]1/2 pulsazione del moto
sottosmorzato
ω = [1/LC-(R/2L)2]1/2 pulsazione del moto
sottosmorzato
fattori di sovrasmorzamento
λ1,2 = -β/2m ± [(β/2m)2 – (k/m)2 ]1/2
fattori di sovrasmorzamento
λ1,2 = -R/2L ± [(R/2L)2 – (1/LC)2 ]1/2
Ecco un riepilogo dei tre diversi regimi con i corrispondenti range d'applicazione e leggi orarie:
Sottosmorzamento
SmorzamentoCritico
Sovrasmorzamento
Oscillatore meccanico
Oscillatore elettromagnetico
β < 2(mk)1/2
R < 2(L/C)1/2
x(t) =A1 exp(- β/2m t) cos(ω t + φ )
q(t) =A1 exp(- R/2L t) cos(ω t + φ )
β = 2(mk)1/2
R = 2(L/C)1/2
x(t) = (A1 + A2 t ) exp(- β/2m t )
q(t) = (A1 + A2 t ) exp(- R/2L t )
β > 2(mk)1/2
R > 2(L/C)1/2
x(t) = A1 exp(-|λ1 |t ) + A2 exp(-|λ2|t )
q(t) = A1 exp(-|λ1 |t ) + A2 exp(-|λ2|t )
8
ESPERIMENTO SULLE OSCILLAZIONI MECCANICHE
Obiettivo : dato un carrello vincolato a muoversi mediante delle molle su di una superficie piana
verificare il diverso smorzamento che si ottiene senza e con un freno magnetico ad esso applicato a
diverse distanze dalla rotaia.
Strumenti e materiali da utilizzare :
Rotaia graduata
con carrello
9
Freno magnetico
(MAGNETIC DAMPING)
con calamite
Masse e molle
Figura 10
Bilancia con sensibilità 0,1g
Interfaccia Explorer GLX
con sensore di posizione
Figura 11
10
Software da utilizzare :
Data Studio
Wolfram Mathematica 7.0
per l’acquisizione dei dati
sperimentali dall’interfaccia
per l’analisi dei dati
sperimentali
Figura 12
ESPERIMENTO
Descrizione dell'esperimento
11
1. Posizionate sul banco da lavoro la rotaia
graduata, il carrello, il freno magnetico con
tre calamite (fate attenzione all'attrazione
che c'è tra le calamite!), le molle, le masse,
la bilancia e l'interfaccia Explorer GLX.
2. Prima
di
procedere
nell'attuazione
dell'esperimento, misurate con la bilancia la
massa delle molle e quella del carrello
verificando che la massa delle molle puo'
essere trascurata in quanto
mmolla1 + mmolla2 << mcarrello .
3. Dopo aver posizionato il carrello sulla rotaia
(garantitevi che non ci sia pendenza!)
collegatelo agli estremi della rotaia con due
molle di costante elastica uguale.
4. Misurate la posizione del carrello A0.
5. Collegate Explorer GLX al PC posizionando
il sensore in modo che possa rilevare la
posizione del carrello, ovvero posizionate il
sensore all’inizio della rotaia e fissate sopra
il carrello un oggetto rilevabile dal sensore
(nella foto un bicchiere di plastica).
Figura 13
Acquisizione e salvataggio dei dati
1. Create sul Desktop una nuova cartella rinominandola col nome Rotaia seguito dalla vostra
classe (es. Rotaia 5C, oppure Rotaia 5L-1).
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2. Aprite il file Oscillazioni meccaniche presente sul Desktop e realizzato mediante il
programma Data Studio.
3. Controllate che la frequenza di campionamento con cui il sensore rileverà la posizione del
carrello sia 40 Hz cliccando su Imposta ==> omino che corre ==> Frequenza di
campionamento: 40 Hz.
Figura 14
4. Contemporaneamente all'azionamento manuale dell'esperimento, per il salvataggio dei dati,
è necessario premere Avvio: in questo modo durante il moto del carrello sulla rotaia il
sensore rivelerà la sua posizione in funzione del tempo visualizzando tali dati in un grafico.
5. Prima di avviare l'esperimento misurate la distanza dalla posizione di riposo A 1, distanza da
cui lascerete andare il carrello sotto l'azione della forza elastica e della forza d'attrito.
6. Dopo aver avviato l'acquisizione dei dati aspettate che il carrello raggiunga la sua posizione
d'equilibrio.
7. Per terminare l'acquisizione dei dati premete Arresta.
8. Adattate meglio gli assi ai dati cliccando sul grafico il tasto destro del mouse e selezionando
Ridimensiona.
9. Salvate il grafico riguardante la posizione selezionando Visualizza ==> Esporta immagine
==> Salva in: Desktop ==> Rotaia 5C ==> Nome file: posizione1 ==> Salva.
13
Figura 15
10. Salvate nello stesso modo il grafico della velocità nominandolo velocità1.
11. Salvate i valori acquisiti dall'esperimento riguardanti la posizione, selezionando Visualizza
==> Esporta dati ==> Cerca in: Desktop ==> Rotaia 5C ==> Nome file: posizione1.txt.
12. Utilizzando gli stessi comandi per i dati riguardanti la velocità realizzate il file velocità1.txt.
13. Dopo aver verificato di aver effettuato una corretta acquisizione del materiale chiudete il
programma.
A questo punto realizzate i files che utilizzerete per l'analisi dell'esperimento mediante Wolfram
Mathematica 7.0 facendo attenzione che tale programma richiede un testo contenente
esclusivamente numeri separati da punti senza alcuna intestazione.
1. Aprite il file appena creato posizione1.txt cancellate ogni intestazione facendo attenzione a
non lasciar alcun spazio prima della colonna dati; selezionate Modifica ==> Sostituisci...
==> Trova: ; ==>Sostituisci con: . ==> Sostituisci tutto.
2. Prima di chiudere il file così ottenuto salvatelo selezionando File ==> Salva con Nome...
==> Nome file: posizione1MAT.txt.
3. Effettuate la stessa cosa con il file velocità1.txt realizzando il file velocità1MAT.txt.
Salvare il materiale all'interno della cartella Rotaia 5C in una sottocartella da nominare
Esperimento1.
14
A questo punto ripetere l'esperimento aggiungendo al carrello il freno magnetico (MAGNETIC
DAMPING) con tre calamite.
Per prima cosa , dopo aver misurato il suo peso, ponetelo a una distanza dalla rotaia di circa 5mm e
osservate cosa succede.
Figura 16
A questo punto disponete il freno a una distanza dalla rotaia di circa 1mm e realizzate all'interno
della vostra cartella come avete fatto precedentemente i diversi files che racchiuderete tutti nella
sottocartella che nominerete Esperimento2.
15
Analisi dei dati
Per analizzare i vostri dati sperimentali usate dei programmi realizzati con Wolfram Mathematica
7.0 racchiusi all'interno della cartella Applet.
La prima cosa da fare sarà specificare nel programma che utilizzerete il file dei dati che volete
analizzare, file da voi precedentemente creato in formato .txt contenente esclusivamente numeri
separati da punti e senza alcuna intestazione.
Aprite il programma MotoOscillatorio e cercate di sovrapporre il più possibile la curva rossa
teorica, che potete modificare cambiando i valori dei diversi parametri, con la curva blu dei vostri
dati sperimentali relativi alla posizione.
1. Aprite Wolfram Mathematica 7.0 e selezionate File ==> Open... ==> Desktop ==> Applet
==> MotoOscillatorio ==> Apri ==> Enable Dynamic.
Figura 17
Vi comparirà la precedente scherma in cui a posto di (*PERCORSO* ) e (*NOME*) specificate le
proprietà del vostro file dei dati.
1. Cliccate con il tasto destro del mouse sul file che volete analizzare e selezionate Proprietà,
vi comparirà la seguente schermata:
Figura 18
copiate, come indicato, il testo contenuto in Percorso: ... e nascondete l'immagine.
16
2. Nel programma a posto di (*PERCORSO* ) incollate il titolo precedentemente copiato e
allo stesso modo fate per il nome del file.
Avviate il programma premendo sulla tastiera del vostro PC contemporaneamente Schift e Invio
dopo aver posizionato il cursore alla fine del testo del programma.
Dopo aver ottenuto una buona sovrapposizione delle due curve annotate i valori dei diversi
parametri.
Ora aprite come precedentemente nel punto 1 il programma Energy contenuto nella cartella
Applet, con il quale analizzerete contemporaneamente i dati della posizione e della velocità. Come
effettuato nei punti 1,2 e 3 specificate il file dei dati della posizione e della velocità che dovrà
analizzare e avviatelo.
1. Dopo aver specificato nel programma i files da analizzare (punti 1,2 e 3 precedenti)
avviatelo.
2. Verificate osservando i grafici che x(t) e v(t) sono sfasati di 90° (quando la posizione è
massima la velocità è minima e viceversa).
3. Analizzate il grafico dell'energia meccanica: EM(t) = ½ m v2(t) + ½ k x2(t), verificando che
diminuisce esponenzialmente nel tempo.
4. Salvate i valori ottenuti dal fit.
5. Salvate il programma nominandolo Energia1.
Effettuate le stesse analisi con i dati sperimentali del secondo esperimento utilizzando i programmi
MotoOscillatorio (le proprietà del file potete impostarle anche dopo aver avviato il programma!),
Energy, salvando i valori dei parametri e il programma riguardante l'energia nominandolo
Energia2.
Approfondimento:
come verifica scaricate un applet che simula il moto di una massa attaccata ad una molla dal
seguente sito: http://www.ba.infn.it/~palano/chimica/book/it/Chap_2/sec_19/armonic.html.
17
MODULO PER LA RACCOLTA DATI
Oscillatore meccanico
Figura 19 Carrello legato a due molle
Kmolla1 = Kmolla2 = 3,4 N/m
costante elastica teorica di ogni singola molla
seconda legge di Newton
ma = - kmolla1 x - kmolla2x - βv = - kx – βv
k = kmolla1 + kmolla2
ma + βv + kx = 0
d2x/dt2 + β/m dx/dt + ω0 2 x = 0
equazione differenziale lineare del II ordine a coefficienti costanti con ω0 2 = K/m
Sostituendo la soluzione di prova x(t) = A exp(λt) con le sue rispettive derivate
nell’equazione differenziale si ottiene l' equazione caratteristica associata:
λ2 + β/m λ + ω0 2 = 0
che ha come soluzione λ1,2= -β/2m ± [(β/2m)2 - ω0 2]1/2 .
Nel caso in cui si abbia una “piccola” forza di attrito:
• β < 2(mk)1/2 → 2 soluzioni complesse → moto sottosmorzato
la legge oraria è
x(t) =A0 + A1 exp(- β/2m t) cos(ω t + Ф )
dove ω = [ω0 2 - (β/2m)2 ]1/2 è la pulsazione del moto.
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ESPERIMENTO
La massa delle molle può essere trascurata in quanto
mcarrello = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g
mmolla1 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g
mmolla2 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) g
mmolla1 + mmolla2 = (
. . . . . . . . ± . . . . . . . . )g
mmolla1 + mmolla2 << mcarrello
K= Kmolla1 + Kmolla2 ≈ . . . . . . . . N/m
costante elastica del sistema
ω < ωo pulsazione propria
ωo = [(Kmolla1 + Kmolla2)/ mcarrello]1/2 ≈ . . . . . . . . rad/s
A0= (
. . . . . . . . ± . . . . . . . . ) cm
posizione d'equilibrio del carrello
A1= (
. . . . . . . . ± . . . . . . . . ) cm
ampiezza d'oscillazione iniziale
mfreno = (
. . . . . . . . ± . . . . . . . . )g
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ANALISI dei DATI SPERIMENTALI
Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del PRIMO ESPERIMENTO mediante
l'uso dei corrispondenti programmi.
m = mcarrello ≈ . . . . . . . . g
MotoOscillatorio :
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
A0 ≈ . . . . . . . . cm
posizione d'equilibrio del carrello
A1 ≈ . . . . . . . . cm
ampiezza d'oscillazione
f ≈ . . . . . . . . . Hz
frequenza ==> ω = 2πf ≈ . . . . . . . . rad/s < ω0
Ф ≈ . . . . . . . . gradi
sfasamento
C1= β /2m ≈ . . . . . . . . 1/s coefficiente di smorzamento
==> β ≈ . . . . . . . . kg/s < 2(mk)1/2 ≈ . . . . . . . . kg/s
Energy:
A0 ≈ . . . . . . . . cm
posizione d'equilibrio del carrello
A1 ≈ . . . . . . . . cm
ampiezza d'oscillazione
β/2m ≈ . . . . . . . 1/s
coefficiente di smorzamento
Ф ≈ . . . . . . . . gradi
sfasamento
f ≈ . . . . . . . . . Hz
frequenza
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Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del SECONDO ESPERIMENTO mediante
l'uso dei corrispondenti programmi.
m = mcarrello + mfreno ≈ . . . . . . . . g
MotoOscillatorio :
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
A0 ≈ . . . . . . . . cm
posizione d'equilibrio del carrello
A1 ≈ . . . . . . . . cm
ampiezza d'oscillazione
f ≈ . . . . . . . . . Hz
frequenza ==> ω = 2πf ≈ . . . . . . . . rad/s < ω0
Ф ≈ . . . . . . . . gradi
fase
C1= β /2m ≈ . . . . . . . . 1/s coefficiente di smorzamento
==> β ≈ . . . . . . . . kg/s < 2(mk)1/2 ≈ . . . . . . . . kg/s
Energy:
A0 ≈ . . . . . . . . cm
posizione d'equilibrio del carrello
A1 ≈ . . . . . . . . cm
ampiezza d'oscillazione
β/2m ≈ . . . . . . . . 1/s
coefficiente di smorzamento
Ф ≈ . . . . . . . . gradi
fase
f ≈ . . . . . . . . . Hz
frequenza
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ESPERIMENTO SULLE OSCILLAZIONI ELETTROMAGNETICHE
Obiettivo : dato un circuito RLC alimentato in corrente continua, verificare lo smorzamento
sottocritico, critico e sovracritico variando la resistenza mediante l’utilizzo di un potenziometro.
Strumenti e Materiali
Generatore di funzione
(Function generator GFG-8210 )
Oscilloscopio
(Digital storage oscilloscope
60 MHz-1GS a/s )
Cavi cavi BNC (50Ω),
cavo USB
Circuito RLC (Pasco)
L = 8,2 mH
C = 10 nF
Figura 20
22
Potenziometro (0-10 KΩ )
Tester
Figura 21
Software
Programma DSO3000
per l’acquisizione dei dati
sperimentali dall’interfaccia
Wolfram Mathematica 7.0
per l’analisi dei dati
sperimentali
Origin 8
per l'analisi dei dati
sperimentali
Figura 22
23
ESPERIMENTO
Descrizione dell'esperimento
1. Posizionate sul banco da lavoro il generatore di funzione, l'oscilloscopio, i cavi di
alimentazione, i cavi BNC, il circuito RLC, il potenziometro e il tester;
2. Collegate il generatore di funzione (OUTPUT TTL/CMOS), attraverso un cavo BNC-BNC,
all’oscilloscopio (EXIT TRIG) impostando così un trigger esterno all’oscilloscopio che lo
sincronizza con il generatore di funzione in modo da visualizzare un segnale stabile.
Sul generatore di funzione impostate una frequenza di 600 Hz e un segnale di tipo onda
quadra, inserite un collettore a T sul generatore (OUTPUT 50 Ω) e collegate, attraverso un
cavo BNC-BNC, una delle due uscite al CH1 dell’oscilloscopio per controllare il segnale
d'uscita.
A questo punto utilizzando un cavo BNC con MORSETTI collegate l'altra uscita del
collettore a T al circuito connettendo il morsetto nero al condensatore e quello rosso al
potenziometro utilizzando un cavo elettrico. Collegate con un altro cavo elettrico il
potenziometro all'induttore.
Prelevate il segnale d'uscita sul condensatore collegando al CH2 dell’oscilloscopio un
ultimo cavo BNC con MORSETTI, facendo attenzione a connettere il morsetto nero insieme
a quello del generatore (vedi figura seguente).
Figura 23
Figura 24
3. Mediante il potenziometro variate il valore della resistenza analizzando cosa succede
all'aumentare di tale grandezza.
24
Acquisizione e salvataggio dei dati
1. Create sul Desktop una nuova cartella rinominandola col nome CircuitoRLC seguito dalla
vostra classe (es. CircuitoRLC 5C, oppure CircuitoRLC 5L-1).
2. Scollegate il potenziometro dal circuito e impostate una resistenza R1 = 240 Ohm,
misurandola con il tester.
3. Ricollegate il potenziometro al circuito, visualizzate sull'oscilloscopio uno smorzamento
sottocritico e centrate il segnale sul monitor (vedi figura 25).
4. Interfacciate l’oscilloscopio col PC attraverso il cavo USB e aprite il programma DSO3000
facendo doppio click sulla rispettiva icona presente sul desktop.
Figura 25
5. Selezionate Tools ==> Connect to oscilloscope ==> Refresh al fine di acquisire il grafico
dall’oscilloscopio.
6. Selezionate su DSO Controller Show Virtual Panel per controllare l’oscilloscopio
direttamente dal programma e realizzate un corretto settaggio della scala dei tempi,
cliccando su Horizzontal ==> Offset < >.
7. Cliccate su Esport per salvare il grafico all'interno della vostra cartella e nominatelo R1.
8. Esportate il file dei dati selezionando Data 0 ==> Refresh e salvatelo anch'esso all'interno
della vostra cartella cliccando Export, nominandolo R1= … Ohm e selezionando il formato
EXCEL .
9. Verificate di aver effettuato una corretta acquisizione del materiale.
10. Chiudete il programma.
25
Per analizzare i vostri dati sperimentali usate dei programmi realizzati con Wolfram Mathematica
7.0 facendo attenzione che tale programma richiede un testo contenente esclusivamente numeri
separati da punti senza alcuna intestazione.
1. Aprite il file appena creato R1= … Ohm, selezionate per i vostri dati sperimentali un
adeguato formato numerico; copiate la colonna dei tempi, aprite Origin 8 e incollatela nella
colonna X. Fate la stessa cosa con i dati del voltaggio nella colonna Y.
2. Per effettuare una verifica della giusta importazione dei dati graficarli semplicemente
selezionate entrambe le colonne con il tasto sinistro del mouse, cliccare su Plot ==>
Line==> Line (cliccando 2 volte il tasto sinistro del mouse sul disegno vi usciranno delle
proprietà grafiche che potrete modificare a vostro piacimento).
3. Cancellare tutti i dati precedenti al massimo valore della tensione, selezionate la colonna dei
tempi, cliccate il tasto destro del mouse ==> Set Coulomn Values... ==> Col(A) - ..primo
valore temporale.. ==> OK; in modo che avrete il valori di tensione massima a partire da
t =0.
4. Annotate i valori della tensione massima e minima facendo anche attenzione alla scala
temporale.
5. Salvate a questo punto il lavoro cliccando File ==> Save Project As... ==>Save in: ...
==>Nome file: R1.
6. Dopo aver selezionate il Book, in alto a sinistra cliccate su File ==> Export ==> ASCII ==>
Salva in : Desktop ==> selezionate la vostra cartella ==> Nome del file: R1.txt. ==>OK.
7. Chiudete Origin.
8. Aprite il file R1.txt e cancellate ogni intestazione facendo attenzione a non lasciar alcun
spazio prima della colonna dati; a questo punto selezionate Modifica ==> Sostituisci... ==>
Trova: ; ==>Sostituisci con: . ==> Sostituisci tutto.
9. Prima di chiudere il file così ottenuto salvatelo selezionando File => Salva con nome =>
Nome file: R1MAT.txt.
In questo modo avrete preparato il file di dati che potrete analizzare con Wolfram Mathematica 7.0.
Salvare il materiale all'interno della vostra cartella CircuitoRLC 5C in una sottocartella da nominare
Oscillazione1.
Ripetere l'esperimento impostando come valore della resistenza R2 ≈ 1750 Ohm che corrisponde
alla condizione di smorzamento critico.
Come in precedenza salvate il materiale all'interno della vostra cartella CircuitoRLC 5C in una
sottocartella da nominare Oscillazione2
Ripetere l'esperimento impostando come valore della resistenza R3 ≈ 4000 Ohm che corrisponde
alla condizione di sovrasmorzamento.
Come in precedenza salvate il materiale all'interno della vostra cartella CircuitoRLC 5C in una
sottocartella da nominare Oscillazione3
26
Analisi dei dati
Aprite il programma MotoOscillatorio per graficare la curva del potenziale misurato ai capi del
condensatore. Dopo aver specificato il file dei dati che volete analizzare cercate di sovrapporre il
più possibile la curva teorica rossa, che potete modificare variando i valori dei diversi parametri,
con la curva blu dei dati sperimentali. Infine, dopo aver ottenuto una buona sovrapposizione delle
due curve, annotate i valori dei diversi parametri.
Aprite il programma EnergyR1, specificate le proprietà del vostro file e lanciatelo. Salvate i valori
dei diversi parametri ottenuti dal fit e analizzate bene ciò che accade alle diverse energie.
Utilizzando il programma MotoOscillatorio effettuate la stessa analisi, con i dati sperimentali del
secondo e terzo esperimento salvando i diversi valori dei parametri.
Approfondimento: come verifica consultate la seguente applet, scaricata dal sito
http://www.walter-fendt.de/ph14i/osccirc_i.htm che simula il circuito oscillante RLC (serie)
Figura 26
All'apertura del sito vi comparirà la pagina precedente; impostate un valore per la capacità e uno per
l'induttanza e dopo aver calcolato la corrispondente resistenza “critica”:
RCRITICA = 2(L/C)1/2 ≈ . . . . . . . . Ω,
impostate un valore minore per la resistenza e cliccando Avanti otterrete la simulazione desiderata.
Per fare considerazioni energetiche impostate Energia.
Premendo il tasto Reset variate il valore della resistenza prendendo così in esame le oscillazioni che
si hanno nel circuito nei tre diversi casi.
27
MODULO PER LA RACCOLTA DATI
Oscillatore elettromagnetico
Figura 27 Circuito RLC in serie
L = 8,2 mH
induttanza
C = 10nF
capacità
seconda legge di Kirchhoff
∆VL + ∆VR + ∆VC = 0
L di/dt + Ri + q/C = 0
d2q/dt2 + R/L dq/dt + ω0 2 q = 0
equazione differenziale lineare del II ordine a coefficienti costanti con ω0 2 = 1/LC
Sostituendo la soluzione di prova q(t) = A exp(λt) con le sue rispettive derivate
nell’equazione differenziale si ottiene l' equazione caratteristica associata
λ2 + R/L λ + ω0 2 = 0
che ha come soluzione λ1,2= -R/2L ± [(R/2L)2 - ω0 2 ]1/2
•
•
•
R < 2(L/C)1/2 → 2 soluzioni complesse → moto sottosmorzato
R = 2(L/C)1/2 → 2 soluzioni reali coincidenti → smorzamento critico
R > 2(L/C)1/2 → 2 soluzioni reali distinte → moto sovrasmorzato
28
Sottosmorzamento
R1 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Ω
Figura 28 Oscillazioni elettromagnetiche sottosmorzate
q(t) = a1 exp(- R1/2L t) cos(ω t + Ф )
con ω = [ω0 2 - γ 2 ]1/2 pulsazione del moto
ω0 = (1/LC)1/2 ≈ . . . . . . . . rad/s
γ = R1/2L ≈ . . . . . . . . 1/s
(fattore di sottosmorzamento)
ω = [ω0 2 - γ 2 ]1/2 ≈ . . . . . . . . rad/s < ω0
pulsazione sottosmorzamento < pulsazione propria del sistema
Sullo schermo dell'oscilloscopio misurate il valore massimo e minimo della tensione
misurata ai capi del condensatore:
Vmax = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt = q(0) /C = a1 /C = A1
Vmin = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt
29
con Ф = 0
Smorzamento Critico
R2TEORICA = 2(L/C)1/2 ≈ . . . . . . . . Ω
R2 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) Ω
Figura 29 Oscillazioni elettromagnetiche smorzate in modo critico
q(t) = (a1 + a2 t ) exp(- R2/2L t )
γ = R2/2L ≈ . . . . . . . . 1/s
(fattore critico)
Sullo schermo dell'oscilloscopio misurate il massimo valore della tensione misurata ai capi
del condensatore:
Vmax = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt = q(0) /C = a1/C = A1
30
Sovrasmorzamento
R3 = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . ) Ω
Figura 30 Oscillazioni elettromagnetiche sovrasmorzate
q(t) = a1 exp(-λ1 t) + a2 exp(-λ2 t)
con λ1,2 = –R3/2L ± [(R3/2L)2 – ω0 2 ]1/2 fattori di sovrasmorzamento
γ = R3/2L ≈ . . . . . . . . 1/s
λ1,2 = – γ ± [ γ 2 - ω0 2 ]1/2 ≈ . . . . . . . . 1/s
(fattori di sovrasmorzamento)
Sullo schermo dell'oscilloscopio misurate il massimo valore della tensione prelevata ai capi
del condensatore:
Vmax = ( . . . . . . . . ± . . . . . . . . )Volt = q(0) /C = (a1 + a2)/C = A1 + A2
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ANALISI dei DATI SPERIMENTALI
Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del PRIMO ESPERIMENTO mediante
l'uso dei corrispondenti programmi.
R1 ≈ . . . . . . . . Ω < 2(L/C)1/2
OriginGraph :
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
Vmax ≈ . . . . . . . . Volt
Vmin ≈ . . . . . . . . Volt
MotoOscillatorio :
Moto sottosmorzato
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
A0 ≈ . . . . . . . . Volt
A1 ≈ . . . . . . . . Volt
ampiezza d'oscillazione
f ≈ . . . . . . . . . Hz
frequenza d'oscillazione ==> ω = 2πf ≈ . . . . . . . . rad/s
Ф ≈ 0 gradi
fase
C1 ≈ . . . . . . . kg/s fattore di sottosmorzamento
C1TEORICO = γ = R1/2L ≈ . . . . . . . 1/s
EnergyR1:
a0 ≈ . . . . . . . . Volt
a1 ≈ . . . . . . . . Volt
ampiezza d'oscillazione
R/2L ≈ . . . . . . kg/s
coefficiente di smorzamento
Ф ≈ . . . . . . . . gradi
fase
f ≈ . . . . . . . . . Hz
frequenza
Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del SECONDO ESPERIMENTO mediante
l'uso dei corrispondenti programmi.
R2TEORICA = 2(L/C)1/2 ≈ . . . . . . . . Ω
R2 ≈ . . . . . . . . Ω
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OriginGraph :
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
Vmax ≈ . . . . . . . . Volt
MotoOscillatorio :
Moto smorzato critico
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
A1 ≈ . . . . . . . . Volt
ampiezza d'oscillazione
A2 ≈ . . . . . . . . Volt
ampiezza d'oscillazione
C1 ≈ . . . . . . . 1/s
fattore critico
C1TEORICO = γ = R2/2L ≈ . . . . . . . 1/s
Valori dei diversi parametri ottenuti nell'analisi del TERZO ESPERIMENTO mediante
l'uso dei corrispondenti programmi.
R3 ≈ . . . . . . . . Ω > 2(L/C)1/2
OriginGraph :
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
Vmax ≈ . . . . . . . . Volt
MotoOscillatorio :
Moto sovrasmorzato
0<t< . . . . . . . . s
scala temporale
A1 ≈ . . . . . . . . Volt
ampiezza d'oscillazione
A2 ≈ . . . . . . . . Volt
ampiezza d'oscillazione
C1 ≈ . . . . . . . kg/s
fattori di sovrasmorzamento
C2 ≈ . . . . . . . kg/s
C1TEORICO = λ1 = – γ + [ γ 2 - ω0 2 ]1/2 ≈ . . . . . . . kg/s
C2TEORICO = λ2 = – γ – [ γ 2 - ω0 2 ]1/2 ≈ . . . . . . . kg/s
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