Diploma Universitario a Distanza - Torino Fondamenti di Meccanica

Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 1
Nel meccanismo raffigurato la manovella OB ruota in senso antiorario
alla velocità costante ω1 = 100 rad/s. Si rappresenta con θ l’angolo
compreso tra la manovella e l’asse orizzontale, come indicato in figura.
Sono note le dimensioni: l = 250 mm (lunghezza della biella);
r = 100 mm (raggio della manovella).
Determinare, negli istanti in cui θ = 135°; θ = 90°; θ = 180°:
1. la velocità di B;
2. la velocità di A;
3. l’accelerazione di B;
4. l’accelerazione di A.
[θ=135°: v B =-7 i -7 j m/s; v A =-9.2 i m/s; a B =707 i -707 j m/s2; a A =725.1 i m/s2]
[θ=90°: v B =-10 i m/s; v A =-10 i m/s; a B =-1000 j m/s2; a A =-436.4 i m/s2]
[θ=180°: v B =-10 j m/s; v A =0; a B =1000 i m/s2; a A =1400 i m/s2]
Esercizio 2
Nel meccanismo a glifo raffigurato, il perno A è solidale col braccio 2 ed è
costretto a scorrere lungo una scanalatura longitudinale presente sul braccio 1.
Sono note le dimensioni a = 500 mm e l = 250 mm.
Nell’istante in cui il meccanismo ha la configurazione rappresentata (ϑ = 30°,
braccio 2 orizzontale), il braccio 1 ha una velocità angolare di verso antiorario
e di valore costante ω1 = 5 rad/s.
Determinare in tale condizione:
1. la velocità del perno A relativa al braccio 1;
2. la velocità angolare del braccio 2;
3. l’accelerazione di A relativa al braccio 1;
4. l’accelerazione angolare del braccio 2.
[ vrA =4.33 λ m/s; ω2=20 rad/s (oraria); a rA =287.5 λ m/s2;
ω 2 =1039.2 rad/s2 (oraria); λ =versore direzione O1→A]
Esercizio 3
Il sistema di sollevamento con pulegge rappresentato in figura è costituito da
una fune, con un estremo fissato in H, passante sulle pulegge K, L (solidali al
palo verticale fisso 2) e sulle pulegge M, N solidali al braccio 1, che può ruotare
intorno alla cerniera fissa B.
Nota la geometria del sistema (diametro delle pulegge K, L, M, N d=0.5 m;
a=3.5 m; b=1 m) nell’istante in cui α=45°, determinare la velocità dell’estremo
libero della fune C nel caso in cui il braccio 1 abbia una velocità angolare
antioraria ω =1 rad/s.
[V=16 m/s]
FMA2000.DOC
1/8
Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 4
Dato lo schema del braccio di supporto in figura, nota la massa
lineare della trave ml ed il carico F, determinare il modulo della
tensione T del cavo ed il modulo della reazione vincolare in A.
Dati:
a = 0.25 m; b = 0.12 m; c = 1.5 m; h = 0.5 m; l = 5 m
α = 25°
F = 10 kN
ml = 95 kg/m
[T=19.6 kN; RA=18.9 kN]
Esercizio 5
Il sistema di sollevamento con pulegge rappresentato in figura è costituito
da una fune, con un estremo fissato in H, passante sulle pulegge K, L
(solidali al palo verticale fisso 2) e sulle pulegge M, N solidali al braccio 1,
che può ruotare intorno alla cerniera fissa B. Il braccio 1 è costituito da una
trave omogenea di peso P=10000 N.
Determinare la forza F da applicare all’estremo libero della fune C per
equilibrare il sistema e il modulo della reazione vincolare in B.
Sono noti:
d=0.5 m diametro delle pulegge K, L, M, N; a=3.5 m; b=1 m; c=1.5 m; α
=45°.
[F=1326 N; RB= 7289 N]
FMA2000.DOC
2/8
Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 6
L’uomo e il carrello rappresentati in figura stanno risalendo il
piano inclinato di 15°. La massa complessiva uomo+carrello
è di 100 kg.
Trascurando gli attriti e le masse non specificate, determinare
l’accelerazione della slitta quando l’uomo esercita una forza
di trazione sulla fune di 250 N.
[a=4.96 m/s2]
Esercizio 7
La barretta omogenea rappresentata in figura, avente massa m=20 kg e
lunghezza L=1.6 m, è appoggiata nei punti A e B.
Determinare:
1. le reazioni vincolari RA e RB nella condizione di equilibrio statico.
2. la reazione vincolare RA nell’istante in cui viene eliminato l’appoggio B.
[1. RA=RB=98.1 N; 2. RB=49.05 N]
Esercizio 8
Il carrello 1, avente massa m1 = 50 kg, si muove sul piano inclinato di un
angolo α = 30°. Inizialmente, con carrello in posizione A, il sistema è in
quiete. Nota la massa della puleggia 2, m2 = 4 kg, trascurando gli attriti,
determinare la velocità del carrello in corrispondenza del punto B ( AB = 2
m) quando viene applicata una forza costante F = 250 N.
[vB=4.19 m/s]
Esercizio 9
Una sfera 1 di massa m1 = 50 g viene lanciata con una velocità v1 = 500 m/s
contro il blocco 2 di massa m2 = 5 kg. Il blocco è collegato ad una molla di
rigidezza k = 1000 N/m. Trascurando qualsiasi fenomeno di attrito, calcolare,
nei due casi di urto anelastico ed elastico:
1. le velocità v1 e v 2 dopo l'urto;
2. l'energia dissipata durante l'urto;
3. la massima deformazione della molla.
[urto anelastico: v1=v2=4.95 m/s; E=6.2 kJ; x=0.35 m]
[urto elastico: v1=-490 m/s; v2=9.9 m/2; E=0; x=0.70 m]
FMA2000.DOC
3/8
Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 10
E’ dato un corpo di massa m = 100 kg collegato ad un peso di massa m0
mediante una fune e una carrucola senza attrito. Supponendo che il corpo di
massa m si trovi fermo su un piano inclinato di α = 20° sull’orizzontale e che
nel contatto corpo-piano il coefficiente di aderenza sia fa = 0.3 e il coefficiente
di attrito di strisciamento sia f = 0.2, determinare:
1. il valore di m0 oltre il quale inizia il moto in salita del corpo;
2. l’accelerazione del corpo durante il moto in salita con m0 pari al valore
calcolato al punto 1;
3. il valore di m0 al di sotto del quale inizia il moto in discesa del corpo.
4. l’accelerazione del corpo durante il moto in discesa con m0 pari al valore
calcolato al punto 3.
[salita: m0=62.4 kg; a=0.57 m/s2]
[discesa: m0=6.0 kg; a=0.87 m/s2]
Esercizio 11
Un rullo viene lasciato libero di muoversi partendo da una condizione di quiete
su un piano inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale. Sono dati: r = 0.2
m (raggio del rullo); m = 10 kg (massa del rullo); fa = 0.3 (coefficiente di
aderenza); f = 0.25 (coefficiente di attrito).
Determinare, per α = 20° e α = 45°:
1. accelerazione del baricentro G del rullo;
2. accelerazione angolare del rullo;
3. tempo impiegato dal rullo a percorrere un tratto di piano inclinato lungo 100
m ed il numero di giri effettuato in tale periodo.
[α=20°: x =2.24 m/s2; ϑ =11.18 rad/s2; t=9.46 s; n=79.6 giri]
[α=45°: x =5.20 m/s2; ϑ =17.34 rad/s2; t=6.20 s; n=53.0 giri]
Esercizio 12
Determinare la forza F necessaria a far avanzare la carriola
rappresentata in figura a velocità costante e l’angolo β di cui la
forza è inclinata rispetto alla verticale. Sono dati: M = 80 kg
(massa della carriola e del suo carico); u = 10 mm (parametro di
attrito volvente); dp = 30 mm (diametro del perno); f = 0.2
(coefficiente di attrito nel perno); a = 0.7 m; b = 0.5 m; d = 0.4
m; h = 0.9 m.
[F=444 N; β=2.86°]
Esercizio 13
Determinare l’accelerazione con partenza da fermo di un’autovettura a
trazione posteriore e verificare la condizione di aderenza o di
strisciamento sulle ruote, noti i seguenti dati:
Cm = 200 Nm coppia motrice sull’asse posteriore;
m = 1000 kg massa dell’autovettura;
p = 2 m passo delle ruote;
xG = 1 m, zG = 0.7 m posizione del baricentro;
r = 0.25 m raggio delle ruote;
fa = 0.8 coefficiente di aderenza;
f = 0.65 coefficiente di attrito radente;
fv = 0.02 coefficiente di attrito volvente.
[a=0.60 m/s2; ruote in aderenza]
FMA2000.DOC
4/8
Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 14
L’argano di figura è costituito da una puleggia 1 di diametro d = 200
mm su cui si avvolge una fune alla quale è sospeso un carico 2 di peso
P = 200 N con velocità iniziale di discesa v0 = 0.5 m/s. Il sistema
frenante è realizzato con un ceppo 3, di apertura α = 80°, agente su un
tamburo 4 di diametro D = 300 mm, coassiale e solidale alla puleggia
1. Il momento d’inerzia complessivo degli elementi rotanti è I = 1.5 kg
m2.
Volendo realizzare l’arresto del carico in uno spazio di 200 mm, noti a
= 180 mm, b = 400 mm, c = 40 mm e il coefficiente di attrito ceppotamburo f = 0.4, determinare:
1. la forza F da esercitare sulla leva del freno;
2. la potenza media dissipata durante l’arresto.
[F=172.6 N; P=76.6 W]
Esercizio 15
Il peso Q è sollevato, tramite un sistema di trasmissione a cinghia e un
motore M, a velocità costante v. Il tamburo T è sostenuto da un perno di
raggio rp. Sono noti i seguenti dati:
Q = 100 N;
d1 = 20 cm (diametro puleggia 1);
d2 = 60 cm (diametro puleggia 2);
dt = 30 cm (diametro del tamburo);
rp = 10 cm (raggio del perno del tamburo);
f = 0.3 (coefficiente di attrito al perno);
ϑ = 150° (angolo di avvolgimento puleggia motrice);
fa = 0.4 (coefficiente di aderenza tra cinghia e pulegge);
v = 1.5 m/s (velocità di salita del carico).
Nell'ipotesi di attrito presente solo al perno del tamburo e di condizioni
di aderenza limite sulla puleggia motrice, determinare:
1. le tensioni sui due rami della cinghia;
2. il rendimento del sistema;
3. la potenza erogata dal motore.
[T1=91.8; T2=32.2; η=0.839; PM=179 W]
Esercizio 16
Il sistema indicato in figura è costituito da una trave incernierata in
A, su cui agisce un carico F. In corrispondenza del punto B della
trave è incernierata l'asta di un attuatore elettromeccanico in cui il
motore fa ruotare la vite V, mentre la madrevite M, solidale all'asta,
può solo traslare. Con la trave che sta ruotando in senso antiorario,
calcolare la coppia motrice necessaria per l'equilibrio del sistema
nella configurazione di figura e verificare se, mancando la coppia
motrice, tale configurazione cambia. Inoltre, considerando nulli gli
attriti nelle cerniere A e B e supponendo che nell'istante considerato
il motore eroghi una potenza di 500 W, calcolare il valore della
velocità con cui si sposta il carico. Dati:
F = 700 N (carico);
dm = 12 mm (diametro medio della vite);
p = 5 mm (passo della vite);
f = 0.2 (coefficiente di attrito);
fa = 0.3 (coefficiente di aderenza);
a = 50 cm; b = 35 cm.
[C=2.90 Nm; moto irreversibile; v=0.28 m/s]
FMA2000.DOC
5/8
Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 17
Nella trasmissione con ruote dentate cilindriche a denti diritti rappresentata, l'albero motore è quello corrispondente alla
ruota 1. Determinare le reazioni RA e RB sui supporti dell'albero delle ruote 2 e 3 e le reazioni Rs sui supporti della
carcassa del rotismo. Sono noti i seguenti dati: m = 2.5 mm (modulo); z1 = z3 = 17 (numero denti); z2 = z4 = 52 (numero
denti); α = 20° (angolo di pressione); Cm = 10 Nm (coppia motrice); nm = 3000 rpm (velocità albero motore); η = 1
(rendimento complessivo); b = 800 mm.
[RS=104.5 N; RA = 259 N; RB=1056 N]
Esercizio 18
Nel sistema raffigurato la massa m è sollevata a velocità costante v per
mezzo del motore M, dell'ingranaggio a vite senza fine 1-2 e del
tamburo 3. Sono dati:
z1 = 2 (n° di principi della vite 1);
z2 = 50 (n° di denti della ruota 2);
d3 = 400 mm (diametro tamburo 3);
m = 300 kg (massa sospesa);
v= 0.2 m/s (velocità di salita di m, costante);
η = 0.6 (rendimento dell'ingranaggio a vite).
Nell'ipotesi di attriti nulli ovunque tranne che nell'ingranaggio a vite,
per il quale viene fornito il rendimento, determinare:
1. il rapporto di trasmissione dell'ingranaggio;
2. la velocità angolare del motore;
3. la coppia erogata dal motore;
4. la potenza perduta.
[ω1/ω2=25; ω1=25 rad/s; Cm=39.24 Nm; Pp=392.4 W]
FMA2000.DOC
6/8
Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 19
Il rotismo epicicloidale mostrato in figura è costituito dal portaplanetario P collegato all'albero X, dalle ruote planetarie
composte A-B, dalla corona D fissa con la carcassa e dal solare C collegato all'albero Y.
Il rotismo viene impiegato per la trasmissione del moto tra un motore elettrico collegato all'albero Y e un carico
collegato all'albero X. La coppia erogata dal motore è massima, con valore C0, quando la velocità è nulla e decresce
linearmente per annullarsi quando la velocità è pari a ω0. La coppia resistente dovuta al carico è costante e pari a Cr.
Sono dati:
zA = 16 (n° denti ruota A);
zB = 32 (n° denti ruota A);
zC = 16 (n° denti ruota C);
m1 = 8 mm (modulo ruota A);
m2 = 5 mm (modulo ruote B e C);
mX = 5 kg (masse rotanti con asse X);
ρX = 1 m (raggio d'inerzia delle mX);
mY = 2 kg (masse rotanti con asse Y);
ρY = 0.5 m (raggio d'inerzia delle mY);
η = 0.8 (rendimento complessivo del rotismo);
C0 = 50 Nm (coppia motrice massima);
ω0 = 100 rad/s (velocità di fuga del motore);
Cr = 80 Nm (coppia resistente).
Calcolare:
1. il numero di denti della ruota D;
2. il rapporto di trasmissione tra l’asse Y e l’asse X;
3. la velocità di regime dell'albero motore;
4. il tempo impiegato dal sistema per passare dalla velocità nulla al 90% della velocità di regime.
[zD=46; i=6.75; ωR=70.4 rad/s; t=2.95 s]
Esercizio 20
Nel sistema raffigurato il motore M è collegato al tamburo T per mezzo
della frizione F. Sul tamburo è avvolta una fune alla cui estremità è
appesa la massa m.
Sono noti i seguenti dati:
IM = 1 kg m2 ( momento d'inerzia del motore e delle masse rotanti
solidali ad esso);
IT = 5 kg m2 ( momento d'inerzia del tamburo e delle masse rotanti
solidali ad esso);
m = 30 kg (massa del carico);
dT = 260 mm (diametro del tamburo);
e = 5 mm (parametro di rigidezza elastica della fune);
e1 = 10 mm (parametro di rigidezza anelastica della fune sul tratto avvolgente);
CM = 50 Nm (coppia erogata dal motore, costante);
CF = 80 Nm (coppia trasmessa dalla frizione in condizione di strisciamento, costante).
Supponendo di innestare la frizione quando le condizioni di moto sono:
ωM0 = 100 rad/s (velocità iniziale del motore, con verso tale da determinare la salita del carico m);
ωT0 = 0 rad/s (velocità iniziale del tamburo)
determinare:
1. le accelerazioni angolari del motore e del tamburo durante la fase di strisciamento della frizione;
2. la durata della fase di strisciamento della frizione;
3. la velocità angolare del motore e del tamburo al termine della fase di strisciamento della frizione;
4. lo spazio di salita percorso dal carico durante la fase di strisciamento della frizione;
5. l'accelerazione angolare del motore e del tamburo con frizione innestata in condizioni di aderenza;
6. il tempo complessivamente richiesto affinché il tamburo raggiunga la velocità ω = 30 rad/s.
[ ω M =-30 rad/s2; ω T =6.7 rad/s2; t*=2.7 s; ω*=18.3 rad/s; z=3.2 m; ω =1.1 rad/s2; t =13.2 s]
FMA2000.DOC
7/8
Diploma Universitario a Distanza - Torino
Fondamenti di Meccanica Applicata - A.A. 1999/2000
Esercizio 21
Un disco uniforme, di massa m e raggio r, è vincolato a due molle di rigidezza k,
come indicato in figura. Il disco rotola senza strisciare su un piano di appoggio
inclinato dell’angolo ϑ sull’orizzontale. Sono dati:
m = 500 kg;
k = 10 kN/m;
ϑ = 30°.
Nell’ipotesi di piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio statico,
disegnare il diagramma di corpo libero del disco e determinare:
1. l’allungamento statico della molla collegata con il centro del disco;
2. la frequenza naturale del sistema.
[xst=49 mm; fn=1.3 Hz]
Esercizio 22
L’asta rappresentata in figura, avente massa m uniformemente
distribuita, è nella posizione orizzontale e può ruotare intorno alla
cerniera O. In A è collegata una molla di rigidezza k e in B è
collegato uno smorzatore con costante di smorzamento β.
m = 80 kg
k = 50 kN/m
Determinare:
1.
2.
3.
4.
il diagramma di corpo libero dell’asta indicando le azioni statiche e dinamiche;
l’equazione delle piccole oscillazioni che compie l’asta nel suo moto intorno ad O;
la costante di smorzamento β per avere un fattore di smorzamento ζ = 0.5.
la pulsazione naturale e la pulsazione propria del sistema smorzato.
[β=2291 Ns/m; ωn=49.1 rad/s; ωs=42.5 rad/s]
Esercizio 23
Alla massa m del sistema rappresentato in figura viene applicata una forza variabile nel tempo con legge armonica
F(t) = F0 sin(2πf t).
Sono noti:
m = 1 kg;
k = 500 kN/m;
β = 115 Ns/m;
F0 = 1000 N;
f1 = 50 Hz;
f2 = 91 Hz.
Determinare:
1. la pulsazione naturale del sistema;
2. il fattore di smorzamento del sistema;
3. l'ampiezza di oscillazione e lo sfasamento a regime della massa m per frequenze della forza di eccitazione
pari a f1 e f2.
[ωn=577.3 rad/s; ζ=0.1; x1=4.2 mm; ϕ1=0.153 rad; x2=15 mm; ϕ2=1.474 rad]
FMA2000.DOC
8/8