le macchine semplici e la resistenza dei materiali
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lUigi caligaRiS STeFano FaVa caRlo TomaSello anTonio piVeTTa Tecnologie meccaniche e applicazioni Per gli Istituti Professionali settore Industria e Artigianato 2 HOEPLI lUigi caligaris stefano fava carlo tomasello Tecnologie Meccaniche e Applicazioni Per gli Istituti Professionali settore Industria e Artigianato Volume 2 editore Ulrico Hoepli milano UN TESTO PIÙ RICCO E SEMPRE AGGIORNATO Nel sito www.hoepliscuola.it sono disponibili: • materiali didattici integrativi; • eventuali aggiornamenti dei contenuti del testo. Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A. 2013 Via Hoepli 5, 20121 Milano (Italy) tel. +39 02 864871 – fax +39 02 8052886 e-mail [email protected] www.hoepli.it Tutti i diritti sono riservati a norma di legge e a norma delle convenzioni internazionali Indice Presentazione .................................................................................................................... VI modulo i componenti meccanici 33 Verifica dei Prerequisiti, 34 modulo H le maccHine semplici e la resistenza dei materiali unità I1 Alberi, perni e bronzine ...................................................... 35 1 Verifica dei Prerequisiti, 2 unità H1 Le macchine semplici .............................................................. 3 H1.1 H1.2 Caratteristiche generali, 3 La leva, 3 eva di primo genere, 3 • Leva di secondo genere, 4 • Leva di L terzo genere, 5 H1.3 Le carrucole e i paranchi, 5 H1.4 H1.5 Il piano inclinato e le sue applicazioni, 7 Il piano inclinato, 7 • Il cuneo, 7 • La vite, 7 esercitazione guidata H1.1, 9 Verifica degli obiettiVi di unità, 10 unità H2 Sollecitazioni semplici ....................................................... 11 Demnizioni, 11 H2.2 Sollecitazioni semplici, 12 Trazione, 12 • Legge di Hooke, 12 • Compressione, 13 • Taglio, 13 • Flessione, 14 • Torsione, 15 esercitazione guidata H2.1, 17 Verifica degli obiettiVi di unità, 18 unità H3 Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali ......................................................................................................................... 19 H3.1 H3.2 H3.3 H3.4 I1.3 I1.4 Norme di proporzionamento, 39 Pressione specimca, 42 • Riscaldamento, 43 Sopporti per alberi, 43 Generalità, 43 • Tipi di sopporti, 43 Bronzine, 45 Generalità, 45 • Materiali, 45 esercitazione guidata i1.1, 46 Verifica degli obiettiVi di unità, 47 unità I2 Cuscinetti volventi, guarnizioni e tenute ....... 48 I2.1 eneralità, 48 • Tipi di cuscinetti, 49 • Norme di applicazione e di G montaggio, 53 I2.2 I2.3 Criteri di scelta dei cuscinetti, 57 Proporzionamento dei cuscinetti con le formule della durata, 58 apacità di carico, 58 • Durata L10 e L10h, 59 • Calcolo dei cuC scinetti sollecitati dinamicamente, 59 • Esempio di calcolo di un cuscinetto, 60 • Calcolo dei cuscinetti sollecitati staticamente, 61 I2.4 I2.5 I2.6 Sollecitazioni composte, 19 Lubrificazione dei cuscinetti volventi, 61 ubrimcazione a grasso, 62 • Lubrimcazione con olio, 62 • Metodi L di lubrimcazione, 62 Cuscinetti volventi lineari, 63 eneralità, 63 • Tipi di cuscinetti volventi lineari, alberi e sopG porti, 64 • Manicotti a sfere, 64 • Manicotti a sfere aperti a 60°, 64 • Cuscinetti per movimenti assiali e rotativi, 64 • Cuscinetti per movimenti assiali, rotativi e oscillatori, 64 • Cuscinetti con sopporto integrale, 64 • Slitte per movimenti assiali lineari, 65 Guarnizioni e tenute, 66 eneralità, 66 • Tipi di guarnizioni, 66 • Esempi di guarnizioni e G tenute, 68 esercitazioni guidate i2.1 – i2.2, 70 Verifica degli obiettiVi di unità, 72 Verifica degli obiettiVi di modulo, 73 Flessione e taglio, 19 • Flessione e torsione, 21 • Presso-nessione, 22 Instabilità elastica, 22 Metodo ω, 22 Criteri di resistenza dei materiali, 23 Cuscinetti volventi, 48 Sollecitazione e deformazione, 11 I1.2 Alberi, assi e perni, 35 eneralità, 35 • Alberi e assi orizzontali, 36 • Alberi e assi G verticali, 38 Il verricello e l’argano, 6 Il verricello, 6 • L’argano, 6 H2.1 Carrucola mssa, 5 • Carrucola mobile, 5 I1.1 Sollecitazioni statiche, dinamiche e a fatica, 23 • Tensioni ammissibili, 24 • Calcolo di verimca, 25 • Calcolo di progetto, 25 modulo l trasmissioni del moto Esempi di calcolo, 25 Verifica dei Prerequisiti, 76 esercitazioni guidate H3.1 – H3.2, 29 Verifica degli obiettiVi di unità, 31 Verifica degli obiettiVi di modulo, 32 75 unità L1 Organi flessibili: cinghie, funi e catene ........... 77 L1.1 Cinghie piatte, 77 IV Generalità, 77 • Vantaggi e svantaggi, 78 • Materiali, caratteristiche, sollecitazioni e impieghi, 78 • Pulegge per cinghie piatte, 79 L1.2 Cinghie trapezoidali, 80 Generalità, 80 • Pulegge per cinghie trapezoidali, 81 • Calcolo di una trasmissione con cinghie trapezoidali, 82 L1.3 Cinghie dentate o sincrone, 86 L1.4 L1.5 L1.6 unità M2 Affilatrici e rettificatrici ................................................ 149 M2.1 M2.2 Generalità, 86 Cinghie scanalate o Poly-V, 87 Dimensionamento delle cinghie scanalate Poly-V, 88 M2.3 Funi metalliche, 89 Generalità, 89 • Avvolgimento dei mli e dei trefoli, 90 • Materiali e dimensionamento delle funi, 90 • Pulegge per funi, 91 esercitazioni guidate l1.1 – l1.2, 94 Verifica degli obiettiVi di unità, 96 M2.4 M2.5 L2.2 Mole, 156 Parametri tecnologici, 160 Tempo macchina, 160 • Potenza di taglio, 162 Dispositivi e norme di sicurezza, 162 Aċlatrice (molatrice), 162 • Rettimcatrice, 162 esercitazione guidata m2.1, 164 Verifica degli obiettiVi di unità, 165 Verifica degli obiettiVi di modulo, 166 unità L2 Ruote dentate .............................................................................. 97 L2.1 Rettificatura e rettificatrici, 150 ettimcatrici in tondo per esterni, 152 • Rettimcatrici in tondo per R interni, 152 • Rettimcatrici universali, 153 • Rettimcatrici senza centri, 154 • Rettimcatrici per supermci piane, 154 • Rettimcatrici speciali, 156 Abrasivi, 157 • Dimensione dei grani, 157 • Leganti o agglomeranti, 158 • Durezza, 158 • Struttura, 158 • Specimca dei componenti, 158 • Ravvivatura della mola, 158 • Designazione della mola UNI ISO 525, 159 Catene, 91 ipi di catene, 92 • Ruote dentate per catene, 93 • Esempio di T ruota dentata per catena, 93 Affilatura e affilatrici, 149 ċlatrici manuali, 149 • Aċlatrici universali, 150 • Aċlatrici A speciali, 150 • Aċlatrici elettrochimiche, 150 Ruote di frizione, 97 Generalità, 97 Ruote dentate cilindriche, 99 Demnizioni, 99 • Rappresentazione convenzionale, 102 • Proporzionamento degli ingranaggi cilindrici, 104 • Minimo numero dei denti – Dentature ribassate – Dentature corrette, 105 • Controllo della dentatura – Forme costruttive – Rendimento, 107 modulo n pneumatica e oleodinamica L2.3 Ruote dentate cilindriche a denti elicoidali, 110 L2.4 Ruote dentate coniche, 113 unità N1 Circuiti pneumatici, elettropneumatici e pLC ........................................................................................................................................... 169 L2.5 L2.6 Vite a evolvente, 115 Forme costruttive dell’ingranaggio a vite, 117 Ruotismi, 119 Generalità, 119 L2.7 Riduttori, 121 esercitazione guidata l2.1, 124 Verifica degli obiettiVi di unità, 125 Verifica degli obiettiVi di modulo, 126 modulo m lavorazioni meccanicHe Verifica dei Prerequisiti, 168 Introduzione, 169 N1.1 Studio delle tecniche per l’eliminazione dei segnali bloccanti, 169 eneralità, 121 • Classimcazione dei riduttori, 122 • Materiali dei G riduttori, 122 • Lubrimcazione, 123 Annullamento meccanico, 170 • Collegamenti in cascata, 170 N1.2 Realizzazione del circuito elettropneumatico, 178 N1.3 Operatori logici nella tecnologia elettrica, 179 Esempi di circuiti elettropneumatici, 181 Il sequenziatore, 183 PLC, 186 Verifica dei Prerequisiti, 128 N1.7 Generalità, 186 • Struttura, 187 • Funzionamento, 189 Elementi di programmazione dei PLC, 189 e variabili e le unità di organizzazione di programma, 190 • Il L ladder diagram (diagramma a contatti), 190 • Il Grafcet, 191 • Linguaggi strutturati, 195 esercitazioni guidate n1.1 – n1.3, 198 Verifica degli obiettiVi di unità, 201 unità M1 Fresatrici e alesatrici ........................................................ 129 M1.1 Elementi di Elettropneumatica, 177 N1.4 N1.5 N1.6 127 Fresatrici, 129 eneralità e classimcazione, 129 • Fresatrice orizzontale, 130 G • Fresatrice universale, 131 • Fresatrice verticale, 132 • Fresatrice da attrezzisti, 132 • Attrezzature per fresatrici, 132 • Divisori, 134 • Operazioni speciali di fresatura eseguibili con il divisore, 136 N2.1 M1.2 Utensili per la fresatura, parametri di taglio e potenza assorbita, 138 Produzione di energia nei sistemi oleodinamici, 205 N2.2 tensili per la fresatura, 138 • Parametri di taglio, 140 • Metodi e U potenza di fresatura, 141 • Tempi di lavorazione, 143 M1.3 Generalità sulle alesatrici, 144 Organi di regolazione e comando del moto, 208 Attuatori oleodinamici, 210 Applicazioni dell’Oleodinamica, 211 M1.4 Utensili per le alesatrici, 145 esercitazioni guidate m1.1 – m1.2, 146 Verifica degli obiettiVi di unità, 148 167 unità N2 Oleodinamica ........................................................................... 202 N2.3 N2.4 Elementi di Oleodinamica, 202 esercitazioni guidate n2.1 – n2.2, 212 Verifica degli obiettiVi di unità, 214 Verifica degli obiettiVi di modulo, 216 V modulo o termodinamica Verifica dei Prerequisiti, 218 unità O1 principi di Energetica ....................................................... 219 O1.1 O1.2 Calore e temperatura, 219 O2.1 O2.2 iscaldamento dei corpi, 219 • Misura della temperatura, 219 R • Capacità termica, 220 Trasmissione del calore, 221 Flusso termico, 222 O1.3 Combustibili e comburenti, 223 unità O2 Applicazioni della Termodinamica ................... 230 217 eneralità sulla combustione, 223 • Potere calorimco dei combuG stibili, 224 • Fabbisogno di aria, 224 • Tipi di combustibili, 225 esercitazione guidata o1.1, 228 Verifica degli obiettiVi di unità, 229 O2.3 O2.4 O2.5 Termodinamica dei gas, 230 S istemi termodinamici, 230 • Le coordinate termodinamiche, 230 • Gas ideale e gas reale, 230 Trasformazioni fondamentali dei gas ideali, 231 rasformazione a volume costante, 231 • Trasformazione a presT sione costante, 231 • Trasformazione a temperatura costante, 233 • Trasformazione adiabatica, 233 • Trasformazione politropica, 234 • Equazione di stato dei gas perfetti, 234 • Lavoro compiuto da un gas, 234 • Leggi di Gay-Lussac, 234 Principi della Termodinamica, 234 rimo principio della Termodinamica, 234 • Secondo principio P della Termodinamica, 235 Cicli termodinamici, 235 iclo di Carnot, 235 • Principali cicli termici utilizzati nei motori C a combustione interna, 236 • Ciclo Otto - Beau de Rochas, 236 • Ciclo Diesel teorico, 237 • Ciclo Sabathè teorico, 238 Il vapore, 238 Vapore acqueo, 238 esercitazione guidata o2.1, 243 Verifica degli obiettiVi di unità, 244 Verifica degli obiettiVi di modulo, 245 VI Presentazione L’opera costituisce un corso completo della materia Tecnologie Meccaniche e Applicazioni per il secondo biennio e per il quinto anno dei nuovi Istituti Professionali settore Manutenzione e Assistenza tecnica. Il corso si propone di fornire agli allievi degli Istituti Professionali un percorso mnalizzato a far conseguire allo studente, al termine dei cinque anni di studio, risultati di apprendimento che gli consentano di utilizzare, attraverso la conoscenza e l’applicazione della normativa sulla sicurezza, gli strumenti e le tecnologie specimche del settore e di sapersi orientare nella normativa di riferimento; di riconoscere e applicare i principi dell’organizzazione, della gestione e del controllo dei diversi processi produttivi assicurando i livelli di qualità richiesti. L’opera si compone di tre volumi che sviluppano le Tecnologie meccaniche e le loro applicazioni. Ciascun volume è suddiviso in moduli indipendenti, articolati in unità didattiche, che rendono possibile l’adozione di percorsi diĊerenziati e adattabili alle necessità delle singole classi e delle specimche realtà. Ogni modulo si apre con le indicazioni dei prerequisiti, degli obiettivi didattici e delle unità che lo compongono; seguono la verimca dei prerequisiti, le unità didattiche e le verimche di unità e di modulo. Le unità didattiche si aprono con la dichiarazione degli obiettivi, seguiti dai contenuti, e si chiudono con la verimca di unità. I contenuti hanno carattere di essenzialità: presentano la sintesi necessaria a risolvere le esercitazioni proposte, sono aggiornati con le più moderne tecnologie e tecniche italiane ed europee e prestano particolare attenzione all’evoluzione tecnologica. La parte preponderante delle unità didattiche è dedicata ai contenuti, organizzati in modo da coniugare il rigore logico tecnico con un linguaggio essenziale e diretto. Gli esempi e le esercitazioni proposte mirano a rendere chiari e lineari anche gli argomenti più impegnativi. Il Volume 2, strutturato in sei moduli, tratta le macchine semplici, la resistenza dei materiali, le sollecitazioni semplici, i componenti meccanici, le trasmissioni del moto, le ruote di frizione e dentate, le lavorazioni meccaniche, le tecniche di programmazione della pneumatica in logica cablata e programmata, i PLC e l’Oleodinamica. Il modulo H aĊronta lo studio delle macchine e la resistenza dei materiali: nella prima unità didattica si studiano le macchine semplici, quali leve, carrucole, verricello e piano inclinato; la seconda unità aĊronta le sollecitazioni semplici; la terza unità analizza le sollecitazioni composte e i criteri di resistenza dei materiali. Nel modulo I si esaminano i componenti meccanici: nella prima unità didattica si studiano gli alberi, i sopporti e le bronzine, con le relative indicazioni per il dimensionamento; nella seconda unità si aĊrontano i diversi tipi di cuscinetti volventi, la lubrimcazione e le tenute. Il modulo L presenta gli organi di trasmissione del moto: la prima unità didattica tratta gli organi nessibili, quali cinghie, funi e catene; la seconda unità aĊronta lo studio dei diversi tipi di ruote dentate, le modalità della loro rappresentazione gramca e termina con i ruotismi e i riduttori. Il modulo M aĊronta lo studio delle macchine utensili e fornisce indicazioni utili sui parametri tecnologici: la prima unità didattica è mnalizzata allo studio delle fresatrici, delle attrezzature e dei loro utensili; la seconda unità presenta le alesatrici, le aċlatrici e le rettimcatrici. Il modulo N introduce allo studio dell’automazione, soprattutto per quanto concerne le tecniche di eliminazione dei segnali bloccanti, quali l’annullamento meccanico, la cascata e il sequenziatore. Nella prima unità didattica viene introdotta anche l’Elettropneumatica con il PLC e le relative tecniche di programmazione; nella seconda unità si forniscono elementi di Oleodinamica e si presentano i principi di base, i campi di applicazione e la componentistica. Nel modulo O si aĊronta il tema dell’Energetica: la prima unità didattica fornisce informazioni di base e analizza i combustibili e la combustione, mentre la seconda unità studia le leggi dei gas, le trasformazioni, i cicli termodinamici e il vapore acqueo. Luigi Caligaris Stefano Fava Carlo Tomasello modulo H le macchine semplici e la resistenza dei materiali H1 Le macchine semplici H2 Sollecitazioni semplici H3 Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali Prerequisiti Conoscenze Le principali unità di misura Le relazioni di proporzionalità fra grandezze Le equazioni d’equilibrio della Statica Abilità Assegnare le principali unità di misura Utilizzare le relazioni di proporzionalità fra grandezze Scegliere i materiali in base alle caratteristiche meccaniche Obiettivi Conoscenze Le principali macchine semplici Le sollecitazioni semplici e composte Abilità Valutare e definire i sistemi di carico e il vantaggio nelle macchine semplici Individuare gli effetti di forze e momenti sugli organi meccanici e riconoscere le cause che contribuiscono all’usura, alla fatica e alla rottura degli stessi Competenze di riferimento Individuare i componenti che costituiscono il sistema e i vari materiali impiegati Analizzare il valore, i limiti e i rischi delle varie soluzioni tecniche con particolare attenzione alla sicurezza nei luoghi di vita e di lavoro modulo H verificadeiprerequisiti 1. Indicare le unità di misura e i relativi simboli utilizzati nel SI per le seguenti grandezze: 9. Indicare tre fra le principali proprietà meccaniche dei materiali. 1. accelerazione [...................]; simbolo: ................................................ 2. momento [...................]; simbolo: ................................................ 3. potenza [...................]; simbolo: ................................................ 1. 2. 3. 2. 10. Dare la definizione di forza (max 20 parole). ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................ 3. Le forze non sono grandezze vettoriali. Vero Falso 4. Gli elementi caratteristici di una grandezza vettoriale sono: 1. 2. 3. 4. .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... 5. La composizione di due forze complanari, e fra loro ortogonali, si può effettuare con il teorema di: 1. Newton 2. Pitagora 3. Norton 4. Archimede 6. Una forza non può essere scomposta in due direzioni note se queste ultime sono ortogonali fra loro. Vero Falso 7. Dare la definizione di coppia di forze (max 20 parole). ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................ 8. Calcolare le reazioni vincolari di una trave, appoggiata alle estremità, su cui agisce una forza F = 1000 N posta nella mezzeria. RA = ....................................................................................................................................................... RB = ....................................................................................................................................................... 1. 2. 3. 4. .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... La velocità media è: il rapporto fra il tempo e lo spazio percorso il prodotto dello spazio per il tempo il rapporto fra lo spazio e il tempo Il prodotto dell’accelerazione per la velocità 11. L’accelerazione è una grandezza che rimane sempre costante. Vero Falso 12. 1. 2. 3. 4. Lo spazio percorso nel moto rettilineo uniforme vale: s = ma s = at s = vt s = a/t 13. Qual è la velocità angolare di un punto che si muove su una circonferenza e percorre 10 rad in 5 s? w = ......................................................................................................................................................... 14. Un corpo con massa m = 10 kg è posto a 3 m di altezza dal suolo. Calcolare la sua energia potenziale rispetto al piano di un tavolo alto 1 m. Ep = ........................................................................................................................................................ 15. 1. 2. 3. 4. La potenza è: il prodotto della forza per lo spazio percorso il rapporto fra la forza e il tempo di azione il prodotto della forza per la velocità di spostamento il rapporto fra la forza e lo spazio percorso UNITÀ H1 OBIETTIVI Conoscenze Le tipologie di leva La carrucola e le sue applicazioni Il cuneo e la vite Abilità Valutare le condizioni di carico delle leve e il relativo vantaggio Calcolare i carichi applicati alle carrucole, ai paranchi e ai verricelli Valutare le forze trasmesse dalle viti CONTENUTI H1.1 Caratteristiche generali H1.2 La leva H1.3 Le carrucole e i paranchi H1.4 Il verricello e l’argano H1.5 Il piano inclinato e le sue applicazioni 3 le macchine semplici H1.1 caratteristiche generali Un dispositivo in grado di moltiplicare la forza umana prende il nome di macchina semplice. Si definisce forza resistente FR la forza da vincere o equilibrare, forza motrice FM quella fornita alla macchina. Il rapporto k fra la forza resistente FR e quella motrice FM è definito vantaggio: k= FR FM [H1.1] Di conseguenza le macchine possono essere: vantaggiose, se FR > FM con k > 1; svantaggiose, se FR < FM con k < 1; indifferenti, se FR = FM con k = 1. Appartengono alle macchine semplici: le leve; le carrucole, i paranchi, gli argani e i verricelli; i piani inclinati e le relative applicazioni (cunei e viti). Lo studio delle macchine semplici si effettua, in prima approssimazione, senza tenere conto dell’attrito e applicando le equazioni cardinali della statica [vol. 1, unità E1]. H1.2 La leva In relazione alla posizione delle forze rispetto all’appoggio, le leve possono essere di: primo genere; secondo genere; terzo genere. Leva di primo genere Questa leva è anche detta interfulcrale per la posizione dell’appoggio (fulcro) posto fra le due forze [fig. H1.1]. bR bM O FR FM H1.1 Schema della leva di primo genere. 4 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali Indicando con bR il braccio della forza FR rispetto al fulcro O e con bM il braccio della forza FM sempre rispetto a O, si ha la condizione di equilibrio: FRbR = FM bM da cui si ricava: FM = [H1.2] k= da cui si può ricavare, tenendo conto della [H1.1]: 1000 × 0,2 = 160 N 1,25 bM 1,25 = = 6,25 bR 0,2 FR bM = =k FM bR Leva di secondo genere Dalla [H1.2] si può dedurre che: se bM > bR, k > 1 e la leva è vantaggiosa; se bM < bR, k < 1 e la leva è svantaggiosa; se bM = bR, k = 1 e la leva è indifferente. Si ha una leva di secondo genere quando il fulcro è posto a un’estremità e la forza motrice FM è applicata all’estremità opposta [fig. H1.4]. bM Poiché l’utilizzo di questo tipo di leva prevede sicuramente un vantaggio, è opportuno che il rapporto bM/bR sia il più grande possibile. Sono leve di primo genere il palanchino [fig. H1.2], le forbici, le pinze ecc. bR FM O FR H1.4 Schema della leva di secondo genere. Dalle relazioni [H1.2] e [H1.1] si ricava: FRbR FM bM = 0; O bR FM bM FR H1.2 Palanchino e relativo schema di carico. FR bM = =k FM bR Osservando la figura H1.4, si nota che FM ≤ FR per cui questo tipo di leva è sempre vantaggiosa o, al massimo, indifferente, ma non sarà mai svantaggiosa; è opportuno che bM sia il più grande possibile rispetto a bR. Sono leve di secondo genere la carriola [fig. H1.5], lo schiaccianoci ecc. esempio Calcolare la forza necessaria a equilibrare il carico FR = 1000 N [fig. H1.3] e il vantaggio k. FM 1,25 m 0,2 m FM O FR = 1000 N FR H1.3 Schema di carico di una leva di primo genere. bR Dalla [H1.2] si ottiene: 1000 0,2 = FM 1,25 bM H1.5 Carriola e relativo schema di carico. Le macchine semplici unità H1 esempio Calcolare la forza resistente FR che può essere equilibrata con una forza motrice FM = 150 N [fig. H1.6]. Nella figura H1.8 è rappresentata una leva di terzo genere; si sfrutta la grande forza fornita da un pistone idraulico per sollevare il carico. FM = 150 N O FR 0,25 m 1m H1.6 Schema di carico e valori delle forze in gioco. H1.8 Braccio di autogru con pistone idraulico. Dalla [H1.2] si ricava: 150 ×1 = FR × 0,25 H1.3 Le carrucole e i paranchi da cui si ottiene: carrucola fissa 150 FR = = 600 N 0,25 La figura H1.9 rappresenta una carrucola fissa con lo schema del sistema di carico. Dall’equazione di equilibrio dei momenti rispetto al punto O, si ha: Dalla [H1.1] si calcola il valore di k: k= FR R = FM R FM 1 = =4 FR 0,25 da cui si evince che FR = FM; la carrucola è quindi una macchina indifferente, la sua utilità consiste nel sollevare carichi ad altezze dipendenti solo dal punto in cui è appesa la carrucola. Leva di terzo genere Nelle leve di terzo genere [fig. H1.7] la forza motrice è posta fra il fulcro e la forza resistente. In questo caso, poiché bM < bR, la leva è sempre svantaggiosa e k < 1. O R R R bR FR bM FM FR O FM FR H1.7 Schema di carico della leva di terzo genere. Tale rapporto può essere espresso anche nel seguente modo: FRbR FM bM = 0; FR = FM bM b ; k = M <1 bR bR FM H1.9 Carrucola fissa e relativo schema di carico. carrucola mobile Nella carrucola mobile, un’estremità della fune è fissata a un sostegno fisso e all’altra estremità è applicata la forza motrice. 5 6 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali In genere la carrucola mobile è abbinata a una fissa [fig. H1.10]. La figura H1.11b riporta lo schema costruttivo di un paranco multiplo, detto anche taglia, ottenuto abbinando tre carrucole fisse e tre mobili. su cui si avvolge una fune con una estremità fissata al cilindro e l’altra al carico FR da sollevare. Il cilindro può essere azionato manualmente agendo su una manovella lunga bM [fig. H1.12]. FM R bM FM R O FR FM FM R H1.12 Schema costruttivo di verricello semplice. FM Dall’equazione di equilibrio dei momenti si ottiene: FR (a) (a) (a) FR FM H1.11 Schema costruttivo di paranco: O FR H1.10 Carrucola mobile e relativo schema di carico. a) semplice; b) multiplo. Il paranco multiplo, con n carrucole mobili, si può ottenere abbinando n paranchi semplici; poiché il vantaggio del paranco semplice è k = 2, il vantaggio del paranco multiplo sarà: Dall’equazione dei momenti rispetto al punto O, si ottiene: k = 2n 1 FR R − FM 2 R = 0; FM = FR ; k = 2 2 Il numero di carrucole in una taglia può arrivare fino a 12, con un vantaggio k = 24. La carrucola mobile è una macchina vantaggiosa. paranco semplice e multiplo La figura H1.11a mostra l’abbinamento costruttivo di una carrucola mobile con una fissa, detto paranco semplice. (b FR R − FM bM = 0; FR = k= FR 2R R (b) (b) FM bM ; R bM R Da ciò si deduce che maggiore è la lunghezza della manovella rispetto al raggio del cilindro, più grande sarà il vantaggio che si consegue. L’argano L’argano differisce dal verricello per l’asse di rotazione verticale e perché è provvisto di due o quattro barre di manovra [fig. H1.13]. bM R F1M H1.4 il verricello e l’argano F1M FR il verricello Il verricello è costituito da un cilindro orizzontale di raggio R F1M H1.13 Schema costruttivo di argano. Le macchine semplici unità H1 Se si indica con z il numero di forze F1M applicate alle barre di manovra alla distanza bM, per l’equilibrio dei momenti si avrà: Nel caso in cui la forza motrice FM sia parallela al piano inclinato [fig. H1.14b], vale la seguente relazione: FM = FR sen α; k = zF b F zF1M bM = FR R; FR = 1M M ; k = R R zF1M Nel caso in cui la forza motrice FM sia parallela alla base b [fig. H1.14c], vale la seguente relazione: esempio Un argano ha le seguenti caratteristiche: FM = FR tan ; k = numero di barre di manovra; lunghezza utile delle barre bM = 1 m; raggio dell’argano R = 0,40 m. Nell’ipotesi che la manovra sia compiuta da z = 3 uomini che trasmettono ognuno una forza F1M = 300 N, calcolare la forza resistente equilibrata e il vantaggio conseguito: FR = k= 1 sen α 3 300 1 = 2250 N 0,4 1 tan Il rapporto fra l’altezza e la base del piano inclinato prende anche il nome di pendenza i: i= h = tan b il cuneo Il cuneo è un solido a forma di prisma triangolare su cui la forza motrice agisce perpendicolarmente alla testa [fig. H1.15]. 2250 FR = = 2,5 FM 3 300 FM α H1.5 il piano inclinato e le sue applicazioni FR il piano inclinato α Il piano inclinato si rappresenta con un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa corrisponde al piano inclinato, il cateto b alla base e il cateto h all’altezza [fig. H1.14a]. FM Si può scrivere che: FR1 h H1.15 Cuneo e relativo schema di carico. α α b (a) (b) FM FR H1.14 Piano inclinato: α FR FR2 α 1 FM = 2FR sen ; k = α 2 2sen 2 FR2 FR1 (c) FR a) schema; b) forza motrice FM parallela al piano inclinato; c) forza motrice FM parallela alla base. Da ciò si deduce che più è piccolo l’angolo a più grande sarà il vantaggio. La vite Gli elementi filettati possono essere utilizzati come organi di collegamento, oppure come componenti per la trasmissione di moto e forza (per esempio, la vite di chiusura di una morsa). In ambedue i casi non è 7 8 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali possibile trascurare l’attrito che agisce fra i filetti della vite e del dado e quello dovuto allo strisciamento fra dado e rosetta [fig. H1.16]. in cui Mt1 serve per trasmettere la forza F, mentre Mt2 serve per vincere l’attrito fra dado e rosetta: Mt1 = F Dm d2 tan ( + 2 ); Mt 2 = F Dm f2 2 Nella formula precedente: d F = forza assiale esercitata dalla vite; j = angolo di attrito fra i filetti; d2 = diametro medio di filettatura; a = angolo dell’elica; f2 = coefficiente di attrito fra dado e rosetta. F L’angolo dell’elica e quello di attrito si possono calcolare con la seguente relazione: F α = arctan Mt p f1 ; ϕ = arctan d ϑ π cos 2 2 in cui: H1.16 Vite di collegamento che esercita sulle due piastre una forza F. Nel caso della vite di collegamento, se si vuole valutare con certezza la forza F trasmessa, occorre utilizzare una chiave dinamometrica che permette di controllare il momento torcente Mt trasmesso al dado di chiusura. Si può scrivere: Mt = Mt1 + Mt 2 p = passo della filettatura; J = angolo del profilo (filettature ISO J = 60°); f1 = coefficiente di attrito fra i filetti della vite e del dado. Nel caso di vite di manovra, se manca il termine dovuto all’attrito fra dado e rosetta, la relazione diventa: Mt = F d2 tan ( + 2 ) Le macchine semplici unità H1 esercitazione guidata H1.1 apparecchio di sollevamento La figura rappresenta una macchina composta da due macchine semplici: un paranco e un verricello, preposta a sollevare la massa Q = 360 kg. R FM = 150 N 400 Q = 360 kg Dopo aver analizzato attentamente il disegno e nell’ipotesi che al paranco sia applicata una forza motrice FM = 150 N, calcolare: 1. 2. 3. 4. il raggio R del paranco; il vantaggio k1 del verricello; il vantaggio k2 del paranco; il vantaggio ktot dell’intero dispositivo. 9 10 unità H1 1 verifica degli obiettivi Definire una macchina semplice (max 20 parole). ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ 8 Un dispositivo composto da una carrucola mobile abbinata a una fissa ha un vantaggio: 1. 2. 3. 4. k = 1/2 k=1 k=2 k=0 2 Indicando con FR la forza resistente e con FM quella motrice, Il vantaggio k vale: 1. 2. 3. 4. k = FM − FR k = FM / FR k = FR − FM k = F R / FM k = .................................................................... 10 3 Una macchina è vantaggiosa quando: 1. 2. 3. 4. k<1 k=1 k>1 k=0 4 La carriola è una leva di primo genere. 40 Falso Dalla figura allegata dedurre il valore di FR. 60 FR = ? FR = ? FA = 100 N O 400 800 FR = .................................................................... FR = k= .................................................................... .................................................................... 11 La vite può essere utilizzata come dispositivo per la trasmissione del moto. Vero 6 Nelle leve di terzo genere la ......................................................... motrice è posta fra il .................................................................... e la forza .......................................................................................................................................................... 7 Nella figura allegata è schematizzato un verricello con indicate le dimensioni del tamburo e la lunghezza della manovella. Nell’ipotesi che FM = 100 N, calcolare il valore di FR e il vantaggio k. FM = 100 N Vero 5 9 Un paranco è composto da 4 carrucole fisse e 4 mobili. Determinare il vantaggio k. La carrucola fissa è una macchina indifferente. Vero Falso 12 Falso Nel caso della vite di collegamento, se si vuole valutare con certezza la .................................................................................., occorre utilizzare una chiave ...................................................................... che permette di controllare il .................................................................. torcente trasmesso al ........................................................... di chiusura. UNITÀ H2 Conoscenze La legge di Hooke Il legame sollecitazionedeformazione Le sollecitazioni semplici Abilità Identificare le caratteristiche meccaniche dei materiali Individuare con un modello matematico il legame sollecitazionedeformazione Individuare le sollecitazioni semplici in un corpo e applicare l’equazione di stabilità CONTeNUTI H2.1 Sollecitazione e deformazione H2.2 Sollecitazioni semplici 11 SOLLECITAZIONI SEMPLICI H2.1 Sollecitazione e deformazione Definizioni La resistenza dei materiali è quella parte della Meccanica che studia il comportamento dei materiali, in relazione agli sforzi a cui vengono sottoposti. In questo studio i corpi si considerano elastici e isotropi: elastici, poiché in qualunque fase di carico esiste una corrispondenza biunivoca tra tensioni interne e deformazioni; isotropi, poiché presentano proprietà uguali in tutte le direzioni. Quando si applica una forza a un particolare meccanico, questo si deforma; il materiale si oppone a tale deformazione con delle forze interne definite tensioni. Quando la tensione è riferita all’area di 1 mm2 è detta tensione interna unitaria. Le tensioni interne unitarie possono essere: perpendicolari, normali alla superficie, e sono indicate con la lettera σ [fig. H2.1a]; tangenziali, parallele alla superficie, e sono indicate con la lettera τ [fig. H2.1b]. F Sezione T 1 σ σ Sezione 1 σ 1 1 1 1 1 1 τ τ τ T F (a) (a) (b) (b) H2.1 Schema di tensioni interne: a) perpendicolari alla superficie; b) tangenziali. Le deformazioni possono essere: parallele a un asse, e sono indicate con la lettera ε; angolari rispetto a due assi, sono dette scorrimenti e indicate con la lettera γ. modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali Se un filo metallico è tirato si allunga [fig. H2.2]. Per allungamento totale s’intende la differenza fra la lunghezza iniziale l0 e la lunghezza finale l1 dovuta agli sforzi applicati al corpo: l = l1 l0 [H2.1] Il parametro E che lega le tensioni e le deformazioni si definisce modulo di elasticità normale (o modulo di Young). L’allungamento prodotto dall’applicazione della forza F vale, secondo le relazioni [H2.2] e [H2.3]: l= (a) (b) Fl [mm ] SE [H2.5] È opportuno, a questo punto, rivedere alcuni concetti. Sottoponendo una provetta a trazione, fino a giungere a rottura, si determina il grafico carichi Ð allungamenti riportato nella figura H2.3. Δl l1 l0 Carichi unitari H2.2 Filo sottoposto a trazione: a) scarico; b) caricato con allungamento. L’allungamento unitario, cioè riferito alla lunghezza unitaria, equivale alla deformazione ε e si calcola con la seguente relazione: = l l1 l0 = l0 l0 E Ru ReH R Rp eL [H2.2] C B D Allungamenti A H2.2 Sollecitazioni semplici Le fibre di materiale sono allungate dalla forza F che sollecita assialmente il corpo [fig. H2.2b]. Indicando con S la superficie retta [mm2] e con F la forza [N], la tensione unitaria si calcola con la seguente relazione: F N S mm 2 lu – l0 l0 ∆l l0 H2.3 Grafico carichi-allungamenti. Trazione = F Plasticità Rm N mm2 Elasto-plasticità F Elasticità 12 [H2.3] L’unità di misura N/mm2 nel SI è detta anche MPa (megapascal). Fase elastica, tratto AB In questo tratto il diagramma è rettilineo, cioè esiste proporzionalità fra carichi e allungamenti e le deformazioni sono reversibili; il carico del punto finale B è detto carico di proporzionalità Rp. Se il carico totale letto sulla macchina di prova è Fp e la sezione iniziale della provetta è S0, si avrà: Rp = Fp N S0 mm 2 [H2. 6] Fase elasto-plastica, tratto BCD Legge di Hooke Nel campo elastico, cioè quando tolto il carico spariscono le deformazioni, si può ritenere che esista dipendenza lineare tra sforzi e deformazioni; la relazione che esprime tale concetto è la seguente: =E [H2.4] Oltre alle deformazioni elastiche cominciano a verificarsi le prime deformazioni plastiche irreversibili, possono essere seguite da cedimenti limitati ma improvvisi detti snervamento. Si misurano due carichi: il primo nel punto C, o carico di snervamento superiore ReH; il secondo nel punto D, o carico di snervamento inferiore ReL. Sollecitazioni semplici unità H2 Se i carichi totali letti sulla macchina di prova sono rispettivamente FeL e FeH, si avrà: ReL = N N FeL F ; ReH = eH S0 mm 2 S0 mm 2 [H2.7] Compressione Le fibre del materiale vengono accorciate dalla forza F che sollecita il corpo. Anche per la compressione [fig. H2.4] è valida la relazione: = Fase plastica DEF F N S mm 2 [H2.10] In questa fase le deformazioni sono piuttosto elevate e irreversibili, dal punto E alla rottura si verifica la strizione della provetta (riduzione di diametro). Il dato più importante che si ricava è il carico massimo Rm cui resiste la provetta. Questo carico è detto anche resistenza a trazione (o carico di rottura a trazione) ed è una delle caratteristiche più importanti del materiale. Se il carico totale letto sulla macchina di prova è Fm e la sezione iniziale della provetta è S0, si avrà: Rm = N Fm S0 mm 2 [H2.8] F H2.4 Schema della prova di compressione. Taglio Deformazioni Indicando con lu la lunghezza finale (misurata ricomponendo la provetta) e con l0 la lunghezza iniziale, si può definire l’allungamento percentuale A% con la relazione: A% = lu l0 100 l0 [H2.9] Si ha sollecitazione di taglio quando la risultante delle forze agisce perpendicolarmente al corpo sollecitato e parallelamente a una sua sezione trasversale. Essendo la forza parallela alla sezione sollecitata, si è in presenza di tensioni tangenziali τ mentre la tensione normale σ è nulla. Indicando con T la forza tagliante e con S la sezione resistente, la relazione del taglio è: esempio = Determinare il modulo di elasticità normale E dell’acciaio di una provetta di 12 mm di diametro e lunga inizialmente 100 mm che, sottoposta a un carico di trazione di 5400 N, si è allungata di 0,023 mm. N T S mm 2 [H2.11] Questa relazione esprime la situazione che si manifesta, per esempio, nelle chiodature dove nella sezione AB esiste solo la sollecitazione di taglio [fig. H2.5]. Dalle relazioni [H2.3], [H2.4] e [H2.5] si ottiene: = l F = SE l quindi si avrà: E= T A B T Fl 5400 ×100 N = 2 = 207600 S l 12 mm 2 × 3,14 × 0,023 4 H2.5 Esempio di taglio puro nella chiodatura. 13 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali Flessione Un solido si dice sollecitato a flessione quando le forze esterne provocano una rotazione delle sezioni trasversali del solido [fig. H2.6c], che sono parallele nella trave scarica [fig. H2.6a]. C N T C T S2 S1 N S4 S3 (a) A-A σc Le fibre che stanno sopra la zona neutra, asse N-N [fig. H2.6c], nella trave caricata sono state accorciate; la lunghezza C-C è minore della lunghezza delle fibre che stanno sull’asse N-N, quindi sono state compresse. Le fibre che sono sotto l’asse neutro sono state allungate; la lunghezza T-T è maggiore della lunghezza delle fibre che stanno sull’asse N-N, quindi sono state tirate. Le fibre che stanno sull’asse neutro non hanno subito deformazioni. La flessione provoca nella trave, contemporaneamente, sollecitazioni di compressione σc e di trazione σt, queste sono tanto più grandi quanto più sono lontane dall’asse neutro N-N [fig. H2.6b] Nelle sezioni simmetriche rispetto all’asse neutro, le tensioni si valutano con l'equazione di stabilità della flessione: σt (b) =± F N C C T S1 S2 Mf [H2.12] Wf Il doppio segno davanti alla relazione indica che, convenzionalmente, si considerano positive le tensioni di trazione e negative quelle di compressione, per cui: A N T t S4 S3 A =+ Mf Wf ; c = Mf Wf dove Mf indica il momento flettente prodotto dalle forze applicate alla trave, Wf indica il modulo di resistenza a flessione [mm3]. Il modulo Wf dipende dalla forma della sezione e dalla posizione dell’asse rispetto cui si calcola. Nella tabella H2.1 sono riportate le relazioni per determinare Wf per le sezioni più comuni, calcolato rispetto all’asse neutro x-x. (c) H2.6 Effetti della flessione su una trave a sezione rettangolare: a) trave scarica; b) distribuzione delle tensioni; c) trave inflessa. Tabella H2.1 – Modulo di resistenza a flessione Wf per le sezioni più comuni Rettangolare Quadrata Rombo Circolare Circolare forata D D l x x x l x h 14 x x x x x x b d Wfx = bh 2 6 Wfx = l3 6 Wfx = 2 l3 12 Wfx = D3 32 Wfx = (D 4 32d d4 ) Sollecitazioni semplici unità H2 esempio Calcolare la tensione unitaria massima nella mezzaria della trave (punto M) rappresentata nella figura H2.7. La trave ha sezione rettangolare con base b = 20 mm e altezza h = 50 mm. S1 A1 F = 500 N RA S2 RB A B M = A' A = τmax A' g A Con l’equazione di equilibri dei momenti rispetto al punto B, si ottiene: RA 500 500 1000 F 500 = 0; RA = = 250 N 1000 Mt (a) 1000 mm H2.7 Trave sottoposta a flessione. O2 g B B' O2 τmax (b) H2.8 Trave a sezione circolare sottoposta a torsione: a) trave deformata; b) distribuzione delle tensioni. Il momento flettente nel punto M è: M f max = RA × 500 = 250 × 500 = 125 000 Nmm Da notare che in Meccanica si utilizza il millimetro e il momento flettente è espresso in Nmm. Poiché la sezione è rettangolare, il modulo di resistenza alla flessione vale: Wf = bh 2 20 502 = = 833,3 mm3 6 6 La tensione massima si calcola come segue: σ=± M f max Wf σ t = + 15 = 125000 N = 15 833,3 mm 2 N N ; σ c = − 15 2 mm mm 2 Torsione La sollecitazione di torsione si manifesta quando ogni sezione del corpo è costretta a ruotare attorno al proprio asse con un moto rigido [fig. H2.8a]. Le sollecitazioni normali σ sono nulle. Sono presenti le sollecitazioni tangenziali τ che aumentano a mano a mano che il punto considerato si allontana dall’asse neutro, che nella torsione è l’asse longitudinale del corpo [fig. H2.8b]. Infatti, quando la sezione S2 ruota dell’angolo γ rispetto a S1, intorno al punto O2, si può notare che l’arco A-A', più lontano da O2, è maggiore dell’arco B-B' che sottende lo stesso angolo di rotazione; ne consegue che maggiore è la deformazione più grande è la tensione. La tensione di torsione è espressa con l'equazione di stabilità della torsione: max = Mt Wt [H2.13] dove Mt indica il momento torcente prodotto dalle forze applicate al corpo, mentre Wt indica il modulo di resistenza a torsione [mm3]. Il modulo Wt dipende dalla forma della sezione. È possibile determinare il valore esatto di τmax solo per i solidi a sezione circolare o anulare. Nella tabella H2.2 sono riportate le relazioni per determinare Wt per le sezioni più comuni, calcolato rispetto al punto centrale O. 15 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali Tabella H2.2 – Modulo di resistenza a torsione Wt per le sezioni più comuni Triangolare equilatera Quadrata Esagonale Circolare Circolare cava D D l 16 l d 2l Wt = l3 20 Wt = 0,208l 3 Wt =1,511l 3 La legge di Hooke, nel caso delle deformazioni angolari, è espressa dalla seguente relazione: =G [H2.14] dove G è il modulo di elasticità tangenziale ed è pari ai 2/5 di E e γ è l’angolo di rotazione espresso in radianti. Per la sezione circolare piena (quella più utilizzata per gli alberi soggetti a torsione), l’angolo di torsione in funzione della lunghezza è espresso dalla relazione: = 32 Mt l GD 4 [rad ] [H2.15] esempio Un albero a sezione circolare piena con diametro D = 30 mm e lunghezza ltot = 200 mm, è sottoposto a torsione da un momento torcente Mt = 120 000 Nmm. Nell’ipotesi che il modulo di elasticità normale valga Wt = D3 16 Wfx = (D 4 16d d4 ) E = 208 000 MPa, calcolare la tensione massima e l’angolo di torsione fra due sezioni distanti l = 100 mm. Il modulo di resistenza a torsione [tab. H2.2] vale: Wt = D3 303 = = 5301 mm3 16 16 La tensione tangenziale vale: τmax = Mt 120 000 N = = 22,6 Wt 5301 mm 2 L’angolo di torsione, con G = γ = 32 2 N E = 83 200 vale: 5 mm 2 Mt l 120 000 ×100 = 32 = 0,000057 rad = 4 πGD π × 83 200 × 304 = 0,033° Sollecitazioni semplici unità H2 esercitazione guidata H2.1 Calcolo delle masse e delle sollecitazioni Nella figura è rappresentato un solido di acciaio che serve da basamento sul quale appoggia una lastra di marmo. Sul piano del marmo è posto un cilindro di piombo. ø1500 750 Piombo 200 800 Acciaio 25 800 900 Marmo Masse specifiche: 1200 Piombo = 11350 kg/m3 Marmo = 2720 kg/m3 Acciaio = 7850 kg/m3 1800 Dopo aver analizzato attentamente il disegno si calcoli la tensione massima nel basamento di acciaio, tenendo conto del peso di tutti e tre gli elementi. 17 18 unità H2 1 verifica degli obiettivi Definire i corpi isotropi (max 10 parole). ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ 8 La figura acclusa riporta un chiodo ribadito che collega due lamiere. Sapendo che la sezione retta del chiodo è S = 10 mm2 e che la sollecitazione di taglio vale τ = 50 N/mm2, calcolare la forza di taglio T. 2 Nella relazione ∆l = l1 − l0, che cosa indicano le tre variabili? 1. ∆l = 2. l1 = 3. l0 = T T .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. 3 Nella legge di Hooke il parametro E che lega le tensioni e le ....................................................................................... si definisce .................................................................................. e la sua unità di misura è .......................................................................................................................................................... 4 Il tratto di diagramma carichi-allungamenti che indica la fase elastica può essere sia rettilineo sia curvilineo. Vero Falso S = 10 mm2 T = .................................................................... 9 In una trave a sezione rettangolare e sottoposta a flessione semplice, tutte le fibre hanno lo stesso valore di tensione. Vero Falso 10 5 Quale significato hanno i seguenti carichi unitari dedotti dal diagramma carichi-allungamenti? 1. Rm = ................................................................................................................................. 2. ReL = ................................................................................................................................ 3. Rp = ................................................................................................................................ 6 Definire l’allungamento percentuale. (max 20 parole). Il modulo di resistenza a flessione Wf dipende dalla forma della ....................................................................................... e dalla posizione dell’....................................................................................... rispetto cui si calcola. 11 La flessione provoca nella trave, contemporaneamente, sollecitazioni di compressione σc e di trazione σt. Vero Falso ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ 7 Si ha ................................................................................................... di taglio quando la risultante delle ................................................................................ agisce perpendicolarmente al corpo sollecitato e ...................................................................................................... a una sua sezione .......................................................................................................................................................... 12 Nella torsione le sollecitazioni ................................................ σ sono nulle. Sono presenti le sollecitazioni ............................... τ che aumentano a mano a mano che il punto considerato si ....................................................................... dall’asse neutro. 13 Il modulo di elasticità tangenziale G è uguale ai 2/5 di E. Vero Falso UNITÀ H3 Conoscenze Flessione-taglio Flessione-torsione Presso-flessione Il carico di punta Abilità Indicare le sollecitazioni composte Verificare la resistenza dei corpi in sicurezza Valutare la resistenza delle strutture snelle CONTeNUTI H3.1 Sollecitazioni composte H3.2 Instabilità elastica H3.3 Criteri di resistenza dei materiali H3.4 Esempi di calcolo 19 SOLLECITAZIONI COMPOSTE E CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI H3.1 Sollecitazioni composte Nella realtà ad agire su un particolare meccanico non è quasi mai una sola sollecitazione semplice, ma almeno due in contemporanea. Le sollecitazioni composte più frequenti sono: flessione e taglio, soprattutto nelle travi inflesse; flessione e torsione, presenti negli alberi di trasmissione; presso-flessione, caratteristiche nelle colonne. Flessione e taglio Se i carichi esterni F provocano contemporaneamente flessione e taglio, in ogni sezione saranno presenti sia tensioni normali σ, dovute al momento flettente Mf , sia tensioni tangenziali τ dovute alla forza di taglio T. Si consideri la trave inflessa rappresentata nella figura H3.1a. S’immagini, adesso, di tagliare la trave in una sezione generica Sx. Tenendo conto che ogni sezione trasmette a quella adiacente una forza e un momento flettente, si devono sostituire alla parte mancante le azioni che questa trasmetteva alla parte sinistra al taglio [fig. H3.1b] per conservare l’equilibrio. F1 = 100 N F2 = 80 N A RA = 87 N RB = 93 N Sx B X 30 80 x 120 (a) F2 = 80 N F1 = 100 N Txd RA = 87 N X A Txs Mxd RB = 93 N B Mxs X 30 z (c) x H3.1 Trave inflessa: a) carichi applicati; (b) b) parte sinistra del taglio; c) parte destra del taglio. 20 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali Considerando l’equilibrio rispetto al punto X, si può scrivere, applicando le equazioni cardinali: F = 0; MX = 0 Dalla figura H3.1b si ottiene: Tx = RA F1 ; M x = RA x F1z [H3.1] In pratica occorre sapere in quale sezione è massimo il taglio e in quale il momento flettente. Si consideri ancora la figura H3.1a e si calcolino i momenti nelle sezioni in cui sono applicate le forze con le relazioni espresse dalla [H3.1], tenendo conto solo della parte sinistra, ai vari punti. Osservando il diagramma del momento flettente si nota che, convenzionalmente, i valori positivi sono riportati sotto la linea dello zero. Il valore massimo Mmax è nel punto D. In corrispondenza di questa sezione, nel diagramma di taglio, T vale 0. A sinistra della sezione, T è pari a RA mentre a destra T assume un valore inferiore, quindi per questa sezione si pone T = RA. Con questi valori letti sul diagramma, si possono calcolare le tensioni di flessione e di taglio nelle varie sezioni. Nel caso di flesso-taglio, la tensione tangenziale non è costante su tutta la sezione, ma presenta un valore massimo sull’asse neutro ed è nullo dove è massima la tensione normale [fig. H3.3], per questo motivo s’introduce un fattore correttivo a [tab. H3.1]. In tali condizioni si avrà: MA = MB = 0 pertanto: x MC = RA × 40 = 3480 Nmm x M D = RA × 90 − F1 × 50 = 2830 Nmm Per determinare il taglio nei vari punti si sommano le forze che stanno a sinistra. Nel punto A esiste solo RA, quindi il taglio passa da 0 a TA = 87 N, nel tratto AC il taglio rimane costante. Nel punto C il taglio vale TC = RA - F1 = -13 N e rimane costante nel tratto CD. Nel punto D si somma F2 e il taglio vale TD = -13 - F2 = -93 N che rimane costante nel tratto DB. Nel punto B si somma la reazione RB e il taglio passa da 87 N a TB = 0. Svolti questi calcoli è possibile tracciare i diagrammi della figura H3.2. τm τmax 100 N A 97 N 80 N 87 N C D σmax 30 80 40 B 0 0 H3.3 Diagrammi della tensione σ, della tensione media di taglio τm e tensione effettiva con il valore massimo τmax. 2830 Nmm 3480 Nmm Il calcolo delle tensioni si esegue con le seguenti relazioni: 87 100 87 0 0 − 13 max = max = 80 − 93 H3.2 Diagrammi del momento torcente e del taglio su una trave inflessa. Mf Wf [H3.2] T a S [H3.3] Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali unità H3 Tabella H3.1 – Fattore correttivo a per il calcolo della tensione massima di taglio Quadrata a= Rombo 3 2 Rettangolare a =1,6 a= È prassi comune sostituire le due tensioni con una sola, detta tensione ideale σid, che produce sul materiale gli stessi effetti ed è più facilmente confrontabile con le caratteristiche di resistenza del materiale stesso: σ id = σ 2 max + 3τ 2 max 3 2 a= Anulare 4 3 a=2 Calcolato il momento flettente massimo nel punto A e il momento torcente con la [H3.5], si possono ricavare le tensioni σmax di flessione e τmax di torsione: max [H3.4] = Mt ; Wt max = Mf Wf Anche in questo caso è opportuno calcolare la tensione ideale che produce gli stessi effetti delle due tensioni: Flessione e torsione Questo tipo di sollecitazione è caratteristica degli alberi rotanti che trasmettono un momento torcente attraverso ruote dentate o pulegge. Nel modulo E del primo volume di quest’opera sono presentate le seguenti relazioni: N = Mt ; Circolare = 2 n 60 [H3.5] dove N è la potenza espressa in watt, n è il numero di giri/minuto e Mt indica il momento torcente espresso in Nm. Nella figura H3.4a è rappresentato schematicamente un motore elettrico che trasmette il moto a un utilizzatore attraverso una puleggia. L’albero può essere rappresentato, convenzionalmente, come una trave incastrata all’estremo A e caricata all’altro estremo da una forza F dovuta al tiro della cinghia [fig. H3.4b]. id = 2 max +3 2 max In fase di progetto non si conoscono le dimensioni per cui risulta impossibile calcolare le tensioni. In questo caso si sostituiscono il momento flettente e il momento torcente con un ipotetico momento flettente ideale che produce nel materiale gli stessi effetti dei due momenti che agiscono in contemporanea. Il valore si calcola con la relazione: 3 M fid = M 2f + Mt2 4 [H3.6] Nel caso di un albero a sezione circolare piena, in cui Wf = pd3/32, il diametro d vale: d= 3 32M fid [H3.7] am F A l F (a) (a) (b) (b) H3.4 Rappresentazione dell’albero di un motore elettrico: a) schematica; b) convenzionale. 21 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali Se un solido è compresso, ma la forza F a cui è sottoposto non si trova sul suo asse, la sollecitazione è allora di presso-flessione [fig. H3.5a]. e σc Fa σf σf σf - σc σf + σc (a) Se lo stesso filo fosse piantato nel pavimento e lo stesso peso lo sollecitasse a compressione, probabilmente si avrebbero problemi di stabilità del carico [fig. H3.6b]. Quando un solido è sollecitato a compressione e il rapporto tra la sua altezza e la dimensione minima della sezione è maggiore di 10, esiste la possibilità che il solido elastico diventi instabile ed infletta lateralmente: si parla allora di carico di punta. La situazione di equilibrio instabile si può valutare sia in fase di progetto sia in fase di verifica con vari criteri; il più comodo è il metodo ω. Metodo ω (b) H3.5 Solido sottoposto a presso-flessione: a) schema di carico; b) diagrammi delle tensioni. Se si indica con e il disassamento della forza rispetto all’asse neutro, il momento flettente vale: Questo metodo consiste nell’adoperare l’equazione della compressione, moltiplicando il carico P per un coefficiente ω che dipende dalla snellezza del corpo (λ). L’espressione diventa: c M f = Fe Indicando con S la sezione retta del solido, le tensioni di flessione e compressione valgono rispettivamente: Mf Wf ; c = H3.2 Instabilità elastica λ= l0 ρmin [H3.9] La lunghezza libera d’inflessione l0 di un’asta lunga l si valuta in base ai seguenti vincoli: asta incastrata a un estremo e libera all’altro [fig. H3.7a], l0 = 2l; asta incernierata ai due estremi [fig. H3.7b], l0 = l; asta incastrata a un estremo e incernierata all’altro [fig. H3.7c], l0 = 0,7l; asta incastrata ai due estremi [fig. H3.7d], l0 = 0,5l. l0 l0 l Si immagini un filo di acciaio con diametro d = 5 mm e lungo l = 500 mm, pendente dal soffitto, che regge un peso pari a 100 N. Poiché il peso non è molto elevato, il filo è in grado di reggerlo senza problemi e si verificherà la condizione di equilibrio indicata nella figura H3.6a. [H3.8] dove P rappresenta il carico [N], S è la sezione resistente [mm2] e ω indica il coefficiente funzione della snellezza λ che si calcola con la seguente relazione: F S Nella figura H3.5b sono stati tracciati i diagrammi delle tensioni di compressione, di flessione e il diagramma ottenuto dalla somma vettoriale dei primi due, rappresentante la tensione totale. P S l0 f = = l0 Presso-flessione ¿5 (a) (a) P 500 22 (b) (c) H3.6 Solidi snelli: P (b) a) trave stabile sottoposta a trazione; b) trave instabile sottoposta a compressione. H3.7 Lunghezza libera d’inflessione di un’asta caricata di punta. (d) Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali unità H3 Nella tabella H3.2 sono indicate le espressioni del raggio d’inerzia minimo ρmin, per alcune sezioni comunemente utilizzate. Nella tabella H3.3 si possono leggere, a titolo di esempio, i valori di ω per acciai da costruzione S235, relativi a profilati semplici cavi, quadri, rettangolari o tondi. Tabella H3.2 – Espressioni del raggio d’inezia ρmin per le sezioni più comuni Rettangolare Circolare H3.3 Criteri di resistenza dei materiali Circolare cava d h Sollecitazioni statiche, dinamiche e a fatica b ρmin = D b 12 ρmin = Per valutare la capacità di un materiale di resistere alle forze applicate è necessario conoscere come queste ultime sono applicate. Quando il carico viene applicato in un tempo lungo, le sollecitazioni sono considerate statiche [fig. H3.8a]; se il tempo di sollecitazione è molto limitato la sollecitazione è dinamica [fig. H3.8b]. D D 4 min = D 2 +d 2 4 Tabella H3.3 – Valori di ω per acciaio da costruzione S235 (σam = 150 N/mm2) l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 1,00 1,00 1,00 1,03 1,06 1,10 1,16 1,22 1,31 1,44 1,61 1,82 2,06 2,34 2,65 2,98 3,34 3,72 4,14 4,58 5,03 5,52 6,03 6,57 7,14 7,73 1,00 1,00 1,01 1,03 1,06 1,11 1,16 1,23 1,32 1,45 1,63 1,84 2,09 2,37 2,68 3,02 3,38 3,76 4,18 4,62 5,08 5,57 6,08 6,63 7,19 1,00 1,00 1,01 1,03 1,07 1,11 1,17 1,24 1,33 1,47 1,65 1,86 2,12 2,40 2,71 3,05 3,41 3,80 4,22 4,67 5,13 5,62 6,14 6,69 7,25 1,00 1,00 1,01 1,04 1,07 1,12 1,17 1,24 1,34 1,48 1,67 1,89 2,14 2,43 2,74 3,08 3,45 3,84 4,27 4,72 5,18 5,67 6,19 6,74 7,31 1,00 1,00 1,01 1,04 1,07 1,12 1,18 1,25 1,36 1,50 1,69 1,91 2,17 2,46 2,78 3,12 3,49 3,88 4,31 4,77 5,22 5,72 6,24 6,79 7,38 1,00 1,00 1,01 1,04 1,08 1,13 1,18 1,26 1,37 1,52 1,71 1,94 2,20 2,49 2,81 3,16 3,53 3,92 4,35 4,81 5,27 5,77 6,30 6,84 7,44 1,00 1,00 1,02 1,05 1,08 1,13 1,19 1,27 1,38 1,53 1,73 1,96 2,22 2,52 2,84 3,19 3,56 3,96 4,40 4,85 5,32 5,82 6,36 6,90 7,50 1,00 1,00 1,02 1,05 1,09 1,14 1,20 1,28 1,40 1,55 1,75 1,99 2,25 2,55 2,88 3,23 3,60 4,01 4,44 4,90 5,37 5,87 6,41 6,96 7,55 1,00 1,00 1,02 1,05 1,09 1,14 1,20 1,29 1,41 1,57 1,77 2,01 2,28 2,58 2,91 3,27 3,64 4,05 4,49 4,94 5,42 5,92 6,46 7,02 7,61 1,00 1,00 1,03 1,06 1,10 1,15 1,21 1,29 1,42 1,59 1,79 2,04 2,31 2,61 2,95 3,30 3,68 4,09 4,53 4,99 5,47 5,98 6,52 7,08 7,67 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 23 24 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali Carichi Carichi Se poi il carico varia in intensità e verso (da positivo a negativo e viceversa) si è in presenza di sollecitazione a fatica, che è anche la più pericolosa [fig. H3.8c]. Tempo [min] Tempo [s] (b) Carichi (a) Affinché un particolare resista senza pericoli alle sollecitazioni esterne, deve essere sottoposto a tensioni inferiori al carico di resistenza a trazione tali da non superare il carico di proporzionalità. Si deve, quindi, determinare una tensione ammissibile per il materiale in esame che, in funzione del tipo di carico, permetta al materiale stesso di lavorare in tutta sicurezza. La tensione ammissibile si ricava con le relazioni: ~1/10 di secondo > 2 minuti carico di resistenza a trazione Rm; allungamento percentuale A%. Tempo [s] σ am = Rm ; gR (c) H3.8 Tempo e modo di applicazione dei carichi: a) statici; b) dinamici; c) a fatica. Se si vogliono determinare le dimensioni di un oggetto sottoposto a un carico si parla di calcolo di progetto; se sono noti le dimensioni e i carichi applicati e si vuole sapere se l’oggetto potrebbe rompersi o deformarsi, si parla di calcolo di verifica. ReL gS [H3.10] La tensione tangenziale ammissibile si assume in funzione della tensione normale σam: am (1/1000 ÷ 1) secondi σ am = = 0,577 [H3.11] am in cui gR e gS indicano i gradi di sicurezza assunti in base ai materiali e al tipo di carico. La tabella H3.4 riporta i valori dei gradi di sicurezza in relazione al tipo di carico preso come riferimento. Per calcolare il grado di sicurezza relativo ai carichi statici si può prendere come riferimento sia il carico Rm sia il carico ReL. Se i carichi sono dinamici o a fatica è opportuno prendere come riferimento il solo carico ReL. Carichi dinamici Tensioni ammissibili Ogni materiale d’interesse industriale possiede caratteristiche meccaniche deducibili dal diagramma carichi-allungamenti [fig. H2.3] e fornite dai manuali tecnici; le più importanti sono: Poiché i carichi dinamici sono più pericolosi di quelli statici, si devono utilizzare valori del grado di sicurezza gSd più elevati, se con gS si indica il valore letto nella tabella H3.4: g Sd = 1,5 g S carico di snervamento ReL (scritto anche Rs); [H3.12] Tabella H3.4 – Gradi di sicurezza gR = Rm/σam e gS = ReL/σam per carichi statici Materiale Acciaio Ghisa Altri materiali metallici Legname Stato gr gs Laminati, fucinati 2,3 ÷ 3 1,5 ÷ 2 Getti 3,2 ÷ 4,2 1,8 ÷ 2,5 Getti 7÷9 – Laminati, fucinati, estrusi 3÷4 2 ÷ 2,6 Getti 4 ÷ 5,2 2 ÷ 2,8 Travi e tavole 8 ÷ 10 –
