esempi di relazione

Questo è un esempio di relazione di laboratorio
RELATORE: prof. Paolo Gini
STUDIO DELLA LEGGE GENERALE DELLA DINAMICA
Obiettivi
L’obiettivo di questo esperimento è la verifica della validità della Legge Generale della Dinamica
che mette in relazione l’accelerazione di un corpo con la forza ad esso applicata. L’esperienza sarà
suddivisa in due parti: la prima con l’obiettivo di verificare la proporzionalità diretta tra forza e
accelerazione (a parità di massa), la seconda, di verificare che tra massa e accelerazione esiste un
legame di proporzionalità inversa.
1) Introduzione
Come è ben noto la Legge Generale della Dinamica (nota anche come Secondo Principio)
r
esprime la relazione tra forza ( F ) che agisce su di un corpo, massa (m) del corpo, e accelerazione
r
( a ) che il corpo acquista per effetto della forza. Questa relazione è vettoriale, ciò significa che se su
r
r
di un corpo agisce una forza F (non equilibrata) il corpo subirà un’accelerazione a con la stessa
r
r
direzione e lo stesso verso di F e con modulo proporzionale al modulo di F (la costante di
proporzionalità coincide con la massa inerziale).
Per verificare la legge è necessario verificare che, con massa costante, l’accelerazione è
proporzionale alla forza applicata (1^ parte) e che, con forza costante, l’accelerazione è
inversamente proporzionale alla massa.
La verifica viene effettuata utilizzando una rotaia a cuscino d’aria sulla quale si muove un
cavaliere che, partendo da fermo, accelera trainato da un pesetto mediante un filo che scorre in una
carrucola.
La rotaia a cuscino d’aria è costituita da un tubo metallico a profilo quadrato con fori praticati a
intervalli regolari su due superfici; un compressore immette aria ad elevata pressione nel tubo, l’aria
fuoriesce dai fori creando un cuscino sul quale il cavaliere può muoversi con attrito ridotto (grazie
al cuscino d’aria il cavaliere non striscia sulla superficie della rotaia ma scivola sullo strato d’aria
che si forma tra la sua superficie inferiore e la rotaia, in tal modo non si ha a che fare con attrito
radente ma con l’attrito viscoso che, per le basse velocità raggiunte, è meno intenso).
Per l’esperimento è necessario conoscere con buona precisione la lunghezza degli spazi
percorsi dal cavaliere e i tempi impiegati per percorrerli; la misura dei tempi è effettuata mediante
un cronometro digitale (al centesimo di secondo) collegato a due fotocellule (START e STOP), il
cronometro viene azionato dal passaggio davanti alla fotocellula START di una bandiera rigida
montata sul cavaliere, il passaggio davanti alla fotocellula STOP arresta il cronometro.
La distanza fra le fotocellule, misurata mediante un’asta millimetrata, costituisce lo spazio percorso
dal cavaliere.
Il cavaliere viene trainato da una massa ad esso collegata mediante un filo (supposto ideale) che
scorre in una carrucola; il cavaliere è inizialmente tenuto in posizione da un elettromagnete.
2) Misure e dati sperimentali
Spiegare come sono eseguite le misure e perché si opera in quel particolare modo; è necessario
indicare gli accorgimenti utilizzati per migliorare la precisione e l’affidabilità delle misure. È
opportuno giustificare il numero di misure effettuate.
L’esperimento è suddiviso in due parti, la prima ha come scopo la verifica della proporzionalità
diretta tra forza applicata e accelerazione, la seconda la verifica della proporzionalità inversa fra
massa e accelerazione.
1^ Parte
In questa parte dell’esperimento si deve mantenere costante la massa che si muove, variare la
forza e misurare l’accelerazione che si ottiene.
Per poter variare la forza trainante mantenendo costante la massa si procede caricando il
cavaliere, nella prima prova, con alcune masse aggiuntive; nelle prove successive queste masse
vengono spostate una alla volta dal cavaliere al traino, in questo modo la massa complessiva in
movimento non cambia ma in ogni prova la parte di massa che funge da traino varia in modo noto.
Per misurare l’accelerazione è necessario fare alcune ipotesi sul moto: si deve supporre che il
sistema (sottoposto ad una forza che non cambia nel tempo) compia un moto rettilineo
uniformemente accelerato; con questa ipotesi la legge per calcolare lo spostamento è:
1
(1)
∆s = v0 t + at 2
2
Se si fa in modo che il sistema parta da fermo (v0 = 0), che il tempo sia misurato dall’istante in
cui il sistema inizia a muoversi e che lo spazio sia misurato dal punto in cui il sistema parte, la
precedente equazione diventa:
1
(2)
∆s = at 2
2
da cui si ottiene:
2 ⋅ ∆s
a= 2
(3)
t
Questa relazione permette facilmente di calcolare l’accelerazione misurando lo spazio percorso
e il tempo impiegato.
Per poter rispettare le ipotesi fatte è necessario posizionare molto accuratamente la fotocellula
START, in modo che sia azionata immediatamente dopo la partenza del cavaliere. Si deve
comunque osservare che, in realtà, la fotocellula non si trova esattamente in corrispondenza del
punto in cui il cavaliere ha velocità nulla, ciò fa si che in realtà v0 sia diverso da zero (anche se è
molto piccolo) e quindi l’accelerazione calcolata utilizzando la formula (3) sia sovrastimata (più
grande di quella reale).
L’esperimento è stato effettuato utilizzando due diversi spostamenti (∆S1=28,0±0,1 cm;
∆S2=63,0±0,1 cm), allo scopo di verificare se vi sia una dipendenza dalla distanza percorsa.
Per ciascuna lunghezza sono state effettuate 5 prove con forze diverse, ogni prova è stata
ripetuta tre volte per migliorare la precisione sulla misura del tempo.
L’incertezza sull’accelerazione è stata valutata utilizzando la formula per la propagazione degli
errori nel prodotto:
∆t 
 ∆s
(4)
∆a = a
+2 
t 
 s
La forza è stata calcolata con la relazione F = mg e la sua incertezza è stata stimata pari all’1%
del suo valore.
I dati ottenuti sono riportati nelle tabella 1 e 2 e nel grafico 1.
Tabella 1
massa sistema =
Spostamento =
F (N)
∆F (N)
0,098
0,001
0,196
0,002
0,294
0,003
0,392
0,004
0,491
0,005
315
0,280
±
±
t (s)
1,34
1,33
1,33
0,95
0,95
0,95
0,78
0,77
0,78
0,67
0,67
0,67
0,60
0,60
0,60
3
0,001
g
m
tmedio (s)
∆t (s)
a (m/s2)
∆a (m/s2)
1,33
0,01
0,315
0,006
0,95
0,01
0,62
0,02
0,78
0,01
0,93
0,03
0,67
0,01
1,25
0,04
0,60
0,01
1,56
0,06
tmedio (s)
∆t (s)
a (m/s2)
2
∆a (m/s )
2,01
0,01
0,312
0,004
1,42
0,01
0,62
0,01
1,17
0,01
0,93
0,02
1,01
0,01
1,24
0,03
0,91
0,01
1,52
0,04
Tabella 2
massa sistema =
Spostamento =
F (N)
∆F (N)
0,098
0,001
0,196
0,002
0,294
0,003
0,392
0,004
0,491
0,005
315
0,630
t (s)
2,01
2,01
2,01
1,43
1,42
1,42
1,17
1,17
1,16
1,01
1,01
1,01
0,91
0,91
0,91
±
±
3
0,001
g
m
Massa costante
1,8
1,6
1,4
1,2
1
a
L = 0,28
L = 0,63
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
F (N)
Figura 1
2^ Parte
In questa parte dell’esperimento si deve mantenere costante la forza, variare la massa e
misurare l’accelerazione che si ottiene.
Per quanto riguarda la misura dell’accelerazione valgono le considerazioni fatte nel punto
precedente; la massa viene variata aggiungendo masse al cavaliere, la forza di traino viene sempre
fornita da una piccola massa (m = 0,010 kg)che non viene modificata durante le misure.
In questo caso, l’esperimento è stato effettuato utilizzando solo lo spostamento ∆S2 = 63,0±0,1
cm, e sono state eseguite 4 prove con masse diverse, ogni prova è stata ripetuta tre volte per
migliorare la precisione sulla misura del tempo.
Si deve osservare che nell’ultima prova (eseguita utilizzando due cavalieri uniti per raddoppiare
la massa) la forza fornita dal porta-masse non era sufficiente per mettere in moto il sistema, di
conseguenza si è dovuto provvedere a modificare la massa di traino, di conseguenza la quarta prova
non è stata eseguita mantenendo la forza costante e quindi i suoi risultati non sono comparabili con
quelli delle prove precedenti, quindi nelle tabelle sono riportati solo i dati relativi alle prime tre
prove. I dati ottenuti sono riportati nella tabella 3 nella figura 2.
Tabella 3
Traino: massa (10 ± 1%) g
Spazio percorso: (0,630 ± 0,001) m
M (g)
∆M (g)
215
2
445
4
659
7
t (s)
1,68
1,68
1,68
2,38
2,38
2,37
2,86
2,85
2,84
t medio (s)
∆t (s)
a (m/s2)
2
∆a (m/s )
1,68
0,01
0,446
0,006
2,38
0,01
0,223
0,002
2,85
0,01
0,155
0,001
Figura 2
Forza costante
0,500
0,450
0,400
0,350
a
0,300
0,250
Serie1
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
m (kg)
3) Analisi dei dati
Utilizzo delle tecniche di interpolazione (retta di massima e minima pendenza, metodo dei minimi
quadrati,…) per determinare le eventuali relazioni matematiche fra le grandezze fisiche o per
verificare le leggi/ipotesi.
a) Analisi dati prima parte
Dal grafico 1 si può osservare come i dati sembrino allinearsi molto bene lungo una retta
passante per l’origine, ciò confermerebbe l’ipotesi che tra la forza e l’accelerazione sia presente una
relazione di proporzionalità diretta; l’ipotesi può essere verificata in due modi:
Analizzando se il rapporto fra forza e accelerazione è costante entro le incertezze (mediante una
tabella);
Eseguendo una interpolazione lineare.
Primo metodo: analisi del rapporto tra forza e accelerazione
Riportiamo in una tabella (Tabella 4) i valori del rapporto F/m con la relativa incertezza.
L = 0,280 m
F (N)
0,098
0,196
0,294
0,392
0,491
∆F (N)
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
a (m/s2)
0,32
0,62
0,93
1,25
1,56
2
∆a (m/s )
0,006
0,02
0,03
0,04
0,06
F/a
0,311
0,32
0,32
0,31
0,31
∆(F/a)
∆( )
0,009
0,01
0,01
0,01
0,02
F/a
0,31
0,32
0,32
0,32
0,32
∆(F/a)
∆( )
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
L = 0,630 m
F (N)
0,098
0,196
0,294
0,392
0,491
∆F (N)
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
a (m/s2)
0,312
0,62
0,93
1,24
1,52
2
∆a (m/s )
0,004
0,01
0,02
0,03
0,04
Tabella 4
Analizzando la tabella si osserva che, sia per la lunghezza di 28,0 cm che per quella di 63,0 cm, il
rapporto fra forza e massa rimane costante (e pari a circa 0,315 kg) entro le incertezze sperimentali,
ciò consente di affermare che:
La forza è direttamente proporzionale all’accelerazione del corpo;
Il rapporto di proporzionalità non sembra dipendere dalla lunghezza del percorso in modo
molto significativo (si ottiene sostanzialmente lo stesso rapporto con entrambe le lunghezze,
anche se con la lunghezza maggiore ci sono indicazioni del fatto che tale rapporto sembra essere
leggermente maggiore);
Il rapporto fra forza e accelerazione coincide, entro le incertezze sperimentali, con la massa del
sistema.
Secondo metodo: interpolazione lineare
È necessario conoscere le tecniche statistiche di interpolazione lineare (vedi dispense teoriche). Per
eseguire l’interpolazione lineare dei dati si può utilizzare direttamente il foglio di calcolo Excel.
Per utilizzare l’interpolazione (o Regressione) lineare in excel si procede nel modo seguente:
A) selezionare un intervallo di tre celle in colonna
B) selezionare dal menù Inserisci formula REG.LIN
C) Compare una finestra di dialogo; nella casella y_nota inserire l’intervallo dei valori x da usare,
in questo esempio i valori di aceelerazione
D) Nella casella x_nota inserire l’intervallo dei valori y (la forza)
E) Nella quarta casella scrivere VERO
F) Concludere premendo contemporaneamente i tasti CTRL+MAIUSC+INVIO (in questo modo la
formula è inserita come matrice
Nella prima cella comparirà il coefficiente angolare della retta
Nella seconda compare q
Nella terza compare il coefficiente di correlazione R: esso indica se i dati approssimano bene una
retta (deve essere molto vicino a ± 1)
Eseguiamo l’interpolazione lineare dei dati, cioè cerchiamo con metodi di calcolo statistico la retta
che meglio approssima i dati sperimentali. Effettuiamo i calcoli solo con la distanza d = 0,280 m,
considerando come variabile x l’accelerazione e come y la forza:
F (N)
0,098
0,196
0,294
0,392
0,491
∆F (N)
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
a (m/s2)
0,32
0,62
0,93
1,25
1,56
∆a (m/s2)
0,006
0,02
0,03
0,04
0,06
m=
q=
R=
0,314
0,0014
0,9999
Dall’elaborazione risulta un coefficiente di correlazione R = 0,9999, che indica che i dati
approssimano in modo ottimo una retta con coefficiente angolare m = 0,314 (compatibile con la
massa del sistema) e intercetta q = 0,0014 (compatibile con 0).
Si può concludere che la forza e l’accelerazione sono direttamente proporzionali e che la costante di
proporzionalità rappresenta la massa del sistema.
b) Analisi dati seconda parte
Dal grafico 2 si può osservare come i dati sembrino disporsi lungo un ramo di iperbole, ciò
permette di avanzare l’ipotesi che fra massa e accelerazione esista una relazione di proporzionalità
inversa.
Per verificare l’esattezza della nostra ipotesi calcoleremo il prodotto della massa con
l’accelerazione e controlleremo se il risultato è costante entro le incertezze, in caso affermativo
confronteremo il risultato con la forza applicata.
Tabella 5
M (kg)
0,215
0,445
0,659
∆M (kg)
0,002
0,004
0,007
a (m/s2)
0,446
0,223
0,155
2
∆a (m/s )
0,006
0,002
0,001
M*a (N)
0,096
0,099
0,102
∆M*a (N)
0,002
0,002
0,002
F (N)
0,098
0,098
0,098
La tabella mostra che il prodotto della massa con l’accelerazione non è esattamente costante entro le
incertezze sperimentali, anche se i valori ottenuti si discostano di poco dal risultato atteso.
4) Conclusioni
I risultati della prima parte dell’esperienza sono in buon accordo con l’ipotesi che, mantenendo
la massa costante, la forza si direttamente proporzionale all’accelerazione; entrambe le prove,
eseguite utilizzando spostamenti diversi, forniscono un rapporto F/a costante entro le incertezze,
inoltre il valore medio di tale rapporto, ricavato dal complesso delle due prove, vale
F
= (0,316 ± 0,010) , un valore in ottimo accordo con il valore della massa del sistema
a media
(m = 0,315±0,003 kg).
Si può ragionevolmente affermare che la prima parte dell’esperienza conferma l’ipotesi F = Ma
con grande precisione (vista anche l’entità molto ridotta delle incertezze percentuali e lo scarto
molto piccolo fra i risultati delle varie misure).
( )
I risultati della seconda parte dell’esperienza sono meno soddisfacenti, dato che non è stata
ottenuta la prevista costanza del prodotto massa – accelerazione.
In particolare è necessario trovare una spiegazione per l’aumento del prodotto all’aumentare
della massa; questo tipo di risultato no è spiegabile con l’azione delle forze d’attrito, dato che esse
dovrebbero aumentare al crescere della massa del cavaliere (il cuscino d’aria si “schiaccia”) e
quindi dovrebbero produrre una accelerazione minore (a parità di forza trainante, aumentando
l’attrito, l’accelerazione deve diminuire) e quindi un prodotto massa –accelerazione che decresce.
Una possibile spiegazione del fenomeno potrebbe essere cercata nel fatto che, in realtà,
all’inizio dello spostamento il cavaliere ha una piccola velocità, quindi l’accelerazione calcolata da
noi è sovrastimata; l’effetto dovrebbe essere maggiore per piccole masse, cioè quando, avendo
un’accelerazione maggiore, la velocità v0 è più grande.