Compiti di preparazione al nuovo argomento: le

Compiti di preparazione al nuovo argomento: le funzioni circolari
Misura in radianti
Una circonferenza di raggio r ha lunghezza 2r, dato che, per definizione, il rapporto tra la
lunghezza di una qualsiasi circonferenza e il proprio diametro viene indicato con il simbolo , ed è
un numero irrazionale:
  3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
Poiché tutte le circonferenze sono simili (anzi, addirittura omnotetiche) tale rapporto non dipende
da quale circonferenza si considera, è una specie di "costante universale" della matematica.
Insomma: la circonferenza è poco più di tre volte ( volte) il proprio diametro: 2r.
Si definisce misura in radianti di un angolo il rapporto tra l'arco di una qualsiasi circonferenza che
abbia centro nel vertice dell'angolo e il raggio corrispondente:
B
A

r
 = lunghezza dell'arco AB / raggio =
Ne consegue che l'angolo giro ha ampiezza
L'angolo piatto ha ampiezza .
L'angolo retto ha ampiezza /2.
In breve si costruisce la tabella seguente.
deg 360° 180° 90°
60°
45°
rad
2
/2
/3
/4

AB
r
2 r
= 2.
r
30°
/6
18°
/10
15°
1°
/12 /180
In definitiva per passare da gradi a radianti si moltiplica la misura in gradi per /180°; per passare
da radianti a gradi si moltiplica la misura in radianti per 180°/.
1° = /180 rad  0.017 rad
1 rad = 180°/ = 57.3°
PROBLEMA. Qual è la lunghezza dell'arco di circonferenza della figura seguente?
B
A
/3
12 cm
Risulta AB = 12·/3  12.6 cm. In generale la lunghezza di un arco è uguale al
prodotto tra la misura (in radianti!) dell'angolo al centro e la lunghezza del raggio.
Equazioni parametriche della circonferenza
Passate all'ambiente Parametric, e settate Mode, Angle, Radian.
D'ora in poi le misure degli angoli saranno prese in radianti.
Per tracciare la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 (chiamata circonferenza goniometrica)
occorre impostare le equazioni parametriche
x = cos(t)
y = sin(t)
Impostate Window nel seguente modo:
tmin = 0
tmax = 2
tstep = 0.05
xmin = 1
xmax = 1
xscl = 1
ymin = 1
ymax = 1
yscl = 1
Non appare una circonferenza, ma un'ellisse (è il solito problema del piano monometrico). Con F2
ZoomSqr dovrebbe apparire finalmente una circonferenza.
1. Quali equazioni parametriche danno la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1.5?
2. Quali equazioni parametriche danno la circonferenza di centro (0,0) e raggio 0.8?
3. Quali equazioni parametriche danno la circonferenza di centro (1,1) e raggio 1?
4. Quali equazioni parametriche danno la circonferenza di centro (2,1) e raggio 3?
5. In generale, quali equazioni parametriche danno la circonferenza di centro (x0,y0) e raggio r?
6. Che cosa succede se si imposta tstep = /3? Perché?
7. Sfruttando le equazioni parametriche di una circonferenza, come si fa a disegnare un pentagono?
E un dodecagono?
8. Determinare le coordinate cartesiane dei vertici dei poligoni regolari nelle seguenti figure.
9. Qual è il perimetro p4 di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r? E il perimetro P4
di un quadrato circoscritto? Dalla disuguaglianza
p4 < 2r < P4,
dividendo tutto per 2r, ricavare una limitazione per .
23.
Ricordate che d'ora in avanti ragioneremo solo in radianti
1. Abbiamo usato in lungo e in largo le funzioni cos(x) e sin(x). È giunto il momento di
puntualizzare: che cos'è il coseno di un angolo? Che cos'è il seno di un angolo? Ciascuno provi a
scrivere una definizione, coerente con quello che ha capito finora, che potrebbe star bene in un libro
di testo. Le leggiamo tutte.
2
2. Un moto armonico di ampiezza A e pulsazione  è, per definizione, la proiezione su un diametro
del moto circolare uniforme intorno ad una circonferenza di raggio A e velocità angolare . Per
“vedere” un tale moto impostare per esempio le equazioni parametriche
 x  4 cos   t 
 
 x  4 cos   t 

2 

 
moto circolare uniforme: 
moto armonico corrispondente: 
2 
 y  4 sin   t 

y  0

2 
3. Si analizzi il grafico della funzione y=sin(x) (un grafico di questo tipo si chiama sinusoide).
Rispondere alle seguenti domande.
 Qual è l'ampiezza della sinusoide? Cioè: tra quali valori oscilla sull'asse y?
 Qual è il periodo della sinusoide? Cioè: qual è l'intervallo sull'asse x che, ripetuto all'infinito
verso destra e verso sinistra dà l'intera sinusoide?
 Quanti sono gli zeri di queste funzioni? Cioè: quante volte intersecano l'asse x? In quali
punti?
 Dov'è positiva questa funzione? Dov'è negativa?
 Dove sono i massimi di questa funzione? E i minimi?
 Dov'è crescente? Dov'è decrescente?
 Dove sono i flessi? Dov'è concava verso l'alto? E verso il basso?
4. Quale trasformazione muta il grafico di sin(x) nel grafico di cos(x)?
5. Quale trasformazione muta il grafico di y=sin(x) nel grafico di y=sin(2x)? E y=sin(3x)?
6. Quale trasformazione muta il grafico di y=sin(x) nel grafico di y=2sin(x)? E y=3sin(x)?
7. Quale trasformazione muta il grafico di y=sin(x) nel grafico di y=sin(x+1)? E y=sin(x1)? E
y=sin(x)+1? E y=sin(x)1?
24.
Riassunto
1) La funzione (x) = sin(x) ha per derivata la funzione '(x)=cos(x).
2) La funzione (x) = cos(x) ha per derivata la funzione '(x) = sin(x).
3) Il grafico della funzione (x) = sin(Bx) si ottiene da quello di sin(x) mediante una dilatazione
lungo l'asse x di fattore 1/B. Quindi, per esempio, sin(2x) è dilatata di fattore 1/2 (cioè contratta di
fattore 2); sin(x/2) è dilatata di fattore 2. Il periodo T cambia di conseguenza secondo la relazione
2
2
T=
e di conseguenza
B=
.
B
T
sin(x) e sin(2x)
sin(x) e sin(x/2).
In particolare se B = 1, allora sin(x) = sin(x).
4) Il grafico di (x) = Asin(x) si ottiene da sin(x) mediante una dilatazione lungo l'asse y di fattore
A. Il numero A (che per sin(x) vale 1) è chiamato ampiezza della sinusoide.
3
sin(x), 2sin(x), 3sin(x).
5) (Cose nuove). Il grafico di sin(x+C) si ottiene dal grafico di sin(x) mediante una traslazione
(orizzontale) di vettore [C, 0].
sin(x) e sin(x0.5)
sin(x) e sin(x+0.5)
ATTENZIONE. Il grafico di sin(Bx+C) NON si ottiene da sin(Bx) mediante una traslazione di
vettore [C, 0], bensì mediante una traslazione di vettore [C/B, 0]. Infatti possiamo scrivere
C 
 
sin(Bx+C) = sin  B  x   
B 
 
da cui si vede che
I trasformazione:
x  X1 = x+C/B
traslazione di vettore [C/B, 0]
II trasformazione:
X1  BX1
dilatazione orizzontale di fattore 1/B
Allora conviene forse utilizzare il parametro C in un altro modo:
sin(B(x+C))
in modo che venga messa in evidenza prima la traslazione e poi la dilatazione orizzontale.
Esempio. Il grafico seguente
ha periodo T = 4, quindi B = 2/4 = /2. La traslazione orizzontale è di vettore [1,0] quindi
l'equazione è


sin   x  1  .
2

5) Il grafico di sin(x) + D si ottiene dal grafico di sin(x) mediante una traslazione verticale di vettore
[0, D].
4
sin(x) e sin(x)+1
Conclusioni
La più generale sinusoide ha equazione y = Asin(Bx+C)+D. Si ottiene da sin(x) mediante:
1) dilatazione orizzontale di fattore 1/B
2) dilatazione verticale di fattore A
3) traslazione di vettore [C/B, D]
Dalla equazione al grafico
Come è fatto il grafico di (x) = y = 2+2sin(2x+2)?
Dal grafico alla equazione
Qual è l'equazione della seguente funzione?
Il centro dell'oscillazione è 2 (oscilla da 5 a 1), l'ampiezza è 3 (la metà della differenza 1(5)),
quindi è del tipo
(x) = 2 + 3sin()
Il periodo è 8 (la distanza orizzontale tra i due massimi), quindi B = 2/8 = /4. Possiamo vedere
una traslazione orizzontale di 2 (oppure di 6, è lo stesso). Quindi
(x) = 2 + 3sin(/4(x+2)).
5
Esercizi
1. Riconoscere l'equazione dei seguenti grafici sinusoidali.
2. Tracciare il grafico (senza calcolatrice!) delle seguenti funzioni
(x) = 0.5 sin(x–/2) + 1
(x) = 5 sin(2x) – 1
(x) = –2sin((x+1)) + 2
(x) = 2–2sin(x)
(x) = 1+3sin(/2(x+1))
8. Determinare una funzione sinusoidale di periodo T=8 che oscilla tra –2 e 6, e tale che (0)=1.
25.
Esercizi e problemi
1. Determinare le equazioni delle funzioni rappresentate nei grafici seguenti.
2. Tracciare (mostrando di aver capito il ruolo dei coefficienti A, B, C, D) i grafici delle seguenti
funzioni.
(x) = 5+sin(x+/2)
(x) = 2+2cos(2x)
(x) = 1+sin(x/4)
(x) = 4sin(x)
(x) = 4+2sin(/2(x1))
3. Analizzare la funzione (x) = sin(x)2: è una sinusoide? Se sì esprimerla nella forma
(x)=Acos(Bx)+D.
4. Analizzare la funzione (x) = 5sin(x)+12cos(x). Qual è la sua ampiezza?
5. Mediante qualche tentativo, cercare di capire in che modo l'ampiezza della funzione
(x)=asin(x)+bcos(x) dipende da a e da b.
6
6. La funzione (x):=3+4sin(x)cos(x) è una sinusoide: esprimerla nella forma Asin(B(x+C))+D.
7. Qual è la pendenza massima della funzione (x) = sin(2x)? E della funzione sin(5x)? E della
funzione sin(x/2)? Qual è la derivata di sin(2x)? E di sin(5x)? E di sin(x/2)?
8. Determinare le coordinate cartesiane dei vertici dei poligoni regolari nelle seguenti figure.
9. Risolvere le equazioni trigonometriche
sin(x) = 1/2
cos(x) = –1
sin(x) = 1
cos(x) = 1/2
sin(x) = 1/2
cos(x) = 1
sin(x) = 1
cos(x) = 1/2
10. Alle nostre latitudini il Sole sorge in un orario variabile tra le 4.30 (21 giugno, 173° giorno
dell’anno) e le 7.30 (21 dicembre, 356° giorno dell’anno). Nell’ipotesi che l’andamento sia
sinusoidale esprimere l’ora di levata del Sole in funzione dei giorni dell’anno.
11. Per quali valori di k l'equazione 4sin(x)+3cos(x) = k ammette soluzioni?
12. Risolvere le seguenti disequazioni.
sin(x) > 1/2
cos(x) < 1/2
sin(x) >0
sin(x)cos(x)>0.
26.
1. Risolvere le equazioni
(approssimare)
3+2sin(/2x) = 4
(simbolico)
sin(x) = 1
52cos(x) = 2
sin(x) = 1/2
(simbolico)
cos(x) = 1
cos(x) = 1/2
(approssimare)
tan(x) = 2
tan(x) = 10
(simbolico)
tan(x) = 1
tan(x) = 3 3
(approssimare)
sin(x) = 0.2
cos(x) = 0.7
2. Per quali valori di k le seguenti equazioni ammettono soluzioni?
sin(x) = k
2sin(x) = k
5+3cos(4x+23) = k
4+3cos(/4x) = 1
sin(x) = 3 2
cos(x) =  3 2
tan(x) = 5
tan(x) = 3
sin(x) = 0.99
sin(x) + cos(x) = k
3. TI-89. Andare in Parametric, impostare
xt1 = cos(t)
yt1 = sin(t)
xt1 = cos(t)
yt2 = 0
Assicurarsi che in F1, Format sia impostato Graph order SIMUL. Impostare per entrambe le
equazioni F6, Style PATH.
In Window impostare tmin=0, tmax=100, tstep=0.05, xmin= 1, xmax=1, ymin= 1, ymax=1, F2
ZoomSqr.
Si vede così in modo chiaro il moto circolare uniforme e il corrispondente moto armonico sull'asse
x. Che cosa si deve fare se si vuole rendere più rapido il moto?
4. Un moto armonico (per esempio sull'asse x) ha equazione x = Acos(t). Poiché la fase è 0, parte
proprio dal punto (A, 0). A (per esempio in metri) è l'ampiezza del moto armonico,  è la
7
pulsazione, e come al solito (pensate al corrispondente moto circolare uniforme) il periodo del
moto è T = 2/ (per esempio in secondi).
5. Qual è l'equazione di un moto armonico di ampiezza A = 5 cm e periodo T = 2 s? (È circa il moto
armonico del pendolo).
6. Qual è la derivata rispetto a t (cioè la velocità) di x = Acos(t)? Come varia la velocità in un
moto armonico?
7. Si consideri il moto armonico x = 10cos(2t), che oscilla tra 10 m e 10 m. Tra quali valori oscilla
la sua velocità (in m/s)? Quando parte la velocità è 0, quando passa per l'origine la sua velocità è
massima: in quale punto e in quale istante la sua velocità è la metà della velocità massima?
27.
Moto armonico
Un moto armonico oscilla tra 10 e 10 con periodo 4 s, partendo dal punto (10,0). La legge oraria è
x(t) = 10cos(/2·t). Poiché la derivata è
x'(t) = 5sin(/2·t)
la sua velocità oscilla tra 5 e 5 ( 15.7 m/s). La velocità massima viene raggiunta ogni volta che
transita dall'origine, quindi agli istanti t = 1 s, 3 s, 5 s, 7 s, 
Verificare empiricamente questo fatto prendendo un intervallo di tempo via via più piccolo intorno
a t = 1 s (per esempio da 0.9 a 1.1, da 0.99 a 1.01, da 0.999 a 1.001), calcolando la posizione in
ciascuno dei due istanti considerati, calcolando il relativo rapporto x/t e confrontandolo con x'(1).
Poiché la derivata seconda è
x"(t) = 2.52 sin(/2·t)
la sua accelerazione oscilla tra 2.52 e 2.52  24.7 m/s2. L'accelerazione massima viene raggiunta
ogni volta che transita da un estremo, quindi agli istanti t = 2 s, 4 s, 6 s, .
Verificare empiricamente questo fatto prendendo un intervallo di tempo via via più piccolo intorno
a t = 2 s (per esempio da 1.9 a 2.1, da 1.99 a 2.01, da 1.999 a 2.001), calcolando la velocità in
ciascuno dei due istanti considerati, calcolando il relativo rapporto x/t e confrontandolo con
x"(2).
28.
Lavoro sulla produzione di musica utilizzando solo la matematica e  il software GOLDWAVE
(vedi http://www.goldwave.com/)
Preliminari
Un suono sinusoidale di frequenza  (misurata in Hz = 1/s), poiché =1/T (T è il periodo) è
descritto dalla funzione
sin(2t)
Le frequenze della scala musicale dodecafonica occidentale (l'intervallo tra un Do e il Do
successivo è diviso in 12 note chiamate semitoni) sono così distribuite.
8
Rifacendoci al fenomeno del suono e in particolar modo alla voce maschile e femminile, ciò che fondamentalmente determina la maggior
acutezza della voce, ossia l'altezza del suono, è proprio la frequenza. Infatti la frequenza nella voce maschile varia tra i 100 e 125 Hz mentre per
quella femminile tra i 200 e 250 Hz. Diremo quindi che quest'ultima ha un altezza (da non confondere con l'intensità o volume del suono) che è
circa il doppio di quella maschile. Similmente analizzando i 7 Do presenti nella tastiera di un pianoforte notiamo che il primo Do, il più grave ha
una frequenza di 32 Hz (la corda del pianoforte oscilla 32 volte al sec) che è proprio la metà del Do successivo, e questo è metà del terzo e cosi
via...
Do della prima
ottava
32 Hz
Do della prima ottava
Do della seconda
ottava
64 Hz
Do della terza
ottava
128 Hz
Do della quarta
ottava
256 Hz
Do della quinta
ottava
512 Hz
Do della sesta
ottava
1024
Hz
Do della settima
ottava
2048
Hz
Do dell'ultima
ottava
4096
Hz
Do della seconda ottava
Si usa il simbolo # per indicare "+1 semitono" e il simbolo b per indicare "1 semitono". Così Do#
significa "1 semitono sopra il Do" e Sib significa "1 semitono sotto il Si".
Consideriamo ora la quarta ottava. Sapendo che il Do4 ha frequenza 256 Hz e che il Do5 ha
frequenza 512 Hz, determinare la frequenza di tutte le note della quarta ottava.
Do#
Mib
Fa#
Lab
Sib
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
Ricordare che per salire di un semitono occorre moltiplicare la frequenza per un numero costante k;
poiché dopo 12 semitoni la frequenza è raddoppiata, tale fattore è k = 12 2 .
Le corrispondenti funzioni sinusoidali sono dunque:
9
Do4 sin(2·256t) = sin(1608t)
 (completare)
Do5 sin(2·512t) = sin(3217t)
Il programma Goldwave, che vi mostrerò martedì prossimo, è in grado di trasformare in suono la
funzione.
29.
Le cosiddette formule di addizione sono le seguenti
sin(+) = sin()cos() + cos()sin()
sin() = sin()cos()  cos()sin()
cos(+) = cos()cos()  sin()sin()
cos() = cos()cos() + sin()sin()
È dato per scontato che uno studente di liceo "scientifico" le conosca a memoria. Secondo me non è
necessario, ci sono sulla calcolatrice (tExpand e tCollect).
I valori simbolici di seno e coseno (che al liceo "scientifico" occorre conoscere a memoria) sono
(almeno) i seguenti.
0
/6 = 30°
/4 = 45°
/3 = 60°
/2 = 90°

1
cos()
3
2
1
0
2
2
2
1
sin()
2
3
0
1
2
2
2
1. Verificare (simbolicamente) che sin(30°+60°) = sin(30°)cos(60°)+cos(30°)sin(60°).
2. Verificare (simbolicamente) che cos(30°+60°) = cos(30°)cos(60°)sin(30°)sin(60°).
3. Utilizzando l'opportuna formula di addizione verificare che sin(90°) = cos().
4. Utilizzando l'opportuna formula di addizione verificare che cos(180°) = cos().
5. Utilizzando un'opportuna formula di addizione calcolare il valore simbolico di sin(75°) e
cos(75°) (suggerimento: 75° = 30°+45°).
6. Utilizzando un'opportuna formula di addizione calcolare il valore simbolico di sin(15°) e
cos(15°) (suggerimento: 15° = 45°30°).
7. Si chiamano formule di duplicazione le seguenti:
sin(2) = 2sin()cos()
cos(2) = cos()2  sin()2
Come sono state ottenute? (suggerimento: 2 = +)
8. Tracciare con la TI-89 il grafico di sin(10x)+sin(11x): qual è il periodo?
9. Tracciare con la TI-89 (in ZoomDec) il grafico di una sinusoide di periodo T = 0.1. Che cosa si
vede?
10. Tracciare e spiegare il grafico di sin(x2).
sin  x 
11. Tracciare e spiegare il grafico di
.
x
12. Tracciare e spiegare il grafico di xsin(x).
13. Tracciare e spiegare il grafico di |cos(x)|.
13. Tracciare e spiegare il grafico di sin(2x)·e0.2x.
14. Difficile. Che funzione è?
10
30.
Il compito in classe avrà per oggetto:
1) Le funzioni sin(x) e cos(x): segno, zeri, crescere o decrescere, concavità verso l'alto o verso il
basso, massimi e minimi, flessi.
2) Le funzioni Acos(B(x+C))+D, Asin(B(x+C))+D
3) Equazioni e disequazioni del tipo sin(x)=k, cos(x)=k, sin(x)>k, cos(x)>k, Acos(B(x+C))+D=k
Asin(B(x+C))+D=k. Per quali valori di k l'equazione Asin(B(x+C))+D = k ammette soluzioni?
4) Derivata di cos(x), sin(x), Acos(B(x+C))+D, Asin(B(x+C))+D. Equazione di rette tangenti.
5) Moto armonico: posizione, velocità, accelerazione.
6) Formule di addizione: trasformare acos(x)+bsin(x) in una funzione seno (o coseno); per quali
valori di k l'equazione acos(x)+bsin(x) = k ammette soluzione? Dato un punto (x, y) e un angolo ,
determinare le coordinate cartesiane del punto ruotato intorno al centro O di .
Esercizi e problemi
1. Ruotare (5,2) di 100° intorno ad O. 1. Ruotare (5,2) di 100° intorno ad O.
2. Applicare le formule di addizione per calcolare tan(15°) e tan(75°).
3. Se cos(+)=coscossinsin, qual è l'espressione di cos()?
4. Se sin(+)=cossin+sincos, qual è l'espressione di sin()?
5. Un punto A(x, y) viene ruotato di un angolo  intorno ad O, e si ottiene il punto
A'(xcos()ysin(), xsin()+ycos()). Come si semplificano le coordinate di A' se =90°? E se
=90°? E se =180°?
6. Ruotare (2,1) di 45° intorno al punto (1,3).
7. In una circonferenza di raggio r si traccia una corda AB di lunghezza b, con 0  b 2r: qual è
l'ampiezza di un angolo alla circonferenza? Qual è l'ampiezza dell'angolo al centro?
8. In una circonferenza di raggio r una corda sottende un angolo al centro di ampiezza , con
0    180°. Qual è la lunghezza della corda?
9. Un moto armonico ha equazione x(t) = Acos(t). Qual è l'accelerazione in funzione del tempo?
10. Un moto circolare uniforme ha equazione
 x(t )  cos(t )

 y(t )  sin(t )
Come varia la velocità? Quanto vale il modulo della velocità?
11. Un moto nel piano ha equazione
 x(t )  2 cos(t )

 y (t )  sin(t )
Qual è la traiettoria? Tra quali valori oscilla la velocità?
11
31.
1. Quali sono le equazioni di un moto circolare uniforme intorno a una circonferenza di centro O,
raggio r e con velocità costante v? Quali sono le componenti del vettore velocità e del vettore
accelerazione?
2. Un moto nel piano ha equazione
 x(t )  2 cos(t )

 y (t )  sin(t )
Qual è la traiettoria? Tra quali valori oscilla la velocità? Tra quali valori oscilla l'accelerazione? é
vero, come nel moto circolare, che in ogni punto il vettore velocità è perpendicolare al vettore
posizione?
3. Un moto armonico ha ampiezza 10 e periodo /2. In quali istanti e in quali punti la velocità è 1/2
della velocità massima? In quali istanti e in quali punti la velocità è il 90% della velocità massima?
In quali istanti e in quali punti la velocità è il 10% della velocità massima?
4. La biella è il meccanismo articolato che trasforma un moto rettilineo in un moto circolare.
L’asta AB, di lunghezza 2r, ha l’estremo A che si muove di moto circolare uniforme su una
circonferenza di raggio r, e l’estremo B che si muove di moto rettilineo periodico sul segmento PQ.
L’ascissa di B è una funzione dell’angolo POA. Ponendo r=1 e x(O)=0 l’ascissa di B oscilla tra
x(P)=1 e x(Q)=3. Il problema è il seguente: se A si muove di moto circolare uniforme, il moto del
punto B sul segmento PQ è un moto armonico?
Indichiamo con  l’angolo POA: allora OH=cos(), AH=sin(), e HB= 4  sin( ) 2 ;
ponendo uguale a 1 rad/s la velocità angolare di A, =t, e l’ascissa x di B è
x = cos(t)+ 4  sin( t ) 2 .
Analizzare il moto caratterizzato dall'equazione precedente. Suggerimento: in FUNCTION, scrivere
la funzione
12
y = cos(x) + 4  sin( x) 2
e studiarla ricordandosi che x è il tempo t. Confrontare il moto con un moto armonico che abbia la
stessa ampiezza e lo stesso periodo. Domanda chiave: dove si ha la massima velocità?
Questo problema è stato dato all'esame di maturità nel 1993.
5. Studiare il moto piano di equazioni
 x  sin(t )

 y  sin(2t )
(traiettoria, velocità, accelerazione). Questo problema è stato dato all'esame di maturità nel 1995.
32.
1. La funzione (x):=3+4sin(x)cos(x) è una sinusoide: esprimerla nella forma Asin(B(x+C))+D.
2. Un punto P si muove di moto armonico con periodo T=4 s oscillando sull’asse x tra i punti x1=1 e
x2=9, e nell’istante iniziale t=0 si trova in x2. Scrivere le espressioni della legge oraria x(t), della
velocità v(t), dell’accelerazione a(t). Stabilire in quale istante si trova per la prima volta in x=7, e
quali siano in tale istante la velocità e l’accelerazione di P (entrambe con segno).
3. Per quali valori di k l'equazione 6+7sin(x)8cos(x) = k ammette soluzioni?
4. Qual è la pendenza massima della funzione (x):=6+7sin(x)8cos(x)?
5. Risolvere sia sulla circonferenza goniometrica, sia sul grafico la disequazione cos(2x) <
3 /2.
6. Scrivere l’equazione generale di una funzione sinusoidale (x) che oscilla tra a e b (a < b) con
periodo c (c>0).
7. Spiegare il comportamento della funzione (x)=sin1(sin(x)) e della funzione g(x) = sin(sin1(x)).
8. Scrivere le equazioni parametriche dei moti circolari uniformi della lancetta dei secondi, della
lancetta dei minuti, della lancetta delle ore.
9. Analizzare traiettoria, velocità e accelerazione del moto di equazioni parametriche
 x  cos  t 

 y  cos  2t 
10. La figura seguente è composta da tre quadrati accostati. Dimostrare che  = .


13
33.
1. Considera, nell'intervallo di tempo [0, 2], il moto piano caratterizzato dalle equazioni
parametriche
 x  t  sin  t 

 y  1  cos  t 
dove t è misurato in secondi, x e y in metri.
a) Tracciare la traiettoria del moto, analizzando dove si trova il punto agli istanti t = 0, /2, ,
3/2, 2 secondi.
b) Qual è il vettore velocità in ciascuno di quegli istanti? Qual è il modulo della velocità in
ciascuno di quegli istanti?
c) Determinare in quale istante la velocità è 1.5 m/s oppure 0.5 s.
d) Determinare in quale istante la direzione del moto è di 60° oppure 30°.
La traiettoria del moto è una curva di nome cicloide: il punto parte dall'origine, sale e poi in modo
simmetrico scende fino al punto (2,0). Ovviamente è qui sensato fare un grafico monometrico,
dato che x e y hanno la stessa unità di misura.
Il vettore velocità si determina derivando il vettore s(t) = [x(t), y(t)] rispetto a t:
v(t) = [1cos(t), sin(t)]
|v(t)| = 1  2 cos  t   cos  t   sin  t  = 2  2 cos  t 
Posso quindi compilare la seguente tabella.
t (s)
x (m)
y (m)
vx (m/s)
vy (m/s)
0
0
0
0
0
1
1
1
/2
/21
2
2
0


1
1
3/2
3/21
1
0
0
0
2
2
In forma approssimata:
t (s)
x (m)
y (m)
vx (m/s)
vy (m/s)
0
0
0
0
0
1.57
0.57
1
1
1
3.14
3.14
2
2
0
4.71
5.71
1
1
1
6.28
6.28
0
0
0
2
2
|v|
0
2
2
2
0
|v|
0
1.41
2
1.41
2
Come si vede dalla tabella il punto parte dall'origine ed è inizialmente fermo; accelera fino al punto
(,2) in cui raggiunge la velocità massima di 2 m/s (qui il vettore velocità ha componente verticale
nulla, è solo orizzontale) e poi rallenta in modo simmetrico fino a fermarsi nel punto (2,0).
Nell'istante t=/2 il vettore velocità ha direzione 45° e nell'istante 3/2 il vettore velocità ha
direzione 45° (occorre sempre ricordare che il vettore velocità è punto per punto tangente alla
traiettoria.
14
Per stabilire in quale istante la sua velocità è 1.5 m/s (sarà poco dopo /2 secondi) occorre risolvere
l'equazione
2  2 cos  t  = 1.5
Elevo al quadrato:
22cos(t) = 2.25
cos(t) = 0.125
t = cos1(0.125) = 1.7 s
In questo istante si trova nel punto s=[0.704, 1.13] e il vettore velocità è v=[1.13, 0.992].
Il risultato è ragionevole: poiché in t = 1.57 s la velocità vale 1.41 m/s (il punto accelera fino ad
arrivare a velocità 2 m/s) poco dopo, in t = 1.7 s, sarà di 1.5 m/s.
Per sapere in quale istante la direzione del moto è 60° occorre imporre che il rapporto tra le
componenti del vettore velocità sia uguale alla tangente di 60°:
vy
= tan(60°)
vx
sin  t 
= 3
1  cos  t 
Utilizziamo la calcolatrice per risolvere questa equazione.
Si vede che risulta t = /3 s  1.05 s. Il risultato è ragionevole: l'istante in cui il moto ha direzione
60° è minore di /2, in cui la direzione è 45° (la direzione della velocità passa da verticale in t=0 a
orizzontale in t=).
2. Il punto A si muove di moto armonico sull'asse x tra 2 e 2, con periodo 4 s; la sua posizione
iniziale è in (2,0). Il punto B si muove di moto circolare uniforme sulla circonferenza di centro O e
raggio 1 con velocità angolare ; la sua posizione iniziale è (1,0).
a) Scrivere le equazioni parametriche del moto del punto A e del punto B.
b) Determinare  in modo tale che i due punti si scontrino nel punto (1, 0) quando A vi transita
per la prima volta.
Il moto armonico del punto A (se T = 4 allora  = 2/4 = /2) ha equazione

 
 x  2 cos  t 
2 

y  0

Il moto circolare del punto B ha equazione
15

 x  cos   t 


 y  sin   t 
Le traiettorie sono le seguenti.
Per sapere in quale istante il punto A si trova per la prima volta in (1,0) (sarà certamente compreso
tra 1 e 2 secondi) risolviamo l'equazione
 
2cos  t  = 1
2 
1
 
cos  t  = 
2
2 

2
t = 
2
3
t = 4/3  1.33 s
Ora vogliamo determinare la velocità angolare  di B in modo tale che nello stesso istante la x di B
valga 1:
cos(t) = 1
4 
cos    = 1
3 
4
=
3
3
= 
4
Quindi l'equazione di B è

3 
 x  cos  4  t 




 y  sin  3  t 



4 
Simulando il moto con la calcolatrice otteniamo conferma del risultato.
3. Scrivere la funzione (x) = sin(x)cos(x) nella forma (x)=Asin(x+B) e risolvere la disequazione
(x) > 1.
Risulta
16
sin(x)  cos(x) =
1
 1

2
sin  x  
cos  x  
2
 2

1
è sia il coseno sia il seno di =/4:
2
= 2 (cos()sin(x)  sin()cos(x))


= 2 sin  x  
4

Si tratta dunque di una sinusoide di ampiezza 2 e fase /4, cioè si ottiene traslando verso destra
2 sin(x) di /4.
Poiché
Per risolvere la disequazione


2 sin  x   > 1
4

tracciamo la retta y=1 (poiché 1< 2 la disequazione ammette infinite soluzioni).
Come si vede le soluzioni sono comprese in intervalli di periodo 2, del tipo
x(x1+2k, x2+2k)
dove x1 e x2 sono le ascisse dei punti di intersezione tra la (x) e la retta y=1. Per trovare x1 e x2
risolviamo l'equazione


2 sin  x   = 1
4


1

sin  x   =
4
2

x  /4 = /4
x  /4 = 3/4
x1 = /2
x2 = 
Quindi le soluzioni della disequazione sono tutti i numeri x compresi negli intervalli


  2k ,   2k   .
2

17