1
Probabilità delle cause:
Probabilità condizionata
P( A / B ) =
2
3
P( A ! B )
P( B )
Teorema delle probabilità composte
P(A∩ B) = P(A) · P(B/A)
= P(B) · P(A/B)
Teorema delle probabilità totali
n
n
i =1
i =1
P( B ) = ! P( B " Ai ) =! P( B / Ai )P( Ai )
4
Teorema delle probabilità delle cause
P( B / A )P( A )
P( A / B ) =
P( B )
5
Teorema di Bayes P(Ak/B) =
P ( Ak ) P ( B / Ak )
P ( Ak ) P ( B / Ak )
= n
P( B)
! P( Ai ) P( B16/ Ai )
i =1
1. Probabilità condizionata.
In molte questioni ha interesse determinare la probabilità di
un evento quando si è verificato l’evento A.
B/A : B nell’ipotesi che A si sia verificato.
Def – dati due eventi A e B, la probabilità di B subordinato
ad A , o anche probabilità condizionata di B dato A, si
indica con P(B/A) e vale :
P( A ! B)
P(B/A) =
P( A)
U
B
A
N.B.:P(A)≠0, cioè A non è l’evento impossibile.
Per dare una giustificazione di questa definizione, possiamo
ritenere A un nuovo spazio degli eventi Ω1, poiché A si è
già verificato.
17
Esempio
Per dare una giustificazione di questa definizione consideriamo
il seguente semplice esempio:
consideriamo 8 matite caratterizzate da colore e durezza:
Matite
1
2
3
4
5
6
7
8
colore
R
R
R
N
N
N
N
N
durezza(n°) 4
4
2
4
4
2
2
4
Si estrae a caso una matita, in ipotesi di equiprobabilità.
A={estrazione di matita rossa}
B={estrazione di matita n°4}
A∩B={estrazione di matita rossa del n°4}
Calcoliamo: P(A)=3/8
P(B)=5/8
P(A∩B)=2/8
Sapendo che la matita estratta è rossa, qual è la probabilità che
18
il numero sia 4?
Poiché A si è verificato, possiamo ritenere A il nuovo spazio
degli eventi elementari:
Quindi P(B/A)=2/3
misura di probabilità costituita sulla
classe degli eventi Ω1.
Possiamo esprimere questa
probabilità riferita agli elementi
B
di Ω come rapporto:
Ω1=A
Ω
2 2 / 8 P( A ! B)
P( B / A) = =
=
3 3/8
P( A)
19
2. Teorema delle probabilità
composte
Dati due eventi A e B, la probabilità del
loro prodotto logico è data da
P(A∩ B) = P(A) · P(B/A)
(e per simmetria!!!!)
= P(B) · P(A/B).
20
Verso le probabilità totali.
Esempio 1
Esperimento : 2 estrazioni di una pallina senza
reimbussolamento da un’urna che ne contiene 7 Rosse e 3 Blu.
R : “almeno una è r” =
{(R1 ∩ R2), (R1 ∩ B2), (B1 ∩ R2)}
P(R)=P{(R1 ∩ R2) ∪ (R1 ∩ B2) ∪ (B1 ∩ R2)}=
P(R1 ∩ R2)+P(R1 ∩ B2)+P(B1 ∩ R2)=
P(R2/R1) · P(R1) + P(B2/R1) · P(R1) + P(R2/B1) · P(B1) =
6/9 ·7/10 + 3/9 ·7/10 + 7/9 ·3/10 = 14/15
Altro metodo : R = non B , dove B : “escono due blu”.
P(R)=1-P(B) =1- P(B1∩B2) =1- P(B2/B1) · P(B1) =1- 2/9 · 3/10 =1- 6/90=14/15.
Fare un diagramma ad albero.
21
Esempio 2.
I
II
Si hanno due scatole:
I (5 R e 3N)
II (3R e 7 N)
R : “estraggo una pallina rossa”.
Eventi : A1:”estraggo da I”
A2:”estraggo da II”
P(A1)=P(A2)=1/2
Qual è la probabilità che sia Rossa?
R = (R∩A1) ∪ (R∩ A2)
P(R) = P(R∩A1) + P(R∩A2) =
= P(R/A1) · P(A1) + P(R/A2) · P(A2)
= 5/8 · ½ + 3/10 · ½ = 37/80.
22
Esempio 2: diagramma ad albero.
1/2
1/2
I
I
5/
8
R
II
3/8
N
3/10
II
R
7/10
N
P(R) = P(R ∩ A1) + P(R ∩ A2) =
= P(A1)·P(R/A1) + P(A2)·P(R/A2) =
= ½ ·5/8 + 1/2 ·3/10 = 37/80
23
3. Teorema delle probabilità
totali.
Generalizzazione al caso in cui l’evento B sia condizionato
da più cause (ad esempio si hanno 2,3,… n scatole da
cui estrarre una pallina Rossa):
IPOTESI:
A1, A2, ……, An, eventi a due a due incompatibili
Ai∩Aj = Φ ,
i≠j
A1 ∪ A2 ∪ ……∪ An = Ω
B un evento dello spazio campionario Ω, condizionato
dalle cause A1, A2, ……, An
n
n
TESI :
P( B ) = ! P( B " Ai ) =! P( B / Ai )P( Ai )
i =1
i =1
24
Dim.: B = (B∩Ω) = B∩(A1 ∪ A2 ∪…. ∪ An) =
(B∩A1)∪ (B∩A2)∪… ∪(B ∩ An)
P(B)=P(B∩A1)+P(B∩A2)+…+P(B∩An)
P(B) = P(B/A1) ◦ P(A1) + P(B/A2) ◦ P(A2) +…+P(B/An) ◦P(An)
n
P( B ) = ! P( B / Ai )P( Ai )
i =1
N.B.: caso particolare più semplice, ma frequente è se B è
condizionato dal fatto che A avvenga o A non avvenga, cioè:
P(B) = P(B/A)◦P(A) + P(B/Ac) ◦ P(Ac)
25
Ancora Esempio 2.
Formuliamo ora un’altra domanda:
Sapendo che è stata estratta una pallina rossa, qual è la
probabilità che provenga dall’urna A2???, cioè :
qual è la probabilità di A2 condizionata a R???
P(A2/R) ???
P( A2 / R) =
Pr obabilità del cam min o favorevole P( A2 ( R)
=
=
Pr obabilità di R
P( R)
P( R / A2 ) P( A2 ) & 1 3 # 80 12
= $ ' !* =
P( R)
% 2 10 " 37 37
Per la simmetria del Teorema delle probabilità
composte
N.B.: P( A1 / R) = P( R / A1 ) P( A1 ) = 5 ! 1 ÷ 80 = 25
P( R)
8 2 37
12 25
P ( A1 / R ) + P ( A2 / R ) =
+
=1
37 37
37
26
4. Probabilità delle cause.
dal Teorema delle probabilità composte
P(A∩B) = P(A/B) · P(B) = P(B/A) · P(A)
Si ottiene il Teorema delle probabilità delle cause
P( B / A )P( A )
P( A / B ) =
P( B )
Dove, se B è condizionato da A1, A1, …An,
Teorema delle probabilità totali
n
n
i =1
i =1
P( B ) = ! P( B " Ai ) =! P( B / Ai )P( Ai )
27
5. Teorema di Bayes (1763)
IPOTESI :
B ha come causa uno degli eventi A1, A2, …., An;
A1, A2, …., An a due a due incompatibili;
A1 ∪A2 ∪…. ∪ An = S.
TESI :
P ( Ak ) P ( B / Ak )
P ( Ak ) P ( B / Ak )
=
n
P(Ak/B) =
P( B)
! P( A ) P( B / A )
i
i
i =1
Dim: è il teorema delle probabilità delle cause,
dove a B, che dipende da n eventi, è applicato il
teorema delle probabilità totali.
28
Esempio 1- 3 Urne
Lanciamo un dado:
se esce 5 si sceglie l’urna 1
Se esce 1 o 3 si sceglie l’urna 2
Se esce un punteggio pari si sceglie l’urna 3
U1 contiene 1 rossa, 2 Nere, 6 Blu
U2 contiene 5 rossa, 3 Nere
U3 contiene 3 rossa, 1 Blu
Qual è la probabilità che, avendo estratto una pallina rossa,
questa provenga da U1?
P (U1 / R ) =
P ( R / U1 ) P (U1 )
=
P ( R / U1 ) P (U1 ) + P ( R / U 2 ) P (U 2 ) + P ( R / U 3 ) P (U 3 )
1 / 9 !1 / 6
4
=
1 / 9 !1 / 6 + 5 / 8 !1 / 3 + 3 / 4 !1 / 2 130
29
Diagramma ad albero
prob
1/9
U1
2/9
6/9
1/6
1/3
U2
5/8
3/8
1/2
3/4
U3
1/4
casi fav.
R 1/54
4/216
4
4
N 2/54
8/216
8
B 6/54
24/216
24
R 5/24
45/216
45
N 3/24
27/216
27
R 3/8
81/216
81
B 1/8
27/216
27
45
81
totale: 130 su 216
30
Esercizio: calcolare P(U1/N), P(U1/B), P(U2/R), P(U3/R)
P(U2/N) e P(U3/B) .
(P(U2/R)=45/130)
(P(U3/R)=81/130)
…………….
31
Esempio 2- Test diagnostico
Supponiamo che in Italia i malati di una certa malattia siano
5000 su una popolazione di 50.000.000 unità. In mancanza di
altre informazioni , la probabilità (prima del test diagnostico)
di avere quella malattia è 1/10.000.
Il test diagnostico non è esatto al 100%. Dopo aver sottoposto al
test un campione di persone di cui si conoscono le condizioni di
salute e si verifica il risultato, si ha il seguente risultato:
se si è malati (M), il test fornisce risposta Pos (Positivo)
nel 99,8% dei casi;
se si è sani (S), fornisce risposta Neg (Negativo) nel
99,9% dei casi.
Quanto vale la probabilità di essere effettivamente malati se
il test fornisce risposta positiva, cioè P(M/Pos) ?
Quanto vale la probabilità di essere effettivamente sani se il
test fornisce risposta negativa, cioè P(M/Pos) ?
Confrontare il risultato con la probabilità che si aveva prima
32
del test.
La probabilità richiesta è data da:
P( Pos / M ) P( M )
P( M / Pos ) =
P( Pos / M ) P( M ) + P( Pos / S ) P( S )
Dove P(Pos/M)=0,998
P(M)=0,0001 e quindi P(S)=0,9999
P(Neg/S)=0,999 e quindi
P(Pos/S)=1- P(Neg/S)=1-0,999=0,001
Quindi:
0,998 ! 0,0001
P( M / Pos) =
= 0,09
0,998 ! 0,0001 + 0,001! 0,9999
La probabilità, dopo un risultato positivo al test, di avere
effettivamente la malattia è di 9% (bassa!!), mentre prima del
test diagnostico era di 0,01%.
N.B.: ovviamente il risultato sarebbe molto diverso, se si
considerassero come popolazione solo i soggetti a rischio: si
avrebbe, a priori, una p(M) >>di 0,0001
33
La probabilità richiesta è data da:
P( S / Neg ) =
P( Neg / S ) P( S )
P( Neg / S ) P( S ) + P( Neg / M ) P( M )
Dove P(Pos/M)=0,998
P(M)=0,0001 e quindi P(S)=0,9999
P(Neg/S)=0,999 e quindi
P(Neg/M)=1- P(Pos/M)=1-0,998=0,002
Quindi:
P( S / Neg ) =
0,999 ! 0,9999
= 0,9999999..
0,999 ! 0,9999 + 0,002 ! 0,0001
La probabilità, dopo un risultato negativo del test, di non avere
effettivamente la malattia è praticamente del 100%.
34
Cambiamo popolazione
Se cambiamo popolazione e questa
presenta la probabilità di avere malati nel
40% dei casi, i risultati sono:
Sia P(M)=40%
P(M/Pos)=99,8%
P(S/Neg)=99,9%
Quindi i risultati sono affidabili.
35
Esempio 3- Controllo di qualità
Quattro ditte producono elettrocalamite che vendono in
confezioni standard di 50 elettrocalamite. Elettro1 produce
1000 confezioni di elettrocalamite all’ora, Elettro2 ne produce
1500, Elettro3 2000, Elettro4 3000.
La ditta Elettro1 presenta mediamente 2 elettrocalamite
difettose per ogni scatolone, Elettro2 ne ha 3, Elettro3 ne ha
5, Elettro4 infine 6 .
Un cliente, che ha comprato una confezione da ciascuna ditta,
trova il primo pezzo difettoso.
Qual è la probabilità che quel pezzo sia stato prodotto da
Elettro3 ? (è molto sbadato e ha confuso le scatole).
e da Elettro1? da Elettro4?
36
n° totale di elettrocalamite=7500
P(E1)=1000/7500=2/15
P(E2)=1500/7500=1/5
P(E3)=2000/7500=4/15
P(E4)=3000/7500=2/5
P(D/E1)=2/50
P(D/E2)=3/50
P(D/E3)=5/50
P(D/E4)=6/50
P( E 3 / D) =
P( D / E 3) P( E 3)
P( D / E1) P( E1) + P( D / E 2) P( E 2) + P( D / E 3) P( E 3) + P( D / E 4) P( E 4)
5 / 50 ! 4 / 15
=
= 29%
2 / 50 ! 2 / 15 + 3 / 50 !1 / 5 + 5 / 50 ! 4 / 15 + 6 / 50 ! 2 / 5
37
Diagramma ad albero
48/50
E1
2/50
2/15
47/50
D
B
E2
3/50
1/5
4/15
B
E3
45/50
5/50
6/15
44/50
E4
6/50
D
B
D
B
D
38
Eventi indipendenti.
Def. Due eventi A e B si dicono indipendenti (nel
senso della probabilità) se
P(B/A) = P(B)
e
P(A/B) = P(A)
con P(A)≠0 e P(B)≠0
Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
(anche con con P(A)=0 e P(B)=0)
N.B.: differenza tra eventi indipendenti e eventi
incompatibili:
Due eventi A e B si dicono incompatibili se
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) , cioè con A ∩ B = ∅
39
Esempio 1.
Esperimento : si estrae una carta da un mazzo di 52.
Eventi:
A : “la carta estratta è rossa”;
B : “la carta estratta è una regina”.
1) Calcolare : P(B) e P(B/A).
Si tratta di uno spazio di probabilità uniforme per la casualità
dell’estrazione: P(1carta) = 1/52
P(B) = 4/52 = 1/13
P(B/A)= P( A ! B ) = P( reg . rossa ) = 2 = 1
=P(B)
P( A )
P( c rossa )
26 13
⇒ A e B indipendenti, ma A ∩ B ≠ Ø compatibili
Calcolare : P(A ∩B)=P(A)*P(B)=26/52*4/52=2/52=1/26
(valore atteso)
Calcolare : P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=26/52+4/522/52=28/52
40
Esempio 2.
Esperimento : lancio di un dado.
Eventi :
A : “ si presenta una faccia pari” = {2, 4, 6}.
B : “ si presenta 1 o 2” = {1} ∪ {2}
Spazio di probabilità uniforme.
Calcolare : P(B) e P(B/A).
P(B) = P(1) + P(2) = 1/3
P(B/A) = P(A ∩ B) /P(A) = (1/6) / (1/2) =1/3
P(A∩B)=P(A)P(B)=3/6 * 2/6=1/6
P(A∪B) =P(A)+P(B)-P(A∩B)=
3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6=2/3
A e B indipendenti
A e B compatibili
41
Esempio 2.bis
Esperimento : lancio di un dado.
Misura di probabilità : P(1) = k, P(2) = 2k, ….,P(6)=6k.
P(S) = k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 21 k = 1 ⇒ k = 1/21.
Calcolare : P(B) e P(B/A).
P(B) = 3/21 = 1/7
P(A) = 12/21
P(A ∩ B) = 2/21
P(B/A) = 2/12 = 1/6 ≠ 1/7
A e B dipendenti
La relazione di indipendenza dipende dalla misura di
probabilità, non dagli eventi.
42
Esercizio
Esperimento : lancio di un dado.
Ω={1,2,3,4,5,6}
A : “ si presenta una faccia dispari” = {1,3,5}.
B : “ si presenta 3 o 6” = {3} ∪ {6}
con P(ωi)=1/12 per i=1,2,3,4
Quindi P(ω5∪ω6) = 1- 4/12=8/12
P(ω5)=P(ω6)=1/3
P(A)=1/12+1/12+1/3=1/2
P(B)=1/12+1/3=5/12
P(A ∩ B) = 1/12 ≠ 1/2 * 5/12=5/24
Eventi
indipendenti
43
Indipendenza di più eventi
Definizione: Gli eventi A1, A2, A3, …,An sono
a due a due indipendenti
se e solo se
P(Ai∩Aj) = P(Ai) P(Aj) , i≠j
Definizione: Gli eventi A1, A2, A3, …,An sono
mutuamente indipendenti
se e solo se
P(Ai∩Aj) = P(Ai) P(Aj) , i≠j
e
P(Ai∩Aj ∩Ak ) = P(Ai) P(Aj) P(Ak) , i≠j≠k
……………..
P(Ai∩Aj ∩Ak ∩… ∩An ) = P(Ai) P(Aj)… P(An)
44
Esercizi: probabilità condizionata
1
2
3
Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte:
a) 3 picche o 6 fiori
b) un seme che non sia di cuori
c) un 10 o un quadri
d) né un 4, né un picche
e) una regina (R) se la carta già estratta è nera (N). R e N sono incompatibili?
Sono indipendenti?
In un lancio di due dadi: A= la somma è 6 , B= hanno la stessa faccia
a) se A, calcolare la probabilità di B
b) se B, calcolare la probabilità di A
c) calcolare la probabilità di A e B
d) calcolare la probabilità di A o B
Stabilire se, nei vari casi, A e B sono eventi indipendenti.
Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte:
a) due carte entrambi assi
b) un asso, avendo estratto già un asso
c) un asso e poi un altro asso, senza reinserimento
d) un asso e poi un altro asso, con reinserimento.
45
4
5
6
7
8
Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte:
a) una carta di fiori e una di picche
b) una carta di fiori, avendo già estratto una carta di picche
In un lancio di un dado: A= esce 1 o 2. B= pari.
a) calcolare la probabilità di A, se si presenta B. A e B sono indipendenti?
b) calcolare la probabilità di B, se si presenta A.
c) calcolare la probabilità di A e B.
Un’urna contiene 8 palline Rosse, 3 Bianche, 9 Gialle. Si estraggono 3 palline,
calcolare la probabilità che siano :
a) tutte e tre Rosse, con e senza reimbussolamento
b) tutte e tre Bianche, con e senza reimbussolamento
c) due Rosse e una Bianca, con e senza reimbussolamento
d) una Bianca, una Rossa e una Gialla (nell’ordine) senza reimbussolamento
e) una Bianca, una Rossa e una Gialla (senza ordine) senza reimbussolamento
f) almeno una Bianca, senza reimbussolamento.
In un lancio di due dadi calcolare:
a) se la somma dei lanci è 5, la probabilità che il secondo lancio dia un numero
minore del primo
b) se il primo lancio è maggiore del secondo, la probabilità di avere somma 5.
In un lancio di due dadi calcolare la probabilità di:
A=4,5,6 al 1° lancio,
B=1,2,3,4 al 2° lancio.
a) A e B
b) A o B
c) B, se è avvenuto A
d) A, se è avvenuto B.
46
9
10
In una nazione con 5 regioni, le percentuali di forza lavoro sono: 10% nella
regione R1 , 22% nella regione R2 , 19% nella regione R3 , 30% nella regione R4 ,
19% nella regione R5 . I tassi di disoccupazione sono rispettivamente: 5%, 2%,
3%, 1%, 8%. Estraendo a caso un lavoratore di quella nazione, quale è la
probabilità che sia disoccupato?
(teorema delle probabilità totali)
In un’urna ci sono M palline, di cui k Bianche e M-k Nere. Si estraggono 2 palline,
senza reimmissione. Quale è la probabilità che la seconda estratta sia bianca?
(teorema delle probabilità totali)
11
12
13
14
Una malattia colpisce il 5% di una popolazione: un test clinico individua la malattia
in 90 casi su 100. Lo stesso test risulta positivo su soggetti sani 5 volte su 100.
Qual è la probabilità di non soffrire della malattia per una persona di quella
popolazione risultata positiva al test?
(teorema di Bayes)
Si effettua un controllo di qualità esaminando un oggetto estratto a caso tra i
prodotti di tre differenti cicli produttivi che forniscono, rispettivamente, il 50%, il
20%, il 30% della produzione totale. Determinare la probabilità che l’oggetto
osservato sia difettoso, sapendo che i cicli produttivi generano pezzi difettosi nelle
percentuali del 2%, 5%, 1% rispettivamente. Qual è la probabilità che il pezzo
difettoso provenga dal secondo ciclo?
La moneta M1 è regolare, la moneta M2 è truccata. Si lancia una moneta a caso.
Si è osservata testa. Qual è la probabilità di aver lanciato la moneta regolare?
In due scatole ci sono alcune matite così distribuite: in S1 2 matite Blu, 3 Rosse, 2
Gialle, 1 Verde, 1 Nera, in S2 3 matite Blu, 2 Rosse, 4 Gialle, 2 Verde, 1 Nera.
Estratta una matita a caso, calcolare la probabilità che sia Gialla. Calcolare la
47
probabilità che sia estratta dalla scatola S1, sapendo che è Nera.
