Fattore di merito di un induttore - Radio antiche inizio lavoro e percorsi

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Capitolo 5 - Filtri Passivi
1
PREMESSA............................................................................................................................2
2
FATTORE DI MERITO DI UN INDUTTORE..................................................................2
2.1
2.2
3
CIRCUITO EQUIVALENTE DI TIPO SERIE..................................................................................3
CIRCUITO PARALLELO ...........................................................................................................3
RISONANZA..........................................................................................................................5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
CIRCUITO RISONANZA DI TIPO PARALLELO ............................................................................5
CIRCUITI RISONANTI DI TIPO SERIE ........................................................................................7
PARAMETRI DEI CIRCUITI RISONANTI RLC SERIE E PARALLELO ............................................9
CIRCUITI RISONANTI RLC DI TIPO IBRIDO ...........................................................................10
APPLICAZIONE DEI CONCETTI AI SISTEMI INDUSTRIALI ........................................................14
4
TIPOLOGIE DI FILTRI PASSIVI....................................................................................15
5
FILTRI ACCORDATI ........................................................................................................17
5.1
5.1.1
5.2
5.3
5.4
RISONANZE .........................................................................................................................17
Calcolo della frequenza di risonanza parallelo filtro/rete ................................................................................. 20
POTENZA REATTIVA EROGATA ............................................................................................21
PROGETTO SEMPLIFICATO ...................................................................................................23
PROGETTO COMPLETO: DISACCORDO DEL FILTRO ...............................................................25
6
FILTRI PASSA ALTO........................................................................................................29
7
DIMENSIONAMENTO DEI COMPONENTI DEL FILTRO .......................................32
8
VALUTAZIONE ECONOMICA DEL FILTRO .............................................................34
9
SISTEMI MISTI ..................................................................................................................38
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1 Premessa
Per eliminare o attenuare le armoniche nelle reti per il trasporto dell’energia elettrica i filtri sono tra i
componenti più utilizzati. Tra questi ci sono i filtri passivi, che impiegano solo componenti passivi
(induttori e condensatori), risultano molto più semplici e comuni dei filtri attivi costituiti da componenti
elettrici di potenza comandati da opportune tecniche di controllo.
Per il corretto dimensionamento di un filtro passivo è fondamentale considerare gli elementi che
costituiscono il filtro stesso come componenti non ideali.
A rigore, condensatore e induttore non rappresentano una capacità ed una induttanza pura presenti nei
circuiti reali, infatti, dissipazione di potenza (si pensi ad esempio alle perdite dielettriche di un
condensatore o alle perdite joule di un induttore) che impongono di tenere in conto di una parte
resistiva nel circuito equivalente del componente reale (vedi circuito equivalente di Debye per un
dielettrico). Se per un condensatore in bassa tensione per frequenze fino a qualche KHz le perdite
dielettriche possono essere trascurate e quindi il condensatore può essere considerato una capacità pura
in buona approssimazione, per un induttore tali perdite costituiscono una frazione rilevante della
potenza di alimentazione per cui se ne dovrà tenere conto nella schematizzazione circuitale, come
spiegato nel prossimo paragrafo, mediante il fattore di merito. Prima di analizzare in dettaglio i filtri
passivi, vengono richiamati alcuni utili concetti sulla risonanza serie e parallelo (paragrafo 3).
2 Fattore di merito di un induttore
L'induttore reale, cioè il componente utilizzato per la realizzazione di circuiti elettrici, si differenzia dal
componente ideale (nel campo di frequenze fra i 50 ed i 2500 Hz) per la dissipazione di energia al
proprio interno. Tale dissipazione è dovuta a:
1. Perdite per effetto Joule nel rame;
2. Perdite per correnti parassite ed isteresi nel ferro (quando l'induttore abbia nucleo
ferromagnetico, visto che in media tensione si tende a realizzare induttori in aria).
Al fine di quantificare tali fenomeni, si introduce il concetto di fattore di merito. Il fattore di merito può
essere definito come :
Fattore di merito = Q f = 2π
max(W A (t ))
WD
(2.1)
Dove max (WA(t)) è il massimo dell'energia accumulata in un ciclo, WD l'energia dissipata in un ciclo. Il
fattore di merito tende all'infinito tanto più il componente si avvicina all'induttore ideale, oppure tende
a 0 al crescere delle perdite al proprio interno.
Si noti che, la definizione di fattore di merito può essere applicata a qualunque regime periodico.
Tuttavia, il fattore di merito si intende, normalmente, come una quantità atta a caratterizzare un
induttore reale operante in regime sinusoidale. Per l'induttore operante in regime sinusoidale, date la
tensione, V, e la corrente, I, ai terminali, è possibile ottenere:
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1. Una rappresentazione mediante un circuito equivalente di tipo serie caratterizzato dall'impedenza
Z=V/I=R+jX.
2. Una rappresentazione mediante un circuito equivalente di tipo parallelo caratterizzato
dall'ammettenza Y = I/V = G - jB.
Il fattore di merito può essere espresso mediante la resistenza, R, e l'induttanza, X, per il circuito serie,
oppure mediante la conduttanza, G, e la suscettanza, B, per il circuito parallelo. Nel seguito si procederà
a derivare le espressioni per il calcolo di tali parametri. Prima di procedere, si osservi però che, a
prescindere dal circuito equivalente utilizzato:
Il fattore di merito dipende dalla frequenza del regime sinusoidale cui è sottoposto l'induttore.
2.1 Circuito equivalente di tipo serie
Per questo tipo di circuito è abbastanza semplice calcolare max(WA(t)) e WD in quanto entrambe le
grandezze si possono esprimere in funzione della corrente massima circolante nella serie:
1
2
LS ⋅ I max
=
2
1
1 RS
2
WD = RS ⋅ I max
⋅T =
2
2
max(W A (t )) =
1 XS 2
⋅ I max
2 ω
2
⋅ I max
f
Dunque:
Fattore di merito circuito serie = Q f =
XS
RS
(2.2)
2.2 Circuito parallelo
Per il circuito di tipo parallelo è necessario esprimere max (WA(t)) e WD come funzione del massimo
valore della tensione. Infatti, è immediato calcolare l'energia dissipata come:
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WD =
(2.3)
2
1
1 G P ⋅ Vmax
2
G P ⋅ Vmax
⋅T =
2
2
f
L'energia accumulata è esprimibile mediante il massimo valore della corrente nell'induttore come:
max(W A (t )) =
(2.4)
1
1 XP 2
LP ⋅ I L2,max =
⋅ I L ,max
2
2 ω
tuttavia, poiché
I L ,max = BP ⋅ Vmax
(2.5)
L’energia accumulata può essere riscritti come:
max(W A (t )) =
(2.6)
1 BP 2
V L , max
2 ω
dunque:
Fattore di merito circuito parallelo = Q f =
BP
GP
(2.7)
Si osservi che, al variare della frequenza, il circuito di tipo serie presenta un fattore di merito variabile in
modo lineare con la frequenza:
⎛
L ⎞
Q f = ⎜⎜ 2π S ⎟⎟ ⋅ f
RS ⎠
⎝
(2.8)
Per gli induttori impiegati nella realizzazione di filtri si utilizza normalmente la rappresentazione di tipo
serie in quanto le perdite nel rame sono sempre maggiori rispetto a quelle nel ferro (ammesso che
l'induttore abbia nucleo in ferro).
Questa rappresentazione consente di estrapolare il fattore di merito a frequenze differenti. Ad esempio,
quando si intende operare alla frequenza armonica di ordine h, il fattore di merito dell'induttore può
essere derivato da quello a 50 Hz facendo riferimento al circuito equivalente di tipo serie mediante:
Q f (h ⋅ 50) = h ⋅ Q f (50)
(2.9)
Il fattore di merito degli induttori per applicazioni industriali di potenza, calcolato a 50 Hz, è
normalmente variabile nell'intervallo 10-50.
Pagina 5 di 38
3 Risonanza
La risonanza è un concetto che si applica a reti in regime sinusoidale. In particolare, si defInisce:
Frequenza di risonanza:
Frequenza a cui una rete a due terminali priva di generatori interni appare ad un generatore esterno
come un bipolo puramente resistivo.
In altre parole, gli scambi di potenza reattiva fra componenti capacitivi e componenti induttivi si
compensano fra loro, azzerando il flusso di potenza reattiva dalla sorgente collegata ai terminali della
rete. Si noti che, reti complesse, contenenti molti elementi induttivi e capacitivi, possono presentare un
insieme di frequenze di risonanza. Nel seguito ci si riferirà a reti contenenti un singolo induttore ed un
singolo condensatore, per le quali esiste un unico valore di frequenza di risonanza.
3.1 Circuito risonanza di tipo parallelo
Fig. 1 - Circuito RLC parallelo e diagramma vettoriale in risonanza
I circuiti di tipo RLC parallelo (Figura 1) sono caratterizzati da un'ammettenza pari a:
1 ⎞
⎛
Y (ω ) = G + j ⎜ ωC −
⎟
ωL ⎠
⎝
(3.1)
Pagina 6 di 38
La condizione di risonanza è:
Im(Y (ω )) = ωC −
(3.2)
1
=0
ωL
Cioè:
Pulsazione di risonanza del circuito di tipo parallelo ω0 =
1
LC
(3.3)
In risonanza, la suscettanza dell' induttore e quella del condensatore sono uguali, e pari a:
B0 = ω 0 C =
(3.4)
1
ω0 L
E' facile verificare che, in risonanza, l’ammettenza di tale circuito è la minima possibile, pertanto
l'impedenza è massima. Nella tabella 1 sono riassunte le caratteristiche principali di un circuito RLC in
risonanza parallelo.
Impedenza
Ammettenza
Circuito alimentato mediante
generatore di corrente
Tensione
Massima
Tab. 1 -
Minima
Massima
Corrente
Circuito alimentato mediante
generatore di tensione
Tensione
Fissata dal gen. Fissata dal gen.
Corrente
Minima
Caratteristiche di un circuito RLC in risonanza parallelo
Dalla tabella si può osservare che la risonanza di un circuito RLC parallelo è particolarmente pericolosa
quando il circuito è alimentato mediante un generatore di corrente. In tali condizioni si manifestano
sovratensioni ai morsetti della rete e, corrispondentemente, sovracorrenti nei dispositivi. Dunque le
sollecitazioni elettrica (tensione) e termica (corrente) possono portare velocemente al degrado dei
componenti costituenti la rete stessa, eventualmente anche di quelli interni al generatore che alimenta la
rete. Si noti che, in risonanza, la tensione ai capi della rete si calcola come:
V=
I Qf
=
I
G B0
Le correnti nell' induttore e nel condensatore sono calcolabili come:
(3.5)
Pagina 7 di 38
I L = I C = BO ⋅ V =
B0 ⋅ I
= Qf ⋅ I
G
(3.6)
Dunque, il circuito risonante parallelo alimentato da un generatore di corrente si comporta come un
amplificatore di corrente per quanto concerne le correnti nell'induttore e nel condensatore. In
particolare, tanto maggiore è il fattore di merito del filtro, tanto più alte saranno le correnti e le tensioni.
3.2 Circuiti risonanti di tipo serie
Fig. 2 - Circuito RLC serie e diagramma vettoriale in risonanza
Per i circuiti di tipo RLC serie (Figura 2), caratterizzati da un 'impedenza pari a:
1 ⎞
⎛
Z (ω ) = R + j ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
(3.7)
La condizione di risonanza è:
Im(Z (ω )) = ωL −
Cioè:
1
=0
ωC
(3.8)
Pagina 8 di 38
Pulsazione di risonanza del circuito di tipo parallelo ω0 =
(3.9)
1
LC
In risonanza, la reattanza dell'induttore e quella del condensatore sono uguali, e pari a:
X 0 = ω0 L =
(3.10)
1
ω0C
E' facile verificare che, in risonanza, l'impedenza di tale circuito è la minima possibile, pertanto
l'ammettenza è massima. Nella tabella 2 sono riassunte le caratteristiche principali di un circuito RLC in
risonanza serie:
Impedenza
Ammettenza
Circuito alimentato mediante
generatore di corrente
Tensione
Minima
Tab. 2 -
Massima
Minima
Circuito alimentato mediante
generatore di tensione
Corrente
Tensione
Fissata dal gen. Fissata dal gen.
Corrente
Massima
Caratteristiche principali di un circuito RLC serie
La risonanza di un circuito RLC serie è particolarmente pericolosa quando il circuito è alimentato
mediante un generatore di tensione. In tali condizioni si manifestano sovracorrenti ai morsetti della rete
e, corrispondentemente, sovratensioni nei dispositivi. Dunque le sollecitazione elettrica (tensione) e
termica (corrente) possono portare velocemente al degrado dei componenti costituenti la rete stessa,
eventualmente anche di quelli interni al generatore che alimenta la rete. Si noti che, in risonanza la
corrente in ingresso alla rete si calcola come:
I=
(3.11)
V Qf
=
⋅V
R X
Le tensioni ai capi dell'induttore e del condensatore sono calcolabili come:
VL = VC = X 0 ⋅ I =
X 0 ⋅V
= Q f ⋅V
R
(3.12)
Dunque, il circuito risonante serie alimentato da un generatore di tensione si comporta come un
amplificatore di tensione per quanto concerne le tensioni sull'induttore e sul condensatore. In
particolare, tanto maggiore è il fattore di merito del filtro, tanto più alte saranno le correnti e le tensioni.
Pagina 9 di 38
3.3 Parametri dei circuiti risonanti RLC serie e parallelo
La trattazione dei circuiti risonanti RLC serie e parallelo ha mostrato sostanziali analogie fra le due
tipologie di circuiti (teorema di dualità). In particolare, è stato mostrato che la frequenza di risonanza è
calcolabile nello stesso modo per le due topologie:
Pulsazione di risonanza ω0 =
1
LC
(3.13)
Conseguentemente, per entrambe le topologie si ha:
Frequenza di risonanza f 0 =
1
1
⋅
2π LC
Ordine armonico di risonanza h0 =
1
1
⋅
314 LC
(3.14)
(3.15)
Al fine di caratterizzare ulteriormente i circuiti risonanti, si definisce la banda passante.
Definizione di banda passante per circuiti di tipo parallelo
La banda passante è la differenza ω2 - ω1 , essendo ω1 ed ω2 i valori di pulsazione per cui l'impedenza del
circuito si riduce di un fattore pari 2 rispetto al valore assunto in risonanza (l/G).
Definizione di banda passante per circuiti di tipo serie
La banda passante è la differenza ω2 - ω1, essendo ω1 ed ω2 i valori di pulsazione per cui l'ammettenza
del circuito si riduce di un fattore pari a 2 rispetto al valore assunto in risonanza (l/R).
Si consideri un circuito di tipo serie. Calcolando rapporto fra la generica ammettenza e quella in
risonanza si ha:
Pagina 10 di 38
(3.16)
1
1 ⎞
⎛
R + j ⎜ ωL −
⎟
1
ωC ⎠
⎝
=
1
1 + jX (ω ) / R
R
Dunque, alle pulsazioni ω1 ed ω2 deve essere
X (ω1 ) X (ω 2 )
=
=1
R
R
(3.17)
Per circuiti con fattore di merito (calcolato alla frequenza di risonanza) superiore a 10, le pulsazioni ω1
ed ω2 si considerano disposte simmetricamente attorno alla pulsazione di risonanza e la banda passante
(PB, da pass-band) vale, approssimativamente:
PB ≈
ω0
(3.18)
Qf
(Espressione valida per circuiti con Q f ≥ 10 )
3.4 Circuiti risonanti RLC di tipo ibrido
Fig. 3 - Circuito RLC ibrido
Per circuiti di tipo ibrido si intende circuiti non completamente serie o parallelo. Si consideri come
esempio il circuito di Figura 3, rappresentativo di un induttore reale (schematizzato mediante un
equivalente serie) posto in parallelo ad un condensatore. Tale circuito può modellare, ad esempio, il
parallelo fra un trasformatore ed un banco di condensatori.
Pagina 11 di 38
Per tale circuito, l'ammettenza è facilmente calcolabile come:
Y (ω ) =
1
R − jωL
+ jωC
+ jωC = 2
R + (ωL) 2
R + jωL
(3.19)
In risonanza, deve essere:
Im(Y (ω )) = ωC −
ωL
= ωC −
R + (ωL) 2
2
1
⎛
⎜
⎝
⎛ R ⎞
⎟
⎝ ωL ⎠
ωL ⎜ 1 + ⎜
2
⎞
⎟
⎟
⎠
= ωC −
1
⎛
ωL⎜⎜1 +
⎝
1
Q 2f
⎞
⎟
⎟
⎠
=0
(3.20)
Dove l'ultima espressione è stata ottenuta inserendo (arbitrariamente) il fattore di merito dell'induttore
calcolato alla frequenza di risonanza (non nota). Si osservi, comunque, che per valori di fattore di
merito superiori a 10 il termine entro parentesi tende a 1,01 e, pertanto, può essere trascurato. Dunque,
ammesso che il fattore di merito dell'induttore alla frequenza di risonanza sia superiore a 10, si può
tranquillamente calcolare la frequenza di risonanza come se ci si riferisse ad un circuito RLC parallelo.
La procedura da seguire è quindi la seguente:
1. Calcolare il valore approssimato di pulsazione di risonanza ωˆ 0 =
1
LC
2. Calcolare il fattore di merito dell'induttore per il valore approssimato di pulsazione di risonanza:
ωˆ ⋅ L
Q f (ωˆ 0 ) = 0
R
3. Se Q f (ωˆ 0 ) ≥ 10 si accetti come buona approssimazione della pulsazione di risonanza il valore
calcolato in modo approssimato, altrimenti si proceda a determinare il valore esatto.
Per calcolare il valore esatto deve essere risolta la seguente equazione:
⎛ ⎛ R ⎞2 ⎞
⎛ R 2C ⎞
2
⎜
⎟
⎟⎟ = 0
ω LC 1 + ⎜ ⎟ − 1 = ω LC − ⎜⎜1 −
⎜ ⎝ ωL ⎠ ⎟
L
⎠
⎝
⎝
⎠
(3.21)
2
Da cui si ottiene:
ω0 =
R 2C
L
LC
1−
(3.22)
Pagina 12 di 38
Nota la pulsazione di risonanza (vera o approssimata) il circuito può essere ricondotto ad un circuito
RLC parallelo imponendo che il parallelo RP, LP abbia ammettenza (alla frequenza di risonanza) identica
alla serie RS, LS.
R − jω0 LS
R
1
1
1
= S2
= 2 S2 2 =
−j
2 2
RS + jω0 LS RS + jω0 LS RS + ω0 LS RP
ω 0 LP
(3.23)
Da questa espressione è possibile ricavare il valore dei parametri del circuito equivalente parallelo
utilizzando il fattore di merito dell'induttore (si noti che la serie RS LS deve avere lo stesso fattore di
merito alla frequenza di risonanza del parallelo RP LP ):
RP =
RS2 + ω02 L2S
= RS 1 + Q 2f ≈ RS ⋅ Q 2f
RS
(
)
⎛
RS2 + ω02 L2S
RS2
ω 0 LP =
= ω0 LS ⎜⎜1 + 2 2
ω0 LS
⎝ ω 0 LS
(3.24)
⎞
⎟⎟ ≈ ω 0 LS
⎠
Le ultime due approssimazioni sono state ottenute nell'ipotesi che il fattore di merito sia non inferiore a
10.
Riassumendo, dal circuito RLC ibrido è stato ricavato un circuito RLC parallelo con stessa frequenza di
risonanza e stesso fattore di merito. Dal circuito RLC parallelo è possibile calcolare la banda passante
secondo la consueta relazione:
PB =
ω0
(3.25)
Qf
Si noti che la larghezza di banda così definita è teoricamente valida solo per il circuito RLC parallelo.
Tuttavia, i due circuiti presentano risposte in frequenza simili (in prossimità della frequenza di
risonanza), per alti valori del fattore di merito. Come al solito, si accetta questa soluzione approssimata
(cioè calcolare la banda del circuito RLC ibrido come quella del circuito RLC parallelo equivalente alla
frequenza di risonanza), solo per fattori di merito non inferiori a 10.
La Figura 4 mostra come, al crescere del fattore di merito, la differenza fra le risposte in frequenza
(impedenze) del circuito RLC parallelo ed RLC ibrido sia praticamente trascurabile.
Pagina 13 di 38
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
235
240
245
250
255
260
265
f
Risposta in frequenza del circuito RLC
Risposta in frequenza del circuito RLC
Risposta in frequenza del circuito RLC
Risposta in frequenza del circuito RLC
Risposta in frequenza del circuito RLC
Risposta in frequenza del circuito RLC
ibrido con Qf = 100
parallelo con Qf = 100
ibrido con Qf = 50
parallelo con Qf = 50
ibrido con Qf = 10
parallelo con Qf = 10
Fig. 4 - Risposta del circuito RLC parallelo e del circuito RLC ibrido in un intervallo di ampiezza pari alla banda
passante e centrato sulla frequenza di risonanza (250Hz) e per differenti fattore di merito. Per fattori di merito
superiori a 10 le due curve sono indistinguibili
Come detto in precedenza, per fattori di merito superiori a 10 le due curve sono indistinguibili, infanti
imponendo un fattore di merito pari a 5 le due curve sono differenti (vedi fig. 4.1) quindi non è più
buona l’approssimazione fatta precedentemente.
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
235
240
245
250
255
260
265
f
Fig. 4.1 – Risposta del circuito RLC parallelo e del circuito RLC ibrido con un fattore di merito pari a 5,
centrato sulla frequenza di risonanza
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3.5 Applicazione dei concetti ai sistemi industriali
50 Hz
Impedenza
c.to c.to
Rete distribuzione
Trafo #1
Impianto #1
Sistema industriale
Trafo #2
Impianto #2
Vh
Vh
Ih
VEDERE PARTE SU APPUNTI DI MONTANARI
Ih
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4 Tipologie di Filtri Passivi
Z→∞
Filtro
YN
Filtro
Rete
Z→0
Parallelo
Rete
YN
Serie
Fig. 5 - Tipologie di filtri passivi (parallelo, o shunt, a sinistra, serie a destra). YN: Ammettenza del circuito
equivalente di Norton.
I filtri passivi sono utilizzati al fine di ridurre la distorsione armonica nella rete quando ad essa sia
collegato un carico distorcente. Basicamente, si possono distinguere due tipi di filtri: il filtro
parallelo(shunt) ed il filtro serie. Il filtro shunt è preferibile quando l'impedenza della rete è alta. Il filtro
serie può essere impiegato quando l'impedenza della rete è bassa e l'ammettenza equivalente di Norton
del carico distorcente è alta (o l'impedenza interna 1/YN è più bassa dell'impedenza del filtro).
Normalmente i filtri serie non sono impiegati in quanto debbono trasportare tutta la corrente del carico
e, pertanto, sono più costosi dei filtri di tipo parallelo.
I filtri parallelo, a loro volta, possono essere realizzati come filtri accordati (Figura 6) o filtri passa-alto
(Figura 7). Una analisi qualitativa del comportamento in frequenza dei due filtri mostra che, il filtro
accordato presenta:
1. Impedenza infinita in corrente continua;
2. Impedenza infinita per frequenze tendenti all'infinito;
3. Impedenza minima (nulla quando si consideri un filtro ideale) alla frequenza di risonanza;
Il filtro passa-alto presenta:
1. Impedenza infinita in corrente continua;
2. Impedenza pari alla resistenza del resistore in parallelo all'induttore per frequenze tendenti
all'infinito;
3. Impedenza minima alla frequenza di risonanza
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ZF
f0
f
Fig. 6 - Filtro parallelo accordato e rappresentazione schematica dell'andamento dell'impedenza del filtro in
funzione della frequenza
ZF
f
Fig. 7 - Filtro passa-alto e rappresentazione schematica dell'andamento dell'impedenza del filtro in funzione
della frequenza
L'utilizzo di tali topologie di filtri è il seguente:
•
I filtri accordati vengono utilizzati per eliminare o limitare il valore di corrente entrante nella
rete per una ben specifica armonica (esempio, compensazione della 5a armonica).
•
I filtri passa-alto vengono utilizzati per eliminare o limitare il valore di corrente entrante nella
rete per le armoniche a partire da un certo ordine (esempio, riduzione delle armoniche di ordine
superiore o uguale ad Il).
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5 Filtri accordati
5.1 Risonanze
In un sistema industriale ove sia inserito un filtro accordato in parallelo ad un trasformatore (elemento
prevalentemente induttivo) si verificano due tipi di risonanze: la risonanza serie del filtro e la risonanza
parallelo del parallelo filtro/trasformatore.
2πf
Cf
4
3
Xl(f)
Xc(f)
2
Z(f)
1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
f
Fig. 8 - Risonanza serie del filtro: quando la reattanza dell'induttore e quella del condensatore sono identiche il
filtro presenta l'impedenza minima (pari alla resistenza interna dell'induttore)
La risonanza serie del filtro si verifica quando la reattanza dell'induttore e quella del condensatore sono
identiche. Come in un caso standard di risonanza in un circuito RLC serie, questo si verifica alla
armonica di ordine:
h0 =
1
ω1
⋅
1
LC
(5.1)
In risonanza serie, il filtro presenta l'impedenza minima (pari alla resistenza interna dell' induttore, vedi
Figura 8) e, pertanto, tende a formare un percorso a bassa impedenza per le correnti armoniche, che si
richiudono attraverso il filtro interessando solo marginalmente la rete.
Pagina 18 di 38
2
Xl(f)−Xc(f)
0
Xl(f)
− Xc(f)
2
4
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
f
Fig. 9 - Reattanze in un filtro accordato. Prima della frequenza di risonanza (250 Hz, quando la reattanza totale è
nulla) il filtro è prevalentemente capacitivo, dopo la frequenza di risonanza è prevalentemente induttivo
Si deve tuttavia osservare che il filtro è un carico prevalentemente capacitivo prima della frequenza di
risonanza serie (come si evince dalla Figura 9) e, dunque, entrerà in risonanza parallelo con la rete
(elemento prevalentemente induttivo). La Figura 10 mostra come, in effetti, per un circuito di questo
tipo si verifichi una risonanza parallelo con un picco massimo di impedenza (fra i 100 ed i 150 Hz)
seguita da una risonanza serie (a 250 Hz) in cui l'impedenza presenta valore minimo.
5
4
3
Zp(f)
2
1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
f
Fig. 10 - Risonanza parallelo filtro/rete (fra i 100 ed i 150 Hz) e risonanza serie del filtro (250 Hz)
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Si noti infine che, asintoticamente, l'impedenza del parallelo rete/filtro tende a comportarsi come un
induttore la cui induttanza è calcolabile come il parallelo fra l'induttanza del filtro e quella della rete.
Nel seguito si riporta lo script Octave (Matlab) utilizzato per generare i grafici delle Figure 8-10.
% Risposta in frequenza di filtro accordato a 250 Hz
Lr = 1.1768e-3;
% rete
Lf = 0.484e-3;
% Filtro
Cf = 0.838e-3;
Rf = 25.33e-3;
Lparallelo = (Lr*Lf)/(Lr+Lf);
h = linspace(1,10,1000) ';
w = 314*h;
f = 50*h;
Xl = w*Lf;
Xc = 1.0. / (w*Cf);
Zf = Rf + i*(XI-Xc);
Xr = w*Lr;
Zr = i*Xr;
Zp = (Zf. * Zr) ./ (Zf+Zr);
Zi = abs (Zf);
Zp = abs (Zp) ;
plot(w,Zf,w,Xl,w,Xc)
pause
plot(w,Xl,w,-Xc,w,Xl-Xc)
pause
plot (w, Zp,w,w*Lparallelo)
pause
% Per il valore asintotico di Zp
Pagina 20 di 38
5.1.1 Calcolo della frequenza di risonanza parallelo filtro/rete
Il calcolo della frequenza di risonanza parallelo fra filtro e rete può essere condotto in modo abbastanza
semplice se si trascura sia la resistenza equivalente dell'induttore che quella della rete. Sotto questa
semplificazione (accettabile ai fini pratici) è possibile scrivere l'ammettenza del bipolo semplificato che
rappresenta il parallelo rete/filtro nel modo seguente:
1
1
+
Y=
jωLr
⎛
1
j⎜ ωL f +
⎜
ωC f
⎝
⎛ 1
⎞
⎛ ω 2 L f C f − 1 + ω 2 Lr C f ⎞
ωC f
⎟ = − j⎜
⎟
= − j⎜
+
⎜ ωLr ω 2 L C − 1 ⎟
⎜ (ω 2 L ) ⋅ (ω 2 L C − 1) ⎟
⎞
f
f
f
f
f
⎝
⎠
⎝
⎠
⎟
⎟
⎠
(5.2)
dove:
L r = induttanza della rete.
L f = induttanza del filtro.
Poiché la risonanza si manifesta quando la parte immaginaria dell'ammettenza (o dell'impedenza,
equivalentemente) di un bipolo è nulla, è facile verificare che la risonanza paralleo si osserva alla
frequenza angolare (pulsazione) data da:
Pulsazione di risonanza parallelo filtro/rete ω p =
1
( Lr + L f ) ⋅ C f
(5.3)
Nei filtri realizzati con condensatori autoripristinanti, la capacità del filtro tende a diminuire con il
tempo, spostando via via tale risonanza parallelo a valori più alti. Il caso più critico è quando tale valore
coincide con la frequenza armonica per cui il filtro dovrebbe avere impedenza minima: in queste
condizioni il filtro, invece di sopprimere le armoniche nella rete, si comporterà come. un amplificatore
della corrente armonica iniettata dal carico. Per calcolare quale è la frazione ρ della capacità iniziale che
porta in tali condizioni si ponga:
C f = ρ ⋅ C *f
(5.4)
Lr
L*r
(5.5)
λ=
(essendo C kf* e L*kf i valori di induttanza e capacità calcolati durante il progetto del filtro). Queste
definizioni permettono di riscrivere la frequenza di risonanza parallelo come:
Pagina 21 di 38
ω *p ( ρ ) =
1
(1 + λ ) ⋅ ρ ⋅ L*f C *f
=
(5.6)
ω0*
(1 + λ ) ρ
*
Essendo ω0 la pulsazione di risonanza serie del filtro scelta in sede progettuale. Evidentemente, la
*
risonanza parallelo si verificherà in corrispondenza della risonanza serie ω0 quando si verificherà la
condizione:
(5.7)
(1 + λ ) ρ = 1
Cioè quando
ρ=
(5.8)
Lf
1
=
1 + λ Lr + L f
È chiaro che, al crescere del valore di λ, cioè al crescere dell'induttanza della rete, tale condizione
richiederà un maggiore degrado del condensatore stesso, in quanto ρ tende asintoticamente a 0 quando
λ tende all'infinito.
5.2 Potenza reattiva erogata
La potenza reattiva capacitiva richiesta dal filtro non coincide esattamente con quella nominale del
banco di condensatori con cui il filtro stesso è stato realizzato. Schematizzando il filtro come un bipolo
privo di perdite, la potenza reattiva richiesta dal filtro è calcolabile come:
Q=
E2
=
Xf
E2
ω1 L f −
1
ω1C f
=
ω1C f E 2
ω1C f E 2
=−
2
ω1 L f C f − 1
⎛ ω1 ⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
(5.9)
il termine a numeratore è la potenza reattiva capacitiva che il banco di condensatori assorbirebbe se
non fosse collegato in serie all’induttore:
(5.10)
QC = −ω1C f E 2
Dunque, è possibile sintetizzare la potenza reattiva capacitiva assorbita dal filtro come:
Potenza reattiva capacitiva richiesta dal filtro Q =
h02
⋅ QC
h02 − 1
(5.11)
Pagina 22 di 38
Da cui è immediato derivare l’equazione che permette di dimensionare la potenza reattiva del banco di
condensatori.
(5.12)
h02 − 1
⋅Q
Equazione di progetto QC =
h02
Assumendo QC = l , la tabella seguente mostra i valori della potenza reattiva capacitiva richiesta dal
banco in funzione dell'ordine armonico di accordo del filtro. Come si vede, per bassi valori dell'ordine
armonico esiste uno scostamento che può arrivare al 4% circa.
h0
Q (QC = 1)
Q (QC = 1)
5
25 / 24
1,041666667
7
49 / 48
1,020833333
11
122 / 121
1,008264463
13
170 / 169
1,00591716
17
290 / 289
1,003460208
19
362 / 361
1,002770083
23
530 / 529
1,001890359
25
626 / 625
1,0016
Intuitivamente si potrebbe pensare che la presenza dell’induttore diminuisce la potenza reattiva
capacitiva rispetto al valore erogato dal banco di condensatori. Cosa giustifica questo eccesso di
potenza reattiva capacitiva? Per capirlo si valutino le tensione su induttori e condensatore.
VC =
(5.13)
XC
⋅ E = ηC ⋅ E
XC + XL
VL = (1 − η C ) ⋅ E = η L ⋅ E
Esplicitando i coefficienti ηC ed ηL in funzione dell’ordine armonico:
ηC = −
ηL =
1
ω1C f
ω1 L f −
1
1 − ho2
1
ω1C f
(5.14)
=−
2
o
h
1
=−
1 − ho2
ω Lf C f
2
1
Pagina 23 di 38
1
nc( h0)
nl( h0)
0.5
0
5
10
15
20
25
h0
Fig. 11 - Andamento dei coefficienti ηC ed ηL in funzione dell’ordine armonico di accordo
Come mostrato nella figura 11, la tensione sull’induttore è prossima allo 0, mentre sul condensatore è
leggermente superiore ad 1. Questa sovratensione sul condensatore e, corrispondentemente, bassa
tensione sull’induttore, giustificano il comportamento del filtro.
5.3 Progetto semplificato
Verrà presentato ora un approccio semplificato al progetto di un filtro accordato. Tale approccio non
considera la variabilità dei componenti del filtro (ad esempio, deriva della capacità) o della frequenza di
rete. L'approccio completo sarà trattato nel paragrafo successivo.
Per il progetto semplificato di un filtro accordato è necessario specificare:
1. la potenza reattiva capacitiva che il filtro deve generare, Q;;
2. l'ordine di accordo h0;
3. la frazione ε della corrente armonica generata che entra nella rete;
4. la reattanza di cortocircuito della rete (calcolata a 50 Hz);
5. la frequenza della fondamentale (f1 o ω1);
L'obiettivo è calcolare:
1. la capacità del filtro,
2. l'induttanza del filtro,
3. il fattore di merito dell' induttore.
Dalla potenza reattiva Q (si suppone di progettare un filtro trifase, Q è la somma delle potenze re attive
generate nelle tre fasi) è possibile calcolare la potenza reattiva richiesta al banco di condensatori, QC:
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(5.15)
h02 − 1
QC = 2 ⋅ Q
h0
e da questa la capacità del filtro (sia U il valore efficace della tensione concatenata):
(5.16)
h02 − 1 Q
Cf = 2 ⋅
h0 ω1U 2
Nota la capacità del filtro, l'ordine di accordo h0 permette di determinare immediatamente il valore
dell'induttanza.
Infatti:
h0 =
ω0
1
1
=
→ Lf ⋅C f =
ω1 ω1 L f ⋅ C f
ω1h0
(5.17)
Quindi:
(5.18)
2
⎛ 1 ⎞ 1
⎟⎟ ⋅
L f = ⎜⎜
ω
h
⎝ 1 0 ⎠ Cf
I hr
jh0 X cc
Ih
Rf
Fig. 12 - Parallelo rete/filtro alla frequenza di risonanza serie del filtro accordato
A questo punto deve essere calcolato il fattore di merito dell'induttore o, alternativamente, il valore di
resistenza presentato dal filtro, Rf. Quando si considera la rete all'armonica h0, il filtro è rappresentabile
come un bipolo puramente resistivo, di resistenza Rf (Figura 12). Dunque, alla frequenza di risonanza, la
frazione ε di corrente che entra nella rete è calcolabile come:
ε =
I hr
=
Ih
Rf
2
R 2f + h02 ⋅ X CC
Da questa equazione è possibile esplicitare la resistenza del filtro:
(5.19)
Pagina 25 di 38
ε =
R 2f
2
2
R 2f + h02 ⋅ X CC
(
(5.20)
)
2
→ R 2f 1 − ε 2 = ε 2 ⋅ h02 ⋅ X CC
Quindi:
Rf =
ε ⋅ h0 ⋅ X CC
1− ε 2
(5.21)
≈ ε ⋅ h0 ⋅ X CC
dove l’approssimazione si può fare quando ε è abbastanza piccola (<10%). Se si desidera calcolare
direttamente il fattore di merito:
Qf =
1 Lf
ε LCC
(5.22)
essendo LCC l’induttanza di cortocircuito della rete.
5.4 Progetto completo: disaccordo del filtro
Si supponga di avere progettato un filtro secondo la procedura indicata sopra. Se i dati di progetto sono
indicati da:
1. h0* ordine di accordo,
2. f1* frequenza fondamentale della rete (esempio, 50 Hz)
*
*
ed i valori calcolati di induttanza e capacità sono C f e L f allora sussiste la relazione:
h0* =
1
1
⋅
*
2πf1
L*f C *f
(5.23)
Tra i dati di progetto e le condizioni di applicazione del filtro sussistono però differenze. Le principali
sono imputabili a:
•
Variazioni della frequenza fondamentale della rete (normalmente contenute entro un ±2%).
•
Scostamenti fra induttanza e capacità reali rispetto a quelli specificati in sede di progetto. Tali
scostamenti possono essere causati, ad esempio, ad imperfezioni nella realizzazione.
•
Deriva della capacità dei condensatori (fenomeno molto marcato quando si considerino
condensatori autoripristinanti).
Pagina 26 di 38
Per trattare questi fenomeni si introduce il fattore di disaccordo:
Fattore di disaccordo = δ =
h0 − h0*
h0*
(5.24)
Il fattore di disaccordo è una funzione non lineare rispetto al vettore dei parametri che specificano
l'ordine di accordo:
θ = ( f1 , L f , C f )
(5.25)
Per consentire una trattazione semplificata di questi fenomeni, è possibile utilizzare la serie di Taylor:
h0 ( f1 , L f , C f ) = h0* +
∂h0
∂f1
(f
)
*
1 − f1 +
θ =θ *
∂h0
∂L f
(L
f
)
− L*f +
θ =θ *
∂h0
∂C f
(C
f
(5.26)
)
− C *f + ....
θ =θ *
Le derivate parziali nella serie di Taylor possono essere calcolare come:
∂h0
∂f1
=
θ =θ *
⎞
1
1
∂ ⎛⎜
⎟
=−
2π
∂f1 ⎜ 2πf1 L f C f ⎟
⎠ θ =θ *
⎝
1
*
f
L C
1
*
f
f
*2
1
=−
1
1
1
1
= h0* ⋅ *
*
*
*
*
2πf1 L f C f f1
f1
14
4244
3
h0*
∂h0
∂L f
=
θ =θ *
∂
∂L f
⎞
⎛
1
1
1
1
1
1
1
⎟
⎜
C *f = −
=−
= h0* ⋅ *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
⎜ 2πf1 L f C f ⎟
2πf1 2 L f C f L f C f
2πf1 L f C f 2 L f
2L f
⎠ θ =θ *
⎝
14
4244
3
h0*
∂h0
∂L f
=
θ =θ *
∂
∂L f
⎞
⎛
1
1
⎟
⎜
= h0* ⋅ *
⎜ 2πf1 L f C f ⎟
2C f
⎠ θ =θ *
⎝
A questo punto, è immediato approssimare il fattore di disaccordo troncando la serie di Taylor ai
termini del primo ordine, ottenendo la seguente relazione:
*
*
f1 − f1* 1 L f − L f 1 C f − C f
+
+
δ≈
2 L*f
2 C *f
f1*
(5.27)
Pagina 27 di 38
È possibile dimostrare che l’impedenza del filtro è funzione del disaccordo secondo la seguente
espressione approssimata:
Z f (δ ) = R f (1 + j 2δQ f ) =
X0
(1 + j 2δQ f )
Qf
(5.28)
(essendo X0 la reattanza dell’induttore alla frequenza di accordo)
Fig. 13 - Andamento dell’impedenza del filtro per due soluzioni aventi stessa efficienza nella soppressione delle
armoniche alla frequenza di progetto (quindi stessa resistenza dell’induttore) ma diverso valore del fattore di
merito.
E' interessante osservare che, a parità di efficienza del filtro alla frequenza di accordo progettuale
(ovvero a parità di resistenza dell'induttore) è possibile progettare filtri aventi diverso fattore di merito
e, conseguentemente, diverso valore di reattanza dell'induttore alla frequenza di accordo. I filtri
caratterizzati da fattori di merito più bassi, avranno le seguenti caratteristiche:
1. Maggiore stabilità dell'efficienza nella soppressione delle armoniche rispetto al disaccordo
(l'impedenza del filtro, come mostrato dalla figura 13, cresce lentamente in funzione del
disaccordo),
2. Minore taglia dell'induttore e, conseguentemente,
3. Maggiore taglia del condensatore.
Al fine di completare il progetto del filtro, è quindi necessario verificare cosa succede in caso di
disaccordo. Per fare ciò bisogna specificare il valore massimo di disaccordo per cui si prevede che il
filtro debba conservare una efficienza adeguata, δmax.
Pagina 28 di 38
In teoria, si dovrebbe verificare cosa accade a + δmax ed a - δmax. Tuttavia, ciò che interessa è verificare il
valore di:
ε=
Zf
R f (1 + j 2δ max Q f )
I hr
=
≈
I h Z f + jh0 ⋅ X CC R f + j (2δX 0 + h0 X CC )
(5.29)
che, chiaramente, assume il valore massimo per δ = -δmax. Dunque, è necessario verificare che:
R f (1 + j 2δ max Q f )
R f + j (−2δ max X 0 + h0 X CC )
(5.30)
≤ε
Qualora ciò non fosse verificato è possibile riprogettare il filtro modificando il valore di potenza
reattiva capacitiva fornita alla frequenza fondamentale, In generale, se si aumenta la potenza reattiva si
aumenta Cf quindi, a parità di frequenza di risonanza serie, si diminuisce Lf e, conseguentemente Rf (a
parità di fattore di merito). Quindi è più facile conseguire una maggior efficienza nella soppressione
delle armoniche anche riducendo il fattore di merito, In particolare, è possibile riscrivere ε mettendo in
evidenza la potenza reattiva del banco di condensatori ed il fattore di merito dell'induttore:
ε≈
1
⎛h X
1 + ⎜ 0 CC
⎜ R
f
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
=
1
⎛ h0 X CC Q f
1 + ⎜⎜
X0
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
2
=
(5.31)
1
⎛ h02 QC Q f
1+ ⎜
⎜ S
CC
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(dove l'ultima equazione è stata ottenuta moltiplicando e dividendo per il quadrato della tensione
nominale del sistema). Come si vede, per conseguire un adeguato livello di soppressione delle correnti
armoniche, si deve incrementare il prodotto:
QC ⋅ QF
Dunque, in generale, se si riscontrano problemi di efficienza del filtro (soppressione armonica
inadeguata), è possibile aumentare la potenza reattiva del banco di condensatori. Inoltre, qualora si
abbiano problemi con il disaccordo, è possibile aumentare la potenza reattiva del banco di condensatori
riducendo contemporaneamente il fattore di merito del filtro.
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6 Filtri passa alto
Sono state prese in esame finora le diverse condizioni di risonanza che si possono presentare in un
impianto elettrico quando si vuole compensare la potenza reattiva con soli filtri o con sistemi misti di
filtri più gradini di capacità.
L 'utilizzo di soli filtri, pur presentando innegabili vantaggi (compensazione del fattore di potenza,
riduzione della distorsione armonica, controllo delle condizioni di risonanza parallelo) non soddisfa
tuttavia l' esigenza di inseguire laddove è richiesta, la dinamica della potenza reattiva; in tali condizioni i
filtri rappresentano solamente una soluzione parziale del problema.
Questo scopo può essere raggiunto invece aggiungendo ai filtri accordati per le armoniche più basse
(dalla 5a alla 13a) un sistema automatico di rifasamento con condensatore. Ciò tuttavia costituisce una
ulteriore causa di risonanze non sempre determinabili a priori, con conseguenti sovraccarichi sulla
impedenza serie della rete e sui condensatori stessi.
Una interessante soluzione alternativa, intesa a risolvere il problema nei suoi aspetti più generali,
potrebbe essere la sostituzione di parte dei gradini di capacità con opportuni gradini costituiti da filtri
passa alto, calcolati in modo che l'impedenza equivalente abbia un minimo in corrispondenza di
armoniche superiori a quelle di accordo dei filtri selettivi.
I filtri passa alto hanno la duplice funzione di ridurre l'ampiezza delle armoniche di tensione e di
corrente di ordine più elevato e di inseguire la potenza reattiva senza dare luogo a spostamenti
significativi delle frequenze di accordo stabilite e dei punti di risonanza parallelo.
Nella seguente Fig 14 è riportato lo schema unifilare della rete vista dal convertitore con un filtro fisso
accordato per la prima armonica significativa ed un solo gradino passa alto.
Ra
R fh
R1ph
R2ph
Ih
Iha
Ihf
La
L fh Ihp
C fh
L ph
C ph
Fig. 14 - Circuito elettrico equivalente dell'impianto visto dal carico distorcente. Ra, La : resistenza ed induttanza
equivalente di rete. Rfh, Lfh, Cfh : parametri del filtro selettivo. R1ph, R2ph, Lph, Cph : parametri del filtro passa
alto. Ih, Iha, Ihf, Ihp, rispettivamente corrente generata dal carico distorcente, corrente in rete, correte sul filtro
selettivo, corrente sul filtro passa alto.
Pagina 30 di 38
Con Lp, Cp sono indicate l'induttanza e la capacità per fase, con R1P ed R2P rispettivamente la resistenza
serie del induttore e quella parallelo.
Questa ultima viene introdotta per realizzare la condizione che il fattore di merito complessivo del filtro
alla frequenza per cui l'impedenza del filtro è minima, assuma un valore prossimo ad 1, il che
corrisponde ad un ampliamento della banda passante del filtro alle frequenze superiori rispetto a quella
del minimo.
Nella seguente Fig. 15 è riportata la caratteristica del filtro passa alto:
Fig. 15 - Andamento di ZF del filtro passa alto in funzione di h
La scelta della frequenza di accordo è un punto importante per il corretto funzionamento del filtro
passa alto: un valore basso della frequenza di accordo, ad esempio h = 13 (che consentirebbe di
comprendere entro la banda passante un maggior numero di armoniche), dà luogo a valori della
impedenza equivalente normalmente troppo alti rispetto a quelli della rete, con conseguente perdita di
efficacia del filtro stesso. D'altra parte, valori troppo alti dell'armonica d’accordo spostano la
caratteristica del filtro verso armoniche di ordine elevato, di scarso interesse. In conclusione,
dipendentemente dallo spettro armonico si accetta una soluzione di compromesso che colloca la
frequenza di accordo fra h = 15 ed h = 17.
La scelta della frequenza di accordo dei filtri passa alto è fortemente condizionata dallo spettro
armonico della corrente circolante nell’impianto. Occorre, infatti, assicurarsi che la condizione di
risonanza parallelo fra filtri parallelo e l’ultimo filtro selettivo (accordato per la frequenza più alta) dia
luogo ad armoniche di corrente e tensione di ampiezza contenuta. Questo problema costituisce quindi
un'ulteriore condizione che interviene nel metodo di calcolo, quando si dovrà procedere alla
minimizzazione del numero di filtri selettivi impiegati e alla scelta della frequenza di accordo del filtro
passa alto.
Fissati i valori del fattore di merito e dell'armonica di accordo, che derivano, come visto, dalla esigenza
di avere la caratteristica più favorevole del filtro, restano così fissati i gradi di libertà per il
dimensionamento del filtro stesso.
Pagina 31 di 38
Le espressioni per il progetto del filtro passa alto sono le medesime, già riportate, per il progetto di un
filtro selettivo.
La resistenza parallelo R2p viene calcolata, come già accennato, in modo da realizzare la caratteristica
tipica del filtro passa alto, costituita da una banda passante il più possibile costante al crescere della
frequenza rispetto quella di accordo. Questa condizione viene normalmente soddisfatta assumendo il
valore 1 per il fattore di merito del filtro passa alto, che viene definito come:
QFPh =
R2 Ph
h ⋅ ω 0 ⋅ LPh
( 3.6.1 )
in cui ω0 è la pulsazione alla frequenza di rete e h = ωr / ω0 (ωr è la pulsazione alla frequenza di accordo).
Inoltre occorre osservare che la relazione utilizzata per determinare il valore della frequenza di accordo:
h=
1
ω 0 LPh ⋅ C Ph
( 3.6.2 )
non corrisponde alla reale condizione di risonanza serie, a causa della resistenza R2P; tuttavia l'armonica
così individuata è maggiormente vicina al minimo reale della impedenza equivalente del filtro.
Pagina 32 di 38
7 Dimensionamento dei componenti del filtro
Sia l'induttore che il condensatore debbono essere progettati per lavorare in un regime misto, costituito
da tensioni e correnti aventi frequenza 50 Hz e h0*50 Hz (trascurando le componenti dovute alle
rimanenti armoniche, che inevitabilmente saranno presenti, anche se in misura ridotta).
L'isolamento del condensatore sarà sottoposto ad una tensione a 50 Hz ed una alla armonica di accordo
date da:
VC1 =
VCh =
h02
⋅E
1 − h02
(7.1)
1− ε Ih
(7.2)
h0ω1C f
Il valore efficace della tensione sarà dato da:
(7.3)
VC ,rms = VC21 + VCh2
Tuttavia, a scopo precauzionale, converrà dimensionare l'isolamento per la somma aritmetica di questi
due valori, corrispondente al caso peggiore di somma della componente a 50 Hz e alla frequenza
armonica, cioè il caso in cui i picchi delle due onde sono in fase:
VC , picco = VC1 + VCh
(7.4)
(Nota: qualunque sia la fase delle due onde, il valore efficace rimane costante, anche nel caso peggiore.
L'ultima equazione fornita è di tipo empirico, e consente di valutare il sovradimensionamento
dell'isolamento del condensatore necessario per consentirgli di lavorare in regime armonico).
La corrente nel filtro, e quindi sia nell'induttore che nel condensatore, sarà data, in valore efficace, da:
2
I RMS = I
2
f1
+I
2
fh
⎛ h2
⎞
2
= ⎜⎜ 0 2 ⋅ ω1C f E ⎟⎟ + 1 − ε I h2
⎝ 1 − h0
⎠
Per quanto riguarda l'induttore, si osservi che, la tensione a 50 Hz è data da:
(7.5)
Pagina 33 di 38
VL =
1
E
h −1
(7.6)
2
0
ed è normalmente molto limitata (per un filtro di 5a armonica operante in un sistema a 380 V tale
tensione è di 9.16 V). La tensione armonica, essendo il filtro un sistema risonante serie, è circa uguale a
quella sul condensatore (trascurando le cadute sulla resistenza interna dell’induttore)
VLh ≈ VCh
(7.7)
La corrente ha valore efficace identico a quello calcolato per dimensionare il condensatore.
AI fine di minimizzare il rischio di rottura è conveniente:
•
Dimensionare i componenti per il 110% della tensione nominale della rete,
•
Considerare una frequenza di rete pari al 95% della frequenza nominale,
•
Assumere un valore conservativo per la corrente armonica nel filtro (ad esempio, ipotizzare che
si verifichi una risonanza)
•
Le sovratensioni impulsive si verranno a manifestare, essenzialmente, sull'induttore: il livello di
isolamento di questo componente deve essere coordinato con quello della rete.
•
Porre uno scaricatore in parallelo all'induttore.
Pagina 34 di 38
8 Valutazione economica del filtro
Di notevole importanza è la scelta della taglia del filtro che minimizza il costo, a parità di
prestazione. Si tratta quindi di considerare gli elementi che, dissipando energia, contribuiscono
ad incrementare il costo del filtro:
•
Perdite nel condensatore.
•
Perdite nell’induttore:
Fig. 16 - Circuito equivalente di un impianto elettrico visto dal carico distorcente
Se QF del filtro è alto, si possono suddividere le cadute di tensione sui soli componenti reattivi:
VC = VL + VS
(8.1)
Posto X L = ω0 L ,
XC =
1
ed
ω0C
ω0 = pulsazione di rete, per un filtro accordato all’armonica h, in condizioni di risonanza si ha:
Xh = h⋅ XL =
X
XC
⇒ X L = 2C
h
h
(8.2)
(8.3)
Xh h⋅ XL ⎤
⎡
⎢QF = R = R ⎥
⎣
⎦
di conseguenza:
VL = X L ⋅ I1 =
X C ⋅ I 1 VC
= 2
h2
h
dove I 1 è la corrente a 50 Hz.
(8.4)
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Se ora si definisce la taglia del filtro S (size) come la potenza alla frequenza fondamentale:
VS2
S=
, dalle equazioni ( 8.1 ), ( 8.2 ), ( 8.4) si ricava:
XC − XL
S=
VS2
V2
= S
1 ⎞ XC
⎛
X C ⋅ ⎜1 − 2 ⎟
⎝ h ⎠
⎛ h2 ⎞
⎟⎟
⋅ ⎜⎜ 2
1
−
h
⎝
⎠
1 ⎞
⎛
VS = VC − V L = VC ⋅ ⎜1 − 2 ⎟
⎝ h ⎠
[MVar ]
(8.5)
[kV ]
(8.6)
quindi:
⎛ h2 ⎞
⎟⎟VS
VC = ⎜⎜ 2
⎝ h −1⎠
[kV]
(8.7)
Si valutino, ora, i singoli componenti del filtro:
CONDENSATORE
Il carico alla fondamentale è:
2
⎛ h2 ⎞
VC2 VS2 ⎛ h 2 ⎞
⎜
⎟
⎟⎟
=
= S ⋅ ⎜⎜ 2
X C X C ⎜⎝ h 2 − 1 ⎟⎠
1
−
h
⎝
⎠
[MVar ]
(8.8)
Il carico alla armonica di accordo è:
I h2
X C I h2 ⋅ VS2
=
h
S ⋅h
⎛ h2 ⎞
⎜⎜ 2
⎟⎟
⎝ h −1⎠
(8.9)
[MVar ]
⎡ kW ⎤
posto K CL il fattore di perdita del condensatore espresso in ⎢
, le perdite dovute al
⎣ MVar ⎥⎦
condensatore sono:
⎛
I h2 ⋅ VS2
⎜
K CL ⋅ (carico ) = K CL ⎜ S +
S ⋅h
⎝
⎞⎛ h 2 ⎞
⎟⎟⎜⎜ 2
⎟⎟
⎠⎝ h − 1 ⎠
[kW ]
(8.10)
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INDUTTORE
Il carico alla fondamentale è:
V2
V L2 ⎛ VC2 ⎞ h 2
S
= ⎜⎜ 2 ⎟⎟
= 2C = 2
XC ⎝ h ⎠ XC h XC h
⎛ h2 ⎞
⎜⎜ 2
⎟⎟
⎝ h −1⎠
(8.11)
[MVar ]
Il carico alla armonica di accordo: è uguale a quella del condensatore, poiché le reattanze sono identiche
alla frequenza di accordo.
Le perdite nella resistenza equivalente, osservando che R =
Xh
XC
S
[kA] , sono:
=
e che I 1 =
QF h ⋅ QF
VS
(8.12)
(
)
R I12 + I h2 =
S 2 1 ⎛ h 2 ⎞ 2 VS2 ⎛ h 2 ⎞
S2 XC
2 XC
⎜
⎟ + Ih
⎜
⎟=
+
=
I
h
h ⋅ QF ⋅ S ⎜⎝ h 2 − 1 ⎟⎠
hQF hQF S ⎜⎝ h 2 − 1 ⎟⎠
VS2 hQF
⎛ S
VS2 ⎞⎛ h 2 ⎞ −3
⎟⎜
⎟10
= ⎜⎜
+ I h2
h ⋅ QF ⋅ S ⎟⎠⎜⎝ h 2 − 1 ⎟⎠
⎝ hQF
[kW ]
Per fare una valutazione del costo dovuto alle perdite di energia nei due componenti si devono
esprimere le perdite in termini di costo capitale equivalente, cioè attualizzarle ad oggi. Posto i il tasso di
interesse ed N la vita prevista per il filtro, il tasso di attualizzazione è:
PU =
(1 + i )N − 1
N
i ⋅ (1 + i )
(8.13)
Il costo attualizzato dell’energia dissipata annualmente del filtro vale quindi:
C A = PU ⋅U U ⋅ FU ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ ( perdite )
(8.14)
dove si è indicato con U U il costo delle perdite di energia per kWh e con FU il fattore di utilizzazione
del filtro.
Il costo totale è dato da tre contributi: il costo costante del filtro, il costo incrementale per il carico cui è
sottoposto e il costo attualizzato dell’energia dissipata; ed è dato dalla seguente espressione:
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⎧
⎛
⎛ S
I h2 ⋅ VS2 ⎞
VS2 ⎞
2
⎜
⎟
⎜
⎟ + 8760 ⋅ PU ⋅ U U ⋅ FU
⋅
+
+
⋅
+
⋅
U
S
U
I
⎪ C ⎜
L ⎜ 2
h
h ⋅ S ⎟⎠
h ⋅ S ⎟⎠
⎛ h 2 ⎞⎪
⎝
⎝h
⎟⎟⎨
CT = U T + ⎜⎜ 2
⎛
I h2 ⋅ VS2 ⎞⎤
I h2 ⋅ VS2 ⎞
S
⎝ h − 1 ⎠⎪ ⎡
3⎛
⎜
⎟
⎜
⎟⎟⎥
10
⋅
⋅
+
+
+
K
S
⎟
⎜ h⋅Q
⎪ ⎢ CL ⎜
h
⋅
S
h
⋅
Q
⋅
S
⎢
F
F
⎝
⎠
⎝
⎠⎥⎦
⎩⎣
⎫
⋅⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(8.15)
Dove U T è il costo costante del filtro, U C è il costo incrementale del condensatore per MVar e U L è il
costo incrementale dell’induttore per MVar.
Se si indicano con A e B le seguenti espressioni:
⎛ h2 ⎞ ⎡
U
⎟⎟ ⋅ ⎢U C + L + 8760 ⋅ PU ⋅ U U ⋅ FU
A = ⎜⎜ 2
h
⎝ h −1⎠ ⎣
⎛ h 2 ⎞ ⎛ VS2 ⋅ I h2
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
B = ⎜⎜ 2
1
h
−
⎝
⎠ ⎝ h
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦
(8.16)
⎛
10 3 ⎞⎤
⎟⎟⎥
⋅ ⎜⎜ K CL +
Q
F ⎠⎦
⎝
(8.17)
⎛
10 3
⋅ ⎜⎜ K CL +
h ⋅ QF
⎝
⎞ ⎡
⎟⎟ ⋅ ⎢U C + U L + 8760 ⋅ PU ⋅ U U ⋅ FU
⎠ ⎣
otteniamo la semplice espressione del costo totale in funzione della taglia:
CT = U T + A ⋅ S +
(8.18)
B
S
Al variare della taglia S, il costo minimo totale si ricava annullando la derivata prima della (12.1-17):
d (CT )
= 0 ⇒ S MIN =
dS
B
A
[kVar ]
(8.19)
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9 Sistemi misti
A volte, al fine di inseguire le variazioni di potenza reattiva, si progetta un filtro che sia in grado di
compensare solo la potenza reattiva minima del carico e, in parallelo a tale filtro, si pone una batteria di
condensatori inseribili a gradini.
Questa configurazione corrisponde a mettere in parallelo un bipolo LC parallelo (parallelo rete/batteria
di condensatori) ed un bipolo LC serie (filtro). Detta ω0 la frequenza di risonanza di uno di questi
bipoli, si osserva che:
Il bipolo LC serie è:
• Capacitivo per ω< ω0
• Induttivo per ω> ω0
Il bipolo LC parallelo è:
• Induttivo per ω< ω0
• Capacitivo per ω> ω0
Come schematicamente mostrato nelle figure a
lato (Figura 17).
In funzione della posizione reciproca delle
pulsazioni di risonanza dei due bipoli e del loro
fattore di merito, in un sistema misto, si
possono avere una o più risonanze in parallelo
fra il bipolo LC serie ed il bipolo LC parallelo
(Figura 15). È quindi consigliabile, quando si
utilizzano tali sistemi, verificare che per ogni
valore di capacità del banco di condensatori,
non si verifichino condizioni di risonanza
pericolose per sistema elettrico.
Fig. 17 - Comportamento dei bipoli LC serie ed LC
parallelo in funzione della frequenza
Fig. 18 - Varie possibilità di risonanza parallelo fra un bipolo LC serie ed un bipolo LC parallelo