Problema n. 127 Pag. 65 Sia dato il triangolo ABC. E sia Dato che il

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Problema n. 127 Pag. 65
Sia dato il triangolo ABC. E sia cos  
5
6
  33, 6
0    90
Dato che il triangolo è isoscele . e gli angoli alla base sono α, e dato che la somma degli angoli è 180, se io
indico con x l’angolo BCA. Allora ho che x+α+α=180 da cui x=180-2α.
L’ortocentro di un triangolo è l’incontro dei tre assi . Alla fine ottengo un punto O’ tale che è il centro della
circonferenza circoscritta. Tale punto può stare interno al triangolo o esterno.
Ricordando che ogni angolo al centro è il doppio del suo corrispondente angolo alla circonferenza ho che
AO ' B  4
CO ' A  2 CO ' B  2
Osserviamo che 0    90 (poiché 180  2  0 da cui   90 )
Se cos  
5
6
sin   1 
25
36  25
11
11



36
36
36
6
sin 2  2sin  cos   2
11 5 5 11

6 6
18
CO ' A  2
cos 2  cos 2   sin 2  
25 11 14 7



36 36 36 18
CO ' B  2
sin 4  sin 2(2 )  2sin 2 cos 2  2
5 11 7 35 11

18 18
162
cos 4  cos 2(2 )  cos 2 2  sin 2 2 
49 275
226
113



324 324
324
162
AO ' B  4
AO ' B  4
Rispondiamo alle domande.
sin AO ' B  sin 4 
35 11
162
sin CO ' B  sin CO ' A  sin 2 
5 11
18
Problema n. 128 Pag. 66
Sia dato il triangolo ABC. E sia sin  
180  2  82,8
3
  48, 6
4
2  97, 2 360  4  165, 6
Dato che il triangolo è isoscele . e gli angoli alla base sono α, e dato che la somma degli angoli è 180, se io
indico con x l’angolo BCA. Allora ho che x+α+α=180 da cui x=180-2α.
L’ortocentro di un triangolo è l’incontro delle tre assi . Alla fine ottengo un punto O’ tale che è il centro
della circonferenza circoscritta. Tale punto può stare interno al triangolo o esterno.
Ricordando che ogni angolo al centro è il doppio del suo corrispondente angolo alla circonferenza ho che
AO ' B  360  4
CO ' A  2 CO ' B  2
Osserviamo che 0    90 (poiché 180  2  0 da cui   90 )
Se sin  
3
4
cos   1 
9
16  9
7
7



16
16
16
4
sin 2  2sin  cos   2
73 3 7

4 4
8
cos 2  cos 2   sin 2  
7 9
2
1
  
16 16
16
8
sin 4  sin 2(2 )  2sin 2 cos 2  2
CO ' A  2
CO ' B  2
3 7  1
3 7
   
8  8
32
cos 4  cos 2 2  sin 2 2 
1 63
62
31



64 64
64
32
sin(360  4 )  sin(4 )   sin(4 )  
cos(360  4 )  cos(4 )  cos(4 )  
3 7
8
AO ' B  4
31
32
Allora con questi rispondiamo alle domande:
sin( AO ' B)  sin(360  4 )  sin(4 )   sin(4 )  
sin(CO ' B)  sin(2 ) 
3 7
8
sin(CO ' A)  sin(2 ) 
3 7
8
sin(O ' BC )  sin(90   )  cos  
7
4
sin(O ' AC )  sin(90   )  cos  
7
4
Problema n. 156 p68
Sia dato il triangolo ABC. E sia cos   
cos   
1
  101,5
5
1
1
24 2
sin   1 


6
5
25
25 5
3 7
32

1  cos 
sin 

2
2

1  cos 
cos 

2
2
1
2
1
5 
1
2
1
5 
6
3

10
5
4
2

10
5
Con questi dati calcoliamo le richieste del problema.


2
sin B  sin C  sin(90  )  cos 
2
2
5


3
cos B  cos C  cos(90  )  sin 
2
2
5
Problema 157 n. 68
Sia dato il triangolo ABC. E sia cos  
cos  
7
  73, 7
25
7
49
576 24
sin   1 


25
625
25 25
1

1
1  cos 
cos 

2
2
1  cos 
sin 

2
2
cos
sin
7
25  25  7  32  16  4
2
50
50
25 5


4

4
1  cos

2
1  cos

2

2 

2 
7
25  25  7  18  9  3
2
50
50
25 5
1
2
1
2
4
5 
4
5 
9
3

10
10
1
1

10
10



2
4
Dato che ho 4 e lo scrivo come somma 4 di
3
cos 3
cos 3

  
  
 
 
   
 cos  2    cos     cos   cos    sin   sin   
4
 4 4
2 4
2
4
2 4

4

4 3
3 1
12  3
9



5 10 5 10 5 10 5 10


2
81
169
13
 9 
sin 3  1  cos 3  1  
 1



4
4
250
250 5 10
 5 10 
2
Rispondendo alla richiesta del problema…

2 9
2 13

 
 
cos AIB  cos  45  3   cos  45 cos  3   sin  45  sin  3  


4

 4
 4  2 5 10 2 5 10
cos AIB  
4 2
4 2
2


10 10
10 2 5
5 5
Problema n. 159 pag. 68
La bisettrice di C di divide l’angolo in due parti
ˆ   e BCI
ˆ 
ACI
2
2.
Dato che il triangolo ACI è isoscele di base AC gli angoli alla base ACI e CAI sono uguali.
ˆ 
CAI
2
E quindi
cos   
sin

cos

2

2

ˆ  180        180  3
ABC


2
2

L’angolo
7
49
576 24
sin   1 


25
625
25 25
7
25  25  7  32  16  4
2
50
50
25 5
1  cos 

2
1
1  cos 

2
1
7
25  25  7  18  9  3
2
50
50
25 5



2
2
Dato che ho 2 e lo scrivo come somma 2 di
3
cos 3
cos 3



 
    7 3   24 4  21  96
 cos      cos   cos    sin   sin     



2
2
125

2
 2   25 5   25 5 

2

117
125
sin 3

2
 1  cos 2 3

2
 1
13689 44

15625 125
Rispondendo alla richiesta del problema…
  3
cos A  cos   
2 5
cos B  cos(180 
3
3 117
)   cos

2
2 125
  4
sin A  sin   
2 5
sin B  sin(180 
3
3 44
)  sin

2
2 125
Problema n. 160 pag. 69
Dato che ho un angolo al centro α, l’angolo alla circonferenza C sarà α/2. Dato che BC è un diametro allora
l’angolo in A=90°. Si poteva anche arrivare a tale conclusione considerando che i triangoli ACO e ABO sono
CAB  CAO  CAB 
isosceli e quindi hanno gli angoli alla base uguali. E allora

2
 90 
Premesso questo ho che
cos   
4
5
sin   1 
1  cos 

2
1
1  cos 
cos 

2
2
1
sin

2


2
16
9 3


25
25 5
4
5 
2
4
5 
9
3

10
10
1
1

10
10
Rispondendo alle richieste del problema
3
 
sin C  sin   
10
2
1
 
cos C  cos   
10
2


3
cos B  cos(90  )  sin 
2
2
10
cos A  cos90  0
sin A  sin90  1


1
cos B  cos(90  )  sin 
2
2
10

2
 90
.
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