Problema n. 127 Pag. 65
Sia dato il triangolo ABC. E sia cos
5
6
33, 6
0 90
Dato che il triangolo è isoscele . e gli angoli alla base sono α, e dato che la somma degli angoli è 180, se io
indico con x l’angolo BCA. Allora ho che x+α+α=180 da cui x=180-2α.
L’ortocentro di un triangolo è l’incontro dei tre assi . Alla fine ottengo un punto O’ tale che è il centro della
circonferenza circoscritta. Tale punto può stare interno al triangolo o esterno.
Ricordando che ogni angolo al centro è il doppio del suo corrispondente angolo alla circonferenza ho che
AO ' B 4
CO ' A 2 CO ' B 2
Osserviamo che 0 90 (poiché 180 2 0 da cui 90 )
Se cos
5
6
sin 1
25
36 25
11
11
36
36
36
6
sin 2 2sin cos 2
11 5 5 11
6 6
18
CO ' A 2
cos 2 cos 2 sin 2
25 11 14 7
36 36 36 18
CO ' B 2
sin 4 sin 2(2 ) 2sin 2 cos 2 2
5 11 7 35 11
18 18
162
cos 4 cos 2(2 ) cos 2 2 sin 2 2
49 275
226
113
324 324
324
162
AO ' B 4
AO ' B 4
Rispondiamo alle domande.
sin AO ' B sin 4
35 11
162
sin CO ' B sin CO ' A sin 2
5 11
18
Problema n. 128 Pag. 66
Sia dato il triangolo ABC. E sia sin
180 2 82,8
3
48, 6
4
2 97, 2 360 4 165, 6
Dato che il triangolo è isoscele . e gli angoli alla base sono α, e dato che la somma degli angoli è 180, se io
indico con x l’angolo BCA. Allora ho che x+α+α=180 da cui x=180-2α.
L’ortocentro di un triangolo è l’incontro delle tre assi . Alla fine ottengo un punto O’ tale che è il centro
della circonferenza circoscritta. Tale punto può stare interno al triangolo o esterno.
Ricordando che ogni angolo al centro è il doppio del suo corrispondente angolo alla circonferenza ho che
AO ' B 360 4
CO ' A 2 CO ' B 2
Osserviamo che 0 90 (poiché 180 2 0 da cui 90 )
Se sin
3
4
cos 1
9
16 9
7
7
16
16
16
4
sin 2 2sin cos 2
73 3 7
4 4
8
cos 2 cos 2 sin 2
7 9
2
1
16 16
16
8
sin 4 sin 2(2 ) 2sin 2 cos 2 2
CO ' A 2
CO ' B 2
3 7 1
3 7
8 8
32
cos 4 cos 2 2 sin 2 2
1 63
62
31
64 64
64
32
sin(360 4 ) sin(4 ) sin(4 )
cos(360 4 ) cos(4 ) cos(4 )
3 7
8
AO ' B 4
31
32
Allora con questi rispondiamo alle domande:
sin( AO ' B) sin(360 4 ) sin(4 ) sin(4 )
sin(CO ' B) sin(2 )
3 7
8
sin(CO ' A) sin(2 )
3 7
8
sin(O ' BC ) sin(90 ) cos
7
4
sin(O ' AC ) sin(90 ) cos
7
4
Problema n. 156 p68
Sia dato il triangolo ABC. E sia cos
cos
1
101,5
5
1
1
24 2
sin 1
6
5
25
25 5
3 7
32
1 cos
sin
2
2
1 cos
cos
2
2
1
2
1
5
1
2
1
5
6
3
10
5
4
2
10
5
Con questi dati calcoliamo le richieste del problema.
2
sin B sin C sin(90 ) cos
2
2
5
3
cos B cos C cos(90 ) sin
2
2
5
Problema 157 n. 68
Sia dato il triangolo ABC. E sia cos
cos
7
73, 7
25
7
49
576 24
sin 1
25
625
25 25
1
1
1 cos
cos
2
2
1 cos
sin
2
2
cos
sin
7
25 25 7 32 16 4
2
50
50
25 5
4
4
1 cos
2
1 cos
2
2
2
7
25 25 7 18 9 3
2
50
50
25 5
1
2
1
2
4
5
4
5
9
3
10
10
1
1
10
10
2
4
Dato che ho 4 e lo scrivo come somma 4 di
3
cos 3
cos 3
cos 2 cos cos cos sin sin
4
4 4
2 4
2
4
2 4
4
4 3
3 1
12 3
9
5 10 5 10 5 10 5 10
2
81
169
13
9
sin 3 1 cos 3 1
1
4
4
250
250 5 10
5 10
2
Rispondendo alla richiesta del problema…
2 9
2 13
cos AIB cos 45 3 cos 45 cos 3 sin 45 sin 3
4
4
4 2 5 10 2 5 10
cos AIB
4 2
4 2
2
10 10
10 2 5
5 5
Problema n. 159 pag. 68
La bisettrice di C di divide l’angolo in due parti
ˆ e BCI
ˆ
ACI
2
2.
Dato che il triangolo ACI è isoscele di base AC gli angoli alla base ACI e CAI sono uguali.
ˆ
CAI
2
E quindi
cos
sin
cos
2
2
ˆ 180 180 3
ABC
2
2
L’angolo
7
49
576 24
sin 1
25
625
25 25
7
25 25 7 32 16 4
2
50
50
25 5
1 cos
2
1
1 cos
2
1
7
25 25 7 18 9 3
2
50
50
25 5
2
2
Dato che ho 2 e lo scrivo come somma 2 di
3
cos 3
cos 3
7 3 24 4 21 96
cos cos cos sin sin
2
2
125
2
2 25 5 25 5
2
117
125
sin 3
2
1 cos 2 3
2
1
13689 44
15625 125
Rispondendo alla richiesta del problema…
3
cos A cos
2 5
cos B cos(180
3
3 117
) cos
2
2 125
4
sin A sin
2 5
sin B sin(180
3
3 44
) sin
2
2 125
Problema n. 160 pag. 69
Dato che ho un angolo al centro α, l’angolo alla circonferenza C sarà α/2. Dato che BC è un diametro allora
l’angolo in A=90°. Si poteva anche arrivare a tale conclusione considerando che i triangoli ACO e ABO sono
CAB CAO CAB
isosceli e quindi hanno gli angoli alla base uguali. E allora
2
90
Premesso questo ho che
cos
4
5
sin 1
1 cos
2
1
1 cos
cos
2
2
1
sin
2
2
16
9 3
25
25 5
4
5
2
4
5
9
3
10
10
1
1
10
10
Rispondendo alle richieste del problema
3
sin C sin
10
2
1
cos C cos
10
2
3
cos B cos(90 ) sin
2
2
10
cos A cos90 0
sin A sin90 1
1
cos B cos(90 ) sin
2
2
10
2
90
.
