cerchio e circonferenza

Cerchio e circonferenza (parte seconda) - 1
Raccolta di problemi di geometra piana sul cerchio e sulla circonferenza
Circle and Circumference Problems
Appunti e formule di matematica
Quesito n° 01al97ub
Un cerchio ha il centro in O e l’area di 225 cm2. Sul prolungamento di un suo diametro AB si è
preso un segmento BP che misura 10 cm e da P si è tracciato il segmento PT tangente alla
circonferenza. Calcolare:
a) l’area e il perimetro del triangolo OPT;
b) la misura dell’altezza del triangolo OPT relativa al vertice T;
c) l’area e il perimetro del triangolo APT.
B
Quesito n° 02al97ub
Osserva la figura: l’area del cerchio di centro O è di 706,50
cm2 (225 cm2), AB è tangente alla circonferenza e AO = 25
cm.
Calcola le misure di AB e BH, le aree dei triangoli ABO e
ABC e il loro rapporto.
A
H
25
r
O
C
Quesito n° 03al97ub
L’altezza del triangolo isoscele inscritto in una circonferenza è i 2/5 del raggio. calcola il perimetro
del triangolo sapendo che l’area del cerchio è di 100 cm2.
Quesito n° 04al97ub
In un cerchio che ha l’area di 625 cm2, due corde AB e AD sono situate da parti opposte rispetto al
diametro AC e le loro distanze dal centro misurano rispettivamente 15 cm e 7 cm.
Calcolate l’area e la lunghezza del perimetro del quadrangolo ABCD.
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Cerchio e circonferenza (parte seconda) - 2
Quesito n° 01al97ub
Un cerchio ha il centro in O e l’area di 225 cm2. Sul prolungamento di un suo diametro AB si è
preso un segmento BP che misura 10 cm e da P si è tracciato il segmento PT tangente alla
circonferenza. Calcolare:
a) l’area e il perimetro del triangolo OPT;
b) la misura dell’altezza del triangolo OPT relativa al vertice T;
c) l’area e il perimetro del triangolo APT.
T
A = 225 cm2
BP = 10 cm
r
A
r O
H
B
P
10
Essendo A = r2 si ha la formula inversa r = sqr(A/)
r = OT = OB =
A


225

 225 = 15 cm
OP = r + BP = 15 + 10 = 25 cm
Essendo il triangolo OPT rettangolo in T si ha
TP =
OP2 - r 2  252 - 152  625 - 225  400 = 20 cm
AOPT = OT*TP/2 = 20*15/2 = 150 cm2
2pOPT = OT+TP+OP = 15+20+25 = 60 cm
Formula inversa
TH = 2*AOPT/OP = 150*2/25 = 12 cm
OH = sqr(r2 -TH2) = sqr(152-122) =sqr(81) = 9 cm
I e II Teorema Euclide
OH : OT = OT : OP
OH : 15 = 15 : 25
OH = 15*15/25 = 9 cm
HP = OP - OH = 25 -9 = 16 cm
OH : HT = HT : HP
9 : HT = HT : 16
HT = sqr(9*16) = 12 cm
AP = 2r + BP = OP + r = 30 + 10 = 40 cm
AAPT = AP*TH/2 = 40*12/2 = 240 cm2
AT = sqr((OH+r)2+TH2) = sqr(242+122) = sqr(720) = 125 cm = 26,83 cm
2pAPT = AP+TP+AT = 40+20+125 = (60 + 125) cm = 86,83 cm
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Cerchio e circonferenza (parte seconda) - 3
Quesito n° 02al97ub
Osserva la figura: l’area del cerchio di centro O è di 706,50 cm 2 (225 cm2), AB è tangente alla
circonferenza e AO = 25 cm.
Calcola le misure di AB e BH, le aree dei triangoli ABO e ABC e il loro rapporto.
B
A
H
A = 706,50 cm2 (225 cm2)
AO = 25 cm
r
O
C
25
Essendo A = r2 si ha la formula inversa r = sqr(A/)
r = OC = OB = sqr(A/) = sqr(225/) = 15 cm
Essendo il triangolo AOB rettangolo in B si ha
AB = sqr(AO2-r2) = sqr(252-152) = sqr(625-225) = sqr(400) = 20 cm
BH = hAOB =
2A

b
2
c1  c2
2  AB  r  20  15
= 12 cm
i
AO
25
AABO = bABO*h/2 = AO*BH/2 = 25*12/2 = 150 cm2
AABC = bABC*h/2 = (AO+r)*BH/2 = (25+15)*12/2 = 40*6 = 240 cm2
AABO 150 5


AABC 240 8
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Cerchio e circonferenza (parte seconda) - 4
Quesito n° 03al97ub
L’altezza del triangolo isoscele inscritto in una circonferenza è i 2/5 del raggio. calcola il perimetro
del triangolo sapendo che l’area del cerchio è di 100 cm2.
C
A
B
H
2
r
5
A = 100 cm2
CO = OB = r
hABC =
O
Essendo A = r2 si ha la formula inversa r = sqr(A/)
r = OC = OB = sqr(A/) = sqr(100/) = 10 cm
CH =
2
 r = 10:5*2 = 4 cm
5
OH = r - CH = 10 - 4 = 6 cm
HB = sqr(r2-OH2) = sqr(102-62) = sqr(64) = 8 cm
AC = CB = sqr(HB2+CH2) = sqr(82+42) = sqr(80) = 45 cm = 8,94 cm
AB = 2*HB = 2 * 8 = 16 cm
AABC = bABC*h/2 = AB*CH/2 = 16*4/2 = 32 cm2
2pABC = AB+2*BC = 16+2*45 = (16+85) cm = 33,88 cm
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Cerchio e circonferenza (parte seconda) - 5
Quesito n° 04al97ub
In un cerchio che ha l’area di 625 cm2, due corde AB e AD sono situate da parti opposte rispetto al
diametro AC e le loro distanze dal centro misurano rispettivamente 15 cm e 7 cm.
calcolate l’area e la lunghezza del perimetro del quadrangolo ABCD.
B
A = 625 cm2
OK = 15 cm
OH = 7 cm
K
15
O
7
C
A
H
D
Essendo A = r2 si ha la formula inversa r = sqr(A/)
r = OC = OA = sqr(A/) = sqr(625/) = 25 cm
d = AC = 2*r = 2*25 = 50 cm
Applicando il Teorema di Pitagora
Oppure con i triangoli simili (lati in proporzione)
AK = sqr(r2-OK2) = sqr(252-152) = sqr(400) = 20 cm
AB = 2*AK = 2*20 = 40 cm
BC = sqr(d2-AB2) = sqr(502-402) = sqr(900) = 30 cm
AO : OK = AC : CB
25 : 15 = 50 : CB
CB = 15*50/25 = 30 cm
AB = sqr(d2-CB2) = sqr(502-302) = sqr(1600) = 40 cm
AH = sqr(r2-OH2) = sqr(252-72) = sqr(576) = 24 cm
AD = 2*AH = 2*24 = 48 cm
AO : OH = AC : CD
CD = sqr(d2-AD2) = sqr(502-482) = sqr(196) = 14 cm
25 : 7 = 50 : CD
CD = 7*50/25 = 14 cm
AD = sqr(d2-CD2) = sqr(502-142) = sqr(2304) = 48 cm
2pABCD = AB+BC+CD+AD = 40+30+14+48 = 132 cm
AABC = b*h/2 = BC*AB/2 = 30*40/2 = 600 cm2
AACD = b*h/2 = CD*AD/2 = 14*48/2 = 336 cm2
AABCD = AABC + AACD = 600+336 = 936 cm2
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Cerchio e circonferenza (parte seconda) - 6
Keywords
Geometria, cerchio, circonferenza, pi greco, Pi, diametro, raggio, centro, corda,
distanza dal centro, settore, segmento, corona circolare, arco, Pitagora, problemi di
geometria con soluzioni, Matematica, esercizi con soluzioni.
Geometry, circle, circumference, circumference and area of circe, pigreco,
diameter, radius, radii, center, chord, arc, sagitta, Geometry Problems with solution,
Math.
Geometría, circunferencia, circulo, disco, radio, diámetro, arco, Área, perímetro,
Matemática.
Géométrie, cercle, circonférence, centre, corde, arc, rayon, diamètre, flèche,
Aires, périmètres, Mathématique.
Geometrie, Kreis, Ortslinie, Umfang, Radius, Durchmesser, Mathematik.
Dansk (Danish) omkreds, periferi
Nederlands (Dutch) cirkelomtrek
Français (French) circonférence
Deutsch (German) Umfang, Kreislinie
Ελληνική (Greek) περιφέρεια ή περίμετρος
κύκλοσ
Italiano (Italian) circonferenza
Português (Portuguese) circunferência
Русский (Russian) окружность
Español (Spanish) circunferencia
Svenska (Swedish) omkrets, periferi
中文（简体） (Chinese (Simplified))
圆周, 胸围, 周围
中文（繁體） (Chinese (Traditional))
n. - 圓周, 胸圍, 周圍
한국어 (Korean)원주, 주위, 영역
日本語 (Japanese)円周, 周辺, 周囲
‫( ال عرب يه‬Arabic) (‫محيط الدائرة )االسم‬, ‫محيط‬
)werbeH( ‫ףהיק‮עברית‬
Dansk (Danish)cirkel
Nederlands (Dutch) kring
Français (French) cercle,
Deutsch (German) Kreis
Ελληνική (Greek) κύκλος
Português (Portuguese) círculo
Русский (Russian) описывать
Español (Spanish) círculo
Svenska (Swedish) cirkel
中文（简体） (Chinese (Simplified)) 圆周
中文（繁體） (Chinese (Traditional)) 圓周
한국어 (Korean) 원
日本語 (Japanese) 円
- ‫( ال عرب يه‬Arabic) (‫دائ رة )اال سم‬
‫( עברית‬Hebrew) ‫מחזור‬
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