Corso di Impianti Elettrici Industriali Parte 1A Richiami di Elettrotecnica

G. Pasini
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Corso di Impianti Elettrici Industriali
Parte 1A
Richiami di Elettrotecnica
Questi appunti non hanno la pretesa di costituire o di sostituire un corso di Elettrotecnica, corso che peraltro
il lettore dovrebbe aver già seguito e averne superato l'esame con successo, ma solo di fornire un
vademecum utilizzabile quando, nell'affrontare gli argomenti propri del corso di Impianti Elettrici Industriali, ci
si imbatta in aspetti teorici che forse talvolta necessitano un breve ripasso.
Il contenuto non è quindi esaustivo - né comunque potrebbe esserlo - della vasta materia di studi che
abitualmente e convenzionalmente viene chiamata Elettrotecnica. Vengono infatti ripresi solo gli aspetti
principali - e, forse, qualcuno di quelli che potrebbero essere necessari manca all'appello, nonostante le
buone intenzioni dell'autore - e di essi si trattano gli aspetti essenziali, cercando un compromesso tra la
vastità delle implicazioni, delle correlazioni, dei passaggi matematici e logici e la necessità di arrivare ad una
formulazione fruibile in una materia applicativa qual è lo studio degli Impianti Elettrici.
Lo studente del corso di Impianti Elettrici Industriali sia però consapevole che senza solide basi di
Elettrotecnica lo studio degli Impianti Elettrici non può essere svolto proficuamente. Le prove d'esame di tale
corso potranno quindi contemplare anche domande e problemi riconducibili alla materia di base.
L'autore si scusa di eventuali incompletezze, inesattezze o errori e resta a disposizione, fin d'ora con
gratitudine, a chi vorrà segnalargliene, affinché possano essere emendati nelle revisioni successive.
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Sommario
1-
Dalla Fisica all'Elettrotecnica................................................................................... 3
1.1 - Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo ......................................................................................3
1.2 - La classificazione dei fenomeni elettrici ...............................................................................................3
1.3 - Cenni di Elettrostatica ..........................................................................................................................4
1.3.1 - Il Condensatore .............................................................................................................................................. 5
1.4 - Cenni di Elettrodinamica Stazionaria ...................................................................................................6
1.4.1 - La Resistenza ................................................................................................................................................. 7
1.4.2 - I principi di Kirchhoff ....................................................................................................................................... 9
1.5 - Cenni di Elettrodinamica Quasi-Stazionaria ......................................................................................10
1.5.1 - L'Induttanza .................................................................................................................................................. 10
2-
Analisi delle Reti Elettriche in Regime Stazionario ............................................. 11
2.1 - I bipoli ideali - Il resistore....................................................................................................................11
2.2 - Serie e parallelo .................................................................................................................................12
2.3 - Metodi per la soluzione di reti elettriche lineari ..................................................................................13
2.3.1 - Metodo delle correnti di lato.......................................................................................................................... 14
2.3.2 - Metodo delle tensioni di nodo ....................................................................................................................... 14
2.3.3 - Metodo delle correnti di maglia ..................................................................................................................... 14
2.4 - Equivalenti e sovrapposizione degli effetti .........................................................................................15
2.5 - I teoremi di Thevenin e di Norton .......................................................................................................16
2.6 - Le conversioni stella-triangolo e triangolo-stella ................................................................................17
2.7 - Metodi matriciali per l'analisi delle reti elettriche lineari .....................................................................18
2.8 - Cenni alle reti elettriche non lineari ....................................................................................................21
2.9 - Potenza elettrica - Effetto Joule .........................................................................................................22
2.10 - Partitore di corrente e di tensione ......................................................................................................24
3-
Circuiti Magnetici .................................................................................................... 25
3.1 - Campo Magnetico e Induzione Magnetica.........................................................................................25
3.2 - Il circuito magnetico............................................................................................................................26
3.3 - Analogia tra circuito elettrico e circuito magnetico.............................................................................26
3.4 - Induzione Elettromagnetica................................................................................................................28
3.5 - Energia Magnetica .............................................................................................................................32
3.6 - Azioni Meccaniche .............................................................................................................................34
3.7 - Materiali Ferromagnetici.....................................................................................................................35
4-
Analisi delle Reti Elettriche in Regime Variabile.................................................. 39
4.1 - Limiti di Validità dei Principi di Kirchhoff.............................................................................................39
4.2 - Bipoli Ideali .........................................................................................................................................40
4.3 - Leggi di Kirchhoff in Regime Variabile ...............................................................................................41
4.4 - Regime Transitorio e Regime Permanente - Un esempio .................................................................42
4.5 - Il Regime Periodico Alternato Sinusoidale (P.A.S.) ...........................................................................44
4.6 - L'Analisi delle Reti Elettriche con la Notazione Fasoriale ..................................................................48
4.7 - Potenza Attiva, Reattiva, Apparente ..................................................................................................50
4.8 - Rifasamento .......................................................................................................................................54
4.9 - Risonanza ..........................................................................................................................................56
4.10 - I Transitori Elettrici..............................................................................................................................58
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1 - Dalla Fisica all'Elettrotecnica
1.1 - Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo
Negli studi di Fisica l'allievo ha senz'altro incontrato le equazioni di Maxwell, che vengono qui richiamate
brevemente:
-
legge di Gauss per il campo elettrico:
Q
∫S E ⋅ un dS = ε 0 ;
-
∇⋅E =
∇⋅B =0
[1.2]
legge di Faraday-Henry:
d
∫L E ⋅ dl = − dt ∫S ( L) B ⋅ un dS ;
-
[1.1]
legge di Gauss per il campo magnetico:
∫S B ⋅ un dS = 0;
-
ρ
ε0
∇×E =−
∂B
∂t
[1.3]
legge di Ampère-Maxwell:
d
∫L B ⋅ dl = μ 0 I + μ 0ε 0 dt ∫S (L ) E ⋅ un dS ;
∇ × B = μ0 J + μ0ε0
∂E
∂t
[1.4]
e l'equazione di continuità:
d
∫S J ⋅ un dS = − dt ∫V (S ) ρdV ;
∇⋅J =−
∂ρ
∂t
[1.5]
si ricordano i valori di ε0 e di μ0:
ε0 = 8.854⋅10-12;
μ0 = 4π⋅10-7 = 1.2566⋅10-6;
(inoltre: 1
ε0μ0 = c , velocità della luce nel vuoto)
validi quando si usano tutte le grandezze del sistema internazione mksA.
1.2 - La classificazione dei fenomeni elettrici
Si nota che nelle espressioni appaiono delle derivate (parziali se in forma differenziale o totali se in forma
integrale) rispetto al tempo.
I fenomeni elettrici possono allora essere suddivisi in due grandi categorie: fenomeni elettrostatici (derivate
nulle) e fenomeni elettrodinamici (derivate diverse da 0).
Nella prima categoria si ha che: la densità volumetrica di carica, punto per punto, non cambia nel tempo; il
campo elettrico è costante; la densità di corrente è nulla in ogni punto (e di conseguenza è nulla la corrente
in ogni sezione); l'integrale di circuitazione del campo elettrico è nullo (campo conservativo); non esiste
campo magnetico.
In questa situazione ci possono essere solo cariche puntiformi e corpi elettricamente carichi, con
distribuzione di carica superficiale o volumetrica.
Perché un fenomeno rientri nella seconda categoria, invece, occorre almeno il presupposto che il vettore
densità di corrente sia, in generale, non nullo. I fenomeni che rientrano in questa seconda categoria vengono
a loro volta suddivisi:
a)
fenomeni stazionari: tutte le derivate rispetto al tempo sono nulle;
b)
fenomeni non-stazionari: in generale tutte le derivate rispetto al tempo sono ≠ 0.
Da un punto di vista ingegneristico, tuttavia, si considera anche una terza situazione, intermedia tra le due,
che viene definita regime quasi-stazionario. In tale situazione molte delle derivate rispetto al tempo sono
nulle, o di valore trascurabile ai fini pratici, mentre altre possono essere sensibilmente diverse da 0. La
discriminazione su quali grandezze possano e quali non possano essere accettate anche come variabili nel
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tempo per considerare il regime come quasi-stazionario è una discriminazione molto delicata sulla quale si
entrerà in merito in seguito.
In particolare la classificazione ora citata si applica ai circuiti elettrici, di cui occorre ora dare una definizione.
Si è già visto che il vettore densità di corrente presenta la caratteristica di essere solenoidale, fatto salvo
l'eventuale accumulo di carica (variazione nel tempo della densità volumetrica di carica). Nelle condizioni di
stazionarietà la solenoidalità è comunque perfetta, pertanto ogni "filetto" di corrente deve richiudersi
descrivendo un percorso chiuso. Questo "filetto" o tubo di flusso può, durante tale percorso, allargarsi o
restringersi (e quindi il modulo della densità di corrente diminuisce o aumenta, rispettivamente), ma la
quantità totale del flusso di J rimane costante.
Per circuito elettrico si intende allora, nella sua definizione più essenziale, un tubo di flusso del vettore
densità di corrente. Ed essendo tale flusso una corrente elettrica, si parla di corrente di un circuito elettrico, a
partire dal presupposto che tale grandezza mantiene lo stesso valore per ogni sezione del circuito stesso.
1.3 - Cenni di Elettrostatica
La principale leggi dell'Elettrostatica sono: la legge di Coulomb, che descrive il campo elettrico prodotto da
una carica puntiforme, e la legge di Gauss per il campo elettrico, che lega flusso e carica (forma integrale) o
divergenza del flusso e densità di carica (forma differenziale).
L'utilizzo della legge di Coulomb o della legge di Gauss per il campo elettrico permettono di descrivere il
campo elettrico generato da distribuzioni di carica superficiale e volumetrica, come è per esempio il caso
della lastra piana.
Poiché in elettrostatica non si ha densità di corrente, la densità di carica è costante nel tempo.
Occorre inoltre effettuare un'importante classificazione dei corpi, in base alla sostanza di cui sono composti.
Per quanto riguarda il moto delle cariche elettriche, esistono materiali conduttori e materiali non conduttori,
detti anche isolanti.
Nei primi le cariche, se sollecitate da un campo elettrico, sono libere di spostarsi, anche se il campo elettrico
è molto debole.
Nei secondi la libertà di movimento delle cariche è fortemente limitata, quindi la distribuzione volumetrica di
carica non subisce variazioni apprezzabili, se non in tempi molto lunghi.
Se un corpo conduttore viene posto in un campo elettrico, subito le cariche tenderanno a spostarsi
muovendosi nella direzione del campo: le cariche positive in verso concorde, le negative in verso discorde.
Si realizza così una separazione di cariche (le positive da una parte e le negativa dall'altra), che genera a
sua volta un campo elettrico.
Tale campo all'interno del corpo conduttore sarà uguale e contrario a quello imposto dall'esterno: infatti, solo
quando i due campi si annulleranno a vicenda il moto delle cariche potrà cessare perché si è raggiunta una
nuova condizione di equilibrio. Lo studio della fase transitoria in cui si ha movimento di cariche non compete
all'elettrostatica, mentre ad essa compete la determinazione del nuovo stato di equilibrio, cioè della
situazione "a regime".
A tale proposito occorre notare che:
1)
internamente ad un corpo conduttore non può mai presentarsi, a regime, campo elettrico, perché se ci
fosse si presenterebbe ancora moto di cariche, fino al suo annullamento;
2)
come conseguenza il potenziale è uniforme in tutto il conduttore (equipotenzialità);
3)
le cariche che si sono spostate e separate si posizionano sulla superficie del conduttore, perché se
esistesse una densità volumetrica di carica si avrebbe campo elettrico e quindi differenze di potenziale,
e non si avrebbe equipotenzialità
Ovviamente, se il corpo è invece costituito da materiale isolante, il campo elettrico non può venire annullato
dallo spostamento di cariche, e pertanto è possibile la presenza di campo elettrico all'interno di tali materiali.
Se questi corpi presentano una costante dielettrica relativa diversa da quella del vuoto, il valore del campo
elettrico verrà modificato di conseguenza.
Un caso interessante si presenta quando il corpo conduttore presenta una cavità al suo interno. Per il
principio di equipotenzialità, la superficie interna del conduttore si presenta tutta allo stesso potenziale V .
Poiché nella cavità non esistono cariche, allora non esistono campi elettrici né differenza di potenziale (d'ora
in poi indicato come d.d.p.), cosicché il valore V è uniforme in tutta la cavità.
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Si è così realizzato uno schermo elettrostatico. Perché lo schermo sia efficace spesso non è necessario
avere un intero corpo chiuso intorno al volume che si vuole schermare, ma basta un conduttore che circondi
tale volume anche con delle "finestre", come una rete, purché abbastanza fitta. L'esempio tipico è la gabbia
di Faraday: una qualunque gabbia di materiale conduttore, purché circondi per intero il volume e sia
abbastanza fitta, si comporta come uno schermo elettrostatico.
1.3.1 - Il Condensatore
Ogni volta che si presentano due conduttori, separati da un isolante (anche l'aria), che possono
reciprocamente interagire per quanto riguarda i fenomeni elettrici, si ha un condensatore.
In un condensatore, sia esso naturale o artificiale, in presenza di sollecitazioni esterne si verifica su un
conduttore il deposito di cariche elettriche di un segno e sull'altro di cariche di segno opposto. Tra i due
conduttori insorge quindi un campo elettrico e quindi una differenza di potenziale.
Si definisce allora la capacità come il rapporto tra la carica presente su ogni conduttore e la differenza di
potenziale:
C=
Q
[F ]
V
1F =
1C
1V
La capacità si misura in farad, simbolo
[1.6]
F.
Il caso più semplice di condensatore è il condensatore piano, costituito da due lastre piane reciprocamente
affacciate. Se le lastre sono abbastanza grandi rispetto alla distanza che le separa, in tutti i punti del
condensatore, esclusi al più i bordi delle lastre stesse, si può considerare il campo elettrico come se le lastre
piane fossero di dimensioni infinite. Vale allora:
E=
σ
2ε 0ε r
[1.7]
in direzione perpendicolare alle lastre. Questo è il campo generato da una sola lastra; l'altra genera un
campo uguale in modulo e direzione, e che all'esterno delle lastre annulla il campo della prima, mentre
all'interno si somma, raddoppiandolo.
Definendo:
d
distanza fra le lastre
A
area di ogni lastra
σ=Q A
densità superficiale di carica
allora vale:
V = E ⋅d =
C=
σ
Q d
d=
ε 0ε r
ε 0ε r A
[1.8]
Q
A
= ε 0ε r
V
d
[1.9]
Un altro caso tipico è il condensatore cilindrico, costituito da due conduttori cilindrici coassiali, di raggio R1 e
R2 , posti uno dentro l'altro. In questo caso le cariche presenti sul cilindro esterno non danno alcun contributo
al campo interno; applicando il teorema di Gauss al cilindro interno, e supponendo la distanza tra i due
cilindri molto più piccola della lunghezza assiale l del condensatore, si ha che ad una distanza R dall'asse il
campo elettrico, radiale, è pari al flusso diviso per l'area:
E=
Q
1
ε0ε r 2πRl
[1.10]
Quindi:
V =∫
R2
R1
1
Q 1
R
Q
ln 2
dR =
ε0ε r 2πRl
ε 0ε r 2πl R1
[1.11]
da cui la capacità:
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C=
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Q
2πl
= ε 0ε r
V
ln(R2 R1 )
[1.12]
La presenza della costante dielettrica del vuoto rende sempre molto piccoli i valori di capacità: tale costante
presenta infatti un ordine di grandezza di 10-12. In realtà quindi non si usa mai il farad ma i suoi sottomultipli
μ F ,nF , pF .
Un esempio potrebbe essere la capacità della Terra (intesa come pianeta), considerando il secondo
conduttore come posto a distanza infinita:
V =∫
∞
R
1 Q
1 Q
dr =
4πε0 r 2
4πε0 R
[1.13]
Q
40 ⋅106
= 708 μF
C = = 4πε0 R = 4 ⋅ π ⋅ 8.854 ⋅10 −12 ⋅
V
2π
Come si vede persino un corpo così grande come la Terra ha una capacità di meno di un millesimo di 1 F;
questo vuol dire che per depositare sulla Terra una carica (complessiva!) di 1 C occorre una differenza di
potenziale, rispetto al resto dell'Universo, di più di 1000 V (1412 V).
Per qualunque condensatore va notato che, essendo:
i=
dq
dt
[1.14]
dove q è la carica depositata sulla lastra positiva ed i la corrente entrante in tale lastra, vale:
i=C
dv
dt
[1.15]
dove v è la differenza di potenziale tra la lastra positiva e quella negativa; oppure:
v = vC 0 +
1 t
i ⋅ dt
C ∫0
[1.16]
Un paragone molto efficace per il condensatore è quello con la vasca o il lago: un flusso d'acqua entrante
nella vasca rappresenta la corrente elettrica entrante, il livello dell'acqua indica la tensione elettrica, la
quantità totale di acqua presente corrisponde alla carica elettrica. Più entra acqua e più il livello cresce; e se
il livello varia vuol dire che dell'acqua è entrata o è uscita. La capacità è legata alla superficie del bacino: se
questa è grande, occorre molta acqua per variare il livello, oppure si può dire che il bacino può accumulare
molta acqua senza alzarsi troppo di livello.
1.4 - Cenni di Elettrodinamica Stazionaria
Per definizione è caratterizzata dall'avere presenza di densità di corrente diverse da
tempo nulle per i campi elettrico e magnetico e per la densità volumetrica di carica.
0 e derivate rispetto al
In queste condizioni esiste quindi il passaggio di corrente. Si può quindi parlare di circuito elettrico, già
definito come un tubo di flusso del vettore densità di corrente. Nelle condizioni di stazionarietà la densità di
corrente è solenoidale, quindi la corrente è la stessa in ogni sezione del circuito.
Quasi sempre i circuiti elettrici sono costituiti da un supporto materiale, cioè un materiale conduttore, spesso
di sezione filiforme, entro il quale avviene il passaggio della corrente; tale conduttore è rivestito di materiale
isolante per evitare la dispersione della corrente in percorsi che, anche se chiusi, non permetterebbero più di
individuare delle sezioni definite dove la corrente sia sempre la stessa; oppure tali conduttori sono fili tesi tra
supporti isolanti, di modo che per gran parte della sua lunghezza il conduttore è circondato dall'aria, che è
pure un materiale isolante. Possono esistere però flussi di corrente anche "liberi", privi di supporto definito,
come le correnti di dispersione nel terreno oppure come le migrazioni ioniche nei fluidi o nel vuoto.
Nel linguaggio comune si indica spesso con la stessa parola "circuito" qualcosa di più complesso, che
potrebbe essere definito come l'unione di più rami di circuiti diversi, formando un'insieme di maglie più o
meno articolata ma tale che da ogni suo punto se ne può raggiungere qualunque altro. In essa quindi
ciascun circuito può condividere con altri parti del suo percorso. Il termine corretto per indicare questa
struttura è pero quello di rete elettrica, anche se nel seguito verranno usati indifferentemente entrambi i
termini.
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1.4.1 - La Resistenza
Il moto delle cariche elettriche, anche nei migliori materiali conduttori, non può però avvenire senza una
opportuna forzante. Una carica elettrica incontrerà comunque una opposizione al suo movimento (così come
in meccanica non esiste un moto privo di attriti, se non nel vuoto), di modo che dovrà cedere parte della sua
energia per ogni tratto che percorre. Vedendo le cose da un punto di vista energetico, o integrale, ogni
carica perderà energia potenziale elettrica per muoversi, e quindi il suo potenziale elettrico nel punto di
partenza dovrà essere maggiore del potenziale elettrico nel punto di arrivo (se la carica è positiva, viceversa
se negativa). Vedendo le cose da un punto di vista dinamico, o locale, dovrà esistere un campo elettrico
(forzante) che applicato alla particella carica produrrà una forza che vincerà l'opposizione al moto offerta dal
materiale.
Sperimentalmente si trova che tale opposizione è tanto maggiore quanto più è grande la densità di corrente,
cioè quanto più sono fitte o veloci le cariche elettriche.
Si può pertanto scrivere la seguente legge:
E =ρJ
[1.17]
dove la costante che appare prende il nome di resistività del materiale. Per i materiali conduttori vale che la
resistività non dipende dal valore del campo elettrico o della densità di corrente, entro ampi limiti di tali
grandezze; varia invece con la temperatura. Su questo si tornerà in seguito; intanto possiamo affermare che,
per questa proprietà, il fenomeno descritto dall'equazione [1.17] è lineare.
Occorre però intendersi bene sulle convenzioni: il campo elettrico indicato è il campo elettrico forzante, cioè
quello che causa il flusso di corrente; da un altro punto di vista si potrebbero vedere le cose con il segno
opposto, indicando però quello che equivale ad un campo elettrico opponentesi al moto.
Vedendo le cose dall'esterno, occorre comunque che il potenziale elettrico nel punto di partenza della
corrente sia maggiore di quello del punto di arrivo.
Se si considerano due punti A e B, corrispondenti a due distinte sezioni di un circuito tra le quali fluisce una
corrente I (da A a B), la differenza di potenziale tra i due punti vale:
A
A
A
B
B
B
VAB = VA − VB = ∫ E ⋅ dl = ∫ ρJ ⋅ dl = ∫ ρ
A ρ
I
dl = I ∫
dl = RAB ⋅ I
B A(l )
A(l )
[1.18]
dove si è definita la nuova grandezza:
R AB = ∫
A
B
ρ
dl
A(l )
[1.19]
che prende il nome di resistenza tra il punto A e il punto B (o tra B e A: la resistenza va considerata in
valore assoluto, e cambiando l'ordine degli estremi tale valore non cambia).
In particolare per una sezione uniforme lungo tutta la lunghezza del tratto di circuito:
R=ρ
l
A
[1.20]
Questa formula particolare [1.20] come pure quella più generale [1.19] esprimono in maniera rigorosa un
principio intuitivo: la resistenza che una corrente incontra è: a) tanto maggiore quanto maggiore è la
resistività del materiale; b) tanto maggiore quanto lo è la lunghezza del percorso; c) tanto minore quanto più
è grande la sezione (perché in tal modo la corrente può meglio distribuirsi, quindi avere una densità minore).
La resistenza si misura in ohm, simbolo Ω; vale:
1Ω =
1V
1A
[1.21]
Si può quindi enunciare la legge di Ohm, per esempio in questa forma: dato un segmento di circuito di
resistenza R e di estremi A e B, la corrente I che fluisce da A ad B è pari alla differenza di potenziale tra A
e B divisa per la resistenza del segmento:
I A→ B =
VA − VB
RAB
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Si noti che quando si parla di corrente si intende sempre la corrente convenzionalmente positiva: cioè se il
potenziale di A è maggiore del potenziale di B, fluiscono cariche positive da A verso B, oppure cariche
negative da B ad A, oppure entrambi i casi; nella realtà, nei metalli e nei conduttori in generale si muovono
gli elettroni.
E' però ora importante considerare cosa succede nell'intero circuito, e non solo su un singolo segmento di
esso.
In regime stazionario non ci sono variazioni di flusso del flusso magnetico. Per la legge di Faraday-Henry
non esistono allora nemmeno tensioni indotte, cioè l'integrale di circuitazione del campo elettrico è nullo, il
campo elettrico è conservativo.
Se si vuole che circoli corrente nel circuito, il ragionamento appena fatto per un singolo segmento va esteso
a tutto il circuito, e quindi il punto di partenza e quello di arrivo coincidono; perché scorra corrente
occorrerebbe una differenza di potenziale tra due punti coincidenti, e questo sarebbe in contraddizione con il
fatto che il campo elettrico è conservativo. Per poter far scorrere corrente devono quindi esistere delle
sorgenti di d.d.p. (differenza di potenziale), cioè punti del circuito, oppure segmenti di esso (o l'intero circuito)
dove esistono sorgenti di una grandezza equivalente al campo elettrico e quindi di d.d.p.
Tali sorgenti sono indicate come generatori di tensione o di forza elettromotrice (f.e.m.). Il termine forza è
improprio, visto che si parla di differenza di potenziale, ma viene usato frequentemente. I generatori possono
essere di varia natura, ma come esempio più significativo citiamo l'origine elettrochimica (pile ed
accumulatori).
Indicando con:
E
il campo elettrico di origine elettrostatica, conservativo
EG
il fenomeno equivalente ad un campo elettrico, dovuto ai generatori
ER
il fenomeno equivalente ad un campo elettrico, dovuto alla resistività
allora si può scrivere che:
∫L (E + EG + ER )⋅ dl = 0
[1.23]
e poiché:
∫L E ⋅ dl = 0
(essendo il campo elettrostatico conservativo)
[1.24]
indicando:
e = ∫ EG ⋅ dl (f.e.m.)
[1.25]
L
vale:
e + ∫ E R ⋅ dl = 0
L
e = − ∫ ER ⋅ dl = − ∫ − ρJ ⋅ dl = − ∫ − ρ
L
L
L
[1.26]
I
dl = RI
A(l )
dove R è la resistenza dell'intero circuito e il verso di percorrenza della corrente è lo stesso che si è usato
per l'integrale di circuitazione. Quindi:
la corrente che circola in un circuito è pari alla f.e.m. totale generata nel circuito stesso divisa per la
resistenza totale del circuito.
Tornando a vedere le cose su un singolo tratto, l'integrale tra due punti del campo elettrostatico può essere
anche diverso da 0; quindi indicando:
A
e AB = ∫ EG ⋅ dl (f.e.m. generata sul quel tratto di circuito)
[1.27]
B
vale:
VA − VB + e AB = RAB ⋅ I AB
[1.28]
(la corrente è convenzionalmente positiva se fluisce da A verso B).
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1.4.2 - I principi di Kirchhoff
Se si considera una rete elettrica, in essa si possono individuare: i nodi, i rami, le maglie.
Per primi si definiscono i rami: un ramo o lato è un tubo del flusso della densità di carica, nel quale si possa
ritenere che la corrente sia uguale in ogni sezione. In particolare un singolo circuito può essere considerato
come composto da un solo ramo.
Di conseguenza si definiscono i nodi: un nodo è un punto in cui convergono tre o più rami. Come sopra, il
singolo circuito a rigore non possiede nodi.
Infine si definiscono le maglie: per maglia si intende qualunque percorso chiuso che, partendo da un nodo,
ritorni al nodo stesso percorrendo diversi rami della rete, senza però mai percorre un ramo più di una sola
volta.
In regime stazionario, si consideri una superficie chiusa che contenga al suo interno uno ed uno solo nodo.
Vale allora:
∫S J ⋅ n dS = 0
[1.29]
ma il flusso totale della densità di corrente altro non è che la somma delle correnti che dal nodo escono
attraverso i vari rami che al nodo afferiscono.
Indicando con K il nodo in questione, vale quindi:
∑ ikj = 0
[1.30]
j∈K
dove con il simbolo di appartenenza a K dell'indice di sommatoria si indicano i nodi collegati al nodo K.
Questa relazione è enunciata dalla:
legge (o principio) di Kirchhoff ai nodi:
In regime stazionario, la somma algebrica delle correnti
entranti (o uscenti) da un nodo è nulla.
Se si considera invece una maglia, composta da N rami tra i nodi 1, 2, ..., N, per ogni ramo i tra il nodo I e il
nodo I+1 può essere scritta la relazione [1.28]:
VI − VI +1 + ei = Ri ⋅ I i
[1.31]
Scrivendo questa relazione per tutti i rami, e tornando al punto si partenza:
V1 − V2 + e1 = R1⋅ I1
V2 − V3 + e2 = R2 ⋅ I 2
K
VN −1 − VN + eN −1 = RN −1⋅ I N −1
[1.32]
VN − V1 + eN = RN ⋅ I N
si nota che sommando membro a membro le varie equazioni le varie Vi si cancellano a vicenda: si ritrova
cioè il principio di conservatività del potenziale. Vale allora che:
∑
ei
i∈maglia
=
∑ Ri ⋅ I i
[1.33]
i∈maglia
Questa relazione è enunciata dalla
legge (o principio) di Kirchhoff alle maglie:
In regime stazionario, la somma delle f.e.m. generate in
una maglia è pari alla somma delle cadute di tensione
ohmiche sui rami della maglia stessa.
Per quanto riguarda le convezioni, occorre fissare un verso di percorrenza della maglia; ciò fatto: nel primo
membro della [1.33] considerare positive le f.e.m. concordi e negative quelle discordi a tale verso, nel
secondo membro considerare positive le correnti concordi e negative quelle discordi a tale verso.
I principi di Kirchhoff permettono, data una rete elettrica, di calcolare le correnti in ogni ramo e le tensioni in
ogni lato (d.d.p. tra ogni coppia di nodi) una volta note le f.e.m. generate e i valori delle resistenze di ogni
lato, cioè di risolvere o trovare lo stato della rete. Questo sarà l'argomento del capitolo 3 di queste dispense.
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1.5 - Cenni di Elettrodinamica Quasi-Stazionaria
Anche questo argomento sarà trattato diffusamente in una successiva parte delle dispense; si forniscono qui
solo i principi fondamentali.
Per prima cosa occorre descrivere le conseguenze della legge di Faraday-Henry.
Per esempio, sia dato un circuito composto da una sola spira. Se l'area sottesa da questa spira è
attraversata da un campo magnetico variabile nel tempo, vale che:
d
∫L E ⋅ dl = − dt ∫S ( L) B ⋅ un dS
[1.34]
si presenta cioè un campo elettrico non conservativo lungo la spira stessa, o meglio si misura una differenza
di potenziale tra il punto di partenza e il punto di arrivo della spira, anche se questi coincidono. Si dice che
esiste una tensione indotta; questo effetto prende anche il nome di induzione elettromagnetica.
Tale differenza di potenziale può sussistere se la spira è composta da materiale isolante; se invece il
materiale è conduttore e la spira è chiusa su se stessa subito si verificherebbe l'insorgere di una corrente
elettrica. Tale corrente in parte farebbe uso del campo elettrico forzante (con la corrente insorgerebbe
qualcosa di equivalente ad un campo elettrico di origine ohmica che si oppone al primo), in parte
genererebbe nella spira stessa un flusso che varia nel tempo in maniera opposta al primo, causando così
una riduzione dell'induzione elettromagnetica.
1.5.1 - L'Induttanza
Si consideri (altro esempio) un ramo di una rete elettrica. Se questo ramo ad un certo punto descrive una
spira, la corrente che fluisce sul ramo stesso genera un campo e quindi un flusso magnetico. Il flusso è
proporzionale alla corrente. Se la corrente è costante, il flusso non varia nel tempo, e quindi non esiste
tensione indotta. Se invece la corrente per esempio tende ad aumentare, la variazione di flusso produrrà una
tensione indotta che si oppone al verso della corrente; se la corrente tende a diminuire, la tensione si
presenterà concorde alla corrente, tendente quindi a sostenerla. Esiste cioè una costante, detta induttanza
e solitamente indicata con la lettera L , per cui:
v(t ) = L
di (t )
dt
[1.35]
Questo dispositivo si chiama induttore ed è il duale del condensatore.
Un altro fenomeno, invece, è quello dell'accumulo di cariche in certe parti del circuito, per esempio sugli
elettrodi di un condensatore. Si parla in tal caso di effetto capacitivo. Va però notato che se sulle singole
lastre si presenta accumulo di carica, il condensatore nel suo insieme rimane neutro; se visto come
elemento circuitale, vale sempre che la corrente entrante (verso una lastra) è pari a quella uscente (dall'altra
lastra).
Se questi fenomeni (l'effetto induttivo e l'effetto capacitivo) sono localizzati in parti definite e limitate del
circuito, le leggi di Kirchhoff potranno essere riscritte quasi allo stesso modo, alle condizioni che:
1)
nei nodi non si presentino effetti capacitivi
2)
le tensioni generate nei lati tengano conto dell'induzione di campi magnetici esterni
3)
al secondo membro le c.d.t. ohmiche vengano completate con le c.d.t. su altri componenti,
schematizzabili come induttori e condensatori, per i quali la tensione va calcolata non solo come
funzione lineare della corrente, ma anche della sua derivata o del suo integrale nel tempo.
In queste condizioni si può parlare di regime quasi stazionario, ed applicare ancora, con queste modifiche, le
equazioni di Kirchhoff.
Se invece per esempio si considera anche il flusso che attraversa l'intera maglia, oppure il fatto che ci
possono essere dispersioni di corrente per effetto capacitivo attraverso l'isolamento dei conduttori, il regime
non può essere considerato quasi-stazionario, a meno che non si riesca a modellizzare tali fenomeni
concentrando i loro effetti in singole parti della rete elettrica.
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2 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Stazionario
2.1 - I bipoli ideali - Il resistore
Nel precedente capitolo si è esaminato il fenomeno della conduzione elettrica, definendo la resistenza e le
leggi che legano il valore della corrente alle tensioni generate in un circuito.
Per un singolo tratto di circuito si è visto che la corrente che in esso fluisce è pari a:
V1 − V2 + e12
R12
I1→ 2 =
[2.1]
che esprime in maniera rigorosa il concetto per cui la corrente fluisce in presenza di differenza di potenziale
(di origine elettrostatica) e/o di una sorgente di f.e.m., ed è limitata da una resistenza, la cui formula è data
da:
R12 = ∫ ρ(l )
2
1
dl
A(l )
[2.2]
Naturalmente perché la corrente fluisca occorre che il circuito sia chiuso; se anche solo uno dei due estremi
del segmento è isolato, non può esserci corrente; quindi succederà semplicemente un fenomeno
elettrostatico di separazione interna di cariche fino a porsi in equilibrio con i campi forzanti (creando una
d.d.p. uguale ed opposta).
Anche se la resistenza è di per sé una grandezza distribuita lungo tutto il tratto di circuito considerato, può
risultare molto comodo da un punto di vista modellistico "concentrarla" in un unico componente, che prende
il nome di resistore o, semplicemente, resistenza. Così per rappresentare un tratto di circuito basterà porre
in serie, cioè uno dopo l'altro, ciascuno con il secondo estremo elettricamente collegato con il primo estremo
del successivo, due componenti circuitali: uno che rappresenta il fenomeno della generazione della f.e.m., e
si chiama appunto generatore ideale di tensione; uno che rappresenta la c.d.t. resistiva, e si chiama
appunto resistenza o resistore. L'ordine con cui vengono posti in serie non ha importanza.
Una volta che sono state utilizzate le dimensioni del tratto di circuito (area della sezione, lunghezza) per
calcolare il valore della resistenza, ci si può dimenticare di queste caratteristiche geometriche e ragionare
unicamente sul componente.
Questi componenti (resistore, generatore), prendono il nome di bipoli, perché presentano due estremi, detti
morsetti o poli. Il nome non è superfluo, perché esistono anche componenti con più morsetti, come i
quadripoli.
I bipoli si dicono attivi quando in essi è presente una sorgente di f.e.m., passivi in tutti gli altri casi. Si parla
anche, rispettivamente, di generatori e utilizzatori.
Nei bipoli esiste la possibilità di passaggio di corrente da un estremo all'altro, e si può presentare una d.d.p.
tra i due estremi. E' possibile mettere in grafico le due grandezza, tensione e corrente, e tale grafico (o
comunque la funzione che esprime l'una grandezza al variare dell'altra) prende il nome di caratteristica del
bipolo; se tale caratteristica è una linea retta, si parla di bipolo lineare.
In particolare: se per un resistore la corrente entrante è pari a quella uscente e segue la legge:
I1→ 2 =
V1 − V2
R12
[2.3]
con resistenza costante, il bipolo è lineare; in questo caso si usa anche il termine di bipolo ideale. Si noti che
nella formula non appare più la forzante di f.e.m., perché il fenomeno è stato separato da questo, ed è
descritto da un componente a sé.
Si può anche scrivere più in sintesi:
V = RI
[2.4]
dove con V si intenda la d.d.p. tra il morsetto in cui la I è entrante e quello da cui la I è uscente. Questa
convezione per tensione e corrente prende il nome di convenzione degli utilizzatori.
In gran parte dei materiali conduttori si ha che:
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-
la corrente può fluire indifferentemente dal morsetto A a B o da B ad A (se cambia il verso della
corrente, dovrà cambiare anche il segno della tensione): si dice allora che il componente è bidirezionale
ed in particolare che è simmetrico se la resistenza è la stessa in entrambi i casi;
-
la resistenza non dipende dalla tensione o dalla corrente: componente lineare.
La resistenza dipende invece dalla temperatura, secondo la legge:
ρ = ρ0 ⋅ (1 + α(θ − θ0 ))
da cui :
R = R0 ⋅ (1 + α(θ − θ0 ))
[2.5]
valida per un ampio range di temperature.
A temperatura costante, la caratteristica di un resistore ideale è quindi una retta passante per l'origine; al
variare della temperatura cambia il coefficiente angolare (si ha così un fascio di rette avente il centro del
fascio nell'origine).
A conclusione del discorso sulla resistività, si noti che le dimensioni di tale grandezza sono tali che:
[ρ] [l ] = [R]⇒[ρ] = Ω m
[A]
m
2
= Ωm
[2.6]
ma più frequentemente ai fini pratici si usa:
[ρ] = Ω mm
m
2
o anche:
[ρ] = Ω mm
2
[2.7]
km
(con questa scelta, moltiplicando la resistività per la lunghezza espressa in m o km e la sezione in mm2 si
ottiene la resistenza in Ω).
Per quanto riguarda il generatore, si dice che questo è un generatore ideale se la f.e.m. da esso creata non
dipende dalla corrente che in esso circola. La sua caratteristica è pertanto una retta parallela all'asse delle
correnti.
Oltre al generatore ideale di tensione si utilizza un altro componente attivo, il generatore ideale di corrente.
Questo dispositivo eroga corrente costante, indipendentemente da quale sia il valore di tensione applicato.
La sua caratteristica è quindi una retta parallela all'asse delle tensioni. Questo dispositivo non esiste nella
realtà; è possibile realizzare un dispositivo quasi ideale utilizzando un generatore di tensione con un
meccanismo di controllo che, sensibile alla corrente, genera la tensione necessaria per avere il valore di
corrente stabilito. Tuttavia dal punto di vista modellistico il componente ideale risulta molto utile nell'analisi
delle reti elettriche, come si vedrà in seguito.
Si usa dire che il generatore di tensione e quello di corrente sono dispositivi duali.
Per i generatori si usa solitamente la seguente convenzione: la tensione viene misurata come d.d.p. tra il
morsetto da cui la corrente esce e quello in cui la corrente entra: convenzione dei generatori.
Una modellizzazione più realistica dei generatori è quella di associare sempre ad una generatore ideale di
tensione una resistenza serie e a quello di corrente una resistenza parallelo. Queste resistenze rendono
conto: per il generatore di tensione, della c.d.t. dovuta al fatto che, se nel generatore passa corrente, anche
questa incontrerà una resistenza, per cui la tensione ai morsetti risulterà inferiore a quella ideale, in misura
proporzionale alla corrente stessa; dualmente, per il generatore di corrente, del fatto che se il generatore
eroga internamente la corrente prevista e si presenta una certa d.d.p. ai morsetti, comunque una parte di
questa corrente verrà drenata internamente, in misura proporzionale alla tensione stessa. Questa
modellizzazione è molto vicina alla realtà.
2.2 - Serie e parallelo
I bipoli possono essere posti in serie o in parallelo.
In serie significa che ciascun bipolo è posto in successione al precedente, quindi con il primo morsetto
collegato all'ultimo del precedente e l'ultimo al primo del successivo. Se sono posti tra due nodi A e B, solo il
primo morsetto del primo bipolo sarà collegato ad A solo l'ultimo dell'ultimo bipolo sarà collegato a B.
Ne risulta che i bipoli in serie sono attraversati dalla stessa corrente; la tensione risultante è la somma
algebrica delle tensioni di tutti i bipoli posti in quella serie.
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In parallelo significa che tutti i bipoli sono collegati alla stessa coppia di morsetti A e B: ogni bipolo ha un
morsetto collegato ad A e l'altro collegato a B.
Ne risulta che i bipoli in parallelo sono soggetti alla medesima tensione, mentre la corrente totale (entrante
da A e uscente da B, o viceversa) è la somma algebrica delle correnti di tutti i bipoli posti in quel parallelo.
Se si pongono in serie dei generatori di tensione, la tensione totale è la somma algebrica delle tensioni di
ciascuno.
Se si pongono in parallelo dei generatori di corrente, la corrente totale è la somma algebrica delle correnti di
ciascuno.
Non si devono invece mai porre in parallelo dei generatori ideali di tensione, senza resistenze in serie ad
essi, o in serie dei generatori di corrente, senza resistenze in parallelo ad essi: nel primo caso si avrebbero
delle maglie (ogni maglia con due generatori) con una f.e.m. totale diversa da 0, e nessuna resistenza, col
risultato di far passare una corrente di valore infinito; nel secondo caso si avrebbero dei nodi con somma di
correnti diversa da 0, col risultato (duale al precedente) di creare dei valori infiniti di tensione.
Se si pongono in serie delle resistenze:
VAB = R1 I + R2 I + K + RN I = ∑ j R j I
[2.8]
da cui:
RS = ∑ j R j
[2.9]
La resistenza equivalente ad una serie di resistenze è la somma delle resistenze stesse.
Se invece sono in parallelo:
I=
V V
V
1
+
+K+
=V ⋅∑ j
R1 R2
RN
Rj
[2.10]
da cui:
RP =
(∑ R )
j
−1 −1
j
[2.11]
La resistenza equivalente ad un parallelo di resistenze è il reciproco della somma dei reciproci delle
resistenze stesse.
A tal proposito si introduce un'altra grandezza, la conduttanza, pari al reciproco della resistenza:
G=
1
R
[2.12]
La conduttanza si misura in siemens, simbolo S, che è pari esattamente al reciproco di un ohm. Vale quindi:
GS =
(∑ G )
j
−1 −1
j
[2.13]
GP = ∑ j G j
Queste formule sono duali a quelle con le resistenze.
2.3 - Metodi per la soluzione di reti elettriche lineari
Come già visto nel capitolo precedente, una rete elettrica è caratterizzata da N nodi e L lati. In essa si hanno
N − 1 equazioni di Kirchhoff ai nodi indipendenti N − 1 tensioni nodali significative (un nodo va preso come
riferimento di V ) e L − N + 1 equazioni di Kirchhoff alle maglie indipendenti.
Ciascun ramo potrà presentare la serie di più resistenze, più generatori di tensione, e al più di un solo
generatore di corrente. E' allora opportuno, come primo passo, porre in serie tutte le resistenze, ottenendone
una equivalente, per ciascun ramo; e così pure per i generatori di f.e.m.. In seguito le tensioni sui singoli
bipoli passivi potranno essere facilmente ricostruite, una volta nota la corrente che scorre nel ramo.
Così pure può succedere che ad una coppia di nodi afferiscano più rami in parallelo composti da sole
resistenze. E' allora conveniente ridurre tali rami ad uno solo, con la resistenza equivalente al parallelo delle
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resistenze originali. In seguito le correnti sui singoli bipoli passivi potranno essere facilmente ricostruite, una
volta nota la d.d.p. tra i due nodi.
Dopo avere ridotto i rami serie e parallelo (tale riduzione non è obbligatoria, ma permette una
semplificazione dei conti successivi), per la soluzione si può procedere secondo tre diversi metodi basati
sulle eq. di Kirchhoff:
2.3.1 - Metodo delle correnti di lato
Si scelgono come incognite le correnti nei lati, assegnando liberamente ad ogni lato un verso
convenzionalmente positivo.
Si possono quindi scrivere subito le N − 1 eq. di K. ai nodi.
Si scrivono quindi, in funzione delle incognite, le L − N + 1 eq. di K. alle maglie, effettuando i prodotti delle
resistenze per le correnti e sommando le f.e.m. dei generatori.
Si hanno così (N − 1) + (L − N + 1) = L equazioni, con L incognite.
Risolto il sistema, si possono trovare le tensioni in ogni nodo, partendo dal nodo di riferimento e via via agli
altri, sommando le c.d.t. resistive e le f.e.m. dei lati che congiungono i nodi.
Il metodo spesso è pesante perché le equazioni sono spesso in numero elevato.
2.3.2 - Metodo delle tensioni di nodo
Si scelgono come incognite le tensioni di N − 1 nodi (tutti, escluso il nodo di riferimento).
In funzione di tali incognite si hanno subito le d.d.p. sui vari lati, e quindi le correnti negli stessi.
Si possono così scrivere le N − 1 eq. di K. ai nodi.
Si hanno così N − 1 equazioni con N − 1 incognite.
Risolto il sistema, dalle d.d.p. si ottengono le correnti nei lati.
2.3.3 - Metodo delle correnti di maglia
Si assegna ad ognuna delle L − N + 1 maglie una corrente, per ora incognita, detta corrente di maglia, per la
quale si fissa anche il verso convenzionalmente positivo. Questa corrente sarà tale che: se un lato
appartiene ad una sola maglia, la corrente in quel lato coinciderà coincide con la corrente di maglia; se un
lato è condiviso da più maglie, la corrente in quel lato è la somma algebrica delle correnti di tutte le maglie a
cui il nodo appartiene (tenere conto del verso convenzionale).
Si possono così esprimere le correnti di lato in funzione di quelle di maglia, e di conseguenza le tensioni nei
lati e quindi le L − N + 1 eq. di K. alla maglie.
Si hanno così L − N + 1 equazioni con L − N + 1 incognite.
Risolto il sistema, si ricostruiscono le correnti di lato e quindi, come sopra, le tensioni nodali.
Si possono presentare dei casi particolari:
1)
Un ramo presenta solo un generatore di tensione, senza alcuna resistenza:
-
se si risolve la rete con il metodo delle correnti di lato, non ci sono problemi perché esiste
direttamente l'espressione di una delle d.d.p. da inserire nelle eq. di K. alle maglie
-
se si risolve la rete con il metodo delle tensioni di nodo, manca l'espressione della corrente di quel
lato; in compenso però una d.d.p. tra due nodi è già definita; si pone come ulteriore incognita la
corrente nel generatore, ottenendo una incognita in più, ma anche un'equazione in più, perché la
d.d.p. tra i due nodi fornisce una semplice equazione contenente due tensioni nodali incognite
-
se si risolve utilizzando il metodo delle correnti di maglia, non ci sono problemi perché esiste
direttamente l'espressione di una delle d.d.p. da inserire nelle eq. di K. alle maglie
-
un ulteriore metodo sarà fornito alla fine del paragrafo 2.7 - .
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2)
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Un ramo presenta solo un generatore di corrente, senza alcuna resistenza
-
se si risolve con il metodo delle correnti di lato, manca l'espressione della tensione in quel lato; in
compenso è già nota una delle correnti; si pone come ulteriore incognita la tensione sul
generatore, quindi si ha questa incognita in più, ma anche una corrente incognita in meno
-
se si risolve con il metodo dei potenziali di nodo, non ci sono problemi perché esiste direttamente
l'espressione della corrente in quel lato
-
se si risolve col metodo delle correnti di maglia, manca l'espressione della tensione in quel lato; in
compenso è già nota una delle correnti di lato; si pone come ulteriore incognita la tensione sul
generatore, quindi si ha questa incognita in più, ma anche un'equazione in più essendo tale
corrente la somma algebrica delle correnti di maglia a cui quel lato appartiene
2.4 - Equivalenti e sovrapposizione degli effetti
Si consideri un ramo costituito da un generatore ideale di tensione in serie con una resistenza. Vedendo il
ramo come un unico bipolo, si può esprimere la sua caratteristica:
V = E − RI
[2.14]
dove si è utilizzata la convenzione dei generatori, e la tensione V è stata con lo stesso verso utilizzato per la
tensione generata E .
Si consideri invece ora il parallelo di un generatore di corrente e di una resistenza. Vedendo anche questo
come un unico bipolo, si può esprimere la sua caratteristica:
V = R ⋅ ( A − I ) = R A − RI
[2.15]
dove si è utilizzata la stessa convenzione e dove A è la corrente generata.
In entrambi i casi la caratteristica prevede un termine costante ( E ,RA ) e un decremento lineare
all'aumentare della corrente, con pendenza pari al valore della resistenza. Dal punto di vista esterno i due
casi sono quindi equivalenti. Questo vuol dire che in una rete elettrica un generatore di tensione E con in
serie una resistenza R può essere sostituito, ai fini della risoluzione del problema, con un generatore di
corrente di valore A = E R in parallelo alla stessa resistenza, e viceversa. Questo a volte semplifica le
cose, o rende più "visibile" e immediata alla persona che affronta il problema la soluzione della rete.
Si consideri ora un semplice circuito (una sola maglia) costituito dalla serie di due generatori di tensione e
una resistenza. La corrente che circola vale quindi:
I=
E1 + E2
R
[2.16]
Si è già notato come la tensione di un generatore ideale di f.e.m. non dipenda dalla corrente, e come questo
possa permette il passaggio, in generale, di qualunque corrente. Si supponga allora di disattivare il
generatore 2, continuando però a permettere il passaggio di qualunque corrente. Si avrà allora solo l'effetto
del generatore 1:
I (1) =
E1
R
[2.17]
Riattivando il generatore 2 e ripetendo l'operazione per il generatore 1, si avrà:
I ( 2) =
E2
R
[2.18]
Si nota che la corrente ottenuta con entrambi i generatori accesi e la somma di queste due correnti danno lo
stesso valore. Cioè è possibile considerare la situazione effettiva come la somma, o meglio la
sovrapposizione dei due effetti, a condizione che in ciascun singolo effetto ogni generatore spento venisse
considerato come passaggio libero di corrente, cioè un collegamento privo di resistenza, o, come si dice in
elettrotecnica, un cortocircuito (spesso abbreviato in cto cto).
Esempio duale: due generatori di corrente in parallelo tra loro e in parallelo con una resistenza. Vale:
V = R ⋅ ( A1 + A2 )
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Il generatore di corrente può prendersi qualunque tensione, ma impone la corrente. Disattivarne uno
vorrebbe dire permettere qualunque tensione, ma nessuna corrente: quindi un circuito aperto. Disattivando
prima l'uno e poi l'altro si avranno:
V(1) = R A1
[2.20]
V( 2 ) = R A2
e la somma di queste due tensioni coincide con la tensione presente quando sono entrambi attivati. Anche
qui si può considerare la situazione effettiva come somma, o meglio sovrapposizione degli effetti, a
condizione che in ciascun singolo effetto il generatore spento sia sostituito con un circuito aperto.
Si noti che in entrambi i casi la sovrapposizione è possibile se la rete è lineare e i generatori ideali, cioè
se il valore della resistenza non dipende dalla corrente in transito o dalla tensione applicata, e così pure le
tensioni generate non risentano delle correnti in transito e le correnti generate non risentano delle tensioni
applicate.
Se la rete elettrica fosse anche più complessa, le cose non cambierebbero. Risolvendo la rete in forma
simbolica, si noterebbe che ogni tensione nodale e ogni corrente di lato è una funzione lineare delle tensioni
o delle correnti dei generatori. Quindi si enuncia il principio di sovrapposizione degli effetti:
In una rete lineare e con generatori ideali è possibile applicare la sovrapposizione degli effetti, vale a
dire: la tensione in ogni nodo è la somma delle tensioni e la corrente in ogni lato è la somma delle
correnti che si ottengono attivando volta per volta solo uno o una parte dei generatori, fino a
considerarli tutti una e una sola volta, e lasciando spenti tutti gli altri, lasciandoli cioè in cortocircuito
se generatori di tensione e in circuito aperto se generatori di corrente.
La rete con tutti i generatori posti in queste condizioni può essere definita rete passiva.
Dal principio di sovrapposizione degli effetti discende che: se in una rete viene acceso un nuovo generatore
o ne viene spento uno esistente, non occorre risolvere da capo la rete ma basta aggiungere o togliere alla
soluzione preesistente il nuovo effetto, calcolato sulla rete passiva.
2.5 - I teoremi di Thevenin e di Norton
Si considerino ancora gli esempi precedentemente riportati in questo capitolo. Si nota che la caratteristica è
data dalla somma di due termini: uno costante, e uno lineare.
Se si considera il generatore di tensione in serie alla resistenza, si nota anche che il termine costante
corrisponde alla tensione a vuoto, cioè a quella tensione che si presenta ai capi dei morsetti quando questi
non sono richiusi su nessun altro circuito e quindi non scorre corrente. Il termine lineare invece è pari alla
caratteristica che si presenta disattivando il generatore, ponendolo cioè in cto cto: è la caratteristica della
rete passiva, in questo caso molto semplice.
Se si considera l'altro esempio, riscrivibile in questa forma:
I = A+
V
= A + GV
R
[2.21]
si nota che il termine costante è pari alla corrente che si avrebbe quando i due morsetti sono posti in cto cto,
cioè quando questi sono richiusi con un collegamento privo di resistenza: in queste condizioni non c'è
tensione sui morsetti e quindi neppure corrente nella resistenza. Il termine lineare invece è pari alla
caratteristica che si presenta disattivando il generatore, cioè trasformandolo in un circuito aperto: è la
caratteristica della rete passiva, in questo caso molto semplice.
Si può dimostrare, utilizzando la linearità della rete, l'idealità dei generatori, il principio di sovrapposizione
degli effetti, che le stesse regole valgono anche quando la rete sia più complessa, presenti anche più
generatori e una magliatura articolata di resistenze: e cioè che, vedendo le cose da due morsetti della rete e
considerandola da lì come unico bipolo, la caratteristica di una rete lineare qualunque è sempre data dalla
somma di un termine costante, pari alla tensione a vuoto che si ottiene lasciando i due morsetti a vuoto,
oppure pari alla corrente che si ottiene ponendo i due morsetti in cto cto, e un termine lineare, con la stessa
caratteristica della rete passiva vista dai due morsetti.
Si enunciano allora:
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Teorema di Thevenin: Una qualunque rete lineare vista da due suoi nodi può essere sostituita con
una rete equivalente costituita da: un generatore ideale di tensione che eroga
la tensione a vuoto tra i due nodi, in serie con una resistenza di valore pari alla
resistenza di tutta la rete in questione, passiva, vista degli stessi due nodi.
Teorema di Norton
Una qualunque rete lineare vista da due suoi nodi può essere sostituita con
una rete equivalente costituita da: un generatore ideale di corrente che eroga
la corrente di cto cto tra i due nodi, in parallelo con una conduttanza di valore
pari alla conduttanza di tutta la rete in questione, passiva, vista degli stessi
due nodi.
Per "resistenza (conduttanza) di valore pari alla resistenza (conduttanza) di tutta la rete passiva vista dai due
nodi" si intende questo: per la rete passiva si può scrivere un'equazione corrispondente alla caratteristica
vista dai due nodi, cioè alla relazione che lega V ed I nei due nodi. Questa caratteristica passa per
l'origine, essendo la rete passiva, ed è una retta, essendo la rete lineare. Quindi il coefficiente angolare della
relazione V − I è pari alla resistenza da porre nell'equivalente di Thevenin e il suo reciproco alla
conduttanza da porre nell'equivalente di Norton.
In generale tale equazione caratteristica potrebbe essere trovata in questo modo: si pone una prima
tensione di tentativo tra i due nodi e si misura la corrente (o si risolve la rete con questa forzante); si pone
una seconda tensione di tentativo e si misura ancora la corrente (o si risolve ancora). Si sono così ottenuti
due punti della caratteristica. Ma essendo questa una retta, ecco che con due punti tale retta è definita.
Meglio ancora poiché è noto a priori che la retta passa per l'origine, basta misurare e risolvere una sola
volta, perché un punto è sufficiente a determinare la retta.
Solitamente però il problema può essere risolto in maniera più diretta: spesso le reti passive sono riducibili
gradualmente, attraverso riduzioni successive tipo serie o parallelo: dapprima tutti i gruppi di resistenze in
serie vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti serie e tutti i gruppi di resistenze in parallelo
vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti parallelo; la nuova rete così ridotta può ancora
presentare altre serie o altri paralleli, che vengono ancora ridotti, e così via.
2.6 - Le conversioni stella-triangolo e triangolo-stella
Nella riduzione di una rete si possono incontrare delle configurazioni di questo tipo:
A
B
figura 2.1
che non sono riducibili medianti normali riduzioni tipo serie o tipo parallelo.
Esistono cioè due configurazioni particolari, che si presentano fra tre nodi, con un eventuale quarto nodo in
posizione centrale. Queste configurazioni sono: la configurazione a stella e quella a triangolo.
Indicando con A, B, C i tre nodi e con H il quarto:
-
la configurazione a stella si ha quando ciascuno nodo A, B, C è collegato al nodo H, detto centro-stella;
-
la configurazione a triangolo si ha quando (non esiste H) si hanno i collegamenti A-B, B-C, C-A, come i
lati di un triangolo.
Una configurazione a stella può essere trasformata in una equivalente a triangolo, e viceversa.
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Si indichino:
R X la resistenza a stella con X e H, con X (maiuscola) = A,B,C
Rx la resistenza a triangolo tra y e z, con x,y,z (minuscole) = A,B,C, a rotazione
Valgono allora le seguenti relazioni:
RA =
Rb Rc
Ra + Rb + Rc
[2.22]
R R + RA RC + RB RC
Ra = A B
RA
per le altre resistenze (indici B, C, b, c) basta ruotare di conseguenza gli indici al secondo membro.
In particolare, se le tre resistenze a stella sono uguali, lo sono anche quelle a triangolo, e viceversa; in tal
caso le resistenze a triangolo sono 3 volte maggiori di quelle a stella.
2.7 - Metodi matriciali per l'analisi delle reti elettriche lineari
I metodi fin qui indicati sono validi per reti lineari di qualunque dimensione.
Risulta però comodo automatizzare il calcolo della soluzione, facendo uso di mezzi di calcolo elettronici, e
questo può essere effettuato utilizzando modelli e strumenti di analisi delle reti che fanno uso delle matrici.
Si consideri una rete che presenti N nodi e L lati.
Va premesso che a volte può interessare, soprattutto con questi metodi automatici, ottenere direttamente
dalla soluzione del sistema la tensione in un punto intermedio di un ramo, per esempio il punto di
separazione tra due resistenze in serie o tra una resistenza e un generatore. Tale punto separa due tronconi
di ramo, e quindi non potrebbe essere considerato come nodo, secondo la definizione precedente, che
prevedeva il nodo come punto di incontro tra almeno tre rami. Tuttavia anche per questo punto sono
applicabili i principi di Kirchhoff, quindi la definizione di nodo potrebbe essere estesa. In fase di studio della
rete si devono quindi considerare come nodi i punti che separano almeno tre rami e si possono, a libera
scelta, considerare come nodi anche i punti che separano due tronconi di lato, che quindi verranno
considerati come lati distinti.
Fatte queste scelte preliminari, si assegni ad ogni nodo un numero progressivo, da 1 ad N , e lo stesso si
faccia per ogni lato, da 1 ad L ; ad ogni lato inoltre si assegni un verso convenzionalmente positivo, in modo
che i suoi due estremi siano considerati uno come estremo entrante e l'altro come estremo uscente per la
corrente.
E' possibile allora definire la matrice di incidenza nodo-lato (o semplicemente matrice di incidenza),
come quella matrice [C ′] di dimensioni ( N × L ), tale che:
[C′] = [cik′ ]
[2.23]
con:
cik′ = +1
se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo entrante del lato k
cik′ = −1
se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo uscente del lato k
cik′ = 0
se il lato k non afferisce al nodo i
Si noti che questa matrice presenta:
-
su ogni riga i tanti elementi diversi da zero quanti sono i collegamenti di quel nodo i -esimo
-
su ogni colonna k (lato k -esimo) solo 2 elementi diversi da zero, di valore +1 e -1.
Ma più comunemente si usa la matrice di incidenza ridotta [C ] , definita come la precedente, ma con la
differenza che si utilizzano N − 1 nodi anziché N perché un nodo è stato scelto come nodo di riferimento.
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Si definiscono poi la matrice delle resistenze di lato [Rl ] e la matrice delle conduttanze di lato [Gl ] , di
dimensioni ( L × L ), che presentano elementi diversi da zero solo sui termini diagonali; ciascun termine
diagonale presenta il valore rispettivamente della resistenza e della conduttanza del lato corrispondente.
Si noti che, indicando con [I l ] il vettore colonna che contiene, per ogni elemento, il valore della corrente di
lato misurata con il verso stabilito come positivo per il lato in cui fluisce, si ha che:
[I ] = [C ] ⋅ [I l ]
[I ] è un vettore colonna che contiene, per ogni elemento
[2.24]
i , il valore della corrente che dal nodo i-esimo
fluisce verso tutti i nodi a questo collegati, attraverso i rami che partono dal nodo i stesso. Questa corrente,
per il principio di Kirchhoff ai nodi, è nulla, a meno che non si presenti nel nodo un ulteriore elemento, non
considerato nella matrice di incidenza, che dall'esterno inietti corrente nella rete, in modo che la somma delle
correnti che fluiscono dal nodo verso i lati è pari alla corrente iniettata dall'esterno nel nodo (il principio di K.
viene così ancora rispettato). Questo elemento potrebbe essere un generatore ideale di corrente, collegato
con il suo secondo estremo a terra (o, che è lo stesso, al nodo di riferimento).
Si nota allora come questa formulazione matriciale potrebbe aiutare a scrivere le equazioni di Kirchhoff ai
nodi in maniera sistematica. Si noti pure che, utilizzando la matrice di incidenza ridotta, si avranno le
equazioni per tutti i nodi meno uno, quello scelto come riferimento; ma questa perdita non è grave, anzi è
opportuna, perché questa equazione è linearmente dipendente dalle altre.
Si noti anche che, considerando il vettore colonna delle tensioni nodali, [V ] , si ha che:
[C ] t ⋅ [V ] = [Vl ]
[2.25]
con
[Vl ] = [vl ,k ]
dove: vl , k = Vi − V j
[2.26]
il vettore colonna [Vl ] così ottenuto presenta, per ogni elemento k -esimo, la tensione applicata al lato k ,
pari cioè alla d.d.p. tra il nodo i (estremo entrante di k ) e il nodo j (estremo uscente di k ). Si noti che se
uno dei due estremi di un lato fosse il nodo di riferimento, la matrice di incidenza non riporterebbe nulla
(manca la riga corrispondente), ma questo va bene perché in quel nodo la tensione è nulla per definizione.
Poiché per ogni lato k tra i nodi
(
I k = I ij = Gk ⋅ Vi − V j + Ek
i e j vale:
)
[2.27]
allora, definendo [El ] come il vettore colonna delle tensioni generate di lato, vale che:
[I l ] = [Gl ]⋅ ([C ] t ⋅ [V ] + [El ])
[2.28]
e quindi, combinando questa equazione con la [2.24]:
[I ] = [C ]⋅ [I l ] = [C ]⋅ [Gl ]⋅ ([C ] t ⋅ [V ] + [El ])
[2.29]
Questa scrittura ci porta verso una formulazione abbastanza compatta del metodo dei potenziali di nodo. La
formula [2.29] presenta però il termine dovuto alle tensioni dei generatori che complica un po' le cose.
Conviene allora procedere in questo modo. Prima di applicare il metodo, si considerano tutti i lati dove sono
presenti dei generatori di tensione. Questi saranno, in generale, in serie con delle resistenze. E' allora
possibile trasformare questi lati negli equivalenti che presentano un generatore di corrente, posto in parallelo
allo stesso valore di resistenza posto in serie al generatore di tensione originale, ed erogante una corrente
A pari a:
A= E R
[2.30]
in questo modo la rete presenterà solo bipoli passivi e degli iniettori di corrente in ogni nodo che sia estremo
di un lato ove era presente un generatore di tensione.
Questa procedura rende ancora più frequente la possibilità di considerare come nodi anche i punti tra due
tronconi di lato: spesso è proprio in tali punti che viene posizionata l'iniezione di corrente. Si consideri infatti
un lato che presenti in serie una resistenza e un generatore reale di f.e.m.: il generatore reale è composto
dalla serie di un generatore ideale e di una resistenza. Si può allora procedere in due modi: a) conglobare la
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resistenza del generatore a quella dell'altro troncone di ramo, ponendole in serie, ed effettuare l'equivalente
dell'unico lato così ottenuto; b) effettuare l'equivalente del solo troncone contenente il generatore e la sua
resistenza, ottenendo così due rami passivi in serie e una iniezione di corrente nel punto di separazione.
Vanno infine considerati i lati in antenna: un lato si dice in antenna se ha un estremo collegato alla rete,
mentre l'altro è libero, non presenta altri collegamenti: si parla allora di nodo in antenna. In condizioni normali
non si ha corrente nel lato e la tensione del nodo in antenna è quindi la stessa dell'altro estremo; qualora
però si presentasse una iniezione di corrente nel nodo in antenna, ci sarebbe corrente e le tensioni ai due
estremi sarebbero diverse. Si estende allora ulteriormente la definizione di nodo anche a questo caso, che
prevede per il nodo anche un solo collegamento, anziché i tre della definizione originale o i due
dell'estensione ammessa in questo capitolo.
Tornando comunque all'equivalente di corrente, se i nodi i e j sono appunto due estremi di un lato di cui è
stato fatto l'equivalente, la stessa corrente Ak verrà iniettata in essi, ma poiché il generatore di tensione
eliminato ha verso convenzionalmente positivo se la freccia va dal nodo entrante a quello uscente, allora nel
nodo convenzionalmente entrante (poniamo sia i ) la corrente del generatore verrà iniettata con verso
negativo ( − Ak ), nell'altro, convenzionalmente uscente, ( j ) con verso positivo ( + Ak ).
Il generatore può allora essere sostituito, per maggiore chiarezza del modello, con due generatori di
corrente, uno tra il nodo i e il nodo di riferimento, con corrente generata − Ak , l'altro tra il nodo j e il nodo
di riferimento, con corrente generata + Ak . Per il nodo di riferimento l'iniezione globale non cambia perché
sono state aggiunte due iniezioni uguali e contrarie.
In questo modo l'equazione [2.29] diventa:
[A] = [C ]⋅ [Gl ]⋅ [C ] t ⋅ [V ]
[2.31]
dove con [A] si indica quindi il vettore colonna delle iniezioni nodali di corrente, positive se entranti nei nodi.
Si definisce allora la matrice delle conduttanze (nodali), di dimensione ( ( N − 1) × ( N − 1) ) e quindi
quadrata:
[G ] = [C ]⋅ [Gl ]⋅ [C ] t
[2.32]
e quindi l'espressione precedente assume la forma compatta:
[G ] ⋅ [V ] = [A]
[2.32]
La soluzione del sistema sarà data da:
[V ] = [G ]−1 ⋅ [A] = [R ] ⋅ [A]
[2.33]
dove è stata introdotta la matrice [R ] , inversa della matrice delle conduttanze, che prende il nome di matrice
delle resistenze (nodali).
Per quanto riguarda la matrice delle conduttanze, va notato che la sua costruzione può essere svolta in
modo molto più semplice rispetto a quella del prodotto matriciale indicato dall'eq. [2.32]. Se si svolge questo
prodotto, infatti, si nota che la matrice delle conduttanze è così composta:
[G ] = [Gij ]
[2.34]
dove:
Gii = ∑ j gij
somma delle conduttanze dei lati che afferiscono al nodo i
Gij = G ji = − g ij
conduttanza tra il nodo i e il nodo j , cambiata di segno; (uguale a 0 se non ci sono
collegamenti tra i e j )
questi valori possono essere facilmente ottenuti per ispezione della rete stessa.
Va notato che la matrice delle conduttanze, per reti di medie e grandi dimensioni, è una matrice fortemente
sparsa: contiene cioè un numero di elementi diversi da zero solitamente molto piccolo rispetto al numero
totale di elementi. Infatti ogni riga i -esima presenta elementi diversi da zero, oltre che sulla diagonale, solo
in corrispondenza dei nodi collegati al nodo i stesso; un nodo presenta normalmente da 1 a 5 collegamenti,
raramente di più (per le reti elettriche nazionali la media è tra 1.5 e 2.5 collegamenti). Allora per esempio per
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una rete di 100 nodi si avrebbe un indice si sparsità, cioè una percentuale di elementi non nulli rispetto al
totale, dell'ordine del 2-3%.
L'implementazione di questi metodi su computer andrà quindi gestita in maniera particolare, in modo da
memorizzare solo gli elementi diversi da zero ed effettuare solo di questi le operazioni matematiche
necessarie alla soluzione del sistema. I metodi e gli algoritmi utilizzati per gestire tale situazione sono detti
"tecniche di sparsità" e permettono la soluzione in tempi rapidi anche di sistemi con migliaia di nodi.
La matrice delle resistenze, inversa della matrice delle conduttanze, non potrà invece essere costruita per
ispezione, e risulterà in generale piena, e non sparsa. Nelle tecniche di sparsità si evita di calcolare tale
matrice, molto ingombrante, ma si risolve il sistema con altri metodi meno dispendiosi.
Il metodo ora descritto si applica a qualunque rete lineare.
Quando si presentino rami con un generatore di corrente già inserito: sia che questo presenti una resistenza
in parallelo sia che sia puramente ideale, non ci sono problemi: va trattato come ogni altra iniezione nodale,
elevando al rango di nodi i suoi due estremi, qualora non lo fossero già; se è ideale, senza resistenze in
parallelo, i due nodi vanno considerati privi di collegamento diretto nella rete passiva (conduttanza nulla).
I problemi sorgono quando si presenti tra due nodi un generatore ideale di tensione. Se uno dei due estremi
è collegato ad un solo altro lato, il problema è facilmente risolto considerando come unico lato la serie dei
due. In ogni altro caso, occorre ricorrere ad altri metodi. La strada suggerita nel paragrafo 3.3 (porre come
ulteriore incognita la corrente del lato-generatore e come ulteriore equazione l'espressione della d.d.p. tra i
due estremi) si presenta come non praticabile con comodità nell'ottica della facile scrittura del sistema con la
matrice delle conduttanze. Occorre seguire un'altra strada, che è la seguente.
Si supponga che il generatore ideale sia posto tra i nodi A e B, orientato da B ad A. Siano C, D, E i nodi
collegati ad A ed F, G i nodi collegati a B. Si procede allora nel seguente modo:
a)
si elimina il generatore tra A e B, ponendo quindi i due nodi in cto cto tra loro
b)
si inseriscono generatori identici nei rami collegati ad uno dei due estremi, per esempio ad A: A-C, A-D,
A-E; tali generatori saranno orientati ognuno da A verso l'altro estremo; si nominano allora i punti C', D',
E', secondi estremi dei vari generatori (si poteva fare analogamente con i collegamenti di B, anzi era più
comodo perché sono solo 2 anziché 3; i generatori andavano quindi orientati da F', G' verso B)
c)
si noti che il lato A-B è così scomparso e i due nodi A e B sono diventati un nodo solo
Il circuito così ottenuto è del tutto equivalente a quello di partenza. Per esempio si nota che tutti i componenti
contenuti nell'ex-ramo A-C sono ora nel troncone C'-C, e il potenziale di C' (rispetto a B, per esempio) è lo
stesso che in precedenza possedeva A.
In questo circuito si possono fare gli equivalenti di corrente dei generatori perché ora sono posti in serie con
rami non privi di resistenze, e quindi tornare al metodo descritto.
In sintesi, il metodo automatico qui descritto può essere schematizzato nei seguenti passaggi:
1)
numerazione di tutti i nodi, meno uno, con scelta libera di considerare nodi anche i punti tra due soli lati
o gli estremi in antenna; numerazione e orientamento dei lati
2)
"riproduzione" dei generatori di tensione posti in lati privi di resistenza serie nei lati collegati, come
descritto poco sopra
3)
trasformazione dei rami E-R (generatori di tensione in serie con resistenze) in componenti A-G
(generatori di corrente con in parallelo una conduttanza)
4)
calcolo delle iniezioni nodali, somma delle iniezione dei componenti A-G
5)
costruzione, per ispezione, dalla matrice delle conduttanze
6)
soluzione del sistema [G ] ⋅ [V ] = [ A] , (manualmente o col computer)
7)
calcolo delle correnti nei lati, ricostruzione dei circuiti originali, etc. (con le tensioni nodali calcolate tutto
è a portata di mano)
2.8 - Cenni alle reti elettriche non lineari
Una rete elettrica viene considerata non più lineare quando non è più lineare almeno uno dei suoi
componenti, sia esso attivo oppure passivo.
Per esempio certe resistenze presentano una caratteristica del tipo:
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V = K ⋅ exp(I I 0 )
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[2.35]
o altre funzioni più o meno complesse.
Per queste reti, ovviamente, si applicano comunque i principi di Kirchhoff, con la differenza che si otterrà un
sistema di equazioni non lineari, che dovrà essere risolto con metodi numerici.
Nel caso la rete presenti un solo componente non lineare, o pochissimi componenti localizzati in lati tra loro
vicini, mentre il resto della rete è lineare, la soluzione può essere ottenuta più agevolmente ricorrendo ai th.
di Thevenin e/o di Norton.
Un esempio chiarirà come procedere.
Si supponga di avere una rete tutta lineare, fatta eccezione per un bipolo, per il quale vale:
V = f (I )
con f non lineare
Siano A e B i due nodi ai quali il bipolo è collegato. Si immagini allora di togliere temporaneamente il bipolo
non lineare della rete, e di effettuare l'equivalente della rete dai due nodi A e B, per esempio con il th. di
Thevenin. Si otterrà così solo un generatore equivalente in serie con una resistenza equivalente. A questo
punto si reinserisca il bipolo tra i due nodi. Il circuito risultante è semplicissimo: una sola maglia, con il
generatore in serie alla resistenza e al componente. L'equazione di funzionamento:
ETh = RTh ⋅ I + f (I )
[2.36]
Anziché un intero sistema non lineare si è trovata una sola equazione non lineare, che può essere risolta
graficamente oppure numericamente per tentativi, per esempio con metodi tipo Newton o con il metodo delle
secanti.
Anche scrivendo il sistema (per esempio con il metodo dei potenziali di nodo) si sarebbe ottenuta una sola
equazione non lineare, ma inserita in un sistema di molte altre lineari; l'applicazione dell'equivalente di
Thevenin (o di Norton) equivale al procedimento matematico che avrebbe permesso di isolare l'equazione
lineare dall'intero sistema.
2.9 - Potenza elettrica - Effetto Joule
In tutte i discorsi fatti finora non si è ancora affrontato il problema della potenza. Ogni applicazione elettrica
di fatto scambia o trasmette energia, e quindi ad essa è associata una potenza.
Si consideri una carica elettrica Q che venga portata dal potenziale V1 al potenziale V2 . Ad essa è quindi
stata fornita energia, per la definizione stessa di potenziale, nella misura di:
Eel = Q ⋅ (V2 − V1 ) = Q ⋅ ΔV
[2.37]
Si ricorda che il potenziale, e quindi la d.d.p., oppure la tensione, si misurano in volt e che 1V = 1J 1C . La
grandezza così ottenuta ha quindi proprio la dimensione dei joule.
Nel caso una corrente elettrica fluisca in un generatore, questa formula vale per ogni carica. E poiché in
caso di corrente si ha il passaggio di un certo numero di cariche per ogni unità di tempo, si ha la fornitura di
una certa quantità di energia per ogni unità di tempo: si ha cioè una potenza fornita dal generatore alle
cariche:
P=
d Eel d Q
=
⋅ ΔV = I ⋅ ΔV
dt
dt
[2.38]
o, più semplicemente:
P =V ⋅I
[2.39]
dove con V si intende una d.d.p. o una f.e.m..
La potenza elettrica si manifesta quindi quando esiste passaggio di corrente in presenza di
differenza di potenziale, ed è pari al prodotto della tensione per la corrente.
Quando in un generatore si ha corrente uscente dal morsetto a potenziale maggiore, si ha quindi potenza
elettrica erogata dal generatore verso il resto del circuito. Con la convenzione dei generatori, allora, la
potenza è erogata dal bipolo se tensione e corrente sono entrambi positivi o entrambi negativi.
La potenza (in generale qualunque potenza, ed in particolare quella elettrica) si misura in watt, simbolo W :
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1W = 1V ⋅ 1A =
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1J
1s
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[2.40]
Ciascuna carica, muovendosi nel circuito, trasporta l'energia potenziale elettrica che ha con sé. Incontrando
una resistenza elettrica, esse devono però cedere almeno parte di questa energia, e si ha quindi una
potenza elettrica assorbita dal resistore. La potenza assorbita sarà ancora pari al prodotto di tensione per
corrente; la convenzione degli utilizzatori prevede per la corrente (o per la tensione) un verso positivo
opposto a quello della convenzione dei generatori; quindi con la convenzione degli utilizzatori, allora, la
potenza è assorbita dal bipolo se tensione e corrente sono entrambi positivi o entrambi negativi.
Poiché per il resistore vale:
V = R⋅I
[2.41]
allora la potenza assorbita vale:
P = I ⋅ V = I ⋅ RI = R ⋅ I 2 =
V2
R
[2.42]
La potenza assorbita è proporzionale alla resistenza e al quadrato della corrente.
Tale potenza, nel resistore, viene completamente trasformata in calore, di modo che un resistore percorso
da corrente dissipa verso l'esterno un certo numero di calorie per ogni secondo. Questo fenomeno prende il
nome di effetto Joule.
Vedendo le cose da un punto di vista locale, e ricordando che:
E =ρJ
[2.43]
vale che:
P=∫
Vol ( R )
ρ J 2 dVol
[2.44]
(integrale di volume esteso al volume della resistenza).
Infatti per il caso semplice di una resistenza cilindrica:
P = l ⋅ A ⋅ ρ ⋅ J 2 = (ρ ⋅ J ⋅ l ) ⋅ ( A ⋅ J ) = V ⋅ I
[2.45]
oppure
P = l ⋅ A⋅ρ⋅ J 2 = ρ
l
2
⋅ (A ⋅ J ) = R ⋅ I 2
A
[2.46]
L'effetto Joule è molto importante.
Poiché le resistenze si scaldano, con correnti troppo elevate si possono danneggiare o, più facilmente,
danneggiare gli isolanti di cui sono rivestite. Per questo le correnti troppo elevate sono pericolose.
Inoltre, il riscaldamento conseguente al passaggio di corrente comporta un aumento della resistività (che
cresce linearmente con la temperatura), e quindi della resistenza; pertanto i parametri circuitali vengono
modificati dal passaggio di corrente. In questo senso si potrebbe dire che i resistori non sono in realtà bipoli
lineari, perché la R cresce proporzionalmente al quadrato della corrente. Va però notato che nelle
applicazioni normali, con conduttori dimensionati correttamente e correnti contenute entro i limiti indicati dal
progettista, la variazione è abbastanza piccola, e comunque perché la temperatura aumenti occorre che il
calore si accumuli, e questo richiede un certo periodo di tempo (transitorio termico).
In una rete elettrica la somma delle potenze generate è pari alla somma delle potenze dissipate nelle
resistenze per effetto Joule.
Questa affermazione è comprensibile intuitivamente, se si ricorda che l'energia non si può distruggere, ma
solo trasformare: quindi la potenza introdotta nella rete dai generatori non potrà che prendere la forma di
calore, disperso verso l'esterno o accumulato nei materiali durante la fase di riscaldamento, ma comunque
tutto prodotto per effetto Joule. L'affermazione è però anche dimostrabile in modo rigoroso.
Non va però pensato che tutta la potenza dei generatori sia potenza positiva erogata: ci sono generatori che
possono funzionare anche con erogazione negativa, cioè con assorbimento di potenza da parte del
generatore. Questo si verifica quando in un generatore di tensione la corrente, anziché essere uscente dal
morsetto a potenziale maggiore è entrante in questo questo morsetto. In tali condizioni la trasformazione di
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energia all'interno del generatore avviene in senso inverso: se per esempio si tratta di un generatore di tipo
elettrochimico, anziché avere energia chimica trasformata in energia elettrica per ogni unità di tempo, si avrà
energia elettrica trasformata in energia chimica (accumulatore); se si tratta di un generatore di tipo
elettromeccanico, anziché avere potenza meccanica trasformata in elettrica, si avrà potenza elettrica
trasformata in meccanica (motore elettrico). In realtà non tutti i generatori sono reversibili; se non lo sono,
quando la grandezza (corrente o tensione) viene invertita reagiscono bloccando il passaggio della corrente e
comportandosi come circuiti aperti.
Quando invece sono reversibili, di fatto si è attuato il trasporto dell'energia elettrica dal generatore erogante
al bipolo (motore, accumulatore, etc.) che lo utilizza o la accumula
Le relazioni viste finora mostrano come non sia possibile trasportare potenza elettrica da un punto all'altro
senza dissiparne almeno una frazione per effetto Joule. Infatti, nella relazione [2.46] si nota che il termine
dissipativo (2° membro), essendo una funzione quadratica della corrente, è sempre positivo (al più nullo, se
non passa corrente). Nelle moderne reti elettriche la potenza dissipata è tuttavia molto piccola, al più
dell'ordine di qualche percento del totale per circuiti molto lunghi. Esistono materiali detti superconduttori, per
i quali la resistività è nulla; tuttavia tale caratteristica si presenta solo a temperature eccezionalmente basse
e quindi non vengono utilizzati se non per applicazioni molto particolari.
2.10 - Partitore di corrente e di tensione
Spesso è conveniente, nel risolvere dei circuiti elettrici, operare delle riduzioni sulla rete riunendo in un unico
bipolo più resistenze in serie, oppure più resistenze in parallelo. Giunti a soluzione, occorre tornare alla
configurazione iniziale, esplicitando quindi i valori di tensione e di corrente sui bipoli originari.
Nel caso che più resistenze in serie siano state condensate in un'unica resistenza, vale:
Ik = I =
V
∑k Rk
[2.47]
Rk
Vk = Rk ⋅ I =
V
∑k Rk
vale a dire: tutte le resistenze presentano il passaggio della medesima corrente, mentre la tensione totale
viene ripartita sui vari elementi in serie in proporzione alla resistenza di ciascuno.
Nel caso che più resistenze in parallelo siano state condensate in un'unica resistenza, vale:
Vk = V =
I
∑k Gk
I k = Gk ⋅ V =
[2.48]
Gk
I
∑k Gk
vale a dire: tutte le resistenze sono sottoposte alla medesima tensione, mentre la corrente totale viene
ripartita sui vari elementi in parallelo in proporzione alla conduttanza di ciascuno.
Le situazioni così descritte prendono il nome rispettivamente di partitore di tensione e di partitore di
corrente.
Se le resistenze sono in serie, la tensione viene ripartita in misura proporzionale alla resistenza di ciascun
elemento; se sono in parallelo, la corrente viene ripartita in misura inversamente proporzionale alla
resistenza di ciascun elemento.
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3 - Circuiti Magnetici
3.1 - Campo Magnetico e Induzione Magnetica
Nel Cap. 1 sono state richiamate le leggi dell'elettromagnetismo e la definizione di campo e di induzione
magnetica.
Per il campo magnetico la legge di Gauss prevede che:
∫S B ⋅ un dS = 0;
∇⋅B =0
[3.1]
mentre la legge di Ampere-Maxwell:
d
∫L B ⋅ dl = μ0 I + μ0ε 0 dt ∫S ( L) E ⋅ un dS ;
∇ × B = μ0 J + μ0ε0
∂E
∂t
[3.2]
Queste relazioni sono valide nel vuoto, e come si vede utilizzano il vettore induzione piuttosto che il vettore
campo magnetico.
Riscrivendo la legge di Ampere-Maxwell per un qualunque mezzo materiale, vale che:
d
∫L H ⋅ dl = I + dt ∫S ( L) ε 0ε r E ⋅ un dS ;
∇ × H = J + ε0ε r
∂E
∂t
[3.3]
e il legame tra campo magnetico e induzione magnetica:
B = μ 0μ r H
[3.4]
E' importante capire cosa succede ad una linea di forza del campo magnetico se questa attraversa la
superficie di separazione tra due materiali aventi permeabilità magnetica relativa differente. In questo caso,
dei due vettori campo e induzione, quello che conserva lo stesso valore nel passaggio è il vettore induzione.
Se per esempio il passaggio avviene nel punto l0 di una linea di forza, vale:
( ) ( )
μ μ H (l ) = μ μ H (l )
B l0+ = B l0−
0 r2
( )
H l0+ =
+
0
0 r1
quindi:
−
0
( )
μ r1
H l0−
μr 2
[3.5]
La legge di Gauss, che esprime la solenoidalità dell'induzione magnetica, va quindi presentata nella sua
forma con il vettore induzione (come sopra).
Il modulo del vettore campo presenta quindi una discontinuità nel passaggio (a meno che non si abbiano
uguali permeabilità). In particolare, va notato che se la permeabilità magnetica aumenta, il campo
diminuisce.
Per quanto riguarda il secondo membro delle equazioni di Ampere-Maxwell, il termine contenente la derivata
del campo elettrico rispetto al tempo in realtà rende conto dell'eventuale variazione della carica accumulata
per unità di volume:
∇⋅E =
ρ
ε 0ε r
[3.6]
In condizioni stazionarie la variazione della densità di carica è nulla (densità costante); in condizioni quasistazionarie la variazione, se esiste, è localizzata (condensatori) e avrà una eventuale influenza locale,
trascurabile (perché lì il campo magnetico è ininfluente) oppure, se rilevante, se ne terrà conto in maniera
opportuna. Si consideri comunque di poter trascurare tale termine.
Quindi valgono le seguenti leggi:
-
l'integrale di circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa è pari alla corrente che
attraversa la superficie delimitata da tale linea
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-
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il flusso dell'induzione magnetica uscente da una superficie chiusa è nullo, quindi le linee di
forza del vettore induzione magnetica si richiudono sempre su se stesse.
Si ricorda infine che un singolo tratto di conduttore di lunghezza infinitesima percorso da corrente produce in
ogni punto dello spazio intorno a sé un campo magnetico:
dB =
μ 0 ui × r
i ⋅ dz
4π r 3
[3.7]
3.2 - Il circuito magnetico
Si consideri una superficie S , di forma qualunque, e su di essa un'area A attraversata da campo
magnetico; si consideri quindi in particolare il tubo di flusso del vettore induzione magnetica che interessa
questa area. Per la solenoidalità del vettore induzione, tale tubo di flusso descriverà nello spazio una tragitto
più o meno lungo, ma prima o poi dovrà richiudersi su se stesso, tornando alla superficie di partenza, filetto
per filetto negli stessi punti di incidenza. Questo tubo di flusso chiuso prende il nome di circuito magnetico.
Perché un circuito magnetico esista (con valori di campo e induzione diversi da zero), occorre che la
superficie delimitata dalla linea chiusa che esso percorre sia percorsa da corrente elettrica.
In ogni punto del circuito, i vettori campo e induzione saranno sempre coincidenti per quanto riguarda
direzione e verso, ma differenti per quanto riguarda il modulo. In tutto il percorso il valore del flusso del
vettore induzione sarà costante. Lungo il circuito la sezione potrà restringersi e allargarsi, e di conseguenza
l'induzione sarà rispettivamente più grande o più piccola. Si consideri, per ogni posizione l del circuito,
l'area della superficie normale, punto per punto, al campo magnetico, e la permeabilità magnetica relativa
del materiale attraversato:
B (l ) =
ΦB
A(l )
[3.8]
e quindi:
H (l ) =
B(l )
ΦB
=
μ 0μ r (l ) μ 0μ r (l )A(l )
[3.9]
l'integrale di circuitazione (campo e induzione sono espressi in modulo perché già considerati paralleli alla
linea di circuitazione) è pari alla corrente che attraversa il circuito:
ΦB
dl
dl = Φ B ∫
L μ μ (l ) A(l )
L μ μ (l ) A(l )
0 r
0 r
I = ∫ H (l ) ⋅ dl = ∫
L
[3.10]
L'integrale al secondo membro è alquanto simile all'integrale che esprime la resistenza di un circuito
elettrico, con la differenza che al posto della resistività appare il reciproco della permeabilità. Il valore di tale
integrale esprime l'opposizione che il circuito magnetico oppone al passaggio del flusso; il suo valore è
quindi pari al rapporto tra corrente e flusso stesso. Allora per analogia con quanto si fa per i circuiti elettrici
dove tale integrale prende il nome di resistenza, qui tale integrale prende il nome di riluttanza, e può essere
calcolato anche per un solo tratto del circuito magnetico:
R AB = ∫
B
Aμ
dl
0μ r (l ) A(l )
[3.11]
Vale quindi:
I = RΦ B
[3.12]
indicando la riluttanza dell'intero circuito. Queste ultime due relazioni possono essere sintetizzate nella legge
di Hopkinson, che prevede che "in un mezzo lineare il flusso dell'induzione magnetica è proporzionale
alla corrente concatenata dal circuito stesso, secondo una costante di proporzionalità che dipende
dalla permeabilità magnetica del mezzo e dalla sua geometria".
3.3 - Analogia tra circuito elettrico e circuito magnetico
Come fatto per i circuiti elettrici, si possono definire allo stesso modo i concetti di ramo (porzione di circuito
percorsa dallo stesso flusso), nodo (punto di convergenza tra più rami), maglia (successione di rami a
formare un percorso chiuso).
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Si possono quindi stabilire queste corrispondenze:
Circuito Elettrico
Circuito Magnetico
corrente I
flusso magnetico Φ B
densità di corrente J
vettore induzione magnetica B
resistenza R
riluttanza R
f.e.m. E
f.m.m. M
dove si è introdotto, per analogia, il concetto di forza magnetomotrice, f.m.m., indicata con M . Essa è pari
alla corrente totale I che attraversa la superficie delimitata dalla linea di circuitazione. Spesso lo stesso
conduttore attraversa più di una volta la superficie, percorrendo delle spire; quindi la forza magnetomotrice è
pari alla corrente per il numero di attraversamenti, cioè per il numero si spire N :
M = NI
[3.13]
Essendo il vettore induzione solenoidale come la densità di corrente, vale anche per i circuiti magnetici il
principio di Kirchhoff ai nodi; a partire dalla legge di Ampere-Maxwell, anziché da quella di Faraday-Henry, si
dimostra anche la validità del principio di Kirchhoff alle maglie.
Vale quindi:
∑ Φ Bji = 0
j∈i
[3.14]
∑ R k Φ Bk = M = N I
k
Si possono allora utilizzare anche per i circuiti magnetici i metodi di soluzione visti per i circuiti elettrici.
Esiste però una differenza, non irrilevante in termini pratici.
Nei circuiti elettrici, di fatto, i singoli rami sono generalmente ben definiti, perché sono appositamente
costruiti con materiale conduttore, generalmente di sezione regolare; esternamente ai conduttori in pratica
non esiste corrente, perché i rivestimenti e l'aria sono isolanti.
In ambito magnetico, invece, non esistono materiali "conduttori", cioè fortemente permeabili, e materiali
"isolanti", cioè pochissimo permeabili: per quasi tutti i materiali la permeabilità relativa è pressoché unitaria.
Quindi il flusso magnetico non ha percorsi obbligati, ma solitamente si diffonde in un'ampia regione di spazio
circostante la sua sorgente di f.m.m., rendendo impossibile la modellizzazione circuitale.
L'unica eccezione a questo comportamento si presenta in presenza di corpi materiali composti di ferro. Il
ferro è l'unico materiale ad elevata permeabilità magnetica, con un valore relativo pari ad alcune centinaia o
anche migliaia. In presenza di un percorso in ferro, il flusso magnetico sceglie preferibilmente questa strada,
che può quindi essere considerata un circuito magnetico vero e proprio. Se si considera lo stesso percorso
appena fuori dal ferro, il valore dell'induzione si presenterà centinaia o migliaia di volte inferiore, perché il
campo non viene "amplificato" dall'elevata permeabilità dell'aria o del mezzo che circonda il ferro; tuttavia le
linee di forza esterne al ferro possono allargarsi su sezioni molto ampie, avendo tutto lo spazio circostante a
disposizione, così accade che il flusso esterno non è del tutto trascurabile rispetto a quello nel ferro. In
pratica i due percorsi corrispondono (analogia con i circuiti elettrici) a due riluttanze (resistenze) poste in
parallelo, sotto la stessa f.m.m. (f.e.m.): la prima di sezione limitata ma con elevata permeabilità (bassa
resistività), la seconda con scarsa permeabilità (grande resistività) ma sezione molto grande. Insomma, un
circuito magnetico presenta sempre dei flussi parassiti, detti flussi dispersi, che rendono meno agevole un
calcolo corretto.
Nei circuiti in ferro possono presentarsi dei brevi tratti in aria (o altro materiale con permeabilità relativa
unitaria). Per esempio, il circuito può non essere tutto in un unico blocco, quindi nelle giunzione esistono
brevi interstizi; oppure volutamente è stato costruito con delle distanze in aria. Ciascuno di questi tratti in aria
si chiama traferro, e può presentare una riluttanza non indifferente, spesso paragonabile se non superiore a
quella del tratto in ferro. Se per esempio la permeabilità relativa del ferro è pari a 1000, un tratto in aria di un
millimetro ha la stessa riluttanza di un tratto in ferro lungo un metro. Infatti, per rami di forma regolare, vale:
R=
1 l
μ 0μ r A
[3.15]
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quindi la lunghezza mille volte maggiore del tratto in ferro è compensata dal valore mille volte maggiore della
permeabilità relativa.
Un circuito magnetico ben definibile anche senza parti in ferro è quello generato da un solenoide percorso
da corrente. Un solenoide è una sequenza di spire di conduttore, disposto quindi in forma di elica che si
avvolge lungo un asse.
Se la lunghezza del solenoide è sufficientemente grande rispetto al suo diametro, il campo magnetico può
all'interno del solenoide può essere considerato come costituito da linee di forza parallele all'asse dell'elica;
ad una estremità le linee di forza usciranno, allargandosi a loro piacimento, per poi tornare a restringersi per
rientrare dall'altra estremità. Si può allora considerare il circuito magnetico come composto da due riluttanze
in serie: la prima corrispondente al tratto interno, di forma regolare: la seconda per il tratto esterno.
Quest'ultima viene considerata trascurabile perché la sua sezione, benché non uniforme, sarà molto grande.
Allora:
ΦB =
NI
NIA
= μ 0μ r
= μ 0μ r An I
R
l
[3.16]
dove:
n=
N
l
numero di spire per unità di lunghezza
[3.17]
Quindi:
ΦB
= μ 0μ r nI
A
B
H=
= nI
μ 0μ r
B=
[3.18]
il valore del campo e dell'induzione sono proporzionali solo alla corrente e al numero di spire per unità di
lunghezza.
3.4 - Induzione Elettromagnetica
La variazione nel tempo dell'induzione magnetica e del suo flusso provoca l'insorgere di tensione elettrica.
Infatti in presenza di tali variazioni il campo elettrico non è più rotazionale e quindi il suo integrale di
circuitazione lungo una linea chiusa risulta diverso da zero. La legge di Faraday-Henry descrive in maniera
rigorosa questo fenomeno:
d
∫L E ⋅ dl = − dt ∫∫S ( L) B ⋅ un dS = −
dΦ B
;
dt
∇× E = −
∂B
∂t
[3.19]
Si consideri allora una spira di conduttore, avvolta intorno ad un ramo di un circuito magnetico, dal suo
estremo iniziale A al suo estremo finale B, in modo da descrivere un giro completo. Si supponga che
l'avvolgimento vada da A ad B nel verso di rotazione di una vite destrorsa che avanzi nello stesso verso in
cui il flusso magnetico è considerato positivo in quel ramo. Allora, in caso di variazione di flusso, la tensione
che si crea ai capi A-B della spira vale:
A
vBA = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl = −
B
L
dΦ B
dt
[3.20]
Utilizzando per la spira la convenzione degli utilizzatori, interessa conoscere la tensione tra il morsetto in cui
la corrente entra e quello da cui esce:
v AB = −vBA = +
dΦ B
dt
[3.21]
In particolare, si consideri un circuito magnetico composto da una sola maglia magnetica, e dove l'unica
f.m.m. sia data dalla spira stessa. Per le convenzioni stabilite, una corrente positiva produce un flusso
positivo:
ΦB =
i AB
R
[3.22]
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dove si è utilizzata la riluttanza dell'intero circuito magnetico. Quindi:
v AB =
1 di AB
R dt
[3.23]
Si noti che anche se la spira fosse avvolta nel verso opposto, e quindi la corrente da A a B circolasse in
senso antiorario, si sarebbe ottenuta la stessa equazione, perché tale situazione sarebbe perfettamente
simmetrica: infatti una corrente positiva con tali convenzioni genera un flusso orientato nel verso opposto
rispetto al caso precedente; basta quindi cambiare il verso convenzionalmente positivo per il flusso, e il
verso di rotazione torna ad essere quello orario, quindi si può ripetere il ragionamento identicamente.
Notiamo allora che il bipolo elettrico di estremi A e B, che interagisce con un circuito magnetico, presenta
una caratteristica particolare: nel caso la corrente tenda ad aumentare, il bipolo "reagisce" opponendo
tensione all'ingresso della corrente (tensione positiva utilizzando la convenzione degli utilizzatori); nel caso la
corrente tenda a diminuire, il bipolo "reagisce" presentando una tensione concorde alla corrente (tensione
negativa). Si può quindi dire che tale bipolo tende a conservare il valore di corrente sull'ultimo valore che gli
è stato imposto.
Tale bipolo prende il nome di induttore, o auto induttore, dato che il circuito magnetico induce tensione sullo
stesso circuito elettrico che ha generato la forza magnetomotrice. Attraverso i circuiti magnetici è possibile
indurre tensione anche su circuiti elettrici diversi da quelli che generano la f.m.m.: basta che anche questi
siano avvolti intorno a tronchi in cui scorre tutto o una parte del flusso magnetico generato: si parla in tal
caso di mutuo induttore.
Quello visto in questo esempio è il caso più semplice di auto induttore. Una maggiore complessità può
essere introdotta considerando il caso in cui vi siano più spire (in serie). Allora il flusso aumenta in
proporzione al numero di spire:
ΦB =
M N i AB
=
R
R
[3.24]
ed indicando semplicemente con
e=
I la corrente da A e B e con e la tensione su una singola spira:
dΦ B N di
=
dt
R dt
ed infine la tensione totale
v = Ne =
[3.25]
v tra A e B :
N 2 di
R dt
[3.26]
Come si può notare, la tensione è aumentata secondo il quadrato del numero di spire.
Spesso, in presenza di spire, si parla anche di flusso concatenato, pari al flusso di ogni spira moltiplicato per
il numero totale di spire:
ΨB = NΦ B
[3.27]
Il termine L tale che:
v=L
di
dt
[3.28]
e quindi:
L=
Ψi
ii
quando i j = 0 per ogni j ≠ i
[3.29]
e che in questo vale:
L=
N2
R
[3.30]
prende il nome di induttanza in generale, auto induttanza in particolare in questo caso, dove la tensione è
indotta sullo stesso avvolgimento elettrico dove scorre la corrente che genera il flusso magnetico.
L'unità di misura dell'induttanza è l'henry, simbolo H. Dall'analisi dimensionale dell'espressione [3.28]:
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[V ] = [H ]⋅ [A s]
⇒
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1H = 1Ω ⋅ 1s
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[3.31]
Va notato che la d.d.p. che si presenta ai capi di un induttore reale non dipenderà solo dall'induttanza, ma
esisterà comunque un termine resistivo, di modo che:
v = Ri + L
di
dt
[3.32]
tuttavia in Elettrotecnica spesso si preferisce vedere separatamente i due effetti modellizzando l'induttore
reale come la serie di due bipoli ideali, uno puramente resistivo (solo R ) e uno puramente induttivo (solo
L ). Ovviamente il punto di separazione tra i due bipoli è un punto virtuale, nel senso che nel componente
reale effetto resistivo ed effetto induttivo si presentano nella stessa proporzione in ciascun tratto infinitesimo
del circuito.
Frequentemente, comunque, il termine resistivo è trascurabile in molti tipi di analisi.
Si consideri invece un circuito magnetico intorno al quale siano presenti due avvolgimenti, che verranno
indicati come 1 e 2 rispettivamente. I due avvolgimenti possono essere posti sullo stesso ramo o su due rami
distinti del circuito magnetico. Si avrà allora che il flusso che concatena l'avvolgimento 1 non sarà generato
solo dalla corrente nell'avvolgimento stesso, ma in generale anche dalla corrente nell'avvolgimento 2, perché
il flusso da questa prodotto circolerà almeno in parte in ogni ramo del circuito magnetico, quindi anche nel
ramo intorno a cui è posto l'avvolgimento 1. Così pure il flusso nell'avvolgimento 2 dipenderà dalle correnti
negli avvolgimenti 1 e 2. Il discorso può essere generalizzato a un numero generico di avvolgimenti.
Questo è l'effetto di mutua induzione; il parametro che lo descrive è la mutua induttanza:
M ij =
Ψi
quando ii = 0, ik = 0 per ogni k ≠ i, j
ij
[3.33]
che si misura in Henry, come le auto induttanze.
Quindi in generale per un sistema con più avvolgimenti vale:
di1
di
di
+ M 12 2 + K + M 1N N
dt
dt
dt
di
di
di
v2 = R2i2 + M 21 1 + L2 2 + K + M 2 N N
dt
dt
dt
L
v1 = R1i1 + L1
vN = RN iN + M N 1
[3.34]
di
di
di1
+ M N 2 2 + K + LN N
dt
dt
dt
Per chiarire meglio la situazione si consideri il seguente esempio di cui sono dati i parametri geometrici e
magnetici e i numeri di spire:
6
4
2
1
3
7
5
A1 = A3 = 0.20m 2 ;
A2 = 0.25m 2 ;
l1 = l2 = l3 = 1.0m;
A4 = A6 = 0.25m 2 ;
l4 = l5 = l6 = l7 = 0.5m;
A5 = A7 = 0.25m 2 ;
N1 = 50;N 2 = 60;
δ = 1mm;
μ r = 1000
figura 3.1
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Gli avvolgimenti elettrici sono posti sui rami 1 e 2, con versi di avvolgimento e di ingresso della corrente tali
da produrre, con correnti positive, f.m.m. orientate come da figura.
Si possono calcolare le riluttanze dei singoli rami, e quindi modellizzare il circuito magnetico mediante un
equivalente elettrico, secondo l'analogia introdotta nel par. 4.3:
D
E
R
R
R
4
R
6
2
R
1
R
M
F
M
1
A
R
3
d
2
B
5
R
C
7
R1 = R 3 = 4000;
R 2 = 3200; R δ = 3200;
R 4 = R5 = R 6 = R 7 = 1600
figura 3.2
si trascurano eventuali flussi di dispersione (in aria) e le relative riluttanze si suppongono quindi di valore ∞.
Come si può notare la rete presenta in realtà due soli nodi, indicati come
in parallelo:
B ed E , tra i quali vi sono tre rami
E
R
M
1
a
R
M
R
b
c
1
B
R a = R 4 + R1 + R5 = 7200
Rb = R 2 + R δ = 6400
R c = R 6 + R1 + R 7 = 7200
figura 3.3
Con tali valori si calcola facilmente, che il generatore di f.m.m. 1, sul ramo a , "vede" tutta la rete come una
riluttanza pari a:
R (a ) = R a + R b || R c = 7200 +
7200 ⋅ 6400
≅ 10600
7200 + 6400
e così pure il generatore di f.m.m.
R (b ) = R b + R a || R c = 6400 +
2 , sul ramo b , "vede" tutta la rete come:
7200 ⋅ 7200
= 10000
7200 + 7200
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Si possono quindi indicare subito i valori delle auto induttanze per i due avvolgimenti, considerando per
ciascuna che sia "acceso" il proprio generatore di f.m.m. e "spento" (in cto cto) l'altro:
L11 = N12
1
2500
=
= 0.236H
R (a ) 10600
L22 = N 22
1
3600
=
= 0.360H
R (b ) 10000
Oltre all'effetto auto induttivo, va considerato che il flusso generato da ogni avvolgimento concatena almeno
in parte anche l'altro; quindi, se tale flusso è variabile nel tempo, genererà tensione nell'altro avvolgimento.
In questo caso il flusso generato dal generatore di f.m.m. 1 (con il generatore 2 spento) si ripartirà nei due
rami b e c in proporzione al reciproco delle rispettive riluttanze, in maniera tale da presentare la stessa
caduta di tensione (analogia elettrica per i circuiti magnetici) sui due rami. Si tratta quindi di un partitore di
flusso, l'analogo magnetico di un partitore di corrente:
Φ1 = −Φ b1 − Φ c1
Φ b1 ⋅ R b = Φ c1 ⋅ R c
dove si utilizza il segno negativo perché se il flusso generato è positivo nel ramo a , sarà orientato
negativamente nei rami b e c . Quindi vale:
Φ b1 = −
Rc
Φ1
Rb + Rc
e poiché:
Φ1 =
N1 ⋅ i1
R (a )
si ha:
M 21 = −
1
7200
1
Rc
N 2 N1
=−
⋅ 50 ⋅ 60 ⋅
= −0.150H
Rb + Rc
R (a )
13600
10600
Mentre le auto induttanze sono sempre positive, le mutue induttanze sono positive o negative a seconda dei
reciproci orientamenti degli avvolgimenti coinvolti.
In questo caso, percorrendo una maglia che comprendesse entrambi i rami con avvolgimenti elettrici, i due
avvolgimenti presentavano versi discordi, da cui il segno negativo.
Il procedimento ora seguito va ripetuto per calcolare la mutua induttanza M 12 , che esprime il rapporto tra
valore del flusso concatenato dall'avvolgimento 1 e la corrente che lo genera, nell'avvolgimento 1. Si trova
quindi:
M 12 = −
Rc
1
7200
1
N1 N 2
=−
⋅ 60 ⋅ 50 ⋅
= −0.150H
Ra + Rc
R (b )
14400
10000
Si nota che:
M 12 = M 21
Non si tratta di una coincidenza numerica: si dimostra che le mutue induttanze sono sempre
simmetriche.
3.5 - Energia Magnetica
Ogni campo magnetico comporta sempre la presenza di energia, che prende appunto il nome di energia
magnetica. E' necessario compiere lavoro per creare un campo magnetico: tale lavoro non viene dissipato
(per effetto Joule o in altro modo), ma viene accumulato dal campo magnetico stesso, che potrà restituirlo
quando i valori di campo e di induzione torneranno a zero. L'energia è localizzata in ogni punto dello spazio
dove si presenti un valore non nullo di campo, secondo questa formula:
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d EB =
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1
1
1 B2
BHdV = μ 0μ r H 2 dV =
dV
2
2
2 μ 0μ r
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[3.35]
Quindi integrando sull'intero volume in cui è presente il campo si ottiene l'energia magnetica totale:
EB =
B2
1
1
1
2
=
μ
μ
=
BHdV
H
dV
dV
r
0
2 ∫V
2 ∫V
2 ∫V μ 0μ r
[3.36]
Se si considera per esempio un semplice circuito magnetico, costituito da una sola maglia, di sezione
regolare A e di lunghezza totale l , di materiale con caratteristiche magnetiche omogenee, si può facilmente
calcolare l'energia magnetica totale in esso presente, dato che in esso il campo sarà uniforme.
EB =
1 B2
Al
2 μ 0μ r
[3.37]
Il campo magnetico sarà generato dalla corrente che scorre in una serie di spire avvolte nel campo
magnetico stesso. Tale corrente vale I , con la condizione:
Φ = A⋅ B =
NI
NI
NI
⇒B =
= μ 0μ r
R
l
AR
[3.38]
Si supponga di essere arrivati a tale valore facendo crescere la corrente linearmente da zero:
i(t ) =
t
I
T
[3.39]
dove T è il tempo totale impiegato. Allora ai morsetti dell'avvolgimento si presenta, per effetto induttivo, una
tensione:
v(t ) = L
di (t )
I N2 I
=L =
dt
T
R T
[3.40]
con la scelta fatta per la funzione i(t ) la tensione è costante.
Istante per istante la potenza vale:
p (t ) = v(t ) ⋅ i (t ) = L
I t
t
I = LI 2 2
TT
T
[3.41]
L'energia fornita dal circuito elettrico a quello magnetico vale allora:
T
EE → B = ∫ LI 2
0
t
1
dt = LI 2
2
2
T
[3.42]
Si ottiene questo stesso risultato qualunque sia l'andamento della corrente nel tempo, purché inizi da 0 e
arrivi ad I .
Si nota inoltre che:
A
1 2 1 N2 2 1
LI =
I = μ 0μ r N 2 I 2
2
2 R
2
l
[3.43]
Combinando la [3.38] e la [3.42]:
1 B2
1 (μ 0μ r NI l )
1
1
A
Al =
Al = μ 0μ r N 2 I 2 = LI 2
2 μ 0μ r
2
2
2
μ 0μ r
l
2
EB =
[3.44]
Come si vede quest'ultimo valore di energia (calcolato a partire dalla [3.36] e [3.38]) e il lavoro elettrico
espresso dalla [3.42] coincidono, a conferma della validità delle leggi utilizzate.
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3.6 - Azioni Meccaniche
La forza di Lorentz indica l'esistenza di interazioni di tipo meccanico in presenza di campi magnetici e
correnti.
Un altro tipico effetto meccanico è la forza di attrazione o di repulsione tra le varie parti di un circuito
magnetico, e in particolare in prossimità dei traferri. Se si ha un circuito magnetico con diverse parti in ferro,
non unite saldamente le une alle altre o a un altro vincolo, le forze che si creano fra queste parti provocherà
il loro spostamento. Un metodo rigoroso ma al tempo stesso semplice per calcolare queste forze si basa su
un principio energetico. Se le distanze variano, anche di un termine infinitesimo (o, se si preferisce un
approccio Lagrangiano, di uno spostamento virtuale), cambiano i valori delle riluttanze, e quindi delle
induttanze, e di conseguenza dell'energia accumulata dal campo magnetico. In assenza di altre sorgenti di
potenza (si supponga per esempio che il flusso non cambi, e quindi non si creino tensioni, in modo che i
circuiti elettrici non scambino energia con quelli magnetici), la variazione di energia accumulata sarà pari al
lavoro infinitesimo, o virtuale, svolto dalla forza esterna per effettuare lo spostamento. La forza di origine
magnetica tra le varie parti del circuito è quindi uguale e contraria a tale forza esterna.
Un caso molto semplice è quello del circuito magnetico composto di una sola maglia, la quale però non è
composta di un blocco unico in ferro, ma di due parti separate da due uguali traferri.
I traferri sono di lunghezza variabile. E' proprio in corrispondenza di essi che si svilupperà un forza (che si
vedrà essere attrattiva) tra le due parti in ferro.
Si supponga di poter considerare uguali le aree nel ferro e in aria (nell'ipotesi che i traferri siano piccoli, il
flusso nei passaggi in aria non si allarga in maniera significativa).
L'energia magnetica può essere calcolata con l'integrale di volume:
EB =
1 B2
1 B2
A ⋅l Fe +
A ⋅2laria
2 μ 0μ Fe
2 μ0
[3.45]
Un allontanamento del traferro, a parità di flusso e quindi di induzione, comporta una variazione di energia:
δE B =
1 B2
A ⋅ 2δlaria
2 μ0
[3.46]
quindi la forza agente deve valere:
Fa =
δEB 1 B 2
=
A⋅ 2
δlaria 2 μ 0
[3.47]
l'espressione è positiva, quindi questa forza, che è quella che dall'esterno compie il lavoro (virtuale), è
orientata come lo spostamento: deve quindi essere diretta ad allontanare le due parti. Questa forza si
oppone alla forza di attrazione di origine magnetica. Tale forza magnetica sarà ripartita in parti uguali sui due
traferri; quindi su ciascun traferro vale:
FB = −
Fa
1 B2
=−
A
2
2 μ0
[3.48]
il segno negativo indica che è attrattiva. Si noti che è la forza è indipendente dal segno (cioè
dall'orientamento) dell'induzione, dato che questa appare elevata al quadrato.
Il principio così descritto è quello su cui si basano gli elettromagneti, diffusi in svariate applicazioni, con
portate di ogni ordine di grandezza: per esempio potentissimi nelle industrie, dove sono usati sui carri-ponte
per sollevare rottami ferrosi (anche parecchie tonnellate), oppure di medie potenze negli interruttori
automatici (a seconda delle dimensioni di questi) e nei relè, oppure agenti con forze minime nelle piccole
suonerie domestiche. Si noti che il termine di permettività del vuoto al denominatore rende notevole il valore
della forza anche con induzioni e superfici abbastanza piccole. Tuttavia, all’aumentare dello spessore del
traferro le linee di forza dell’induzione non saranno più tra loro parallele, e perpendicolari alla superficie, ma
tenderanno ad allargarsi. A parità di flusso, l’induzione diminuisce e con essa diminuisce la forza espressa
dalla [3.48].
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3.7 - Materiali Ferromagnetici
Come si è già accennato più volte, il ferro ed alcune sua leghe sono gli unici materiali che presentano un
elevato valore di permeabilità relativa. Non entriamo nel problema di capire il perché di tale comportamento,
in quanto questo richiede la conoscenza di nozioni avanzate di Fisica. Consideriamo piuttosto alcune
particolarità del fenomeno, rilevanti ai fini pratici.
Una prima, rilevante particolarità è il problema della non linearità del comportamento magnetico: vale a dire,
il valore di permeabilità relativa non è indipendente dal valore del campo, o dell'induzione.
La funzione che esprime il valore dell'induzione in funzione del valore del campo prende il nome di
caratteristica di magnetizzazione. Tale caratteristica presenta generalmente un andamento simmetrico
rispetto all'origine, il che significa che non esiste un verso privilegiato per il flusso magnetico.
La caratteristica presenta un andamento con buona approssimazione rettilineo solo nell'intorno dell'origine,
fino ad un dato valore (positivo o negativo, la curva è simmetrica) di induzione. Oltre tale punto (spesso
indicato come "ginocchio" della caratteristica), allontanandosi dall'origine, la caratteristica inizia a piegare,
diminuendo la sua inclinazione. Il fenomeno evidenziato da tale andamento prende il nome di saturazione
magnetica e il punto dove inizia (il ginocchio) prende il nome di punto di saturazione. In realtà il fenomeno
non inizia bruscamente, ma con gradualità. Valori tipici di inizio della saturazione sono intorno a 1.0÷1.5
tesla, a seconda del materiale.
Ponendo in grafico invece il valore della permeabilità relativa, si ottiene fino al punto di saturazione un valore
pressoché costante (segmento di retta parallela all'asse delle ascisse), e poi valori via via decrescenti, ma
sempre con continuità. Per valori molto elevati di campo si arriva fino ad un valore limite di permeabilità
relativa unitario: sono completamente scomparsi gli effetti ferromagnetici, e il materiale si comporta come
l'aria o il vuoto. La caratteristica di magnetizzazione da lì in poi torna ad avere un andamento rettilineo, ma il
coefficiente angolare è molto più piccolo di quello del tratto iniziale, non saturo (1000÷2000 inferiore).
In realtà nemmeno il primo tratto della caratteristica è perfettamente lineare, ma solitamente presenta un
andamento leggermente meno ripido all'inizio, per poi arrivare alla massima pendenza, e quindi decadere
nel tratto saturo. Il valore della permeabilità presenta quindi un dato valore in corrispondenza di campo nullo,
detto permeabilità iniziale, che poi cresce sensibilmente (anche raddoppiando) ma nell'arco di una
variazione limitata di induzione (0.1÷0.3 tesla), rimane abbastanza costante fino a circa 1 tesla, e infine
quindi scende oltre tali valori. La non-linearità del tratto iniziale è comunque, nella maggior parte delle
applicazioni pratiche, poco rilevante o trascurabile.
Il fenomeno della saturazione ha invece conseguenze molto rilevanti. Non va infatti dimenticato che il valore
del campo, H , è rigorosamente proporzionale al valore della f.m.m., cioè della corrente che circola negli
avvolgimenti; mentre il valore della tensione indotta è rigorosamente proporzionale alla derivata del flusso e
quindi dell'induzione magnetica B . La saturazione pertanto produce, nell'andamento nel tempo della
tensione o della corrente, delle distorsioni rispetto al comportamento lineare. Nelle maggior parte delle
applicazioni pratiche si utilizzano tensione e correnti con andamento nel tempo di tipo sinusoidale. infatti
occorrono funzioni variabili nel tempo per ottenere variazioni di flusso e quindi tensioni indotte, e le funzioni
seno e coseno sono: periodiche (si torna sempre al valore di partenza), molto regolari (sono continue e
derivabili infinite volte) e la derivata di una funzione sinusoidale è ancora una funzione sinusoidale, sfasata
di 90 deg.
Si consideri per esempio un semplice circuito magnetico, composto di una solo percorso magnetico di
lunghezza l e sezione costante A . Intorno ad esso si abbia un avvolgimento con N spire percorse da una
corrente I , ai cui morsetti si misuri una tensione e . Essendo costante la sezione lungo tutto il percorso, a
parità di corrente si presenterà lo stesso valore di campo in ogni punto del circuito magnetico:
H=
Ni
l
[3.49]
mentre la tensione ai morsetti vale:
v = NA
dB
di
=L
dt
dt
[3.50]
Si supponga di alimentare il circuito elettrico con un generatore ideale di corrente, che imponga una corrente
sinusoidale:
i (t ) = I M ⋅ sin (ωt )
[3.51]
Si ha quindi:
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H (t ) =
N
I M ⋅ sin (ωt ) = H M ⋅ sin (ωt )
l
B(t ) = μ 0μ r ⋅ H (t ) = μ 0μ r ⋅ H M ⋅ sin (ωt )
p. 36 di 64
[3.52]
in condizioni di linearità, anche l'induzione sarebbe perfettamente sinusoidale. Ma per effetto della
saturazione la permeabilità relativa non è costante, ma decresce al crescere di H e di B , cosicché i valori
più elevati (positivi o negativi) della sinusoide vengono ridotti, ottenendo una sinusoide appiattita nelle
sommità. La derivazione di siffatta funzione, anziché portare a:
v(t ) = NA
dB
= NABM ω ⋅ cos(ωt ) = ωLI M ⋅ cos(ωt ) = VM ⋅ cos(ωt )
dt
[3.53]
che sarebbe una funzione perfettamente sinusoidale, porta ad una funzione sicuramente deformata. In
particolare:
-
i valori massimi di tensione corrispondono alle derivate del flusso in prossimità del passaggio per lo
zero, dove quindi B è piccolo, quindi non si ha saturazione; i valori massimi di tensione non sono
quindi influenzati dalla saturazione;
-
i valori di flusso in corrispondenza della zona deformata sono valori appiattiti, quindi con derivata ridotta
rispetto alla condizione normale; pertanto, dopo i massimi e una prima discesa regolare, le tensioni si
avvicinano allo zero più rapidamente, e più lentamente riprendono a salire.
Si supponga invece di alimentare il circuito elettrico con un generatore ideale di tensione, che eroghi una
tensione con andamento sinusoidale del tipo:
e(t ) = EM ⋅ cos(ωt )
[3.54]
Nel circuito dovrà allora passare una corrente tale da generare un flusso che per induzione produca una
tensione ai morsetti pari alla f.e.m. applicata. Pertanto dovrà essere:
Φ(t ) : N
dΦ(t )
V
1
= v(t ) ⇒ Φ (t ) = ∫ v(t )dt = M sin (ωt )
dt
N
ωN
VM
sin (ωt )
ωNA
1 VM
B (t )
H (t ) =
=
sin (ωt )
μ 0μ r μ 0μ r ωNA
B(t ) =
[3.55]
In condizioni di linearità anche il campo sarebbe una sinusoide perfetta. Ma il valore della permeabilità
relativa non è costante, bensì decresce al crescere di H e di B , cosicché in corrispondenza dei massimi
della sinusoide di H i suoi valori vengono amplificati. La situazione è invece quella prevista nelle zone della
sinusoide dove i valori di H sono piccoli. La corrente segue lo stesso andamento, in modo da presentare un
massimo più grande (anche di molte volte se la saturazione è rilevante) di quello che si otterrebbe in
condizioni lineari. Insomma, poiché la permeabilità è diminuita, occorre molta più corrente per ottenere lo
stesso flusso di induzione. Quest'ultimo fenomeno è molto più pericoloso del precedente, perché una
deformazione che riduca i valori produce solo minore potenza, mentre una deformazione che amplifica le
correnti causa maggiori perdite per effetto Joule, in proporzione al quadrato della corrente, con rischi di
surriscaldamenti pericolosi, come pure causa azioni elettromeccaniche tra i conduttori agenti con maggior
forza (anche queste in proporzione quadratica).
Si noti infine che non linearità, cioè permeabilità relativa non costante, significa anche induttanze non
costanti:
L=
N2
= N2
R
dl
∫ μ 0μ r A
[3.56]
L
per esempio per un semplice oggetto cilindrico:
L = μ 0μ r
A 2
N
l
[3.57]
l'induttanza dipende dall'induzione e decresce al crescere di questa.
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Una seconda particolarità dei materiali ferromagnetici è il fenomeno dell'isteresi.
Si supponga di aver portato il materiale ad un certo valore di induzione, per esempio positivo (se fosse
negativo il fenomeno sarebbe lo stesso, solo con i segni opposti), percorrendo la curva di magnetizzazione.
A questo punto diminuendo il valore del campo magnetico anche l'induzione diminuisce, ma seguendo una
strada differente da quella della caratteristica di magnetizzazione. In particolare si nota che quando il campo
è tornato al valore zero, l'induzione conserva ancora un valore che prende il nome di magnetizzazione
residua, dello stesso segno dell'induzione iniziale. Per far tornare a zero il valore dell'induzione, occorre
quindi raggiungere valore negativi di campo. La strada percorsa può essere rappresentata come una curva
molto simile alla caratteristica di magnetizzazione, ma che partendo dallo stesso punto torna indietro
rimanendo un poco sopra (come valori di induzione) alla caratteristica originaria.
Se si scende ad un valore negativo di induzione, pari in modulo a quello positivo di partenza, e poi si vuole
tornare indietro, stavolta il percorso sarà sotto alla caratteristica passante per l'origine, evidenziando quindi
un valore residuo di magnetizzazione di valore uguale e contrario a quello rimasto provenendo da un valore
di induzione positiva.
Tornando fino al punto positivo di partenza si è descritto allora un intero ciclo, detto appunto ciclo di isteresi,
composto da due percorsi simmetrici rispetto all'origine. La figura così ottenuta delimita quindi un'area la cui
superficie è con buona approssimazione proporzionale al quadrato dell'induzione massima. I due vertici della
figura si trovano sulla caratteristica di magnetizzazione originaria, detta caratteristica di prima
magnetizzazione, perché il materiale segue tale curva solo la prima volta che viene magnetizzato, o quando
viene magnetizzato a partire da una condizione priva di magnetizzazioni residue.
L'isteresi è un fenomeno dissipativo. Si ricorda che l'energia associata al campo magnetico per unità di
volume vale:
dEB 1
= HB
2
dV
eB =
[3.58]
Una variazione del campo e dell'induzione produce una variazione dell'energia:
1
(H + dH )(B + dB ) − 1 HB = 1 (HdB + BdH )
2
2
2
deB =
ma:
BdH = HdB
quindi:
deB = HdB
[3.59]
[3.60]
la potenza (per unità di volume) necessaria per variare il campo magnetico:
pB =
deB
dB
=H
dt
dt
[3.61]
Questa formulazione è ben raccordabile con l'espressione della potenza elettrica:
pE = i ⋅ v
[3.62]
il campo magnetico infatti è strettamente proporzionale alla corrente e la variazione dell'induzione è
strettamente proporzionale alla tensione. Integrando la [3.61] su un intero volume infatti si introdurrà un'area
(induzione per area=flusso) e una lunghezza (campo per lunghezza=f.m.m.=corrente).
Considerando allora la figura del ciclo di isteresi, la si può ridisegnare scambiando tra loro gli assi cartesiani.
Allora si nota che l'area della figura è data proprio dall'integrale, non di volume ma lungo un intero ciclo, della
[3.61]. Quindi l'area della figura (utilizzando come unità di misura i tesla e le Asp/m) è pari esattamente
all'energia per unità di volume necessaria a compiere un intero ciclo di isteresi.
Se allora in un circuito ferromagnetico si creano campo e induzione alimentando degli avvolgimenti elettrici
con correnti o tensioni alternate, si ha per ogni istante di tempo una energia fornita al materiale (e da questo
dissipata in calore) proporzionale:
-
al numero di cicli in quell'unità di tempo
-
al quadrato dell'induzione massima
-
al volume del materiale.
Generalmente si preferisce ragionare in base al peso G e non al volume (le due grandezze sono
proporzionali) per cui la potenza dissipata per isteresi vale:
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Pdi = ki ⋅ BM2 ⋅ f ⋅ G
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[3.63]
dove f è la frequenza (in Hz) dei cicli e la costante, che è diversa per ogni materiale ferromagnetico, è
detta cifra di perdita per isteresi.
La terza particolarità dei materiali ferromagnetici è il fenomeno delle correnti parassite. Tale fenomeno si
presenta solo in presenza di flusso variabile nel tempo.
Se si considera nel materiale una qualunque sezione (un piano perpendicolare all'induzione) e su di essa
qualunque linea chiusa, si sa che l'integrale di circuitazione del campo elettrico è pari alla variazione del
flusso nell'area racchiusa da quella linea. Si presentano cioè delle tensioni indotte non solo sugli
avvolgimenti esterni, ma anche in ogni circuito "virtuale" che si consideri internamente. Il concetto può
lasciare perplessi perché non esistono circuiti ben definiti. Qui la trattazione si farebbe complessa, per cui
non entriamo in ulteriori dettagli. Di fatto il fenomeno si esplica mediante la circolazione di correnti parassite
all'interno del ferro, diffuse in tutto il corpo metallico, secondo percorsi di tipo circolare. Il flusso generato da
queste correnti è pure variabile e la sua variazione tende ad opporsi alla variazione del flusso principale, di
modo che un avvolgimento esterno percepisce una variazione di flusso in qualche misura minore di quella
teoricamente prevista. Generalmente tali correnti parassite sono limitate dalla resistività del materiale, quindi
abbastanza piccole. Inoltre, con andamenti sinusoidali del flusso, essendo tali correnti limitate resistivamente
ed essendo proporzionali, istante per istante, alla variazione del flusso, sono in fase con la variazione, quindi
in quadratura (sfasate di 90°) con il flusso; il contro-flusso che esse generano è quindi piccolo e in
quadratura rispetto al flusso principale, che quindi non subisce modificazione troppo sensibili.
Rimane invece sensibile il problema della potenza dissipata per effetto Joule, fenomeno sempre presente
quando circolano correnti. Queste correnti sono dovute alla tensione creata dalla variazione di flusso, quindi,
ragionando in termini di proporzionalità (il simbolo ∝ significa: "è proporzionale a"):
v
r
v ∝ ω⋅Φ ∝ f ⋅ B
i∝
p ∝ ri 2 ∝ r
[3.64]
v2
f 2B2
∝
r
r2
Cioè: la potenza dissipata per unità di volume, o di peso è proporzionale al quadrato del valore massimo
dell'induzione, al quadrato della frequenza, ed in inversamente proporzionale alla resistenza-resistività del
materiale, perché questa limita le correnti parassite. Per sfruttare questo fenomeno si introducono nelle
leghe ferromagnetiche percentuali di materiali che siano cattivi conduttori elettrici.
Inoltre si utilizzano i materiali non sotto forma di corpi massicci, ma di lamierini, con le superfici laterali
parallele alla direzione del flusso. Tra un lamierino e l'altro (spessore 0.5÷1.0 mm) un sottile strato di vernice
funge da isolante, "tagliando" i circuiti elettrici e costringendo le correnti a tragitti molto brevi, su anelli molto
piccoli. La vernice riduce un poco l'area utile del ferro, quindi occorrerà tenere presente questo fatto nel
calcolo di riluttanze e induttanze mediante un coefficiente di riduzione dell'area della sezione.
La potenza dissipata per correnti parassite vale allora:
Pdcp = kcp ⋅ BM2 ⋅ f 2 ⋅ G
[3.65]
dove la costante, detta cifra di perdita per correnti parassite, dipende dal materiale.
In totale le perdite nei materiali ferromagnetici:
(
Pd = Pdi + Pdcp = ki ⋅ BM2 ⋅ f ⋅ G + kcp ⋅ BM2 ⋅ f 2 ⋅ G = BM2 ⋅ G ⋅ ki ⋅ f + kcp ⋅ f 2
)
[3.66]
Spesso si usa una formulazione sintetica, approssimata ma valida nelle applicazioni pratiche per una
gamma ristretta di frequenze:
2
Pd = k ⋅ G ⋅ BM
⋅ ( f f n )α
1.2 < α < 1.8
[3.67]
dove la costante prende il nome generico di cifra di perdita, e dipende, come l'esponente α , dal materiale.
La frequenza di riferimento è solitamente di 50 o di 60 Hz (frequenza nominale).
In pratica la cifra di perdita esprime la potenza dissipata con una induzione di 1 tesla, alla frequenza
nominale, per ogni kg di materiale.
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4 - Analisi delle Reti Elettriche in Regime Variabile
4.1 - Limiti di Validità dei Principi di Kirchhoff
Nel Cap. 1 è stata presentata una classificazione dei fenomeni elettrici. Si riepilogano ora le considerazioni
già fatte al termine di tale capitolo.
I fenomeni elettrici sono classificabili in elettrostatici ed elettrodinamici, suddividendo ulteriormente questi
ultimi in stazionari, quasi stazionari, non stazionari. Sono quindi state introdotte, per il solo regime
stazionario, le leggi di Kirchhoff ai nodi e alle maglie, dirette conseguenze rispettivamente del principio di
conservazione della carica e della irrotazionalità del campo elettrico (legge di Faraday-Henry) in condizioni di
stazionarietà, cioè in assenza di variazione nel tempo della densità volumetrica di carica e in assenza di
variazione nel tempo del campo magnetico e quindi delle correnti che lo generano.
In condizioni non stazionarie questi ultimi fenomeni non sono invece assenti, ma esistono con conseguenze
rilevanti. Possono venire indicati in sintesi come:
effetto capacitivo:
in alcune parti del circuito si ha accumulazione di carica, o meglio separazione di carica
in modo che una parte presenti eccesso di carica positiva e l'altra eccesso di carica
negativa, con l'insorgere di una d.d.p. tra le due parti; il valore della carica accumulata e
della tensione in generale possono variare, anche se restano sempre in diretta
proporzionalità secondo un coefficiente detto appunto capacità; su ciascuna delle due
parti interessate non può più allora applicarsi il principio di Kirchhoff ai nodi perché
parte delle correnti entranti può andare ad accumularsi;
effetto induttivo:
il flusso dell'induzione magnetica in una maglia, in una spira o in una serie di spire può
essere in generale variabile, e quindi si presenta una tensione indotta, per cui il campo
elettrico non è più irrotazionale; su maglie con questi fenomeni non può allora applicarsi
il principio di Kirchhoff alle maglie perché la circuitazione del campo elettrico non dà
valore nullo.
Tuttavia, se questi fenomeni (l'effetto induttivo e l'effetto capacitivo) sono localizzati in parti definite e limitate
del circuito, le leggi di Kirchhoff potranno essere riscritte quasi allo stesso modo, alle condizioni che:
1)
nei nodi non si presentino effetti capacitivi;
2)
le tensioni generate nei lati tengano conto dell'induzione di campi magnetici esterni;
3)
al secondo membro le c.d.t. ohmiche vengano completate con le c.d.t. su altri componenti,
schematizzabili come induttori e condensatori, per i quali la tensione va calcolata non solo come
funzione lineare della corrente, ma anche della sua derivata o del suo integrale nel tempo.
Se invece per esempio si considera anche il flusso che attraversa l'intera maglia, oppure il fatto che ci
possono essere dispersioni di corrente per effetto capacitivo attraverso l'isolamento dei conduttori, il regime
non può essere considerato quasi-stazionario, a meno che non si riesca a modellizzare tali fenomeni
concentrando i loro effetti in singole parti della rete elettrica.
Una formulazione matematica di quanto detto richiede in sintesi che:
∂B
≠ 0 nei circuiti magnetici con effetti rilevanti sui circuiti elettrici
∂t
[4.1]
∂B
= 0 in ogni altra parte della rete elettrica
∂t
[4.2]
∂ρ
≠0
∂t
nelle armature dei condensatori
[4.3]
∂ρ
=0
∂t
in ogni altra parte della rete elettrica
[4.4]
In queste condizioni si può parlare di regime quasi-stazionario, ed applicare ancora, con le opportune
modifiche, le equazioni di Kirchhoff.
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4.2 - Bipoli Ideali
Occorre quindi completare l'elenco dei bipoli ideali, introducendo anche quelli che si presentano in regime
variabile. Spesso nel seguito il regime stazionario, che verrà citato per confronto, verrà anche indicato con il
termine di regime in corrente continua (c.c. o d.c. o DC).
In regime variabile si hanno quindi nuovi bipoli, oltre naturalmente al resistore, per il quale la legge di
funzionamento può essere riscritta allo stesso modo, ma con tensione e corrente variabili:
-
generatore ideale di tensione: come il generatore ideale di tensione in c.c. eroga una f.e.m.
indipendente dalla corrente; la tensione erogata presenta un determinato andamento nel tempo:
e = e(t )
-
[4.5]
generatore ideale di corrente: come il generatore ideale di c.c. eroga una corrente indipendente dalla
tensione, la corrente erogata presenta un determinato andamento nel tempo:
a = a (t )
[4.6]
per questo dispositivo valgono le stesse considerazioni fatte per l'analogo in c.c. (non esiste in realtà,
ma solo come generatore di f.e.m. retroazionato in modo da erogare una corrente prestabilita, o come
modello equivalente); nei modelli circuitali si usa raramente, quasi sempre come equivalente;
-
condensatore: per questo dispositivo valgono le leggi:
i (t ) = C
dv (t )
dt
⇔
v(t ) =
1 t
i(τ )dτ + VC 0
C ∫0
[4.7]
dove la costante VC 0 che appare nell'espressione con l'integrale è una costante che indica il valore di
tensione del condensatore nell'istante 0 in cui si inizia ad integrare. Il condensatore è un bipolo passivo
e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione degli utilizzatori;
-
resistore: valgono semplicemente:
v(t ) = Ri (t ) ⇔
i (t ) =
1
v(t ) = Gv(t )
R
[4.8]
Il resistore è un bipolo passivo e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione degli
utilizzatori;
-
induttore: per questo dispositivo valgono le leggi:
v(t ) = L
di (t )
dt
⇔
i (t ) =
1 t
v(τ )dτ + I L 0
L ∫0
[4.9]
dove la corrente I L 0 che appare nell'espressione con l'integrale è una costante che indica il valore di
corrente nell'induttore nell'istante 0 in cui si inizia ad integrare.
L'induttore è un bipolo passivo e le leggi suddette sono scritte utilizzando la convenzione degli
utilizzatori.
Nel caso si presentino mutue induzioni:
vi (t ) = Li
di j (t )
dii (t )
+ ∑ M ij
dt
dt
j
[4.10]
La formulazione integrale di questa equazione richiede un sistema di equazioni con tutte le auto e
mutue induttanze, le tensioni e le correnti dei vari componenti coinvolti.
Tutti i componenti attivi sono stati qui descritti come ideali. Una rappresentazione più realistica prevede che il
generatore di tensione sia composto dalla serie di un generatore ideale, di una resistenza e di una
induttanza: i due bipoli passivi rendono conto della c.d.t. nel circuito interno del generatore a fronte di
passaggio di corrente; per il generatore di corrente i rami passivi vanno posti in parallelo.
Tutti i componenti passivi sono stati qui descritti come lineari. Questa è una approssimazione accettabile
entro ampi limiti di validità, fatto salvo forse per il resistore che col passaggio della corrente si riscalda e
quindi il valore di resistenza aumenta; a temperatura costante anche questo componente può essere
considerato lineare.
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L'induttore è lineare se il campo magnetico circola in aria o in materiali che non comportino saturazione
magnetica.
Va sempre considerato che non esiste mai un induttore completamente privo di resistenza, per cui ogni
induttore andrebbe sempre rappresentato come la serie di una induttanza e di una resistenza; così pure non
esiste condensatore per il quale sia del tutto nullo il passaggio di corrente nel dielettrico, cioè nel materiale
isolante tra le due lastre, per cui ogni condensatore andrebbe rappresentato come il parallelo di una capacità
e di una conduttanza; tuttavia questi fenomeni sono spesso trascurabili: se si volesse continuare su questa
strada di dettaglio così fine occorrerebbe allora anche aggiungere che nessuna resistenza è del tutto priva di
effetti induttivi (in serie) e capacitivi (in derivazione verso terra o gli altri lati). Tutti questi effetti secondari,
spesso detti parassiti, verranno associati ai componenti quando i loro valori saranno rilevanti ai fini pratici.
Occorre inoltre notare che il comportamento dei componenti passivi in c.c. è tale che:
-
l'induttore in c.c. si presenta come un corto circuito, perché se la corrente è costante non c'è
variazione di flusso e quindi non si presenta tensione indotta;
-
il condensatore in c.c. si presenta come un circuito aperto, perché se la tensione è costante non
c'è variazione di carica e quindi si presenta corrente.
Inoltre va notato che, anche in regime variabile:
-
in un induttore non è possibile variare istantaneamente il valore della corrente, perché questo
richiederebbe l'applicazione di una tensione di valore infinito (funzione δ, Delta di Dirac)
-
in un condensatore non è possibile variare istantaneamente il valore della tensione, perché
questo richiederebbe l'applicazione di una corrente di valore infinito (funzione δ, Delta di Dirac).
Questi componenti impongono quindi la continuità di corrente e tensione rispettivamente. Queste proprietà si
rivelano molto utili nel momento in cui, per trovare la soluzione della rete, che sarà descritta da equazioni
algebrico-differenziali, occorre determinare le condizioni iniziali, cioè i valori di corrente e di tensione nei vari
lati all'istante iniziale.
4.3 - Leggi di Kirchhoff in Regime Variabile
Con questi componenti si potranno quindi scrivere le leggi di Kirchhoff:
∑ i ji (t ) = 0
j∈I
⎛
di j (t ) ⎞
1 t
d i (t )
∑ el (t ) = ∑ ⎜⎜VC 0l + C ∫0 il (τ)dτ + Ril (t ) + L dtl + ∑ M lj dt ⎟⎟
l ∈M
l ∈M ⎝
j
⎠
[4.11]
Va notato che le correnti nodali devono ovviamente considerare anche eventuali correnti capacitive verso
terra e le iniezioni dei generatori di corrente afferenti nel nodo.
Poiché sotto le condizione suddette valgono ancora le leggi di Kirchhoff, per la soluzione di una qualunque
rete elettrica lineare si possono ancora applicare gli stessi metodi utilizzati per le reti in regime stazionario:
metodo delle correnti di lato, dei potenziali di nodo, delle correnti di maglia, sovrapposizione degli effetti.
L'unica differenza rispetto al regime stazionario sta quindi nel fatto che il sistema risolvente non sarà più un
semplice sistema algebrico, ma in esso appariranno equazioni algebriche ed equazioni differenziali o
integrali (queste ultime possono essere ridotte a equazioni differenziali per derivazione). Per questo motivo
risulta invece più problematica l'applicazione dei metodi sistematici, perché per la presenza di derivate e
integrali non si riesce a definire l'analogo della matrice delle conduttanze nodali. Per la stessa ragione non
potranno essere utilizzati gli equivalenti di Thevenin e Norton. Si possono usare strumenti matematici come
la trasformata di Laplace, ma anche in questo modo il metodo non è di pratica applicazione. Si vedrà in
seguito come invece può risultare molto ben praticabile in condizioni particolari.
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4.4 - Regime Transitorio e Regime Permanente - Un esempio
Si consideri il seguente semplice esempio:
iR1
R1
iR2
e
R2
iL
L
figura 5.1
Il circuito può essere risolto, per esempio, con il metodo delle correnti di lato. Si consideri come nodo
indipendente il nodo A e come maglie indipendenti la maglia e-R1 e la maglia R2-L. Le equazioni sono:
⎧
⎪iR1 − iR 2 − iL = 0
⎪⎪
⎨e − R1iR1 − R2iR 2 = 0
⎪
⎪ R i − L diL = 0
⎪⎩ 2 R 2
dt
[4.12]
per semplicità grafica si è omesso di indicare esplicitamente, dandola per sottintesa, la dipendenza dal
tempo delle correnti e della f.e.m.. Non esistono effetti mutuo induttivi.
Ogni sistema di equazioni differenziali richiede, per poter essere risolto, delle condizioni al contorno, o
meglio, dato che il dominio qui è il tempo, delle condizioni iniziali. Visto che qui si ha una equazione
differenziale del primo ordine, globalmente il problema è di tale ordine, quindi occorre una condizione
iniziale: questa riguarda il valore iniziale della corrente nell'induttore.
Il sistema potrebbe essere riscritto ponendo le forzanti, cioè le generazioni (in questo caso è una sola) al
secondo membro:
⎧
⎪iR1 − iR 2 − iL = 0
⎪⎪
⎨ R1iR1 + R2iR 2 = e
⎪
⎪ R i − L diL = 0
⎪⎩ 2 R 2
dt
[4.13]
Ora si può procedere per sostituzione, a partire dalla terza equazione e risalendo alla prima e infine alla
seconda:
⎧
L diL
⎪iR 2 =
R2 dt
⎪
L diL
⎪⎪
+ iL
⎨iR1 = iR 2 + iL =
R2 dt
⎪
⎪ ⎛ L diL
⎞
L diL
=e
+ iL ⎟⎟ + R2
⎪ R1 ⎜⎜
R2 dt
⎪⎩ ⎝ R2 dt
⎠
[4.14]
ottenendo un'unica equazione differenziale lineare, a coefficienti costanti, del 1° ordine:
(R1 + R2 )LiL′ + R1R2iL = R2e
[4.15]
che dovrà essere accompagnata dalla condizione iniziale:
iL (0 ) = I L 0
[4.16]
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Si consideri ora l'equazione omogenea associata: cioè la stessa, ma priva delle forzanti; la soluzione di tale
equazione verrà indicata come iT :
(R1 + R2 )LiL′ + R1R2iL = 0
[4.17]
L'integrale generale è dato dalla somma di un numero di termini esponenziali pari all'ordine dell'equazione;
in questo caso un solo termine:
iT (t ) = I1 ⋅ exp(α1t )
[4.18]
il coefficiente dell'esponenziale è la soluzione dell'equazione algebrica associata all'equazione differenziale
omogenea, detta equazione caratteristica dell'equazione differenziale:
(R1 + R2 )Lλ + R1R2iL = 0
[4.19]
da cui:
λ=
− R1R2
L(R1 + R2 )
[4.20]
In caso di equazioni differenziali di ordine superiore si ha una corrispondente equazione algebrica di pari
grado, le cui radici possono essere tutte reali o parte reali e parte complesse coniugate.
Deve poi valere:
iT (0) = I L 0
⇒
I1 = I L 0
[4.21]
Con le condizioni iniziali l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è univocamente
determinato.
Si nota che in tutti i casi si presenta uno smorzamento esponenziale. In qualunque rete elettrica lineare
(ove siano presenti resistenze; e sono sempre presenti nei sistemi reali), le soluzioni dell'equazione
caratteristica presentano sempre parti reali negative, qualunque sia l'ordine del sistema. Questo
potrebbe essere dimostrato anche matematicamente, ma è più semplice una considerazione energetica: se
il sistema è privo di forzanti, questo significa che i generatori sono spenti; le correnti possono circolare solo
perché induttori e condensatori cedono o scambiano tutta o parte della energia in essi accumulata. Queste
correnti tuttavia sono dissipative per effetto Joule. Quindi l'energia totale accumulata nei condensatori e
negli induttori non può che diminuire, quindi le correnti sono destinate a smorzarsi. Per questo motivo
la soluzione del sistema omogeneo associato viene chiamata componente transitoria della soluzione
complessiva. La presenza delle forzanti determina la presenza di un'altra componente, che può essere
chiamata componente permanente o di regime. Per una data forzante, la componente permanente è
unica, cioè univocamente determinata. Infatti, se ne esistessero due, per la linearità della rete la loro
differenza sarebbe una soluzione dell'omogenea associata, cioè una componente transitoria, destinata a
scomparire.
Riepilogando: ogni corrente di lato (ma anche ogni tensione di nodo) di una rete elettrica lineare con forzanti
è data dalla somma di una componente transitoria e una permanente:
i (t ) = iT (t ) + iP (t )
[4.22]
La soluzione transitoria è una somma di termini esponenziali reali o complessi (esponenziali moltiplicati per
sinusoidi); ha questo nome (transitoria) perché tutti i coefficienti degli esponenziali sono negativi, cioè gli
esponenziali sono tutti smorzanti e tendono a zero. Per determinare i coefficienti moltiplicativi dei vari termini
esponenziali o oscillatori smorzati vanno utilizzate le condizioni iniziali. Il numero dei termini esponenziali o
oscillanti smorzati e il numero delle condizioni iniziali sono pari all'ordine del sistema differenziale. La
soluzione permanente è univocamente determinata in base alle forzanti.
Si nota inoltre che, poiché tutte le condizioni iniziali sono state utilizzate per determinare i coefficienti della
componente transitoria, la componente permanente non dipende dalle condizioni iniziali. Questo significa
che il transitorio permette al circuito di "dimenticare" la sua condizione iniziale, arrivando a
comportarsi solo come le forzanti gli impongono, indipendentemente dal punto di partenza.
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4.5 - Il Regime Periodico Alternato Sinusoidale (P.A.S.)
Il problema del transitorio dei circuiti elettrici, di cui si sono fornite alcune nozioni, sarà trattato diffusamente
nei successivi paragrafi. In questo paragrafo si studierà invece il regime permanente dovuto ad un
particolare tipo di forzanti: le forzanti di tipo periodico alternato sinusoidale (P.A.S.).
Una grandezza si definisce di tipo P.A.S. se il suo andamento nel tempo è del tipo:
f (t ) = FM ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ)
[4.23]
Dove il valore massimo FM viene spesso anche indicato come modulo e l'angolo iniziale ϕ come fase
iniziale o semplicemente fase. Una funzione P.A.S. è univocamente definita quando di essa siano dati
modulo e fase, oltre, naturalmente, alla frequenza.
Si noti che una grandezza di questo tipo:
1)
è periodica, con periodo T = 2π ω
2)
presenta valor medio nullo se considerata su un periodo o su un intervallo di tempo multiplo di un
periodo
Si noti anche che:
f ′(t ) = −ωFM ⋅ sin (ω ⋅ t + ϕ ) = ωFM ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ + π 2 )
[4.24]
f ′′(t ) = −ω2 FM ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ ) = ω2 FM ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ + π ) = −ω2 f (t )
le derivate di una funzione P.A.S. sono ancora funzioni P.A.S. sfasate di 90° (derivata prima), 180° (derivata
seconda), etc. in anticipo rispetto alla funzione di partenza.
Pertanto anche le soluzione permanenti dei sistemi di equazioni algebrico-differenziali che descrivono le reti
elettriche lineari dovranno essere funzioni P.A.S. se sono P.A.S. le forzanti.
Si consideri di nuovo l'esempio del par. 5.4 e l'equazione differenziale:
(R1 + R2 )LiL′ + R1R2iL = R2e
[4.25]
e si supponga che la forzante sia P.A.S.:
e(t ) = EM ⋅ cos(ω ⋅ t + δ )
[4.26]
Si supponga che anche la componente permanente della corrente sia una funzione P.A.S.:
iLP (t ) = I M ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ)
[4.27]
nel seguito verrà indicata semplicemente come
corrente sono indeterminati.
i , senza pedici. Per ora il modulo e la fase iniziale di tale
Possiamo vedere tali funzioni come somme di seni e coseni senza fase iniziale:
e(t ) = EM ⋅ (cos δ ⋅ cos ωt − sin δ ⋅ sin ωt )
[4.28]
i (t ) = I M ⋅ (cos ϕ ⋅ cos ωt − sin ϕ ⋅ sin ωt )
Introducendo nell'equazione [4.25] questa espressione di corrente e le sue derivate:
(R1 + R2 )L ⋅ ω ⋅ I M ⋅ (− cos ϕ ⋅ sin ωt − sin ϕ ⋅ cos ωt ) + R1R2 ⋅ I M ⋅ (cos ϕ ⋅ cos ωt − sin ϕ ⋅ sin ωt ) =
= R2 ⋅ E M ⋅ (cos δ ⋅ cos ωt − sin δ ⋅ sin ωt )
[4.29]
In questa equazione si proceda a raggruppare i termini "coseno" e i termini "seno":
(− ωL(R1 + R2 ) ⋅ sin ϕ + R1R2 ⋅ cos ϕ) ⋅ I M ⋅ cos ωt +
(− ωL(R1 + R2 ) ⋅ cos ϕ − R1R2 ⋅ sin ϕ) ⋅ I M ⋅ sin ωt +
[4.30]
= R2 ⋅ E M ⋅ cos δ ⋅ cos ωt − R2 ⋅ E M ⋅ sin δ ⋅ sin ωt
Poiché l'uguaglianza deve essere verificata istante per istante, allora deve valere:
(− ωL(R1 + R2 ) ⋅ sin ϕ + R1R2 ⋅ cos ϕ) ⋅ I M
(− ωL(R1 + R2 ) ⋅ cos ϕ − R1R2 ⋅ sin ϕ) ⋅ I M
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= + R2 ⋅ EM ⋅ cos δ
[4.31]
= − R2 ⋅ EM ⋅ sin δ
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Queste espressioni possono essere riscritte come:
( A ⋅ sen ϕ + B ⋅ cos ϕ) ⋅ I M
( A ⋅ cos ϕ − B ⋅ sen ϕ) ⋅ I M
= + R2 ⋅ E M ⋅ cos δ
[4.32]
= − R2 ⋅ E M ⋅ sen δ
dove:
A = −ωL(R1 + R2 );
B = R1 R2
[4.33]
Elevando al quadrato ciascun membro di ciascuna equazione della [4.32] e sommando membro a membro:
(
)
I M2 ⋅ A2 cos 2 ϕ + 2 AB cos ϕ ⋅ sin ϕ + B 2 sin 2 ϕ + A2 sin 2 ϕ − 2 AB cos ϕ ⋅ sin ϕ + B 2 cos 2 ϕ =
=
R22 EM2
(
⋅ cos δ + sin δ
2
2
)
[4.34]
quindi:
(
)
I M2 ⋅ A2 + B 2 = R22 EM2
[4.35]
da cui si trova il valore del modulo. Per quanto riguarda la fase, si procede sommando o sottraendo membro
a membro le due equazioni [4.32] moltiplicate per A o B:
(
)
I M ⋅ A2 + B 2 ⋅ cos ϕ = R2 E M ⋅ ( A cos δ + B sin δ )
[4.36]
I M ⋅ 2 AB ⋅ sin ϕ = R2 EM ⋅ (B cos δ − A sin δ )
da cui:
2 AB
B cos δ − A sin δ
tan ϕ =
2
2
A cos δ + B sin δ
A +B
[4.37]
Dalle due espressioni [4.36] e [4.37] si evince tra l'altro che:
-
il modulo della corrente dipende dal modulo della forzante, ma non dalla sua fase;
-
la fase della corrente dipende dalla fase della forzante, ma non dal suo modulo.
L'espressione [4.27] con i valori espressi dalle [4.36] e [4.37] è quindi proprio una soluzione permanente
dell'equazione differenziale [4.25]; e poiché la soluzione permanente è unica, quella trovata è la soluzione
permanente della [4.25].
Il risultato può essere generalizzato: per reti elettriche di qualunque dimensione, con bipoli lineari e
forzanti P.A.S.: una volta a regime, cioè quando il transitorio si è esaurito, le funzioni che
costituiscono la soluzione - sia le tensioni nodali sia le correnti e le tensioni di lato - sono sempre
funzioni di tipo P.A.S..
Ovviamente, se sono presenti forzanti P.A.S. a frequenze diverse, in generale ogni corrente e ogni tensione
nodale sarà la somma di più componenti P.A.S., una per ogni frequenza di forzante. Questo discende dalla
linearità della rete, che permette la sovrapposizione degli effetti: ogni componente di frequenza sarà la
soluzione dovuta all'effetto delle sole forzanti che a tale frequenza lavorano.
Benché questa situazione sia possibile e il metodo della sovrapposizione degli effetti permetta di analizzarla
abbastanza agevolmente, in quanto segue ci si limiterà a studiare casi in cui le forzanti siano tutte ad una
stessa frequenza, che potrà essere così considerata la frequenza dell'intera rete.
Potrebbe essere conveniente a questo punto utilizzare una notazione esponenziale. Ricordando la formula
di Eulero:
e j (ωt +ϕ ) = cos(ωt + ϕ) + j sin (ωt + ϕ)
[4.38]
per una grandezza P.A.S. basta considerare la sola parte reale:
(
f (t ) = Re FM ⋅ e j (ωt + ϕ )
)
[4.39]
La notazione esponenziale rende più semplici le operazioni di derivazione:
(
f ′(t ) = real jω ⋅ FM ⋅ e j (ωt + ϕ )
)
[4.40]
e anche di integrazione (si considera la primitiva senza alcun termine costante, perché questo scompare
dopo il transitorio):
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⎛
∫ f (τ)dτ = Re⎜⎜⎝ FM
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1 j (ωt + ϕ ) ⎞
⎟⎟
e
jω
⎠
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[4.41]
Si possono quindi riscrivere le leggi per i bipoli:
(
i (t ) = C ⋅ Re( jω ⋅ V
v(t ) = L ⋅ Re jω ⋅ I M ⋅ e j (ωt + ϕ )
M
⋅e
j (ωt + δ )
)
)
[4.42]
A questo punto, solo come formalismo matematico, si potrebbero considerare le variabili tensione e corrente
come composte non solo dalla parte reale, ma anche da quella immaginaria: considerarli cioè dei numeri
complessi. Naturalmente la componente immaginaria non esiste e non ha nessun significato fisico, ma dal
punto di vista matematico, essendo anch'essa sinusoidale, soddisfa le equazioni algebrico-differenziali;
viene introdotta solo per agevolare la scrittura delle variabili. Infatti:
f (t ) = FM ⋅ e j (ωt + ϕ )
[4.43]
f ′(t ) = jω ⋅ FM ⋅ e j (ωt + ϕ ) = jω ⋅ f (t )
Per trovare la soluzione della rete, basta associare ad ogni forzante anche la componente immaginaria, cioè
e (t ) = EM ⋅ (cos(ωt + ϕ) + j sin (ωt + ϕ))
[4.44]
quindi tutti i calcoli vengono svolti con funzioni tensione e corrente complesse; le equazioni di funzionamento
dei bipoli sono molto semplici:
v (t ) = jω ⋅ L ⋅ i (t )
[4.45]
i (t ) = jω ⋅ C ⋅ v (t )
Una volta trovata la soluzione, per avere i valori effettivi delle tensioni e delle correnti basta tornare a
considerare la sola parte reale delle funzioni calcolate.
L'esempio precedente può allora essere riscritto in maniera molto più sintetica:
jωL(R1 + R2 )iL (t ) + R1R2iL (t ) = R2 e (t )
[4.46]
da cui:
iL (t ) =
R2
e (t )
⋅ e (t ) =
jωL(R1 + R2 ) + R1R2
Z ⋅ e jθ
[4.47]
Nell'ultimo passaggio il denominatore è stato riscritto dalla forma cartesiana alla forma esponenziale o polare
(euleriana), evidenziandone quindi un modulo e una fase. Il modulo sarà quindi pari al rapporto tra il modulo
della tensione e quello della corrente, e la fase alla differenza tra le fasi. La praticità di questa notazione è
evidente: tutte le operazioni di derivazione o di integrazione sono state sostituite rispettivamente da
moltiplicazioni o da divisioni per il fattore jω.
Si sarebbe potuto facilmente affrontare il problema non già dall'equazione differenziale del secondo ordine,
ma direttamente dal sistema originale di 3 equazioni, di cui 1 algebrica e 2 differenziali, ottenendo, con
questa notazione, un sistema composto solo da equazioni algebriche con funzioni incognite
complesse anziché reali.
Ma è possibile fare un ulteriore passo in avanti sulla strada della praticità. Si noti che, essendo:
iL (t ) = I M ⋅ e j (ωt + ϕ )
[4.48]
e (t ) = EM ⋅ e j (ωt + δ )
allora:
iL (t ) =
e (t )
Z ⋅ e jθ
⇒
I M ⋅ e j ( ωt + ϕ ) =
EM ⋅ e j (ωt + δ )
Z ⋅ e jθ
[4.49]
Appare in entrambi i membri l'esponenziale della frequenza angolare moltiplicata per il tempo:
e jωt
[4.50]
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Questo termine serve a calcolare il valore delle varie grandezze istante per istante, ma di fatto non introduce
alcuna informazione significativa: per una data frequenza, una grandezza P.A.S. è univocamente definita
quando di essa sono dati modulo e fase. Il termine può essere semplificato, dividendo per esso entrambi i
membri della [4.49]:
iL (t ) =
e (t )
Z ⋅ e jθ
⇒ I M ⋅ e jϕ =
E M ⋅ e jδ
Z ⋅ e jθ
[4.51]
Questa espressione fornisce tutte le informazioni necessarie e sufficienti: noti i valori della tensione i modulo
e fase, noto il valore dei termini al denominatore, si ottengono immediatamente modulo e fase della corrente.
Per conoscere il valore istantaneo della corrente, basta utilizzare la [4.23] con tali modulo e fase.
Si potrebbe allora visualizzare ogni grandezza tipo tensione o corrente come un vettore nel piano
complesso, avente un estremo nell'origine, lunghezza pari al modulo, e ruotante nel piano complesso,
intorno all'origine, con velocità angolare ω; all'istante 0 si trova inclinato, rispetto all'asse reale, di angolo pari
alla fase. Il valore istantaneo della grandezza è dato dalla proiezione del vettore sull'asse reale. La sua
derivata è un vettore sfasato di 90° in anticipo, e amplificato di un valore pari alla frequenza angolare.
Con un rete elettrica si avrebbe un intero sistema di vettori rotanti, tutti tra loro isofrequenziali. Si potrebbe
allora "fotografare" il sistema dei vettori in un dato istante, per esempio in t=0: si evidenzierebbero le fasi di
ogni vettore, e quindi le differenze di fase tra di essi. Essendo il sistema isofrequenziale, "fotografandolo" di
nuovo in altro istante qualunque, esso apparirebbe tutto quanto ruotato, ma gli angoli relativi tra i vari vettori
sarebbero invariati.
Allora la rappresentazione più sintetica di un sistema di grandezza P.A.S. consiste proprio nella "fotografia"
del sistema in un dato istante, per esempio l'istante t=0. Ogni grandezza verrebbe rappresentata con un
vettore fisso: il valore istantaneo viene ottenuto ruotando tale vettore del valore in radianti pari ad ωt, oppure
calcolando il coseno di tale angolo più la fase iniziale. I vettori così "fissati" prendono il nome di fasori,
proprio perché indicano la fase, oltre al modulo, della grandezza in questione; su molti testi vengono ancora
chiamati genericamente vettori.
Ogni grandezza P.A.S. si indica quindi con il numero complesso, in forma cartesiana o polare,
corrispondente al suo fasore; si usano solitamente le lettere maiuscole:
V = V ⋅ e jδ = VRe + jVIm
[4.52]
I = I ⋅ e jϕ = I Re + jI Im
Per quanto riguarda il modulo, generalmente, anziché il valore massimo, si usa generalmente un altro
valore, detto valore efficace:
F=
FM
2
[4.53]
il motivo di questa scelta sarà chiaro in seguito, quando si parlerà delle potenze.
Il fasore della derivata o dell'integrale di una grandezza, per quando detto sopra, è ancora un fasore, sfasato
di 90° rispettivamente in anticipo o in ritardo rispetto alla grandezza originaria, e di modulo pari al modulo
della grandezza originaria rispettivamente moltiplicato o diviso per la frequenza. Si noti che sfasare di 90° un
fasore significa semplicemente moltiplicarlo o dividerlo per l'unità immaginaria j .
Riepilogando:
fasore:
F = F ⋅ e jϕ
[4.54]
derivata:
jωF
[4.55]
integrale:
F
F
=−j
jω
ω
[4.56]
valore istantaneo:
f (t ) = 2 ⋅ F ⋅ cos(ωt + ϕ)
[4.57]
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4.6 - L'Analisi delle Reti Elettriche con la Notazione Fasoriale
Utilizzando la notazione fasoriale, si hanno quindi le equazioni di funzionamento dei bipoli passivi nella
semplice forma:
V = jωLI
V = RI
V =
⇔
⇔
1
I
jω C
I=
I=
⇔
1
V
jωL
[4.58]
1
V
R
[4.59]
I = j ωC V
[4.60]
E' scomparsa ogni traccia di operatori del tipo derivata o integrale. Ai vari bipoli si può quindi associare un
semplice termine moltiplicativo, di significato e funzione analoghi alla resistenza o alla conduttanza nel
regime stazionario, con la differenza che tali valori sono numeri complessi. Per un bipolo generico si può
allora scrivere:
V = ZI
⇔ I = YV
1
con : Y =
Z
[4.61]
le due grandezza si chiamano rispettivamente impedenza (corrispondente alla resistenza) e ammettenza
(corrispondente alla conduttanza). Le unità di misura sono ancora l'ohm e il siemens.
Per i vari bipoli:
induttore:
Z = jωL; Y =
resistore:
Z = R;
condensatore:
Z =
Y =
1
jω L
[4.62]
1
R
[4.63]
1
; Y = jω C
j ωC
[4.64]
Occorre tenere presente che, anche se questi valori sono numeri complessi, essi non vanno
considerati come fasori, in quanto i fasori rappresentano solo grandezze P.A.S., variabili nel tempo. Si
preferisce chiamarli operatori.
Con la notazione fasoriale per le grandezze P.A.S. e complessa per i parametri circuitali, si può definire una
completa analogia tra il regime stazionario e il regime P.A.S.. In questa analogia:
-
alle tensioni e correnti in c.c. corrispondono i fasori delle tensioni e correnti P.A.S.;
-
alle resistenze e alle conduttanze corrispondono le impedenze e le ammettenze.
Valgono allora, in questo formalismo matematico, le stesse regole e le stesse proprietà viste per le reti in
regime stazionario:
-
le equazioni di Kirchhoff ai nodi e alle maglie
-
le regole per la serie e il parallelo di bipoli
-
i metodi delle correnti di lato, delle tensioni di nodo, delle correnti di maglia
-
il principio di sovrapposizione degli effetti
inoltre valgono:
-
i teoremi di Thevenin e di Norton
-
le trasformazioni stella-triangolo e triangolo-stella
-
i metodi matriciali per la soluzione delle reti
per questo ultimo punto si fa presente che la matrice da utilizzarsi è detta, coerentemente con l'analogia,
matrice delle ammettenze, e si costruisce con le stesse regole.
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Se si riprende l'esempio del par. 4.4 - , esso può ora essere rapidamente risolto:
⎧ I R1 − I R 2 + I L = 0
⎪
⎨ E − R1I R1 − R2 I R 2 = 0
⎪ R I + jω LI = 0
L
⎩ 1 R1
[4.65]
da cui:
E = (R1 + (R2 || jωL )) ⋅ I1
I1 =
E
R1 + jωLR2
(R2 +
[4.66]
jωL )
=
(R2 + jωL ) ⋅ E
(
R1 R2 + jωL ) + jωLR2
=
(R2 +
jωL ) ⋅ E
R1R2 + jωL(R1 + R2 )
[4.67]
e quindi si ricavano facilmente le altre correnti (per esempio mediante partitori di corrente e di tensione).
Occorre fare alcune osservazioni sulle impedenze e le ammettenze. In generale:
Z = R + jX
[4.68]
Y = G + jB
La parte reale dell'impedenza si chiama sempre resistenza, mentre la parte immaginaria prende il nome di
reattanza.
La parte reale dell'ammettenza si chiama sempre conduttanza, mentre la parte immaginaria prende il nome
di suscettanza.
Per i bipoli visti finora, si ha soltanto o la parte reale o la parte immaginaria. Ci possono però essere bipoli
che contengono, in serie o parallelo, più bipoli elementari, in modo che appaiono entrambi i termini. Si noti
che se:
G + jB =
1
R + jX
[4.69]
allora in generale:
G≠
1
;
R
B≠
1
X
[4.70]
infatti:
⎛ 1
G = Re⎜⎜
⎝ R + jX
⎞
1
1
R
⎛ R − jX ⎞
⎟⎟ = Re⎜ 2
=+ 2
= ⋅
2 ⎟
2
R 1 + X 2 R2
R +X
⎝R +X ⎠
⎠
[4.71]
⎛ 1
B = Im⎜⎜
⎝ R + jX
⎞
1
1
−X
⎛ R − jX ⎞
⎟⎟ = Im⎜ 2
=− ⋅
= 2
2 ⎟
2
X 1 + R2 X 2
⎝R +X ⎠ R +X
⎠
[4.72]
Si noti inoltre che:
per un induttore:
X = ωL;
per un condensatore:
X =−
B=−
1
;
ωC
1
ωL
[4.73]
B = ωC
[4.74]
Un induttore presenta quindi reattanza positiva; in generale, quando la reattanza di una impedenza è
positiva, si dice che l'impedenza è induttiva; se la parte resistiva è presente, si dice che l'impedenza è
ohmico-induttiva. Spesso l'induttore viene anche detto reattore.
Un condensatore presenta invece reattanza negativa; in generale, quando la reattanza di una impedenza è
negativa, si dice che l'impedenza è capacitiva; se la parte resistiva è presente, si dice che l'impedenza è
ohmico-capacitiva.
Si nota ancora che al crescere della frequenza, le reattanze aumentano e diminuiscono le suscettanze;
viceversa al decrescere della frequenza.
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Questo significa che un induttore si presenta con impedenza elevata alle alte frequenze e con
impedenza ridotta alle basse frequenze; al limite, a frequenza nulla, l'induttore non ha impedenza (corto
circuito).
Dualmente, un condensatore si presenta con impedenza ridotta alle alte frequenze e con impedenza
elevata alle basse frequenze; al limite, a frequenza nulla, il condensatore ha impedenza infinita (non passa
corrente, circuito aperto)
4.7 - Potenza Attiva, Reattiva, Apparente
In c.c. la potenza è definita come:
P =V ⋅I
[4.75]
che è al tempo stesso una potenza media e una potenza istantanea, in quanto il regime è stazionario.
In regime qualunque la potenza istantanea vale:
p(t ) = v(t ) ⋅ i(t )
In entrambi in casi, la corrente e la tensione indicate sono quelle che si misurano ai morsetti del bipolo. Se si
utilizza la convenzione degli utilizzatori, la potenza così definita è potenza entrante, cioè assorbita dal bipolo;
se si utilizza la convenzione dei generatori, è potenza uscente, cioè generata dal bipolo.
Si consideri allora il regime P.A.S.. In particolare si consideri un bipolo passivo puramente resistivo. In tale
bipolo tensione e corrente sono perfettamente in fase tra loro.
p(t ) = VM cos(ωt + δ ) ⋅ I M cos(ωt + δ ) = VM ⋅ I M ⋅ cos 2 (ωt + δ ) =
= VM ⋅ I M
1 + cos(2(ωt + δ )) VM ⋅ I M VM ⋅ I M
=
+
cos(2(ωt + δ ))
2
2
2
[4.76]
Quindi la potenza istantanea può essere vista come la somma di due componenti: una costante, e una
P.A.S. con frequenza doppia rispetto alla frequenza della tensione e della corrente. Tale termine ha valor
medio nullo (anche solo su un semiperiodo), quindi si può definire una potenza media:
P=
VM ⋅ I M
2
[4.77]
Per rendere questa formula congruente con la [4.75], si è introdotto il concetto, già visto nei paragrafi
precedenti, di valore efficace:
V=
VM
;
2
I=
IM
2
[4.78]
utilizzando il valore efficace:
P =V ⋅I
[4.79]
Essendo il bipolo resistivo:
v = R ⋅i ⇒ V = R ⋅ I
[4.80]
quindi:
P = R⋅I2 =
V2
R
[4.81]
Il termine medio:
P =VI
[4.82]
viene denominato in elettrotecnica con il nome di potenza attiva. Il valore è costante, in quanto indica un
valor medio e non un valore istantaneo.
Si consideri invece ora un bipolo puramente induttivo:
I=
V
jωL
⇒
I =−j
V jδ V j ( δ − π 2 )
V
=−j
e =
e
ωL
ωL
ωL
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[4.83]
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vale a dire:
v(t ) = 2V ⋅ cos(ωt + δ )
[4.84]
i (t ) = 2 I ⋅ cos(ωt + δ − π 2 ) = 2 I ⋅ sin (ωt + δ )
quindi:
p (t ) = 2VI ⋅ cos(ωt + δ ) ⋅ sin (ωt + δ ) = VI ⋅ sin (2(ωt + δ ))
[4.85]
Analogamente per un bipolo puramente capacitivo:
I = j ωC V
⇒
I = + jωCV = + jωCV e jδ = CV e j (δ + π 2 )
[4.86]
v(t ) = 2V ⋅ cos(ωt + δ )
[4.87]
i (t ) = 2 I ⋅ cos(ωt + δ + π 2) = − 2 I ⋅ sin (ωt + δ )
quindi:
p (t ) = −2V I ⋅ cos(ωt + δ ) ⋅ sin (ωt + δ ) = −V I ⋅ sin (2(ωt + δ ))
[4.88]
Si presenta, in entrambi i casi, una potenza di tipo P.A.S. e quindi di valor medio nullo, con frequenza doppia
rispetto a quella della corrente e della tensione. Si noti che le due potenze (quella per l'induttore e quella per
il condensatore), a parità di tensione e del valore efficace della corrente, sono uguali e contrarie. Nei due
componenti suddetti, infatti, la corrente si presenta in quadratura rispetto alla tensione: per l'induttore si
presenta in ritardo di 90°, per il condensatore in anticipo di 90°. Quindi se i due bipoli sono alimentati in
parallelo, le due correnti sono di segno opposto, e possono essere uguali e contrarie se il valore assoluto
delle due reattanze è lo stesso, cioè se:
ωL =
1
ωC
[4.89]
Questa potenza istantanea "oscillante" ha però un significato fisico diverso rispetto alla componente
"oscillante" della potenza assorbita dal bipolo resistivo.
Infatti, per il resistore tale potenza viene assorbita ed effettivamente dissipata per effetto Joule; il termine
oscillante, sommato a quello medio, fa sì che la potenza dissipata raggiunga un massimo quando la corrente
raggiunge il massimo positivo o negativo, mentre assume il valore zero quando le correnti passano per lo
zero.
Nell'induttore o nel condensatore (ideali) invece non esiste alcuna dissipazione di potenza: negli istanti in cui
la potenza indicata dalle [4.85] e [4.88] è positiva, cioè assorbita, significa che il dispositivo sta accumulando
energia sotto forma magnetica (induttore) o elettrostatica (condensatore); negli istanti in cui tale potenza è
negativa, significa che il dispositivo la sta restituendo. Si tratta quindi solo di un continuo scambio di energia,
bidirezionale. Il valor medio è nullo, perché dopo ogni semiperiodo l'energia accumulata nel bipolo è tornata
al valore di partenza. Nondimeno, questa analisi del fenomeno mostra come debba esistere, da parte dei
generatori o di altri componenti del circuito, la disponibilità a questo scambio, con la possibilità di
raggiungere valori di picco della potenza istantanea anche elevati.
In Elettrotecnica allora il termine:
Q = ±V I
[4.90]
pari al modulo delle espressioni [4.85] o [4.88], cioè relativo ai soli bipoli non dissipativi, con associato il
segno, prende il nome di potenza reattiva. Non si tratta di potenza continuativa, come la potenza attiva: si
tratta di un concetto ben diverso, proprio perché è solo un indice di un fenomeno di scambio di energia, con
valor medio della potenza nullo; per fornire potenza reattiva ad un bipolo non occorre quindi avere una
sorgente permanente di potenza, ma solo un bipolo in grado di scambiare con altri bipoli, in modo oscillatorio
una certa quantità di energia. La potenza reattiva è definita solo per il regime P.A.S..
La potenza reattiva viene definita (la definizione è puramente convenzionale) come positiva assorbita se il
bipolo utilizzatore è di tipo induttivo [4.85] e negativa assorbita se il bipolo utilizzatore è di tipo capacitivo; si
dice quindi anche che l'induttore assorbe potenza reattiva (o semplicemente: assorbe reattivo) e il
condensatore eroga potenza reattiva (eroga reattivo).
Si consideri infine il caso in cui si presenti la serie o il parallelo di due o più bipoli passivi. Per esempio un
resistore in serie con un induttore. Utilizzando la notazione fasoriale:
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Z = R + j ωL = Z ⋅ e j ϕ
p. 52 di 64
[4.91]
Si ricorda che:
Z = R 2 + ω2 L2 e ϕ = arctan(ωL R )
[4.92]
Considerando che la corrente nella serie valga: I = I ⋅ e
jα
si ha:
V = Z ⋅ I = Z I ⋅ e j ( α + ϕ ) = V ⋅ e j ( α + ϕ ) = V ⋅ e jδ
[4.93]
in valori istantanei:
v(t ) = 2V cos(ωt + δ ) = 2V cos(ωt + α + ϕ) = 2V (cos ϕ cos(ωt + α ) − sin ϕ sin (ωt + α ))
i (t ) = 2 I cos(ωt + α )
[4.94]
e quindi la potenza istantanea vale:
p(t ) = 2V (cos ϕ cos(ωt + α ) − sin ϕ sin (ωt + α )) ⋅ 2 I cos(ωt + α ) =
(
)
= 2VI cos ϕ cos 2 (ωt + α )sin ϕ cos(ωt + α ) sin (ωt + α ) =
= VI (cos ϕ(1 + cos(2(ωt + α ))) − sin ϕ sin (2(ωt + α )))
[4.95]
Si possono notare due termini: il primo, moltiplicato per il coseno dell'angolo dell'impedenza, contiene un
valor medio non nullo e una componente oscillante con frequenza doppia; il secondo, moltiplicato per il seno
dell'angolo dell'impedenza, contiene solo una componente oscillante con frequenza doppia. Si è in questo
modo evidenziata la presenza di potenza attiva e di potenza reattiva:
P = VI cos ϕ
Q = VI sin ϕ
[4.96]
I due termini corrispondono rispettivamente alla potenza attiva assorbita dal resistore e alla potenza reattiva
assorbita dall'induttore. Volendo si può esaminare cosa succede sui singoli bipoli. Per fare questo, occorre
considerare la serie dei due elementi come un partitore di corrente:
V = V R + VI
[4.97]
questo va trattato come in c.c., ma utilizzando le impedenze invece delle sole resistenze e, ovviamente, la
notazione fasoriale (si ricorda che: Z = R + jX = Z cos θ + jZ sin θ ):
R
R
Z cos ϕ j (δ−ϕ )
V = V ⋅ e j ( δ −ϕ ) = V
⋅e
= V cos ϕ ⋅ e jα
Z
Z
Z
j ωL
Z sin ϕ j (δ+ π 2−ϕ )
ωL
VI =
V =
V ⋅ e j ( δ + π 2 −ϕ ) = V
⋅e
= V sin ϕ ⋅ e j (α+ π 2 )
Z
Z
Z
VR =
[4.98]
Quindi:
pR (t ) = 2VR cos(ωt + α ) ⋅ 2 I cos(ωt + α ) = 2V cos ϕ ⋅ I cos 2 (ωt + α ) =
[4.99]
p I (t ) = 2VI cos(ωt + α + π 2 ) ⋅ 2 I cos(ωt + α ) = −2V sin ϕ sin (ωt + α ) ⋅ I cos(ωt + α ) =
[4.100]
= VI cos ϕ(1 + cos(2(ωt + α )))
= −VI sin ϕ sin (2(ωt + α ))
Il segno "-" in quest'ultima espressione e nella [4.95] per il termine che attiene al reattivo non deve far
pensare che tale potenza sia negativa. Essendo oscillante, il termine cambia di segno 2 volte per ogni
periodo. Per valutare se tale potenza reattiva sia positiva o negativa si possono scegliere due strade.
La prima, che è la più semplice, è quella di considerare che, se si tratta di un induttore, la potenza reattiva va
considerata comunque positiva assorbita (negativa assorbita se si tratta di un condensatore)
La seconda strada, più complessa, richiede di confrontare tale termine con la tensione e la corrente sul
singolo elemento: poiché tale termine è pari al prodotto delle due grandezze. La corrente è in quadratura con
la tensione, in anticipo se si tratta di un induttore e in ritardo se si tratta di un condensatore. Allora:
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p. 53 di 64
-
quando la tensione è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un
induttore, stia per diventare negativa, se si tratta di un condensatore, stia per diventare positiva; oppure:
-
quando la corrente è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un
induttore, stia per diventare positiva, se si tratta di un condensatore, stia per diventare negativa.
In questo caso la tensione sull'induttore:
vI (t ) = 2V cos ϕ cos(ωt + α + π 2)
[4.101]
è massima per ωt = − π 2 − α ; in tale istante il termine di potenza istantanea vale:
pI (t ) = −VI sin ϕ sin (2(ωt + α + π 2)) = −VI sin ϕ sin (2(− α − π 2 + α + π 2)) = −VI sin ϕ sin 0
[4.102]
e quindi evolverà verso valori negativi: quindi si tratta proprio di potenza reattiva induttiva.
Si noti che, indicando con l'asterisco i valori complessi coniugati:
per una resistenza:
I=
V V jδ
= ⋅ e = I ⋅ e jδ ;
R R
V ⋅ I * = V ⋅ e jδ ⋅ I ⋅ e − jδ = VI = P
[4.103]
per una induttanza:
I=
V
V
=−j
⋅ e jδ = − jI ⋅ e jδ ;
jωL
ωL
V ⋅ I * = V ⋅ e jδ ⋅ j ⋅ I ⋅ e − jδ = jVI = jQ
[4.104]
per una capacità:
(
)
I = jωCV = jωCV ⋅ e jδ = + jI ⋅ e jδ ; V ⋅ I * = V ⋅ e jδ ⋅ − j ⋅ I ⋅ e − jδ = − jVI = jQ
[4.105]
in quest'ultimo caso il valore di Q è negativo (e quindi il segno "-" scompare perché inglobato all'interno di Q)
perché un condensatore assorbe potenza reattiva negativa.
Infine, nel caso più generale di più elementi in serie (si potrebbe fare analogamente anche con il parallelo):
V V j ( δ −ϕ )
= e
= I ⋅ e j ( δ −ϕ )
Z Z
V ⋅ I * = VI ⋅ e j (δ−δ+ϕ ) = VI ⋅ e jϕ = VI ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ) = P + jQ
I=
[4.106]
Quanto visto in questi semplici esempi ha validità generale: il prodotto del fasore della tensione per il
complesso coniugato del fasore della corrente fornisce un numero complesso in cui il coefficiente
della parte reale è la potenza attiva e il coefficiente della parte immaginaria è la potenza reattiva.
Si definisce tale numero complesso:
A = V ⋅ I * = P + jQ
[4.107]
con il nome potenza apparente. Più comunemente con il termine di potenza apparente si intende
semplicemente il modulo di tale valore, pari al prodotto dei valori efficaci:
A = VI
[4.108]
Si noti anche che:
A = P + jQ = V ⋅ I * = Z ⋅ I ⋅ I * = Z ⋅ I 2 = Z ⋅ I 2 ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ)
A = P + jQ = V ⋅ I * = V ⋅
[4.109]
V* V2
=
⋅ (cos ϕ + j sin ϕ)
Z
Z*
[4.110]
A = P + jQ = V ⋅ I * = V ⋅ Y * ⋅ V * = Y * ⋅ V 2 = Y ⋅ V 2 ⋅ (cos β − j sin β )
A = P + jQ = V ⋅ I * =
[4.111]
I * I2
I =
⋅ (cos β − j sin β )
Y
Y
[4.112]
e ricordando che:
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Y =
1
Z
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⇒ β = −ϕ
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[4.113]
si vede come le quattro espressioni siano equivalenti.
Il valore cos ϕ prende il nome di fattore di potenza.
Per un bipolo puramente resistivo l'angolo dell'impedenza è zero, quindi il valore del fattore di potenza è
unitario: questo significa che tutta la potenza apparente è potenza attiva.
Per un bipolo puramente induttivo o capacitivo, il valore del fattore di potenza è zero: questo significa che
non c'è potenza attiva, e tutta la potenza apparente è reattiva. Il valore del fattore di potenza non fornisce
alcuna informazione sul segno della potenza reattiva.
Per il regime stazionario si è dimostrato che in una rete la somma delle potenza dissipate per effetto Joule è
pari alla somma delle potenze erogate dai generatori di tensione e di corrente. Il risultato si può estendere al
regime P.A.S.:
∑ (R ⋅ I 2 + jωL ⋅ I 2 − jωC ⋅ V 2 ) = ∑ Eg ⋅ I g* + ∑Vg ′ ⋅ Ag*′
L
G
G′
l =1
g =1
g ′ =1
[4.114]
in una rete elettrica la somma delle potenze dissipate per effetto Joule è pari alla somma delle
potenze attive erogate dai generatori e la somma della potenza reattive assorbite dagli induttori
meno le potenze reattive erogate dai condensatori è pari alla somma delle potenze reattive erogate
dai generatori.
4.8 - Rifasamento
La potenza reattiva non è una potenza nel senso tradizionale del termine, ed in particolare non è dissipativa.
Si potrebbe quindi pensare che essa non sia rilevante. In realtà la presenza di potenza reattiva non è, in
generale, un fatto vantaggioso.
Si consideri il seguente esempio: sia dato un carico ohmico-induttivo, cioè un bipolo serie R − L (per
esempio una stufa elettrica), alimentato da un generatore remoto a cui è collegato con una linea elettrica (un
conduttore di andata e uno di ritorno). Le linea presenterà ovviamente un certo valore resistivo (e anche
induttivo), tanto maggiore quanto più essa è lunga: presenterà quindi una dissipazione di potenza per effetto
Joule.
Si supponga che i parametri del carico e la tensione ai suoi morsetti siano i seguenti:
R = 8Ω
X = ωL = 6Ω
V = 100V
con questi valori si ottiene:
I=
V
100
=
= (8 − j 6 )A = 10 ⋅ e − jϕ A
Z 8 + j6
quindi la potenza vale:
A = V ⋅ I * = 100 ⋅ (8 + j 6 ) = 800 + j 600
P = 800 W
Q = 600 var
Si noti che per ottenere la stessa potenza attiva, a parità di tensione, basterebbe una corrente:
I0 = 8 A
V ⋅ I 0* = 100 ⋅ 8 = 800
purché tale corrente sia perfettamente in fase con la tensione. In questo caso non si avrebbe potenza
reattiva; il carico dovrebbe però presentare parametri diversi.
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Si noti che il valore di tale corrente altro non è se non il valore, nella corrente originale, della componente in
fase con la tensione stessa. La componente in quadratura, (-j6 A), si rivela ovviamente superflua ai fini della
potenza attiva.
Considerando le dissipazioni sulla linea di trasmissione del generatore remoto al carico, utilizzando la
resistenza totale della linea (conduttore di andata + conduttore di ritorno), nei due casi si avrebbe:
Pd = RL ⋅ I 2 = RL ⋅100
Pd 0 = RL ⋅ I 02 = RL ⋅ 64
Come si vede, nel caso di corrente in fase con la tensione le perdite in linea sono decisamente inferiori.
Inoltre, se si considera la c.d.t. dal generatore al carico, tanto maggiore sarà la corrente tanto maggiore sarà
tale c.d.t.. Quindi, se si desidera avere la stessa tensione di 100 V sul carico, nel primo caso il generatore
dovrà erogare una tensione maggiore rispetto al secondo caso, perché maggiore sarà la c.d.t..
Tutto questo evidenzia come la potenza reattiva, pur essendo di per sé non dissipativa, crea una serie di
effetti secondari generalmente fastidiosi.
Si deve quindi cercare di avere il più possibile le correnti dei carichi in fase con le tensioni. Le società di
distribuzione, per ridurre gli effetti di cui sopra (perdite e c.d.t. sulle linee), impongono ai loro utenti (industrie
e attività artigianali) che i carichi abbiano un cosϕ non inferiore a 0.9. Fissare il valore minimo del fattore di
potenza significa fissare il valore massimo del rapporto tra potenza reattiva e potenza attiva:
P = + A cos ϕ
Q = ± A sin ϕ
Q P = ± tan ϕ
[4.115]
Nel caso che il valore del fattore di potenza sia inferiore a 0.9, l'utente è tenuto a pagare una penale per ogni
kvarh (analogo del kWh) di reattivo consumato in più.
Per molti tipi di carichi elettrici (in particolare per i motori elettrici) il valore del fattore di potenza non può
essere deciso liberamente dall'utente o dal costruttore del dispositivo: spesso si presentano fenomeni di tipo
induttivo non eliminabili, che comportano un elevato consumo di reattivo. Nell'esempio di cui sopra la
reattanza induttiva non era voluta: era comunque associata alla resistenza, non eliminabile. Più rari, ma
comunque possibili, specie alle frequenze elevate, i casi in cui siano preponderanti gli effetti capacitivi, con
un cosϕ comunque inferiore al limite previsto.
In tutti questi casi, in cui il reattivo supera i valori previsti, occorre allora modificare il carico, inserendovi altri
elementi circuitali che compensino l'eccesso di assorbimento o di erogazione di reattivo, e cioè portino la
corrente ad essere in fase con la tensione, o almeno ad avere una componente in quadratura più ridotta.
Questa operazione prende il nome di rifasamento. Nel caso in cui il carico sia prevalentemente induttivo,
occorrerà porre, in serie o in parallelo, dei condensatori; nel caso il carico sia prevalentemente capacitivo,
occorrerà porre, in serie o in parallelo, degli induttori. Considereremo solo il primo caso, perché è il più
comune; per l'altro valgono comunque gli stessi discorsi e delle formule duali.
Solitamente i condensatori vengono posti in parallelo sui morsetti del carico. E' possibile anche porli in serie
(come si fa a volte negli Stati Uniti, sulle linee di trasmissione in alta e altissima tensione), ma questo può
creare altri problemi che saranno più chiari in seguito (vedi risonanza); inoltre in parallelo non modificano la
tensione sul carico (se non per il fatto che viene limitata la c.d.t. sulla linea di trasporto), mentre in serie
avrebbero un pesante effetto in tal senso.
La potenza reattiva assorbita da un bipolo capacitivo in parallelo vale allora:
QC = −ωCV 2
[4.116]
(in realtà è una potenza reattiva erogata) e prende il nome di potenza di rifasamento.
Se il carico presenta un assorbimento di potenza:
AL = PL + jQL
[4.117]
si può allora scegliere di arrivare ad un rifasamento completo:
QL + QC = 0
[4.118]
QL − ωCV 2 = 0
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C=
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QL
ωV 2
p. 56 di 64
[4.119]
oppure di arrivare ad un dato cos ϕ , che possiamo indicare come cos ϕ M (0.9 o altro valore):
QL + QC
= tan ϕ ≤ tan ϕ M
PL
⇔
PL
PL2 + (QL + QC )
2
= cos ϕ ≥ cos ϕ M
[4.120]
da cui:
QL(rif .) = QL + QC ≤ PL tan ϕ M
[4.121]
QL(rifMax.) = PL tan ϕ M
e quindi:
.)
QL + QC ≤ QL(rif
Max
[4.122]
.)
QC ≤ QL(rif
Max − QL
.)
− ωCV 2 ≤ QL(rif
Max − QL
C≥
(
1
.)
QL − QL(rif
Max
ωV 2
[4.123]
)
I condensatori da usare per il rifasamento hanno, ovviamente, un costo. Si nota che, a parità di potenza di
rifasamento, la capacità necessaria diminuisce con il quadrato della tensione di funzionamento. Tuttavia, se
a tensione maggiore basta una minore capacità (e quindi sembrerebbe di poter risparmiare), va considerato
che i condensatori dovranno essere in grado di sopportare una tensione più grande (e quindi avranno un
costo unitario maggiore). In pratica succede che il costo è circa proporzionale alla potenza di rifasamento,
quasi indipendentemente dalla tensione.
L'impiantista deve quindi valutare quale potenza di rifasamento installare.
Se è la società di distribuzione a provvedere al rifasamento, dovrà confrontare il risparmio delle perdite in
linea e il costo dei condensatori, e trovare una potenza di rifasamento economicamente ottimale (che in
generale non sarà la condizione di rifasamento totale).
Se invece si tratta di un utente, dovrà confrontare il costo delle penali per eccesso di consumo di reattivo e il
costo dei condensatori; per esempio, se i picchi di consumo di reattivo si verificano solo raramente e per
brevi periodi, potrebbe essere conveniente non rifasare; in altri casi conviene rifasare a cosϕ anche minori
del prescritto 0.9.
4.9 - Risonanza
Si consideri un bipolo composto da una capacità e una induttanza in serie. L'impedenza del bipolo vale:
Z = j ωL +
1
1 ⎞
⎛
= j ⎜ ωL −
⎟
j ωC
ωC ⎠
⎝
[4.124]
L'impedenza è una funzione della frequenza. In particolare è data dalla somma di un termine positivo e uno
negativo; pertanto, per opportuni valori della frequenza, i due termini possono essere uguali e contrari, di
modo che l'impedenza assuma valore nullo. Per:
ω=
1
LC
[4.125]
si trova che:
⎛ 1
LC ⎞⎟
Z = j⎜
L−
=
⎜ LC
C ⎟⎠
⎝
⎛ L
L ⎞⎟
j⎜
−
=0
⎜ C
C ⎟⎠
⎝
[4.126]
Se non esistono nel bipolo effetti di tipo resistivo, il bipolo presenta impedenza nulla, ovvero ammettenza
infinita. Questo significa che, in presenza di un valore anche minimo di tensione applicata ai morsetti, il
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bipolo è percorso da corrente infinita. In realtà un effetto resistivo esiste sempre, anche minimo, e questa
limita la corrente, che assume valori finiti ma molto grandi.
Se il valore della frequenza non è esattamente quello indicato dalla [4.125], ma è molto vicino ad esso, il
valore dell'impedenza (trascurando gli effetti resistivi) non è nullo, ma è comunque molto grande. In un
diagramma ω − Z si presenta un asintoto in corrispondenza del valore di frequenza indicato dalla [4.125].
Si supponga ora di considerare un circuito composto da una sola maglia, con un generatore di tensione, un
condensatore e una impedenza. Ad un dato istante, che possiamo indicare come istante 0 , il generatore
viene spento. In quell'istante il condensatore presenterà un certo valore di tensione e l'induttanza un certo
valore di corrente. Si potrà allora scrivere l'equazione differenziale che descrive il transitorio, con le
condizioni iniziali:
di
⎧1 t
⎪ C ∫0 i (τ)dτ + VC 0 + L dt = 0
⎨
⎪i (0 ) = I L 0
⎩
[4.127].
Per procedere occorre derivare. Derivando si perde l'informazione sulla tensione iniziale del condensatore,
che va recuperata per imporre una seconda condizione iniziale. Ricordando che comunque deve valere che
la somma delle tensioni sul condensatore e sull'induttore deve dare valore zero, anche nell'istante iniziale, e
che nell'istante iniziale la tensione sul condensatore è data proprio da tale valore iniziale mentre la tensione
sull'induttore è data dal prodotto dell'induttanza per la derivata della corrente, si ottiene una seconda
equazione per le condizioni iniziali. Pertanto, derivando:
⎧i
d 2i
⎪ +L 2 =0
⎪C
dt
⎨i (0) = I
C0
⎪
⎪⎩ Li′(0) = −VC 0
[4.128]
L'equazione caratteristica sarà pertanto:
α2 +
1
=0
LC
[4.129]
da cui:
α=mj
1
LC
[4.130]
quindi le soluzioni dell'equazione differenziale sono di tipo oscillatorio, non smorzate per la mancanza di
termini resistivi (che nella realtà esistono), e con frequenza angolare:
ω0 = Im α =
1
[4.131]
LC
Questo valore si chiama frequenza propria del sistema, o frequenza di oscillazione libera. Come si vede
essa coincide con il valore della [4.125]. Questa frequenza angolare prende allora anche il nome di
frequenza di risonanza:
fornendo ad un circuito LC una tensione di frequenza pari alla frequenza libera di oscillazione, il
sistema entra in risonanza: presenta cioè valore di impedenza nulla, se non per gli effetti resistivi.
Il fenomeno non è tipico solo dei circuiti elettrici, ma di molte altre situazioni fisiche: ovunque esista un
sistema che abbia una sua frequenza propria di oscillazione, si può presentare il fenomeno della risonanza.
Per esempio è un fenomeno di risonanza la vibrazione rumorosa dei vetri delle finestre quando in strada c'è
un motore diesel al minimo: la lastra di vetro viene eccitata dal diesel alla sua frequenza di risonanza;
oppure il diapason che suona, senza essere toccato, se vicino viene suonata una nota alla frequenza propria
del diapason.
In condizioni prossime alla risonanza la tensione sul bipolo L − C è molto piccola, ed è nulla in caso di
perfetta risonanza senza resistenze. Tuttavia è molto importante notare che, sebbene la tensione
complessiva sia molto piccola o nulla, la tensione sui singoli componenti è invece molto grande, al limite
infinita. Infatti:
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-
le tensioni sui singoli componenti sono proporzionali alla corrente;
-
le tensioni sui due componenti sono in opposizione: presentano cioè fase opposta, e valori in modulo
molto vicini; in condizioni di risonanza sono perfettamente uguali e contrarie.
Pertanto, poiché in risonanza la corrente diventa molto grande o infinita, le tensioni sui singoli componenti
sono altrettanto grandi o infinite. Questo significa che la condizione di risonanza è estremamente
pericolosa per i componenti circuitali: essa presenta sovracorrenti e sovratensioni interne, cioè valori di
corrente e valori interni di tensione molto più grandi di quelli che i componenti possono tollerare.
Anche in altre situazioni fisiche la risonanza può essere pericolosa: per esempio, i cristalli che vanno in
frantumi di fronte alle voce dei cantanti lirici; per lo stesso motivo i reparti di soldati in marcia "rompono il
passo", cioè non vanno più a passo di marcia, ma a passo libero, quando transitano sui ponti, per evitare
che il ponte entri in risonanza e crolli.
Una situazione duale si verifica quando invece i due componenti, L e C, sono in parallelo anziché in serie. In
tal caso si sommano le loro ammettenze; alla frequenza di risonanza si ha così ammettenza totale nulla,
impedenza infinita. Questo significa che, qualunque sia la tensione applicata, non si ha globalmente
passaggio di corrente. Questo però non significa che sui singoli componenti non ci sia corrente: si
presentano correnti uguali e contrarie. La condizione è anche detta condizione di antirisonanza.
In sintesi:
-
a tensione imposta, il circuito serie in risonanza si trova in condizioni molto pericolose, perché permette
il passaggio di una corrente molto grande o al limite infinita, con tensioni molto grandi o al limite infinite
sui singoli componenti;
-
a corrente imposta, il circuito parallelo in (anti)risonanza si trova in condizioni molto pericolose, perché
permette l'insorgere di una tensione molto grande o al limite infinita, con correnti molto grandi o al limite
infinite sui singoli componenti.
Il circuito serie a corrente imposta o il parallelo a tensione imposta non si trovano invece in condizioni
pericolose.
Per le ragioni suddette il rifasamento serie può risultare pericoloso. Anche se le frequenza di risonanza è
molto lontana dalla frequenza di rete (50÷60 Hz), occorre però considerare che sono sempre presenti, oltre
alla forma d'onda principali, anche altre componenti sinusoidali, dette componenti armoniche, a frequenza
multiple della fondamentale, perché le forme d'onda non sono mai perfettamente regolari e quindi possono
essere viste come la somma di più forme d'onda a frequenze diverse, di modulo decrescente al crescere
della frequenza. Tra queste componenti armoniche ce ne può essere una di frequenza prossima alla
risonanza, che può quindi provocare disastri.
4.10 - I Transitori Elettrici
Dopo aver acquisito gli strumenti per l'analisi dei circuiti elettrici in regime P.A.S., si può completare il
discorso sui transitori elettrici, già introdotto nel par. 4.4 - .
Si ricorda pertanto che il regime transitorio è quel regime che corrisponde alla soluzione del sistema di
equazioni differenziali omogeneo, privo cioè delle forzanti; prende il nome di transitorio per la semplice
ragione che nei circuiti elettrici sono sempre presenti elementi resistivi che provocano il decadimento
esponenziale delle grandezze tensione e corrente, che quindi tendono a zero nell'arco di un certo intervallo
di tempo.
Il problema dei transitori elettrici non è altrettanto facilmente schematizzabile come il regime permanente,
per il quale esistono metodi risolutivi standard relativamente semplici. E' possibile anche per i transitori
utilizzare metodi sistematici, ma questi sono molto complessi e, in generale, non vantaggiosi rispetto ad un
approccio più semplice ma che richiede un po' più di intuizione: è possibile indicare alcune semplici regole e
alcune "tecniche" che costituiscono una base necessaria per la soluzione del problema.
L'analisi del transitorio può dirsi composta delle seguenti fasi:
1) identificazione del modello e valutazione dei parametri;
2) scrittura del sistema di equazioni algebrico-differenziali;
3) riduzione del sistema in modo da eliminare le variabili solo algebriche, con eventuale riduzione del
sistema di equazioni differenziale ad un unica equazione differenziale avente per ordine l'ordine del
sistema;
4) individuazione delle condizioni iniziali;
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5)
6)
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soluzione del sistema o dell'unica equazione differenziale con le condizioni iniziali;
ricostruzione del valore delle variabili algebriche.
La fase 1) è come per il regime P.A.S.: occorre "guardare" il circuito e riportare i valori dei parametri L, R, C
e delle tensioni o correnti dei generatori.
La fase 2) utilizza i principi di Kirchhoff per scrivere le equazioni che conterranno, ovviamente, dei termini
integrali o differenziali; può utilizzare, volendo, gli stessi metodi del regime permanente (tensioni di nodo,
correnti di lato, correnti di maglia) anche se, come si vedrà in seguito, sarà spesso opportuno utilizzare
metodi "misti", cioè non avere come variabili di stato solo le tensioni o solo le correnti, ma un mix di queste:
ciò richiederà di iniziare a procede in modo intuitivo.
La fase 3) serve ad ottenere un sistema che sia solo di tipo differenziale. Delle equazioni scritte nella fase
precedente, alcune saranno solo algebriche, altre invece integrali e/o differenziali. Le equazioni integrali
vanno derivate, in modo da non avere più termini integrali ma solo differenziali. Le equazioni algebriche
vanno utilizzate in modo da far scomparire, nelle equazioni differenziali, alcune variabili (solitamente quelle
di cui non si presenta alcuna derivata nelle equazioni differenziali originali), in modo che la parte differenziale
del sistema consideri un numero di variabili pari al numero di equazioni disponibili. Il valore delle altre
variabili, dette algebriche, potrà essere ricostruito dal valore trovato per le variabili differenziali, grazie alle
stesse equazioni algebriche usate in questa fase. Questa fase richiede ancora una volta una certa dose di
intuizione.
Con ulteriori processi di riduzione è possibile trasformare un sistema di m equazioni differenziali in m
funzioni incognite in un'unica equazione differenziale, in una sola incognita, di ordine m .
La fase 4) è fondamentale per la soluzione vera e propria. Ogni sistema di equazioni differenziali richiede,
per poter essere risolto completamente, delle condizioni al contorno; in questo caso, visto che il dominio è il
tempo, si parla di condizioni iniziali. Queste sono date, solitamente, dallo stato della rete all'istante 0 − , vale
a dire all'istante immediatamente precedente l'inizio del transitorio. Nell'istante 0 + , non appena si è
instaurata la nuova condizione della rete, che evolve in maniera transitoria verso un nuovo regime, le
correnti negli induttori e le tensioni sui condensatori dovranno conservare gli stessi valori dell'istante 0 − .
Queste informazioni andranno però a volte rielaborate, utilizzando le equazioni algebriche, perché non
sempre tali grandezze sono le variabili di stato scelte per il sistema differenziale o per l'unica equazione,
oppure perché derivando le funzioni integrali queste informazioni non sono più immediatamente utilizzabili.
Questa fase richiede parecchio intuito.
La fase 5) può invece dirsi molto "standard" perché i metodi risolutivi, una volta che equazioni differenziali e
condizioni iniziali sono state poste correttamente, non richiede difficoltà concettuali, ma solo, eventualmente,
un po' di pazienza e di attenzione nei calcoli.
La fase 6) ripercorre all'indietro le operazioni di riduzione della fase 3) e calcola, in funzione delle soluzioni
trovate nella fase 5), i valori delle altre funzioni. Anche questa fase richiede solo attenzione nei calcoli.
Quanto detto potrà essere meglio chiarito con esempi, nel corso dei quali verranno introdotte le regole e le
tecniche necessarie.
Esempio - Circuito RLC serie, spegnimento
Si consideri un circuito composto di una sola maglia, costituita dalla serie di un generatore di tensione, una
induttanza, una resistenza. I parametri sono quindi:
E =E
(fase nulla)
L
R
C
[4.132]
All'istante t0 il generatore viene spento (rimane quindi in corto circuito) e di conseguenza inizia un transitorio
che porterà allo spegnersi delle correnti. Si può scegliere come variabile di stato anche solo la corrente
dell'unica maglia, i . Si potrà allora scrivere un'unica equazione integrale-differenziale:
L
di
1 t
+ Ri + ∫ i (τ )dτ + VC 0 = 0
dt
C 0
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[4.133]
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Nell'equazione [4.133] la variabile tempo, t , è stata ri-inizializzata in modo da avere il valore zero in
corrispondenza dell'inizio del transitorio. Inoltre appare la tensione VC 0 , che è la tensione presente sul
condensatore all'istante in cui inizia il transitorio; su di essa si ragionerà fra poco.
Occorre ridurre l'equazione dalla formulazione integrale-differenziale ad una solo differenziale. Questo si
ottiene facilmente derivando:
Li′′ + Ri′ +
1
i=0
C
[4.134]
Come si vede si ottiene un'equazione del 2° ordine. Nel circuito infatti sono presenti due elementi che
comportano ciascuno 1 ordine del sistema (o dell'equazione): un induttore e un condensatore. Questa è una
regola generale:
l'ordine del sistema di equazioni differenziali (o dell'unica equazione ad esso corrispondente) è pari
al numero di induttori e di condensatori coinvolti nel transitorio; non vanno considerati induttori e
condensatori in parti del circuito non interessate ai fenomeni transitori; gli induttori serie o i
condensatori in parallelo vanno considerati come un unico elemento.
Occorre ora porre le condizioni iniziali. Anche qui vale una regola strettamente legata alla precedente:
il numero delle condizioni iniziali è pari all'ordine del sistema differenziale e quindi al numero degli
induttori e dei condensatori da considerarsi (vedi regola precedente); si ha una condizione iniziale
sulla tensione di ogni condensatore e sulla corrente di ogni induttore; tali condizioni iniziali
potrebbero richiedere di essere rielaborate o utilizzate in equazioni algebriche per fornirle nella
forma necessaria al sistema di equazioni.
Questo vale perché la corrente negli induttori non può cambiare bruscamente, a scalino: questo
comporterebbe derivata di valore infinito e quindi tensione ai morsetti di valore infinito; analogamente la
tensione sui condensatori non può variare bruscamente, a scalino, perché questo comporterebbe derivata di
valore infinito e quindi valore infinito di corrente.
In questo caso le condizioni iniziali sono: la corrente sull'induttanza e la tensione sul condensatore. Saranno
fornite dal regime P.A.S. preesistente. Si noti che la condizione sulla tensione era già presente nella [4.133]
ed è scomparsa derivando; andrà quindi opportunamente recuperata. L'equazione [4.134] richiede una
condizioni iniziale sulla corrente e una sulla derivata della corrente. La condizione sulla corrente sarà
anch'essa fornita dal regime preesistente, e può essere indicata come I L 0 ; per quanto riguarda la
condizione sulla derivata si noti che la tensione sull'induttanza vale:
vL = L
di
dt
[4.135]
dove appare la derivata della corrente; deve valere inoltre che la somma delle tensioni su tre componenti,
anche nel primo istante del transitorio, deve dare somma nulla:
vL + vR + vC = 0
[4.136]
Ora:
vL (0 ) = Li′(0 )
vR (0 ) = Ri(0 ) = RI L 0
vc (0 ) = VC 0
[4.137]
Pertanto:
I L′ 0 = i′(0 ) =
− VC 0 − RI L 0
L
[4.138]
Si è utilizzata l'equazione di Kirchhoff alle maglie per arrivare a questo risultato. In altri casi poteva essere
più vantaggioso utilizzare l'equazione di Kirchhoff ai nodi. Questa è una delle "tecniche" che si possono
comunque usare: si possono sempre utilizzare le equazioni di Kirchhoff ai nodi e alle maglie per
ottenere, da alcune condizioni iniziali in una certa forma, le condizioni iniziali in altra forma, più
opportuna per il sistema o per l'equazione differenziale utilizzati.
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Per il calcolo dei valori VC 0 ,I L 0 , il regime P.A.S. preesistente forniva:
I=
E
E
E
E
=
=
= e − jϕ = I e − jϕ
Z
jωL + R − j ωC R + j (ωL − 1 ωC ) Z
[4.139]
I
I − jϕ − j π 2
=
e
= VC e − jϕ − j π 2
VC = − j
ωC ωC
da cui:
i (t ) = 2 I cos(ωt − ϕ)
[4.140]
vC (t ) = 2VC cos(ωt − ϕ − π 2)
dove si usa la vecchia origine dei tempi. Nell'istante in cui avviene il guasto allora:
I L 0 = i (t0 ) = 2 I cos(ωt0 − ϕ)
[4.141]
VC 0 = vC (t0 ) = 2VC cos(ωt0 − ϕ − π 2 )
Si può allora scrivere, finalmente, l'equazione differenziale con le sue condizioni iniziali, cioè nella forma del
problema di Cauchy:
1
⎧
⎪ Li′′ + Ri′ + C i = 0
⎪⎪
⎨i (0 ) = I L 0
⎪
⎪i′(0) = − VC 0 − RI L 0
⎪⎩
L
[4.142]
La soluzione del problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di
ordine N in generale è data da:
N
i (t ) = ∑ I k ⋅ e α k t
[4.143]
k =1
dove i coefficienti dell'esponenziale sono in generale complessi e così pure i coefficienti moltiplicativi I k . La
somma deve però fornire una soluzione reale, priva di parte immaginaria. Si vedrà in seguito, e si è
comunque già visto nel par. 4.4 - , come affrontare il problema.
Per trovare i coefficienti dell'esponenziale si passa all'equazione caratteristica:
1
=0
C
1
R
α2 + α +
=0
L
LC
L α 2 + Rα +
[4.144]
che fornisce come soluzione:
2
α1, 2 =
4
−R 1 ⎛R⎞
m
⎜ ⎟ −
2 L 2 ⎝ L ⎠ LC
[4.145]
Si presentano 3 possibilità: determinante positivo, nullo, negativo.
Nel caso di determinante positivo:
α1, 2 =
−R R
R ⎛⎜
4L
4L
−1m 1− 2
m
1− 2 =
⎜
2L 2L
R C 2L ⎝
RC
⎞
⎟
⎟
⎠
[4.146]
le radici sono entrambe reali, e negative; saranno reali anche i coefficienti moltiplicativi dei due termini
esponenziali. Quindi:
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i (t ) = I1 ⋅ e α1t + I 2 ⋅ e α 2 t
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[4.147]
i′(t ) = α1I1 ⋅ eα1t + α 2 I 2 ⋅ e α 2 t
Confrontando i valori di queste funzioni nell'istante zero con le condizioni iniziali, si ha:
I1 + I 2 = I L 0
α1I1 + α 2 I 2 =
− VC 0 − RI L 0
L
[4.148]
che è un semplice sistema di 2 equazioni in 2 incognite, di immediata soluzione.
Nel caso di determinante nullo:
α1 = α 2 = −
R
=α
2L
[4.149]
le radici sono coincidenti negative; la soluzione ha una forma particolare:
i (t ) = I1 ⋅ eαt + I 2 ⋅ t ⋅ eαt
[4.150]
i′(t ) = αI1 ⋅ eαt + I 2 ⋅ (αt + 1) ⋅ eαt
N.B.: Nel caso di un sistema di ordine maggiore, se si presentano più soluzioni coincidenti:
α1 = α 2 = K = α m = α [4.151]
la componente della soluzione dovuta a tali radici vale:
(
i (t ) = eαt ⋅ I1 + I 2t + I 3t 2 K + I mt m −1
)
[4.152]
Tornando invece a questo sistema di ordine 2, i coefficienti sono determinati da:
I1 = I L 0
αI1 + I 2 =
− VC 0 − RI L 0
L
[4.153]
che è sempre un sistema banale di soluzione immediata.
Nel caso di determinante negativo:
α1, 2 =
−R j
m
2L 2
2
R
4 ⎛R⎞
1 ⎛ R 2C ⎞
⎜1 −
⎟ = −σ m jω0
−⎜ ⎟ = −
m j
LC ⎝ L ⎠
LC ⎜⎝
2L
4 L ⎟⎠
[4.154]
Come si vede le radici sono complesse coniugate. Questo vale in generale, per un sistema di qualunque
ordine: le radici complesse non si presentano mai sole, ma sempre a due a due complesse
coniugate.
I coefficienti moltiplicativi I1 , I 2 saranno complessi coniugati. Questo farebbe pensare a 4 incognite da
determinare (2 per ogni coefficiente complesso) con solo 2 condizioni iniziali. In realtà i due coefficienti
complessi dovranno essere complessi coniugati, perché solo così la soluzione assumerà istante per
istante valori reali. Pertanto le incognite da determinare rimangono sempre 2.
Allora la soluzione sarà:
i (t ) = I1 ⋅ e (− k − jω0 )t + I1* ⋅ e (− k + jω0 )t =
= e −kt ⋅ [(I Re + jI Im ) ⋅ (cos ω0t − j sin ω0t ) + (I Re − jI Im ) ⋅ (cos ω0t + j sin ω0t )] =
[4.155]
= e −kt ⋅ [(2 I Re cos ω0t + 2 I Im sin ω0t ) + j 0] = e −kt ⋅ (I c cos ω0t + I s sin ω0t )
si preferisce usare la forma mista tutta reale esponenziale-trigonometrica piuttosto che la forma
esponenziale complessa. Quindi:
i (t ) = e − kt ⋅ (I c cos ω0t + I s sin ω0t )
[4.156]
i′(t ) = e −kt ⋅ ((− kI c + ω0 I s ) cos ω0t + (− kI s − I c ω0 )sin ω0t )
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I coefficienti sono determinati dalle condizioni iniziali:
IC = I L0
− kI C + ω0 I S =
− VC 0 − RI L 0
L
[4.157]
che come sempre è un banale sistema di soluzione immediata.
Esistono comunque altre strade per calcolare il transitorio. Una forse più standard della precedente consiste
nel prendere non una sola variabile di stato, ma due, vale a dire la corrente sull'induttore e la tensione sul
condensatore. Si avrebbe quindi:
⎧ LiL′ + RiR + vC = 0
⎪i = Cv′
⎪C
C
⎨
=
i
i
⎪R L
⎪⎩iC = iL
[4.158]
che è un sistema di 2 equazioni differenziali e 2 equazioni algebriche, in due incognite. La corrente sulla
resistenza e quella sul condensatore sono variabili algebriche, nel senso che non appare nessuna loro
derivata. Si può quindi operare algebricamente perché tali variabili siano eliminate dalle equazioni
differenziali, ottenendo due sistemi distinti.
⎧⎧ LiL′ + RiL + vC = 0
⎪⎨
⎪⎩CvC′ = iL
⎨
⎪⎧⎨iR = iL
⎪⎩⎩iC = iL
[4.159]
Il sistema algebrico si presenta come un sistema dove i termini noti sono le soluzioni del sistema
differenziale (in questo caso il sistema algebrico è banale).
Il sistema differenziale può essere visto in forma matriciale:
⎡ iL′ ⎤ ⎡− R L − 1 L ⎤ ⎡ iL ⎤
⋅⎢ ⎥
⎢ v′ ⎥ = ⎢ + 1 C
0 ⎥⎦ ⎣vC ⎦
⎣ L⎦ ⎣
[4.160]
Tutte le variabili di stato che appaiono nel sistema saranno governate dalle stesse costanti di tempo di
smorzamento e dalle stesse frequenze di oscillazione, e queste saranno date dagli autovalori della matrice:
− R L − α −1 L
−1 C
−α
=0
(− R
L − α ) ⋅ (− α ) − (− 1 L ) ⋅ (+ 1 C ) = 0
α2 +
R
1
α+
=0
L
LC
[4.161]
[4.162]
Si ritrova quindi la stessa equazione caratteristica.
Le cose possono essere viste anche in questo modo: poiché i coefficienti degli esponenziali sono gli stessi
per tutte le variabili di stato, allora queste avranno la forma:
iL (t ) = I L1 ⋅ e α1t + I L 2 ⋅ e α 2 t
[4.163]
vC (t ) = VC1 ⋅ e α1t + VC 2 ⋅ e α 2 t
Derivando queste espressioni e considerando la [4.161], dovrà essere:
⎡ α1I L1 ⋅ e α1t + α2 I L 2 ⋅ e α 2 t ⎤ ⎡− R L − 1 L ⎤ ⎡ I L1 ⋅ e α1t + I L 2 ⋅ e α 2 t ⎤
=⎢
⋅⎢
⎢
⎥
α1t
α2t ⎥
0 ⎥⎦ ⎣VC1 ⋅ e α1t + VC 2 ⋅ e α 2 t ⎦
⎣ α1VC1 ⋅ e + α2VC 2 ⋅ e ⎦ ⎣ + 1 C
[4.164]
L'uguaglianza deve valere istante per istante e, poiché ciascuna componente esponenziale evolve
indipendentemente dalle altre, l'uguaglianza deve valere per ogni componente esponenziale;
pertanto:
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⎡ α k I Lk ⎤ ⎡− R L − 1 L ⎤ ⎡ I Lk ⎤
⋅⎢ ⎥
⎥=⎢
⎢
0 ⎥⎦ ⎣VCk ⎦
⎣ α kVCk ⎦ ⎣ + 1 C
1A - Richiami di elettrotecnica
k = 1,2
p. 64 di 64
[4.165]
e quindi:
⎡− R L − αk
⎢ +1 C
⎣
− 1 L ⎤ ⎡ I Lk ⎤ ⎡0⎤
⋅⎢ ⎥ =
− αk ⎥⎦ ⎣VCk ⎦ ⎢⎣0⎥⎦
[4.166]
da cui l'equazione caratteristica [4.161].
Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti vanno utilizzate le condizioni iniziali e va utilizzato il sistema
[4.165] ovvero [4.166] per trovare altre relazioni tra i coefficienti delle varie funzioni. Per prima cosa vanno
trovati gli autovalori, cioè le soluzioni dell'equazione caratteristica. Per ogni valore di k (k = 1,2 ) , quindi per
ogni autovalore, si ha un sistema di due equazioni in due incognite; in realtà, essendo il determinante del
sistema nullo, le due equazioni non sono indipendenti, per cui una sola fornisce tutte le informazioni. Così si
potrà scrivere:
⎧ I L1 + I L 2 = I L 0
⎪
⎪VC1 + VC 2 = VC 0
⎨
⎪(− R L − α1 )I L1 + ⋅(− 1 L ) ⋅ VC1 = 0
⎪⎩(− R L − α 2 ) ⋅ I L 2 + (− 1 L ) ⋅ VC 2 = 0
[4.167]
Le prime due equazioni del sistema utilizzano le condizioni iniziali, la terza e la quarta utilizzano il sistema
[4.166]. Al posto di queste ultime due si sarebbero anche potute usare le altre equazioni del sistema [4.166],
che sono perfettamente equivalenti essendo tali equazioni linearmente dipendenti:
⎧ (+ 1 C ) ⋅ I L1 + α1 ⋅ VC1 = 0
⎨
⎩(+ 1 C ) ⋅ I L 2 + α2 ⋅ VC 2 = 0
[4.168]
Tornando alla [4.163], si noti che con questo metodo si sarebbe potuto scrivere il sistema considerando non
solo le equazioni e le variabili differenziali, ma anche quelle algebriche. Riprendendo la [4.159] e
procedendo con lo stesso metodo si può infatti scrivere:
⎡ αk L R 0 1 C ⎤ ⎡ I Lk ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎥
⎢ 0
0 1 − αk C ⎥⎥ ⎢ I Rk ⎥ ⎢⎢0⎥⎥
⎢
⋅
=
⎢ −1 1 0
0 ⎥ ⎢ I Ck ⎥ ⎢0⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 ⎦ ⎢⎣VCk ⎥⎦ ⎣0⎦
⎣ −1 0 1
[4.169]
Il determinante di questa matrice è ancora la solita equazione caratteristica [4.162].
Tale determinante prende il nome di determinante di rete. Il metodo del determinante di rete è un po' più
"standard" di quanto visto in precedenza. In questo modo si evita di eliminare le funzioni algebriche dalle
equazioni differenziali; tuttavia la matrice risulta di ordine maggiore e il calcolo del determinante di rete, in cui
appare l'incognita α , può risultare oneroso; così pure il sistema algebrico per determinare le condizioni
iniziali [4.167] risulterebbe decisamente più pesante.
Inoltre il metodo del determinante di rete, sia considerando tutte le equazioni, siano esse algebriche o
differenziali [4.169], sia procedendo prima a ridurre e considerando il determinante ridotto del solo sistema
differenziale [4.165] / [4.166], prevede di utilizzare tutti i coefficienti nella forma complessa. Il che può non
rendere le cose più agevoli in un calcolo "a mano".
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Versione 1.00 - ottobre 2010
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A.A. 2010-2011