ottica geometrica ed applicazioni - dieet

OTTICA GEOMETRICA ED APPLICAZIONI
Nell'ottica geometrica la propagazione della luce è rappresentata mediante raggi,
ossia segmenti che, rispettando semplici regole, subiscono una variazione di
direzione nell’interfaccia fra materiali dielettrici differenti.
Un’infinità di raggi pressoché paralleli fra loro e che occupano uno spazio limitato è
chiamato fascio.
Un’infinità di raggi paralleli fra loro che occupano l’intero spazio equivalgono ad
un’onda piana di estensione infinita.
Un'infinità di raggi che hanno origine da un punto con distribuzione angolare
uniforme nello spazio equivalgono ad un'onda sferica.
Il raggio rappresenta, secondo i casi, la direzione di propagazione del fascio,
dell’onda piana o del fronte di un'onda sferica in una certa direzione.
Mediante l'ottica geometrica è possibile spiegare in modo semplice il comportamento
dei componenti ottici elementari come specchi, lamine, prismi e lenti, ed il
funzionamento di base di diversi strumenti ottici.
Rifrazione e riflessione
Un raggio luminoso incidendo con un certo angolo sulla superficie di discontinuità
fra due differenti materiali trasparenti è in parte trasmesso (rifrazione) ed in parte
riflesso (riflessione). Indicando con θ1 e θ2 gli angoli di incidenza e di rifrazione
rispetto alla normale sulla superficie di discontinuità e con n1 ed n2 gli indici di
rifrazione dei corrispondenti mezzi attraversati, vale la seguente legge della
rifrazione (o di Snell): n1 sin θ1 = n2 sin θ2
Indicando poi con θ1' l'angolo di riflessione ed adottando la convenzione che il segno
di un angolo è positivo se questo aumenta ruotando il raggio in senso antiorario, vale
la seguente legge della riflessione: θ1 = - θ1'
ossia l'angolo di riflessione è uguale, in valore assoluto, all'angolo di incidenza.
Inoltre raggio incidente, riflesso e rifratto giacciono tutti sullo stesso piano. La figura
1 illustra quanto affermato.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Quando si passa da un mezzo di un certo indice di rifrazione ad uno di indice più
basso si parla di riflessione interna. Questo si verifica, ad esempio, passando dal
vetro all'aria, ma non viceversa.
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Riflessione interna totale
La legge della rifrazione mostra che per la riflessione interna, al di sopra di un certo
angolo di incidenza, non esiste più il raggio rifratto: essendo l'angolo θ2 maggiore
dell'angolo θ1, esiste un valore di θ1 (angolo critico) per cui si verifica che θ2 è pari a
π/2: θ1c = sin-1(n2/n1)
In questo caso si parla di riflessione interna totale, ossia il raggio è completamente
riflesso. Nel caso di passaggio dal vetro (n ≈ 1,5) all'aria (n ≈ 1) si ha che θ1c ≈ 42°.
Guida ottica
La riflessione interna totale spiega il funzionamento delle guide ottiche ed in
particolare delle fibre ottiche, ossia guide ottiche di sezione circolare, per le quali
l'angolo di accettazione è il valore massimo che può formare un raggio luminoso con
l'asse della fibra affinché rimanga confinato all'interno della stessa. Questo angolo
dipende dall’angolo critico e quindi dal rapporto fra indice di rifrazione della parte
più interna della fibra (nucleo o core) e la parte più esterna (mantello o cladding).
Prisma riflettente
Sulla riflessione interna totale è basato il funzionamento dei prismi riflettenti. In
figura 2 sono mostrati due modi differenti di utilizzare uno stesso prisma isoscele con
un angolo di 90°. Nel primo caso il raggio torna indietro nella stessa direzione di
provenienza mentre nel secondo caso è deviato di 90°. Il vantaggio di utilizzare
questo tipo di specchi è che questi sono privi di perdite a causa dell'assenza di
metallo. Le uniche perdite presenti sono sulle discontinuità di ingresso nel prisma e di
uscita (aria-dielettrico e dielettrico-aria) che comunque possono essere notevolmente
ridotte con un opportuno strato di adattamento, come si vedrà successivamente. Altri
vantaggi sono l'inalterabilità nel tempo (a differenza dei metalli, i dielettrici non si
ossidano) e la resistenza alle elevate intensità luminose (l'assenza di cariche mobili,
tipiche dei metalli, esclude la possibilità di innalzamento di temperatura e
conseguente danneggiamento dovuto alla dissipazione).
Un prisma con tre facce riflettenti disposte ad angolo retto fra loro (figura 3) può
essere visto come una estrapolazione nello spazio del primo prisma della figura 2.
Questo tipo di prisma è detto retroriflettore, o più comunemente catarifrangente, ed è
in grado di rinviare i raggi indipendentemente dalla direzione di provenienza.
Prisma rifrangente
Un raggio luminoso, dipendentemente dagli angoli di incidenza sulle due superfici di
discontinuità, può attraversare un prisma subendo una deviazione del suo percorso.
L'angolo di deviazione δ può essere facilmente determinato osservando la figura 4.
L'angolo di deviazione è dato da:
δ = (θ – θp) + (θ' – θ'p)
Nell'ipotesi che gli angoli θ, θp, θ'p e θ' siano piccoli, per la legge di Snell applicata
sulle due facce del prisma:
θ = n θp e θ' = n θ'p
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La relazione fra gli angoli del triangolo ABC è:
α + (π/2 - θp) + (π/2 – θ'p) = π, dalla quale: α = θp + θ'p
Utilizzando le tre relazioni trovate:
δ = (n – 1) (θp + θ'p) = (n – 1) α
Fig. 4
Si osservi che, almeno per piccoli angoli, l'angolo di deviazione è indipendente
dall'angolo di incidenza mentre dipende dall'angolo al vertice α e dall'indice di
rifrazione del prisma.
Poiché l’indice di rifrazione dei materiali dipende dalla lunghezza d’onda è possibile
realizzare strumenti (spettrometri) in grado di separare le lunghezze d’onda.
A causa della dispersione non molto elevata, gli strumenti così realizzati presentano
una scarsa risoluzione. Risoluzioni molto più elevate possono essere ottenute
utilizzando reticoli di diffrazione o risuonatori accordabili, come si vedrà
successivamente.
Lente
Una lente, almeno quella classica, è costituita da un volume dielettrico delimitato da
due superfici sferiche. Per spiegare il comportamento di una lente è utile inizialmente
analizzare il percorso di un raggio che incide sulla superficie di discontinuità sferica
fra due differenti dielettrici.
Con riferimento alla figura 5 si consideri un punto A da cui parte un raggio che
raggiunge in P la superficie sferica, il cui centro si trova in C. Il raggio, subendo una
rifrazione in P, interseca la retta (asse del componente ottico) passante per A e C in
A'. Il punto A' è detto immagine di A. Si deve stabilire la relazione che intercorre fra
la posizione di A e quella di A'. Si adotta la convenzione che tutte le quantità che si
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trovano nello spazio (spazio oggetto) a sinistra della discontinuità sono rappresentate
prive di apice ('), viceversa quelle a destra (spazio immagine). Inoltre le distanze sono
positive se riferite a punti che si trovano a destra o in alto rispetto al punto O,
intersezione della superficie sferica con l'asse passante per A e C. Per quanto riguarda
gli angoli, i segni sono determinati trigonometricamente; ad esempio l'angolo φ è
negativo perché è negativa la sua tangente, essendo data dal rapporto fra una quantità
positiva (y) ed una negativa (l).
Per il triangolo PAC si ha:
φ + α + (π - θ) = π
dalla quale:
θ=α+φ
e per il triangolo PCA':
φ' + (π - α) + θ' = π
dalla quale:
θ' = α – φ'
Fig. 5
Si adotta l'approssimazione parassiale, ossia si ipotizza che i raggi formano angoli
piccoli con l'asse e conseguentemente y è piccolo rispetto ad l, l' ed R, così come
sono piccoli gli angoli θ ed θ' e quindi i seni e le tangenti degli angoli possono essere
approssimati agli stessi angoli. Inoltre in queste condizioni si può supporre la base del
segmento y coincidente con il punto O, intersezione della superficie sferica con l'asse
che passa per A e C.
In queste condizioni la legge di Snell applicata nel punto P è:
n θ = n' θ'
Sostituendo ad θ ed θ' le espressioni precedentemente trovate:
n (α + φ) = n' (α – φ')
Sempre per l'ipotesi raggi parassiali:
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φ = y/l, φ'=y/l', α=y/R
e la precedente diventa:
n (y/R + y/l) = n' (y/R - y/l')
Dividendo per il fattore comune y ed ordinando:
n'/l' + n/l = (n' – n)/R
Infine per la convenzione dei segni la distanza l deve assumere segno negativo e
quindi la relazione che lega la posizione dell'oggetto A alla sua immagine A',
nell'ipotesi di raggi parassiali, è:
n ' n n '−n
− =
l' l
R
I punti A ed A' sono detti punti coniugati, così come coniugate sono le distanze l ed
l'.
Quando non è più valida l'ipotesi di raggi parassiali (distanza del punto P da O non
trascurabile) i raggi, dipendentemente dalla distanza y, incidono sull'asse in punti
nell'intorno di A. In questo caso si dice che l'immagine soffre di aberrazione.
Una lente, come detto in precedenza, è costituita da un dielettrico racchiuso da due
superfici sferiche quindi la relazione che lega la posizione dell'oggetto alla sua
immagine può essere trovata facilmente utilizzando la relazione precedente
nell'ipotesi che la distanza fra le due superfici sia piccola rispetto alle altre quantità (l,
l', R). In questo caso si parla di lente sottile. Ipotizzando che la lente di indice di
rifrazione n si trova in aria (n ≈ 1) e con riferimento alla figura 6, la posizione (l1')
dell'immagine dovuta alla prima superficie di discontinuità di raggio R1 à data da:
n 1 n −1
− =
R1
l1' l
Il raggio non raggiunge il punto A1' perché è intercettato dalla seconda superficie di
discontinuità di raggio R2.
Fig. 6
La seconda superficie si comporta come se l'oggetto fosse posizionato in A1', alla
distanza l1' dal centro della lente. Applicando nuovamente l'equazione della
discontinuità per la seconda superficie si ha:
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1 n 1− n
− =
R2
l ' l1'
Sommando le ultime due equazioni ed eliminando l1' si ottiene l'equazione dei
fabbricanti di lenti:
 1
1 1
1 

− = (n − 1) −
l' l
R
R
 1
2
Definendo la quantità:
 1
1
1 

= (n − 1)
−
f'
 R1 R 2 
la precedente può essere riscritta nel seguente modo:
1 1 1
− =
l' l f '
che prende il nome di equazione della lente. La quantità f' prende il nome di
lunghezza focale della lente e rappresenta la posizione dell'immagine del punto
oggetto che si trova all'infinito o il punto dove convergono tutti i raggi paralleli
all'asse che provengono dall'infinito. Questo punto è chiamato punto focale
secondario ed è indicato con F' in figura 7. Analogamente per i raggi paralleli all'asse
che provengono da destra si definisce il punto focale primario, indicato con F in
figura 7. Dall'equazione della lente risulta che f = -f'.
Fig. 7
Costruzione dell'immagine
L'immagine di un punto generico appartenente ad un oggetto può essere determinata
graficamente applicando al percorso dei raggi due delle tre regole seguenti:
- un raggio parallelo all'asse passa per il fuoco della lente dopo averla attraversata;
- un raggio che passa per il fuoco della lente procede parallelo all'asse dopo averla
attraversata (duale della precedente);
- un raggio che passa per il centro della lente non subisce deviazioni.
Le prime due regole derivano dalla definizione di fuoco della lente, la terza dalla
considerazione che in prossimità dell'asse la lente ha un comportamento da lamina,
essendo le facce piane e parallele.
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Classificazione delle lenti
Le lenti sono classificate in positive o convergenti, ossia quelle che deflettono su un
punto dell'asse tutti i raggi paralleli all'asse che la attraversano, e negative o
divergenti, che hanno un comportamento opposto.
Come si può osservare nella figure 8 e 9, le lenti positive sono caratterizzate
dall'essere più spesse al centro. Il contrario si verifica per le negative. Inoltre le lenti
possono essere classificate in base alla capacità o meno di proiettare un'immagine su
uno schermo. Nel caso questo sia possibile si parla di immagine reale. Una lente
positiva proietta un'immagine reale invertita (figura 10a) se l'oggetto è posto alla
sinistra del suo punto focale primario F; quando l'oggetto si trova sul fuoco
l'immagine è proiettata all'infinito; quando l'oggetto si trova fra il punto focale
primario F e la lente, l'immagine è eretta e virtuale (figura 10b).
Fig. 8
Fig. 9
Fig. 10
Una lente positiva non deve avere necessariamente tutte e due le superfici convesse
(lente biconvessa, fig. 8a): una può essere piana (lente piano-convessa, fig. 8b) o
concava (menisco convergente, fig. 8c) purché sia più spessa nella parte centrale.
Le lenti negative sono caratterizzate dall’avere il fuoco secondario nello stesso
semipiano da cui provengono i raggi e quindi la quantità f ' è negativa e non possono
proiettare un'immagine reale di un oggetto. Le lenti divergenti generano immagini
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virtuali erette (figura 10c). L'unico caso in cui una lente negativa genera un'immagine
reale è quando intercetta l'immagine generata da una lente positiva e la allontana
(figura 10d). Le lenti negative non devono avere necessariamente entrambe le facce
concave (lenti biconcave, fig. 9a): una può essere piana (lente piano-concava, fig. 9b)
o convessa (menisco divergente, fig. 9c) purché sia più sottile nella parte centrale.
Specchi sferici
Il formalismo sviluppato per le lenti può essere esteso agli specchi. La legge della
riflessione θ1 = - θ1' può essere riscritta formalmente, nell'ipotesi di raggi parassiali,
nel seguente modo: 1·sin θ1 = -1·sin θ1' che non è altro che la legge della rifrazione.
Quindi uno specchio può essere visto come una superficie di discontinuità fra due
dielettrici di indice di rifrazione n = 1 e n' = -1 e conseguentemente, applicando la
relazione che lega la posizione dell'oggetto con quella della sua immagine, si ottiene:
1 1 2
+ =
l' l R
dove R è il raggio di curvatura della superficie dello specchio. Con le stesse
considerazioni fatte per le lenti: f' = R/2.
Gli specchi sono classificati in concavi e convessi. Gli specchi concavi, così come le
lenti convergenti, proiettano un'immagine reale capovolta se l'oggetto è posto oltre il
piano focale (figura 11a) mentre quelli convessi un'immagine virtuale eretta (figura
11b).
Fig. 11
Lenti spesse
Nel caso in cui la lente non può essere considerata sottile esistono due piani che la
individuano e consentono di poterla trattare come una lente sottile.
Si tracci il percorso di un raggio parallelo all'asse ottico che attraversa una lente
spessa. Il raggio è sottoposto a due rifrazioni sulle superfici di discontinuità. I
prolungamenti del raggio incidente e del raggio emergente, indicati con tratteggio in
figura 12, si intersecano in un punto (Q' in figura) che giace su un piano ortogonale
all'asse della lente in P'. E' come se in P' si trovasse il centro di una lente sottile di
lunghezza focale pari alla distanza P'F'. Il punto P' ed il piano passante per P' sono
chiamati rispettivamente punto principale secondario e piano principale secondario.
Se si prova a tracciare un raggio che parte dal fuoco primario F e si ripete la
costruzione si ottiene un altro punto ed il corrispondente piano che interseca l'asse nel
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punto P. Punto P e piano passante per il punto prendono il nome rispettivamente di
punto principale primario e piano principale primario. In genere P e P' non
coincidono e in alcuni casi possono trovarsi all'esterno della lente.
Fig. 12
La stessa costruzione può essere applicata ad un sistema di più lenti, individuando i
punti di intersezione dei prolungamenti dei raggi entranti e di quelli uscenti. Si
troveranno due piani principali sui quali si può pensare possa essere sistemata una
lente sottile, dipendentemente se i raggio provengono da sinistra o destra, come
mostrato in figura 13.
Fig. 13
I quattro punti F, F', P e P' sono chiamati punti cardinali della lente e consentono la
costruzione dell'immagine di un oggetto, come indicato in figura 14.
Fig. 14
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Si osservi che nell'intercapedine fra i due piani principali i raggi non subiscono
alcuna variazione di quota. La regione fra i due piani principali è chiamata spazio
morto della lente. L'equazione trovata per le lenti sottili è valida anche per le lenti
spesse purché le distanze dell'oggetto e della sua immagine vengano misurate con
riferimento ai punti P e P'.
Si definisce la distanza di lavoro come la distanza fra il fuoco e la superficie della
lente. Ovviamente questa distanza non coincide con la distanza focale.
Le regole illustrate per la costruzione dell'immagine nelle lenti sottili sono ancora
valide per lenti spesse, se si prendono in considerazione i piani principali, come è
possibile vedere nella figura 14.
Ingrandimento
L'ingrandimento (lineare) è definito come il rapporto fra la dimensione dell'immagine
e quella dell'oggetto ed è anche pari al rapporto fra la distanza dell'immagine e la
distanza dell'oggetto dai piani principali secondario e primario, come è possibile
vedere in figura 15.
Fig. 15
Nel caso rappresentato l'ingrandimento è negativo perché dato dal rapporto fra una
quantità positiva (l') ed una negativa (l). Si osservi il capovolgimento dell'immagine
rispetto all'oggetto. Esistono disposizioni in cui l'ingrandimento è positivo, come ad
esempio quello rappresentato in figura 10b.
Forma di Newton dell'equazione della lente
Con riferimento alla figura 16, dai triangoli simili, rispettivamente di sinistra e di
destra:
h/x=h'/f
e
h'/x'=h/f'
Risolvendo entrambe le equazioni rispetto a h'/h ed eguagliando, si ottiene:
x x' = f f'
Poiché f ed x sono quantità entrambe negative non è necessario cambiare il segno
nell'equazione. Per una lente in cui entrambe le facce sono a contatto dell'aria f'=-f e
quindi:
x x' = - f'2
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Fig. 16
Questa è chiamata forma di Newton dell'equazione della lente ed è particolarmente
utile nella determinazione della lunghezza focale quando non è possibile individuare
il piano o i piani principali, come nel caso di lenti spesse; nel caso di lenti spesse
convergenti è sempre possibilmente individuare sperimentalmente i piani focali
rispetto ad un piano di riferimento arbitrario.
Apertura relativa
Si definisce apertura di un componente ottico (specchio o lente) il rapporto fra il
diametro e la distanza focale. L'apertura è responsabile della quantità di raggi (ossia
di energia luminosa) raccolti. Maggiore è l'apertura e maggiore è l'angolo solido entro
cui si trovano i raggi che convergono sul fuoco e che provengono dall'infinito. In
campo fotografico l'apertura si misura con il suo inverso (distanza focale / diametro)
e l'unità di misura è lo stop.
Aberrazioni e cenni sulle possibili correzioni
Negli specchi e nelle lenti è presente l'aberrazione sferica. A causa dall'apertura
elevata i raggi non possono essere considerati parassiali e conseguentemente non tutti
i raggi paralleli all'asse si intersecano esattamente nel fuoco. L'aberrazione sferica si
manifesta con disco luminoso più o meno esteso sul piano focale quale immagine di
una sorgente luminosa puntiforme che si trova a grande distanza. L'aberrazione
sferica può essere eliminata utilizzando specchi o lenti con superfici paraboliche
anziché sferiche.
Altra aberrazione dovuta alla geometria e presente sia negli specchi sia nelle lenti è
l'astigmatismo. Lo si può avere anche quando il componente ottico è caratterizzato da
un'apertura piccola ed è dovuto al fatto che i raggi luminosi incidono sul componente
lungo una direzione che forma un angolo grande rispetto al suo asse, ed equivale ad
utilizzare una zona laterale di un componente molto più esteso e quindi di grande
apertura. L'astigmatismo si manifesta con un'area luminosa ellittica più o meno
schiacciata sul piano focale quale immagine di una sorgente luminosa puntiforme che
si trova a grande distanza.
L’astigmatismo può anche essere causato dall’attraversamento con angolo grande di
una lamina da parte di un fascio (insieme di raggi), come mostrato in figura 17.
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Fig. 17
L'aberrazione dovuta alla dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda
(dispersione), quindi non presente negli specchi, è l'aberrazione cromatica. Questa si
manifesta nel mettere a fuoco su piani diversi i colori di oggetti policromatici. Per
una lente convergente in vetro la lunghezza focale del blu è minore della lunghezza
focale del rosso, come è possibile vedere dall’equazione dei fabbricanti di lenti e
ricordando che l'indice aumenta con il diminuire della lunghezza d'onda.
La tecnica di correzione dell'aberrazione cromatica è basata sull'utilizzo di una coppia
di lenti, una convergente e l'altra divergente, realizzate con materiali di differente
dispersione.
Per comprendere il meccanismo è conveniente analizzare il comportamento di un
prisma attraversato da un raggio che, come già visto, devia un raggio luminoso della
quantità:
δ ≈ (n – 1) α
ossia l'angolo di deviazione, per angoli piccoli, è indipendente dall'angolo di
incidenza e dipende, oltre che dall'angolo α, dalla quantità (n-1), in modo analogo a
quanto si verifica per le lenti (equazione dei fabbricanti di lenti).
Nella tabella I è riportata la quantità (n-1) per due diversi tipi di vetro e per tre
differenti lunghezze d'onda, nonché le variazioni al cambiare del materiale e nel
passare da un estremo all'altro del campo visibile. Si osserva che il valore medio della
quantità n-1 per il vetro Flint è circa il 20% più grande mentre la dispersione è
doppia. Conseguentemente un prisma di vetro Flint genera un allargamento angolare
dei raggi policromatici doppio di quello generato da un prisma di vetro Crown e
quindi per compensare la dispersione dovuta ad un prisma di tipo Crown di angolo al
vertice α è sufficiente utilizzare un prisma di vetro Flint ribaltato con un angolo al
vertice pari a α/2. E' però ancora presente una deviazione complessiva dei raggi
perché gli angoli di deflessione sono uno il doppio dell'altro mentre la variazione di
indice è solo del 20%.
Tabella I
rosso
giallo
blu
∆n rosso-blu
Vetro Flint
0,644
0,650
0,665
0,021
Vetro Crown
0,517
0,520
0,527
0,010
∆n Flint-Crown
0,127
0,130
0,138
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Ragionamento analogo può essere esteso alle lenti, immaginando che queste siano
costituite da un insieme di tronchi di prisma.
Estensione delle leggi dell'ottica geometrica alle onde sferiche
Le onde sferiche, ossia le onde generate da una sorgente puntiforme caratterizzata da
un diagramma di radiazione isotropo, possono essere rappresentate da un'infinità di
raggi che hanno origine da un punto.
Devono pertanto valere le stesse leggi dell'ottica geometrica, con l'accorgimento di
tenere in considerazione la convenzione dei segni: il raggio di curvatura è positivo se
l'onda "si apre", ossia se il raggio aumenta con l'aumentare della distanza dalla
sorgente.
Pertanto l'equazione della lente, indicando con R1= - o il raggio di curvatura dell'onda
sferica che proviene dalla sorgente puntiforme nel punto in cui raggiunge la lente e
con - R2 = i il raggio di curvatura dell'onda sferica immediatamente dopo la lente,
diventa:
1
1 1
=
−
R 2 R1 f '
Per le onde sferiche vale inoltre l'ovvia relazione che dà il raggio di curvatura in un
determinato punto, noto il raggio di curvatura in un altro punto e nota la distanza fra i
due punti:
R2 = R1 + (z2 – z1)
PRINCIPALI STRUMENTI OTTICI
Occhio umano
Il sistema ottico dell'occhio umano (fig, 18) è costituito dalla cornea, calotta sferica
trasparente, e dal cristallino ("Lens" in figura). L'interno dell'occhio consiste in un
fluido trasparente il cui indice di rifrazione è 1,33, pari a quello dell'acqua. Il
cristallino ha un indice di rifrazione più alto, circa 1,4. L'occhio mette a fuoco le
immagini sulla superficie fotosensibile, la retina, mediante la contrazione di muscoli
involontari che deformano il cristallino e conseguentemente ne fanno diminuire la
lunghezza focale.
I punti principali dell'occhio sono pressoché coincidenti e localizzati a circa 2 mm
dietro la cornea ed a 22 mm dalla retina. Inoltre l'occhio è dotato di un diaframma
variabile, l'iride, posto immediatamente davanti il cristallino. L'iride, anch'essa
azionata dalla contrazione di muscoli involontari, controlla la quantità di luce che
raggiunge la retina.
Nell'ottica fisiologica, anziché di lunghezza focale, si parla di potenza di una lente,
definita come il rapporto fra l'indice di rifrazione del mezzo in cui si trova immersa la
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lente e la lunghezza focale (espressa in metri) della lente. L'unità di misura è la
diottria (D). Una lente convergente la cui lunghezza focale è pari ad un metro che si
trova immersa nell'aria (n ≈ 1) ha la potenza di una diottria. Si preferisce utilizzare
questa quantità perché le potenze di lenti adiacenti si sommano algebricamente.
Fig. 18
La potenza della cornea di un occhio normale è circa 43 D, quella del cristallino 17
D. Quindi la potenza totale dell'occhio è circa 60 D.
L'attitudine dell'occhio a focalizzare oggetti vicini mediante contrazione dei muscoli
del cristallino è chiamata accomodamento. Questa attitudine diminuisce con l'età per
cui, mediamente oltre i 40 anni, è necessario utilizzare "lenti da lettura".
La minima distanza a cui l'occhio è in grado di focalizzare un oggetto, che dipende
dall'accomodamento, è chiamata distanza di visione distinta "dv" ed è definita pari a
25 cm. Questa è la distanza di visione distinta di un individuo medio di 40 anni di età.
I bambini possono mettere a fuoco facilmente oggetti posti a distanze di pochi
centimetri.
La perdita di accomodamento è chiamata presbiopia e la si corregge con lenti
convergenti. Se la potenza dell'occhio è eccessiva e quindi la superficie focale si
trova prima della retina si parla di miopia e la si corregge con lenti divergenti. Se la
potenza dell'occhio è insufficiente e quindi la superficie focale si trova oltre la retina
si parla di ipermetropia e la si corregge con lenti convergenti. L'astigmatismo è
dovuto al fatto che a volte la superficie della cornea non è una calotta sferica ma una
calotta di un ellissoide più o meno schiacciato e si lo corregge con le lenti cilindriche.
Le contrazioni dell'iride adattano l'occhio a differenti livelli luminosi. Tipicamente
l'apertura dell'iride varia dai 2 agli 8 mm, passando dalla luce intensa al buio. Si può
assumere che in condizioni normali l'iride ha un diametro di 5 mm.
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La retina è costituita da piccoli sensori di radiazione luminosa chiamati bastoncelli e
coni.
I coni danno l'informazione sui colori ma sono poco sensibili mentre i bastoncelli
danno informazione sulla sola intensità ma sono più sensibili. Questo è il motivo per
cui in condizioni di bassa luminosità è pressoché impossibile distinguere i colori. I
coni sono più addensati in prossimità della fovea quindi in questa area si ha la
massima risoluzione. L'occhio, fissando un oggetto, tende istintivamente, agendo
sulla rotazione del bulbo, a formare l'immagine in prossimità della fovea.
I bastoncelli sono posizionati per la maggior parte al di fuori della fovea, dove sono
presenti pochi coni ed inoltre pochi bastoncelli occupano la zona della fovea. Per
questo motivo è difficile una visione distinta in condizioni di scarsa illuminazione.
I coni in prossimità della fovea sono distanziati in modo tale da sottendere un arco,
centrato sui punti principali, pari a circa 0,15 mrad. L'occhio è in grado di distinguere
due punti se le loro immagini sono separate almeno di un cono ossia quando i due
punti sottendono un arco, centrato sui punti principali, maggiore od uguale a circa 0,3
mrad. Per un oggetto posto alla distanza dv questo corrisponde ad una risoluzione
limite poco inferiore a 0,1 mm, che è pressoché uguale a quella che si può calcolare
con la teoria della diffrazione considerando una lente del diametro di 2mm (apertura
dell'iride in presenza di elevata luminosità) e una lunghezza focale pari a quella
dell'occhio. In sostanza, una maggiore densità dei coni non produrrebbe una migliore
risoluzione.
L'occhio umano è in grado di percepire lo spettro luminoso compreso
approssimativamente fra 400 e 700 nm. I coni sono più sensibili alla radiazione verde
(campo attorno a 550 nm) che corrisponde al massimo dell'emissione solare nel
visibile. I bastoncelli sono più sensibili alle lunghezze d'onda minori, ossia a quelle
che si avvicinano al blu.
Camera fotografica
Come l'occhio, la camera fotografica è costituita da una lente (obiettivo), un'iride
(diaframma) e da un piano sensibile alla luce dove è posta la lastra fotografica o, più
modernamente, un insieme di fotorivelatori (CCD). Inoltre è presente un otturatore
che consente di esporre la lastra fotografica, o il suo equivalente, per un intervallo di
tempo opportuno. La messa a fuoco avviene agendo sulla distanza dell'obiettivo dal
piano della lastra. Normalmente l'obiettivo è costituito da un insieme di lenti in grado
di correggere le varie aberrazioni che nascerebbero dall'utilizzo di una semplice lente.
Fra le lenti dell'obiettivo è inserito il diaframma la cui apertura può essere variata
meccanicamente e usualmente è calibrata in stop. Nel passaggio da uno stop all'altro
l'apertura (rapporto fra la distanza focale della lente e il suo diametro) varia nel
seguente modo: 1,4 - 2 - 2,8 - 4 - 5,6 - 8 - 11 - 16 - 22, ossia è una progressione
geometria di ragione pari a circa (2)1/2. Il passaggio da uno stop al successivo cambia
l'esposizione di un fattore 2, ossia dimezza, o raddoppia, la quantità di luce (numero
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di fotoni) che raggiunge la superficie fotosensibile in un dato intervallo di tempo
(apertura dell'otturatore) perché il diametro della lente varia di 21/2 e la sezione si
dimezza o raddoppia.
L'otturatore può trovarsi fra le lenti dell'obiettivo o in prossimità del piano focale.
Spesso il tempo di apertura dell'otturatore è indicato in frazioni di secondi: 1/2000 –
1/1000 – 1/500 – 1/250 – 1/125 – 1/60 – 1/30 – 1/15 - ... ossia ciascun tempo di
esposizione differisce dal seguente di un fattore 2. Dal punto di vista quantità di luce
(numero di fotoni) che raggiunge la superficie fotosensibile, dimezzare il tempo di
esposizione equivale a dimezzare l'area utile della lente ossia aumentare di uno stop
l'apertura. In sostanza, quando si vuole diminuire il tempo di esposizione si deve
aumentare l'apertura dell'obiettivo se si vuole mantenere invariata la quantità di luce
che raggiunge la superficie fotosensibile.
Una quantità d'interesse in campo fotografico è la profondità di campo. Osservando
la figura 19 si vede che un punto posto a distanza diversa da quella per cui era stato
posizionato l'obiettivo è focalizzato su un piano diverso da quello in cui si trova
l'elemento fotosensibile. Su questo, anziché un punto si forma un'area circolare più o
meno estesa.
Fig. 19
Si definisce profondità di campo l'intervallo di distanze per le quali l'area circolare
che si forma ha dimensione uguale o inferiore al singolo elemento fotosensibile. E'
ovvio che in questo campo l'immagine di un oggetto, visto come un insieme di
piccole aree, risulta ancora nitida.
La profondità di campo diminuisce con l'aumentare dell'apertura. Infatti ad una
apertura maggiore corrisponde un angolo solido maggiore e, con riferimento alla
figura 19, anche l'area circolare risulta maggiore. Per ritrovare la stessa area circolare
è necessario spostare il piano verso destra, ossia diminuire δ.
Sistemi di proiezione
Nei sistemi di proiezione l'oggetto, ossia la lastra semitrasparente nella quale sono
registrate le informazioni da proiettare, è illuminato da una lampada da proiezione, L
in figura 20, di elevata intensità.
La lente CL (condensatore) e lo specchio M hanno la funzione di convogliare la
maggiore quantità possibile di raggi luminosi emessi dalla lampada sulla superficie
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dell'oggetto, oltre che illuminarlo uniformemente. La migliore efficienza di ottiene
quando la lente CL genera l'immagine della lampada L sulla lente di proiezione PL,
riempiendola totalmente. Pertanto la lampada L non deve essere puntiforme ma deve
avere una superficie emittente piuttosto grande. Normalmente queste lampade sono
costituite da diversi filamenti disposti in modo tale da occupare complessivamente
una superficie rettangolare o quadrata.
Contrariamente alla lente PL, lo specchio M e la lente CL non devono essere
necessariamente di elevata qualità perché hanno la sola funzione di illuminare
l'oggetto, non di proiettare la sua immagine. Lo specchio M è di tipo dicroico, ossia
riflette soltanto la radiazione visibile mentre si lascia attraversare da quella infrarossa.
La lente CL poi assorbe la radiazione infrarossa ma è attraversata da quella visibile.
In questo modo sia lo specchio M che la lente CL contribuiscono ad evitare il
surriscaldamento della lastra semitrasparente (oggetto) che potrebbe danneggiarsi per
una temperatura troppo elevata. Lente condensatrice, specchio dicroico e lampada
sono comunemente raffreddati da un flusso forzato di aria.
Fig. 20
Lente di ingrandimento o microscopio semplice
Volendo esaminare i dettagli di un oggetto, questo lo si deve avvicinare all'occhio; in
tal modo aumenta l'angolo visuale, dato dal rapporto fra la dimensione (h) del
particolare e la distanza (d) oggetto-occhio: h/d. Questo angolo visuale, affinché il
dettaglio possa essere distinto dall'occhio umano non deve essere inferiore a 0,3
mrad, come detto a proposito del funzionamento dell'occhio. Ma la distanza d non
può essere ridotta oltre un certo limite perché al di sotto di questo (dv) l'occhio non è
più in grado di mettere a fuoco. Quindi l'angolo visuale massimo è h/dv. Mediante
una lente convergente di lunghezza focale opportuna è possibile ridurre questa
distanza e quindi aumentare l'angolo visuale, come descritto più sotto.
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Fig. 21
Se un oggetto si trova sul fuoco di una lente convergente di lunghezza focale f la sua
immagine è proiettata all'infinito e l'angolo visuale con cui l'occhio vede l'immagine
dell'oggetto è: h/f, come mostrato in figura 21. Con riferimento a questa figura
l'occhio deve trovarsi immediatamente a destra della lente.
L'ingrandimento, ossia il rapporto fra l'angolo visuale in presenza di lente e quello in
assenza, è: (h/f)/(h/dv), ossia dv/f. Affinché si abbia effettivo ingrandimento è
necessario che la distanza focale della lente sia inferiore a dv, ossia 25cm.
Si osservi che utilizzando una lente di ingrandimento l'immagine si forma all'infinito
o quasi e quindi l'occhio lavora nelle condizioni migliori (muscoli del cristallino
rilassati).
Utilizzando lenti semplici, ossia non corrette dalle aberrazioni, non è possibile
raggiungere ingrandimenti superiori a 5 ed ottenere immagini di buona qualità.
Utilizzando lenti composte (chiamate oculari) è possibile raggiungere ingrandimenti
dell'ordine di 10 ed oltre.
Microscopio o microscopio composto.
Il microscopio è costituito, concettualmente, da due lenti: obiettivo ed oculare. Come
si vede in figura 22, l'oggetto è posto in prossimità dell'obiettivo, ad una distanza un
poco superiore alla sua distanza focale (Fo'), e la sua immagine è proiettata su un
piano nel quale si trova il fuoco (Fe) dell'oculare. In questo modo l'occhio, posto in
prossimità dell'oculare vede l'immagine dell'oggetto proiettata all'infinito, come
avviene nel microscopio semplice. La distanza fra il fuoco secondario dell'obiettivo
(Fo') ed il fuoco primario dell'oculare (Fe) è chiamata lunghezza del tubo (g),
standardizzata e nella maggior parte dei microscopi commerciali pari a 160 mm.
Fig. 22
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Osservando la figura 22, l'ingrandimento (lineare) dovuto all'obiettivo è –g/fo', mentre
l'ingrandimento (angolare) dell'oculare, come visto a proposito del microscopio
semplice, è dv/fe. Pertanto l'ingrandimento complessivo è il prodotto dei due
ingrandimenti, ossia -gdv/(fo'fe). Il segno meno indica un capovolgimento
dell'immagine.
Avendo fissato la lunghezza del tubo, l'obiettivo può essere identificato
dall'ingrandimento. Si parla di obiettivi da 10X, 20X, 40X, ... Un obiettivo da 10X ha
quindi una lunghezza focale di 16 mm. Dell'obiettivo, così come in tutti le lenti, si
specifica anche l'apertura numerica, ossia il rapporto fra la lunghezza focale della
lente equivalente ed il suo diametro.
Telescopio, filtro spaziale ed espansore di fascio
Il telescopio è utilizzato per osservare oggetti relativamente grandi posti a
grandissima distanza. Come il microscopio, l'obiettivo del telescopio proietta
l'immagine dell'oggetto sul piano focale di un oculare al quale si avvicina l'occhio,
come mostrato in figura 23.
Si supponga che l'oggetto sia molto distante ma abbastanza grande da essere visto ad
occhio nudo con un angolo visuale α. L'occhio, utilizzando il telescopio, vedrà
l'immagine dell'oggetto con angolo α'. Si definisce l'ingrandimento del telescopio il
rapporto fra l'angolo visuale in presenza di strumento ed in assenza (α'/α), in modo
analogo a quanto fatto per la lente di ingrandimento.
Dalla figura 23 risulta che α=h'/fo' e α'=h'/fe', pertanto l'ingrandimento è pari a - fo'/ fe'.
Il segno negativo giustifica il capovolgimento dell'immagine. Per ottenere un buon
ingrandimento è necessario utilizzare una lente obiettivo di grande lunghezza focale
ed un oculare di piccola lunghezza focale.
Fig. 23
Con riferimento alla figura 24, se sul piano focale comune alle due lenti si inserisce
un diaframma il cui foro è centrato sull'asse del sistema ottico, è possibile bloccare
tutti i raggi che formano con l'asse un angolo superiore ad un dato valore. Tale
dispositivo viene chiamato filtro spaziale e può essere utilizzato per "pulire" un
fascio, ossia eliminare i raggi che formano con l'asse un angolo differente dal voluto.
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Si osservi che se oculare ed obiettivo hanno la stessa lunghezza focale
l'ingrandimento è unitario e la presenza di un diaframma sul piano focale comune
"pulisce" il fascio che rimane inalterato nella dimensione trasversale.
Viceversa un sistema costituito da due lenti di lunghezza focale differente è in grado,
oltre che di "pulire" il fascio, di trasformarlo, ossia di espanderlo o restringerlo. In
questo caso si è realizzato un espansore di fascio.
Il telescopio descritto provoca un capovolgimento dell'immagine. Questo non è un
problema per le osservazioni astronomiche ma lo è per quelle terrestri. Per ottenere
l'immagine dritta si può utilizzare un telescopio galileiano (figura 25) nel quale
l'oculare è costituito da una lente divergente il cui fuoco (negativo) è sovrapposto
ancora al fuoco dell'obiettivo, oppure si può utilizzare una terza lente che ha la sola
funzione di capovolgere nuovamente l'immagine, come mostrato in figura 26.
Fig. 24
Fig. 25
Fig. 26
La necessità di avere a disposizione lenti di lunga distanza focale per ottenere un
buon ingrandimento costringe ad utilizzare lenti di grande diametro se si vuole avere
un'apertura tale da raccogliere un'energia luminosa sufficiente. Lenti di grande
diametro sono pesanti e costose per cui si preferisce sostituire alle lente obiettivo uno
specchio. Su questo principio sono state messe a punto diverse soluzioni, alcune delle
quali sono rappresentate in figura 27. Gli aggiustamenti fini di puntamento del
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telescopio vengono usualmente compiuti sugli specchi di rinvio (o sulla lente oculare,
nel telescopio di Herschel) perché questi hanno dimensioni molto minori dello
specchio obiettivo.
Fig. 27
Bibliografia
- M. Young, "Optics and Lasers", Springer-Verlag
- W.J. Smith, Modern Optical Engineering - McGraw-Hill
- B. Rossi, "Optics", Addison-Wesley
Problemi
1 - Due specchi piani formano fra loro un angolo α minore di π. Un raggio luminoso
incidendo su uno dei due specchi con un angolo a viene riflesso ed inviato sull'altro
specchio dal quale emerge con un angolo b. Determinare l'angolo δ formato dai raggi
incidente ed emergente.
2 - Un raggio luminoso incide con un angolo θ sulla superficie di un prisma di vetro
di angolo α. L'angolo θ è scelto in modo che il raggio uscente dal prisma formi
anch'esso un angolo θ con la normale alla faccia da cui esce. Questa è la condizione
per cui si verifica il minimo di deflessione. Ricavare un'espressione per l'indice di
rifrazione del materiale di cui è costituito il prisma.
3 - Una fibra ottica di diametro d è piegata in modo con il raggio di curvatura del suo
asse sia r+(d/2). Un fascio di raggi di luce incide normalmente su una estremità della
fibra. Calcolare il valore minimo del rapporto r/d affinché tutta la luce che entra nella
fibra possa essere ritrovata in uscita.
4 - Dimostrare che, per angoli piccoli, una lamina di vetro allontana l'immagine di un
oggetto della quantità d(1-1/n), dove d è lo spessore della lamina ed n il suo indice di
rifrazione.
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5 - Determinare la lunghezza focale della combinazione di due lenti sottili di focale
f1 e f2 in contatto fra loro.
6- Determinare la lunghezza focale della combinazione di una lente di focale f e di
uno specchio di raggio di curvatura r in contatto fra loro.
7 - Stabilito che il piano di riferimento di un obiettivo fotografico è l'estremità portafiltri, da misure sperimentali risulta che il piano focale nello "spazio oggetti" si trova
a 11,5 cm ed il piano focale nello "spazio immagini" si trova ad 11,0 cm dal piano di
riferimento. Inoltre un oggetto posto alla distanza di 29,0 cm ha la sua immagine alla
distanza di 16,0 cm, sempre dal piano. In base a queste informazioni si determini la
lunghezza focale dell'obiettivo.
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