Fisica I - Ing. Sicurezza e Protezione, prof. Schiavi A.A. 2004

Fisica I - Ing. Sicurezza e Protezione, prof. Schiavi
A.A. 2004-2005
Soluzioni proposte per il Foglio di Esercizi n. 2
2.1. Il proiettile ed il sasso cadono lungo y per effetto della accelerazione di gravità con la
stessa legge:
1
1
y(t) = y0 + vy0 t − gt2 = h − gt2
2
2
q
e toccano terra allo stesso istante t̄ = 2h
= 0.4517 s. Mentre il sasso cade sulla
g
verticale, il proiettile percorre in orizzontale una distanza pari a d = vx t̄ = 600 ∗
0.4517 = 271 m.
2.2. Il corpo fermo sulla superficie della Terra percorre un moto circolare
uniforme di raggio r = RRT cos θ = 5516, 6 km. La velocità angolare
2π
2π
della Terra è ω = 2π
= 24h
= 24·3600
= 7.25 · 10−5 rad/s. Possiamo
T
ora ricavare il modulo della velocità e dell’accelerazione centripeta
del corpo
v = ωr = ω RRT cos θ = 400 m/s
v2
ar =
= ω 2 r = ω 2 RRT cos θ = 2.9 · 10−2 m/s2
r
w
RRTcosq
q
2.3. Indicando con t̄ il tempo per arrivare al suolo, scriviamo:
1 2
g t̄
2
1
H −h =
g(t̄ − τ )2
2
H =
(1)
(2)
Sottraendo (2) − (1):
1
−h = gτ (τ − 2t̄)
2
→
t̄ = 3.11 s
→
H=
1
· 9.8 · 3.112 = 47.4 m
2
2.4. Per l’osservatore solidale al suolo il punto materiale avrà al momento del lancio una
velocità verticale vy0 = v0 ed una velocità orizzontale vx0 = vx . Il punto materiale
descriverà quindi una traiettoria parabolica nel piano x-y:
x(t) = x0 + vx0 t
1
y(t) = y0 + vy0 t − gt2
2
Per un osservatore sul carrello invece, il moto del punto materiale sarà unidimensionale
uniformemente accelerato ed averrà lungo la verticale del punto di lancio.
2.5. Il filo fornisce l’accelerazione radiale centripeta necessaria a mantenere il punto materiale
su una traiettoria circolare di raggio L:
T = m ar = m
v2
= mω 2 L ,
L
da cui la velocità angolare massima sarà quella corrispondente al carico di rottura del
filo
q
q
ωmax = Tr /mL = 1000/2 = 22.4 rad/s .
2.6. L’istante di tempo t̄ in cui il punto materiale arriva a θ = π/2 è dato
da
r
1 2 π
π
θ(t̄) = αt̄ =
→ t̄ =
.
2
2
α
Il moto è circolare uniformemente accelerato e la velocità angolare
ω cresce linearmente nel tempo secondo la legge ω(t) = α t. Da questa legge possiamo ricavare l’andamento temporale dei moduli della
velocità, dell’accelerazione tangenziale e di quella radiale centripeta:
y
v
p /2
|v| = ω R = αRt
d|v|
= αR
|at | =
dt
|v|2
|ar | =
= α2 Rt2
R
at
x
y
ar
p /2
x
Scriviamo esplicitamente i vettori della velocità e dell’accelerazione
in componenti cartesiane:



 vx (θ = π/2)
= −|v(t = t̄)| = −αR
vy (θ = π/2) = 0


 |v|(θ = π/2) = 0.89 m/s
q
π
α
= −0.89 m/s
= −|at | = −αR = −0.5 m/s2
2 π
2
ay (θ = π/2) = −|a
r | = −α R α = −1.57 m/s
√


|a|(θ = π/2) =
0.52 + 1.572 = 1.65 m/s2


 ax (θ = π/2)
2.7. La forza di attrito statico deve bilanciare la componente della forza peso parallela al
piano:
1
fs = mg sin θ = 5 · 9.8 · = 24.5 N
2
2.8. (a). Se la forza F fosse orizzontale, per spostare il corpo dovrebbe valere
|F| > µs |n| = µs m g = 981 N
(b). Se invece F forma un angolo α = 30◦ con il piano orizzontale, per spostare il corpo
occorre
µs mg
F cos α > µs |n| = µs (mg − F sin α)
→ F >
= 718 N
cos α + µs sin α
2.9. Scegliamo un sistema di riferimento solidale al piano scabro. Quando il piano è in
quiete, il sistema è inerziale e scriviamo la seconda legge di Newton per il corpo
ΣF = mg + n + fk = ma ,
e proiettando lungo gli assi coordinati otteniamo
m ay = n − mg = 0 → n = mg
m ax = −fk = −µk n = −µk mg
ovvero il corpo scivola lungo il piano rimanendo in contatto con la superficie (ay = 0)
e decelerando uniformemente (ax = −µk g).
Lo spazio percorso prima di arrestarsi è dato da
d = ∆x =
v02
v2
= 0
2|ax |
2µk g
(1).
Quando il piano orizzontale accelera verticalmente con accelerazione ap = ap ĵ, il sistema di riferimento scelto (solidale al piano) non è inerziale. Un osservatore in questo
sistema accelerato dovrà introdurre nella seconda legge di Newton una forza apparente
(o fittizia) Fapp = −map :
ΣF0 = mg + n0 + fk0 + Fapp = ma0 ,
dove l’apice indica che le forze e le accelerazioni sono misurate nel sistema accelerato.
In particolare a0 è l’accelerazione del corpo vista dall’osservatore in movimento.
In componenti
m a0y = n0 − m g + m ap = 0 → n0 = m(g − ap )
m a0x = −fk0 = −µk n0 = −µk m(g − ap )
Lo spazio d’arresto è dato ora da
2d = ∆x0 =
v02
v02
=
2|a0x |
2µk (g − ap )
(2) .
Utilizzando adesso le due relazioni (1) e (2) ricaviamo
d=
v02
∆x0
v02
=
=
,
2µk g
2
4µk (g − ap )
da cui, per confronto, otteniamo il risultato cercato
g = 2(g − ap )
→
ap = g/2 .
Rispondere concisamente ai seguenti quesiti
• Dato un punto materiale che si muove in un piano x-y ricavare le due componenti dell’accelerazione rispettivamente tangente e perpendicolare alla traiettoria.
Possiamo scomporre il vettore accelerazione a in due componenti, una tangente alla
traiettoria ed una perpendicolare ad essa a = at + ar . Ricordiamo che la velocità
istantanea v è tangente in ogni punto alla traiettoria. La direzione tangente è pertanto
individuata dal versore della velocità
v
v̂ =
|v|
La componete tangente at dell’accelerazione è data dalla proiezione di a lungo v̂:
at = (a · v̂) v̂ ,
mentre la componente perpendicolare ar è data da
ar = a − at .
L’accelerazione tangenziale at è responsabile della variazione del modulo della velocità,
mentre l’accelerazione perpendicolare ar (detta radiale o centripeta) è quella che causa
la deviazione della direzione della velocità e quindi della traiettoria.
• Ricavare la gittata R di un proiettile in funzione della velocità iniziale v del lancio.
Scegliamo un sistema di riferimento x−y con origine nel punto in cui si trova il proiettile
al momento del lancio. Le componenti della velocità iniziale saranno v0x e v0y , ed il
moto del proiettile scomposto lungo gli assi coordinati sarà
x(t) = v0x t
1
y(t) = v0y t − g t2
2
Cerchiamo gli istanti di tempo per cui y(t) = 0:
1
y(t) = v0y t − g t2
2
→
1
0 = t (v0y − g t) ,
2
dove la soluzione t1 = 0 corrisponde al momento del lancio, mentre quella t2 = 2 v0y /g
corrisponde al momento in cui il proiettile tocca il suolo dopo la parabola di tiro.
La gittata R è data dalla velocità lungo x per il tempo di volo t2 :
R = v0x (2
2v0x v0y
v0y
)=
.
g
g
• Scrivere le equazioni del moto x(t) e y(t) per un punto che si muove di moto circolare
uniforme lungo una circonferenza di raggio R nel piano x-y.
Dato un angolo θ, le coordinate cartesiane del punto sono
x = R cos θ
y = R sin θ
In un moto circolare uniforme l’angolo θ varia con legge lineare θ(t) = θ0 + ωt, dove ω
è la velocità angolare costante. Le equazione del moto in coordinate cartesiane sono
x(t) = R cos θ(t) = R cos(θ0 + ωt)
y(t) = R sin θ(t) = R sin(θ0 + ωt)
• Cos’è una forza? Fare un esempio di come si può misurare una forza e dire qual è la sua
unità di misura nel SI.
Le forze sono la causa della variazione della velocità di un corpo. L’accelerazione impartita ad un corpo è proporzionale all’intensità della forza applicata ed inversamente
proporzionale alla massa del corpo stesso (2a legge di Newton). Una forza è definita
da un vettore: modulo=intensità, versore=direzione dell’accelerazione impartita ad
un corpo.
Per misurare una forza si può utilizzare un dinamometro (descrizione ed esempio con
disegno).
Da F = m a si ricava che nel SI l’unità di misura delle forze è il Newton: 1N = kg m/s2 .
• Cos’è la reazione vincolare normale?
La reazione vincolare è la forza che rappresenta il fatto che due corpi a contatto
non possono compenetrarsi, ovvero passare uno attraverso l’altro senza che ci siano
deformazioni. La reazione vincolare n è ortogonale alla superficie di contatto (fare
un disegno schematico di come è diretta la forza normale). L’intensità della reazione
vincolare è tale da bilanciare il risultante delle altre forze agenti nella direzione
normale entrante nella superficie di contatto.
• Che differenza c’è tra forza d’attrito statico e forza d’attrito dinamico?
La principale differenza è che l’attrito statico impedisce il movimento relativo delle
superfici di contatto, mentre l’attrito dinamico si manifesta quando le superfici di contatto scorrono l’una rispetto all’altra. L’intensità della forza d’attrito statico è variabile
entro un limite massimo fissato dal coefficiente d’attrito statico µs e dal modulo della
forza normale n:
fs ≤ fs max = µs n .
L’attrito dinamico è una forza resistente (opposta alla direzione del moto) di intensità
(approssimativamente) costante fk = µk n.